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Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento rectilíneo
equação do movimentopode ser obtida uma equação mais simples,
recorrendo à expressão da energia mecânica que se conserva
v
constante ruta
r
M
m
F
referencial do CM de M
rr ur
MGur
2
rr u
r
MGur
2
rr u
r
MGa
amF
ur
MmGF
22
rrr uru
dt
rd
dt
urd
dt
rda
2
2
2
2
2
2 )(
rutrtr
)()(
distância do CM de m ao CM de M
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento rectilíneo v
constante ruta
r
M
m
F
referencial do CM de M
r
MmGmvE 2
2
1
2)()(rurur
dt
urd
dt
urdvv rr
rr
r
MmGE
mr
2
r
MmGE
mr
2
vector constante
r
MmGrmE 2
2
1 equação do movimento
+ : movimento de afastamento, distância aumenta com o tempo- : movimento de aproximação, distância diminui com o tempo
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento rectilíneo v
constante ruta
t
t
r
rdt
rMm
GEm
dr
r
MmGE
mdt
dr
r
MmGE
mr
00
'
'2
'2
2
integral com solução analítica, embora complicada
expressão analítica para o vector posição: conhecida a posição de m t
constante
0
0
0
E
E
E m atinge distância máxima e reaproxima-se, não escapa ao campo gravítico
m atinge o com velocidade = 0, escapa ao campo gravítico
m atinge o com velocidade > 0, escapa ao campo gravítico
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento curvilíneo
r
M
m
F
referencial do CM de M
)()()( tutrtr r
r
MmGmvE 2
2
1
222222)()(
rrrruvru
vru
vru
vr
dt
urd
dt
urdvv r
r
r
r
rr
distância e direcção variam com o tempo
r
MmG
mr
LrmEmrL
r
MmGrrmE
2
222222
2
1
2
1
2
1
derivando em ordem ao tempo obtem-se (E e L são constantes)
r
r-GMm
dtr
MmGd
r
r
m
L
dt
rmL
d
rrmdt
rmd
dt
dE23
22
22
;
12
;2
1
;0
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtem-se a equação
r
M
m
F
referencial do CM de M r
GMrm
Lr 0
11232
2
r
GMrm
Lr 0
11232
2
equação do movimento que não tem solução analíticaé sempre possível resolução numérica-computacional
MAS é possivel obter uma equação para a trajectória com solução analítica trajectória plana : posição determinada apenas por 2 coordenadas : r e obtem-se expressão analítica para a função r ()
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r()
22
)(
mr
LmrL
d
dr
dt
d
d
drrr
222 mr
L
d
dr
mr
L
d
d
d
dr
mr
L
d
dr
d
dr
mr
Lr
2
2
2
42
2
52
2 112
d
rd
rm
L
d
dr
rm
Lr
defina-se a variávelr
1
2
2
2
2
32
2
2
22
2
2
2
1211
11
d
rd
rd
dr
rd
rd
rd
dr
drr
d
d
d
d
dr
rd
d
r
pelo que2
22
2
2
d
d
m
Lr
que inserindo na equação do movimento conduz a:
Material de apoio: interacção gravíticaEquação do Movimento
movimento curvilíneo: obtenção da função r()inserindo na equação do movimento
)(0 02
223
2
2
2
22
2
2
d
d GM
m
L
d
d
m
L
2
2
L
GMm
constante)()(
020
2
d
d)(
)(02
02
d
d
equação diferencial já conhecidaequação do oscilador harmónico com W=1
solução analítica muito simples
)cos()( 00 A )cos()( 00 A = 0 por ajuste do sistema de eixosa determinar em função das constantes do movimento E e L
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r()
cos1)(
r
d definindo
relembrando
00
11
d A
Ad
r1
cáculo de d=1/A e =A/0 em função de E e L
r
MmG
mr
LrmE
2
22
2
1
2
1
22
22
222
111111
d
dr
d
d
dt
d
d
d
dt
d
d
drr
222
0
2
sincos AAd
d
d
d
42
22
rm
L
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r()
assim
introduzindo na equação da energia conduz a
2
2
22
2
2
22 22
L
MmG
L
m
L
MmGE
L
mA
0
20
2
2
2
222
2
cos
cos2
1
2
1
sin2
1
2
1
AGMmr
MmG
Am
L
mr
L
Am
Lrm
dividindo por e relembrando que 20 2
022 A
22 2
1
GMm
L
m
E
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r()
assim
parâmetros da cónica expressos em função das quantidades do movimento E e L
2
222 2
1GMm
Ld
GMm
L
m
E
cos1)(
r
d
cos1)(
r
d
equação geral da cónica – excentricidaded - distância do foco F à directriz D
o que define uma cónica: a razão das distâncias de qualquer ponto P ao foco e à directriz é igual à excentricidade
cos
rd
r
F
D
d
Pcónica r
cos1
r
d
distância de P ao foco
distância de P à directriz
)cos( rdr
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r()
as 3 cónicas
< 1 – cónica é uma elipse: m não tem energia para escapar ao campo gravítico de M trajectória fechada
= 1 – cónica é uma parábola: m tem energia (mínima) para escapar ao campo gravítico de M trajectória aberta
> 1 – cónica é uma hipérbole: m tem energia para escapar ao campo gravítico de M trajectória aberta
foco da cónica encontra-se na origem do referencial origem do referencial é o CM de M, a massa que cria o
campo gravítico a que m está sujeita : centro da forçafoco da cónica está
no CM de M
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: parábola
= 1
cos1)(1
cos1)(
r
d
r
d
22
22cosyx
rxdrxdx
rrd
P
F
D
d
V
r
x
y
c 2
2
1
2y
d
dx 2
2
1
2y
d
dx
equação cartesiana de uma parábola com vértice V em (d/2,0)
2:0
dcrxdcrx no vértice V tem-se:
relaciona as distâncias do foco ao vértice e do foco à directriz
O foco é o centro da força
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: elipse < 1
x
rrdr
d
coscos1)(
2
2222
r
yxxd
a
cad
a
c
cacadcarV
cacadcarV
22
2
1
1
)(:
)(0:
P
F
D
d
1V
rc
x
y
Oa2V
b
1)(
2
22
2
2
2
b
ca
y
a
cx1
)(
2
22
2
2
2
b
ca
y
a
cxequação cartesiana de uma elipse com
centro O em (-c,0)
a - semieixo maiorb - semieixo menor
= 0 (a = b) : circunferênciaO foco é o centro da força
Material de apoio: interacção gravítica
Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: hipérbole > 1
x
rrdr
d
coscos1)(
2
2222
r
yxxd
a
acd
a
c
cacadcarV
acacdacrV
22
2
1
1
)(:
)(0:
1)(
2
22
2
2
2
b
ca
y
a
cx1
)(
2
22
2
2
2
b
ca
y
a
cxequação cartesiana de uma hipérbole
com centro O em (c,0)
P
F
D
d
1Vr
c
x
y
Oa2V
Nota: o ramo direito da hipérbole seria a trajectória se no foco estivesse o centro de uma força repulsivaO foco é o centro da força
Material de apoio: interacção gravítica
Leis de Kepler 1ª Lei : todos os planetas do sistema solar descrevem órbitas
elípticas com o sol num dos focos
planetas não escaparam ao campo gravítico do sol descrevem trajectórias fechadas com
elipses são as únicas soluções da equação do movimento com
P
F 1V
rc
Oa2V
b
Sol no foco: centro da força
V1- periélio: ponto de menor distância do planeta ao Sol, (a-c), menor Ep, maior velocidade
V2- afélio: ponto de maior distância do planeta ao Sol, (a+c), maior Ep, menor velocidade
Material de apoio: interacção gravítica
Leis de Kepler 2ª Lei : o vector , definido pelo sol e planeta, varre áreas iguais
em intervalos de tempo iguais
''' POPPOP dAdA
área varrida por em dt r
área do triângulo rectângulo: ângulo recto em P
mL
rdt
dr
dt
dArdrdA POP
POP 22'''' 2
1
2
1
2
1
constante2
1'' m
L
dt
dAPOPconstante
2
1'' m
L
dt
dAPOP
constante do movimento
taxa de varrimento é constante
r
rudrurdrd
Sol
P
'P''P
urd
d
O
porque d é infinitesimal
planeta
Material de apoio: interacção gravítica
Leis de Kepler 3ª Lei : o quadrado do período de revolução em torno do sol é
proporcional ao cubo do semieixo maior da elipse a
22
22
0
''
4
1
2
1
2
1
2
1T
m
LAT
m
Ldt
m
LA
m
L
dt
dA TPOP
área total varrida num período = área da elipse
a
b
a
cad
GMm
Ld
baA
222
2
2
32
2 )2(a
GMT
3
22 )2(
aGM
T
constante de proporcionalidade
Material de apoio: interacção gravítica
Leis de Kepler 3ª Lei numa órbita circular
2322
2
2
2)(
TrrrrvGM
r
vm
r
MmG
32
2 )2(r
GMT
3
22 )2(
rGM
T
sol
força gravítica é puramente normal
F
Material de apoio: interacção gravítica
22
222
2
2
2
2
)(1)(
yb
aacx
b
y
a
cx
parábola de vértice em (a-c,0)
acx
r cos0~
22
2
)(
2
)( yb
aacx
a
acx
222
)( yb
acax
P
F
r
cx
O
a
Superfície da Terra (planeta) movimento curvilíneo dum grave é parabólico elipse tem que se confundir com uma parábola na vizinhança do
eixo: 0~
F- foco: CM da Terraorigem do referencial
superfície da Terra
troço de elipse que se confude com uma
parábola
O- centro da elipse
Material de apoio: interacção gravítica
22
222
2
2
2
2
)(1)(
yb
aacx
b
y
a
cx
parábola de vértice em (c-a,0)
ax
rc cos0~
22
2
2
)()( yb
a
a
acxacx
222
)( yb
aacx
0~
P
F
r
c
xO
a
Superfície da Terra (planeta) movimento curvilíneo dum grave é parabólico hipérbole tem que se confundir com uma parábola na vizinhança
do eixo:
F- foco: CM da Terraorigem do referencial
superfície da Terra
troço de hipérbole que se confude
com uma parábola
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