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Métodos Numéricos Computacionais
Integração NuméricaParte II
Regra 3/8 de SimpsonQuadratura Gaussiana
REGRA 3/8 DE SIMPSONA 2ª Regra de Simpson é obtida aproximando-se a
função por um polinômio interpolador de 3º grau , que interpola nos pontos:
segue que
)(3 xp
bhxxhxxhxxx 3 e 2 e e a 0302010
)(xf
)(
)()(
)()(
3231303
210
2321202
3101
312101
320
03'2010
3213
xfxxxxxxxxxxxx
xfxxxxxxxxxxxx
xfxxxxxxxxxxxx
xfxxxxxxxxxxxx
xp
REGRA 3/8 DE SIMPSON
Integrando
)()(3)(3)(
83
)()(
32108/3
8/38/38/333
0
xfxfxfxfhI
EIEdxxpdxxf
S
SSS
bx
ax
b
a
Regra 3/8 de Simpson
cfhE ivS
58/3 80
3 30 , onde xxc
REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA
Considerando todos subintervalos
Enfim, o erro cometido pela regra 3/8 de Simpson é
})()(3)(3)(
....)()(3)(3)(
)()(3)(3)({83)(
123
7654
3210
mmmm
b
a
xfxfxfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfhdxxf
],[ onde 803
35
8/3 baccfhmE iiiv
SR
Neste caso temos m/3 subintervalos
REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA
Para a determinação da fórmula composta, deve-se subdividir o intervalo de integração [a, b] em n subintervalos iguais de amplitude h.
Fórmula composta:
onde .
nnn yyyyyyyyyyhI 126543210 33...2332338
3
nabh
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
SejamNote que qualquer polinômio de grau 3
é combinação das funções acima. Assim, impomos que a fórmula da quadratura Gaussiana seja exata para estes polinô-mios, segue:
33
2210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF
)()()()()( 33221103 tFatFatFatFatP o
Quadratura Gaussiana Veremos nesta aula a Regra ou Fórmula da
Quadratura de Gauss. As fórmulas de Newton-Cotes integram
polinômios interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou (n+2)-ésima derivadas. Assim, elas são exatas para polinômios de grau < n+1 ou <n+2, respectivamente.
A Fórmula da Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de grau<2n+2
Quadratura Gaussiana
Como nos Métodos de Newton-Cotes escrevemos uma integral como
onde os coeficientes e os pontos parai=0,1,2,..,n devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão possível.
Característica: Partição não-regular
nn
b
axfAxfAxfAdxxfI ....)( 1100
iA ix
Quadratura Gaussiana
Note que o Método da Quadratura Gaussiana envolve a determinação de 2n+2 coeficientes e , para i=0,..,n. Como temos 2n+2 parâmetros a
ajustar, podemos esperar que este método ajuste exatamente polinômios de graus inferiores a 2n+1.
iA ix
Quadratura Gaussiana
Comecemos o desenvolvimento para dois pontos:
Por simplicidade tomemos o intervalo [-1,1]. Note que sempre é possível passar do intervalo [a,b] --> [-1,1] através da transformação:
dtabdttxdx
tabtabtx
)(21)(
1,1 para )(21)(
21)(
1100)( xfAxfAdxxfIb
a
Quadratura Gaussiana
Segue
onde os parâmetros devem ser determinados de modo a integral ser exata para
polinômios de graus inferiores a 3.
1100
1
1
1
1
1
1
)(
)(21)(
21)(
21)( onde
)()())(()(
tFAtFAdttFI
abtabfabtF
dttFdttxtxfdxxfIb
a
1010 ,,, ttAA
Quadratura Gaussiana
como esperado, a fórmula é exata para este polinômios:
)()( )()()()(
)()()()(
)()(
)()()(
131030
13103031210202
11101011010000
1
1 33
1
1 22
1
1 11
1
1 003
1
1
tPAtPAtFAtFAatFAtFAatFAtFAatFAtFAa
dttFadttFa
dttFadttFadttP
1100
1
1)( tFAtFAdttFI
Quadratura Gaussiana
Considerando
podemos determinar as incógnitas
através de
Que gera um sistema linear 4X4. Vejamos
3,2,1,0 para 1100
1
1 ktAtAdttI kkk
33
2210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF
1010 ,,, ttAA
Quadratura Gaussiana
Obtemos o sistema
03
3/22
01
20
311
300
311
300
1
1
3
201
200
201
200
1
1
2
11001
111
00
1
1
1
100
110
00
1
1
0
tAtAtAtAdttk
tAtAtAtAdttk
tAtAtAtAdttk
AAtAtAdttk
Quadratura Gaussiana
Resolvendo o sistema, obtemos
de modo que podemos escrever a Fórmu-la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 3, como
3/3e1 1010 ttAA
3
333)(
1
1FFdttFIGauss
Quadratura Gaussiana
Para 3 pontos, a fórmula da quadratura gaussiana é exata para polinômios de
graus inferiores e iguais a 5. Então,
Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser escrito em termos de
221100
1
1)( tFAtFAtFAdttFI
55
44
33
2210 )(,)(,)(,)(,)(,1)( ttFttFttFttFttFtF
Quadratura Gaussiana
Agora podemos determinar as incógnitas
através do sistema linear 6X6 abaixo:
Escrevendo explicitamente o sistema,
5,4,3,2,1,0 para 221100
1
1 ktAtAtAdttI kkkk
210210 ,,,,, tttAAA
Quadratura Gaussiana
05
5/24
03
3/22
01
20
522
511
500
522
511
500
1
1
5
421
411
400
422
411
400
1
1
4
322
311
300
322
311
300
1
1
3
221
211
200
222
211
200
1
1
2
2211001
221
111
00
1
1
1
2100
220
110
00
1
1
0
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
AAAtAtAtAdttk
Quadratura Gaussiana
Resolvendo o sistema, obtemos
de modo que podemos escrever a Fórmu-la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 5, como
0e53,
98e
95
120120 tttAAA
5
3950
98
53
95)(
1
1FFFdttFIGauss
Quadratura Gaussiana
Exemplo 1: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 e 3 pontos.
Solução: Temos no intervalo [1,3].Fazendo a mudança de variáveis
dxeI x33
1
xexf 3)(
2t3eF(t) e1)(
1,1 temos3,1 para
2)(21)(
21)(
dtdttxdx
tx
tabtabtx
Quadratura Gaussiana
Então, seguem os valores exato e apro-ximados para n=2 e n=3 pontos
1004.52953
983
953
53
950
98
53
95)(3:3n
9309.5133
33
33)(3:2n
1018.523 :Exato
253
2253
1
1
3
1
233
233
1
1
3
1
3
1
eee
FFFdttFIdxe
ee
FFdttFIdxe
dxeI
Gaussx
Gaussx
x
Quadratura Gaussiana
Exemplo 2: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 pontos.
Solução: Temos no intervalo [0,10].Fazendo a mudança de variáveis
dxeI x10
0
xexf )(
5-5t-eF(t) e5)(
1,1 temos10,0 para
55)(21)(
21)(
dtdttxdx
tx
tabtabtx
Quadratura Gaussiana
Então, seguem os valores exato e aproximado para n=2 são:
O erro verdadeiro:
O Método do Trapézio necessitaria de n=16 pontos para atingir este erro. Através de Simpson 1/3 seriam necessários n=9 pontos.
606102.055
335
335)(5:2n
999955.0 :Exato
533
5533
5
1
1
10
0
10
0
ee
FFdttFIdxe
dxeI
Gaussx
x
393853.0606102.0999955.0Erro
Quadratura GaussianaConclusão 1: As fórmulas da quadratura gaussiana
produzem melhores resultados que aquelas dos métodos de Newton-Cotes com partição regulares (trapézio, Simpson,...)
Conclusão 2: Quando aumentamos o número de pontos todos métodos melhoram a precisão.
Conclusão 3: Se o intervalo for grande, com no caso Trapézio e Simpson Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar quadratura gaussiana em cada intervalo
Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de dados experimentais, então o método da quadratura gaussiana não é aplicável.
Quadratura Gaussiana
Exercício 1 : Considere a integral
a) Estime I por Trapézio quando h=1/4.b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4.c) Estime I por Simpson 3/8 quando h=1/4.d) Estime I por Gauss quando n=2 e n=3.
Dado:
dxeI x21
0
74682.021
0 dxeI x
Quadratura Gaussiana
Exercício 2: Dada a função , definida através da tabela abaixo calcular aplicando:
A 1ª Regra de Simpson. A 2ª Regra de Simpson.
xfy
6,1
1
dxxfI
xi yi
1,0 0,0991,1 0,1311,2 0,1631,3 0,1941,4 0,2241,5 0,2531,6 0,281
Quadratura Gaussiana
Exercício 3 - Determinar o valor da integral utilizando a 2ª Regra de Simpson com n = 6 e a
Quadratura Gaussiana com 4 pontos. Compare os valores encontrados.
27
1
22
2
1dx
xxI
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