LÍMITES, CONTINUIDAD, DERIVADAS, FUNCIONES

MATEMÁTICAS SEGUNDA EVALUACIÓN

TEORÍA

Índice:

Funciones, límites y continuidad.

Derivadas, aplicaciones y problemas de optimización.

Estudio de funciones.

FUNCIONES

Una función es una relación entre dos magnitudes de manera que a cada valor de la primera le corresponde como mucho un único valor de la segunda.

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?

La imagen de la izquierda sí es una función, porque a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

La imagen de la derecha no es una función, ya que hay valores de x a los que les corresponde mas de un valor de y.

TIPOS DE FUNCIONES

Lineales:

ax + b

Si la a es mayor que cero la función es creciente (recta roja) y si a es menor que cero la función es decreciente (recta azul).

Parábolas:

De la forma:

ax2 + bx + c

Si la a es mayor que cero la forma de la función será como la de esta imagen.

En cambio si la a es menor que cero la forma de la función es como la de siguiente imagen.

Hiperbólica:

De la forma: k/x

Si la k es mayor que 0 la función es decreciente, como en la siguiente imagen.

Si por el contrario la k es menor que 0 la función es creciente, como en la siguiente imagen.

Función logarítmica:

log x

Log 0+ = - ∞

Log 1 = 0

Log ∞ = ∞

Funciones exponenciales:

K^x

Si la k es mayor que 1 la función crece.

Si la k es menor que 1 la función decrece.

Funciones trigonométricas

¿CÓMO TRASLADAMOS UNA

FUNCIÓN?

Si queremos desplazar una función hacia la derecha, izquierda, arriba o abajo hemos de seguir unas reglas para cada movimiento.

Hacia la derecha: f(x-k)

Hacia la izquierda: f(x+k)

Hacia arriba: f(x)+k

Hacia abajo: f(x)-k

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

LÍMITES

Si la función es continua en dicho punto, el límite coincide con el valor de la función en ese punto.

INDETERMINACIONES [∞/∞]

Se resuelve dividiendo numerador y denominador entre la variable de mayor exponente del denominador (divide el sumando de mayor exponente del numerador entre el sumando de mayor exponente del denominador → simplificar y resolver límite).

[0/0]

Polinomios: Se resuelve

descomponiendo (sacar factor común, ruffini, identidades notables…). Imagen superior.

-Radicales: Se resuelve

multiplicando numerador y denominador por el conjugado de la expresión radical. Imagen inferior.

[∞-∞]

Se resuelve igual que el anterior, se multiplica numerador y denominador por el conjugado de la expresión radical.

[k/0]

Se resuelve estudiando los límites laterales. Si da ∞ y -∞ no existe el límite.

[∞·0]

Se resuelve operando hasta conseguir una única función y se resuelve este límite.

[1^∞]

Esta indeterminación se resuelve con la fórmula:

CONTINUIDAD

F(x) es continua en x=a si se cumple:

TIPOS DE FUNCIONES

Funciones polinómicas: Son siempre continuas en todo su dominio.

Funciones fraccionarias polinómicas: Son discontinuas en aquellos valores de la variable independiente que anulan el denominador de la función.

Funciones radicales de índice par: Son discontinuas en aquellos valores de la variable independiente que hacen que el radicando sea negativo.

Funciones logarítmicas: Son discontinuas cuando el argumento del logaritmo es menor o igual que cero.

Funciones exponenciales de exponente polinómico: Son siempre continuas.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

Discontinuidad evitable: Se dice que f(x) presenta una discontinuidad evitable en un punto x=a si existe limite cuando x→a de f(x). Se llama evitable porque se puede evitar la discontinuidad. Normalmente es: [0/0]. Se tiene que cumplir una de estas dos condiciones:

Discontinuidad inevitable de salto finito (primera

especie salto finito):

Además k1 y k2 son distintas. Por lo tanto, f(x) es discontinua inevitable de salto finito, salto

| k1 – k2 | NOTA: Este tipo de discontinuidad suele venir de funciones a

trozos. Cuando por la izquierda y derecha de un punto donde hay una

posible discontinuidad las funciones son distintas se empieza hallando los límites laterales, sin embargo, si tengo la misma función hallo el limite en el punto.

Discontinuidad inevitable de salto infinito (primera especie salto infinito): Se dice que una función f(x) tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en x=a si los límites laterales en este punto son ± ∞ (al menos uno de ellos).

Discontinuidad de segunda especie: Se dice que una función f(x) presenta una discontinuidad de segunda especie en x=a si alguno de los límites laterales en dicho punto no existe. NOTA: Se da en raíces de índice par y logaritmos.

TEOREMA DE BOLZANO

Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y el signo de la función en los extremos del intervalo es distinto. f(a) · f(b) < 0

Puedo asegurar que existe un punto del intervalo donde la función se anula; es decir, existe una raíz de la función (valor de la variable que hace que se anule la función) en dicho intervalo.

TEOREMA DE WEIERSTRASS Sea f(x) una función

continua en un intervalo cerrado, entonces se cumple que la función f(x) está acotada en dicho intervalo.

Una función puede estar acotada superior o inferiormente. Una función f(x) está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. Una función f(x) está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′.

TEOREMA DE DARBOUX

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y además el valor de f(a) y f(b) son distintos. Entonces podemos asegurar que existe un punto del intervalo donde la función en dicho punto toma valores comprendidos entre f(a) y f(b).

DERIVADAS

Tasa de variación media

Sea f(x) una función definida en un intervalo cerrado [a, b] se llama tasa de variación media a la proporción que hay entre la variación de los valores de la función en dicho intervalo y la variación de la variable independiente.

Coincide con la pendiente de la recta secante de la función en los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)).

Derivada de una función en un punto (f’(a))

Es la pendiente de la recta tangente de la función en dicho punto.

Función derivada de una función

TABLA DE DERIVADAS

TABLA DE DERIVADAS

TABLA DE DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN

Es estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función.

Una función crece en un intervalo (a,b) si para todos los puntos de dicho intervalo, su derivada es mayor que 0.

Una función decrece en un intervalo (a,b) si para todos los puntos de dicho intervalo, su derivada es menor que 0.

PARA CALCULAR LA MONOTONÍA

1.- Hallar los posibles extremos relativos y los puntos de discontinuidad de la función.

2.- Colocamos en la recta real estos puntos.

3.- Estudiar el signo de los intervalos resultantes en la primera derivada. Donde nos da positivo crece, donde nos da negativo decrece.

CURVATURA DE UNA FUNCIÓN

Es estudiar su concavidad y convexidad.

Esta función es cóncava.

Una función es cóncava en un intervalo (a,b) si para todos los puntos de dicho intervalo su segunda derivada es menor que 0.

Esta función es convexa.

Una función es convexa en un intervalo (a,b) si para todos los puntos de dicho intervalo, su segunda derivada es mayor que 0.

CÁLCULO DE LA CURVATURA DE UNA FUNCIÓN

1.- Hallar los puntos de inflexión y los puntos de discontinuidad.

2.- Colocamos dichos valores en la recta real y estudiamos el signo de los intervalos resultantes en la segunda derivada. Donde es positiva es convexa, donde es negativa, es cóncava.

PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN

Extremos relativos: son los

máximos y los mínimos de la función. Son aquellos puntos que anulan la primera derivada.

Al despejar obtenemos el valor de x. Si se sustituye la x en la función, obtenemos el valor de y, y por tanto, el punto.

Sustituyendo el valor de x en la segunda derivada, podemos saber si es un máximo o un mínimo. Si el resultado es mayor que 0, es un mínimo. Si es menor que 0, es un máximo.

Puntos de inflexión: son aquellos puntos en los que la función cambia su curvatura (pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava). Anulan la segunda derivada.

Sustituyendo el valor de x en la función, obtenemos el valor de y.

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN- PASOS:

1.- Dominio de una función. Dom f(x): Es el conjunto de los números reales para los cuales existe función.

2.- Recorrido o imagen. Rec f(x)/ Im f(x): Este punto lo estudiaremos a partir de la gráfica. Es el conjunto de los valores reales que toma la función.

3.- Continuidad de una función: En este punto se estudian las continuidades y el tipo de discontinuidades de dicha función.

4.- Simetría. -Par: es cuando la función es

simétrica respecto al eje de ordenadas. Debe cumplir que f(x)=f (-x)

-Impar: Es simétrica respecto al origen, es decir, es simétrica respecto a los cuadrantes pares o respecto a los impares. Debe cumplir que f(-x)= -f(x).

5.- Cortes con los ejes. -OX: Se calcula igualando a 0

la función. Si sus soluciones son de la forma x, sus soluciones son (x,0)

-OY: Se calcula despejando (0, f(0)).

6. Asíntotas. Recta imaginaria donde la función se acerca por sus ramas sin llegar a

tocarla. -Vertical: x=k. Debe presentarse una discontinuidad en k. Uno de los límites

debe tender a infinito o menos infinito. Si existe una discontinuidad de salto infinito, hay una asíntota vertical.

- Horizontal: y=k. Para calcularla hay que hacer el lim f(x) cuando x tiende a infinito o menos infinito. Existe cuando la solución es un valor finito.

-Oblicuas. De la forma y= mx+n. La condición es que no haya asíntotas horizontales.

7.- Puntos críticos (extremos relativos y puntos de inflexión).

8.- Monotonía.

9.- Curvatura.

10.- Gráfica.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Los problemas de optimización de funciones son una de las aplicaciones más inmediatas e interesantes del cálculo de derivadas. El problema es determinar los extremos relativos (máximos o mínimos) de una función.

Se aplican en diferentes contextos, permitiendo resolver problemas de optimización geométricos y económicos entre otros.

PASOS A SEGUIR

1.- Expresión de la magnitud que se desea optimizar.

2.- Si la expresión anterior tienen más de una variable, relacionarlas mediante las condiciones del enunciado.

3.- Sustituir en la primera expresión de forma que esta sólo dependa de una variable.

4.-Imponer la condición de extremo relativo, esto es, derivada primera igual a cero y despejar la variable.

5.- Mediante la derivada segunda comprobar si el extremo es máximo o mínimo.

6.- Calcular el resto de variables y el valor de la función optimizada.

Tamara del Fueyo

Cristina Rodríguez López