Upload
dinhminh
View
312
Download
29
Embed Size (px)
Citation preview
MECHANICS OF MATERIALSBy
Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
การวบตของคานคอนกรตในรปไมไดเกดจากโมเมนตดดและแรงเฉอนโดยตรง แตเปนผลจากผลรวมของหนวยแรงเนองจากโมเมนตดดและแรงเฉอนกระทารวมกน
บทท 9Stress Transformation
วตถประสงค
2. เพอใหทราบและเขาใจถงลกษณะการวบตของชนสวนโครงสรางเนองจากหนวยแรงหลกและหนวยแรงเฉอนในระนาบสงสด
1. เพอใหทราบและเขาใจถงการแปลงหนวยแรง (stress transformation) ในระนาบทจดใดๆ บนชนสวนของโครงสราง เพอหาหนวยแรงหลก (principal stresses) และหนวยแรงเฉอนในระนาบสงสด (max. in-plane shear stress) ทเกดขนทจดดงกลาวโดยการใชสมการแปลงหนวยแรงและใชวงกลมมอร (Mohr’scircle)
9.1 Plane-Stress Transformationสภาวะของหนวยแรงทจดหนงบนโครงสรางมกเปนสภาวะของหนวยแรงในระนาบ (plane stress) ซงลดรปจาก 3 มตเหลอ 2 มตได
เมอหนวยแรง σz, τxz, และ τyz มคาเทากบศนย
ทศทางของหนวยแรงทเปนบวก การหมน stress element ทวนเขมฯ เปนบวก ซงหนวยแรงเปลยนคาไปตามคามมทหมน
9.2 General Equations of Plane-Stress TransformationSign Convention
คาหนวยแรงบน stress element ในระบบแกน x-y เปนคาททราบ
cos 2 sin 22 2
x y x yx xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= + +
สมการ plane-stress transformation
sin 2 cos 22
x yx y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − +
cos 2 sin 22 2
x y x yy xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= − −
เมอ θ = 0o แลวx xσ σ′ =
y yσ σ′ =
x y xyτ τ′ ′ =
cos 2 sin 22 2
x y x yx xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= + +
sin 2 cos 22
x yx y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − +
cos 2 sin 22 2
x y x yy xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= − −
0.2y xσ σ= 0.8xy xτ σ=x xσ σ=
การแปรผนของคาหนวยแรงตางๆ ตามคามม θ เมอ
ตวอยางท 9-2จงหาสภาวะหนวยแรงทกระทาอยบน stress element ทหมนตามเขมนาฬกาเปนมม 30o
80 MPaxσ = −
จาก sign convention: ใชหนาตดทางขวามอของ stress element เปนหลก
50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = −
30oθ = −
จากสมการ plane-stress transformation
cos 2 sin 22 2
x y x yx xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= + +
80 502xσ ′
− +=
sin 2 cos 22
x yx y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − +
80 50sin 2( 30 )2
ox yτ ′ ′
− −= − −
80 MPaxσ = − 50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = − 30oθ = −
80 50 cos 2( 30 )2
o− −+ − ( 25)sin 2( 30 )o+ − − 25.8 MPa= −
( 25)cos 2( 30 )o+ − − 68.8 MPa= −
cos 2 sin 22 2
x y x yy xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= − −
80 502yσ ′
− +=
เครองหมายลบ = หนวยแรงทเกดขนมทศตรงกนขามกบ sign convention ทใช
25.8 MPaxσ ′ = − 68.8 MPax yτ ′ ′ = −
80 50 cos 2( 30 )2
o− −− − ( 25)sin 2( 30 )o− − − 4.15 MPa= −
9.3 Principal Stresses and Maximum In-Plane Shear StressesIn-plane Principal Stresses - หนวยแรงตงฉากทมคาสงสดและนอยสด
ทเกดขนบน stress element ทถกกระทาโดยสภาวะของหนวยแรงสภาวะหนง (กอใหเกดการวบต) โดยเกดขนเมอ stress element หมนไปเปนมม
(2sin 2 ) 2 cos 2 02
x yxxy
ddx
σ σσ θ τ θ′ −= − + =
tan 2( ) / 2
xyp
x y
τθ
σ σ=
−
มม θp1 และมม θp2 ทหาไดเรยกวา principal angles ซงมคาตางกน 90o
cos 2 sin 22 2
x y x yx xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= + +
(cos 2 ) 2sin 2dd
θ θθ
= −
(sin 2 ) 2cos 2dd
θ θθ
=
เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θp1 (หรอของมม 2θp2)ลงในสมการ
tan 2( ) / 2
xyp
x y
τθ
σ σ=
−
sin 2 cos 22
x yx y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − +
0x yτ ′ ′ =
ไมมหนวยแรงเฉอนเกดขนบน principal planes ทหมนไปเปนมม principal angles
22
sin 2
2
xyp
x yxy
τθ
σ στ
=−⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
22
2cos 2
2
x y
p
x yxy
σ σ
θσ σ
τ
−
=−⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
180o
เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θp1 (หรอของมม 2θp2) ลงในสมการ
cos 2 sin 22 2
x y x yx xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= + +
22
21 22 xy
yxyx τσσσσ
σ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
+=
22
sin 2
2
xyp
x yxy
τθ
σ στ
=−⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
22
2cos 2
2
x y
p
x yxy
σ σ
θσ σ
τ
−
=−⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
Maximum In-plane Shear Stress
(2)cos 2 (2)sin 2 02
x y x yxy
ddτ σ σ
θ τ θθ′ ′ −= − − =
xy
yxs τ
σσθ
2/)(2 tan
−−=
Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ 45o ตามลาดบ
sin 2 cos 22
x yx y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − +
(cos 2 ) 2sin 2dd
θ θθ
= −
(sin 2 ) 2cos 2dd
θ θθ
=
tan 2( ) / 2
xyp
x y
τθ
σ σ=
−
12 tan ( 2 /1) 63.43osθ−= − = −
12 tan (1/ 2) 26.56opθ−= =
(2, 1)(-2, 1)
180o
เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θs1 (หรอของมม 2θs2) ลงในสมการsin 2 cos 2
2x y
x y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − +
22
plane-inmax 2 xy
yx τσσ
τ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θs1 (หรอของมม 2θs2) ลงในสมการ
cos 2 sin 22 2
x y x yx xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= + +
2yx
avg
σσσ
+=
221
plane-inmax
σστ −=
เมอนา principal stress σ1 –σ2 จะได
22
1 2
22
2 2
2 2
x y x yxy
x y x yxy
σ σ σ σσ σ τ
σ σ σ στ
⎡ ⎤+ −⎛ ⎞⎢ ⎥− = + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤+ −⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
1 2 maxin-plane
2σ σ τ− =
สรป: In-plane Principal Stresses2
2
21 22 xy
yxyx τσσσσ
σ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
+=
tan 2( ) / 2
xyp
x y
τθ
σ σ=
−
เกดขนท principal angles มม θp1 และมม θp2 ซงจะมคาแตกตางกน 90o
โดยไมมหนวยแรงเฉอนเกดขน
Maximum In-plane Shear Stress
22
plane-inmax 2 xy
yx τσσ
τ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
221
plane-inmax
σστ −=
หรอ
โดยมหนวยแรงตงฉากเกดขนรวมดวย
2yx
avg
σσσ
+=
ตวอยางท 9-3จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses และ max. in-plane shear stress ของ stress element
80 MPaxσ = −
1. อานคาหนวยแรงจาก stress element
50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = −
จาก sign convention : ใชหนาตดทางขวามอของ stress element เปนหลก
22
12 2 2
x y x yxy
σ σ σ σσ τ
+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2280 50 80 50 ( 25)
2 2− + − −⎛ ⎞= ± + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
15 69.64 MPa= − ±
2. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses
2 84.64 MPaσ = −
1 54.64 MPaσ =
54.64, 84.64 MPa= −
80 MPaxσ = −
50 MPayσ = +
25 MPaxyτ = −2.1 หาคาหนวยแรง principal stresses2.2 มมทเกดหนวยแรง principal stresses
tan 2( ) / 2
xyp
x y
τθ
σ σ=
−
2 21.04opθ =
2 10.52opθ =
25( 80 50) / 2
−=
− −
ตรวจสอบ principal angles ทไดวาเปน θp1 หรอ θp2 ???
ดงนน principal stress σ2 เกดขนทมม
cos 2 sin 22 2
x y x yx xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= + +
80 50 80 50 cos21.04 ( 25)sin 21.042 2
o oxσ ′
− + − −= + + −
284.64 MPaxσ σ′ = − =
2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =
เครองหมาย + = มทศทางหมนทวนเขมนาฬกาจากแกน x ไปยงแกน x'
12 21.04 180 201.04o o opθ = + =
และ principal stress σ1 เกดขนทมม
1 100.52opθ =
12 21.04 180 158.96o o opθ = − = −
1 79.48opθ = −
หรอ
2 10.52opθ =
2 10.52opθ =
1 79.48opθ = −
2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =
Note: มม θp1 และมม θp2 มคาแตกตางกน 90o
2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =
2 10.52opθ =
2 10.52opθ =
2 84.64 MPaσ = −
1 54.64 MPaσ =
1 79.48opθ =
1 79.48opθ = −
2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =
2 10.52opθ =
2 84.64 MPaσ = −
1 54.64 MPaσ =
1 79.48opθ =
2 10.52opθ =
2 84.64 MPaσ = −
1 54.64 MPaσ =
1 79.48opθ =
2 10.52opθ =
2 84.64 MPaσ = −
1 54.64 MPaσ =
1 79.48opθ =
Note: ไมวาจะหมน stress element โดยใชมม θp1 หรอมม θp2 พบวา สภาวะของ principal stresses ทเกดขนจะเหมอนกน
3. หาสภาวะของหนวยแรง maximum in-plane shear stress
( 80 50) / 2tan 225sθ
− − −=
−
2 68.96osθ = −
34.48osθ = −
55.52osθ =
2 68.95 180 111.04o o osθ = − + =และ
Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ 45o ตามลาดบ
2 10.52opθ =1 79.48opθ = −
3.1 มมทเกดหนวยแรง maximum in-plane shear stresses
80 MPaxσ = − 50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = −
xy
yxs τ
σσθ
2/)(2 tan
−−=
max80 50sin ( 68.96 ) ( 25)cos ( 68.96 )
2 69.64 MPa
o o
in planeτ
−
− −= − − + − −
= −
max80 50sin 111.04 ( 25)cos 111.04
2 69.64 MPa
o o
in planeτ
−
− −= − + −
= +
2 68.96osθ = − 2 111.04osθ =sin 2 cos 22
x yx y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − +
3.2 หาคาหนวยแรง maximum in-plane shear stresses และหนวยแรงตงฉากทเกดขนรวมกน
2x y
avg
σ σσ
+=
80 50 15.0 MPa2avgσ − +
= = −
หนวยแรงตงฉากทเกดขนบนระนาบทเกดหนวยแรงเฉอนสงสด
maxin-plane
69.64 MPaτ = +15.0 MPaavgσ = −
1 55.52osθ =2 111.04osθ = max
80 50sin 111.04 ( 25)cos 111.042
69.64 MPa
o o
in planeτ
−
− −= − + −
= +
maxin-plane
69.64 MPaτ = −
15.0 MPaavgσ = −2 34.48osθ = −2 68.96osθ = − max
80 50sin ( 68.96 ) ( 25)cos ( 68.96 )2
69.64 MPa
o o
in planeτ
−
− −= − − + − −
= −
Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o
Note: ไมวาจะหมน stress element โดยใชมม θs1 หรอมม θs2 พบวา สภาวะของ max. in-plane shear stresses ทเกดขนจะเหมอนกน
Note: มม θs1 และมม θs2 มคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ45o ตามลาดบ
2 10.52opθ =
2 84.64 MPaσ = −
1 54.64 MPaσ =
1 79.48opθ =
Exampleจงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses และ max. in-plane shear stress ของ stress element
จาก sign convention20 MPaxσ = − 90 MPayσ = 60 MPaxyτ =
1. อานคาหนวยแรงจาก stress element
22
12 2 2
x y x yxy
σ σ σ σσ τ
+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2220 90 20 90 60
2 2− + − −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟
⎝ ⎠
35.0 81.4 MPa= ±
2 46.4 MPaσ = −
1 116.4 MPaσ =
2. หาสภาวะของหนวยแรง principal stresses2.1 หาคาของหนวยแรง principal stresses
ตรวจสอบ principal angles ทไดวาเปน θp1 หรอ θp2 ???
ดงนน principal stress σ2 เกดขนทมม θp2 = -23.75o และ principal stress σ1 เกดขนทมม
tan 2( ) / 2
xyp
x y
τθ
σ σ=
−60
( 20 90) / 2=
− −
2 47.49opθ = −
cos 2 sin 22 2
x y x yx xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= + +
20 90) 20 90 cos( 47.79 ) 60sin( 47.49 )2 2
o oxσ ′
− + − −= + − + −
246.4 MPaxσ σ′ = − =
1 23.75 90 66.25 ,113.75o o o opθ = − ± =
2 46.4 MPaσ = −1 116.4 MPaσ =
2.2 มมทเกดหนวยแรง principal stresses 2 46.4 MPaσ = −1 116.4 MPaσ =
2 23.75opθ = −
xy
yxs τ
σσθ
2/)(2 tan
−−=
( 20 90) / 260
− − −=
2 42.51osθ =
21.26osθ =
21.26 90 111.26 , 68.74o o o osθ = ± = −
และ
3. หาสภาวะของหนวยแรง maximum in-plane shear stress3.1 มมทเกดหนวยแรง maximum in-plane shear stresses
xy
yxs τ
σσθ
2/)(2 tan
−−=
max20 90sin 42.51 60cos 42.51
2 81.4 MPa
o o
in planeτ
−
− −= − +
= +
หา maximum in-plane shear stress ทมม θs = 21.26o
20 90 35.0 MPa2 2
x yavg
σ σσ
+ − += = =
sin 2 cos 22
x yx y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − +
2 42.51osθ =
หนวยแรงตงฉากทเกดขนบนระนาบทเกดหนวยแรงเฉอนสงสด
Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ45o ตามลาดบ
สรป: In-plane Principal Stresses2
2
21 22 xy
yxyx τσσσσ
σ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
+=
tan 2( ) / 2
xyp
x y
τθ
σ σ=
−
เกดขนท principal angles θp1 และ θp2 ซงมคาแตกตางกน 90o
โดยไมมหนวยแรงเฉอนเกดขน
pθ
จาก sign convention:
ตรวจสอบ principal angles ทไดวาเปน θp1 หรอ θp2 ???
cos 2 sin 22 2
x y x yx xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= + +
Maximum In-plane Shear Stress
22
plane-inmax 2 xy
yx τσσ
τ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
221
plane-inmax
σστ −=หรอ
โดยมหนวยแรงตงฉากเกดขนรวมดวย2
yxavg
σσσ
+=
sθ
xy
yxs τ
σσθ
2/)(2 tan
−−=
หา maximum in-plane shear stress ทมม θs sin 2 cos 2
2x y
x y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − +
Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ45o ตามลาดบ
pθ
sθ
9.4 Mohr’s Circle-Plane Stress
θτθσσσσ
σ 2 sin2 cos22 xy
yxyxx +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−′
ทาการเขยนสมการ plane-stress transformation ใหมในรป
θτθσσ
τ 2 cos2 sin2 xy
yxyx +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=′′
ทาการกาจดตวแปร θ โดยยกกาลงสองสมการทงสอง แลวนามาบวกกน
22
22
22 xyyx
yxyx
x τσσ
τσσ
σ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− ′′′
[ ] 222 Ryxavgx =+− ′′′ τσσ
ซงอยในรปสมการวงกลมทเรยกวา Mohr’s circle
cos 2 sin 22 2
x y x yx xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −= + +
sin 2 cos 22
x yx y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − + Mohr’s circle: C[σavg, 0] และรศม R
22
2x y
xy
σ στ
−⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
σ
τ
2x yσ σ+⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
xσ
xyτ
xyτ−
yσ
2x yσ σ−
2θp12θs1
(σ1, 0)(σ2, 0)
(σavg, τmax)
(σavg, -τmax) 22
21 22 xy
yxyx τσσσσ
σ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
+=
tan 2( ) / 2
xyp
x y
τθ
σ σ=
−
22
plane-inmax 2 xy
yx τσσ
τ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
xy
yxs τ
σσθ
2/)(2 tan
−−=
Stress Components บนระนาบใดๆ ททามม θ กบระนาบ x-yC[σavg, 0] และรศม R
22
2x y
xy
σ στ
−⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
step 1: (σavg,0)
step 2: (σx, τxy)
step 3: วาดวงกลมstep 4: ทวนเขมฯ 2θ
R (σx’, τx’y’)
Example
จาก sign convention
จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)
รศมของ Mohr’s circle
จงหาสภาวะหนวยแรงทเกดขนบน stress element เมอ element หมนทวนเขมฯ เปนมม 30o
1. อานคาหนวยแรงจาก stress element
2. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circle
22
2 xyyxR τ
σσ+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
3. หาสภาวะหนวยแรงท element หมนทวนเขมฯ 30o
MPa 6 MPa 8 −=−= xyx τσMPa 66.11 MPa )0 ,2( =RC
step 1: (2,0)
step 2: (-8,-6)
step 4: ทวนเขมฯ 2(30o)
step 3: วาดวงกลม
step 5: คานวณหาพกดใหม
(-8.20,5.66)
y’
(-8.20,5.66)
(-8,-6)
30o
MPa 20.8−=′xσ
MPa 20.12=′yσ
MPa 66.5=′′yxτ
Principal StressesRavg +=σσ1
Ravg −=σσ 2
tan 2( ) / 2
xyp
x y
τθ
σ σ=
−
2x yσ σ−
(σx, τxy)
(σ1, 0)(σ2, 0)
Maximum In-Plane Shear Stressmaxin plane
Rτ−
=
maxin plane
Rτ−
= −
2x yσ σ−
( ) / 2tan 2 x y
sxy
σ σθ
τ−
= (σx, τxy)(τmax, σavg.)
(-τmax, σavg.)
ตวอยางท 9-4จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses และ max. in-plane shear stress ทเกดขนบน stress element ทจด A
20 MPaxσ = −
จาก sign convention90 MPayσ = + 60 MPaxyτ = +
1. อานคาหนวยแรงจาก stress element
2. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circle และเขยน Mohr’s circle
A A
จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)20 90 35 MPa
2 2x y
avg
σ σσ
+ − += = =
รศมของ Mohr’s circle2 2
2 220 90 60 81.4 MPa2 2
x yxyR
σ στ
−⎛ ⎞ − −⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
step 1: (35,0)
step 2: (-20,60)
step 3: วาดวงกลม
3. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses1 35 81.4 116.4 MPaσ = + =
2 35 81.4 46.4 MPaσ = − = −
12 180opθ φ= −
1132.5 66.3
2
oo
pθ = =
1 60180 tan55
o −= −
180 47.5 132.5o o o= − =
ทวนเขมฯ1 116.4 MPaσ =
2 46.4 MPaσ = −
1 66.3opθ =
1 66.3opθ =
4. หาสภาวะหนวยแรง max. in-plane shear stress
max 81.4 MPain planeτ
−=
35 MPaavgσ =
12 90osθ φ= −
142.5 21.3
2
oo
sθ = =
90 47.5 42.5o o o= − =
(-20,60)
ทวนเขมฯ
max 81.4 MPain planeτ
−=
35 MPaavgσ =
1 21.3osθ =
1 21.3osθ =
Example
จาก sign convention
จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)
รศมของ Mohr’s circle
จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses ทเกดขนบน stress element A
1. อานคาหนวยแรงจาก stress element
2. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circleA
3. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses
step 1: (-6,0)
จดศนยกลาง (-6, 0)รศม = 8.49
step 2: (-12, -6) step 3: วาดวงกลม
ทวนเขมฯ
4. หาสภาวะหนวยแรง max. in-plane shear stress
(-6, -8.49)
90-45 = 45oExample
1.1 เขยนแผนภาพ FBD และหา By
1.2 เขยนแผนภาพ FBD และหาแรงภายใน
จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses ทเกดขนบน stress element P ของคาน 6 467.4(10 )mI −=
1. หาสภาวะหนวยแรงบน stress element
1.3 หาหนวยแรงทจด P
1.4 Superposition และเขยน stress element
45.4 MPaxσ = − 0 MPayσ = 35.2 MPaxyτ = −
2. อานคาหนวยแรงจาก stress element
4. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses
จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)รศมของ Mohr’s circle 45.4 0 22.7 MPa
2avgσ − += = −
2245.4 0 ( 35.2) 41.9 MPa
2R − −⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
-22.7 MPa
3. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circle
ทวนเขมฯ
5. หาสภาวะหนวยแรง Maximum In-Plane Shear Stress
θs สาหรบ τmax = -41.9 MPa มคาเทากบเทาใด???
(90o-57.2o)/2 = 16.4o
ทศทาง??? ตามเขมฯ
max 41.9, 41.9 MPain planeτ
−= −
(-22.7, 41.9)
(-22.7, -41.9)
max 41.9 MPain planeτ
−= −
1 16.4osθ = −
22.7 MPaavgσ = −
(-22.7, -41.9)16.4o
16.4o
Example
1.1. เขยน FBD และหาแรงภายใน1.2. หาหนวยแรงทจด P
1.3. Superposition
จากรป ถาเพลาม dia. 40 mm จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses ทจด P บนผวของเพลา 1. หาสภาวะหนวยแรงบน stress element
2. อานคาหนวยแรงจาก stress element0 kPaxσ =
716.2 kPayσ = 198.9 kPaxyτ =
4. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses และทศทาง
จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)
รศมของ Mohr’s circle
12
198.92 tan358.1
o
pθ−=
29.0o=
2 14.5opθ =
3. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circle
step 1: (358.1,0)
step 2: (0, 198.9)
step 3: วาดวงกลม
ตามเขมฯ2 14.5opθ =
5. หาสภาวะหนวยแรง Maximum In-Plane Shear Stress
(358.1, 409.7)
max 409.7 kPain planeτ
−=
12 90 29.0 61.0o o osθ = − =
358.1 kPaavgσ =
1 30.5osθ = ทวนเขม
Example
จาก sign convention
จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)
รศมของ Mohr’s circle
จงหาสภาวะหนวยแรง max. in-plane shear stress ทเกดขนบน stress element
หา max. in-plane shear stress และทศทาง
ทวนเขมฯ
End of Chapter 9