Los números cardinales y sus operaciones - MATE 3131 · uno con conjuntos para resolver problemas...

Tema:

Los números cardinales y sus

operaciones

Suma y resta de numeros cardinales Los niños usan una correspondencia uno-a-

uno con conjuntos para resolver problemas comparando los elementos de un conjunto con cantidades numéricas... (p. 11, NCTM Focal Points for Kindergarten)

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Suma y resta de numeros cardinales

» asociar nombres de números con una colección de objetos » correspondencia uno-a-uno con conjuntos de objetos que se van a

contar » asociar nombres de números con distintos conjuntos de objetos.

Modelos para la suma Combinando (Counting-All) Aumentando (Counting-On)

Combinando(Counting-All) María tiene tres chocolates y Juan le regala cuatro chocolates, ¿cuántos chocolates tiene María ahora?

3 4 7 ___ + ___ = ___

Aumentando(Counting-On ) María tiene tres chocolates y Juan le regala cuatro chocolates, ¿cuántos chocolates tiene ahora María?

3 + 4 = 7

1

2 3

4 5

6 7

Contextos Cantidades discretas

– Objetos – Modelo de conjunto

Cantidades continuas – Medidas – Modelo de recta numérica

Modelo de conjunto A

B

n(A) =3

n(B) =4

Como los conjuntos iniciales son disyuntos, podemos determinar que

n(A) = 3, n(B) = 4 y n(A∪B) = 7 Por lo tanto, 3 + 4 = 7

número de elementos del

conjunto A

Definición de suma de números cardinales

Sean A y B son dos conjuntos finitos disyuntos. Si n(A) = a y n(B) = b entonces a + b = n(A∪B).

Vocabulario En un enunciado de suma a + b a y b se llaman sumandos . Al resultado se le llama total.

Ejemplo Utilice un modelo para representar la siguiente situación.

Sara compró 5 yardas de tela blanca y 2 de tela amarilla. ¿Cuántas yardas de tela compró Sara?

El modelo de conjuntos no necesariamente es el mejor modelo para esta situación.

Ejemplo Sara compró 5 yardas de tela blanca y 2 de tela amarilla. ¿Cuántas yardas de tela compró Sara?

– Hay que determinar el valor de 5 + 2. – Como las cantidades envueltas son continuas

(longitud) utilizamos el modelo de recta.

Modelo de la recta numérica o de medida

En la recta numérica los puntos representando los números cardinales son los extremos de un segmento unitario, es decir, de una unidad.

4 5 6 2 1 0 3

Sara compró 5 yardas de tela blanca y 2 de tela amarilla. ¿Cuántas yardas de tela compró Sara?

– Hay que determinar el valor de 5 + 2. – Como las cantidades envueltas son continuas (longitud)

utilizamos el modelo de recta.

Modelo de la recta numérica o de medida

Una situación de suma se modela con flechas (vectores) en la recta numérica para representar los sumandos y la suma.

Ejemplo: Representación de 5.

5

4 5 6 2 1 0 3 7

El extremo donde comienza la flecha que representa al primer sumando debe estar en el 0.

Ejemplo: La suma de 5 + 2.

El total corresponde a la longitud de la flecha que comienza en 0 y termina al final de la segunda flecha.

5

4 5 6 2 1 0 3 7

2 5 + 2

El extremo de la flecha que representa el segundo sumando debe estar unido al extremo donde termina la primera flecha, sin dejar espacio.

Ordenamiento de los Cardinales • comparar y ordenar números enteros (por lo

menos hasta 100) para desarrollar la comprensión del tamaño relativo de los números.

NCTM grade 1 Curriculum Focal Points, p. 13

• visualizar los enteros entre 10 y 100 en términos de grupos de decenas y unidades

• entender el orden secuencial de los números naturales y sus magnitudes relativas y representar los números en una recta numérica.

Definición Menor que: Para dos cardinales, a y b, a es

menor que b (denotado a < b), si y solo si, existe un número natural, k, tal que a + k = b.

a ≤ b implica a < b o a = b.

a > b es equivalente a b < a.

Propiedades de la suma • Clausura o cierre • Conmutativa • Asociativa • Identidad

Propiedad de clausura de la suma Si a y b son números enteros, entonces a + b es un número entero.

La propiedad de clausura o cierre implica que existe la suma de dos números enteros, y que la suma es un número entero único.

Por ejemplo, 5 + 6 es un número cardinal único, 11.

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Propiedad conmutativa de la suma

Si a y b son cualesquiera dos números, entonces a + b = b + a.

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Esto implica que aunque las expresiones a los lados del símbolo de igualdad NO son iguales, los valores que estas expresiones representan sí lo son.

Propiedad asociativa de la suma

Para cualesquiera tres números a, b y c:

a + (b + c) = (a + b) + c Nota: Los paréntesis indican la agrupación que se hace.

YTHM © 2008

Ejemplo Explique de que manera se puede llevar a cabo la siguiente suma 2 + 3 + 4 sin utilizar la propiedad conmutativa.

– Sumando primero el 3 y el 4 2 + (3 + 4) – Sumando primero el 2 y el 3 (2 + 3) + 4

YTHM © 2008

Los paréntesis se utilizan para indicar qué se

sumará primero.

En ambos casos obtenemos el mismo resultado: 9

Manipulativo tangible Barras de cuisenaire (barras de colores)

1 cm 2 3 4 5 6 7 8 9

10

Representación 2 + (3 + 4) (2 + 3) + 4

Propiedad de identidad Existe un número cardinal único 0, la identidad aditiva, tal que para cualquier cardinal a, a + 0 = a y 0 + a = a es decir, a + 0 = a = 0 + a

Ejemplo: A

n(A) =3

B = ∅ n(B) = 0

n(A) + n(B) = 3 + 0 y n (A∪B) = 3

Por lo tanto, 3 + 0 = 3.

Práctica ¿Cuáles propiedades se ilustran en cada una de la siguiente?

a. 5 + 7 = 7 + 5

b. 1001 + 733 is a unique whole number.

propiedad conmutativa de la suma

propiedad de clausura de la suma

Práctica ¿Cuáles propiedades se ilustran en cada una de la siguiente?

c. (3 + 5) + 7 = (5 + 3) + 7

d. (8 + 5) + 2 = 2 + (8 + 5) = (2 + 8) + 5

propiedad conmutativa de la suma

propiedad conmutativa y asociativa de la suma

Dominio de datos básicos de la adición

Aumentando: Comience con el sumando mayor. Aumente una cantidad de unidades igual al sumando menor. • Por ejemplo, para sumar 4 + 2, comience con 4, y luego

contar dos unidades, 5 y 6.

Dobles: Cuando los estudiantes dominan dobles (como 3 + 3), entonces dobles + 1 y dobles + 2 se puede aprender fácilmente. • Por ejemplo, si un estudiante sabe que 6 + 6 = 12,

entonces 6 + 7 es (6 + 6) + 1 = 12 + 1 = 13. (propiedad asociativa)

Dominio de datos básicos de la adición

Formando 10: Reagrupar para formar grupos de 10 y un sobrante. • Por ejemplo: 8 + 5 se puede sumar como sigue:

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Dominio de datos básicos de la adición

Conteo regresivo: Por lo general, se utiliza cuando un número es 1 o 2 menor que 10. • Por ejemplo, como 9 es 1 menos que 10,

entonces 9 + 7 es 1 menos que 10 + 7 o sea 16.

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