minggu2_4

1

PROBABILITAS, RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

TI2131 TEORI PROBABILITASMINGGU KE 2-4

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRIFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI2006

2

Program Studi Teknik Industri 2006

ProbabilitasSebuah ukuran ketidak-pastian.Sebuah ukuran tingkat keyakinan terjadinyasebuah kejadian yang tidak pasti (uncertain event).Sebuah ukuran tingkat peluang (likelihood of occurrence) dari sebuah kejadian yang tidakpasti (uncertain event).Diukur dengan nilai antara 0 dan 1 (atau antara0% dan 100%).

3


Type Probabilitas (1)

Objektif atau Probabilitas KlasikBerlandaskan pada kejadian yang sama (equally-likely) dan logis.Berdasarkan frekuensi relatif kejadian dalamwaktu yang lama.Tidak memperhatikan keyakinan perorangan.Dianggap sama untuk setiap peneliti (objektif).Contoh: pelemparan koin atau dadu.

4


Type Probabilitas (2)

Probabilitas SubjektifBerlandaskan pada keyakinan individu, pengalaman, intuisi, dan justifikasi personal.Ada perbedaan untuk setiap peneliti (subjektif).Contoh: pemasaran produk baru, ramalancuaca, hasil pertandingan olah raga.

5


Ruang Sampel & Kejadian

Himpunan (set) adalah kumpulan objek.Himpunan semua outcome yang mungkin munculdalam suatu percobaan/pengamatan disebut denganhimpunan semesta sampel (sample space)Masing-masing outcome disebut dengan elemen atautitik sampel

6



Fakta bahwa a anggota (elemen) himpunan (semesta) A dapat dituliskan dalam simbol a ∈ AJika tiap anggota himpunan A1 juga merupakan anggotadari himpunan A2, maka himpunan A1 disebut denganhimpunan bagian dari himpunan A2 atau dapatdituliskan dalam bentuk simbol A1 ⊂ A2

7


Jika himpunan A tidak memiliki anggota maka Adisebut dengan himpunan kosong dan dituliskansebagai A = ∅.Himpunan dari semua elemen yang setidaknyamenjadi anggota salah satu dari himpunan A1 danhimpunan A2 disebut union dari A1 dan A2. Union inidisimbolkan dengan A1 ∪ A2


8


Himpunan dari semua elemen yang termasuk dalamhimpunan A1 dan juga dalam himpunan A2 disebutdengan interseksi dari A1 dan A2. Interseksi A1 dan A2disimbolkan dengan A1 ∩ A2.Himpunan yang terdiri atas elemen yang bukan elemenA disebut dengan komplemen A (mengacu pada A) dan disimbolkan dengan A*.


9


Dua buah himpunan dikatakan saling bebas(mutually exclusive) atau disjoint, jika interseksikeduanya adalah himpunan kosong. Himpunan Adikatakan mutually exclusive terhadap himpunan Bjika A ∩ B = ∅


10


Beberapa Teorema (1)Teorema: 0)( =φP Bukti: Tuliskan hubungan berikut φ∪= SS dan juga diperoleh hubungan φφ =∩S . Dengan aksioma di atas, diperoleh

)()()( φPSPSP += . Karena P(S) = 1, maka 0)( =φP .

Teorema: ),(1)( APAP −= dimana A adalah komplemen dari A Bukti: Dari definisi komplemen, untuk setiap SA ⊂ maka diperoleh

AAS ∪= . Karena φ=∩ AA , maka dengan aksioma di atas diperoleh )()()( APAPSP += . Karena P(S) = 1, dengan demikian )(1)( APAP −= .

11


Beberapa Teorema (2)Teorema: Untuk dua kejadian A dan B, sedemikian sehingga BA⊂ , maka )()( BPAP ≤ . Bukti: Kejadian B dapat ditulis sebagai )( BAAB ∩∪= , dimana

φ=∩∩ )( BAA , maka dengan aksioma di atas diperoleh )()()( BAPAPBP ∩+= . Karena SBA ⊂∩ )( adalah suatu

kejadian maka 0)( ≥∩BAP , dengan demikian )()( BPAP ≤ .

12


•Mutually exclusive atau disjoint –dua set tidak memiliki elemen bersama,

tidak memiliki irisan, atau irisannya adalahset kosong.

•Partisi–adalah sekumpulan set yang mutually

exclusive yang secara bersama-samamencakup semua elemen, ataugabungannya membentuk set universal S.

Kejadian

13


A

A B∪A B∩

A2A1

A5A4

A3

Partisi

A BA BI BAA

Diagram set

Komplemen

14


• Sebuah proses yang menghasilkan satu daribeberapa hasil yang mungkin terjadi*, contoh:

Coin toss: Heads,TailsThrow die: 1, 2, 3, 4, 5, 6Pengenalan produk baru: sukses, gagal

• Setiap percobaan memiliki hasil observasitunggal.

• Hasil pasti dari percobaan random tidak dapatdiketahui sebelum dilakukan.

* Juga dikenal sebagai hasil dasar ( basic outcome), kejadian dasar atau kejadian sederhana

Percobaan - Experiments

15


Ruang sample atau set kejadianadalah set dari semua hasil yang mungkin ada darisebuah percobaan

contoh: pelemparan dadu S = (1,2,3,4,5,6)Kejadian

Kumpulan dari hasil dengan karakteristik yang samaContoh: muncul sisi genap A = (2,4,6)

Kejadian A terjadi jika sebuah hasil dalam set A terjadiProbabilitas sebuah kejadian

Jumlah probabilitas dari setiap hasil yang munculP(A) = P(2) + P(4) + P(6)

Kejadian

16


• Perhatikan contoh berikut:Percobaan pelemparan sebuah dadu seimbang• Ada 6 hasil yang mungkin (1,2,3,4,5,6)• Jika setiap hasil seimbang (equally-likely), probabilitas setiap

hasil adalah 1/6 = .1667 = 16.67%

Kejadian A (muncul sisi genap)• P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2• untuk setiap e dalam AP A P e

n An S

( ) ( )( )( )

=

= = =

∑36

12

P en S

( )( )

=1

Percobaan Ideal

17


Hearts Diamonds Clubs SpadesA A A AK K K KQ Q Q QJ J J J

10 10 10 109 9 9 98 8 8 87 7 7 76 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 2

Kejadian ‘Ace’Gabungankejadian ‘Heart’dan ‘Ace’

Kejadian ‘Heart’

Irisan kejadian ‘Heart’ dan ‘Ace’Adalah titik yang dilingkaridua kali: the ace of hearts

P Heart Ace

n Heart Ace

n S

( )

( )

( )

U

U

=

=

=16

52

4

13

P Heartn Heart

n S( )

( )

( )= = =

13

52

1

4

P Acen Ace

n S( )

( )

( )= = =

4

52

1

13

P Heart Acen Heart Ace

n S( )

( )

( )I

I

= =1

52

Pengambilan Kartu

18


Rentang nilai

Komplement - Probabilitas bukan A

Irisan - Probabilitasy A dan B

Kejadian mutually exclusive (A dan C) :

0 1≤ ≤P A( )

P A P A( ) ( )= −1

P A B n A Bn S( ) ( )

( )∩ = ∩

P A C( )∩ = 0

Aturan Dasar Probabilitas (1)

19


• Gabungan - Probabilitas A atau B atau keduanya

Kejadian mutually exclusive :

Probabilitas Bersyarat - Probabilitas A pada(given) B

Kejadian independen:

P A B n A Bn S P A P B P A B( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∪ = ∪ = + − ∩

P A C so P A C P A P C( ) ( ) ( ) ( )∩ = ∪ = +0

P A B P A BP B( ) ( )

( )= ∩

P A B P AP B A P B

( ) ( )( ) ( )

==

Aturan Dasar Probabilitas (2)

20


Aturan probabilitas bersyarat:

Jika kejadian A dan D saling independen secara statistik:

maka

maka

P A B P A BP B( ) ( )

( )= ∩ P A B P A B P BP B A P A

( ) ( ) ( )( ) ( )

∩ ==

P AD P A

P D A P D

( ) ( )

( ) ( )

=

=P A D P A P D( ) ( ) ( )∩ =

Probabilitas Bersyarat

21


P IBM T P IBM TP T

( ) ( )( )

.

..

=

= =

I

1050

2

Probabilitas bahwa sebuahproyek yang dikerjakanIBM adalah (given) proyektelekomunikasi adalah:

Tabel Contingency

Acer IBM Total

Telekomunikasi 40 10 50

Komputer 20 30 50

Total 60 40 100

Frekuensi

Acer IBM Total

.40 .10 .50

.20 .30 .50

Total .60 .40 1.00

Probabilitas

Telekomunikasi

Komputer

22


P A B P AP B A P B

andP A B P A P B

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

=

=I

Syarat independensi secara statistik dari kejadian A dan B adalah:

P A ce H ea rt P A ce H ea rtP H eart

P A ce

( ) ( )( )

( )

=

= = =

I

1521 352

113

P H eart A ce P H ea rt A ceP A ce

P H eart

( ) ( )( )

( )

=

= = =

I

15 24

5 2

14

P Ace Heart P Ace P Heart( ) ( ) ( )I = = =4

521352

152

Independensi Kejadian (1)

23


a P T B P T P B

b P T B P T P B P T B

) ( ) ( ) ( ). * . .

) ( ) ( ) ( ) ( ). . . .

I

U I

== == + −= + − =

0 04 0 06 0 0024

0 04 0 06 0 0024 0 0976

Kejadian T (prob. 0,04) dan B (prob. 0,06) diasumsikanindependen

Independensi Kejadian (1)

U

24


Probabilitas gabungan dari beberapa kejadian independenadalah 1 dikurangi perkalian probabilitas komplemenmasing-masing:

P A A A An P A P A P A P An( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 2 3∪ ∪ ∪ ∪ = −L L

Probabilitas irisan dari beberapa kejadian independen adalahperkalian dari probabilitas masing-masing:

P A A A An P A P A P A P An( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3∩ ∩ ∩ ∩ =L L

Perkalian Kejadian Independen

25


Teorema Aditif

Jika A dan B adalah 2 buah kejadian, maka:P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B)

Jika A1,A2,…,An bersifat mutually exclusive, makaP(A1∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) +… +P(An)

Jika A1, A2, … , An adalah partisi dari suatu semestasampel, maka

P(A1∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) +… +P(An)= P(S)= 1

26


Untuk tiga kejadian A, B, dan C, P(A ∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(B) - P(A ∩B) -

P(A ∩ C) - P(B ∩C) + - P(A ∩B∩C)Probabilitas Badu harus menjalani operasi katupjantung adalah 0,8 dan probabilitas Badu harusmenjalani operasi pelebaran pembuluh darah 0,6 serta probabilitas Badu harus menjalani keduanyaadalah 0,5. Berapa probabilitas Badu harus menjalaniminimal salah satu operasi di atas?

Teorema Aditif

27


Teorema Aditif

Jika A dan A* merupakan dua kejadian yang bersifatsaling komplemen, maka:

P(A) + P(A*) = 1

28


Hukum ProbabilitasIdentity laws (A∪∅=A, A∩∅=∅), Idempotent law (A∪A=A, A∩A=A)Complement law (A∪A=S, A∩A=∅)Commutative law (A∪B=B∪A, A∩B=B∩A)De morgan’s law (A∪B=B∩A, A∩B=B∪A)Associative law A∩(B∩C)=(A∩B)∩C,

A∪(B∪C)=(A∪B)∪CDistributive law A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)

29


Percobaan sebuah dadu 6 sisi, ada 6 hasil yang mungkin dari pelemparanpertama, yaitu (1,2,3,4,5,6) dan 6 hasil yang mungkin dari pelemparan kedua(1,2,3,4,5,6). Secara bersama-sama ada 6*6=36 hasil yang mungkin dari duakali pelemparan.

Umumnya, jika ada n kejadian dan kejadian i dapat terjadi dalam Ni cara yang mungkin, maka jumlah caradimana urutan dari n kejadian akan muncul adalahN1N2

...Nn.

Ambil 5 kartu dari tumpukanlengkap – denganpengembalian

52*52*52*52*52=525

380,204,032 hasil yang mungkin

Ambil 5 kartu dari tumpukanlengkap – tanpa pengembalian

52*51*50*49*48 = 311,875,200 hasil yang mungkin

Konsep Kombinatorial (1)

30


Urutan tiga huruf: A, B, dan C

A

B

C

B

C

AB

AC A

C

B

C

B

A

ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA

Konsep Kombinatorial (2)(Diagram pohon / Tree Diagram)

31


Teorema: Multiplication Rule

Jika suatu operasi dapat berlangsung dalam n1 cara, dan darimasing-masing cara ini dilakukan operasi kedua yang dapatberlangsung dalam n2 cara, maka kedua operasi dapat dilakukansecara bersama dalam n1n2 cara. Secara umum teorema ini berlakujuga pada k operasi berturutan, yaitu k operasi ini dapat dilakukandalam n1n2…nk

Hasil dua pelemparan uang logam dapat muncul dalam 4 cara. Pelemparan uang logam pertama memiliki 2 cara kemunculan danpelemparan uang logam kedua memiliki 2 cara kemunculan, sehingga secara keseluruhan terdapat 4 (= 2 x 2) cara kemunculanhasil pelemparan 2 kali uang logam.

32


Ada berapa cara untuk mengurutkan 3 huruf A, B, dan C?

Ada 3 pilihan untuk huruf pertama, 2 untuk huruf kedua dan 1 Untuk huruf terakhir, sehingga ada 3*2*1 = 6 cara yang mungkin.

Ada berapa cara untuk mengurutkan 6 huruf A, B, C, D, E, dan F? (6*5*4*3*2*1 = 720)

Faktorial: Untuk setiap integer positif n, n faktorial didefinisikan:n(n-1)(n-2)...(1). n faktorial ditulis dengan n!. Jumlah n! adalah jumlah cara dimana n objek dapat diurutkan. Didefinisikan bahwa 1! = 1.

Faktorial

33


Permutasi

Permutasi adalah suatu penyusunan atas semuaatau sebagian dari kumpulan obyek tertentu.Jumlah permutasi dari n buah obyek yang berbedaadalah sejumlah n!Contoh: Dari tiga judul buku dapat disusun pada raksejumlah 3! = 1 x 2 x 3 = 6 permutasi

34


Teorema Permutasi

Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda yang diambil sejumlah r pada suatu waktu adalah:

nPr =

Berapa permutasi dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 sehingga dapat terbentuk suatu bilangan 3 digit (setiap bilangan dipakai sekali)? Bagaimanadengan 0, 1, 2, 3, 4, dan 5?

)!(!rn

n−

35


Teorema Permutasi

Jumlah permutasi dari n objek berbeda yang disusunsecara sirkular adalah (n-1)!Jumlah permutasi yang berbeda yang dapat disusundari n objek yang terdiri atas n1 objek dari jenispertama, n2 objek dari jenis kedua, dan seterusnyasampai nk objek dari jenis ke-k adalah :

!!!!

21 knnnnL

36


Teorema Permutasi

Dalam satu barisan terdapat 3 orang alumni TI, 3 orang alumni teknik lainnya, dan 2 orang alumni MIPA. Dalam berapa cara kedelapan orang itu dapatmembentuk barisan yang berbeda berdasarkan latarbelakang pendidikannya?

37


Teorema Partisi

Jumlah cara membagi suatu kumpulan n objek kedalam r sel dengan jumlah elemen n1 pada selpertama, n2 pada sel kedua, dan seterusnya sampaink elemen pada sel ke-k adalah:

di mana n1+ n2 + … + nr = n.

!!!!

,,, 2121 kr nnnn

nnnn

LL=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

38


Teorema Partisi

Contoh: Sebuah rombongan bakti sosial 6 orangmahasiswa menyewa 3 sepeda motor. Ada berapacara menumpang sepeda motor yang mungkindilakukan? Asumsikan ke-enam mahasiswa tersebutmampu mengendarai sepeda motor.

39


Kombinasi

Sering kali kita tertarik pada cara memilih r objek darisejumlah n objek tanpa memperhatikan urutan yang terbentuk. Cara pemilihan ini disebut dengankombinasi.Jumlah kombinasi dari n objek yang berbeda yang diambil sejumlah r dalam satu waktu adalah:

)!(!!

rnrn

rn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

40


Contoh: Pada sebuah proyek perancangan sistemmanufaktur terdapat 12 orang lulusan TI, 8 lulusanteknik lainnya, dan 4 lulusan MIPA. Jika ingin dibentukkelompok beranggotakan 6 orang dengan komposisi 3 lulusan TI, 2 lulusan teknik lainnya, dan 1 lulusanMIPA, ada berapa alternatif kelomok yang dapatdibentuk?

41


n=10 (Total Number of Objects Available)

Total Number of # of Probability of # of Probability ofObjects Selected r Permutations Particular Permutation Combinations Particular Combination

1 10 0.1 10 0.12 90 0.011111111 45 0.0222222223 720 0.001388889 120 0.0083333334 5040 0.000198413 210 0.0047619055 30240 3.31E-05 252 0.0039582546 151200 6.61E-06 210 0.0047619057 604800 1.65E-06 120 0.0083333338 1814400 5.51E-07 45 0.0222222229 3628800 2.76E-07 10 0.1

10 3628800 2.76E-07 1 1

Permutasi dan Kombinasi(dengan Excel)

42


Probabilitas Bersyarat

Probabilitas terjadinya kejadian B ketika telahdiketahui bahwa kejadian A terjadi disebut denganprobabilitas bersyarat kejadian B atas kejadian A, disimbolkan dengan P(B|A). P(B|A) ini didefinisikansebagai:

P(B|A) = ,jika P(A) > 0)(

)(AP

BAP ∩

43


P A P A B P A B( ) ( ) ( )= ∩ + ∩

Dalam bentuk probabilitas bersyarat:

Secara umum (dimana Bi membentuk partisi):

P A P A B P A BP A B P B P A B P B

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

= ∩ + ∩= +

P A P A BiP A Bi P Bi

( ) ( )

( ) ( )

= ∩∑= ∑

Probabilitas Total & Bersyarat

44


Kejadian U: pasar saham tumbuh tahun depanKejadian W: kondisi ekonomi membaik tahun depan

P U WP U W

P W P W

P U P U W P U WP U W P W P U W P W

( ) .( )

( ) . ( ) . .

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( . ) ( . ) ( . ) ( . ). . .

=== ⇒ = − =

= ∩ + ∩= += += + =

7 53 08 0 1 8 2

7 5 8 0 3 0 2 06 0 0 6 6 6

Probabilitas Total & Bersyarat

45


Contoh: Probabilitas Bersyarat

Diberikan data sampel pemakaian merk shamposebagai berikut:

Jika diketahui seseorang tersebut adalah laki-laki, maka berapa probabilitas ia memakai shamposunsilk?

Sunsilk Clear Total Laki-laki 150 250 400 Wanita 400 200 600 Total 550 450 1000

46


• Teorema Bayes memungkinkan untuk menge-tahui probabilitas B bersyarat A jika diketahuiprobabilitas A bersyarat B.

• Menggunakan definisi probabilitas bersyarat dan hukum probabilitas total.

P B A P A BP A

P A BP A B P A B

P A B P BP A B P B P A B P B

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=

=+

=+

I

I

I I

Menggunakan probabilitastotal pada penyebut

Menggunakan probabilitasbersyarat

Teorema Bayes

47


• Sebuah pengaruh treatment logam (berdampak 0.1% terhadap populasi [ ]) tidak sempurna:

Jika dilakukan pada logam non-standar, perlakukan dinilaisukses dengan probabilitas 0.92 [ ]

Kejadian disebut false negative

Jika dilakukan pada logam standar, perlakukan akan me-nyimpang (false positive) dengan probabilitas 0.04 [ ]

Kejadian disebut false positive. .

P I( ) .= 0 001

P Z I P Z I( ) . ( ) .= ⇒ =92 08( )Z I

( )Z I

P ZI P Z I( ) . ( ) .= ⇒ =004 096

Contoh Teorema Bayes (1)

48


P I

P I

P Z I

P Z I

( ) .

( ) .

( ) .

( ) .

=

=

=

=

0 001

0 999

0 92

0 04

P I Z P I ZP Z

P I ZP I Z P I Z

P Z I P IP Z I P I P Z I P I

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

(. )( . )(. )( . ) ( . )(. )

.. .

..

.

=

=+

=+

=+

=+

=

=

I

I

I I

92 0 00192 0 001 0 04 999

0 000920 00092 0 03996

0 0009204088

0225


49


P I( ) .= 0 001

P I( ) .= 0 999 P Z I( ) .= 0 04

P Z I( ) .= 0 96

P Z I( ) .= 0 08

P Z I( ) .= 0 92 P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 001 0 92 00092

P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 001 0 08 00008

P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 999 0 04 03996

P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 999 0 96 95904

Probabilitasprior

Probabilitasbersyarat

Probabilitasgabungan


50


Contoh Aturan BayesSuatu perusahaan memiliki 3 buah pabrik B1, B2, dan B3yang masing-masing memasok sebanyak 30%, 25%, dan45% kebutuhan perusahaan. Dari data masa lalu diketahuitingkat cacat produk yang dihasilkan masing-masing pabrikberturut-turut adalah 2%, 3%, dan 2%.

Jika diambil sebuah produk jadi di kantor perusahaan, berapa probabilitas produk tersebut adalah cacat?Jika produk yang diambil adalah cacat, berapaprobabilitas produk tersebut berasal dari pabrik B2?

51


• Diberikan partisi B1,B2 ,...,Bn:

P B A P A BP A

P A BP A B

P AB P BP AB P B

i

i i

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

11

1

1 1

=∩

=∩∩∑

=∑

Gunakan probabilitastotal pada penyebut

Terapkan probabilitasbersyarat

Perluasan Teorema Bayes (1)

52


Pada saat kondisi mesin sangat baik, diperkirakan sebuah industri akanmenhasilkan produk yang baik dengan probabilitas 0,70; dalam kondisi biasaprobabilitasnya 0,40; dan pada kondisi buruk probabilitas menghasilkan produkyang baik hanya 0,20.Dalam suatu perioda, probabilitas bahwa kondisi mesin sangat baik adalah 0,30, moderat 0,50, dan buruk 0,50. Jika selama perioda tersebut dihasilkan produk yang baik, bepara kemungkinanbahwa kondisi mesin sangat baik?

Partisi Kejadian A (produk baik)

H – Mesin sangat baik P(H) = 0,30 P(A|H)=0,70M – Mesin moderat P(M) = 0,50 P(A|M)=0,40L – Mesin buruk P(L) = 0,20 P(A|L)=0,20


53


P H A P H AP A

P H AP H A P M A P L A

P A H P HP A H P H P A M P M P A L P L

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( . )( . )( . )( . ) ( . )( . ) ( . )( . )

.. . .

.

..

=

=+ +

=+ +

=+ +

=+ +

=

=

I

I

I I I

0 70 0 300 70 0 30 0 40 0 50 0 20 0 20

0 210 21 0 20 0 04

0 210 45

0 467


54


Probabilitasprior

Probabilitasbersyarat

Probabilitasgabungan

P H( ) .= 0 3 0

P M( ) .= 0 5 0

P L( ) .= 0 2 0

P A H( ) .= 0 7 0

P A H( ) .= 0 3 0

P A M( ) .= 0 4 0

P A M( ) .= 0 6 0

P A L( ) .= 0 2 0

P A L( ) .= 0 8 0

P A H( ) ( . )( . ) .I = =0 3 0 0 7 0 0 2 1

P A H( ) ( . )( . ) .I = =0 3 0 0 3 0 0 0 9

P A M( ) ( . )( . ) .I = =0 5 0 0 4 0 0 2 0

P A M( ) ( . )( . ) .I = =0 5 0 0 6 0 0 3 0

P A L( ) ( . )( . ) .I = =0 2 0 0 2 0 0 0 4

P A L( ) ( . )( . ) .I = =0 2 0 0 8 0 0 1 6


55


Teorema Bayes – Distribusi (1)Teorema Bayes dalam aplikasinya dapat digunakan dalamproses perbaikan distribusi kemungkinan berdasarkaninformasi yang terbaru

Prior probability distribution

additional information(sampling distribution)

Posterior or revised distribution

56


Teorema Bayes – Distribusi (2)Contoh :Proporsi “pencemar/polutant” (didefinisikan sebagai

terdapatnya bahan-bahan lain yang tidak diinginkan) pada sebuah kemasan bahan baku yang diterima olehsebuah perusahaan diketahui sebagai berikut:

Proporsi pencemar P Probabilitas* 0.05 0.21 0.10 0.23 0.15 0.45 0.20 0.09 0.25 0.01 0.30 0.01

* diperoleh dari pengamatan untuk jangka waktu yang panjang.

57


Teorema Bayes – Distribusi (3)Sebuah informasi penelitian terakhir dari 50 kemasan yang

diperiksa diperoleh data bahwa 8 delapan kemasandinilai “tercemar/tidak murni”. Distribusi informasitersebut adalah:

Proporsi keberhasilan P Probabilitas * P x P X p( | ) ( | , )θ = = 850 0.05 0.002 0.10 0.064 0.15 0.091 0.20 0.117 0.25 0.064 0.30 0.011

0.349 *mengikuti distribusi binomial.

58


Teorema Bayes – Distribusi (4)Berdasarkan data terbaru, dilakukan revisi distribusi

probabilitas:

P A w a l S am p e l Jo in t* B a ru * * 0 .0 5 0 .2 1 0 .0 0 2 0 .0 0 0 4 2 0 .0 0 7 0 .1 0 0 .2 3 0 .0 6 4 0 .0 1 4 7 2 0 .2 1 8 0 .1 5 0 .4 5 0 .0 9 1 0 .0 4 0 9 5 0 .6 0 8 0 .2 0 0 .0 9 0 .1 1 7 0 .0 1 0 5 3 0 .1 5 6 0 .2 5 0 .0 1 0 .0 6 4 0 .0 0 0 6 4 0 .0 0 9 0 .3 0 0 .0 1 0 .0 1 1 0 .0 0 0 1 1 0 .0 0 2

0 .3 4 9 0 .0 6 7 3 7 1 .0 0 0

59


Teorema Bayes – Distribusi (4)

Kesimpulan:

Ekspektasi awal (0.1245) lebih kecil dariekspektasi baru (0.1474).Artinya, ada indikasi bahwa rata-rata proporsipencemar dalam setiap kemasan bahan bakutelah mengalami peningkatan sekitar 2,3 %.

Documents

minggu2_4