MECHANICS OF MATERIALS - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/ce/oldce/mechmat50/mech9.pdf · mechanics of...

MECHANICS OF MATERIALSBy

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

การวบตของคานคอนกรตในรปไมไดเกดจากโมเมนตดดและแรงเฉอนโดยตรง แตเปนผลจากผลรวมของหนวยแรงเนองจากโมเมนตดดและแรงเฉอนกระทารวมกน

บทท 9Stress Transformation

วตถประสงค

2. เพอใหทราบและเขาใจถงลกษณะการวบตของชนสวนโครงสรางเนองจากหนวยแรงหลกและหนวยแรงเฉอนในระนาบสงสด

1. เพอใหทราบและเขาใจถงการแปลงหนวยแรง (stress transformation) ในระนาบทจดใดๆ บนชนสวนของโครงสราง เพอหาหนวยแรงหลก (principal stresses) และหนวยแรงเฉอนในระนาบสงสด (max. in-plane shear stress) ทเกดขนทจดดงกลาวโดยการใชสมการแปลงหนวยแรงและใชวงกลมมอร (Mohr’scircle)

9.1 Plane-Stress Transformationสภาวะของหนวยแรงทจดหนงบนโครงสรางมกเปนสภาวะของหนวยแรงในระนาบ (plane stress) ซงลดรปจาก 3 มตเหลอ 2 มตได

เมอหนวยแรง σz, τxz, และ τyz มคาเทากบศนย

ทศทางของหนวยแรงทเปนบวก การหมน stress element ทวนเขมฯ เปนบวก ซงหนวยแรงเปลยนคาไปตามคามมทหมน

9.2 General Equations of Plane-Stress TransformationSign Convention

คาหนวยแรงบน stress element ในระบบแกน x-y เปนคาททราบ

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

สมการ plane-stress transformation

sin 2 cos 22

x yx y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

cos 2 sin 22 2

x y x yy xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= − −

เมอ θ = 0o แลวx xσ σ′ =

y yσ σ′ =

x y xyτ τ′ ′ =

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

sin 2 cos 22

x yx y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

cos 2 sin 22 2

x y x yy xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= − −

0.2y xσ σ= 0.8xy xτ σ=x xσ σ=

การแปรผนของคาหนวยแรงตางๆ ตามคามม θ เมอ

ตวอยางท 9-2จงหาสภาวะหนวยแรงทกระทาอยบน stress element ทหมนตามเขมนาฬกาเปนมม 30o

80 MPaxσ = −

จาก sign convention: ใชหนาตดทางขวามอของ stress element เปนหลก

50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = −

30oθ = −

จากสมการ plane-stress transformation

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

80 502xσ ′

− +=

sin 2 cos 22

x yx y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

80 50sin 2( 30 )2

ox yτ ′ ′

− −= − −

80 MPaxσ = − 50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = − 30oθ = −

80 50 cos 2( 30 )2

o− −+ − ( 25)sin 2( 30 )o+ − − 25.8 MPa= −

( 25)cos 2( 30 )o+ − − 68.8 MPa= −

cos 2 sin 22 2

x y x yy xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= − −

80 502yσ ′

− +=

เครองหมายลบ = หนวยแรงทเกดขนมทศตรงกนขามกบ sign convention ทใช

25.8 MPaxσ ′ = − 68.8 MPax yτ ′ ′ = −

80 50 cos 2( 30 )2

o− −− − ( 25)sin 2( 30 )o− − − 4.15 MPa= −

9.3 Principal Stresses and Maximum In-Plane Shear StressesIn-plane Principal Stresses - หนวยแรงตงฉากทมคาสงสดและนอยสด

ทเกดขนบน stress element ทถกกระทาโดยสภาวะของหนวยแรงสภาวะหนง (กอใหเกดการวบต) โดยเกดขนเมอ stress element หมนไปเปนมม

(2sin 2 ) 2 cos 2 02

x yxxy

ddx

σ σσ θ τ θ′ −= − + =

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

มม θp1 และมม θp2 ทหาไดเรยกวา principal angles ซงมคาตางกน 90o

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

(cos 2 ) 2sin 2dd

θ θθ

= −

(sin 2 ) 2cos 2dd

θ θθ

=

เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θp1 (หรอของมม 2θp2)ลงในสมการ

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

sin 2 cos 22

x yx y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

0x yτ ′ ′ =

ไมมหนวยแรงเฉอนเกดขนบน principal planes ทหมนไปเปนมม principal angles

22

sin 2

2

xyp

x yxy

τθ

σ στ

=−⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

22

2cos 2

2

x y

p

x yxy

σ σ

θσ σ

τ

−

=−⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

180o

เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θp1 (หรอของมม 2θp2) ลงในสมการ

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

22

21 22 xy

yxyx τσσσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

22

sin 2

2

xyp

x yxy

τθ

σ στ

=−⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

22

2cos 2

2

x y

p

x yxy

σ σ

θσ σ

τ

−

=−⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

Maximum In-plane Shear Stress

(2)cos 2 (2)sin 2 02

x y x yxy

ddτ σ σ

θ τ θθ′ ′ −= − − =

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ 45o ตามลาดบ

sin 2 cos 22

x yx y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

(cos 2 ) 2sin 2dd

θ θθ

= −

(sin 2 ) 2cos 2dd

θ θθ

=

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

12 tan ( 2 /1) 63.43osθ−= − = −

12 tan (1/ 2) 26.56opθ−= =

(2, 1)(-2, 1)

180o

เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θs1 (หรอของมม 2θs2) ลงในสมการsin 2 cos 2

2x y

x y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

22

plane-inmax 2 xy

yx τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θs1 (หรอของมม 2θs2) ลงในสมการ

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

2yx

avg

σσσ

+=

221

plane-inmax

σστ −=

เมอนา principal stress σ1 –σ2 จะได

22

1 2

22

2 2

2 2

x y x yxy

x y x yxy

σ σ σ σσ σ τ

σ σ σ στ

⎡ ⎤+ −⎛ ⎞⎢ ⎥− = + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤+ −⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

1 2 maxin-plane

2σ σ τ− =

สรป: In-plane Principal Stresses2

2

21 22 xy

yxyx τσσσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

เกดขนท principal angles มม θp1 และมม θp2 ซงจะมคาแตกตางกน 90o

โดยไมมหนวยแรงเฉอนเกดขน

Maximum In-plane Shear Stress

22

plane-inmax 2 xy

yx τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

221

plane-inmax

σστ −=

หรอ

โดยมหนวยแรงตงฉากเกดขนรวมดวย

2yx

avg

σσσ

+=

ตวอยางท 9-3จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses และ max. in-plane shear stress ของ stress element

80 MPaxσ = −

1. อานคาหนวยแรงจาก stress element

50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = −

จาก sign convention : ใชหนาตดทางขวามอของ stress element เปนหลก

22

12 2 2

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2280 50 80 50 ( 25)

2 2− + − −⎛ ⎞= ± + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

15 69.64 MPa= − ±

2. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

54.64, 84.64 MPa= −

80 MPaxσ = −

50 MPayσ = +

25 MPaxyτ = −2.1 หาคาหนวยแรง principal stresses2.2 มมทเกดหนวยแรง principal stresses

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

2 21.04opθ =

2 10.52opθ =

25( 80 50) / 2

−=

− −

ตรวจสอบ principal angles ทไดวาเปน θp1 หรอ θp2 ???

ดงนน principal stress σ2 เกดขนทมม

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

80 50 80 50 cos21.04 ( 25)sin 21.042 2

o oxσ ′

− + − −= + + −

284.64 MPaxσ σ′ = − =

2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =

เครองหมาย + = มทศทางหมนทวนเขมนาฬกาจากแกน x ไปยงแกน x'

12 21.04 180 201.04o o opθ = + =

และ principal stress σ1 เกดขนทมม

1 100.52opθ =

12 21.04 180 158.96o o opθ = − = −

1 79.48opθ = −

หรอ

2 10.52opθ =

2 10.52opθ =

1 79.48opθ = −

2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =

Note: มม θp1 และมม θp2 มคาแตกตางกน 90o

2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =

2 10.52opθ =

2 10.52opθ =

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

1 79.48opθ =

1 79.48opθ = −

2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =

2 10.52opθ =

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

1 79.48opθ =

2 10.52opθ =

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

1 79.48opθ =

2 10.52opθ =

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

1 79.48opθ =

Note: ไมวาจะหมน stress element โดยใชมม θp1 หรอมม θp2 พบวา สภาวะของ principal stresses ทเกดขนจะเหมอนกน

3. หาสภาวะของหนวยแรง maximum in-plane shear stress

( 80 50) / 2tan 225sθ

− − −=

−

2 68.96osθ = −

34.48osθ = −

55.52osθ =

2 68.95 180 111.04o o osθ = − + =และ

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ 45o ตามลาดบ

2 10.52opθ =1 79.48opθ = −

3.1 มมทเกดหนวยแรง maximum in-plane shear stresses

80 MPaxσ = − 50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = −

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

max80 50sin ( 68.96 ) ( 25)cos ( 68.96 )

2 69.64 MPa

o o

in planeτ

−

− −= − − + − −

= −

max80 50sin 111.04 ( 25)cos 111.04

2 69.64 MPa

o o

in planeτ

−

− −= − + −

= +

2 68.96osθ = − 2 111.04osθ =sin 2 cos 22

x yx y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

3.2 หาคาหนวยแรง maximum in-plane shear stresses และหนวยแรงตงฉากทเกดขนรวมกน

2x y

avg

σ σσ

+=

80 50 15.0 MPa2avgσ − +

= = −

หนวยแรงตงฉากทเกดขนบนระนาบทเกดหนวยแรงเฉอนสงสด

maxin-plane

69.64 MPaτ = +15.0 MPaavgσ = −

1 55.52osθ =2 111.04osθ = max

80 50sin 111.04 ( 25)cos 111.042

69.64 MPa

o o

in planeτ

−

− −= − + −

= +

maxin-plane

69.64 MPaτ = −

15.0 MPaavgσ = −2 34.48osθ = −2 68.96osθ = − max

80 50sin ( 68.96 ) ( 25)cos ( 68.96 )2

69.64 MPa

o o

in planeτ

−

− −= − − + − −

= −

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o

Note: ไมวาจะหมน stress element โดยใชมม θs1 หรอมม θs2 พบวา สภาวะของ max. in-plane shear stresses ทเกดขนจะเหมอนกน

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ45o ตามลาดบ

2 10.52opθ =

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

1 79.48opθ =

Exampleจงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses และ max. in-plane shear stress ของ stress element

จาก sign convention20 MPaxσ = − 90 MPayσ = 60 MPaxyτ =

1. อานคาหนวยแรงจาก stress element

22

12 2 2

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2220 90 20 90 60

2 2− + − −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

35.0 81.4 MPa= ±

2 46.4 MPaσ = −

1 116.4 MPaσ =

2. หาสภาวะของหนวยแรง principal stresses2.1 หาคาของหนวยแรง principal stresses

ตรวจสอบ principal angles ทไดวาเปน θp1 หรอ θp2 ???

ดงนน principal stress σ2 เกดขนทมม θp2 = -23.75o และ principal stress σ1 เกดขนทมม

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−60

( 20 90) / 2=

− −

2 47.49opθ = −

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

20 90) 20 90 cos( 47.79 ) 60sin( 47.49 )2 2

o oxσ ′

− + − −= + − + −

246.4 MPaxσ σ′ = − =

1 23.75 90 66.25 ,113.75o o o opθ = − ± =

2 46.4 MPaσ = −1 116.4 MPaσ =

2.2 มมทเกดหนวยแรง principal stresses 2 46.4 MPaσ = −1 116.4 MPaσ =

2 23.75opθ = −

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

( 20 90) / 260

− − −=

2 42.51osθ =

21.26osθ =

21.26 90 111.26 , 68.74o o o osθ = ± = −

และ

3. หาสภาวะของหนวยแรง maximum in-plane shear stress3.1 มมทเกดหนวยแรง maximum in-plane shear stresses

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

max20 90sin 42.51 60cos 42.51

2 81.4 MPa

o o

in planeτ

−

− −= − +

= +

หา maximum in-plane shear stress ทมม θs = 21.26o

20 90 35.0 MPa2 2

x yavg

σ σσ

+ − += = =

sin 2 cos 22

x yx y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

2 42.51osθ =

หนวยแรงตงฉากทเกดขนบนระนาบทเกดหนวยแรงเฉอนสงสด

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ45o ตามลาดบ

สรป: In-plane Principal Stresses2

2

21 22 xy

yxyx τσσσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

เกดขนท principal angles θp1 และ θp2 ซงมคาแตกตางกน 90o

โดยไมมหนวยแรงเฉอนเกดขน

pθ

จาก sign convention:

ตรวจสอบ principal angles ทไดวาเปน θp1 หรอ θp2 ???

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

Maximum In-plane Shear Stress

22

plane-inmax 2 xy

yx τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

221

plane-inmax

σστ −=หรอ

โดยมหนวยแรงตงฉากเกดขนรวมดวย2

yxavg

σσσ

+=

sθ

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

หา maximum in-plane shear stress ทมม θs sin 2 cos 2

2x y

x y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ45o ตามลาดบ

pθ

sθ

9.4 Mohr’s Circle-Plane Stress

θτθσσσσ

σ 2 sin2 cos22 xy

yxyxx +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−′

ทาการเขยนสมการ plane-stress transformation ใหมในรป

θτθσσ

τ 2 cos2 sin2 xy

yxyx +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=′′

ทาการกาจดตวแปร θ โดยยกกาลงสองสมการทงสอง แลวนามาบวกกน

22

22

22 xyyx

yxyx

x τσσ

τσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− ′′′

[ ] 222 Ryxavgx =+− ′′′ τσσ

ซงอยในรปสมการวงกลมทเรยกวา Mohr’s circle

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

sin 2 cos 22

x yx y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − + Mohr’s circle: C[σavg, 0] และรศม R

22

2x y

xy

σ στ

−⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

σ

τ

2x yσ σ+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

xσ

xyτ

xyτ−

yσ

2x yσ σ−

2θp12θs1

(σ1, 0)(σ2, 0)

(σavg, τmax)

(σavg, -τmax) 22

21 22 xy

yxyx τσσσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

22

plane-inmax 2 xy

yx τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

Stress Components บนระนาบใดๆ ททามม θ กบระนาบ x-yC[σavg, 0] และรศม R

22

2x y

xy

σ στ

−⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

step 1: (σavg,0)

step 2: (σx, τxy)

step 3: วาดวงกลมstep 4: ทวนเขมฯ 2θ

R (σx’, τx’y’)

Example

จาก sign convention

จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)

รศมของ Mohr’s circle

จงหาสภาวะหนวยแรงทเกดขนบน stress element เมอ element หมนทวนเขมฯ เปนมม 30o

1. อานคาหนวยแรงจาก stress element

2. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circle

22

2 xyyxR τ

σσ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

3. หาสภาวะหนวยแรงท element หมนทวนเขมฯ 30o

MPa 6 MPa 8 −=−= xyx τσMPa 66.11 MPa )0 ,2( =RC

step 1: (2,0)

step 2: (-8,-6)

step 4: ทวนเขมฯ 2(30o)

step 3: วาดวงกลม

step 5: คานวณหาพกดใหม

(-8.20,5.66)

y’

(-8.20,5.66)

(-8,-6)

30o

MPa 20.8−=′xσ

MPa 20.12=′yσ

MPa 66.5=′′yxτ

Principal StressesRavg +=σσ1

Ravg −=σσ 2

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

2x yσ σ−

(σx, τxy)

(σ1, 0)(σ2, 0)

Maximum In-Plane Shear Stressmaxin plane

Rτ−

=

maxin plane

Rτ−

= −

2x yσ σ−

( ) / 2tan 2 x y

sxy

σ σθ

τ−

= (σx, τxy)(τmax, σavg.)

(-τmax, σavg.)

ตวอยางท 9-4จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses และ max. in-plane shear stress ทเกดขนบน stress element ทจด A

20 MPaxσ = −

จาก sign convention90 MPayσ = + 60 MPaxyτ = +

1. อานคาหนวยแรงจาก stress element

2. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circle และเขยน Mohr’s circle

A A

จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)20 90 35 MPa

2 2x y

avg

σ σσ

+ − += = =

รศมของ Mohr’s circle2 2

2 220 90 60 81.4 MPa2 2

x yxyR

σ στ

−⎛ ⎞ − −⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

step 1: (35,0)

step 2: (-20,60)

step 3: วาดวงกลม

3. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses1 35 81.4 116.4 MPaσ = + =

2 35 81.4 46.4 MPaσ = − = −

12 180opθ φ= −

1132.5 66.3

2

oo

pθ = =

1 60180 tan55

o −= −

180 47.5 132.5o o o= − =

ทวนเขมฯ1 116.4 MPaσ =

2 46.4 MPaσ = −

1 66.3opθ =

1 66.3opθ =

4. หาสภาวะหนวยแรง max. in-plane shear stress

max 81.4 MPain planeτ

−=

35 MPaavgσ =

12 90osθ φ= −

142.5 21.3

2

oo

sθ = =

90 47.5 42.5o o o= − =

(-20,60)

ทวนเขมฯ

max 81.4 MPain planeτ

−=

35 MPaavgσ =

1 21.3osθ =

1 21.3osθ =

Example

จาก sign convention

จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)

รศมของ Mohr’s circle

จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses ทเกดขนบน stress element A

1. อานคาหนวยแรงจาก stress element

2. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circleA

3. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses

step 1: (-6,0)

จดศนยกลาง (-6, 0)รศม = 8.49

step 2: (-12, -6) step 3: วาดวงกลม

ทวนเขมฯ

4. หาสภาวะหนวยแรง max. in-plane shear stress

(-6, -8.49)

90-45 = 45oExample

1.1 เขยนแผนภาพ FBD และหา By

1.2 เขยนแผนภาพ FBD และหาแรงภายใน

จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses ทเกดขนบน stress element P ของคาน 6 467.4(10 )mI −=

1. หาสภาวะหนวยแรงบน stress element

1.3 หาหนวยแรงทจด P

1.4 Superposition และเขยน stress element

45.4 MPaxσ = − 0 MPayσ = 35.2 MPaxyτ = −

2. อานคาหนวยแรงจาก stress element

4. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses

จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)รศมของ Mohr’s circle 45.4 0 22.7 MPa

2avgσ − += = −

2245.4 0 ( 35.2) 41.9 MPa

2R − −⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

-22.7 MPa

3. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circle

ทวนเขมฯ

5. หาสภาวะหนวยแรง Maximum In-Plane Shear Stress

θs สาหรบ τmax = -41.9 MPa มคาเทากบเทาใด???

(90o-57.2o)/2 = 16.4o

ทศทาง??? ตามเขมฯ

max 41.9, 41.9 MPain planeτ

−= −

(-22.7, 41.9)

(-22.7, -41.9)

max 41.9 MPain planeτ

−= −

1 16.4osθ = −

22.7 MPaavgσ = −

(-22.7, -41.9)16.4o

16.4o

Example

1.1. เขยน FBD และหาแรงภายใน1.2. หาหนวยแรงทจด P

1.3. Superposition

จากรป ถาเพลาม dia. 40 mm จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses ทจด P บนผวของเพลา 1. หาสภาวะหนวยแรงบน stress element

2. อานคาหนวยแรงจาก stress element0 kPaxσ =

716.2 kPayσ = 198.9 kPaxyτ =

4. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses และทศทาง

จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)

รศมของ Mohr’s circle

12

198.92 tan358.1

o

pθ−=

29.0o=

2 14.5opθ =

3. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circle

step 1: (358.1,0)

step 2: (0, 198.9)

step 3: วาดวงกลม

ตามเขมฯ2 14.5opθ =

5. หาสภาวะหนวยแรง Maximum In-Plane Shear Stress

(358.1, 409.7)

max 409.7 kPain planeτ

−=

12 90 29.0 61.0o o osθ = − =

358.1 kPaavgσ =

1 30.5osθ = ทวนเขม

Example

จาก sign convention

จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)

รศมของ Mohr’s circle

จงหาสภาวะหนวยแรง max. in-plane shear stress ทเกดขนบน stress element

หา max. in-plane shear stress และทศทาง

ทวนเขมฯ

End of Chapter 9