SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)

SOLUSI SPL DENGAN HITUNGAN ITERATIF

Proses penyelesaian dimulai dengan suatu hampiran awal terhadap

penyelesaian, X0, kemudian membentuk suatu barisan yang konvergen ke X.

Keunggulan Metode Iteratif

Teknik iteratif jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL yang berukuran kecil. karena metode perhitungn langsung lebih

efisien dari pada metode iteratif. Akan tetapi untuk SPL yang berukuran besar

metode iteratif lebih efisien dari pada metode perhitungan langsung dalam hal

waktu komputasi.

Metode Iteratif

Metode iteratif Antara lain:Metode JacobiMetode Gauss-Seidel

Metode Jacobi

Prinsip dari metode ini adalah menyatakan setiap variable ke dalam semua variable sisanya

Contoh

Selesaikan SPL berikut dengan menggunakan iterasi Jacobi dengan hampiran awal (0,0,0,0).

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

10 2 6

11 3 25

2 10 11

3 8 15

x x x

x x x x

x x x x

x x x

Penyelesaian

Langkah berikutnya adalah nyatakan setiap variabel dalam ketiga variabel yang lain,sehingga didapatkan:

2 31

1 3 42

1 2 43

2 34

2 6

103 25

112 11

103 15

8

x xx

x x xx

x x xx

x xx

Iterasi 1: masukkan nilai awal ke dalam persamaan diatas, sehingga didapatkan,

1

2

3

4

60,6

1025

2,272711

111,1

1015

1,8758

x

x

x

x

Penyelesaian

Hampiran penyelesaian

Iterasi x1 x2 x3 x4 1 0.6000000000 2.2727272727 -1.1000000000 1.8750000000 2 1.0472727273 1.7159090909 -0.8052272727 0.8852272727 3 0.9326363636 2.0533057851 -1.0493409091 1.1308806818 4 1.0151987603 1.9536957645 -0.9681086260 0.9738427169 5 0.9889913017 2.0114147258 -1.0102859039 1.0213505101 6 1.0031986534 1.9922412607 -0.9945217367 0.9944337398 7 0.9981284734 2.0023068816 -1.0019722306 1.0035943102 8 1.0006251343 1.9986703011 -0.9990355755 0.9988883906 9 0.9996741452 2.0004476715 -1.0003691577 1.0006191901

Setelah iterasi ke-9 diperoleh hampiran penyelesaian: X=(0.9996741452 2.0004476715 -1.0003691577 1.0006191901)

METODE GAUSS-SEIDEL

pada metode iterasi Gauss-Seidel, nilai yang paling akhir dihitung digunakan dalam semua perhitungan.

Contoh

Selesaikan SPL berikut dengan menggunakan iterasi Gauss-seidel dengan hampiran awal (0,0,0,0).

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

10 2 6

11 3 25

2 10 11

3 8 15

x x x

x x x x

x x x x

x x x

Penyelesaian

Langkah berikutnya adalah nyatakan setiap variabel dalam ketiga variabel yang lain,sehingga didapatkan:

2 31

1 3 42

1 2 43

2 34

2 6

103 25

112 11

103 15

8

x xx

x x xx

x x xx

x xx

Iterasi 1: masukkan nilai awal ke dalam persamaan diatas, sehingga didapatkan,

Penyelesaian

1

2

3

4

60,6

100,6 0 0 25

2,327211

2.0,6 2,3272 0 110,9873

103.2,3272 0,9873 15

0,87898

x

x

x

x

Penyelesaian

Jadi, pada iterasi yang sama. hasil perhitungan x1 digunakan untuk menghitung x2, dst.

Iterasi x1 x2 x3 x41 0.6000000000 2.3272727273 -0.9872727273 0.87886363642 1.0301818182 2.0369380165 -1.0144561983 0.98434121903 1.0065850413 2.0035550169 -1.0025273847 0.99835094564 1.0008609786 2.0002982507 -1.0003072761 0.9998497465

Setelah iterasi ke-4 diperoleh hampiran penyelesaian:X=(1.0008609786 2.0002982507 -1.0003072761 0.9998497465)

Latihan I

Selsaikan SPL berikut dengan metode Jacobi dan Gauss Seidel

7 3 26

5 14

2 5 9

x y z

x y z

x y z

Syarat Kedua metode konvergen

Metode Jacobi dan Gauss-Seidel akan konvergen jika matriks Koefisien bersifat “Dominan secara diagonal”

1

, , ,1 1

, 1, 2,3,...i n

i i i j i jj j i

a a a i n

Contoh

Apakah matriks berikut bersifat Dominan secara diagonal.

1 2 3

2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

2 10 11

3 8 11

10 2 6

11 3 25

x x x

x x x

x x x

x x x x

LATIHAN II

Gunakan metode Jacobi dan Gauss-Seidel untuk menyelesaikan SPL berikut:

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3

2 3 4

10 2 6

11 3 25

2 10 11

3 8 11

x x x

x x x x

x x x

x x x

Algoritma Metode Jacobi: Input : A, B, Hampiran awal Yo, Toleransi

T, dan iterasi maks. Output : X Langkah-langkah1. iterasi=12. While k <= imax do

For i=1,2,3,...n, hitung

galat =

Jika galat<= T, maka selesai Iterasi=iterasi+1 For i=1,2,3,...n, yi=xi

3. Stop

i ij jj ii

ii

b a yx

a

max i i

i

x y

x

max i i

i

x y

x

Algoritma Metode Gauss-Seidel :Input: A, B, Hampiran awal Y, Toleransi T, dan iterasi

maks N.Output : X

Langkah-langkah1.iterasi=1

2.While k <= imax doa.For i=1,2,3,...n, hitung

b. galat =

c. Jika galat<= T, maka selesaid. Iterasi=iterasi+1

e. For i=1,2,3,...n, yi=xiStop

ii

i

j

n

ij jijjiji

i a

yaxabx

1

1 1