Makalah ini disusun sebagai tugas mata kuliah Geometri Disusun Oleh : Kelompok I

Makalah ini disusun sebagai tugas mata kuliah GeometriDisusun Oleh :

Kelompok IHayatun Nufus 08030121Rina Ariyani 08030057Dwi Ananda Feriana 08030030

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP)MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG

TAHUN 2010

TRANSFORMASI

Latar BelakangPembentukan suatu geometri untuk mempelajari bahan yang disajikan dalam transformasi perlu memahami geometri pada bidang, oleh karena itu geometri ini di sajikan untuk mengingat kembali geometri tersebut, sekedar untuk suatu penyegaran. Yang akan kita bahas yaitu geometri Euclides bidang. Geometri Euclides bidang yaitu sebuah himpunan unsure-unsur tak teridentifikasinya dinamakan titik. Bidang ini dinamakan bidang Euclides, apabila pada himpunan titik-titik ini kita berlakukan suatu struktur geometri yang terbagi atas unsure-unsur tak terdefinisi, macam-macam axoioma, definisi- definisi dan teorema- teorema.

BAB IPENDAHULUAN

1. Sistim axoioma insidensi.a. Sebuah garis adalah himpunan titik yang kosong dan

mengandungpaling sedikit 2 titikb. Kalau ada 2 titik maka ada tepat sebuah garis yang

memuat dua titik tersebutc. Ada 3 titik yang tidak semua terletak pada satu garis.

2. System axioma urutan yang mengatur konsep urutan tiga titik pada sebuah garis, konsep setengah garis sinar, konsep ruas garis.

3. System axioma kekongruenan yang mengatur kekongruenan dua ruas garis, kekongruenan dua segitga dan sebagainya.

4. Axioma kekontinuan (atau Axio Archimedes) yang mengatakan bahwa apabila a dan b dua bilangan real positif dengan a < b maka ada bilangan asli n sehingga na > b

5. Axioma kesejajaran euclides yang menyatakan bahwa apabila ada dua ruas garis a dan b dipotong ke garis ke tiga c dititik A € a dan titik B € b sehingga jumlah besarnya dua sudut dalam sepihak di A dan B kurang dari 180o maka a dan b akan berpotongan pada bagian bidang yang terbagi oleh garis c yang memuat kedua sudut dalam sepihak.

Rumusan MasalahSesuai dengan latar belakang diuraikan maka dapat kita uraikan masalah yang sebelumnyatidak kita ketahui yaitu apa pengertian transformasi itu.

TujuanTujuan dari penulisan makalah ini adalah membantu mahasiswa sebagai calon pengajar dalam menjelaskan/ memahami mata kuliah geometri trnasformasi, sehingga memudahkan proses belajar mahasiswa.

TransformasiSuatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Seperti anda ketahui suatu fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat :

BAB II PEMBAHASAN

1. SurjektifSurjektif artinya bahwa pada titik B V ada prapeta. Jadi kalau T suatu transformasi maka ada A V sehingga B = T (A)B dinamakan peta dari A oleh T dan A dinamakan prapeta dari B.

2. InjektifInjektif artinya kalau A1 ≠ A2 dan T (A1) = B1, T (A2) = B2

maka B1 ≠ B2, ungkapan ini setara dengan ungkapan

sebagai berikut :Kalau T (P1) = Q1 dan T (P2) = Q2 sedangkan Q1 = Q2

maka P1 = P2. Tugas : coba anda buktikan bahwa kedua

ungkapan itu setara.

Pada contoh-contoh di bawah ini kita beranggapan bahwa V adalah sebuah bidang Euclides, artinya pada himpunan titik-titik V diberlakukan system axioma Euclides.

Contoh 1 :Andaikan A V ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V.

Jadi T : V → V yang didefenisikan sebagai berikut :1)T (A) = A2)Apabila P ≠ A, maka T (P) = Q dengan Q titik tengah

garis . Selidiki apakah padanan T tersebut suatu transformasi

..

P

A R

S = T (R)

Q = T (P)

Jawab :

Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiriAmbil sebarang titik R ≠ A pada V. oleh karena V bidang Euclides, maka ada satu garis yang melalui A dan R, jadi ada satu ruas garis sehingga ada tepat satu titik S dengan S antara A dan R, sehingga AS = SR.

Ini berarti untuk setiap X V ada suatu Y dengan Y = T (X) yang memenuhi persyaratan (2). Jadi daerah asal T adalah V

Y = T (X)

A X

1. Apakah T Surjektif, atau apakah daerah nilai T juga V?

Untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V memiliki prapeta. Jadi apabila Y V apakah ada X V yang bersifat bahwa T (X) = Y?

Menurut ketentuan pertama, kalau Y = A prapetanya adalah A sendiri, sebab T (A) = A

Apabila Y ≠ A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X tunggal dengan X sehingga AY = XY

Jadi Y adalah titik tengah yang merupakan satu-satunya titik tengah. Jadi Y = T (X) Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. dengan demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang surjektif.

2. Apakah T Injektif itu?

Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik P ≠ A, Q ≠ A dan P ≠ Q. P, Q, A tidak segaris (kolinear). Kita akan menyelidiki kedudukan T (P) dan T (Q)

T (Q)

T (P)

Andaikan T (P) = T (Q)

SOAL LATIHAN

Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada

sehingga T (B) = A. Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif, dengan demikian ternyata T suatu transformasi dari V ke V.

Jelas T ( x + 1, y) = ((x+ 1) – 1, y) = ( x, y)Karena (x1

, y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada

sehingga T (B) = A. Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif, dengan demikian ternyata T suatu transformasi dari V ke V.

PENYELESAIAN SOAL No. 2

PENYELESAIAN NOMOR 3

SEKIAN DAN TERIMA KASIH