View
33
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Funkce
Lineární funkce - příklady
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Jak pracovat s prezentací?
čti a opakuj si
zapiš a narýsuj grafy do školního sešitu
Sleduj, jak jsou označené jednotlivé snímky prezentace a dle toho postupuj
Opakování: Funkce - definice
Funkce je předpis, který každému číslu
z definičního oboru, který je podmnožinou
množiny všech reálných čísel R, přiřazuje
právě jedno reálné číslo.
Funkci značíme obvykle písmenem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmena, např. g, h, …
a obvykle zapisujeme ve tvaru:
nebo ve tvaru:
y = f(x), např. y = 2x+1
f: y = 2x + 1kde proměnná x je argument funkce.
Opakování: zápis funkce
f: y = 2x + 1kde proměnná x je argument funkce, nebo-li
nezávisle proměnná.
Nezávislost je dána tím,
že její hodnotu můžeme
libovolně měnit, ovšem
jen v rámci definované
množiny, definičního
oboru.
Množina všech přípustných hodnot argumentu x,
tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x
pro danou funkci nabývat, se nazývá definiční obor.
Značí se: D(f)
Opakování: obor hodnot
Ke všem přípustným hodnotám argumentu x,
přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny
dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot).
Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které
dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže
za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f).
Značí se: H(f)
Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo,
které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x.
Jinak řečeno: výstupní hodnota funkce.
Obvykle ji značíme y nebo f(x).
Opakování: zadání, zápis funkce
1) Předpisem
(vzorcem, rovnicí)2) Tabulkou
3) Grafem
f: y = 2x + 1x -2 -1 0 1 2
y -3 -1 1 3 5
Opakování: Lineární funkce
Lineární funkce je funkce daná rovnicí
y = kx + qkde k, q jsou libovolná reálná čísla
a definičním oborem množina všech reálných čísel.
Poznámka: Je-li definičním oborem podmnožina (část) množiny všech reálných čísel,
hovoříme o části lineární funkce.
y = 0,5x - 3
Opakování: Graf lineární funkce
Sestrojte graf funkce f: y=2x-1, pro xR.
x -2 -1 0 1 2
y -5 -3 -1 1 3
Grafem funkce je
přímka.
Slovo přímka pochází z
latinského „linea“, což
označuje čáru nebo přímku.
Funkci, jejímž grafem je
přímka říkáme
lineární funkce.
Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí:
32
1 xy
12
1 xy
12
1 xy
x 2 4
y 2 1
x 2 4
y 0 -1
x 2 4
y -2 -3
Jsou-li dvě lineární rovnice určeny
rovnicemi
y=k1x+q1; y=k2x+q2
a jestliže k1=k2, pak grafy těchto funkcí
jsou navzájem rovnoběžné přímky.
Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí
Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí
Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient q
(koeficient k=1).
x 0 1
y 2 3
q=2: y=x+2
x 0 1
y 1 2
q=1: y=x+1
x 0 1
y 0 1
q=0: y=x
x 0 1
y -1 0
q=-1: y=x-1
x 0 1
y -2 -1
q=-2: y=x-2
Koeficient b určuje posunutí
grafu ve směru osy y.
Udává y-ovou souřadnici
průsečíku s osou y.
Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí
Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a
(koeficient b=1).
x 0 1
y 1 3
k=2: y=2x+1
x 0 1
y 1 2
k=1: y=x+1
x 0 1
y 1 1
k=0: y=1
x 0 1
y 1 0
k=-1: y=-x+1
x 0 1
y 1 -1
k=-2: y=-2x+1
Funkce f je rostoucí, právě když
pro každé dvě hodnoty x1, x2
jejího definičního oboru D platí:
Je-li x1<x2, pak f(x1)<f(x2).
a>1funkce
rostoucí
Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí
Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a
(koeficient b=1).
x 0 1
y 1 3
k=2: y=2x+1
x 0 1
y 1 2
k=1: y=x+1
x 0 1
y 1 1
k=0: y=1
x 0 1
y 1 0
k=-1: y=-x+1
x 0 1
y 1 -1
k=-2: y=-2x+1
Funkce f je klesající, právě když
pro každé dvě hodnoty x1, x2
jejího definičního oboru D platí:
Je-li x1<x2, pak f(x1)>f(x2).
a<1funkce
klesající
Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí
Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a
(koeficient b=1).
x 0 1
y 1 3
k=2: y=2x+1
x 0 1
y 1 2
k=1: y=x+1
x 0 1
y 1 1
k=0: y=1
x 0 1
y 1 0
k=-1: y=-x+1
x 0 1
y 1 -1
k=-2: y=-2x+1
Zvláštní případ lineární funkce
y=b se nazývá konstantní funkce.
Grafem konstantní funkce je
přímka rovnoběžná s osou x.
a=0funkce
konstantní
Příklady
1) [1; -1]
Je dána funkce f: y=-3x+2 ; x -3;3). Rozhodněte, která
z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.
… pokud daná uspořádaná dvojice patří funkci f,
musí po dosazení za souřadnice x a y do její rovnice
nastat rovnost. A samozřejmě x-ová souřadnice musí
patřit do definičního oboru funkce.
-1=-3.1+2-1=-1 … uspořádaná dvojice [1; -1] funkci patří.
2) [2; 4]4=-3.2+2
4-4 … uspořádaná dvojice [2; 4] funkci nepatří.
3) [3; -7] … x-ová souřadnice nepatří do definičního oboru!
… uspořádaná dvojice [3; -7] funkci nepatří.
Příklady
[0; 1]
[0; -1]
[0,25; -1/2]
[-1/4; -1,5]
[3/2; -2]
Je dána funkce f: y=2x-1 ; x R. Rozhodněte, která
z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.
Příklady
[0; 1]
[0; -1]
[0,25; -1/2]
[-1/4; -1,5]
[3/2; -2]
Je dána funkce f: y=2x-1; x R. Rozhodněte, která
z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.
Ne
Ano
Ano
Ano
Ne
Příklady
[-3; 2,5]
[0; -0,5]
[3; -1,5]
[6; -3,5]
[-9; 6,5]
Je dána funkce f: y=-2/3x+0,5 ; x -3; 6). Rozhodněte,
která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.
Příklady
[-3; 2,5]
[0; -0,5]
[3; -1,5]
[6; -3,5]
[-9; 6,5]
Je dána funkce f: y=-2/3x+0,5 ; x -3; 6). Rozhodněte,
která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.
Ano
Ne
Ano
Ne
Ne
PříkladyVypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4x - 3
s osami souřadnic.
PříkladyVypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4x - 3
s osami souřadnic.
Průsečík s osou y má souřadnice: [0; y]
Dosazením do rovnice dostaneme: y=-3[0; -3]
Jinak také na základě znalostí vlastností lineárních funkcí
a průběhu jejich grafů víme, že koeficient b v rovnici
lineární funkce určuje průsečík s osou y, přesněji řečeno
jeho y-ovou souřadnici, přičemž x-ová je samozřejmě
nulová. Z toho tedy bez jakéhokoliv výpočtu také vyplývá,
že souřadnice průsečíku s osou x jsou: [0; -3]
Průsečík s osou y má souřadnice: [x, 0]
Dosazením do rovnice dostaneme: 0=4x-3
[3/4; 0]
4x=3
x=3/4
Obecně tedy platí, že průsečík s osou y má vždy souřadnice [0; b].
PříkladyJak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ?
Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte.
PříkladyJak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ?
Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající a zdůvodněte.
f: y = 3
a=0 funkce konstantní
PříkladyJak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ?
Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte.
f: y = -2x
a<0 funkce klesající
PříkladyJsou dány tři lineární funkce: f: y = 2x - 3, g: y = 2x + 5,
h: y = 7x + 5. Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g?
Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h?
PříkladyJsou dány tři lineární funkce: f: y=2x-3, g: y=2x+5, h: y=7x+5.
Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g? Jakou
společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h?
Lineární funkce f a g mají
stejný kladný koeficient a,
jsou tedy rostoucí pod
stejným sklonem (úhlem).
Liší se jen koeficientem b,
tedy jejich grafy jsou
rovnoběžné přímky.
Lineární funkce g a h mají
stejný koeficient b, jejich
grafy tedy mají společný
průsečík s osou y … [0; 5].
Příklady
Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:
A[0,2] a B[2,3].
Příklady
Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:
A[0,2] a B[2,3].
Souřadnice bodů dosadíme do obecné rovnice lineární funkce:y = ax + b
2 = a.0 + b
3 = a.2 + b
Dostaneme tak
soustavu dvou
lineárních rovnic
o dvou neznámých:
koeficientech lineární
funkce a a b. 2 = b
3 = 2a + b 3 = 2a + 2
3 - 2 = 2a
1 = 2a
a = 0,5
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady
Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:
A[0,2] a B[2,3].
Souřadnice bodů dosadíme do obecné rovnice lineární funkce:y = ax + b
Dosazením vypočítaných
koeficientů a a b do
obecné rovnice lineární
funkce dostaneme námi
hledanou rovnici funkce
procházející zadanými
body.
y = 0,5x + 2
Recommended