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educacion adventista
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DEFINICIÓN
Nuestro propósito será estudiar la noción de límite desde un nuevo punto de vista intuitivo, para lo cual damos la idea de aproximación, de punto de acumulación, terminando con una noción intuitiva de límite.
I. Ideas de Aproximación
recta numérica
x0
Por la izquierda de x0 (menores que x0)
En este caso se dice que “x” se aproxima a “x0” por la izquierda, por tanto se simboliza como x → x0- , expresión que se lee: “x0” es menor que “x” , pero cercano a él.
Por la derecha de x0 (mayores que x0)
En este otro caso, se dice que “x” se aproxima a “x0” por la derecha, por tanto se simboliza como x → x0+ , expresión que se lee: “x0” es mayor que “x” , pero cercano a él.
En los siguientes ejemplos, analizaremos qué sucede con las imágenes f(x) cuando las preimágenes “x” varían.
Sea la función: f(x) = 20 + x
Si asignamos valores a “x” cercanos a 2, ¿qué sucede con f(x)?
Si tabulamos los valores anteriores y efectuamos un gráfico, se tiene:
22,10
22,05
22,0222,01 2221,9921,98
21,95
21,9020,00
1,90
1,95
1,98
1,99 2
2,01
2,02
2,05
2,10
y
x
Por la izquierda de 2 Por la derecha de 2
x
1,901,951,981,992,012,022,052,10
y
21,9021,9521,9821,9922,0122,0222,0522,10
Intuitivamente podemos darnos cuenta que al aproximarse los valores de “x” al valor “2”, se tiene que las imágenes f(x) se aproximan al valor “22”.
P7
P6P5
P4P3
P2
P1
x 1,90 1,95 1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,05 2,10
f(x)21,90 21,95 21,98 21,99 22 22,01 22,02 22,05 22,10
por la izquierda por la derecha
P8
Sea “x0” un punto fijo en la recta numérica, tal como se indica en el siguiente gráfico:
Cuando un número desconocido “x” se aproxima a “x0” éste, lo puede hacer con valores mayores o menores que “x0”.
Ejemplo 1:
Resolución:
ÁLGEBRA
LÍMITES1
00
II. Noción Intuitiva de Límites
* Para el ejemplo 1 de aproximación: f(x) = 20 + x, tenemos:cuando “x” se aproxima a 2; f(x) se aproxima a “22”.
Simbolizando:“cuando x → 2 , f(x) → 22”; y se escribe como: lim f(x) = 22
x → 2
que se lee: ‘‘el límite de f cuando x se aproxima a 2, es 22. Luego, lim f(x) nos indica: “valor límite de f(x)”.
Por aproximación deducimos que:cuando “x” se aproxima a “-3”se tiene que f(x) se aproxima a “-6”y se escribe como:
Luego:
Se lee: “el límite de f(x) cuando x se aproxima a x0 es L”.
Esto se simboliza denotando:
“Cuando x → 2; se tiene que f(x) → 22”. Sabemos que estamos aproximando, por ello no hacemos hincapié que para x = 2 se obtenga f(x) = 22.
lim f(x) = -6x→-3
1. Método de la cancelación de los factores comunes
Si es de la forma , se recomienda factorizar el término (x-x0) tanto en el numerador como en el denominador para su correspondiente
cancelación.
lim f(x) x→x0
00
Calcula: lim x→0
(x +4)2-16x
lim x→0
(x +4)2-16x
= lim x→0
(x + 4 -4) (x + 4 + 4)x
lim x(x+8)x
= lim = (x + 8) = 8
2. Método de la racionalización
Si es de la forma y están presentes radicales, se procede a mul-
tiplicar y dividir por la conjugada de cada una de las formas radicales, de modo que se cancelen factores comunes de la forma (x - x0).
lim f(x)
Calcula: lim x→4
x - 4x - 2
lim f(x) = Lx→x0
III. Cálculo de Límites
Ejemplo:
Veamos qué sucede si construimos una tabla que nos muestre la aproximación:
x -0,5 -0,4 -0,1 -0,01 0 0,01 0,1 0,4 0,5
f(x)7,5 7,6 7,9 7,99 8 8,01 8,1 8,4 8,5
Lo que ocurre es que cuando “x” se aproxima a cero, la imagen f(x) se aproxima a 8, es decir:
lim x→0
(x +4)2-16x
= 8
En este caso la forma indeterminada toma el valor de “8”. Si aplicamos
la recomendación dada para este cálculo, este proceso laborioso se puede obviar factorizando el término (x - x0), que en este caso es x - 0 = x, con lo cual nos queda:
00
x→0 x→0
x→x0
00
Ejemplo 2:
lim = -6x2 - 9x + 3x→-3
Ejemplo 1:
Resolución:
00
Veamos lo que ocurre cuando se construye una tabla de valores que nos muestre la aproximación, para lo cual te recomendamos usar una calculadora.
Lo que sucede es que cuando “x” se aproxima a “4”, la imagen
f(x) = se aproxima a “4”.
Luego
x - 4x - 2
lim x→4
x - 4x - 2
= 4
La forma indeterminada toma el valor “4”. Aplicando la recomendación
dada para este cálculo, tenemos:
= ( x + 2)( x + 2)
(x - 4) ( x + 2)(x - 4)
( x + 2) = 4
Halla: 2 + 3 xx + 8
Tenemos:. 4 - 2 3 x + 3 x2
4 - 2 3 x + 3 x2
1
4 - 2 3 x + 3 x2
(8 + x)
(x + 8) (4 - 2 3 x + 3 x2)
=1
4 + 4 + 4= 1
12
Después de resolver estos ejemplos, te has preguntado, ¿por qué a la expresión se le llama forma indeterminada?, ¿qué opinas al respecto?00
Calcula los siguientes límites:
1. x - 4x - 4
2. (3x + 2) 3. x
4.1 - x
2 + x2 5. 6.
00
18x + 2x - 3
x - 1x - 1
IV. Formalización de Límites
Las nociones intuitivas desarrolladas en el capítulo anterior, se precisan a través de las mediciones de las aproximaciones, tanto cuando “x” se aproxima a “x0” como cuando f(x) se aproxima a “L”.
1. Definición de Límite
Dada una función “f”, decimos que el límite de la función “f” en el punto “x0” es el número real “L”, si y sólo si:
∀ ε > 0, ∃δ > 0 / x ∈ Dom f ∧
0 <x - x0< δ →f(x) - L < ε
Las letras griegas “ε” y “δ” se llaman épsilon y delta, respectivamente.
El punto “x0” puede estar o no en el dominio de “f”.
La definición indica que: “ x ∈ Dom f ∧ 0 <x - x0< δ”. Si este conjunto es diferente del
conjunto vacío, se dice que “x0” es punto de acumulación del dominio “f” (en caso contrario, afirmamos que “x0” no es punto de acumulación).
El límite de una función en un punto, si existe, es único.
Resolución:
x 3,8 3,9 3,99 3,999 4 4,001 4,01 4,1
f(x)3,9494 3,9748 3,9975 3,9997 4 4,0002 4,0025 4,228
lim x→4
x - 4x - 2
lim x→4
x - 4x - 2
.
lim x→4
==
lim x→-8
lim x→-8
2 + 3 xx + 8
lim x→-8
lim x→-8
lim x→4
lim x→1
lim x→0
lim x→2
lim x→4
lim x→1
2. Teoremas fundamentales
Si lim f(x) = L1 y lim g(x) = L2;
donde “L1” y “L2” ∈ R y “c” es una constante real, tenemos los siguientes teoremas:
x→x0 x→x0
a) lim c = c;
lim [c.f(x)]= c . lim f(x)= c . L1
x→x0
x→x0 x→x0
b) lim [f(x) + g(x)] =
lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2
x→x0
x→x0 x→x0
Ejemplo 2:
Resolución:
00
c) lim [f(x) . g(x)] =
(lim f(x)). (lim g(x))= L1 . L2
x→x0
x→x0 x→x0
d) limf(x)
g(x)=
lim f(x)x→x0
lim g(x)
= ;L1
L2
donde L2 ≠ 0.x→x0
x→x0
e) lim [f(x)]n =[ lim f(x)]
n = L1n;
donde n∈ Z+.x→x0 x→x0
1. Calcula:
lim x→a
x2- ax - 2a2
x2 - a2; (x ≠ a); (a > 0)
Paso 1: Evaluando:
a2+ a2 - 2a2
a2 - a2=
0
0
Paso 2: Factorizando el numerador y el denominador para simplificar el binomio (x - a); entonces:
lim = lim (x-a)(x+2a)(x-a)(x+a)
= lim = =x + 2ax + a
a + 2aa + a
32
Resolución:
x→a x→a
x2-ax-2a2
x2-a2
2. Calcula:
x3 + 1
x2 - 1
= lim x→-1
x2- x + 1
x - 1= (-1)2 -(-1)+1
(-1) - 1
= - 3
2
= lim (x+1)(x2-x+1)
(x+1)(x-1)
x3 + 1
x2 - 1
Paso 1: Evaluamos:
(-1)3 + 1
(-1)2 - 1=
0
0
Paso 2: El binomio: x-(-1) = x + 1, debe ser simplificado para levantar la indeterminación.Veamos:
3. Calcula:
Paso 1: Evaluamos:
lim x→0
1+x + x2- 1x
; x ≠ 0
1+0 + 02 - 10
; x ≠ 0
Paso 2: Racional izando el numerador.
Efectuando el numerador se tiene:
Simplificando la “x” que hace la indeterminación.
lim x→-1
Resolución: =
4. Calcula:
x+1
1 + x + x2 + 1
1+0
1 + 0 + 0 + 1=
1
2
lim x→+∞
2x2 - 3x +4
x4 + 1
Paso 1: Evaluando se tiene: ∞∞
Paso 2: Dividimos el numerador y denominador por el término cuyo exponente sea el mayor de todos los términos.Dividir entonces por “x2”.
lim x→+∞
2x2 - 3x + 4
x2
x4 + 1
x2
= = 2 2 - 0 + 0
1 + 0
lim x→-1 x→-1
1 + x + x2 -1x
. ( 1+x+x2+1)
( 1+x+x2+1)
lim x→0
1 + x + x2 -1
x( 1 + x + x2 + 1)
lim x→0
x(x + 1)
x( 1 + x + x2 + 1)
lim x→0
Resolución:
lim x→0
Resolución:
x4 + 1 x4
3
x2 - + 4
x2= lim
x→+∞
f) lim n f(x) = n lim f(x) = n L1 ;
si existe n L1.x→x0 x→x0
x→a
1 x4
1+
= lim x→+∞
3
x2 - + 4
x2
00
5. Calcula:
lim x→+∞
(2x+3)3 (3x-2)2
x5 + 5
Paso 1: Evaluando se tiene: ∞ ∞
Paso 2: Dividiendo el numerador y denominador por “x5”.
Resolución:
(2x+3)3(3x-2)2
x5
x5 + 5
x5
lim x→+∞
(2x+3)3
x3
5
x5
. (3x - 2)2
x2
1 +
= lim x→+∞
5
x51 +
2x+3x
33x - 2
x
2
= lim x→+∞
3x
2x
2+ 3 -3 2
5
x51 +
= lim x→+∞
(2)3 (3)2
1=
(2x + 3)3 (3x - 2)2
x5 + 5= 72∴ lim
x→+∞
Nivel I
1) Calcula:
a) 2 b) 0 c) -2d) 4 e) -4
lim x2- 4x - 2x→2
2) Calcula:
a) 3 b) 9 c) 18 d) 27 e) 36
lim x3+27x+3x→-3
3) Calcula:
a) 2 b) 4 c) 1/2d) 1/4 e) -1/2
lim x - 2x - 4x→4
5) Calcula:
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 3/2 e) -1/2
limx→4
x - 4
x2 - 7 - 3
6) Calcula:
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 3/2 e) 2
limx→+∞
x3 +x2 +2
2x3 -x+1
7) Calcula:
a) 0 b) +∞ c) -∞d) 1 e) 2/3
limx→+∞
x4 - x2 +2
x2 - x+3
8) Calcula:
a) 0 b) +∞ c) -∞d) 1/2 e) 5/3
limx→+∞
x3 - 2x +5
2x4 - x+3
9) Calcula:
a) 3 b) 4 c) -3d) 0 e) +∞
limx→+∞
3x7 - x +1
x7+2x+1
10) Calcula:
a) 2 b) 3/2 c)5/4d) 1 e) -5/4
limx→-3
x2 + x - 6x2 + 2x - 3
11) Halla:
a) b) c)
d) e)
limx→a
x2 - (a- 1) x - ax2 - (a-2)x - 2a
a - 1a - 2a+1a+2
a+1a - 2
a - 1a+1
a - 2a+1
12) Halla:
a) -2/3 b) -1 c) -1/3d) -3 e) -3/2
limx→3
2x + 3 - xx - 3
= 72
4) Calcula:
a) 2 b) 2 c) 2/ 2d) 1/2 e) -1/2
limx→3
x+ 1 - 2 x - 1 - 2
00
13) Halla:
a) 0 b) -1 c) 1d) 1/2 e) -1/2
limx→1
x2 + 3 - 2x - 1
14) Halla:
a) b) c) d) e)
limx→a
x2 -(a+1)x+a
x3 - a3
a - 1a2
a - 14a2
a - 12a2
a+1a2
a - 13a2
15) Halla:
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8d) 1/16 e) 1/6
limx→∞
x3 + 2x2 + 3x + 4
4x3 + 3x2 + 2x + 1
Nivel II
16) Halla:
a) 1 b) -3/2 c) 3/2d) 2/3 e) -2/3
limx→∞
2x2 + 3x + 5
3x2 - 2x + 1
λx2 - x - 13x2 - 4
17) Encuentra el valor de “λ”, para que el límite siguiente sea igual a dos:
a) 1,5 b) 9 c) 4d) 2/3 e) 6
limx→∞
18) Halla:
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
limx→∞
2x2 +7x+5
x3 + 2x + 1
19) Halla:
a) n b) 1 c) n/2d) 0 e) −n/2
limx→1
xn - 1x - 1
21) Calcula:
a) 1/2 b) -1/2 c) -1d) 1 e) 2
limx→1
2
x2 - 1- 1
x - 1
22) Halla:
a) 1/3 b) 1/4 c) 1/8d) 1/12 e) 1/20
limx→2
3 x2 + 4 - x + 2
x - 2
23) Halla:
a) +∞ b) -∞ c) -1/2d) 1/2 e) 0
limn→∞
1
221-
1
321-
1
421-
1
n21-...
20) Calcula:
a) αβ b) α - β c) α/βd) β/α e) α + β
limx→1
xα - 1
xβ - 1; αβ ≠ 0
24) Halla:
a) 3 e5 b) e3 c) 5 e2
d) e5 e) e
limx→2
xx - 2x2+1
3x - 1
f(ax) - f(bx)
x
25) Si:
calcula
a) 0 b) a + b c) a - b
d) e)
limx→0
= 1, f(x) -1
x
a2 - b2
abb2 - a2
ab
limx→0
26) Calcula:
a) 0 b) 3/2 c) 1d) 2/3 e) 1/3
limx→5
x + 4 - 3x - 1- 2
( )
27) Determina el límite de F(x) cuando "x" tiende el valor de "a", donde:
a) b) c)
d) e)
F(x)≡ x - a+ x - ax2 - a2
1a
1a
12 a
1 2a
1 2 a
29) Calcula:
a) 1 b) 1/4 c) -1/4d) -1 e) 0
limx→-1
2+x - 3 + 2x
1- 5 + 4x( )
28) Calcula:
a) 3/4 b) 4/3 c) 1d) 0 e) 1/12
limx→1
3 x - 14 x - 1
( )
30) Si:
se puede afirmar que: (L ∈ R+)
a) b = 2a d) a=1 b) 2a+ b=1 e ) 4 a +
b=4
limx→2
x2 - 2 - xax2 - 2x + b
( )= L
00
Nivel III
31) Sabiendo que:
calcula:
a) 1 b) -1 c) 2/3d) -3/2 e) 2
limx→1
F(x)
1 - x3
limx→1
G(x)
1 - x2=2 ^ =-3
limx→1
F(x)
G(x)
32) Calcula:
a) 1/2 b) 1 c) 2d) 4 e) ∞
limx→∞
4x4 +2x3 + 1
2x4 + 5x - 2( )
33) Calcula:
a) 1/3 b) 2/3 c) 1d) 4/3 e) 2
limx→2
3
x2 - x - 2( - )1
x2 -3x+2
34) Calcula:
a) 2 b) 0 c) 1/2d) -1/2 e) -2
limx→∞
1x
1+ - 1 x
35) Calcula:
a) e b) e-1 c) 0d) 1 e) 3/e
limx→∞
2x-15x+2( )
x
36) Calcula:
a) 2 b) 4 c) -2d) -4 e) 6
limx→0
x4 1+2x -1( )
37) Calcula:
a) 1/3 b) -1/3 c) 3/2d) -3/2 e) -1
limx→1
1- 2 - 4 -3x
1- 2-( )1
3- 2x
38) Si:
F(x)≡
calcula "m" para que: Lim F(x)=256
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
(3x+7)2m(12x+7)m-2(4x+7)m+4
(8x2-7)m(9x2+7)m+1
x→∞
39) Calcula:
a) 2/2 b) 1/2 c) 2d) 2 2 e) 3 2
limx→0
12x
x ( - x )
40) Calcula:
a) Ln(ab) d) Ln(a/b)b) ab e) a+bc) Ln(a-b)
limx→0
ax+bx
x ( ); a ∧ b ∈ R+
41) Calcula:
a) 0 b) 1 c) -1d) 1/2 e) -1/2
limx→5
x+1
4+x - 3( - )6x+6
x - 5
42) Calcula:
Lim ( x2 +3x-1 - x2 -7x +1)
a) 5 b) 3 c) 1d) -1 e) -3
x→∞
44) Halla:
a) e b) e c)
d) e)
limx→3
2x-1x+2( )
x2-3x-10x2-2x-3
ee
2 ee
3 ee
45) Dada la func ión rea l de variable real F, cuya regla de correspondencia es:
F(x) ≡
Sabiendo que:
Lim F(x) = b existe.
¿Cuál es el valor que asume ?
a) 9 b) -9 c) 1/9d) -1/9 e) 1/6
a - 5 + x
1 - 5 - x
ab
x→4
( )
43) Calcula:
Lim
a) 8 3 b) c)
d) e)
x→21+ 2+x - 3
x - 2( )
8
3
1
3
38
18 3
00
Un caso en el que la resistencia del aire es
importante
Si uno se lanza desde un avión en el aire, posiblemente no tendrá un final muy feliz, a no ser que utilice un paracaídas que funcione adecuadamente. La idea básica de un paracaídas es que, por su forma, el aire presenta una gran resistencia que funciona como una especie de frenado. Desde luego, el frenado no es tanto como para quedar completamente suspendido en el aire (resistencia del aire), de manera que al caer al suelo con un paracaídas se llega con cierta velocidad (no tanta, para no sufrir un golpe fuerte). Mediante algunos conocimientos de física se puede demostrar que si un hombre se lanza a una velocidad de 55m/s hasta el momento de abrirse el paracaídas y si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad, entonces la velocidad a la que baja el paracaidista es:
Resulta que si se lanza desde una altura suficientemente grande, la velocidad comienza a estabilizarse (esto en particular significa que casi no tendrá aceleración) y con esa velocidad cae al suelo.Efectivamente, si vemos que sucede cuando ‘‘t’’ se hace cada vez mayor podemos calcular la velocidad de estabilización:
esto es así porque:
lim e-24,5t = 0 Tenemos que a medida que va bajando, la velocidad del paracaidista se hace cada vez más próxima a 5m/s.
t→∞
lim v = lim t→∞ t→∞
5e-25,5t + 6
1,2-e-24,5t 6
1,2= = 5;
v = 5e-25,5t + 6
1,2-e-24,5t
46) Calcula:
a) 0 b) 1 c) -1d) -1/5 e) -2
limx→-2
x4+11x3+ 42x2+68x+40
2x4+13x3+ 30x2+28x+8 ( )
47) Calcula:
a) b) c)
d) e)
limx→a+b
(x - a)4 - b4
(x - b)3 - a3
b2
a4b2
3a4a3
3b2
2b3
a24b3
3a2
48) Calcula:
a) 0 b) 15 c) 5d) 8 e) 3
limx→∞
3x +1 + 5x+1
3x +5x ( )
49) Calcula:
a) 2e4 b) e-3/2 c) 0d) e-4 e) e-3
limx→∞
x - 1x + 3
( )x +2
50) Calcula:
a) e b) e2 c) e3
d) e4 e) e5
limx→2
x + 2x2 - 4x+4
(5+x2 - 4x)
00
•
•
La interrogante que nos planteamos ahora es: ¿cómo se halla la pendiente de una recta que es tangente a una curva?
LA DERIVADA
Reglas de Derivación
¿Cómo se halla la pendiente de una recta que es tangente a la curva en el punto x = 1/2?
Respuesta: La pendiente de la recta LT, que es tangente a la curva en el punto x= 1/2, es la derivada de f(x) en el punto x = 1/2. Para llegar a esta afirmación pasaron siglos. Los genios Isaac Newton (1643 – 1727) y Gottfried Leibniz (1646 – 1716) descubrieron el cálculo diferencial y el cálculo integral. Este descubrimiento revolucionó toda la matemática hasta entonces conocida.
Dada la curva:f(x) = 4 – x2
A continuación estudiaremos las reglas necesarias para operar con funciones diferenciales en un cierto intervalo.
Para el efecto emplearemos una lista de derivadas de algunas funciones especiales, que permiten deducir otras más complejas. Asimismo, aprenderemos a evaluar las derivadas de funciones en puntos “x0” de su dominio.
1. Teoremas Fundamentales
Conozcamos los principales teoremas que se utilizan en el marco de la diferenciación de ciertas expresiones. Para esto, sean “f” y “g” funciones diferenciables en un intervalo, y “c”una constante, entonces:
='1
f(x)
-f '(x)
[f(x)]2
='f(x)
g(x)
f '(x) . g(x) – f(x) . g'(x)
[g(x)]2
2. Derivadas de algunas funciones especiales
Hasta el momento, el proceso seguido para encontrar la derivada de una función se ha basado en aplicar la definición:
f ' (x) =f(x+h) – f(x)
hlim
h → 0
lo cual, en algunos casos, ha resultado demasiado tedioso. A continuación exponemos una serie de reglas, las cuales, junto a las anteriores,
nos permitirán calcular con prontitud las derivadas:
“θ” es el ángulo de inclinación de la recta tangente y la tgθ es la pendiente de la recta.
f(x)
y
xθ
12
LT
• f(x) = c ; c ∈ R • f '(x) = 0
• f(x) = x • f '(x) = 1
• f(x) = cx ; c ∈ R • f '(x) = c
• f(x) = x • f '(x) = ; x ≠ 0
• f(x) = xr ; r ∈ R • f '(x) = r . xr–1
FUNCIÓN DERIVADA
12 x
• [f(x) + g(x)]' = f '(x) + g'(x)
• [f(x) – g(x)]' = f '(x) – g'(x)
• [f(x) . g(x)]' = f '(x) . g(x) + g'(x) . f (x)
• [cf(x)]' = cf '(x) ; c ∈ R
00
ÁLGEBRA
DERIVADA02
Todas estas reglas pueden demostrarse a partir de la definición de derivada.
• f(x) = x • f '(x) = ; x ≠ 0
• f(x) = senx • f '(x) = cosx
• f(x) = cosx • f '(x) = –senx
• f(x) = cscx • f '(x) = –cscx . ctgx
• f(x) = tgx • f '(x) = sec2x
• f(x) = ctgx • f '(x) = –csc2x
• f(x) = secx • f '(x) = secx . tgx
FUNCIÓN DERIVADA
xx
La notación ƒ' que usamos para la derivada y ƒ''(x), ...,ƒ(n)
(x) para las derivadas de orden superior fue introducida por el matemático francés Lagrange (1736 – 1813) a fines del siglo XVIII. Newton usaba ý y Ý para y' y y''. En 1800 L. Arbogast utilizó Dƒ para la derivada de ƒ(y); es decir: ƒ'(x) = Dƒ(x) o ƒ(3)
(x) = D3ƒ(x).
Leibniz fue uno de los grandes matemáticos que comprendió la importancia de los símbolos a usar, y por eso, muchos de los que usó todavía nos acompañan.
Para Leibniz:
No se trata, para él, sólo de notación. Él consideraba el límite como un cociente de cantidades infinitesimales
(dy y dx) a las que llamó “diferenciales”. La derivada un cociente diferencial. Él no usó el límite para definir la
derivada; decía que se pasaba de ∆y a dy, y de ∆x a dx como transformación en infinitesimales. Estos infinitesimales eran un nuevo tipo de números que eran más pequeños que cualquier número real positivo, pero diferente de cero.Aunque este tratamiento, como veremos, desaparecería en la historia de las matemáticas, el simbolismo se
sigue usando. Este símbolo tiene la ventaja de resumir el proceso que empieza con un cociente de diferencias
y luego sigue con el paso al límite.
Leibniz escribía en 1684:
d(xy) = xdy + ydx d = , y dxn = nxn–1 dx
La “diferencia mínima” (derivada o diferencial) de x = dx.La “diferencia mínima” de y = dy.La diferencial d(xy) = (x + dx) (y + dy) – xy = xy + xdy + ydx + dxdy – xy = xdy + ydx + dxdyComo dxdy es “infinitamente pequeño” puede, entonces, despreciarse. Por eso: d(xy) = x dy + y dx.
Estos procedimientos con “infinitesimales” todavía se usan en algunas aplicaciones del Cálculo.
NOTACIONES DE LA DERIVADA
dydx
dydx
∆y∆x
dydx
dydx =
∆y∆x
lim∆x → 0
ƒ’(x) = y
dydx
ydx + xdyy2
xy ()
Lagrange, matemático francés (1736 – 1813), fue uno de los primeros en hacer aportaciones en la representación de la derivada.
00
6) Si g(x) = 24 4 x, halla g '(x)
a) b) c) d) e) 2
5. Sea f(x) = , halla f '(x).
Aplicando la regla de la derivada de
un cociente.
=
Tenemos que f(x)= 3(x2–5x+ 1)–1
y' = 3[(x2 – 5x + 1)–1]'
= 3
= –3
1. Si f(x) = x3, tenemos f '(x) = 3x2.
2. Si f(x) = 3 x2 = x2/3 , tenemos:
3 x2 = (x2/3) = x2/3–1
= x–1/3
3. Si f(x) = x6 – 8x5 + 3x2 – 1,
halla f ‘(x).
[x6 – 8x5 + 3x2 – 1]
= (x6)' – (8x5)' + (3x2)' – (1)' = 6x5 – 8.5x4 + 3.2x = 6x5 – 40x4 + 6x
4. Si y = , halla y'.
Aplicando la regla de la derivada
de un cociente:
=
y' =
=
=
8. y =
9. f(x) = (x3 – 3x + 1) (x2 + cosx)
10. f(x) =
11. y = x4 – 3cosx
12. f(x) =
13. f(x) = (1 + x)2 . tgx
14. f(x) = x . senx – x.cosx
ddx
ddx
23
ddx
2x + 3x2 + 2
(2x+3)'(x2+2)–(2x+3)(x2+2)'
x2 + 2
2(x2+2) – (2x+3)(2x)(x2 + 2)2
–2x2 – 6x + 4(x2 + 2)2
Halla la derivada de cada una de las siguientes expresiones:
1. y=(3x4 – 5x3 + 2) (x2 – senx+ x)
2. f(x) =
3. f(x) = 5(x2 – tgx + 2)
4. y = 3senx – 4cosx
5. f(x) = 7 x4 – 3 5 x4 + 2 3 x4
6. f(x) =
7. y =
4x3 – 5x + 6
x2 – 3x3 + 2x – 1ctgx
x
32 + tgx
x2 – 5x + 12
tgxx
23
f ' g – fg'g2
fg (')
Ejercicios:
Nivel I
1) Si f(x)=3x2 – 5x+3, halla f '(2)
a) 2 b) 5 c) 7d) 9 e) 12
2) Si f(x) = 4x3 – 5x2, calcula f '(3) – f '(2)
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
3) Si f(x) = 3x3 + 2x2, calcula f "(x) + f "'(x) , si se sabe que:
f "(x): segunda derivada de la función f(x).
f "'(x):tercera derivada de la función f(x).
a) 18x + 22 d) 9x + 20 b) 18x + 20 e) 18x + 12
c) 9x + 10
4) Dada la función: f(x)= ; x ≠ 2/3, halla f '(x)
a) d)
b) e) N.A.
c)
2x+33x–2
–13(3x – 2)2
133x + 2
13(3x – 2)2
133x – 2
5) Dada la función: f(x)= ; x ≠ 1, halla f '(x)
a) d)
b) e) N.A.
c)
x1–x
1(1 – x)2
11 – x
1x – 1
1(x – 1)3
2 33
3 22
3 32
2 23
Resolución:
Resolución:
3x2 – 5x + 1
(x2 – 5x + 1)'(x2 – 5x + 1)2
–
1g(x)
' g '(x)
[g(x)]2
–
Resolución:
2x – 5(x2 – 5x + 1)2
00
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado.
7) Si f(x) = 6 3 x , halla f '(x).
a) b) c)
d) e) 2 3 x
3
x3
2
x3
23 x2
33 x2
8) Dada f(x)=(3x4 – 47)4, halla f '(2).
a) 320 b) 340 c) 324 d) 412 e) 450
9) Halla la derivada de la función: f(x) = (5x2 + 3)3
a) 20x (3x2 + 2)2
b) 15x (2x2 + 3)2
c) 30x (5x2 + 3)2
d) 30x (10x + 3)2
e) 20x (5x2 + 2)2
10) Dada la función f(x) = 1 + 9x, halla f '(7)
a) 9/14 b) 8/17 c) 9/16 d) 9/13 e) 8/14
11) Si f(x) = 4x2 – 5x3, halla f '(3) – f '(2)
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) N.A.
12
12) Si la recta L1 es tangente a la
gráfica de f(x)= x2 + x +
en el punto de abcisa 2, como se muestra en la figura, halla la pendiente de dicha recta.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12
y=f(x)
y
x
L1
13) Dada la función f(x)=(3x4 – 40)3, halla f '(2).
a) 320 b) 340 c) 384 d) 412 e) N.A.
14) f(x) = x2 + 2x + 1; P(1; 4)
a) 4x – y = 1 d) 4x + y = 1 b) 4x – y = 0 e) N.A. c) 4x + y = 0
15) f(x) = –x3 + 3x + 1; x = 2
a) 9x + y – 17 = 0 b) 9x + y + 17 = 0 c) 9x – y + 17 = 0 d) 9x – y – 27 = 0 e) N.A.
Nivel II
16) f(x) = 3 5 – x ; x = –3
a) x + 12y – 21 = 0 b) x + 12y + 21 = 0 c) x – 12y + 21 = 0 d) x – 12y – 21 = 0 e) N.A.
17) Si g(x) = 24 4 x, halla g'(4)
a) b) c)
d) e) N.A.
2 33
3 22
3 32
2 23
18) Si f '(x) = x3+3, halla f(4) – f(2)
a) 52 b) 58 c) 66 d) 70 e) N.A.
19) Si f(x) = x–2 + x–3, halla f '(4)
a) –2 b) –3 c) –4 d) –5 e) –6
20) Dado f '(x) = xa + bx, y además:
f '(1) = 18 ... (1) f "(2) = 12 ... (2)
halla b/a.
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7
21) Si y = 3 x2 + 1, halla y'.
a) 3 x2 – 1 (2x)
b) 2x 3 x2 + 1
c) 3x2 (2x + 1)
d)
e) N.A.
2x
3 3 (x2 + 1)2
Calcula f '(x) y evalúa para el valor pedido.
22) f(x)=(3+2x2)3; x = 1
a) 100 b) 200 c) 300 d) 50 e) 400
23) f(x)=(2b+3ax)2; x = 0
a) 12a b) 12ab c) 36 d) 24b e) 24ab
24) f(x)=(a2/3– x2/3)3/2; x = 1
a) a b) a3 c) a2/3–1 d) a3/2 e) a2/3+1
00
25) f(x)= ( )3 ; x=
a) 0 b) 1 c) a d) b e) a/b
- ba
ax+bc
26) f(x)= 3 a+bx3 ; x = 1
a) b) c) d) e)
1a+b
a3 a+b
b3 a+b
b3 a+1
ba+b
27) f(x)= (x+3)(x-2); x = -1
a) -1 b) 6 c) -6 d) 5 e) 1
28) f(x)=(x+2)(x2+3x+1); x=-1
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
29) f(x)=(x2+3)(x2+4x+1); x=-2
a) -12 b) -24 c) -30 d) -48 e) -60
30) f(x)=(x3+4x)(x2– 3x+1); x=2
a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 0
Nivel III
31) f(x)=(x3 – 3x+2)(x4 +x2 – 1); x=0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
32) f(x)= ; x=2
a) -3 b) 3 c) -2 d) 2 e) 1
x+2x –1
33) f(x)= ; x=1
a) 1 b) 0 c) 2 d) -1 e) -2
1 – x+x2 1+x+x2
36) f(x)= ; x=1
a) -2 b) 3 c) 5 d) -7 e) -13
2x+3 3x – 2
37) f(x)= ; x=-1
a) -1/2 b) 1 c) 1/2 d) 0 e) 2
1
x + 2
38) f(x)= 4 – x2 ; x = 0
a) 1 b) 2 c) 0 d) 7 e) 10
39) f(x)= + x + x2 ; x= -3
a) 7 b) 7/9 c) -46/9 d) 47/7 e) 12/5
1 x
40) f(x)= (x2 + x)2 ; x=2
a) 13 b) 12 c) 15 d) 20 e) 60
41) f(x)= x2 - 4 ; x=5
a) 5 b) 5/ 2 c) 5/ 21 d) 5/ 3 e) 5/ 7
42) f(x)= 3 - 5+x ; x=- 4
a) 2 b) 1 c) -1/2 d) 4 e) 8
43) f(x)= 2cosx ; x=π/2
a) 1 b) 2 c) -2 d) 4 e) 0
44) f(x)= sen(x2+ex) ; x=0
a) e b) e cose c) sene d) 2e e) 1
45) f(x)= - ; x=0
a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 4
16(1-3cos x)2
46) f(x)= - ; x=0
a) 0 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5
13 cos3x
1cos x
47) f(x)= - 1 ; x=4
a) 1/2 b) -1/4 c) 1/8 d) -1/8 e) 1
2 x
48) f(x)= sen2(x2 +5x+7); x=0
a) 1 b) 0 c) 2 d) sen 7 e) 2 sen 14
49) f(x)= (1+x) . cosx ; x=0
a) 1 b) 2 c) -1 d) 0 e) -2
50) f(x)= 4 x3 + 2 3 x+1 ; x=1
a) 17 b) 12 c) 17/12 d) 12/17 e) 1
34) f(x)= ; x=1
a) 2/5 b) -1/2 c) 1/3 d) -1/3 e) 2/3
3x2+4x+4 x2+x+1
35) f(x)= ; x=2/3
a) 0 b) 4 c) 3 d) 5 e) 7
4 3
9x 1- x
00
( )
1) Calcula: lim (x3 – 3x2 + 8x + 15) x→ 2
a) 16 d) 19b) 17 e) 27c) 18
3) Calcula: lim x→ 2
a) 1 d) 4b) 2 e) 8c) 3
x3 – 8
x2 – 4( )
4) Calcula: lim x→ 0
a) 2/3 d) -2/3b) 1/3 e) 8/5c) 0
x
1+3x-1
x3 – 27
x2 – 9( )2) Calcula:
lim x→ 3
a) 1/2 d) 0b) 9/2 e) 3/2c) 2
00
ÁLGEBRA
REPASO 03
DESARROLLAR
DESARROLLAR
DESARROLLAR
DESARROLLAR
5) Calcula: lim x→ 1
a) 2/3 d) -2/3b) 1/2 e) 8/5c) 0
( )x2 + 3 – 2
x – 1
2
x2 – 1( )1
x – 1–
6) Evalúa: lim x→ 1
a) 1/2 d) 1b) -1/2 e) 2c) -1
7) Calcula: lim x→ ∞
a) 1 d) 4b) 2 e) ∞c) 3
( )5x3 + 7x – 2
x2+2x – 3
8) Calcula: lim x→ ∞
a) e d) e-1
b) 2e e) 3e c) e2
( )1
x 1 +
x
00
DESARROLLAR
DESARROLLAR
DESARROLLAR
DESARROLLAR
9) Calcula la derivada de: f(x)=x5
a) 5x d) 1b) 5x4 e) xc) 5x5
10) Calcula la derivada de: f(x) = 2x3
a) 6x d) 5x2
b) 2x2 e) 6c) 6x2
11) Calcula f '(x)'
si f(x) = 2ax9.
a) 18a d) x8
b) 18ax8 e) 2x8
c) 2a
12) Calcula f '(x); si y = 27x-1/3
a) -9x-4/3 d) x2
b) - x2 e) -9x-2/3
c) - x
27313
13
00
DESARROLLAR
DESARROLLAR
DESARROLLAR
DESARROLLAR
