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제10장 통계적 추정과 가설검정 : 두 모집단
전광희교수
jkh96@cnu.ac.kr
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Contents
독립표본과 대응표본
두 표본평균 차이의 표본분포
두 모평균 차이에 대한 추정과 검정
두 모비율의 차이에 대한 추정과 검정
두 모분산에 대한 검정
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두 표본검정
두 표본검정
모 평 균독 립 표 본
모 평 균종 속 표 본
모 비 율 모 분 산
그룹 1 :그룹 2
동일 그룹치료 전ㆍ후
비율 1 :비율 2
분산 1 :분산 2
예 :
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표본의 독립성과 종속성
독립표본(independent sample) 예컨대 남자와 여자의 평균키를 비교하는 경우 모집단 A에서
표본크기 n1의 남자와 집단 B에서 표본크기 n2의 여자를
독립적으로 확률표본으로 추출하면 두 표본은 아무런 관련이
없기 때문에 독립표본이라고 한다.
대응표본(dependent, related, paired sample) 예컨대 부부간의 몸무게를 비교한다고 할 때 한 모집단으로
부터 표본크기 n의 가정을 확률표본으로 추출하여 부부간의
몸무게를 직접 대응시키면 두 표본은 서로 관련이 있기 때문에
종속표본 또는 대응표본이라고 한다.
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표본의 독립성과 종속성
독립표본
모 평 균독 립 표 본
과 : 기지 *
과 : 미지
가 정
두 표본은 무작위로, 독립적으로 추출한다.
두 모집단은 정규분포를따른다.
두 모분산은 알려져 있다.
목 적
두 모평균의 차이μ₁- μ₂에 대한 신뢰구간추정과 가설검정 실시
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독립표본
표본의 독립성과 종속성
모 평 균독 립 표 본
과 : 기지 Z 검정통계량 사용
미지의 σ 를 추정하기위하여 s사용
t 검정통계량 사용
과 : 미지
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두 표본평균 차이의 표본분포
두 모집단의 평균= 모집단 1의 평균
= 모집단 2의 평균
두 모평균의 차이 = ( )
모집단 1과 2에서 확률표본을 추출= 모집단 1에서 추출한 크기 n1의 확률표본의 평균
= 모집단 2에서 추출한 크기 n2의 확률표본의 평균
두 모평균의 차이( )에 대한 점추정량 :
( )
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두 표본평균 차이의 표본분포
독립표본
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두 표본평균의 차이 ( )의 표본분포
두 표본평균 차이의 표본분포
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두 표본평균 차이의 표본분포
두 표본평균의 차이 ( )의 표본분포
평균 : E( ) =
표준편차(표준오차) :
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두 표본검정
두 모집단
평균독립표본
평균종속표본
비 율 분 산
Z분포대표본
t분포소표본
t분포 Z분포 F분포
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두 모평균 차이에 대한 추정
σ1과 σ2는 알고 있다.
n1≥30, n2≥30으로 두 모집단은정규분포를 따른다.
두 표본평균의 차이( )의표준오차
확률변수 Z는 표준정규분포를 따른다.
두 모 평 균(독 립 표 본)
σ₁과 σ₂: 기지
σ₁과 σ₂: 미지
*
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두 모평균 차이에 대한 추정
두 모 평 균(독 립 표 본)
σ₁과 σ₂: 기지
σ₁과 σ₂: 미지
*
두 모평균의 차이 ( )의
100(1- )% 신뢰구간
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두 모평균 차이에 대한 검정
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두 모평균 차이에 대한 추정과 검정
예 10-1
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두 모평균 차이의 추정과 검정
가정
두 표본은 무작위로 독립적으로
추출한다.
두 모집단은 정규분포를 따른다.
두 모분산은 모르지만 서로 같다.
두 모 평 균(독 립 표 본)
과 : 기지
과 : 미지
= *
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두 모평균 차이의 추정
두 모 평 균(독 립 표 본)
과 : 기지
과 : 미지
= *
신뢰구간 설정
두 의 통합분산 사용
자유도 의 t분포
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과 : 미지
과 : 기지
두 모평균 차이의 추정
두 모 평 균(독 립 표 본)
= *
신뢰구간 설정
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두 모평균 차이의 검정
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두 모평균 차이의 추정과 검정
예 10-3
두 회사의 평균마모시간에는 현저한 차이가있다.
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두 모평균 차이에 대한 추정과 검정
대응표본 : 관련된 두 모집단의 평균차이에
대한 추정과 검정 쌍을 이룬 대응표본을 추출한다.
반복적인 측정(전ㆍ후)을 한다.
짝을 이룬 두 표본차이를 이용한다.
가정 : 두 모집단은 정규분포를 따른다.
두 표본차이의 표본을 무작위로 추출한다.
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두 모평균 차이에 대한 추정과 검정
대응표본 짝을 이룬 n개의 표본들의 차이 의 표본평균과 표준편차
평균차이의 평균과 표준오차
두 모평균의 차이를 위한 검정통계량은 자유도 (n-1)의
t분포를 따른다.
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두 모평균 차이에 대한 추정
대응표본 두 모평균의 차이 에 대한 신뢰구간
여기서
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두 모평균의 차이에 대한 검정
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두 모평균의 차이에 대한 추정과 검정
대응표본 : 예 10-4
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두 모비율의 차이에 대한 추정과 검정
목적 독립된 두 모비율의 차이에 대한 신뢰구간 설정과
가설검정의 실시
가정 두 모집단에서 독립적으로, 무작위로 표본을 추출한다.
정규분포를 사용하기 위하여 다음 조건이 성립해야 한다.
두 모비율의 차이의 점추정치
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두 모비율의 차이에 대한 추정
두 표본비율의 차이 의 표본분포
확률변수 Z는 표준정규분포를 따른다.
두 모비율의 차이 에 대한 신뢰구간
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두 모비율의 차이에 대한 추정
귀무가설이 인 경우 통합표본비율
두 표본비율의 차이 의 표본분포
확률변수 Z는 표준정규분포를 따른다.
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두 모비율의 차이에 대한 검정
귀무가설이 인 경우
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두 모비율의 차이에 대한 추정과 검정
예 10-5
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두 모분산에 대한 검정
F분포 표본분산의 비율 들의 표본분포는 분자의 자유도
과 분모의 자유도 인 F분포를 따른다.
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두 모분산에 대한 검정
F분포의 특징 F분포군이 있다. F분포의 모양은 자유도 과 에
따라서 결정된다.
연속함수이다. F값은 0부터 +∞까지의 무한한 값을 갖는다.
F값은 언제나 양수의 값을 갖는다.
오른쪽 꼬리분포이다. 자유도들이 증가할수록 F분포는
Z분포에 근접한다.
비대칭이다. x의 값이 증가할 때 F곡선은 x축에 접근하지만
절대로 닿지는 않는다.
F분포는 두 모분산을 비교할 때, 분산분석과 회귀분석을 위해
사용된다.
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두 모분산에 대한 검정
F값 구하기
예:
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두 모분산에 대한 검정
두 모분산 비율의 검정
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두 모분산에 대한 검정
구하기 는 F분포표에서 구한다 .
예:
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두 모분산에 대한 검정
두 모분산 비율에 대한 검정 : 예 10-8
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