Solución de un sistema linear por eliminación Gaussiana

Por: Sandra Lucía de la Fuente Bermúdez.Matemáticas para mecatrónicos.Asesor: Dr. Francisco Javier Ornelas Rodríguez.2014-02-28

Resumen

Un sistema algebraico linear es un conjunto de m ecuaciones en n variables escalares, que aparentan linealidad. Se puede escribir como:

𝐴𝑥 = 𝑏

Donde, A es una matriz mxn, x es un vector n-dimensional donde se encuentran las variables, y b es un vector conocido de dimensión m.

Soluciones de un sistema linear

Para 𝐴𝑥 = 𝑏, siendo un sistema de mxn (m puede ser mayor, menor, o igual que n) y 𝑟 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 , siendo el número de columnas o filas linealmente independientes de A, entonces:

𝑏 ∉ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 𝐴→ 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 (𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛)𝑏 ∈ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 𝐴→ 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 ∞𝑛−𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

Con la convención de que ∞0 = 1 𝑒 ∞𝑘 es la cardinalidad de un espacio vectorial k-dimensional.

Tipo de sistemas lineares

Eliminación Gaussiana

Es una importante técnica para resolver sistemas lineales.

Siempre produce una solución, sin importar si el sistema es invertible o no.

Permite determinar el grado de una matriz.

Ideal para cantidades finitas, el tiempo para resolución es delimitado por el tamaño de la matriz.

Forma escalonada

Se dice que una matriz que ha pasado a través del proceso de Eliminación Gaussiana, ha sido reducida a la forma escalonada (Echelon Form).

Considere un sistema mxn 𝐴𝑥 = 𝑏, que puede ser cuadrado, rectangular, invertible, incompatible, redundante, o indeterminado. La eliminación Gaussiana reemplaza las filas de este sistema, por combinaciones lineales de las filas mismas hasta que A es cambiada por una matriz U de la forma escalonada.

Las filas distintas de ceros, preceden las filas con todos los ceros. La primer entrada, si existe, en una fila, es llamada pivote.

Debajo de cada pivote hay una columna de ceros.

Cada pivote se ubica a la derecha del pivote en la fila superior.

Las mismas operaciones son aplicadas a las filas de A y a aquellas de b, que son transformadas a un nuevo vector c. Por lo que la forma escalonada queda de la forma:

𝑈𝑥 = 𝑐

Reducción a la forma escalonada

Paso 1.𝑈(1) = 𝐴𝑐(1) = 𝑏

Paso 2. El k-ésimo paso es aplicado a las filas k,…,m de 𝑈(𝑘) y 𝑐(𝑘), y produce:

𝑈(𝑘+1)

𝑐(𝑘+1)

Paso 3. El último paso produce:𝑈(𝑚) = 𝑈𝑐(𝑚) = 𝑐

El índice del primer pivote (p) es igualado a 1. 𝑢𝑖𝑗 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑖, 𝑗 𝑑𝑒 𝑈

(𝑘).

BackSubstitution

Un sistema 𝑈𝑥 = 𝑐 en forma escalonada es fácilmente resulto para x; r es el grado de U, e incluso, el grado de A, porque A y U admiten exactamente las mismas soluciones y son iguales en tamaño.

Si r<m, la última m-r ecuación produce un sistema de la forma:

0[𝑥𝑟+1, ⋯ , 𝑥𝑚]’ = [𝑐𝑟+1, ⋯ , 𝑐𝑚]’

Llamándole subsistema residual. Si por el contrario, r=m, no hay subsistema residual.

Si hay un sistema residual (por ejemplo r<m) y algún 𝑐𝑟+1, ⋯ , 𝑐𝑚 ≠ 0, entonces las ecuaciones correspondientes a esas entradas distintas de cero son incompatibles.

Asumiendo que no hay sistema residual, o si lo hay no es compatible, lo cual es 𝑐𝑟+1 = 𝑐𝑚 =0, entonces las soluciones existen y pueden ser determinadas por backsubstitution, lo cual es resolviendo las ecuaciones comenzando de la última, y reemplazando el resultado en las ecuaciones superiores.

Procedimiento de sustitución inversa

Paso 1.

Removemos el sistema residual, si lo hay. Resultado: sistema rxn.

Paso 2.

Definición de variables básicas (columnas r con pivotes) y variables libres (otras columnas n-r).

La solución obtenida por sustitución inversa es una función afín de variables libres y puede ser escrita de la forma:

Donde 𝑥𝑖𝑗 son las variables libres, el vector 𝑣0 es la solución cuando todas las variables libres son cero, y el vector 𝑣𝑖 para 𝑖 = 1,… , 𝑛 − 𝑟 puede ser obtenido resolviendo el sistema homogéneo:

Ejemplo práctico

Considere el sistema 𝐴𝑥 = 𝑏, donde

Para k=1, no hay columnas no pivote, por lo que el índice de la columna pivote (p) se queda en 1.

Convirtiendo la matriz a triangular: fila 2= fila 1*2 –fila 2 y fila 3= fila 1 + fila 3.

k=2, note que para 𝑢𝑖𝑝(2)

, si p=2 se tiene un valor de cero para i=2,3, por lo que p=p+1=3. Por lo que la

segunda columna pivote es la 3, 𝑢23(2)

es distinta de cero.

En la triangulación: fila 3= fila 3 – fila 2*2

r=2, determinado por el número de filas distintas de cero.

El sistema residual 0 = 0 es compatible.

n=4, por lo que r<n: se trata de un sistema indeterminado, con ∞𝑛−𝑟soluciones = ∞2.

Para la sustitución inversa, se borra el subsistema residual simbólicamente:

Las variables básicas son x1 y x3, columnas pivote.

De

Se tiene que:

Por lo que la solución general es:

Resolviendo el sistema reducido para x2=x4=0:

v1 se encuentra resolviendo la ecuación homogénea Ux=0 de las primeras dos filas con x2=1 y x4=0:

v2 se encuentra resolviendo la ecuación homogénea Ux=0 de las primeras dos filas con x2=0 y x4=1:

Resultado:

Referencia

[1] C. Tomasi, “Mathematical Methods for Robotics and Vision,” Stanford University, USA, 2000.