View
175
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
SOLUSI SPL DENGAN HITUNGAN ITERATIF
Proses penyelesaian dimulai dengan suatu hampiran awal terhadap
penyelesaian, X0, kemudian membentuk suatu barisan yang konvergen ke X.
Keunggulan Metode Iteratif
Teknik iteratif jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL yang berukuran kecil. karena metode perhitungn langsung lebih
efisien dari pada metode iteratif. Akan tetapi untuk SPL yang berukuran besar
metode iteratif lebih efisien dari pada metode perhitungan langsung dalam hal
waktu komputasi.
Metode Iteratif
Metode iteratif Antara lain:Metode JacobiMetode Gauss-Seidel
Metode Jacobi
Prinsip dari metode ini adalah menyatakan setiap variable ke dalam semua variable sisanya
Contoh
Selesaikan SPL berikut dengan menggunakan iterasi Jacobi dengan hampiran awal (0,0,0,0).
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
10 2 6
11 3 25
2 10 11
3 8 15
x x x
x x x x
x x x x
x x x
Penyelesaian
Langkah berikutnya adalah nyatakan setiap variabel dalam ketiga variabel yang lain,sehingga didapatkan:
2 31
1 3 42
1 2 43
2 34
2 6
103 25
112 11
103 15
8
x xx
x x xx
x x xx
x xx
Iterasi 1: masukkan nilai awal ke dalam persamaan diatas, sehingga didapatkan,
1
2
3
4
60,6
1025
2,272711
111,1
1015
1,8758
x
x
x
x
Penyelesaian
Hampiran penyelesaian
Iterasi x1 x2 x3 x4 1 0.6000000000 2.2727272727 -1.1000000000 1.8750000000 2 1.0472727273 1.7159090909 -0.8052272727 0.8852272727 3 0.9326363636 2.0533057851 -1.0493409091 1.1308806818 4 1.0151987603 1.9536957645 -0.9681086260 0.9738427169 5 0.9889913017 2.0114147258 -1.0102859039 1.0213505101 6 1.0031986534 1.9922412607 -0.9945217367 0.9944337398 7 0.9981284734 2.0023068816 -1.0019722306 1.0035943102 8 1.0006251343 1.9986703011 -0.9990355755 0.9988883906 9 0.9996741452 2.0004476715 -1.0003691577 1.0006191901
Setelah iterasi ke-9 diperoleh hampiran penyelesaian: X=(0.9996741452 2.0004476715 -1.0003691577 1.0006191901)
METODE GAUSS-SEIDEL
pada metode iterasi Gauss-Seidel, nilai yang paling akhir dihitung digunakan dalam semua perhitungan.
Contoh
Selesaikan SPL berikut dengan menggunakan iterasi Gauss-seidel dengan hampiran awal (0,0,0,0).
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
10 2 6
11 3 25
2 10 11
3 8 15
x x x
x x x x
x x x x
x x x
Penyelesaian
Langkah berikutnya adalah nyatakan setiap variabel dalam ketiga variabel yang lain,sehingga didapatkan:
2 31
1 3 42
1 2 43
2 34
2 6
103 25
112 11
103 15
8
x xx
x x xx
x x xx
x xx
Iterasi 1: masukkan nilai awal ke dalam persamaan diatas, sehingga didapatkan,
Penyelesaian
1
2
3
4
60,6
100,6 0 0 25
2,327211
2.0,6 2,3272 0 110,9873
103.2,3272 0,9873 15
0,87898
x
x
x
x
Penyelesaian
Jadi, pada iterasi yang sama. hasil perhitungan x1 digunakan untuk menghitung x2, dst.
Iterasi x1 x2 x3 x41 0.6000000000 2.3272727273 -0.9872727273 0.87886363642 1.0301818182 2.0369380165 -1.0144561983 0.98434121903 1.0065850413 2.0035550169 -1.0025273847 0.99835094564 1.0008609786 2.0002982507 -1.0003072761 0.9998497465
Setelah iterasi ke-4 diperoleh hampiran penyelesaian:X=(1.0008609786 2.0002982507 -1.0003072761 0.9998497465)
Latihan I
Selsaikan SPL berikut dengan metode Jacobi dan Gauss Seidel
7 3 26
5 14
2 5 9
x y z
x y z
x y z
Syarat Kedua metode konvergen
Metode Jacobi dan Gauss-Seidel akan konvergen jika matriks Koefisien bersifat “Dominan secara diagonal”
1
, , ,1 1
, 1, 2,3,...i n
i i i j i jj j i
a a a i n
Contoh
Apakah matriks berikut bersifat Dominan secara diagonal.
1 2 3
2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
2 10 11
3 8 11
10 2 6
11 3 25
x x x
x x x
x x x
x x x x
LATIHAN II
Gunakan metode Jacobi dan Gauss-Seidel untuk menyelesaikan SPL berikut:
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3
2 3 4
10 2 6
11 3 25
2 10 11
3 8 11
x x x
x x x x
x x x
x x x
Algoritma Metode Jacobi: Input : A, B, Hampiran awal Yo, Toleransi
T, dan iterasi maks. Output : X Langkah-langkah1. iterasi=12. While k <= imax do
For i=1,2,3,...n, hitung
galat =
Jika galat<= T, maka selesai Iterasi=iterasi+1 For i=1,2,3,...n, yi=xi
3. Stop
i ij jj ii
ii
b a yx
a
max i i
i
x y
x
max i i
i
x y
x
Algoritma Metode Gauss-Seidel :Input: A, B, Hampiran awal Y, Toleransi T, dan iterasi
maks N.Output : X
Langkah-langkah1.iterasi=1
2.While k <= imax doa.For i=1,2,3,...n, hitung
b. galat =
c. Jika galat<= T, maka selesaid. Iterasi=iterasi+1
e. For i=1,2,3,...n, yi=xiStop
ii
i
j
n
ij jijjiji
i a
yaxabx
1
1 1
Recommended