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SLABO
www.monografias.com
Manual: Mtodos Cuantitativos I1. Introduccin2. Estadstica descriptiva3. Medidas de tendencia central4. Probabilidades, distribucin de probabilidades5. Distribucin normal, distribucin de la media muestral6. Estimacin con intervalos de confianza, prueba de hiptesis7. Ejercicios y problemas adicionales8. Fuentes de informacinIntroduccinEl presente documento es un manual que pretende ser una gua complementaria a las clases que se imparten en el curso de Mtodos Cuantitativos I
La Universidad de San Martn de Porres, est siempre empeada en realizar importantes innovaciones en la concepcin y prctica educativas con el propsito de ofrecer a sus alumnos una formacin profesional competitiva, que haga posible su ingreso con xito al mundo laboral, desempendose con eficacia y eficiencia en las funciones profesionales que les tocar asumir.
Uno de los medios para el logro de los propsitos de nuestra facultad constituye los Manuales de Auto educacin, preparados especialmente para los alumnos. El presente Manual ha sido concebido como un material educativo que debe servir para afianzar conocimientos, desarrollar habilidades y destrezas, as como para orientar la auto educacin permanente. Por ello se ubica como material de lectura, es accesible, sirve de informacin , motiva a la investigacin , se orienta a facilitar la lectura compresiva y crtica, ampliar conocimientos en otras fuentes, crear hbitos u actitudes para el procedimiento de informacin, adquisicin y generacin de conocimientos.
El presente Manual de Mtodos Cuantitativos I, constituye material de apoyo al desarrollo del curso del mismo nombre y est organizado en cuatro unidades didcticas : Unidad I Estadstica Descriptiva ; Unidad II: Probabilidades Distribucin de Probabilidades; Unidad III: La Distribucin Normal Distribucin de la Media Muestral, Muestreo y Unidad IV Estimacin con Intervalos de Confianza, Prueba JI CUADRADA ,Prueba de Hiptesis , donde se interpretarn correctamente los resultados de los problemas resueltos y propuestos.Una de las consideraciones importantes del presente manual, es mostrar la necesidad de la utilidad de los Mtodos Cuantitativos (estadstica) para encontrar soluciones a los muchos problemas que se presentan a diario y se puedan presentar a futuro en las condiciones reales de las instituciones en general y empresas en particular.Cabe mencionar que al finalizar cada Tema de estudio, se presenta el Taller y Software Estadstico, donde los alumnos pueden complementar la parte terica y prctica, as como el uso de la computadora con los programas estadsticos MINITAB 15 Y SPSS 15 respectivos
Al trmino del documento, una vez desarrolladas las unidades didcticas, presentamos un listado general de otras fuentes de informacin complementaria, que constituyen fuentes bibliogrficas, hemerogrficas y electrnicas, de utilidad para el desarrollo del curso.
OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL
- Contribuir a la formacin integral profesional de los futuros Contadores, propiciando el conocimiento de los Mtodos Cuantitativos (Estadstica I) para aplicarlos en las actividades educativas y profesionales.
OBJETIVOS ESPECFICOS
Dominar la recoleccin que datos estadsticos directamente de la comunidad y de registros de su especialidad y reas conexos.
Ordenar y analizar datos estadsticos en distribuciones de frecuencias y presentarlos en diversos tipos de diagramas.
Calcular las medidas de tendencia central y de dispersin de datas e interpretar estos resultados.
Calcular la probabilidad de eventos naturales y de la empresa con fines de proyeccin.
Analizar los diversos tipos de distribucin de probabilidad de datos de su especialidad.
Aplicar el muestreo de datos al estudio, anlisis y cambios en la empresa.
Hacer estimaciones puntuales y de intervalos de confianza as como pruebas de hiptesis en poblaciones finitas e infinitas.
PAUTAS PARA EL ESTUDIO Y LOS TRABAJOS DE APLICACIN
Despus de la lectura comprensiva efectuada, debers desarrollar las Actividades de Aplicacin (guas de Prctica) propuestas en el manual, Algunos trabajos son individuales y otros son para desarrollarse en grupos. Pueden ser desarrollados en aula, o requerir efectuarlo en el laboratorio de computo (Software Estadstico) ambas modalidades fortalecen la capacidad de autoaprendizaje del estudiante.
Tambin debers resolver los problemas planteados en la Autoevaluacin, desarrollo de las Guas de Prcticas (talleres ) indicadas por el profesor. Si tuvieras dificultad consulta a tu profesor, compaero efecta la investigacin conveniente.
UNIDAD I: Estadstica descriptivaLa rama de la disciplina estadstica que se ocupa del desarrollo y utilizacin de tcnicas para la presentacin eficaz de informacin numrica , con objeto de poner de relieve los modelos que de otra forma quedaran ocultos en un conjunto de datos ,se llama estadstica Descriptiva.
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
Elabora Tablas de frecuencias para muestras discretas y continuas. Elabora Grficas de frecuencias reconoce e identifica la situacin problemtica de dichas medidas.
Formula preguntas relacionadas con el uso de las medidas de tendencia central y de dispersin., intentan explicar los usos actuales.
Resuelve problemas estadsticos aplicados a la contabilidad.
CONTENIDOS ACTITUDINALES
Valora adecuadamente la utilidad de presentar e interpretar los datos
Acepta y toma parte con Eficiencia de los grupos asignados en actitud de Ayuda mutua y responsabilidad.
Desarrolla en forma personal su trabajo del Software estadstico asignado
CONTENIDOS CONCEPTUALES
TEMA N1: RECOLECCION Y PRESENTACIN DE DATOS
TEMA N2: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
TEMA N3: DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
TEMA N4: MEDIDAS DE DISPERSIN O VARIACIN DE LOS DATOS
TEMA N 01
RECOLECCION Y PRESENTACIN DE DATOS
PRESENTACIN DE LA INFORMACIN.
Estadstica es un trmino que es usado con mucha frecuencia para hacer referencia a cualquier informacin o dato; sin embargo, la estadstica es mucho ms que la simple coleccin de informacin ya que involucra todo un conjunto de procesos, que tiene como objeto alcanzar un mayor conocimiento de una realidad que es desconocida y sobre la cual se desea tomar decisiones.
ORGANIGRAMA DE LA PRIMERA UNIDAD
ALGUNA VEZ SE ENCONTR CON EL HOMBRE PROMEDIO?
Peruano? Amable, su nombre es Roberto ( lo cual es el nivel nominal de medicin), tiene 30 aos de edad ( que es el nivel de razn o cociente), tiene 1.82m de estatura, pesa 79Kg., usa zapatos talla 42, tiene una cintura de 65 cm ., viste un traje talla mediana. Adems, tal hombre promedio come 1.5 Kilos de papas fritas, ve 2230 hrs. De televisin., recibe 470 piezas de correo y come 13 Kilos de pltanos al ao. Tambin duerme 7.5 horas por noche. Realmente este es un hombre promedio? sera mejor referirnos a l como un hombre tpico Esperara encontrar a un hombre con todas estas caractersticas?.
Actualmente, las empresas efectan diversas transaciones locales e internacionales como venta de lneas completas, diversidad de productos, contratos de personal, diferencia de precios. A las Empresas les gustara desarrollar grficas y cuadros que se puedan revisar mensualmente para observar en donde tienden a acumularse los precios de venta, apreciar la variacin de los precios de venta y notar cualquier tendencia, en este tema se presentan tcnicas que sern tiles para que las personas, empresas y entidades puedan utilizarlas.
1.1GENERALIDADES (CONCEPTOS BSICOS)
Algunos de los conceptos ms usados en la aplicacin de la estadstica se describe a continuacin:
A.Poblacin
Es la totalidad de individuos sobre los cuales se desea hacer un
estudio; puede ser finita o infinita.
Es el conjunto de todas las unidades que tienen una caracterstica comn, la cual se desea estudiar.
Por ejemplo:
Conjunto de familias de una ciudad.
Conjunto de bombillas elctricas producidas en un da.
B.Muestra
Muestra: es una parte de la poblacin, seleccionada para hacer el
estudio de dicha poblacin; es finita.
Si la muestra es representativa de la poblacin, las conclusiones de la
muestra se infieren a la poblacin.
Es cualquier subconjunto de unidades elementales, elegidas de una poblacin. Por ejemplo:
200 familias elegidas de una cuidad.
80 bombillas elctricas elegidas de las producidas en un da.
Dependiendo de la forma como se eligen dichas unidades elementales, las muestras pueden ser:
C.Muestras Aleatorias ( Probabilsticas )Son aquellas cuyos elementos son elegidos usando algn criterio probabilstico.
D.Parmetro
Es una funcin de todas las observaciones de una poblacin. Un parmetro resume la informacin contenida de las observaciones que comprenden a una poblacin, por lo cual su valor es nico y constituye usualmente la incgnita que todo investigador desea conocer. Algunos de los parmetros que estudiaremos son:
Media Poblacional, cuya notacin es : ( Varianza Poblacional, cuya notacin es: (2 Moda Poblacional, cuya notacin es: Mo
1.2.DEFINICIN DE ESTADSTICA
Estadstica.- es la ciencia que estudia los mtodos cientficos en la toma,
organizacin, presentacin y anlisis de datos, para la deduccin de conclusiones
y/o toma decisiones razonables.
Estadstica es la ciencia que se ocupa de la creacin, desarrollo y aplicacin de las tcnicas que permiten hacer un anlisis confiable de una poblacin. En trminos generales, se ocupa de la coleccin, resumen y presentacin de informacin, del anlisis e interpretacin de datos y resultados, de modo tal que pueda evaluarse la confiabilidad y riesgos asociados a las condiciones que se pueden derivar a partir de la informacin captada.
Las dos grandes ramas en que se divide a la estadstica son:
A. Estadstica Descriptiva
Es la parte de la estadstica que estudia un grupo de datos dado, sin
inferir sus conclusiones a un grupo mayor.
B. Estadstica Inferencial o inductiva es la parte de la estadstica que estudia condiciones bajo las cuales las conclusiones de la muestra son vlidas para la poblacin, la Estadstica . inferencial usa el concepto de PROBABILIDAD, que es la medida de la incertidumbre. C. IMPORTANCIA DE LA ESTADSTICA EN CONTABILIDAD
La estadstica es un soporte en las siguientes acciones profesionales:
. Recoleccin, Organizacin, Presentacin y Anlisis de datos de la
especialidad (costos, precios, salarios, impuesto, etc.)
. Planificacin en la alta direccin de las empresas, segn los resultados
de la estadstica.
. Control de la ejecucin de lo planificado segn la estadstica de
resultados.
. Toma de decisiones y Gestin empresarial segn los resultados de la
estadstica.
. Investigacin de temas de la especialidad.
1.3. TOMA DE DATOS
Variable
La variable es una caracterstica de la poblacin que se va a investigar y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en: cualitativas y cuantitativas.
Variable Cualitativa
Se denomina as cuando est asociada a una caracterstica cualitativa que toma niveles de valorizacin.
Variable Cuantitativa
Se llama as cuando est asociada a una caracterstica cuantitativa. Estas variables se divide en discretas y continuas.
Variable Discreta
Se dice que una variable es discreta si slo asume valores enteros o mejor dicho que varan de uno en uno, Ejm: El nmero de miembros de una familia o el nmero de personas que habitan la casa; el nmero de alumnos aprobados en una asignatura.
Variable ContinuaUna variable es continua cuando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, dependiendo ste principalmente de la precisin con que se trabaje. Por Ejm: La talla de los individuos medida con la precisin de un centmetro y expresada en metros: 1,69 m; 1,74 m; etc.
REDONDEOS DE DATOS.
Se usa generalmente para uniformizar datos de variable continua , aproximando a una determinada cifra: milsimas, centsimas, dcimas, unidades, decenas, centenas, millares, millones, etc. Con el fin de minorizar los errores, sobre todo cuando con los datos se van a efectuar operaciones.
Tcnica:
. Si la cifra a eliminar es 0, 1, 2, 3,4: se desecha la cifra
. si la cifra a eliminar es 6, 7, 8, 9: se desecha la cifra y se aumenta en una unidad
la cifra de orden superior.
. si la cifra a eliminar es 5: se aplica el criterio del par ms cercano.
-Si el digito precedente es par, este no se modifica.
-Si el dgito precedente es impar, este ser aumentado en una unidad.
Ejem:
Toma o recoleccin de datos: es la obtencin de datos tal como se encuentran en la realidad.
Puede ser directamente de la realidad, mediante conteos o medicines, o de archivos, formatos,.., encuestas, experimentos, etc.
Ordenacin: es la colocacin de los datos en orden creciente, decreciente, u otro criterio necesario para el trabajo final.
Rango: es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
Ejemplos de Toma de DatosEjemplo N 1
Corresponde a una muestra de 30 familias sobre el nmero de hijos por familia:
A = {1,2,5,3,4,2,0,5,3,2,4,2,1,0,3,2,1,0,3,2,1,0,1,3,5,6,2, 5,4,2,}
Generalizando:
En este caso se tiene que n = 30. Tamao de la muestra.Ejemplo N2
Corresponde a una muestra de 100 observaciones sobre las tallas de los alumnos, expresada en metros:
En este caso n = 100. Tamao de la muestra.
PRESENTACIN DE LA INFORMACIN
Distribucin de frecuencias: es distribuir los datos en clases, determinando el nmero de datos pertenecientes a cada clase, denominado frecuencia de clase (f).
Ejem:
Las alturas de 100 estudiantes, registradas con aproximacin de pulgadas.
Clases
(Alturas)Frecuencia(f)
(N de estudiantes)
60 62 5
63 6518
66 6842
69 7127
72 - 74 8
N = 100
Para determinar el nmero de clases hay varios criterios.
. generalmente varan de 5 a 20 dependiendo de los datos.
. N de clases = n
. N de clases =1+3.322 log N
. Intervalos de clases y limites de clase.
60 62 es el intervalo de clases y 60,62 son los limites de clases
. Marca de clases. (x)
Es el punto medio del intervalo de clase. Se obtiene como la semi- suma de los lmites de clases.
los datos de cada clase se consideran que coincide con su correspondiente marca de clases.
. Procedimientos para formar una distribucin de frecuencia.
- Se determina al rango.
- se divide el rango en un numero conveniente de intervalos (5 a 20) o usando
alguno de los criterios mencionados.
- se determina el tamao del intervalo y las clases con
- se determina las marcas de clase
Ejem: Sean las alturas en cm. De 40 alumnos
Para facilitar la construccin de la tabla de frecuencias, por comodidad de clculo se eligi el tamao del intervalo de 10.
3.-
Histograma, polgonos y curvas de frecuencia
Histograma: rectngulos de bases en el eje x , sus centros coinciden con los marcas de clases y de longitud igual , cada altura igual a su frecuencia f
Polgonos Frecuencia: Se obtiene uniendo los puntos medios de las bases superiores
de los rectngulos del histograma y dos mascas de clases inferior y superior de frecuencia cero.
Curvas de frecuencia: se obtiene suavizando los vrtices de polgonos de frecuencia
Distribucin de Frecuencia de una Muestra Discreta
La tabla de distribucin de frecuencias que corresponde al ejemplo Nro. 1 es el siguiente:
Metodologa. podemos utilizar la siguiente
. Primero se determina el nmero de clases, de acuerdo a los datos que
se disponen, en este caso son 7 datos diferentes.
. En la primera columna se ordena en forma ascendente los datos u
observaciones que son diferentes.
. La segunda columna se utiliza para realizar el conteo de los datos que se
repiten (frecuencia)
. En la tercera columna, se indica el nmero de veces (frecuencia) que se
repite una clase.
Procedimiento alterno para Construir la Tabla de Frecuencias en una Muestra Continua
1. Se resta el mnimo valor del mximo valor de la muestra, esta diferencia representa la anchura o tamao de la muestra.
2. La diferencia obtenida se divide entre el nmero de intervalos que se considera en la distribucin.
Una de las formas para determinar en cuantos intervalos se debe clasificar una muestra, lo d la regla de Sturges:
3. El cociente obtenido en la divisin realizada en el segundo paso representa la anchura o tamao del intervalo de clase (c).
Se recomienda que todos los intervalos deben ser del mismo tamao a fin de tener mejores resultados en los anlisis de la muestra.
4. Conociendo la amplitud de cada intervalo y el nmero de los mismos, se determina en orden ascendente los intervalos de clase. Teniendo como lmite inferior del primer intervalo al menor valor de la muestra y como lmite superior al valor obtenido al sumar al lmite inferior el valor de la amplitud del intervalo. De esta forma sucesivamente se van formando los intervalos.
5. Los puntos medios de los intervalos de clase toman el nombre de marcas de clase, que se obtiene sumando el lmite inferior y superior de cada intervalo y dividiendo entre dos.
Tabla de Frecuencias de una Muestra Continua
Ejemplo de Aplicacin de una Muestra ContinuaLa tabla de distribucin de frecuencias correspondiente al ejemplo Nro. 2 es el siguiente:
Despus de realizar el conteo y hallado la frecuencia por intervalo el clculo del Nro de intervalos (K): Por la regla de Sturges.
Para n = 100
k = 1 + 3,332 log n
k = 1 + 3,332 log 100
k = 7,7
Consideramos el valor:
TABLA DE FRECUENCIAS (EJM 2)Con estos datos se construye la tabla de frecuencias siguiente
Grfica de Frecuencias.Histograma y Polgono de Frecuencias
Ejemplo de Aplicacin:
Con los datos del ejem Nro. 2. Hallar el Histograma y Polgono de frecuencias respectivos.
Distribucin de Frecuencias RelativasEjemplo: En la muestra del Ejm. Nro. 2, la frecuencia relativa de la segunda clase ser:
Distribucin de Frecuencias Acumuladas Absolutas y Relativas.
1. Frecuencias Acumuladas Absolutas ( FA ).
Es la frecuencia total de todos los valores menores o iguales al lmite superior del intervalo de clase respectivo, se obtiene sumando las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos inferiores.
Ejemplo: En la muestra de Ejm. Nro. 2, la frecuencia absoluta acumulada hasta la tercera clase (FA ) ser:
Interpretacin:
Existen 24 observaciones cuyos estaturas son menores o iguales a 1.66 m.
2. Frecuencias Acumuladas Relativas ( FAR )
Es la frecuencia relativa total de todos los valores menores o iguales al lmite superior del intervalo de clase respectivo, se obtiene sumando las frecuencias relativas siguientes a los intervalos inferiores.
Ejemplo:
En la muestra del Ejm Nro. 2, la frecuencia relativa acumulada hasta la cuarta clase (FAR4) ser:
Interpretacin:
Al multiplicar por 100 para obtener la respuesta en %:
Significa que el 52 % de observaciones tienen estaturas menor o igual 1,70 m.
Grfica de las Frecuencias Acumuladas, Ojiva.La grfica que muestra las frecuencias acumuladas mayor que o las que son menor o igual que toman el nombre de Polgono de Frecuencias Acumuladas u Ojivas.
Ejemplo:
Presentaremos las frecuencias acumuladas a partir de la muestra del Ejm. Nro 2.
TALLER O1
ACTIVIDAD APLICATIVA AUTOEVALUACIN
INTRODUCCIN AL ANLISIS DE
DATOS PRESENTACIN DE LA INFORMACINEjercicios y problemas
Estadstica Descriptiva e Inferencia Estadstica1. Indique cules de los trminos u operaciones siguientes se relacionan con muestras (M) con una poblacin (P): a) Grupos de medidas llamadas parmetros, b) uso de inferencia estadstica, c) hacer un cerco, d) juzgar la calidad de un embarque de fruta inspeccionando varias de las cajas, e) Universo, f) grupos de medidas denominadas estadsticas, g) aplicacin de conceptos de probabilidad.
Variables Discretas y Continuas2. Por los siguientes tipos de valores, identifique si corresponde a variables discretas (D) o variables continuas (C): a) el peso del contenido de un paquete de cereales, b) el dimetro de un cilindro, c) el nmero de artculos defectuosos que se producen, d) el nmero de personas pensionadas en una rea geogrfica, e) El nmero promedio de clientes de una empresa visitadas por un vendedor, f) el total de ventas en soles.
3. Se encuest a un grupo de 30 alumnos sobre el departamento del Per en el
que nacieron y respondieron como se indica.
L T T C P T A A C L L P A A A
L L L P C A A T L T C L A L L
Donde L, A, T, C y P representa Lima, Arequipa, Trujillo, Cuzco, y Piura,
respectivamente. Organizar los datos en un cuadro de distribucin
de frecuencias.
4. Se encuest a 30 contadores sobre el nmero de balances presentados el ao
pasado y se obtuvo la informacin siguiente.
6 1 4 6 2 7 2 4 5 6 8 6 5 3 2
5 2 5 7 5 6 1 4 6 4 5 9 2 3 6
Organizar los datos en un cuadro de distribucin de frecuencias.
5. Construya una tabla de frecuencias para los datos siguientes, correspondiente al nmero de faltas a clases en el primer semestre del 2005 para estudiantes del curso de Economa.
6. Un conjunto de datos tiene 100 observaciones, de las cuales la mayor es 212 y la menor 42. Suponga que desea una tabla de frecuencias con siete clases.
a) Cul es el intervalo de clase?
b) Cul es la marca de la primera clase si el lmite inferior se fija en 40?.
7.El Profesor Rojas puso un examen final consistente en 100 preguntas a su grupo de contabilidad I, los datos siguientes representan el nmero de respuestas correctas en cada examen, constryase una tabla de frecuencias agrupadas con 5 clases para que, el profesor Rojas pueda analizar los resultados.
Distribucin de Frecuencias, Intervalos de Clase y Mtodos Grficos.8.Los siguientes datos constituyen las vidas tiles, en horas de una muestra aleatoria de 60 bombillas de luz de 100 watts.Vida til de 60 bombillas de luz.
807
660
881
766
1056
832811
753
872
787
1076
863620
1050
869
923
958
852650
918
841
792
970
788817
857
847
803
776
980732
867
833
933
828
889747
675
829
947
831
1030823
880
827
717
781
897844
878
822
817
1088
755907
890
811
753
1082
891
a) Constryase una distribucin de frecuencias con anchos de clases iguales.
b) Trazar el histograma y polgono de frecuencias.
c) Trazar el Ojiva correspondiente mayor que y menor que.
d) Hallar la frecuencia Acumulada Relativa (Hi) de la cuarta y sexta clase, interprete su respuesta.
e) Hallar la frecuencia Acumulada Absoluta y Relativa mayor que de la primera y segunda clase, interprete su respuesta.
9. Las siguientes observaciones son los tiempos (en minutos) que tardan 30 estudiantes en terminar su primer examen de matemticas financieras.
a) Determinar el N de clases y el intervalo respectivo.
b) Construir la tabla de frecuencias. Marcar el recuento de las observaciones y registrar la frecuencia de c/clase.
c)Construir una distribucin de frecuencias acumuladas menor o igual, mayor que.
d) Construir una distribucin de frecuencias relativas acumuladas menor o igual, mayor que.
e)Construir un histograma, un polgono de frecuencias una Ojiva. Con los datos de tiempos invertidos por los estudiantes del problema.
Uso de Computadoras para Generar Nmeros Aleatorios.AUTOEVALUACION
1. Un analista econmico desea obtener una muestra aleatoria simple de 30 empresas de las 435 que estn listadas en un rea geogrfica. Las empresas estn identificadas secuencialmente, con nmeros del 001 al 435. Utilizando algn programa de computacin, obtenga 30 nmeros de identificacin, que determinen las empresas que deben incluirse en la muestra.
LISTADO OBTENIDO CON MINITAB 15MTB > RANDOM 30 C1;
SUBC > INTEGER 1 435.
MTB > NAME C1 SAMPLE
MTB > PRINT SAMPLE
SAMPLE
2.- Un auditor desea obtener una muestra aleatoria simple de 50 de los 5250 cuentas por cobrar de una empresa grande.
Las cuestas estn numeradas secuencialmente del 0001 al 5250. Utilice algn programa de computadora para obtener un listado de los 50 nmeros aleatorios que se requieren.
Utilizacin de Computadora para formar una Distribucin de Frecuencias.3.Utilice un paquete de cmputo para formar una distribucin de frecuencias para producir un histograma de los datos no agrupados de la tabla dada, que contiene una muestra de los tiempos que 30 empleados requieren para llevar a cabo una tarea de ensamble.
LISTADO OBTENIDO CON MINITAB Resultados ( desarrollamos en clase )
4. Utilice algn paquete de cmputo para formar una distribucin de frecuencias y producir un histograma de los datos no agrupados de la tabla siguiente, para las cantidades otorgadas en 40 prstamos personales.
Resultados ( desarrollarn los alumnos )
TEMA N 2
Medidas de tendencia central
LA MEDIA ARITMTICA
De un conjunto de datos numricos es la suma de todas las observaciones del conjunto, dividida entre el numero de observaciones.
Simbologa.- Frmulas.
Dependiendo de la informacin disponible ( poblacional o muestral) se puede tener:
Donde :Xi = Valor de la i ensima observacin de la variable (suma de todos los datos)
N = Tamao de la poblacin (Nro. De datos)
n = Tamao de la muestra (Nro. De datos)
Propiedades:
1. La Media aritmtica es un valor representativo debido a que es el centro de gravedad o punto de equilibrio de un conjunto de observaciones.
2. Si se sustituye el valor de cada observacin por el valor del Promedio Aritmtico no vara la suma de todas las observaciones.
3. La suma de las desviaciones de las observaciones con respecto al promedio aritmtico es igual a cero.
4. Si cada observacin de una muestra se le suma una constante el promedio de las nuevas observaciones ser igual al promedio de la muestra original ms la constante.
5. Si a cada observacin de una muestra se le multiplica por una constante, el promedio de las nuevas observaciones ser igual al promedio de la muestra original multiplicada por la constante.
Ejemplos:
E1 : Tenemos los salarios anuales (en soles) de 7 supervisores.
34,500; 30,700; 32,900; 36,000; 34,100; 33,800; 32,500. Calcular la media (u).
u = S/. 33,500; u representa el salario medio anual para los miembros de esta planilla.
La Media Ponderada
Frmula:
EjemplosE3: Una empresa comercializadora de telfonos celulares dispone de tres vendedores, c/u. de los cuales cobra diferente comisin por telfono vendido y realizan diferentes nmeros de ventas. Calcule e interprete el valor medio de la comisin.
Interpretacin:
Si se elige al azar un vendedor se espera que cobre una comisin de: S/. 38.67 por cada telfono vendido.
E4: suponga que los costos de produccin y las cantidades producidas por tres sucursales A, B y C son:
SucursalCosto de Produccin (x)Cantidad Producida (p)
A
B
C1,20
1,60
1,05500
200
900
Calcular el costo de produccin promedio por unidad producida.
Solucin
Interpretacin:
El costo de produccin promedio por artculo, para la empresa es de 1,16 soles por cada unidad producida.
La Mediana
La mediana de un conjunto de observaciones ordenadas de acuerdo a su magnitud, es el valor de la observacin que ocupa la posicin central de dicho conjunto.
Caractersticas:
1. La mediana divide a un conjunto de observaciones en dos partes iguales. El 50% con valores mayores a la mediana y el otro 50% con valores menores a la mediana.
2. Como medida de posicin, la mediana es influenciada por el nmero de observaciones y no por los valores de las observaciones.
Clculo de la Mediana:
Para determinar la posicin de la mediana se usa la siguiente frmula:
Med = X (n/2 + ) .............................................. (2.4)
Si n es impar.
Para un grupo con un nmero par de elementos, la mediana se encuentra a la mitad entre los dos valores adyacentes al centro es decir:
Ejemplos
E1 : Los siguientes datos se refieren al nmero de clientes atendidos durante los ltimos 11 das en una tienda de artefactos. Calcule e interprete la mediana.
12, 10, 5, 15, 8, 11, 13, 8, 10, 17, 16
Solucin
En este caso los datos ordenados son:
5, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17 y con
n = 11 se tiene:
Med = X (n/2 + ) = X(11/2 + ) = X6 = 11
Interpretacin:
Durante 5 das se atendieron a menos de 11 clientes, y durante 5 das se atendieron a mas de 11 clientes.
E6: Si se tiene las observaciones: 5, 8, 7, 9, 6, 5, 4, 3. Calcular la Mediana.
Solucin
En este caso los datos ordenados son:
3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 y con n = 8 se tiene:
El valor de la mediana se encuentra entre los valores cuarto y quinto de este conjunto ordenado, es decir 5 y 6 en este caso, la mediana es 5.5.
MODA
La Media Aritmtica Para datos agrupados
Los datos agrupados son datos dados en tablas de frecuencias.
Cuando se agrupan datos en una distribucin de frecuencias, se utiliza el punto medio de cada clase (xc) como aproximacin de todos los valores contenidos en ella.
Frmulas Usadas:
Ejemplos
E9: La distribucin de frecuencias siguiente, representa los puntajes obtenidos en una evaluacin del desempeo aplicado al personal tcnico de una empresa. El puntaje mximo de la prueba es 60. Calcule e interprete en Media.
Tabla 2.1 Distribucin de frecuencias de los puntajes por evaluacin de 60 Tcnicos.
Solucin
En la misma tabla calculamos la marca de clase (xc), es decir el valor intermedio de cada clase intervalo, y (fx), obtenemos:
Interpretacin:
Si se elige al azar un tcnico se espera que tenga un puntaje de 26.25 en su evaluacin de desempeo.
E10: En la tabla siguiente se muestra una distribucin de frecuencias de salarios mensuales de 100 trabajadores. Calcule e interprete la Media.
Tabla 2.2 Salarios Mensuales de 100 trabajadores
Interpretacin:
Si se elige al azar un trabajador se espera que tenga un salario mensual de S/. 2949,50.
La Mediana Para datos agrupados
Primero, se determina la clase (intervalo) que contiene el valor de la mediana, luego determinar el valor de la mediana dentro de la clase.
La clase que contiene la mediana es la primera cuya frecuencia acumulada iguala o excede la mitad del total de observaciones.
Frmula Utilizada:
Ejemplo
E11: la siguiente tabla muestra el salario mensual de 100 trabajadores. Hallar la Mediana.
Tabla : Salarios Mensuales de 100 trabajadores
Salario MensualNmero de
Trabajadores (f)Frecuencia Acumulada (fa)
S/. 2400 2599
2600 2799
2800 2999
3000 3199
3200 3399
3400 - 3599 7
20
33
25
11
4 7
27
60
85
96
100
Total: 100
Solucin
En la misma tabla calculamos (fa); la clase intervalo que contiene a la mediana es la que incluye el valor N/2 = 100/2 =50. La Primera cuya frecuencia acumulada es igual o superior a 50 es la clase que tiene los lmites 2800 2999 ( con lmite exacto inferior 2799.50).
Para hallar el valor de la mediana en esta clase:
Interpretacin:
La mitad de los trabajadores gana menos o igual a S/. 2938,89 y la otra mitad de trabajadores gana ms o igual a S/. 2938,89.
La Moda para Datos Agrupados
Para datos agrupados en una distribucin de frecuencias con intervalos de clases iguales, para hallar la moda, primero se identifica la clase que contiene la moda determinando cul de ellos tiene el mayor nmero de observaciones, luego se aplica la frmula de la moda.
Frmula Utilizada:
Ejemplo
E12: Con referencia a los datos agrupados de la tabla 2.3. Hallar la moda.
Tabla : Salarios Mensuales de 100 trabajadores.
Salario MensualNmero de
Trabajadores (f)Frecuencia Acumulada (fa)
2400 2599
2600 2799
2800 2999
3000 3199
3200 3399
3400 - 3599 7
20
33
25
11
4 7
27
60
85
96
100
Total: 100
Solucin
La clase intervalo que contiene el mayor nmero de observaciones (frecuencia), es el que corresponde a 2800 2999 (clase modal).
Para hallar el valor de la moda es esta clase:
Interpretacin:
El salario de valor ms frecuente es de S/. 2923,31
TEMA N3
DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
Cuartiles, Deciles y Percentiles
Mientras que la mediana divide a una distribucin de datos en dos mitades.
Los Cuartiles los dividen en cuatro cuartos iguales.
Los Deciles los dividen en 10 dcimas iguales.
Los Percentiles los dividen en 100 partes iguales.
Frmulas Usadas para datos no agrupados:
EjemplosE13: Los importes mensuales (en soles) de 15 personas en un restaurante, en forma ascendente son:
1000, 1000, 2500, 2500, 2500, 3500, 4000, 5300, 9000, 12500, 13500, 24500, 27500, 30300 y 41000.
Determinar los valores de:
a) Segundo Cuartil.
b) Segundo Decil
c) Punto Percentil 40.
Solucin
Siendo n = 15:
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS
Se utilizan algunos ejemplos de frmulas como:
Como podemos observar, la frmula de la mediana (2,8) se modifica de acuerdo con el punto fraccionario de inters (Q, D, P se encuentran en la clase cuya frecuencia acumulada excede al valor del Q, D, P solicitado).
E14: Con referencia a la siguiente tabla la cual indica el tiempo requerido para auditar saldos de cuentas.
a) Determinar el valor del Tercer Cuartil.
b) El Primer Decil.
c) El Punto Percentil 90.
Tabla : Tiempo requerido para auditar saldos de cuentas.
Tiempo de Auditora Nmero de
Registros (f)Frecuencia Acumulada (fa)
10 19
20 29
30 39
40 49
50 59 3
5
10
12
20 3
8
18
30
50
Total: 50
SolucinEn la misma tabla calculamos fa. En primer lugar, calculamos la clase que tiene el punto de inters 3n/4 = 3x50/4 = 37,5 (Quinta clase) de acuerdo con las frecuencias acumuladas.
Luego segn frmula:
Conclusin:
49,5 es el lmite exacto inferior de la clase que contiene la medicin 3n/4 37.5, por tanto el cuartil 3 se encuentra en el quinto intervalo y su valor es 53,25 min.
a) La clase que contiene el punto de inters (primer decil) = 1xn/10 = 50/10 = 5, LI se encuentra en la clase (intervalo) cuya fa excede a n/10 5 x (8).
Luego segn frmula:
Conclusin:
19,5 es el lmite superior de la clase que contiene la medicin n/10 5, por tanto el decil 1 se encuentra en el segundo intervalo y su valor es 23.5 min.
b) La clase que contiene el punto de inters (percentil 90) = 90xn/100 = 90x50/100 = 45
LI se encuentra en el intervalo cuya fa excede a 90n/100 45x 50.Luego segn frmula:
Conclusin:
LA MEDIA GEOMETRICA Se utiliza para calcular tasas medias de variacin, como la tasa media de crecimiento poblacional, la tasa media de inflacin mensual, la tasa media de mortalidad, entre otros.
Frmula
EjemploE15: La siguiente tabla muestra la tasa de aumento en las ventas durante los ltimos meses. Calcule e interprete la tasa media mensual.
MesesEneFebMarAbrilMayo
Aumento
de Ventas2.6 %5.4 %3.8 %0.5 %1.4 %
Solucin
La tasa 2.6 % tambin se puede expresar como 0,026 y como se refiere a un aumento a partir de 100%, el factor de variacin ser 1,026 (1 representa el 100%, aumento representa >1) para los otros datos se procede igual.
Reemplazando en la frmula:
Interpretacin:
Si se selecciona al azar un mes entre Enero y Mayo, se espera que las ventas se hayan incrementado 2.72% con respecto al mes anterior.
La Media Armnica (Xh)
Se utiliza para calcular el tiempo medio, velocidad y aceleracin media, como el tiempo medio para realizar un proceso productivo.
Frmula:
EJEMPLOE16: Los siguientes datos registran el tiempo medio que utilizan 4 clientes al realizar una compra de un artefacto domstico. Calcule e interprete el tiempo medio.
Cliente A B C D
Tiempo
(Minutos) 45 38 52 40
SOLUCIN
Para n = 4
Reemplazando en la frmula
TALLER 02
ACTIVIDAD APLICATIVA AUTOEVALUACIN
MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIN DE LOS DATOS
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Media, Mediana Y Moda
1. De en una empresa que tiene 200 empleados, el ingreso promedio es S/. 1200,cual es la cantidad de dinero destinado al pago sueldos?
2. Una empresa tiene 100 trabajadores cuyo sueldo promedio es de S/. 900. El
prximo mes se piensa incrementar el sueldo de cada trabajador en S/. 100
Con cuanto dinero se debe contar para poder pagar los nuevos sueldos?
3. Una empresa tiene 100 trabajadores cuyo sueldo promedio es de S/. 900. El
prximo mes se piensa incrementar el sueldo de cada trabajador en 20% de su
sueldo actual Con cuanto dinero se debe contar para poder pagar los nuevos
sueldos?
4 Una empresa tiene 100 trabajadores cuyo sueldo promedio es de S/. 900. El
prximo mes se piensa incrementar el sueldo de cada trabajador en 20% de su
sueldo actual y adems da una bonificacin de S/. 50 Con cuanto dinero se
debe contar para poder pagar los nuevos sueldos?
5. Una muestra de 20 trabajadores de una compaa pequea obtuvieron los
siguientes salarios para un mes determinado. (En dlares)
240, 240, 240, 240, 240, 240, 240, 240, 255, 255, 265, 265,
280, 280, 290, 300, 305, 325, 330 y 340.
Calcule: a) la media, b) la mediana y c) la moda, para este conjunto de salarios.
6. Si estuviera usted en cada uno de las siguientes situaciones, seale qu medida de promedio reportara para los datos del problema anterior y en qu sentido puede considerarse tpico cada valor. a) Como Vicepresidente responsable de las negociaciones colectivas con los trabajadores, b) Como Presidente de los representantes de los trabajadores.
7. El nmero de accidentes ocurridos durante determinado mes en 13 reas de manufactura de una planta industrial fueron:
2, 0, 0, 3, 3, 12, 1, 0, 8, 1, 0, 5, 1. Calcule: a) la media, b) la mediana, y c) la moda para el nmero de accidentes por rea.
8. En una compaa que maneja 4 productos, los mrgenes de utilidad correspondientes a c/u de ellos durante el ao fiscal anterior fueron: producto A, 4,2 %; producto B, 5,5 %; producto C, 7,4 % y producto D, 10,1 %. Hallar el margen de utilidad promedio.
9. Supongamos que Ramiro el dueo de un grifo vende (en miles de soles) 5 tipos de combustibles. En la tabla siguiente se muestra c/u de ellos junto con el costo por galn y el nmero de galones vendidos. Calcular la media aritmtica simple y la media ponderada del costo obtenido por Ramiro.
La Media Ponderada
10. Suponga que los precios al menudeo de determinados artculos han sufrido los cambios que se muestran en la tabla siguiente. Determine el cambio porcentual promedio de los precios al menudeo con referencia al promedio de gastos que se indica en la tabla.
Tabla (d) Cambios en los precios al menudeo de algunos artculos durante un ao.
ArtculoAumento PorcentualGasto Mensual Promedio
(Antes del Aumento)
Leche
Carne Molida
Ropa
Gasolina 10%
-6
-8
20 S/. 2000,00
3000,00
3000,00
5000,00
Media, Mediana y Moda Para Datos Agrupados
11. Con referencia a la tabla (c) la cual muestra la distribucin de frecuencias por el pago mensual alquiler de departamento.
Determinar el alquiler mensual promedio en termino de: 1) Media (u), Mediana (Med), c) Moda (Mo), interprete su respuesta:
SolucinEn la misma tabla calculamos el punto medio de clase (x), (f(x) y fa obteniendo:Tabla (e). Distribucin de Frecuencias para alquiler mensual por departamento.
S/. 499,50 es el lmite exacto inferior de la clase que contiene la frecuencia ms alta.
12. Las siguientes cifras son los importes del consumo en dlares de quince personas en un restaurante en orden ascendente; 10, 10, 25, 25, 25, 35, 40, 53, 90, 125, 135, 245, 275, 309, 410. Determinar:
a) La media, la mediana y la moda.
b) El segundo cuartil, el segundo decil y el percentil 40.
13.Una muestra de doce trabajadores s prob en cuanto a su capacidad de sostener firmemente un objeto; las medidas, ordenadas de menor a mayor fueron:
80,6; 89,9; 101,4; 102,6; 115,0; 120,1; 123,4; 126,3; 131,8; 138,6; 151,6 y 160,5. Determine:
a) El primero, segundo y tercer cuantil.
b) El segundo decil.
14. Hallar la media geomtrica de una serie 18, 21, 23, 24 y 22 tomada en este orden.
15. La siguiente Tabla muestra la tasa de incremento en los pagos de impuestos de una empresa durante los ltimos meses. Calcule e interprete la tasa media mensual.
SOFTWARE ESTADSTICO (Aplicacin por Computadora)
MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIN DE LOS DATOS
Resultados por computadora de la Media y la MedianaEjercicios y Problemas
1. Utilice una computadora para calcular la media y la mediana de los datos de la tabla A del primer capitulo, que contiene los tiempos que una muestra de 30 empleados requieren para llevar a cabo un trabajo de ensamble.
Solucin
Como puede observarse el tiempo medio de ensamble es 13.3 minutos, el tiempo mediano de ensamble es 13.5 minutos
2. Utilice una computadora para calcular la media y la mediana de los datos de la tabla B del primer capitulo, que contiene los montos de 40 prstamos personales.
3. Utilice una computadora para calcular la media y la mediana de los datos de la tabla siguiente, que contiene las utilidades combinadas en millones de dlares, obtenidas en transacciones nacionales e internacionales por las 100 empresas multinacionales con oficina matriz en los E.U. Las columnas sucesivas de nmero corresponden a la lista alfabtica de las empresas en la tabla original.Tabla: B Montos de 40 prstamos Personales (en miles de soles)
S/. 932
515
452
1900
1200
1278
2540
586
1650
1219S/. 1000
554
973
660
720
1388
851
329
1423
727 S/. 356
1130
300
1610
1525
1000
1830
335
532
655 S/.2227
354
2112
445
784
870
630
3000
334
1590
TABLA C: UTILIDADES COMBINADAS EN MILLONES DE DLARES DE 100 EMPRESAS AMERICANAS
1071
784
197
835
960
724
447
600
448
1159457
283
405
254
473
2060
5423
258
119
119722
2,276
312
772
803
499
3308
430
60
1576 81
579
1169
2433
754- 353
708
524
535
1369
115
133
592
145
749108
165
489
1177
791
441
1671
403
445
188 412
215
- 476
531
918863
522
536
916
1467370
-1060
1652
532
333512
1231
1181
338
58097
838
220
519
252 348
339
627
437
2,2272762
668
409
98
15672380
1992
1281
1851
2310458
580
729
257
598
TEMA N4 MEDIDAS DE DISPERSIN O VARIACIN DE LOS DATOS
ORGANIGRAMA
Mientras que las medidas de Tendencia Central identifican el valor Tpico representativo en un conjunto de datos en contraste:
Las medidas de variacin (dispersin) describen la medida de esta variabilidad segn sea grande o pequea con respeto a una Medida de Tendencia Central (Media) o u.Ejemplo:
Conocidos los porcentajes o notas (x) de 80 estudiantes de Mtodos Cuantitativos 1 se les puede disponer formando una distribucin de frecuencias que da una idea ms ordenada de las caractersticas de la variable x (calificacin o puntos).
( 1ro se le calcula la media de la variable x. Con este valor se puede representar la distribucin de frecuencias.
Si los puntajes (Notas) son muy altos con respeto a la media la variabilidad ser grande.
Si los puntajes (Notas) son muy prximos a la media, la variabilidad ser pequea.
La Medida de esta variabilidad es lo que se llama Medidas de Variacin o Dispersin.
EL RANGO (AMPLITUD TOTAL) (R)
Es la diferencia entre los valores mayor y menor del conjunto de datos.
R = My MnDonde:
R = Rango o Amplitud.
My = mayor valor del grupo.
Mn = Menor valor del grupo.
E1: Durante un mes determinado del verano, 8 vendedores de aparatos elctricos vendieron el siguiente N de ventiladores:
8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11.
Hallar el rango de unidades vendidas.
SolucinR = My Mn = 16 5 = 11,0 unidades.
E2: Dos grupos de estudiantes (A y B) tienen la misma media = 70 puntos c/grupo.
Los puntajes ms altos y ms bajo de cada grupo son:
A: 93 y 25.
B: 73 y 66.
Hallar el Rango Amplitud.
Solucin
Para A: 93-25 = 68 puntos
Para B: 73 66 = 7
LA DESVIACIN MEDIA
Incluye todos los datos. Es la media de las desviaciones a partir de algn valor central. Tal como la media o la mediana de una distribucin.
Cuando se refiere a la Media como valor central se tiene la Desviacin Media es decir alrededor de la Media.
E3: Para encontrar las frmulas: Si tenemos las siguientes calificaciones de alumnos (sobre 100 puntos)
50, 55, 60, 70, 75, 80.
Hallar al Desviacin Media:
Solucin
2) Los desvos de este valor son:
-15, -10, -5, 5, 10, 15.
El signo (-) indica que la direccin de los desvos es hacia la
izquierda.
3) La distancia de las desviaciones (Cantidad de Variabilidad):
Ignorando los signos (-) (Observamos que la suma algebraica de
los desvos a partir de la media es siempre = 0).
Hallamos la media de las desviaciones:
Entonces la Desviacin media (DM) = 10.
Por Tanto: La frmula empleada para hallar la desviacin Media:
E4: Para los datos de ventas de aparatos elctricos que se dieron en el E1, hallar la Desviacin Media (DM).
Solucin
Interpretacin:
En Promedio, las ventas de ventiladores por vendedor difiere en 2,6 unidades de la media del grupo, en cualquier direccin.
LA VARIANZA.
LA DESVIACIN ESTNDAR
Debido a que se dificulta la interpretacin del significado del valor de una varianza, porque las unidades en que se expresa son valores al cuadrado.
E4: De acuerdo al ejemplo dado Donde:
8 vendedores vendieron el siguiente N de ventiladores 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11.
2do Tabla: Considerando estas ventas como poblacin:
CLCULOS ABREVIADOS DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIN ESTNDAR.
Para no realizar el clculo de c/u de las desviaciones con respecto a la Media Grupal, existen Frmulas abreviadas equivalentes, las cuales son:
MEDIDAS DE VARIABILIDAD (DISPERSIN) ASIMETRA Y CURTOSIS DE LOS DATOS.
Formas de Curvas de frecuencias.
Despus de haber dibujado el polgono de frecuencias y la curva ojiva para la distribucin de frecuencias acumuladas, tambin tenemos los siguientes tipos de curvas:
En trminos de ASIMETRA (Lados Laterales), una curva de frecuencia puede ser:
(1) Asimtrica Negativa: Asimtrica con la cola hacia la izquierda.
(2) Asimtrica Positiva: Con la cola hacia la derecha.
(3) Simtrica.
FIG.3.1. ASIMETRA DE PEARSON
En trminos de Kurtosis (vrtice superior), una curva de frecuencia puede ser:
(1) Platikrtica: Plana, con las observaciones distribuidas de manera relativamente uniforme en todas las clases.
(2) Leptokrtica: Puntiaguda, con las observaciones concntricas en un estrecho rango de valores.
(3) Mesocrtica: Ni plana ni puntiaguda, en trminos de la distribucin de los valores observados.
FIG. 3.2. KURTOSIS
EL COEFICIENTE DE VARIACIN (C.V.)
Indica la Magnitud relativa de la Media de la Distribucin:
Su frmula es:
Si consideramos 2 o ms distribuciones con medios bastantes diferentes o si se miden en unidades distintas, ser peligroso extraer conclusiones sobre la dispersin a partir de un nico valor de la Desviacin Estndar. Es como comparar manzanas con naranjos: por tanto se recurre frecuentemente al uso del C.V.
Se aplica para comparar la variabilidad de 2 conjuntos de datos con respeto al nivel general de los valores de c/conjunto (y, por ello respeto a la media).
E6: Para 2 Acciones Comunes de Empresas
(Telefnica A Claro B)
El precio promedio de cierre en la bolsa de un mes fue:
Accin A = $15000 con desviacin estndar de 500.
Accin B = $5000, con desviacin estndar de 300.
Haciendo una comparacin absoluta, result ser superior la variabilidad en el precio de la accin A, debido a que muestra una mayor desviacin estndar. Pero con respecto al nivel de precios, deben compararse los respetivos coeficientes de variacin:
Interpretacin: El Precio de la accin B ha sido casi 2 veces ms variable que la accin A.
(Con respecto al precio promedio para c/u de las 2).
COEFICIENTE DE ASIMETRA DE PEARSON (SESGO)
Mide la desviacin de la simetra, expresando la diferencia entre la media y la mediana con respecto a la desviacin estndar del grupo de mediciones.
Su Frmula:
As, la distribucin de las unidades vendidas tiene una ligera asimetra negativa, es decir, est sesgada hacia la izquierda.
FIG. 3.3. ASIMETRA DE PEARSON.
EL RANGO Y LOS RANGOS MODIFICADOS PARA DATOS AGRUPADOS.
Para datos agrupados en una Dist. De frecuencias el Rango (R):
Limite Exacto Superior de la clase (intervalo) ms alto Ls(A) y el lmite exacto inferior de la clase (Intervalo) ms baja LI (B)
As: R= Ls (A)- LI (B)
E9: En los siguientes datos agrupados de las salarios mensuales de 100 trabajadores hallar el rango.
Salario Mensual
$Lmites Exactos
De Clase
2400 2599
2600 2799
2800 2999
3000 3199
3200 3399
3400 35992399,50 2599,50
2599,50 2799,50
2799,50 2999,50
2999,50 3199,50
3199,50 3399,50
3399,50 3599,50
R = Ls(A) LI(B) = 3599,50 2399,50 = 1200
DESVIACIN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
Para los datos agrupados en una distribucin de frecuencias, se asume que el punto medio de cada clase (Intervalo), representa a todas las mediciones includas en esa clase (intervalo); es igual que el clculo de la media para datos agrupados.
Frmula Empleada:
E10: Para los datos de salarios diarios del Problema anterior calcular la Desviacin Media.
Solucin
LA VARIANZA Y LA DESVIACIN ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS.
Se asume que el punto medio de clase (intervalo) representa a todas las mediciones incluidas en esa clase.
Frmulas Empleadas:
E11: Para los datos de salarios diarios que se presentan a continuacin.
Hallar la Desviacin Estndar muestral
3.12 FORMULAS ABREVIADAS PARA DATOS AGRUPADOS SON LOS SIGUIENTES:
E12: Del problema anterior calcular la Desviacin Estndar resultante probando de esta manera la Respuesta, usando Frmulas abreviadas.
TALLER 03
ACTIVIDAD APLICATIVA AUTOEVALUACIN
Gua de Practicas (Problemas Propuestos)
MEDIDAS DE VARIACIN (DISPERSIN) DE DATOSRANGO DESVIACIN MEDIA VARIANZA DESVIACIN ESTANDAR COEFICIENTES DE VARIACIN Y DE ASIMETRIA
MEDIDAS DE DISPERSIN (VARIACIN)
1. En un estudio contable, las utilidades de empresas son: 15, 9, 11,10 y 11 en millones de S/. Calcule la varianza y desviacin estndar de estas utilidades.
2. Una empresa fabrica clavos que se venden por cajas. Para una muestra de 40
cajas, se observaron los siguientes nmeros de clavos por caja.
Hallar la varianza y desviacin estndar
3.Calcule la Desviacin Media para los siguientes datos: 1000, 1000, 2500, 2500, 2500, 3500, 4000, 5300, 9000, 12500, 13500, 24500, 27500, 30900 y 41000.
4. Calcular la desviacin estndar muestral para los datos del problema anterior utilizando:
a) La Frmula de Desviaciones y b) La Frmula abreviada alternativa, y demuestre que las respuestas son iguales.
5. Una muestra de 20 trabajadores calificados de una compaa pequea obtuvieron los siguientes salarios en un mes determinado: $240000, 240000, 240000, 240000, 240000, 240000, 240000, 240000, 255000, 255000, 265000, 265000, 280000, 280000, 290000, 300000, 305000, 325000, 330000 y 340000.Determine: La Desviacin Media, La Varianza Muestral, La Desviacin Estndar Muestral, utilizando las frmulas de desviacin.
6.Determine el coeficiente de variacin segn datos del problema anterior.
7.Calcule el coeficiente de asimetra para los datos del problema 3.
8. Para los siguientes datos de las rentas por departamento.
Calcule: La Desviacin Media y la Desviacin Estndar utilizando las frmulas de desviaciones, las frmulas abreviadas y demuestra que las frmulas son equivalentes.
9.En la siguiente tabla se reproducen los datos sobre el nmero promedio de lesiones por millar de horas hombre en una industria especifica.
Calcule:
a) La Desviacin Media
b) La Varianza Muestral
c) La Desviacin Estndar Utilizando las frmulas abreviadas.
SOFTWARE ESTADSTICO (Aplicacin por Computadora)
MEDIDAS DE VARIACIN (DISPERSIN)
Utilice una computadora para determinar el rango y la desviacin estndar para los datos dados sobre el tiempo de una muestra de 30 empleados en una tarea de ensamblaje.
MAXIMUN OF TIME
MAXIMUM of TIME = 18
MTB > MINIMIM TIME K2
MAXIMUN OF TIME
MINIMUM of TIME = 9
MTB > SUBTRACT K2 K1 K3
Answer = 9.0000
MTB > stdev TIME
Standard Deviation of time
Standard deviation of time =
UNIDAD II Probabilidades, distribucin de probabilidadesCONTENIDOS PROCEDIMENTALES
Formula serie de preguntas relacionadas con probabilidades.Elabora en un cuadro las diferencias entre los sucesos de suma y multiplicacin
Reconoce e identifica la situacin problemtica del promedio en probabilidades. Elabora un resumen de la relacin entre distribucin Binomial y Poisson
Expresa su punto de vista sobre las distribuciones de Probabilidad estudiadas y argumenta con propiedad sus ideas en la aplicacin de los problemas para su profesin. Elabora un cuadro de las aplicaciones informticas.
CONTENIDOS ACTITUDINALES
Acepta formar parte de los grupos en el desarrollo de los problemas de probabilidad para la contabilidad con actitud motivadora.
Evala las diferentes distribuciones de probabilidades bajo el contexto de aplicacin a su profesin.
Respeta las consideraciones emitidas por sus compaeros con actitud de compresin
Asiste al laboratorio de Computo para comprobar y emitir resultados informticos.
CONTENIDOS CONCEPTUALES
TEMA N 5 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES
TEMA N 6 MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES
TEMA N 7 DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES
TEMA N 8 DISTRIBUCION BINOMIAL
TEMA N 9 DISTRIBUCION POISSON
ORGANIGRAMA
PROBABILIDAD , DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES
DEFINICIN DE PROBABILIDAD
Es un nmero real que expresa la confianza o incertidumbre de un suceso o evento, cuyo resultado no se puede predecir con certeza.
EXPERIMENTO ALEATORIO (E)
ESPACIO MUESTRAL (()
EVENTO
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos o ms eventos son mutuamente excluyentes si no tiene elementos comunes es decir, si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Tambin, la ocurrencia de un evento automticamente impide la ocurrencia del otro(u otros). Por ejm: supongan que se consideren dos posibles eventos as y rey con respecto a la extraccin de una carta de una baraja (52 cartas). Estos eventos son mutuamente excluyentes porque ninguna carta puede ser al mismo tiempo as y rey, otro ejemplo sera obtener un as y un cinco al lanzar un dado.
EVENTOS NO EXCLUYENTES
Dos o ms eventos son no excluyentes cuando es posible que ocurran al mismo tiempo Ejm:
Evento A: masculino
Evento B: menor de 30 aos
No son mutuamente excluyentes porque una persona elegida al azar podra estar en ambas categoras .
En los dos eventos as y oros, estos eventos no son mutuamente excluyentes porque una carta determinada puede ser al mismo tiempo as y oro, sin embargo, esto no indica que todo as sea oro o todo oro sea as.
EVENTOS COMPLEMENTARIOS
DEFINICIN CLSICA DE PROBABILIDAD
Es una fraccin cuyo numerador es el No de casos favorables y cuyo denominador es el nmero total de los casos posibles.
Frmula:
E5: Aparte de los ejemplos dados tenemos:
Si se lanzan 3 monedas. Hallar:
a) El Espacio Muestral, b) P(A) = obtener exactamente 2 caras, c) Exactamente 2 sellos y d) Exactamente 3 caras.
Solucin
PROBABILIDAD SUBJETIVA
CONSIDERACIONES GENERALES
1. La Probabilidad de ocurrencia de cada Punto Muestral, debe estar entre 0 y 1.
0 ( P(A) ( 1
2. La Suma de las Probabilidades de todos los puntos Muestrales debe ser igual a 1.
P(A) + P(A) = 1
Es decir en una observacin o experimento dados, el evento debe ocurrir o No. Por ello la suma de la probabilidad de ocurrencia + la Probabilidad de no ocurrencia siempre es igual a 1.
REGLAS DE PROBABILIDAD: SUMA ADICIN DE PROBABILIDADES
E6: Se extrae una carta de una baraja de 52, los eventos as (A) y rey (R) son mutuamente excluyentes.
Hallar la probabilidad de extraer ya sea un as o un rey en una sola extraccin.
Solucin
De: P(A o R) = P(A) + P(R) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13
2.Reglas de Adicin para eventos que no son mutuamente excluyentes.
E7: Un cliente ingresa a una panadera. La Probabilidad de que compre (a) pan es 0,60, b) Leche es 0,50 y c) Pan y leche es 0,30. Cul es la Probabilidad de que compre pan, leche o ambos?.
Solucin
E8: Cuando se extrae una carta de un mazo de 52 cartas, los eventos as y una espada no son mutuamente excluyentes.
Hallar la Probabilidad de obtener un AS (A) o una Espada (E) o ambos en una sola extraccin.
Solucin
P(AoE)= P(A) + P(E) P(A y E)
= 4/52 + 13/52 1/52 = 16/52 = 4/13
EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno, no tiene ningn efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. Y son dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno si afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento.
E9: El lanzamiento de una moneda por dos veces se considera eventos independientes, porque el resultado del primer lanzamiento no tiene ningn efecto sobre las respectivas probabilidades de que ocurra una cara o sello en el segundo lanzamiento.
E10: La extraccin de dos cartas sin reemplazo de un mazo de barajas son eventos dependientes, por que las probabilidades asociadas con la segunda extraccin dependen del resultado de la primera extraccin. Especficamente si saliera un as en la primera extraccin entonces la probabilidad de que salga as en la segunda extraccin, es la razn del nmero de ases que sigue habiendo en las barajas con respecto al nmero total de cartas, o 3/51.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Definicin:
Una medida de la probabilidad de que ocurra un evento particular, dado el hecho que otro ya ha ocurrido o de que hay certeza de que ocurra, se llama probabilidad condicional.
Para dos eventos A y B, dicha probabilidad se denota, siempre por P (A/B) o P (B/A), lo que se lee como la probabilidad de A, dado B o la probabilidad de B, dada A ya que la lnea vertical quiere decir dada dado.
Cuando dos eventos son dependientes usamos la siguiente frmula de probabilidad condicional.
PROBABILIDAD CONJUNTA:
Definicin:
Una Medida de la Probabilidad del acontecer simultneo de dos o ms eventos se llama probabilidad conjunta. Para los eventos A y B, esta probabilidad se simboliza por P(AyB) o P(A(B).
Solucin
Consideramos los siguientes conjuntos.
Este resultado queda comprobado por el hecho que de los 3 resultados pares 2, 4, 6 slo 2 son mayores que 3.
TEMA N 6 MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES
REGLA DE LA MULTIPLICACIN (A(B) : PARA EVENTOS INDEPENDIENTES.Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia del otro (Ejm. Lanzar dos veces una moneda al aire). Esto significa de que lo que haya ocurrido en A, la probabilidad asignada a B es siempre la misma. Por Tanto:
P(B/A) = P(B)
Obtenemos la Frmula:
P(A(B) = P(A) . P(B)
E13: Cul es la probabilidad de que en una familia con 2 hijos ambos sean varones.
Uso de Diagramas de rbol para eventos Independientes.
tiles para ilustrar los posibles eventos asociados con observaciones o ensayos secuenciales, del ejemplo anterior obtenemos:
REGLA DE LA MULTIPLICACIN: PARA EVENTOS DEPENDIENTES.Esta dada por la frmula:
En Palabras: Expresa que la probabilidad de que ocurra A y B es igual a la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B, dado que A ha ocurrido.
Uso del Diagrama de rbol para Eventos Dependientes.
E17: Una urna contiene 6 bolitas blancas y 4 negras, se extraen 2 bolitas sucesivamente y sin restitucin.
a) Cul es la probabilidad de que ambas bolitas sean blancas?.
b) Cul es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra?.
c) Cul es la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda blanca?.
d) Cul es la probabilidad de que ambas sean negras?.
Solucin
Resumen de Resultados:
TALLER 04
ACTIVIDAD APLICATIVA - AUTOEVALUACIN
GUA PRACTICA POR RESOLVER
Clculo de Probabilidades
5. Se lanza dos monedas. Cul es la probabilidad de obtener.
a) Exactamente una cara?.
b) Por lo menos una cara?.
c) No obtener una cara?.
6. Se lanzan dos dados no cargados. Cul es la probabilidad de obtener?.
d) 7?.
e) 7 u 11?.
f) Suma divisible por 3?.
g) No obtener 7?.
7. Se elige una carta de una baraja. Cul es la probabilidad de que sea?.
h) Un as?.
i) Una espada?.
j) Un as o una espada?.
k) Un as o una carta roja?.
l) Una carta con una figura?.
8. La probabilidad de que llueva el 12 de octubre es 0,10; de que truene es 0,05 y de que llueva y truene es 0,03. Cul es la probabilidad de que llueva o truene en ese da?.
9. En cierta zona de la ciudad, la probabilidad de que una persona tenga televisor es 0,80; una mquina lavadora es 0,50 y que tenga ambos es 0,45. Cul es la probabilidad de que una familia tengan televisor o mquina lavadora o ambas cosas?.
10. La probabilidad de que un vendedor de autos venda por lo menos 3 autos en un da es 0,20. Cul es la probabilidad de que venda 0, 1 2 autos en ese da?.
11. La probabilidad de que la seora hablantina reciba a lo ms 5 llamadas telefnicas en un da es 0,20; y por lo menos 9 llamadas telefnicas en un da es 0,50. Cul es la probabilidad de que la seora hablantina reciba 6, 7 8 llamadas en un da?.
12. Una caja contiene 100 tubos de televisor. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0,05 y de que tenga al menos dos tubos defectuosos es 0,01. Cul es la probabilidad de que la caja contenga:
a) Ningn tubo defectuoso?.
b) Exactamente un tubo defectuoso?.
c) A lo ms un tubo defectuoso?.
Clculo de Probabilidades Regla de la Multiplicacin
14. De los estudiantes de una universidad, el 35% son varones y el 8% son varones que estudian contabilidad. Si se elige un estudiante al azar y ste resulta ser varn. Cul es la probabilidad de que estudie contabilidad?.
15. Una urna contiene 7 bolas blancas y 5 negras, si se saca dos bolas.Cul es la probabilidad de que las dos sean blancas si:
m) Se extrae sin restitucin.
n) Se extrae con restitucin.
16. La urna A contiene 5 bolitas blancas y 7 rojas y la urna B contiene 3 bolitas blancas y 6 rojas. Se saca una bolita de la urna A y una de la urna B. Cul es la probabilidad de que las dos bolitas sean blancas?.
17. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 6 rojas, la urna B contiene 3 bolitas blancas y 5 rojas y la urna C 7 blancas y 7 rojas. Se saca una bolita de cada urna. Cul es la probabilidad de que sean las tres del mismo color?
18. Se sacan dos cartas , sin restitucin, de una baraja de 52 cartas. Cul es la probabilidad de que:
o) La primera carta sea un as y la segunda un 5?.
p) Se obtenga un as y un 5?.
q) Ninguna de las dos cartas sea as?.
r) Ninguna de las cartas sea as ni 5?.
19. Se sacan dos cartas sin restitucin de una baraja de la cual se han eliminado previamente las cartas con figuras. Cul es la probabilidad de que la suma de los puntos de las cartas sea 19?.
20. Se sacan 5 cartas sin restitucin de una baraja. Cul es la probabilidad de que:
s) Las primeras tres cartas sean reynas y las dos ultimas reyes?.
t) Slo las tres primeras cartas sean reinas?.
u) Las tres primeras cartas sean reinas?.
21. Se extraen cartas sucesivas y sin restitucin una baraja. Cul es la probabilidad de que:
v) La primera reyna aparezca en la tercera extraccin?.
w) Aparezca una reyna en la tercera extraccin?.
22. Se lanza un dado tres veces. Cul es la probabilidad de que:
x) La suma de los puntos sea 3 4?.
y) La suma de los puntos obtenidos sea mayor que 4?.
TEMA N 7
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
ESPERANZA MATEMTICA (VALOR ESPERADO O PROMEDIO)
As como en los conjuntos de datos mustrales y poblacionales ya estudiados; es til tambin describir una variable aleatoria en trminos de su media
El Valor Esperado.-Es la Media (A Largo Plazo) de una variable aleatoria x y se denota mediante E(x). Usado tambin para analizar juegos al azar, esperar una ganancia y otros.
Donde: E(x) = Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
xP(x) = Valor Ponderado
E2: Considerando el N de caras que puede resultar al lanzar 3 monedas simultneamente. Los ocho resultados posibles de este experimento aparecen a continuacin en el lado izquierdo.
ResultadoN de CarasProbabilidad
SSS
CSS
SCS
SSC
SCC
CSC
CCS
CCC0
1
1
1
2
2
2
31/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
Designando cada nmero posible de caras por x y su probabilidad por P(x), enumeramos en la tabla de la derecha todos los nmeros posibles de caras con sus respectivas probabilidades. Observamos que hay mayor posibilidad de obtener 1 o 2 caras que 0 y 3.
Supongamos ahora que las tres monedas se lanzan un nmero infinito de veces. Si bien en este nmero infinito de ensayos esperamos obtener un promedio de 1,5 caras por lanzamiento.
Este promedio A largo plazo de 1,5 caras por lanzamiento se llama esperanza matemtica.
E3: Con base en la tabla del 1er. ejemplo, hallar el valor esperado de la variable aleatoria. (Promedio de alquiler diario de camionetas)
Solucin
Clculo del valor esperado para la demanda de camionetas.
Se espera alquilar diariamente en promedio 5,66 camionetas.
E4: Una caja contiene 3 bolitas negras y 7 blancas. Se saca una bolita de la caja si sta es negra Ud. gana $2, pero si es blanca usted pierde $1. Cul es la esperanza matemtica de este juego?
Solucin
Designamos por x toda posible ganancia o perdida y por P(x) la probabilidad respectiva, calculamos la esperanza matemtica:
Interpretacin:La esperanza matemtica de este juego es una prdida de $0,10.
Suponiendo que se haga este juego varios miles de veces. Cada vez se ganar $2 o perder $1. Sin embargo en esos miles de juegos se puede esperar una prdida promedio de $0,10 por juego.
5.3LA DISTRIBUCIN BINOMIAL
Es una distribucin discreta de Probabilidad para aplicarla a diversos modelos de toma de decisiones. Siempre y cuando se ajuste a un proceso Bernoulli
Frmula de Distribucin Binomial:
Para determinar la Probabilidad de un N determinado de xitos x.
E5: La Probabilidad de que un gerente de compras elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a 6 gerentes de compras, hallar la probabilidad de que realice exactamente 4 ventas.
Solucin
E6: En relacin con el ejemplo anterior, hallar la probabilidad de que el vendedor logre 4 o ms ventas.
Solucin
Uso de las Tablas de Probabilidades Binomiales
Como el uso de la frmula binomial implica una cantidad considerable de clculos cuando la muestra es relativamente grande. Por tanto usamos las tablas de probabilidades binomiales.
E7: Si la probabilidad de que un gerente de compras elegido al azar realice una compra es de 0,20.
Hallar la probabilidad de que un vendedor que visita a 15 gerentes realice menos de 3 ventas:
SolucinSabemos:
Ejemplo de Aplicacin:
Segn una revista estudiantil, el 45% de los que terminaron los ciclos en la Universidad trabajan durante el verano con el objeto de ganar dinero para pagar el importe de la enseanza del curso siguiente. Si se eligen al azar 30 estudiantes. Cul es la probabilidad de que: a) 13 trabajan en el verano, b) ninguno trabaja, c) mas de 23 trabajan.
Solucin
a) Localizamos en la tabla el valor de n = 30, p = 0,45 y para x = 13 obtenemos un valor de 0,1433, es decir existen 14,33% de probabilidad de que 13 de los 30 estudiantes trabajen en verano para ganarse el dinero de la enseanza.
b) Con n=30 y p=0,45, la tabla indica de que la probabilidad de que no trabaje ninguno es p(x=0) = 0,0000.
c) Se observa que la probabilidad de que mas de 23 estudiantes trabajen es de P(x >23) / n =30, p = 0,45 = 0000.
Interpretacin: Es bastante imposible que no trabaje ninguno o trabajen todos los estudiantes.
E8: Ejemplo caso en que p > 0,50
INSTALAR CIRCUITOS ELCTRICOS
Considrese un caso en el que la probabilidad de xito en cualquier ensayo, p, es mayor de 0,50, que es el valor ms alto del apndice. Un trabajador instala correctamente circuitos impresos con p = 0,95. Si se instalan 20 circuitos.
a) Cul es la probabilidad de que precisamente 16 se instalen en forma correcta?.
Solucin
La respuesta deseada se puede encontrar si se modifica la pregunta en trminos de fracaso en lugar de xito.
El trabajador no instala correctamente los circuitos el 5% del tiempo. Si ahora leemos p como la probabilidad de fracaso en cualquier ensayo. Podemos hallar en la columna p = 0,05 una probabilidad de obtener precisamente cuatro circuitos defectuosos como 0,0133. Esto implica tambin una probabilidad de obtener 16 circuitos perfectos.
Es decir:
n = 20
p( x=4/n=20, p=0,05) = 0,0133
x = 4
b) Cul es la probabilidad de obtener al menos cuatro circuitos instalados incorrectamente. Y la de obtener a lo sumo tres circuitos defectuosos?
Solucin
Obtener al menos 4 circuitos defectuosos = P(x=4) + P(x=5) + ... + P(x=20) circuitos defectuosos, sto suma segn tabla 0,0133 + 0,0022 + 0,0003 = 0,0158, del mismo modo.
P(a lo sumo 3 circuitos defectuosos), se encuentra como la suma de las probabilidades de obtener 0, 1, 2 y 3 circuitos defectuosos, es decir 0,3583 + 0,3774 + 0,1887 + 0,0596 = 0,9842.
Observamos que la suma de ambas respuestas suman 1,00.
Es decir: P(x(4/n=20, p=0,05) = 1P(x(3/n=20, p=0,05)
5.4LA DISTRIBUCIN POISSON
La Distribucin Poisson se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un nmero designado de eventos, cuando stos ocurren en un continuo de tiempo o espacio. (Por ejemplo en un intervalo de tiempo) en vez de ocurrir en ensayos u observaciones fijas como en el proceso Bernulli.
Ejm. La entrada de llamadas en un conmutador telefnico.
Se consideran:
a) Los eventos son independientes
b) El proceso es estacionario (permanece constante de un ensayo a otro)
Slo se requiere un valor para determinar la probabilidad de que ocurra un nmero designado de eventos en un proceso de Poisson:
Este es el nmero promedio a largo plazo de eventos para el tiempo o dimensin especfico de inters. Esta media es ( la letra griega lambda
La frmula para determinar la probabilidad de un N determinado de xitos N en una distribucin de Poisson es:
E9: Un departamento de reparacin de maquinaria recibe un promedio de cinco solicitudes de servicio por hora. La probabilidad de que se reciban exactamente tres solicitudes en una hora seleccionada al azar es:
Solucin
E10: Puede determinarse la respuesta del ejemplo anterior utilizando el apndice 4 de probabilidades Poisson?.
Solucin
Nota 1: Cuando lo que interesa es la probabilidad de x o mas o x o menos. Se aplica la regla de adicin para eventos mutuamente excluyentes.
E11: Si en un Dpto. de reparacin de maquinaria se recibe un promedio de 5 solicitudes de servicio por hora, hallar la probabilidad de que se reciban menos de 3 llamadas en una hora elegida al azar.
Solucin
Como se supone que un proceso Poisson es estacionario, se concluye que la media del Proceso es siempre proporcional a la longitud del continuo del tiempo o espacio.
Nota 2: Si se tiene disponible una media para una longitud de tiempo, puede determinarse la media para cualquier otro periodo de tiempo que se requiere.
Esto es importante porque el valor de ( que se utiliza debe aplicarse al periodo de tiempo pertinente.
E12: En promedio, 12 personas hacen preguntas cada hora a un consultor de decoracin en una tienda de telas. Calcular la probabilidad de que tres o ms personas acudan a un periodo de 10 minutos (1/6 de hora).
Solucin
Dado x = N de Personas
Promedio por horas = 12
TALLER 05
ACTIVIDAD APLICATIVA - AUTOEVALUACIN
Gua de Practicas (Problemas Propuestos)DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
A.Valor Esperado
1. Se ha determinado que el nmero de camiones que llegan cada hora a un almacn tiene la distribucin de probabilidad que se muestra en la tabla dada.
Calcule: a) El nmero esperado de llagada x, por hora.
2. Las ventas por hora de una mquina automtica pueden se 20, 21 o 22 cajetillas de cigarrillos con probabilidades de 0,3; 0,5; y 0,2 respectivamente. Cul es la venta por hora esperada para esta mquina?
3. Una urna contiene 5 bolitas negras y 8 blancas. Se saca una bolita de la urna si esta es negra usted gana 15 soles, pero si es blanca usted pierde 13 soles. Cul es el Valor Esperado de este juego?.
B.Distribucin Binomial
4. Dada la distribucin binomial con p = 0,25 y n = 7, utilcese la frmula y la tabla de distribucin binomial para determinar.
a)P(X ( 2)
c)P(X ( 4)
b) P(X = 2)
d)P(X = 4)
5. Dada la distribucin binomial con p = 0,85 y n = 9, utilcese la tabla de distribucin binomial para determinar:
a)P(X ( 7)
c)P(X ( 5)
b)P(X = 7)
d)P(X = 5)
6. Dada la distribucin binomial con p = 0,35 y n = 8, utilcese la formula y la tabla de distribucin binomial para determinar:
a)P(X = 0)
c)P(X < 3)
b)P(X = 3)
d)P(X ( 3)
7. Dada la distribucin binomial con p = 0,70 y n = 20, utilcese la tabla de distribucin binomial para determinar:
a)P(X = 0)
c)P(X > 3)
b)P(X = 12)
d)P(X ( 3)
8. Debido a las elevadas tasas de inters, una empresa reporta que el 30% de sus cuentas por cobrar de otras empresas estn vencidas. Si un contador toma una muestra aleatoria de cinco de esas cuentas.
Determine la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos, utilizando la frmula de la probabilidad binomial:
a. Ninguna de las cuentas est vencida
b. Exactamente 2 cuentas estn vencidas.
c. La mayor parte de las cuentas estn vencidas.
d. Exactamente el 20% de las cuentas estn vencidas.
C.Distribucin Poisson
9. El nmero promedio de los homicidios en cierta metrpoli es de 2 por da. Utilizando la distribucin de Poisson, determnese la probabilidad de que en un da dado haya.
a. No ms de 3 homicidios.
b. Exactamente 3 homicidios
10. El promedio anual de terremotos en Chile es de 0,5. Utilcese la distribucin de Poisson para determinar la probabilidad de que no haya terremotos en Chile en los 3 aos.
11. El Promedio mensual de incendios grandes en una ciudad es de 1.5. Utilcese la distribucin de Poisson para determinar la probabilidad de que haya exactamente un incendio grande en un periodo de dos meses.
12. La mesa conmutadora del Gran Hotel Emperador recibe un promedio de 10 llamadas telefnicas por minuto. Utilcese la distribucin de Poisson para determinar la probabilidad de que lleguen exactamente 4 llamadas en un periodo de 30 segundos.
13. El nmero promedio de fallas en un rollo de un cierto tipo de papel mural es de 2.5. Utilcese la distribucin de Poisson para determinar la probabilidad de que un rollo tenga 4 o ms fallas.
UNIDAD III: Distribucin normal, distribucin de la media muestralCONTENIDOS PROCEDIMENTALES
Formula y soluciona problemas de las Distribuciones Normal y Muestral aplicadas a su profesin.
Interpreta grficos de las Distribuciones respectivas
Formula preguntas relacionadas con su profesin , aplicaciones actuales y futuras.
Elabora los datos de entrada y salida por computadora.
CONTENIDOS ACTITUDINALES
Evala adecuadamente las Distribuciones Relacionadas con sus usos . Asume con actitud de colaboracin y respeto al grupo asignado
Valora con propiedad las implicancias para el desarrollo de su profesin de las distribuciones estudiadas
CONTENIDOS CONCEPTUALES
TEMA N 10 DISTRIBUCION NORMAL
TEMA N 11 DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL
TEMA N 12 DISRRIBUCION DE LAS PROPORCIONES
TEMA N10
DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Distribucin Normal
E13: Para la distribucin continua de probabilidad de la figura dada, la probabilidad de que un embargue seleccionado al azar tenga un peso neto entre 6000 y 8000 kilogramos es igual a la proporcin del rea total bajo la curva que se encuentre bajo el rea sombreada. Es decir se define que el rea total bajo la funcin de densidad de probabilidad es igual a 1, y se puede determinar la proporcin de esta rea que se encuentra entre dos puntos determinados.
Existen diversas distribuciones continuas de probabilidades comunes que son aplicables como modelos a una amplia gama de variables continuas en determinadas circunstancias. Existen tablas de Probabilidades para esas distribuciones estndar para determinar las reas bajo la curva de probabilidad para estas distribuciones (con la distribucin normal).
La Distribucin Normal de Probabilidad
Es una distribucin continua de probabilidad que es al mismo tiempo, simtrica y mesokrtica definidas en l capitulo 3. Se describe a la curva de probabilidad que representa a la distribucin normal como una campana.
Uso de las Tablas de Distribucin Normales
Las tablas de las probabilidades normales se basan en una distribucin especfica: la Distribucin Normal Estndar.
En el apndice 5 se obtienen las posiciones de rea para diversos intervalos de valores para la distribucin normal estndar, en donde el lmite inferior del intervalo es siempre la media.
Aqu se transforman los valores designados de la variable x en valores normales estndar.
E14: Se ha ajustado el proceso de fabricacin de un tornillo de precisin de manera que la longitud promedio de los tornillos sea u = 13.0 cm.
Por supuesto, no todos los tornillos tienen una longitud exacta de 13 centmetros, debido a fuentes aleatorias de variabilidad. La desviacin estndar de la longitud de los tornillos es ( = 0,1 cm. y se sabe que la distribucin de las longitudes tienen una forma normal. Determine la probabilidad de que: un tornillo elegido al azar tenga una longitud de entre 13,0 y 13,2 cm., e ilustre la proporcin del rea bajo la curva normal asociada con este valor de probabilidad.
De la figura (a)
E15: Del problema anterior Cul es la probabilidad de que la longitud del tornillo exceda de 13,25 cm?. Ilustre la proporcin del rea bajo la curva normal correspondiente a este caso.
E16: Del problema anterior, Cul es la Probabilidad de que la longitud del tornillo este entre 12,9 y 13,1. Ilustre la proporcin de rea bajo la curva normal correspondiente a este caso.
E17: Del problema E16, Cul es la probabilidad de que la longitud de los tornillos se encuentren entre 12, 8 y 13,1 cm.? Ilustre la proporcin del rea bajo la curva normal para este caso.
Solucin
E18: Del Prob. E16: Cul es la probabilidad de que la longitud del tornillo este entre 13,1 y 13,2 cm.? Ilustre la proporcin del rea bajo la curva normal muy importante para este caso.
E19: La Distribucin Normal de trabajadores de una Industria tiene u = 50 aos y ( = 5 aos, 20 % de los trabajadores estn bajo una cierta edad. Cul es la edad?.
E20: La estatura media de los soldados de un regimiento es de 170 cm., 10% de estos soldados miden mas de 175 cm. Si tiene una distribucin Normal. Cul es (?
TALLER 6
ACTIVIDAD APLICATIVA AUTOEVALUACIN
Distribucin Normal14. La estatura de los soldados de un regimiento est distribuida normalmente con una media de 69 pulgadas y una desviacin estndar de 2 pulgadas.
a. Cul es la probabilidad de que un soldado mida mas de 72 pulgadas?
b. Cul es el porcentaje de soldados cuyas estaturas estn entre 69 y 73 pulgadas?
c. Si para la realizacin de una cierta misin, un soldado debe estar en el 20% de los de mayor estatura, Cul es la estatura mnima para participar en esta misin?.
15. Un rodamiento es considerado defectuoso y por lo tanto es rechazado si su dimetro es mayor que 2.02 pulgadas o menor que 1,98 pulgadas. Cul es el nmero esperado de rodamientos rechazados si los dimetros de una partida de 10,000 rodamientos estn distribuidos, normalmente con una media de 2 pulgadas y una desviacin estndar de 0.01 pulgadas?.
16. Los puntajes finales en un curso de Psicologa estn distribuidos normalmente con una media de 60 y una desviacin estndar de 10.
a. Si el puntaje mnimo para aprobar es 48, Cul es el porcentaje de fracasos?
b. Si han de aprobar el 80% de los estudiantes, Cul debe ser el puntaje mnimo aprobatorio?
17. En una industria alimenticia se comercializa harina en paquetes de PESO NETO 500 grs.. El proceso automtico de llenado de los paquetes puede regularse de modo que la cantidad media de harina por paquete puede ajustarse al nivel que se desee. Suponiendo que la cantidad de harina por paquete se distribuye normalmente con una desviacin estndar de 0,2 onzas.
a. A qu nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que solo el 0,001 de los paquetes tengan un peso neto inferior a 12 onzas?
b. A qu nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que solo el 0,05 de los paquetes tengan un peso neto superior a 12,4 onzas?.
18. El peso medio de una pia en una partida grande es de 5 libras. El 10% de las pias pesan menos de 4 libras. Suponiendo que los pesos estn distribuidos normalmente. Cul es la desviacin estndar de la partida?.
19. Un estudio reporta los salarios iniciales anuales de los contadores recientemente egresados, y los promediaba en 22500 soles, con una desviacin estndar de 2250 soles. Si los salarios siguen una distribucin normal. Cul es la probabilidad y los porcentajes de que un recin egresado gane:
a) ms de 21,000 soles
b) menos de 25000 soles
c) entre 24000 y 26000 soles
d) como mnimo 20000 soles?
SOFTWARE ESTADSTICO (Aplicacin por Computadora)
DISTRIBUCIN NORMAL
Caso Estudio 1:
LA TELEFNICA tiene un programa de entrenamiento para mejorar la calidad de las habilidades de supervisin de los supervisores .Un estudio de los participantes indica que el tiempo medio usado para completar el programa es de 500 horas, y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviacin estndar de 100 horas. Cul es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera entre 500 y 650 horas para completar el programa de entrenamiento?SOLUCIN UTILIZANDO EL PROGRAMA ESTADSTICO MINITAB 15
1.- Abrir el Minitab. Clic en Graph2.- Colocarse en el siguiente Men y opcin: Graph Probability
Distribution Plot: Ver grfica en clase3.- Se despliega la ventana de Probability Distribution Plots:
Clic en View Probability
Clic OK : Ver grfica en clase
4.- Seleccionar Distribucin Normal
Introducir los valores de la Media (Mean) y la Desviacin Estndar (Standard deviation): Ver grfica en clase
5.- Clic en Shaded Area,
Seleccionar X Value, clic en Middle y proporcionar los valores de X1 Y X2.
Clic OK: Ver grfica en clase
7.- Minitab despliega la grafica de la distribucin normal con el valor de la probabilidad sombreado: Ver grfica en clasela probabilidad de que un participante elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas para completar el programa de entrenamiento es de 0.433.
Caso Estudio 2
Una empresa Auditora realiza estudios especiales de Investigacin Cientfica, dichos estudios se distribuyen normalmente con una duracin media de 820 horas (desde el inicio hasta el trmino de dichos estudios). Con una desviacin estndar de 42 horas. Cul es la probabilidad de que un estudio elegido al azar requiera entre 820 y 855 horas para concluirlo?
TEMA N11
DISTRIBUCIN DE LA MEDIA MUESTRAL
ORGANIGRAMA
Debido a factores como tiempo y costo, se estiman los parmetros poblacionales desconocidos por ejemplo la media (u) examinando la informacin de la muestra () de la poblacin, la cual debe ser representativa de la poblacin objeto del estudio.
Por ejemplo, si deseamos hallar el inters hacia el estudi por parte de los estudiantes universitarios de un facultad; en este caso la poblacin ms importante es la recoleccin de respuestas de los estudiantes de la facultad sobre el inters hacia el estudio.
Aqu tomaremos una parte de esta poblacin (muestra), y la usaremos para normar el inters de los estudiantes hacia el estudio.
Si nos basamos en las respuestas de miembros de otras fuentes u otras instituciones obten
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