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PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
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Introdução à trigonometria
Iniciaremos agora um novo assunto. A trigo-nometria tem diversas aplicações práticas e úteis. Nos auxiliará em resoluções de questões difíceis da Geometria e será uma ferramenta poderosa no estudo dos números complexos. O detalhe importante é que você perceberá rapidamente como esse assunto é tranquilo e vários pontos certos serão conquistados nos principais vestibulares do Brasil. Vamos lá.
Circunferência trigonométrica
Chamamos de circunferência trigonométrica uma circunferência de raio unitário orientada.
Na referida circunferência, fixamos um ponto (A) como origem dos arcos, convencionamos um sentido (o anti-horário) como sendo o positivo e o horário como sendo negativo.
Medida de arcos (ou ângulos) em radianos
A medida de um arco, em radianos, é a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunfe-rência.
- ângulo central
medida de = medida do arco AB
= comprimento do arco AB
Pela definição, temos:
= /R
O arco AB medirá 1 radiano (1 rad), se o seu •comprimento for igual ao raio da circunfe-rência.
O arco de uma volta, cuja medida em graus •é 360°, tem comprimento igual a 2 R. A sua medida em radianos será:
= lR
= 2 RR
= 2 rad
Portanto, 360° equivale a 2 • πrad
180° equivale a π rad
90° equivale a π/2 rad
... E assim por diante.
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Comprimento da circunferência (C)
C = 2πR R = raio
Arco trigonométrico
Chamamos de arco trigonométrico ao conjunto de todos os arcos com origem em A e extremidade em P.
Na figura exemplificada, é a medida de 1.a determinação positiva do arco AP.
Analogamente, chamamos de ângulo trigono-métrico AÔP ao conjunto de todos os ângulos de lado inicial OA e lado terminal OP.
Aos arcos (ou ângulos) que possuam a mesma origem e a mesma extremidade, denominamos arcos (ou ângulos) côngruos.
Exemplo: `
40°, -320°, 760°, 1120° são medidas de arcos (ou ân-gulos) côngruos.
Expressão geral de um arco (ou ângulo) trigonométrico
AP = + k . 360° (em graus)
ou
AP = + 2kπ (em radianos)
k Z, ou seja K {... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
Observe que quando k = 0 AP = (1.ª de-terminação positiva ou negativa).
Linhas trigonométricas de mesmo arco
OP = sen OS = cossec
OR = cos OT = sec
AT = tg BS = cotg
Como o raio do círculo trigonométrico vale 1, tomemos os seguintes triângulos semelhantes.
c
Logo observando os triângulos, chegamos às seguintes relações:
cateto opostohipotenusa
= sen
cateto adjacentehipotenusa
= cos
cateto opostocateto adjacente
= sen cos
= tg
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Analogamente
cotg = 1tg
sec = 1cos
cossec = 1sen
Trigonometria no triângulo retângulo
Os egípcios usavam muita trigonometria para fazer seus cálculos nas construções das pirâmides, e a maioria eram realizados em cima das razões tri-gonométricas no triângulo retângulo.
Funções trigonométricas de um ângulo agudo
Seja um triângulo ABC, reto em A. Os outros dois ângulos C e B, de medidas e , respectivamente, são agudos e complementares ( + = 90º).
a = medida da hipotenusa
b = medida do cateto oposto ao ângulo e ad-jacente ao ângulo .
c = medida do cateto oposto a e adjacente a .
Por definição, temos:
senoa)
sen = ca
= cateto opostohipotenusa
sen = ba
cossenob)
cos = ba
= cateto adjacentehipotenusa
cos = ca
tangentec)
tg = cb
= cateto opostocateto adjacente
tg = bc
cotangented)
cotg = bc
= cateto adjacentecateto oposto
cotg = cb
secantee)
sec = ab
= hipotenusacateto adjacente
sec = ac
cossecantef)
cossec = ac
= hipotenusacateto oposto
cossec = ab
Tabela de valores notáveis
x sen x cos x tg x
30º12
32
33
45º 22
22
1
60º 32
12 3
Funções trigonométricas de dois ângulos complementares
Quando dois ângulos são complementares, as funções trigonométricas de um deles é igual à co-função trigonométrica do outro.
Nas Funções Trigonométricas de um Ângulo Agudo, temos:
sen = cos sen = cos
tg = cotg tg = cotg
sec = cossec sec = cossec
Exemplo: `
sen 30º = cos 60º sen 60º = cos 30º
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Lei dos senosAs razões trigonométricas em triângulos retân-
gulos é um pouco restrita, porém ajuda a demonstrar a Lei dos senos e cossenos que serve para qualquer triângulo e é mais abrangente.
Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a razão de proporcionalidade é a medida do diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo.
Considere o triângulo ABC e a circunferência de centro O e raio R.
Temos, então:
A = BC2
e D = BC2
logo: A = D
BCD = BAD
2 =
180o
2 = 90o
Do triângulo DBC vem:
sen D = a2R
sen A = a2R
asen A
= 2R
analogamente, temos:
bsen B
= 2R csen C
= 2R
Daí, a Lei dos senos:
asen A
= bsen B
= csen C
= 2R
Lei dos cossenosEm todo triângulo, o quadrado da medida de
um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo interno formado por eles.
∆ACD
b2 = h2 + m2
cos A = m
b m = b . cos A
∆ACD a2 = h2 + (c – m)2
a2 = h2 + m2 + c2 – 2cm
b cos A
h
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c cos A
analogamente, podemos escrever:
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c cos Bc2 = a2 + b2 – 2 . b . a cos C
Reconhecimento da natureza de um triângulo
Conhecendo-se as medidas dos lados de um triângulo e chamando a maior delas de a e as outras duas de b e c, lembrando que:
|b – c| < a < b + c
Reconhecemos a natureza de um triângulo, com base nas equivalências abaixo:
a2 < b2 + c2 triângulo acutângulo
a2 = b2 + c2 triângulo retângulo
a2 > b2 + c2 triângulo obtusângulo
isso pode ser analisado pela lei dos cossenos.
Relações trigonométricasAs relações fundamentais são uma generaliza-
ção do que ocorre num triângulo retângulo para o círculo trigonométrico.
Seja o triângulo ABC e x um de seus ângulos agudos. Dividindo-se as medidas dos seus três lados pela medida da hipotenusa, obtemos:
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x x
xcos x = b a
sen x = c a
Observe que os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes e, por consequência, têm os ângulos correspondentes congruentes.
Relações fundamentais
sen2 x + cos2 x = 1a) (teorema de Pitágoras)
tg x=sen xcos xb) (definição da função tangente)
cot g x= cos xsen xc) (definição da função co-
tangente)
sec x= 1cos x
d) (definição da função secante)
cossec x= sen x1e) (definição da função
cossecante)
Relações auxiliaresDividindo os dois membros da relação a) sen2 + cos2 x = 1 por cos2 x, temos:
sen2 x = 1 + tg2 x
Dividindo os dois membros da relação b) sen2 x + cos2 x = 1 por sen2 x, temos:
cossec2 x = 1 + cotg2 x
Passe para radianos os ângulos:1.
120°a)
–60°b)
Solução: `
180° – 1 a) rad
120° – x
180x = 120 π rad
x = 23
rad
180° – 1 b) rad
-60° – y
180° y = –60 rad
y = 3
rad
– 3
rad = 53
rad
Um arco de circunferência mede 2. 53
rad, o seu compri-
mento é 2km. Qual o número inteiro mais próximo do raio, em metros?
157a)
284b)
382c)
628d)
764e)
Solução: ` C
= lR
53
= 2000R
5 . R = 6000
R = 60005
= 382,16 382
Maria e Pedro fizeram um arco com a mesma medida 3. do raio da circunferência que o envolve. Pegaram o trans-feridor e acharam um valor em graus aproximadamente igual a quanto?
Solução: `
O ângulo central vale 1 rad, logo:
1 rad = 180º 1 rad = 180 1 rad 57o19’
Calcular o valor de x na figura, sabendo que sen 4. a = 2/3.
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Solução: `
sen = x12
23
= x12
3x = 24
x = 8
Determinar x e y na figura:5.
Solução: `
AD = BD = 300 – y
cos 60º = y300 – y
12
= y300 – y
2y = 300 – y
3y 300 y = 100
tg 60o = xy
3 = x100
x = 100 3
Maria reparou num shopping que uma escada rolante 6. liga dois andares de uma loja e tem uma inclinação de 30º. Sabendo que a escada rolante tem 10m de com-primento, qual a altura entre os dois andares?
Solução: `
sen 30o = h10
12
= h10
2h = 10 h = 5m
Num triângulo ABC, 7. AB = 6 , ABC = 60o e ACB = 45o.
Calcule AC.
Solução: `
xsen 60o = 6
sen 45o
x 32
= 6 22
2 x = 18 x = 3
Calcule o perímetro do triângulo da figura.8.
Solução: `
x2 = 52 + 82 – 2 . 5 . 8 . cos 60º
x2 = 25 + 64 – 80 . 12
x2 = 29 ⇒ x = 29
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2P = 5 + 8 + 29
2P = 13 + 29
Um carro a 100km/h viaja durante 30 minutos e repara 9. que está num ponto diferente daquele que deveria estar. Olhou o mapa e reparou que o trajeto estava errado de 45ot em relação ao correto. Qual a distância que ele deve percorrer para sair de onde está até o ponto correto?
Solução: `
d1 = 100 . 12
d1 = 50km
x2 = 502 + 502 – 2 . 50 . 50 . cos 45º
x2 = 2 500 + 2 500 – 2 500 = 2 500 + 2 500 – 2 500 2
x2 = 2 500 (2 – 2 )
x 1 475
x 38,4m
Sendo x um ângulo agudo e sendo x = 3/5, obter tg x.10.
Solução: `
sen x x
x
x
x
x
2 2
22
2
2
1
35
1
1925
1625
45
+ =
+ =
= −
=
=
cos
cos
cos
cos
cos
ttg xsen x
x
tgx
=
=
cos3545
tg x =34
O valor da expressão 25 sen11. 2 x – 9 tg2 x, sabendo que
cossec x = 5
4 e que x é um ângulo agudo, é:
2a)
3b)
4c)
0d)
1e)
Solução: `
cos sec
cos
cos
cos
x
senx
sen x x
x
x
tgx
=
=
+ =
+ =
=
=
54
45
1
45
1
35
2 2
22
ssenxxcos
=
−
−
43
2545
43
251625
91625
1
2 2
66 16 0− =
Demonstre que (1 – cos12. 2 x)(cotg2 x + 1) = 1 para x ≠ k é uma identidade.
Solução: `
1 1 122
2
22 2
2
−( ) +
=
( ) +
coscos
cos
xx
sen x
sen xx sen x
sen x==1
cos2 x + sen2 x = 1
1 = 1
(Mackenzie) A menor determinação positiva de –49001. 0 é:
100a) o
140b) o
40c) o
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80d) o
n.d.a.e)
(UFPA) Qual a 1.ª determinação positiva de um arco 2. de 1000º?
270a) o
280b) o
290c) o
300d) o
310e) o
Convertendo 3303. o em rad, vamos obter:
56π
a)
116π
b)
116π
12c)
138πd)
76π
e)
Qual é o comprimento de um correspondente a um 4. ângulo central de 60o contido numa circunferência de raio r = 1,5cm?
π2
cma)
π3
cmb)
π c) cm
2d) πcmπ6
cme)
O menor arco não-negativo côngruo ao arco de 26505. o mede:
330a) o
230b) o
130c) o
30d) o
150e) o
O menor arco não-negativo côngruo do arco de1425º 6. mede:
315a) o
345b) o
45c) o
75d) o
15e) o
A extremidade de um arco de 9607. o está no:
4.a) o quadrante.
3.b) o quadrante.
2.c) o quadrante.
1.d) o quadrante.
n.d.a.e)
No ciclo da figura abaixo estão representadas as ex-8. tremidades dos dados, a partir de A, em radianos, pela expressão (com k Z)
− +π π4
ka)
− +π π4
2kb)
− +π π4
kc)
π π4
2+ kd)
− +π π3
ke)
Qual é a expressão geral, em radianos, dos arcos de 9. extremidades nos pontos M1 e M2? (considere k Z):
O
34
2π π+ ka)
34π π+ kb)
34 2π π+ k
c)
π π4
+ kd)
π π4
2+ ke)
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(ITA) Transformando 12º em radianos, obtemos:10.
π15
a) rad
15π
b) rad
π30
c) rad
215π
d) rad
12 rade)
Adotando 11. π = 3,14 exprimir (aproximadamente) 1 radiano em graus.
180ºa)
360ºb)
57,32ºc)
62,27ºd)
90ºe)
A, B, C, D, E e F são vértices de um hexágono regular 12. inscrito na circunferência de raio 5.
Então, a soma dos comprimentos de todos os arcos da figura é:
30a)
30b) π
15c)
15d) π
16e) π
Na figura abaixo, os três círculos têm mesmo raio de 13. 10cm.
Determine o comprimento da correia que envolve os três círculos.
Considere uma esfera de raio igual ao da Terra e amarre 14. um barbante apertado pelo Equador. Corte o barbante, acrescente 1 metro e una de novo as pontas. Natural-mente agora o barbante está frouxo. Imagine que todos os pontos do barbante fiquem ainda sobre o Equador, a uma distância da esfera, determine um valor aproximado para essa distância.
(UFMA)15.
Assinale o seno do ângulo C .
1517
a)
817
b)
1715
c)
178
d)
815
e)
(FCC) Na figura abaixo têm-se que ABCD é um retân-16. gulo, AD = 1 e AB = 3 .
A medida a, do ângulo assinalado, é:
75a) o
60b) o
45c) o
30d) o
15e) o
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(UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica:17.
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25cm e 52cm.
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:
10a) o
12b) o
13c) o
14d) o
(Unificado) Na figura abaixo, ABCD é um trapézio retân-18. gulo com AB AD= , BC – AB = 1cm e CD = 7cm.
Então:
sen a) a = 1/3
sen b) a = 3/5
cos c) a = 4/5
tg d) a = 3/4
tg e) a = 4/3
(FCC) Trafegando num trecho plano e reto de uma 19. estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60o, o marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50km. Quando o ângulo descrito passa a ser 90o, o marcador de quilometragem acusa 104,03km.
Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada?
(Se necessitar, use 2 141≅ , ; 3 173≅ , ; 6 2 45≅ , .)
463,4ma)
535,8mb)
755,4mc)
916,9md)
1 071,6me)
(Fuvest) Dados:20.
MP s⊥ ; MQ t⊥ ; MQ PQ⊥ MP = 6
Então, PQ é igual a:
3 3a)
3b)
6 3c)
4 3d)
2 3e)
(Vunesp) Uma escada apoiada em uma parede, num 21. ponto que dista 3m do solo, forma, com essa parede, um ângulo de 30o. A distância da parede ao “pé” da escada, em metros, é de:
3 3a)
2 3b)
3c)
32
d)
2e)
(Fuvest) Um móvel parte de A e segue numa direção 22. que forma com a reta AC um ângulo de 30o. Sabe-se que o móvel caminha com uma velocidade constante de 50km/h. Após 3 horas de percurso, a distância a que o móvel se encontra da reta AC é de:
75kma)
75 3kmb)
50 3kmc)
75 2kmd)
50kme) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
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(Vunesp) Do quadrilátero ABCD da figura, sabe-se que 23. os ângulos internos de vértices A e C são retos; CDBˆ e ADBˆ medem, respectivamente, 45o e 30o; o lado CD mede 2dm:
A
Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
6 3 ea)
2 3 eb)
6 2 ec)
6 2 ed) e 6 2 e
3 2 ee)
(UFF) O círculo da figura tem centro O e raio R.24.
Sabendo-se que MP equivale a 5R/12 e é tangente ao círculo no ponto P, o valor de sen a é:
1213a)
513Rb)
512R
c)
513
d)
512
e)
(Unificado) Um disco voador é avistado, numa região 25. plana a uma certa altitude, parado no ar. Em certo ins-tante, algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco voador?
Considere as afirmativas:
I. a distância d é conhecida:
II. a medida de α e a tgα são conhecidas.
Então, tem-se que:
a I sozinha é suficiente para responder à pergunta, a) mas a II, sozinha, não.
a II sozinha é suficiente para responder à pergunta, b) mas a I, sozinha, não.
I e II, juntas, são suficientes para responder à per-c) gunta, mas nenhuma delas, sozinha, o é.
ambas são, sozinhas, suficientes para responder à d) pergunta.
a pergunta não pode ser respondida por falta de e) dados.
(PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de lado 26. a. A diagonal AB mede:
2aa)
a 2b)
a 32
c)
a 3d)
2 23
ae)
(Fuvest) Um triângulo tem lados iguais a 4, 5 e 6. O 27. cosseno do maior ângulo de T é:
5/6a)
4/5b)
3/4c)
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2/3d)
1/8e)
(PUC) No triângulo ABC, o ângulo  vale 6028. o, o lado oposto mede 7cm e um dos lados adjacentes mede 3 cm. O outro lado do triângulo mede:
5cma)
6cmb)
7cmc)
8cmd)
10cme)
(UFRJ) O triângulo ABC está inscrito com círculo de raio 29.
R. Se cos A = 35
o comprimento do lado BC é:
25R
a)
35R
b)
45R
c)
65R
d)
85R
e)
(UERJ) Um triângulo tem lados 3, 7 e 8. Um de seus 30. ângulos é igual a:
30ºa)
45ºb)
60ºc)
90ºd)
120ºe)
(PUC-SP) a, b e c são as medidas dos lados de um 31. triângulo ABC. Então, se:
aa) 2 < b2 + c2, o triângulo ABC é retângulo.
ab) 2 = b2 + c2, o lado a mede a soma das medidas de b e c.
ac) 2 > b2 + c2, o ângulo oposto ao lado que mede a é obtuso.
bd) 2 = a2 + c2, a é hipotenusa e b e c são catetos.
nenhuma das anteriores é correta.e)
(PUC) O número de valores inteiros de x, para os quais 32. existe um triângulo acutângulo de lados 10, 24 e x, é igual a:
2a)
3b)
4c)
5d)
6e)
(Unificado) Um navegador devia viajar durante duas 33. horas, no rumo nordeste, para chegar a certa ilha. Enganou-se, e navegou duas horas no rumo norte. To-mando, a partir daí, o rumo correto, em quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha?
30mina)
1hb)
1h30c)
2hd)
2h15e)
(UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, do 34. centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas.
Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.
(Unirio)35.
Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura acima. Logo, a distância entre B e C, em km é:
menor que 90.a)
maior que 90 e menor que 100.b)
maior que 100 e menor que 110.c)
maior que 110 e menor que 120.d)
maior que 120.e)
(Faap) Se senx 36. =3
5, com x ∈4 quadrante, então tg
x é:
−34
a)
1
2b)
−4
5c)
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3
4d)
4
5e)
(PUCRS) Se tg x37. =1
2 e a ∈ 0
2;π
, então cos a é igual a:
3
2a)
6
2b)
63
c)
2 5
5d)
5
2e)
(UFCE) Para todo x 38. 1.° quadrante, a expressão sec sec senx tgx x tgx x- + -( )( ) 2
é igual a:
cos2 xa)
1 2+ sen xb)
cos senx x−c)
sec cosx x+d)
n.d.a.e)
(FGV) Simplificando a expressão 39. cos cot
sen
2
2x gx
x tgx
-
-, ob-
temos:
seca) 2 x
senb) 2 x
tgc) 2 x
cosd) 2 x
cotge) 2 x
(UFPA) A expressão mais simples para 40.
11 2
2 2+
⋅-
cos cossecsec x
x x é:
–1a)
0b)
1c)
secd) 2 x
cose) 2 x
(Fuvest) Se 41. tgx =3
4 e π
π< <x
3
2, o valor de cos
x – sen x é:
7
5a)
−7
5b)
−2
5c)
1
5d)
−1
5e)
(FGV)42. Se sen a =24
25 e sec a é negativa, então o valor
de 11
−+
coscos
aa
é:
3
4a)
35
b)
5
4c)
4
3d)
1
2e)
(Unirio) Sendo sen x43. =3
2 e 0 2< <x π , calcule
y = sec
cot cossec x
−−1 gx
–2a)
−1
2b)
−1
2c)
−3
2d)
2e)
(PUC-SP) Na figura 1. a = 1,5 rad, AC = 15, e o compri-mento do arco AB é 3.
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O
Qual é a medida do arco CD?
1,33a)
4,50b)
5,25c)
6,50d)
7,25e)
(UFF) A figura a seguir, representa duas circunferências 2. C e C’ de mesmo raio r.
Se MN é o lado comum de hexágonos regulares inscritos em C e C’, então o perímetro da região sombreada é:
103πr
a)
πr3b)
23πr
c)
4d) πr
2e) πr
(UERJ) O Ceará atravessa a maior seca do século. Há 3. mais de cinco meses, Fortaleza vem sofrendo racio-namento de água e estava ameaçada por um colapso no fornecimento, em setembro. Para combater este problema, o Governo do Estado construiu a maior obra da história do Ceará: o CANAL DO TRABALHADOR, ligando o Rio de Jaguaribe ao Açude Pacajus, com 115 quilômetros de extensão.
Para se ter uma ideia da dimensão desta obra, basta dizer que ela é 18km maior que o canal do Panamá em extensão, e representa um grau da curvatura da terra.
(Revista Veja)
Considere a Terra esférica e o canal construído como parte de um círculo máximo. Com essas informações e usando valor 3 para π, o raio da Terra, em km, seria:
20 700a)
13 800b)
10 350c)
6 900d)
6 300e)
(UFRJ) Na figura a seguir, os círculos de centros O4. 1 e O2 são tangentes em B e têm raios 1cm e 3cm.
Determine o comprimento da curva ABC.
(UFF) Considere o ângulo 5. θ ≠ kπ 2 , k z∈ . Sobre o produto sen . cos . tg . cotg . sec . cossecθ θ θ θ θ θ , pode-se afirmar que é igual a:
1a)
32
b)
0c)
− 232
d)
–1e)
(UFF) Para 6. θ = 89o , conclui-se que:
tgθ θ θ< <sen cosa)
cos senθ θ θ< < tgb)
sen cosθ θ θ< < tgc)
cos senθ θ θ< <tgd)
sen cosθ θ θ< <tge)
(UFRGS) Uma correia esticada passa em torno de três 7. discos de 5m de diâmetro, conforme a figura a seguir. Os pontos A, B e C representam os centros dos discos. A distância AC mede 26m, e a distância BC mede 10m.
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O comprimento da correia é:
60m a)
(60 + 5b) π)m
65mc)
(60 – 10d) π)m
65 e) πm
(UFF) Um serralheiro deseja construir a grade de ferro 8. desenhada na figura abaixo:
Sabe-se que MN é mediatriz do lado LK do retângulo IJKL e as medidas de LK MN e JK, , são, respectivamente, 2m, 2m e 3 m.
Para construir o arco de circunferência INJ, o serralheiro deve utilizar uma vara de ferro com o seguinte comprimento:
23π
ma)
34π
mb)
45π
mc)
56π
md)
πe) m
(PUC) Sejam C9. 1, C2 e C3 três círculos de mesmo raio R e cujos centros O1, O2 e O3 estão sobre uma mesma reta. Além disso, C1 é tangente a C2 e C2 é tangente a C3. Considere a reta t que passa por A e é tangente ao círculo C3 (ver figura).
C C
t
Expresse o comprimento da corda BC, determinada por t em C2, em função de R.
(Unicamp) Para construir um arco de circunferência 10. sobre uma porta, o pedreiro, sem conhecimento de matemática, vale-se de duas medidas: a largura da
porta e a flecha. Você também saberia calcular o arco somente com essas medidas? Se sabe, calcule-o com as medidas de 1 metro para a largura da porta e 20 centímetros para a flecha.
Na figura abaixo tem-se 5 arcos de circunferências 11. concêntricas e igualmente espaçadas entre si.
Sabendo-se que a soma dos comprimentos desses arcos é igual ao comprimento da circunferência maior, qual a medida do ângulo central comum a todas as circunferências?
(UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos mi-12. nutos de um relógio em 50 min?
169π
a)
53π
b)
43π
c)
42π
d)
33π
e)
(UFF) Considere os ângulos13. a, b e g conforme repre-sentados no círculo.
Pode-se afirmar que:
cos a) a < cos b
cos b) g > cos a
senc) a > sen b
cos d) b < cos g
cos e) b > sen g
Faça rolar uma moeda, A, em torno de uma segunda 14. moeda igual, B, sem a deixar deslizar, até retornar ao ponto de partida.
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Quantas voltas dá a moeda A?
(UFRJ) A figura mostra uma circunferência de 1m de raio 15. e centro O, à qual pertencem os pontos A, B, e P, sendo AO perpendicular a BO BS e AT; ; são tangentes a essa circunferência.
Determine o perímetro do polígono AOBST em função do ângulo a.
(Vunesp) A figura representa o perfil de uma escada 16. cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura.
Se AB m= 2 e BCAˆ mede 30o, então a medida da extensão de cada degrau é:
2 33
a) m
23
b) m
36
c) m
32
d) m
33
e) m
(UFRJ) Para o trapézio representado na figura, calcule 17. a altura.
(CEFET) Um atleta corre do ponto A ao ponto D numa 18. trajetória conforme a figura a seguir.
Considerando-se que:
o atleta mantém as seções horizontais um ritmo de 1 - 1 000m a cada 5 min;
na elevação a 302 - o, o ritmo diminui em 50%;
os trechos AB, BC e CD são de mesmo compri-3 - mento.
Calcule o tempo que o atleta gasta para percorrer toda a trajetória.
(UFRJ) A grande sensação da última ExposArte foi a 19. escultura “O.I.T.O.”, de 12 metros de altura, composta por duas circunferências, que reproduzimos abaixo, com exclusividade.
Para poder passar por um corredor de apenas 9 metros de altura e chegar ao centro do Salão Principal, ela teve que ser inclinada. A escultura atravessou o corredor tangenciando o chão e o teto, como mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o raio da circunferência maior é o dobro do raio da menor, calcule θ.
(Fuvest) Calcular x indicado na figura:20.
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(Vunesp) Na figura, os pontos C, D e B são colineares e 21. os triângulos ABD e ABC são retângulos em B .
Se a medida do ângulo ADBˆ é 60o e a medida do ângulo ACDˆ é 30o, demonstre que:
AD = DC;a)
CD = 2.DB.b)
(UFRJ) A figura abaixo mostra duas circunferências que 22. se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem centro em O. A menor tem raio r = 5cm e é tangente a AO e a OB.
Sabendo-se que o ângulo AÔB mede 60o, calcule a medida do raio R da circunferência maior.
(Unirio-ENCE)23.
Na figura acima, o valor da secante do ângulo interno C é igual a:
53a)
43
b)
54
c)
76
d)
45
e)
Um balão meteorológico encontra-se preso ao solo por 24. dois cabos, supostos retilíneos, e inclinados de 60o e 45o com a horizontal. A distância entre os pontos de fixação dos cabos no solo é de 1 000m. A altura aproximada do balão é:
320ma)
449mb)
412mc)
556md)
635me)
(UFRJ) Na figura dada temos um semicírculo de raio R e 25. centro O. O ângulo entre o raio OB e o lado DC é θ.
Calcule os lados do retângulo ABCD em função de a) R e θ.
Mostre que a área do retângulo ABCD é máxima para b) θ = 45≡º.
(UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 26. metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura abaixo:
Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a:
60°a)
45°b)
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30°c)
15°d)
No triângulo ABC da figura, tem-se 27. AC m= 2 e os ângulos B = 45º e C = 60º.
Calcular o lado BC do triângulo.
(ITA) Num losango ABCD, a soma das medidas dos 28. ângulos obtusos é o triplo da soma das medidas dos ângulos agudos. Se a sua diagonal menor mede d cm, então sua aresta medirá:
d
2 2+a)
d
2 2−b)
d
2 3+c)
d
3 3−d)
d
3 2−e)
(UFRJ) Observe o paralelogramo ABCD:29.
Calcule AC BD2 2
+ em função de AB a= e BC b= .
(UFRJ) O polígono regular côncavo representado na 30. figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo a mede 120o.
Determine o raio da circunferência circunscrita.
(UFRJ) Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H dividem uma 31. circunferência de raio R, em oito partes iguais, conforme a figura abaixo:
Calcule a medida do lado AD do octógono estrelado em função de R.
Na figura mostre que b32. 2m + c2n = x2a + mna, (relação de Stewart).
a
Na figura abaixo, 33. AB BC m= = 1 e o diâmetro AD m= 4.
Calcule o seguimento CD .
Na figura abaixo, 34. AB CD m= = 1 , CAD� = 30o e BAD = 90o.
Calcule o seguimento BD.
Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 35. 4cm e 5cm respectivamente, e uma das diagonais tem por medida 6cm. Calcule a medida da outra diagonal.
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Calcule a soma dos senos dos ângulos de um triângulo 36. de semiperímetro p e raio do círculo circunscrito igual a R.
(Fuvest)37.
A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90o e 60o, respectivamente. Sabendo-se que a distância entre
seus centros é igual a 3 1+ determine os raios dos círculos.
(Unicamp) A água, utilizada na casa de um sítio, é cap-38. tada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água-bomba e caixa d’água-casa é de 60o. Se se pretende bombear água no mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários?
Na figura abaixo, calcule o lado do triângulo equilátero ABC, 39. sabendo que PA cm= 3 , PB cm= 4 e PC cm= 5 .
(Unificado) Se sen x – cos x40. =1
2, o valor de
senx . cosx é igual a:
−3
16a)
−3
8b)
3
8c)
3
4d)
3
2e)
Se cossec 41. θ =−
1
1x e séc θ =
−33
2
2
xx
, então um valor
de x que verifica essas igualdades é:
1
2a)
1
3b)
1
4c)
3
4d)
3
2e)
(Unificado) Se sen42. x =2
3, valor de tg2x é:
0,6a)
0,7b)
0,8c)
0,9d)
1e)
(UFF)43. Determine os valores de m de modo que se verifiquem simultaneamente as igualdades:
cotg x m= + 1 sen xm m m
m=
+ + +
+
32
21
2
(UFRGS)44. Para todo x ∈ −
π π
2 2, , o valor de
tg x x2 21 1+ ⋅ −( ) ( )sen é:
–1a)
0b)
1c)
cosd) 2x
–sece) 2x
(UFRJ)45. Mostre que:
sec2x ⋅ cossec2x = sec2x +cossec2x
(Unificado) O valor da expressão P = 1 – 4sen46. 2x + 6sen4x – 4sen6x + sen8x é igual a:
cosa) 4 x
cosb) 8 x
senc) 2 x
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1d)
0e)
(Vunesp)47. Se x, y são números reais tais que
y =− +cos cos sec
cos sen
3
2
2x x x
x x então:
y = seca) 2x
y = tgb) 2x
y = cosc) 2x
y = cossecd) 2x
y = sene) 2x
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21EM
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AT
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B1.
B2.
B3.
A4.
C5.
B6.
B7.
A8.
B9.
A10.
C11.
B12.
20(13. π + 3)cm
15,8cm14.
A15.
D16.
C17.
E18.
D19.
B20.
C21.
A22.
C23.
D24.
C25.
D26.
E27.
D28.
E29.
C30.
C31.
C32.
C33.
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7m34. m
C35.
A36.
D37.
A38.
E39.
B40.
E41.
D42.
E43.
C1.
A2.
D3.
53π
4. cm
A5.
B6.
B7.
A8. 8R
59.
145π4
10. , aproximadamente
2π3
11.
B12.
D13.
2 voltas14.
2 + tg 15. a + cotg a + cossec a – sec a
E16.
2cm17.
8 minutos18.
3019. o
50 3m20. m
Resposta pessoal.21.
15cm22.
A23.
E24.
25.
BC = Rsena) θ e AB=2Rcosθ
S = Rb) 2 sen2θ e 2θ = 90º
B26.
3 1+( )m27.
B28.
2a29. 2 + 2b2
32
30. cm
2 2+31. R
Resposta pessoal. 32.
3,5cm33.
23 m34.
46cm35.
P
r36.
R37. 1 = 2 e R2 = 2
70m38.
25 12 3+ cm39.
C40.
E41.
C42.
m = 0 ou m = 43. –1 + 5
2A44.
Demonstração45.
B46.
B47.
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