Logika matematika1

LOGIKA LOGIKA MATEMATIKAMATEMATIKA

Pertemuan I

Apaan tuh?

Bu AP berkata : Jika nilai matematikamu 9, maka saya akan traktir kamu

Bagaimana jika ternyata :

Nilai matematikamu 9, dan Bu AP mentraktir kamu?

Nilai matematikamu 9, tetapi Bu AP tidak mentraktir kamu?

Nilai matematikamu tidak 9, tetapi Bu AP mentraktir kamu?

Yang akan dipelajari hari ini:

• Kalimat Pernyataan (Proposisi)

• Kalimat Bukan pernyataan

• Kalimat terbuka– Himpunan penyelesaian kalimat terbuka

• Ingkaran Pernyataan

• Ingkaran Kalimat terbuka

Pernyataan (Proposisi)

• Definisi:Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduanya

• Biasa dilambangkan dengan huruf kecil

• Nilai Benar dilambangkan dengan B / T / 1Nilai Salah dilambangkan dengan S / F / 0

• Contoh pernyataan:p : 2 adalah bilangan prima terkecilq : Surabaya terletak di pulau Jawar : 3+7=9s : Jakarta adalah ibu kota Jawa Baratt : Jumlah sudut segitiga adalah 180o

• Nilai kebenarannya:p bernilai B/ τ (p) =B s bernilai S/ τ(s)=S

q bernilai B/ τ(q) =B t bernilai B/ τ(t )=B

r bernilai S/ τ(r ) =S

Kalimat Bukan Pernyataan

• Contoh kalimat bukan pernyataan:– Selamat ulang tahun– Mari kita pergi– Di mana rumahmu?

Umumnya Kalimat-kalimat yang subjektif tidak tergolong pernyataan alias bukan pernyataan

Contoh : Kue ini enak Adikku cantik

LatihanManakah yang merupakan

pernyataan?p : Bogor mendapat julukan kota hujan

Pernyataan, τ(p) = B

q : = -5Pernyataan, τ(q) = S

• Siapa namamu?Bukan pernyataan

• 3+4 > 9Pernyataan yang bernilai salah

• 4 x 5Bukan pernyataan

2)5(−

Kalimat Terbuka & Himpunan Penyelesaiannya

• Kalimat yang nilai kebenarannya tidak dapat ditentukan apakah benar atau salah, karena masih mengandung variabel.

• Contoh:q(Y): Y adalah seorang presiden.

p(x): x + 4 = -9

Supaya kalimat terbuka di atas menjadi pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran, maka variabel harus digati dengan himpunan penyelesaiannya:

Y={SBY, George W Bush, dan semua presiden lainnya}

x={-13}

Ingkaran Pernyataan (Negasi)

• Negasi biasa dilambangkan ~

• Berfungsi untuk membuat nilai suatu pernyataan menjadi kebalikannya

• Contoh:p: 7 adalah faktor dari 16

Maka

~p: Tidak benar bahwa 7 adalah faktor dari 16

~p: 7 bukan faktor dari 16

• Contoh lain:

• q: Bajuku berwarna hitamMaka

~q: Tidak benar bahwa bajuku berwarna hitam.

~q: Bajuku tidak berwarna hitam.

BS

SB

~pp

Ingkaran Kalimat Terbuka

p(x) : 3x +1 = 7~p(x) : 3x + 1 ≠ 7p(x) dan ~p(x) belum mempunyai nilai

kebenaran

Agar p(x) menjadi pernyataan yang benar,HP p(x) = {2}HP ~p(x) = {xx ≠2, x∈R}

Homework

Latihan 1 hal 153 no. 1, 2, 4

Latihan 2 hal 155 no. 1. a, b, c, d, e

Bahan selanjutnya…

• Pernyataan berkuantor– kuantor universal (umum)– Kuantor eksistensial (khusus)

• Ingkaran pernyataan berkuantor

Pernyataan Berkuantor

• Kuantor Universal (∀) baca : untuk setiap/semua• Kuantor Eksistensial (∃) baca : ada/beberapa

• Contoh:• Semua siswa SMAK1 pernah belajar di

perpustakaan• Ada bilangan genap yang juga bilangan prima• Beberapa siswa memakai kacamata• Contoh lain??

• Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan :- mengganti variabel dengan HP-nya

- menggunakan kuantor

• Misal p(x) adalah kalimat terbuka yang didefinisikan dalam semesta S, maka:“Untuk setiap x di dalam S, kalimat p(x) adalah

benar” dinotasikan dengan : ∀x∈S, p(x)

“Ada x di dalam S, sedemikian sehingga p(x) benar” dinotasikan dengan: ∃x ∈S, p(x)

Contoh• p(x): 2x=7

Jika A adalah himpunan bilangan asli, maka :

∃x ∈ A, 2x=7, merupakan pernyataan yang salah

∀x ∈ A, 2x=7 merupakan pernyataan yang salah

Jika R adalah himpunan bilangan real, maka:

∃x ∈ R, 2x=7, merupakan pernyataan yang benar

∀x ∈ R, 2x=7 merupakan pernyataan yang salah

Semua kuda berlari cepat

ekuivalen degan:

Jika x kuda, maka x berlari cepat.

Tetapi tidak ekuivalen dengan:

Jika x berlari cepat maka x kuda.

Ada kuda berlari cepat

ekuivalen dengan:

Sekurang-kurangnya ada satu kuda yang berlari cepat

Ingkaran pernyataan Berkuantor Universal

• Ingkaran dari “∀x ∈S, p(x) benar” adalah:– Tidak semua x ∈S, p(x) benar; atau– Ada x ∈S, p(x) tidak benar– Notasi : ~[∀x ∈S,p(x)] ≡ ∃ x ∈S,~p(x)Contoh:Ingkaran dari : Semua siswa SMAK1 pernah

belajar di perpustakaan adalah:“Tidak semua siswa SMAK1 pernah belajar di

perpustakaan” atau:“Ada siswa SMAK1 yang tidak pernah belajar di

perpustakaan”

Ingkaran pernyataan BerkuantorEkistensial

• Ingkaran dari “∃x∈S, p(x) benar” adalah:– Tidak ada x ∈S, p(x) benar; atau– Untuk semua x ∈S, p(x) tidak benar

– Notasi : ~[∃ x ∈S,p(x)] ≡ ∀ x ∈S,~p(x)

Contoh:

Ingkaran dari : Ada siswa SMAK1 berkaca mata adalah:

“Tidak ada siswa SMAK1 yang berkacamata” atau:

“Semua siswa SMAK1 tidak berkacamata”

Contoh

• Tentukan ingkarannya!

• Semua tamu boleh menyalami pengantin

• Beberapa orang kaya tidak hidup bahagia

–Ada tamu yang tidak boleh menyalami pengantin–Tidak semua tamu boleh menyalami pengantin

–Semua orang kaya hidup bahagia–Tidak ada orang kaya tidak hidup bahagia

Homework

• Latihan 11, 12, hal 183, 186 no:

1. a,b,c,d

2. a,b,c,d

3. a,b,c,d

4. a,b,c,d• Lat 13 hal 190 no : 1. a, b, c, d

3. a, b, c, d

4. a, b, c, d, g, h, i, j

Jawaban PR• Lat 11 hal 183 Lat 12 hal. 183 Lat 13 hal 1902. a. ekuivalen 1. a. ekuivalen 1. a. B

b. tidak b. tidak b. Sc. ekuivalen c. ekuivalen c. Sd. tidak d. tidak d. B

2. a. S 2. a. B 3. a. Semua org kaya hidup bahagiab. B b. S b. Semua fs kwdrt memtg sb x c. S c. S c. Untuk semua bil real x, makad. B d. B x2+10 ≠ 0

3. a. S 3. a. B d. Untuk semua bil real x, makab. S b. B x2+10 ≠ 8c. S c. S 4. a. ∃ x, x2 ≥ 0d. B d. S b. ∃ x, x2-1 ≠ (x+1)(x-1)

• a. S 4. a. B c. ∃ x, x2-2x+3 ≤ 0b. S b. B d. ∃ x, x2-4x+4 < 0c. B c. Sd. S d. B