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séptimo Grado - Matemática 57
Quinta Unidad
Motivación
Lección1propiedades de los exponentes
En un terreno de forma cuadrada, la familia Alfaro tiene un huerto casero, deciden aumentar el área sembrada y consideran duplicar la longitud del lado ¿En que medida aumentará el área? Si el lado se triplica, ¿cuánto aumentará el área?
Indicadores de logro:
deducirás y aplicarás con seguridad la propiedad del producto de bases iguales.
deducirás y aplicarás con seguridad la propiedad del cociente de bases iguales.
deducirás y aplicarás con seguridad la propiedad de una potencia de otra potencia.
deducirás y aplicarás con seguridad la propiedad de la potencia de un producto.
deducirás y aplicarás con seguridad la propiedad de la potencia de un cociente.
simplificarás cantidades numéricas y algebraicas que requieran de la aplicación de dos o más propiedades de los exponentes.
determinarás y explicarás con confianza la utilidad de la notación científica.
convertirás con seguridad cantidades en notación científica a notación decimal, sin calculadora.
convertirás con seguridad cantidades en notación científica a notación decimal, con calculadora.
convertirás con confianza cantidades en notación decimal a notación científica sin y con calculadora.
Multiplicarás y dividirás con autonomía cantidades en notación científica sin y con calculadora.
aplicarás con confianza la notación científica en la resolución de problemas.
Oscar y Leticia desean calcular el producto 32(3)4. Luego de discutir el procedimiento observa lo siguiente 32(3)4 = (3.3) (3.3.3.3) = 36
De manera similar efectúas: 53.54 = (5.5.5) (5.5.5.5) = 53 + 4 = 57
x4.x5 = (x.x.x.x) (x.x.x.x.x) = x4 + 5 = x9
Ejemplo 1:
Simplifica las siguientes expresiones:
a) 35.34 c) x9x
b) y4.y8 d) (a3b2) (a2b5)
Solución:
a) 35(3)4 =35 + 4 = 39 c) x9(x) = x9+1 = x10
b) y4(y)8 = y4+8 =y12 d) (a3b2) (a2b5) = a3+2 b2+5 =a5b7
Regla del producto
Observa
Los ejemplos anteriores te muestran que para multiplicar dos expresiones de igual base, ésta se conserva y se suman los exponentes.b b bm n m n. = +
x (2x)2
UNIDAD 5
58 Matemática - séptimo Grado
Regla del cocienteOscar y Leticia desean ahora calcular la división 2 25 3÷ ; ¡Ayúdales a encontrarla! ¿ Lo haces así? 2
222222222
2 25
35 3 2= =
. . . .. .
− =
Ejemplo 2
Simplifica las siguientes expresiones:
a) 55
7
4 b)
33
2
c) xx
7
2 d)
m nm n
5 7
2 5 e)
918
4 7
1 1
x yx y
-
- -
Solución:
a) 55
5 57
47 4 3= =- b)
33
3 32
2 1= =-
c) xx
x x7
27 2 5= =- d)
m nm n
m n m n5 7
2 55 2 7 5 3 2= =- -
e) 918
918
12
4 7
1 1
4
1
7
14 1x y
x yxx
yy
x y-
- - -
-
-- - -= ⋅ ⋅ = ( ) ( )( ) 77 1 5 6 5
6
5
6
12
12
12
- - -( ) = = =x y xy
xy
Para dividir dos expresiones de igual base, ésta se conserva y se resta el exponente del numerador menos el exponente del denominador.
bb
=b , b 0m
nm-n ≠ Recuerda: ¡La división entre cero no está definida!
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.
a) 254( ) c) y 7 3( ) e) y -3
5( )b) -2 3 2( ) d) p3 4( ) f) 42 3( )-
Solución:
a) 2 2 25 4 5 4 20( ) = =( )
b) −( ) = −( ) = −( ) =( )2 2 2 23 2 3 2 6 6
c) y y y7 3 7 3 21( ) = =( )
d) p p p3 4 3 4 12( ) = =( )
e) y y yy
- - -3 5 3 5 1515
1( ) = = =( )
f) 4 4 414
2 3 2 3 66( ) = = =( )- - -
¿Cómo simplificas las expresiones 232( ) y x 3 4( ) ? ¿Qué
regla aplicas para ello? Compara tu respuesta con la siguiente: a) 2 2 2 2 23 2 3 3 3 2 6( ) = ( ) = =( )
b) x x x x x x x3 4 3 3 3 3 3 4 12( ) = = =( ). . .
Observa
Cuando una potencia está elevada a un exponente, se conserva la base y se multiplican los exponentes.b b bm n m n mn( ) = =.
Regla de la potencia de una potencia
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 59
Ejemplo 4
Efectúa las potencias:
a) 5 5 253 2 2 3 2 6x x x( ) = ( ) =b) 3 3 813 4 2 4 4 3 4 4 4 2 4 12 16 8x y z x y z x y z( ) = ( ) ( ) ( ) =
c) −( ) = −( ) ( ) ( ) ( ) =7 7 493 2 2 2 3 2 4 2 2 2 6 8 4x yz x y z x y z
Regla de la potencia de un cociente
Solución:
Como el volumen de un cubo está dado por V= x3, donde x es el valor de la arista, entonces la suma de ambos volúmenes es 8 63 3+ . Como no hay una propiedad referida a la suma de potencias, para calcular la suma de éstas, hay que efectuar y sumar ambas potencias: 8 6 512 216 7283 3 3+ = + = cm .
La arista de un cubo mide 8 cm, y la de otro 6 cm. ¿Cuánto suma el volumen de ambos cubos?
3 3
3
3×3×3 = 27 ¿Cómo sumariamos esto?
8 cm
Regla de la potencia de un productoAhora vas a resolver el problema planteado al inicio de esta lección. ¿Qué le sucede al área del cuadrado si el lado se duplica? Si x es el valor inicial del lado, su área es A = x2.
Si el lado se duplica, su área es: (2x)2 = 2x.2x= 2.2.x.x= 22 x2 =4x2
Observa que si el lado se duplica, el área se hace cuatro veces mayor. Además observa que al elevar el producto 2x a la potencia 2 se eleva cada factor a dicha potencia ¿Qué le sucede al área si el lado se triplica? El área del cuadrado es: (3x)2 = 3 92 2 2x x=
Observa que si el lado se triplica el área se hace nueve veces mayor. ¿Y si el lado se cuadruplica, cuántas veces es mayor el área?
Al elevar un producto a una potencia, se eleva cada factor a la potencia. Es decir: ab a bn n n( ) =
Es decir:ab
ab
con bn n
n
= ≠, 0
Ejemplo 5
Efectúa las potencias:
a) y 4 3
2
c) axby
4
b) xb
5
3
2
d) 84
3 2 3x yxy
Solución:
Primero aplicas la regla de la potencia de un cociente. Luego eliges la regla que sea oportuna.
a) y y y y4 3 4 3
3
43
3
12
2 2 2 8
=( )
= =.
b) xb
x
bxb
xb
5
3
2 5 2
3 2
52
32
10
6
=( )( )
= =.
.
c) axby
axby
a xb y
a xb y
=( )( )
= =4 4
4
14 14
14 14
4 4
4
. .
. . 44 0; con b e y ≠
d) Comienzas simplificando la expresión dentro del paréntesis. 84
84
23 2 3 3 2
2x yxy
xx
yy
x y
= ⋅ ⋅ = , luego
84
2 2 83 2 3
2 3 3 2 3 3 6 3x yxy
x y x y x y
=( ) = ( ) ( ) =
Ejemplo 6
La regla de la potencia de un cociente es similar a la regla de la potencia de un producto.
UNIDAD 5
60 Matemática - séptimo Grado
Solución:
a) −
=
−( )( )
=−( ) ( ) ( )3
4
3
4
32 4
3
2 2 4 2
3 2
2 2 2 4a bc
a b
c
a b22
2 3 2
4 8
64
916( ) ( )
=c
a bc
b) Simplificas primero la expresión dentro del paréntesis
y tienes:−
=−
⋅ ⋅ =− ⋅ =−2 2
12
1 23 5
7
3 5
72
2
2
2
x yxy
xx
yy
xy
xy
Luego:−
=
−
=
−( )( )
=−(2 2 2 23 5
7
3 2
2
3 2 3
2 3
x yxy
xy
x
y
)) ( )( )
=−3 2 3
2 3
6
6
8x
yxy
1. Escribe un ejemplo de la regla del producto y otro de la regla del cociente.
2. Al aplicar la regla de la potencia para simplificar la expresión −( )x y3 4 7
, ¿Cuál es el signo de la expresión simplificada: positivo o negativo? ¿Cómo haces para determinarlo?
3. Al aplicar la regla de la potencia para simplificar la expresión −( )7 5 3 4x b , ¿Cuál es el signo de la expresión simplificada: positivo o
negativo? ¿Cómo haces para determinarlo?
4. Efectúa las potencias y luego simplifica las siguientes expresiones.a) x5.x4 c) y.y e) x
x
17
15
g) yy
3
1−
i) xx
4
4
k) −( )7 2 0x
b) y2. y5 d) y. y2. y−3 f) xx
15
17
h) b0j) 5
5
7
7
l) x 2 3( )
5. Efectúa y simplifica:
a) x 5 2( ) c) −( )3 2x e) 5 3 4xy( ) g) 9 2 3 2
x y( ) i) −( )4 4 2 3x y z k) −
xa
5
b) y 3 4( ) d) −( )3 3x f) −( )2 3 5x h) −( )x y z4 5 6 3
j) xa
2
l) 32
3ab
6. Simplifica las siguientes expresiones:
a) 52
2
3
4ab
c) aba b
5
2 6
e) 510
12 3
2 7
x yx y
g) 42
5
3
2xx
b) x yx y
4 5
2 2
d) 105
3 5
2
x yxy
f) −62
2 2 7
5 9 8
x y zx y z
h) 918
2 7
7
3y zy z
Ejemplo 7
Efectúa y simplifica 62 3
x( )-
Solución:6 6 6 6
16
1 12 3 3 2 3 3 2 3 3 63 6x x x xx
( ) = ( ) = = = ⋅ =( )− − − − − − −. . .2216 6x
Ejemplo 8
Efectúa las potencias y luego simplifica.
a) −
34
2 4
3
2a bc
b) −
2 3 5
7
3x yxy
Actividad1
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 61
¿Sabes qué es un año luz?
Imagínate que viajas a la velocidad de la luz por un año. La distancia que recorres de esta forma se llama año luz. Como la velocidad de la luz en el vacío es de 300 millones de metros por segundo o sea 300,000,000 m/s, entonces un año luz equivale a multiplicar esta velocidad por 1 año (365 días = 31,536,000 segundos), o sea ¡300,000,000 m/s × 31,536,000 s!
Así como en la ciencia se trabaja con números muy grandes, así los hay muy pequeños. Por ejemplo, ¿Sabes que el espesor de una pompa de jabón mide 0.0000001m? Para facilitar el trabajo con este tipo de números, se creó la notación científica. Con esta notación, la velocidad de la luz se escribe 3 × 108 m/s, un año luz es 9.46 × 1015 m y el espesor de una pompa de jabón de 1.0 × 10−7m.
Ejemplo 9
Las áreas metropolitanas más pobladas del mundo son:
Tokio, con 31,200,000
New York, con 30,100,000 y
Ciudad de México, con 21,500,000 habitantes.
Expresa estos números en notación científica.
Solución:
31,200,000 = 3.12 × 107 habitantes.
30,100,000 = 3.01 × 107 habitantes.
21,500,000 = 2.15 × 107 habitantes.
Observa que el punto decimal se movió 7 lugares a la izquierda. Esto se debe a que se dividió entre 10 millones. Por lo tanto, se ha de multiplicar por ese número, o sea por 107.
Los siguientes números se expresan en notación científica.
Masa de la tierra = 5.94 × 1021 toneladas .
Edad de la tierra = 4.6 × 108 años.
Distancia de la tierra a la estrella polar =1.0 × 1019m
¿Cómo conviertes cantidades de notación decimal o normal a notación científica?
Los números en notación científica se escriben como el producto de un número mayor o igual que 1 pero menor que 10 por una potencia de 10. Así: a con an× ≤ <10 1 10
Notación Científica
UNIDAD 5
62 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 10
Escribe en notación científica 0.00368 y 0.00086.
Solución:
0.00368 = 3.68 × 10−3; 0.00086 = 8.6 × 10−4.
Como en este caso los números son menores que 1, el punto decimal se mueve a la derecha. En el primer caso, 3 lugares, por lo cual el exponente de 10 es − 3. En el segundo caso, 4 lugares, por lo cual el exponente es − 4.
¿Cómo conviertes cantidades de notación científica a notación decimal o normal?
Ejemplo 11
Escribe de notación normal:
a) 3.2 × 105 b) 3.57 × 10−4
Solución:
a) Al correr el punto decimal 5 lugares a la derecha, tienes: 3.2 × 105 = 3.2 × 100,000 = 320,00
b) Al correr el punto decimal 4 lugares a la izquierda tienes: 3.57 × 10−4 = 3.57 × 0.0001 = 0.00035
Ejemplo 12
Efectúa las siguientes operaciones:
a) 42 10 2 106 4. ×( ) ×( )−
b) 62 10
2 10
5
3
. ××
−
−
c) 6 10 8 102 3×( ) ×( )Solución:
Para efectuar operaciones en notación científica, aplicas las reglas de las potencias:
a) 42 10 2 10 42 2 10 106 4 6 4. .×( ) ×( )= ×( ) ×( )− −
= ×84 102.
b) 62 102 10
622
1010
5
3
5
3
. .××
= ×−
−
−
−
= × = ×− − −( ) −31 10 31 105 3 2. .
c) 6 10 8 10 48 102 3 5×( ) ×( )= ×
= ×48 106.
La calculadora y la notación científica
¿Qué te muestra tu calculadora cuando multiplicas números muy grandes o muy pequeños? Si tu calculadora no tiene la capacidad de mostrar la respuesta en forma de notación científica, probablemente obtengas una señal de error, ya que la respuesta es muy grande o muy pequeña para la pantalla.
Ejemplo 13
Si tu calculadora no posee notación científica:
700,000 × 500,000 = 350,000,000,000
Si tu calculadora posee notación científica:
a) 700,000 × 500,000
Observa la forma en que el exponente aparece en pantalla. Esto significa 3.5 ×1011
b) 0.00008 × 0.0009
significa 7.2 × 10−08
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 63
1. Representa en notación científica, las siguientes cantidades:
a) 5,000 g) 0.0057
b) 75,000 h) 0.157
c) 9,000 i) 504
d) 0.00075 j) 0.82
e) 5,265,000 k) 0.000956
f) 518,000 l) 6,270,000
2. Representa en notación decimal o normal las siguientes cantidades dadas en notación científica:
a) 5.4 × 103 e) 3.28 × 10−1
b) 1.18 × 10−3 f) 1 × 10−4
c) 4 × 105 g) 2.3 × 10−5
d) 3.14 × 106 h) 5.4 × 102
Actividad 23. Efectúa las siguientes operaciones:
a) 7 10 2 102 3×( ) ×( ) d) 68 102 10
5
3
. x
x
b) 6 103 10
3
2
××
−
e) 30 106 10
4
3
. ×× −
c) 84 104 10
7
2
. ××
−
− f) 15 10 3 104 2. ×( ) ×( )− −
4. Convierte a notación científica y efectúa. Comprueba tu respuesta mediante la calculadora.
a) 500 000 7 000 000, , ,( )( )
b) 00007 8 000 000. , ,( )( )c) 1 400 000 0007, , .÷
d) 150 000 00075, .÷
Resumen
El siguiente cuadro te presenta un resumen de las propiedades de los exponentes.
Los números en notación científica se escriben como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, por una potencia de 10.
Regla del Producto: b b bm n m n. = +
Regla del Cociente:bb
b bm
nm n= ≠− , 0
Regla de la Potencia de una potencia: b b bm n m n mn( ) = =.
Regla de la Potencia de un producto:
ab a bn n n( ) =
Regla de la Potencia de un cociente:
ab
ab
bn n
n
= ≠, 0
UNIDAD 5
64 Matemática - séptimo Grado
1. c. 2. d. 3. b. 4. a. Soluciones
Autocomprobación
42
1 3
Una computadora lee la información en “bits” y en “bytes”. Un bit funciona como un switch o interruptor, y la computadora lo lee como
encendido (1) o apagado (0). Un byte es una serie de 8 bits que forma un dato, como una
letra o un dígito. Cada byte puede representar
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2568× × × × × × × = = datos diferentes.
Son ejemplos de bytes: 10101100, 11100011. Escribe en tu cuaderno tres bytes de 8 bits.
Al simplificar la expresión 23 + 53 el resultado es:a) 73
b) 76
c) 133d) Ninguna de las anteriores
2 23 3 3 3x x( ) ( )− es igual a:
a) 2 3 0x( )
b) 4 9xc) 1d) a y c son correctos
Al simplificar −( )4 3 2 3x y obtienes:
a) 16 9 6x yb) −64 9 6x yc) 64 9 6x yd) −16 9 6x y
De las siguientes cantidades, correctamente en notación científica es:
a) 2.5 × 10−7
b) 0.8 × 105
c) 12 × 10−7
d) 15.8 × 109
BYTES
séptimo Grado - Matemática 65
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro:
operaciones con MonoMios
Lección2
La figura de la derecha muestra dos tanques de agua de forma cúbica. La arista de uno de ellos es el doble de la arista del otro. ¿Cuál es la suma de sus volúmenes? Para determinar la suma de esos volúmenes, primero encontramos cuáles son dichos volúmenes.El volumen del tanque A es: V x= 3
El volumen del tanque B es: V x x=( ) =2 83 3
Luego la suma de ambos es: x x x x3 3 3 38 1 8 9+ = +( ) =
resolverás con precisión sumas de monomios.
resolverás con seguridad la diferencia de monomios.
resolverás con satisfacción operaciones combinadas de sumas y diferencias de monomios.
utilizarás con interés las reglas para suprimir o introducir un signo de agrupación al resolver operaciones.
resolverás problemas aplicando operaciones combinadas con signos de agrupación.
resolverás con seguridad ejercicios con monomios aplicando: potencia de un producto.
resolverás con seguridad ejercicios con monomios aplicando: potencia de un cociente.
resolverás con seguridad ejercicios con monomios aplicando: potencia de potencias y del exponente cero.
En la unidad anterior estudiaste los términos semejantes ¿Recuerdas cuáles son?
En el ejemplo anterior se sumaron dos monomios semejantes. Es decir, dos monomios con las mismas variables y los mismos exponentes. La suma de dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma de los dos coeficientes. Como los monomios 3x2y y 6xy2 no son semejantes, no pueden reducirse para formar otro monomio. La suma de esos monomios queda indicada: 3x2y + 6xy2.
Ejemplo 1
Las dimensiones de cuatro terrenos se expresan en términos de x, como lo muestra la figura dada. ¿Cuál es la suma de sus áreas? ¿Cuál es su valor si x = 5?
Solución:
Calculando el área de cada figura tienes que.A x x x1
23 3= =. A x x x22= =.
A x x x322 2= =. A x x4 4 4= =
La suma de las áreas es:
3 2 42 2 2x x x x+ + +Como los monomios 3 22 2 2x x y x, son semejantes, al sumarlos resulta (3 + 1 + 2) x2=6x2
Luego, la suma es igual a 6x2 +4x.¿Cuál es el valor cuando x = 5?
3x
x
x
4
2x
x
x
x
Suma con monomios
x 2x
UNIDAD 5
66 Matemática - séptimo Grado
La suma es 6(5)2 + 4(5) = 6(25) + 4(5) Sustituyendo si x = 5 = 150 + 20 = 170
Ejemplo 2
Suma los monomios:
a) x y, c) 7 10, − x y+ 7 10 3+ −( )=−b) 8 2, − d) 8 2a a,
8 2 6+ −( )= 8 2 10a a a+ =e) − − − −5 2 10 5 2 4 10a a b b a b, , , , , , − + −( )+ −( )+ + + + −( )5 2 10 5 2 4 10a a b b a b= − + −( )+ + −( )+ + + −( )5 2 2 10 5 4 10a a a b b b Ordenando los monomios semejantes
− 5a − b + (− 10) Sumando=− − −5 10a b
Resta de monomios
¿Cómo hallas la diferencia de áreas de los cuadrados de la par? Compara tu solución con la siguiente:
Área de A x= 2 Área de B x x=( ) =2 42 2
Luego, de 4x2 restas x2: (4 − 1) x2 − 3x2
La resta de dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la resta de los dos coeficientes. Para restar los coeficientes sigues las reglas de la resta de números enteros y racionales que estudiaste en la unidad 1.
Ejemplo 3
Restar la segunda expresión de la primera.
a) 7 4, e) 3 4, - i) - ,5 62 2x y x y 7 4 3− = 3 4 3 4 7− −( )= + = − − =−5 6 112 2 2x y x y x y
b) 5 9, f) - , -8 3 j) 23
12
3 3x x, 5 9 4− =− − − −( )=− + =−8 3 8 3 5
c) 9 5, g) - , -8 11 23
12
23
12
16
3 3 3 3x x x x− = −
=
9 5 4− = − − −( )=− + =8 11 8 11 3
d) −4 3, h) 2 3a b,
− − =−4 3 7 2 3a b−
x 2x
AB
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 67
Ejemplo 4
a) A la suma a conb, súmale a menos b
Solución:
a + b + (a –b) = a + b + a – b = a + a + b – b = 2a
b) De la suma a con b, réstale a menos b
Solución:
a + b – (a – b) = a + b – a + b = a –a + b + b = 2b
c) De − 5x2y restar − 3x2y
Solución: − 5x2y − (− 3x2y)= − 5x2y + 3x2y==− 2x2y
d) Restar − 8ab3 de 11ab3
Solución: 11ab3 − (− 8ab3)= 11ab3 + 8ab3 = = 19ab3
Eliminación de signos de agrupación en expresiones algebraicas
Analiza cómo se simplifican las siguientes expresiones con monomios cuando hay signos de agrupación. Al igual que trabajaste con números enteros, comienzas suprimiendo los signos de agrupación más internos.
a) x2 + y2 – (x2 + 2xy + y2) + (–x2 + y2) Eliminas paréntesis.= x2 + y2 – x2 – 2xy – y2 – x2 + y2 Agrupas términos semejantes.= x2 – x2 – x2 + y2 – y2 + y2 – 2xy Sumas términos semejantes.
= – x2 + y2 – 2xy
b) 2a + [a – (a + b)] Eliminas paréntesis.= 2a + [a – a – b] Eliminas corchete.= 2a + a – a – b Reduces términos semejantes.= 2a – b
c) 2m + [(m – n) – (m + n)] Eliminas paréntesis.= 2m + [m – n – m – n] Eliminas corchetes.= 2m + m – n – m – n Agrupas términos semejantes.= (2m + m – m) – n – n= 2m – 2n
Como el paréntesis está precedido de “+”, sus términos no cambian de signo.
Como el paréntesis está precedido de “–”, sus términos cambian de signo.
UNIDAD 5
68 Matemática - séptimo Grado
d) 4x2 + [– (x2 –xy) + (–3y2 + 2xy) – (–3x2 + y2)] Eliminas paréntesis.= 4x2 + [– x2 + xy – 3y2 + 2xy + 3x2 – y2] Eliminas corchetes.= 4x2 – x2 + xy – 3y2 + 2xy + 3x2 – y2 Agrupas términos semejantes.= 4x2 + 3x2 – x2 + xy + 2xy – 3y2 – y2 Reduces términos semejantes.
= 6x2 + 3xy – 4y2
e) x2 – {–7xy + [– y2 + (–x2 + 3xy – 2y2)]} Eliminas paréntesis.= x2 – {–7xy + [– y2 – x2 + 3xy – 2y2]} Eliminas corchetes.= x2 – {–7xy – y2 – x2 + 3xy – 2y2} Elimina llaves.= x2 + 7xy + y2 + x2 – 3xy + 2y2 Agrupas términos semejantes.= x2 + x2 + 7xy – 3xy + y2 + 2y2 Reduces términos semejantes.= 2x2 + 4xy + 3y2
Introduciendo una expresión entre signos de agrupación
Como sabes, si el signo “+” precede al paréntesis, los términos dentro de éste, no cambian de signo. Por el contrario, si el signo “–” precede al paréntesis, los términos dentro de éste cambian de signo.
Ejemplo 5
Introduce la expresión 5x + 3y – 2 en un paréntesis precedido:
a) Del Signo “más”
Solución:
5x + 3y – 2 = + (5x + 3y – 2)
b) Del signo “menos”
Solución:
5x + 3y – 2 = – (–5x – 3y + 2):
¿Por qué todos los términos de la expresión cambian de signo dentro del paréntesis?
Recuerda: – (a + b) =– a – b De manera general – (a − b + c) = – a + b – c
Observa
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 69
1. Suma los siguientes monomios:
a) – 3, – 5a, – 6b, 10a c) – 2a, 3b e) pq, –10pq
b) 32
25
223
x x y y, , ,− − d) – 7x, – 10x
3. Resta:
a) Restar x – y de y – x c) Restar –b3 – b + 6 de –8b3 + 5b – 4
b) Restar x2 – y2 – 3xy de –5m2 – n2 + 6mn d) Restar x – 3y – 9 de 5x
4. Simplifica las siguientes expresiones:
a) a2 + b2 – (a2 + 2bb + b2) – (–a2 + b2)
b) 8x2 + [–2xy – (–y2)] – [–x2 – (–xy + 3y2)]
c) –(a + b) + (–a –b) – (–b + a) + (3a + b)
d) – [–3a – {b + [–a + (2a – b) – (–a + b)] + 3b} + 4a]
5. Introduce todos los términos, excepto el primero, dentro de un paréntesis precedido del signo menos:
a) a + 2b + (a – b) c) x2 – 3xy + [(x2 – xy) + y2]
b) 4m – 2n + 3 – (–m + n) + (2m – n) d) x3 – 3x2 + (–4x + 2) – 3x – (2x + 3)
Minuendo Sustraendo Resta5k 7k8m 10m–8p –2p5a2x –3xy3
5 –8–3a2b2
−23
2 2a b
Ejemplo 6
Introduce los tres últimos términos de las siguientes expresiones dentro de un paréntesis precedido del signo “–”.
a) x – y + w – z b) a2 – 3ab – b2 – 5
Solución: Solución:
x – (y – w + z) a2 – (3ab + b2 + 5)
2. Copia y completa el cuadro siguiente: Dados minuendo y sustraendo determina su resta.
Actividad 1
UNIDAD 5
70 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 7
Efectúa, aplicando las propiedades de las potencias:
a) 5 3 2xb( )
5 53 2 2 2 3 2xb x b( ) = ( )
= 252 6x b
b) −( )5 3 2xb
−( ) = −( ) ( )5 53 2 2 2 3 2xb x b
= 25 2 6x b
c) −( )8 3 5 3ab c
−( ) = −( ) ( ) ( )8 83 5 3 3 3 3 3 5 3ab c a b c
=−512 3 9 15a b c
d) ab 2 3
5
ab ab2 3 2 3
35 5
=( )
=( ) ( )( )
a b3 2 3
35
=a b3 6
125
= 1125
3 6a b
Todo número elevado al exponente cero es igual a 1: a( ) =0 1
Punto de apoyo
Propiedades de los exponentes
Los monomios siguen las reglas o propiedades de los exponentes:
a) b b bm n m n. = + Regla del Producto.
b) bb
b bm
nm n= ≠− , 0 Regla del Cociente.
c) b b bm n m n mn( ) = =. Regla de la Potencia de una Potencia.
d) ab a bn n n( ) = Regla de la Potencia de un Producto.
e) ab
ab
bn n
n
= ≠, 0 Regla de la Potencia de un Cociente.
e) −
13
24
mn
− = −
( )1
313
24 4
4 2 4mn m n
= ( )( )13
4
44 8m n
= 181
4 8m n
f) −
23
2
3
3abm
−
=
−( )( )
23
2
3
2
3
3 2 3
3 3
abm
ab
m
=−( ) ( ) ( )( ) ( )2
3
3 3 2 3
3 3 3
a b
m
= −827
3 6
9
a bm
=− 827
3 6
9
a bm
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 71
Ejemplo 8
Efectúa y simplifica.
a) 4 23 2 2 3x x( ) +( )
4 2 4 23 2 2 3 2 3 2 3 2 3x x x x( ) +( ) = ( ) + ( )
= +16 86 6x x
= 246x
b) −( ) −( )3 24 2 2 4z z
−( ) −( ) = −( ) ( ) −( ) ( )3 2 3 24 2 2 4 2 4 2 4 2 4z z z z
= −9 168 8z z
=−78z
1. Efectúa utilizando las propiedades de las potencias:
a) 5 3 2n( ) e) −( )3 4 2 2
m n i) −( )2 2 4 5x y m) 3 2 52 4 2 3
x x x( )− −( )
b) −( )10 6 2b f) −( )3 4 2 3
n n j) 4 2 3 4x y z( )− n) −( ) ( )3 42 4 3 3 2
a b a b
c) 2 3 2
t( )− g) 32
3
a
k) −
25
2 6 2x y
d) −( )8 4 3k h) −
72
2
x l)
23
cy−
Actividad 2
3. Y en la expresión −( )4 5 4 10a b ¿Cómo es el signo de la
expresión que resulta? ¿Cómo llegas a esa respuesta?2. Considera la expresión −( )x y3 9 7
. Al utilizar la regla de la potencia respectiva, ¿Cómo es el signo de la expresión que resulta: positivo o negativo? ¿Cómo llegas a esa respuesta?
Resumen
Para sumar o restar dos monomios semejantes, solo sumas o restas sus coeficientes y mantienes la misma variable. Si un paréntesis está precedido de un signo “+”, todos los términos que están dentro de él mantienen su signo. Si está precedido del signo “−”, éstos cambian su signo. Para elevar monomios a una potencia, se aplican las reglas o propiedades de los exponentes.
c) 232
43
n n( )
2
32
232
43
4 43
33n n n n( )
=( )
= ( ) ( )2 32
4 3
34 3n n
= ( )( )2 33 4 3n n
= 54 7n
UNIDAD 5
72 Matemática - séptimo Grado
Las operaciones con monomios se hallan en todas las situaciones de tu alrededor. Por
ejemplo, el área del cuadrado se representa por el monomio x2. El volumen del cubo es x3. El
área del rectángulo es el monomio xy.
El volumen de un paralelepípedo con base cuadrada de lado x y altura y es el monomio: x2y
Si la base de un paralelepípedo es un rectángulo de dimensiones x, y, con altura z entonces el
volumen lo representa el monomio: xyz¿Qué monomio representa el área de un
triángulo rectángulo?
Soluciones1. c. 2. b. 3. d. 4. d.
Autocomprobación
Una expresión equivalente a 5 2 3x( )− es:
a) − −15 6x c) 125
6x
b) 125 6x − d) 1
125 6x
4 Al introducir un paréntesis en los últimos tres términos de la expresión 3 2 5 8x y z− − − antes del signo menos, resulta:a) 3 2 5 8x y z− + −( )b) 3 2 5 8x y z− + +( )c) 3 2 5 8x y z+ + +( )d) 3 2 5 8x y z− − +( )
2
Al reducir 2 2 2 2x y x y+ − −( ) resulta:a) 4xb) −4xc) 4 yd) −4 y
1 3 Una expresión equivalente a 3 5 4 2a b( ) es:
a) 3 2 5 2 4 2( ) ( ) ( )a bb) 9 25 16a bc) 9 10 8a bd) a y c son correctas.
x
x
x
xx
x
y
ÁREAS Y VOLÚMENES COMO MONOMIOS
séptimo Grado - Matemática 73
Quinta Unidad
Motivación
convertirás con seguridad expresiones con exponentes negativos a expresiones con exponentes positivos y viceversa.
resolverás problemas aplicando las potencias de exponentes enteros.
realizarás con esmero productos de monomio por monomio aplicando propiedades de los exponentes
Indicadores de logro:
En las igualdades de la derecha te mostramos el valor de algunas potencias de 2. ¿Cómo es el valor de una potencia en relación al valor anterior? Observa la variación en los exponentes. ¿Cómo es el valor de un exponente en relación al anterior? ¿Qué valores adquieren w,x,y,z?
exponente neGativo, Multiplicación y división de MonoMios
Lección3
realizarás con esmero productos de monomio por polinomio aplicando propiedades de los exponentes.
obtendrás, con esmero, cocientes entre monomios y cocientes entre un polinomio y un monomio.
resolverás con seguridad problemas algebraicos utilizando operaciones combinadas entre monomios.
16, 8, 4, 2, 1, 12
, 14
, 18
, 116
.
Además, los exponentes disminuyen de uno en uno, por lo cual los valores que faltan son:
w =−1 x =−2 y =−3 z =−4
Ahora vas a aplicar esta equivalencia en monomios con varios factores.
bb
nn
− =1
En la situación anterior observas que el valor de una potencia es igual a la mitad de la anterior:
Como ya lo estudiaste en la lección 4 de la unidad anterior:
Luego, tienes:
212
12
11
− = = 212
14
22
− = =
212
18
33
− = = 212
116
44
− = =
Exponente negativo
2 164 =
2 83 =
2 42 =
2 21 =
2 10 =
212
w =
214
x =
218
y =
2116
z =
UNIDAD 5
74 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 1Simplifica y expresa con exponentes positivos:
a) x −4 d) 34
7x − g) 34
4
1
ba −
b) 2 5y − e) x y− −( )2 3 3 h) 2 2
3
2x yz
−
−
c) x y−3 2 f) 85 3k −
Solución:
a) xx
− =4 4
1 c) x y
xy y
x− = ⋅ =3 2
3
2 2
3
11
b) 2
21
1 255 5y
y y− = ⋅ = d)
34
34
1 34
77 7x
x x− = ⋅ =
e) x y x y− − − − −( ) =( ) ( )2 3 3 2 3 3 3
=−x y6 9
= ⋅xy
6
911
= xy
6
9
f) 8
58
51
13
3k
k
− =⋅
= 853k
= ÷81
53k
= ×8
1 5
3k
= 8
5
3k
g) 34
3411
4
1
4ba
b
a
- =⋅
= 34
4b
a = ÷3
144ba
= ⋅31 4
4b a
= 34
4ab
= 3
44ab
Ejemplo 2
Simplifica y expresa con exponentes positivos:
a) 23
5
4
xy
−
− b) 4
5
3 6
3 6
x za b
− −
− c) 5
7
6 3 4
3 5
k m bx y
− −
−
Solución: a) 23
21
1
31
1
5
4
5
4
xy
x
y
−
− =⋅
⋅
=
2
35
4
x
y
= ⋅235
4
xy
=23
4
5
yx
b) 45
41
1 1
51 1
1
3 6
3 6
3 6
3
6
x za b
x za
b
− −
− =⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
4
5
3 6
3
6
x zab
= ⋅453 6
6
3x zba
= 45
6
3 3 6
ba x z
Aplicando el procedimiento anterior en la solución del ejemplo c), tienes:
57
57
6 3 4
3 5
3 3
4 6 5
k m bx y
m xb k y
− −
− =
Observa
Recuerda que: aa
nn
− =1 ; con a ≠ 0
Observa
Observa que al simplificar expresiones como las anteriores, donde sólo hay productos indicados en el numerador y denominador, puedes cambiar un factor del numerador al denominador y viceversa.
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 75
Ejemplo 3
Simplifica la expresión: 2
2
2 3
2
4
xzxz
−( )
Solución:
Trabajando con la expresión dentro del corchete tienes:
2
2
2
282
82
2 3
2
3 3 2 3
2
3 6
2
3
2
xzxz
x zxz
x zxz
xxz z
− − −( )=
( )= = 66
3 1
2 6
2
8
4 4= =−x
zxz+
Luego:
2
24 4 2562 3
2
42
8
4 4 8
32
xzxz
xz
xz
x−( )
=
= =
88
32z Ejemplo 4
Simplifica la expresión: 2 2
3
2x yz
−
−
Solución:
Trabajando con la expresión dentro del paréntesis, tienes: 2 22
3
3
2
x yz
yzx
−
− =
Luego:
2 2 42
3
2 3
2
2 2 6
4
x yz
yzx
y zx
−
−
=
=
Actividad 1Simplifica las siguientes expresiones y escríbelas con exponentes positivos:
a) 3−2 f) 13x −
k) x − −( )3 4 o) 12
2
2
3 2
x yx y
−
b) x−3 g) 13y − l) 2 3 2− −( ) p) 3
6
4 2
3
x yy
−
c) 5−1 h) x −( )4 2 m) x x− −3 7. q) 16
4
7 2
5 2
3x yx y
− − −
d) 6−2 i) 15 3−
n) yy
6
3− r) 9
18
4 7
1 1
x yx y
−
− −
e) x−4 j) x 5 2( )− ñ) 4 1xy − s) 24
3
7
2xx
−
−
−
UNIDAD 5
76 Matemática - séptimo Grado
a. Multiplicación de monomio por monomio.
Ejemplo 5
Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) 3 52 5x x( )( ) c) 5 82 5 4x y x y( )( )b) −( )( )2 36 4x x d) 6 32 5 4 7xy z x y z( ) −( )
a b c ac bc+( ) = + , donde a, b y c representan cualquier número. Esta propiedad se llama propiedad distributiva.
En tu cuaderno, escribe la regla que utilizas para multiplicar monomios.
b. Multiplicación de monomio por polinomio
Acá te presentamos esta operación: 5 3 7+( ) . ¿Recuerdas cómo la efectúas? Observa las siguientes dos formas de hacerlo.
5 3 7 5 10 50+( )= ( )=5 3 7 5 3 5 7 15 35 50+( )= ( )+ ( )= + =
Y tú, ¿Cómo la efectuaste?, ¿Cómo efectuarías la operación (2+8)5?
Esta propiedad se escribe así:
c) 5 8 5 82 5 4 2 5 1 4x y x y x y( )( )=( )( ) + +
= 40 7 5x y
d) 6 3 6 32 5 4 7 1 4 2 7 5 1xy z x y z x y z( ) −( )= −( ) + + +
=−18 5 9 6x y z
Solución:
a) 3 5 3 52 5 2 5x x x x( )( )= ( ) ( )
=+15 2 5x
=157x
b) −( )( )= −( )( ) ( )2 3 2 36 4 6 4x x x x
=− +6 6 4x
=−610x
Multiplicación de monomios
Ejemplo 6
Efectua las operaciones indicadas:
a) 5 a b+( ) b) 3 2 5x y −( ) c) 5 2 3a b−( )
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 77
Ejemplo 7
Efectúa las siguientes multiplicaciones: Efectúas las operaciones indicadas utilizando propiedades de exponentes.
Solución:
a) 2 5 42x x +( ) 2 5 4 2 5 2 42 2x x x x x+( )= ( )+ ( ) Utilizas propiedad distributiva.
= +10 83x x
b) − − −( )3 5 2 32x x x
− − −( )=− ( )+ −( ) −( )+ −( ) −( )3 5 2 3 3 5 3 2 3 32 2x x x x x x x x ¿Qué propiedad utilizas?
=− + +15 6 93 2x x x Verifica este resultado.
c) 3 4 5 92 3x x x− −( ) 3 4 5 9 3 4 3 5 3 92 3 2 3 2 2x x x x x x x x− −( )= ( )+ −( )+ −( )
d) 3 2 3 42x xy x− +( ) 3 2 3 4 3 4 2 4 3 42 2x xy x x x xy x x− +( ) =( ) + −( ) +( )
= − +12 8 123 2x x y x
e) 2 4 2 54 3x x x− −( ) −( )
2 4 2 5 2 5 4 5 2 54 3 4 3x x x x x x x x− −( ) −( )=( ) −( )+ −( ) −( )+ −( ) −(( )
=− + +10 20 105 4x x x
Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicas la propiedad distributiva.
Solución:
a) 5 a b+( )
5 5 5a b a b+( )= +
b) 3 2 5x y −( )3 2 5 3 2 3 5 6 15x y x y x xy x−( )= ( )− ( )= −
c) 5 2 3a b−( )5 2 3a b−( ) = 5 3 2 3 15 6a b b ab b( )− ( )= −
¿Cómo efectúas esta operación: 3 2 5x y +( ) ?
¿Lo haces así: 3 2 5 3 2 3 5 6 15x y x y x xy x+( )= ( )+ ( )= + ?
UNIDAD 5
78 Matemática - séptimo Grado
División de un polinomio entre un monomio
Silvia lo hace así:x x x+
= + = +2
2 222 2
1
Mientras que Samuel lo hace así:
1
22
11
1
1
x xx
+ = + = +
¿Cuál de ellos, dividió correctamente?
Solución:
Silvia dividió correctamente. Samuel cometió un error al simplificar, ya que se trata de una suma, en el numerador.
c) 4 6 8 32
3 2x x xx
− + −
Solución:4 6 8 3
242
62
82
32
3 2 3 2x x xx
xx
xx
xx x
− + − = − + −
= − + −2 3 432
2x xx
Ejemplo 9
Observa cómo Silvia y Samuel efectúan la división: x + 22
b) 4 162
2x xx−
Solución:4 16
242
162
2 2x xx
xx
xx
− = −
= 22 8x −
Ejemplo 8
Efectúa las siguientes divisiones:
a) 2 42
x +
Solución:2 42
22
42
2
x x
x
+ = +
= +
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 79
Actividad 21. Efectúa las siguientes multiplicaciones de monomios:
a) x xy2 3( ) d) − ( )5 62 3 2 5x y x y g) 612
2 4x y x( )
b) 6 32 4xy xy. e) 4 74 6 2 9x y x y−( ) h) 9 66 3 8xy x y.
c) 5 64 5 2x y xy( ) f) 12 26 2 9 7x y x y( ) i) 23
6 2 3x x y( )2. Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) 3 2 5x +( ) f) − − +( )4 2 6x x k) − − + −( )3 2 5 62a a a
b) − +( )3 2 5x g) − −( )x x3 5 l) m n mn+( )2
c) 3 2 5x −( ) h) 2 3 12a a a+ −( ) m) x y y− −( )4
d) − −( )3 2 5x i) 5 4 6 42a a a− + −( ) n) 12
6 362k k k− +( )e) − +( )5 2x x j) b b b2 1− +( )
3. Efectúa las siguientes divisiones:
a) 3 42
a + f) 2 4x
x+ k)
5 32
aa−
b) 4 62
a − g) 4 3x
x−
l) 3 6 93
2x x+ −
c) 9 63
x − h) − −−9 33
a m) 6 4 12
2
2y yy
− +
d) 3 82
x − i)
6 55
−−
a n)
4 6 72x xx− +
e) 5 126
x − j) 3 6xx+
Para convertir una expresión con exponente negativo, aplicas la igualdad bb
nn
− =1 .
Para multiplicar dos monomios, multiplicas sus coeficientes y para determinar los exponentes de las variables, utilizas la regla del producto de exponentes. Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicas la propiedad distributiva. Para dividir un polinomio entre un monomio divides cada término del primero entre el monomio.
Resumen
UNIDAD 5
80 Matemática - séptimo Grado
Soluciones1. d. 2. b. 3. d. 4. b.
El libro chino Chui-chang Suan-shu (Los nueve capítulos del arte matemático) fue
escrito aproximadamente 250 años a. de C; dos figuras se reconocen como sus creadores Chang
Shang y Keng Shou Chang. En éste trataban los exponentes positivos y negativos. Con El
ábaco chino (Suan Pan) ellos representaban los números positivos y negativos.
Modernamente, los exponentes negativos forman parte de la ciencia y la tecnología. Por ejemplo,
el número de átomos contenidos en un gramo de
un elemento es igual a: 60210
602 102323.
.− = x
La expresión x 5 55+ equivale a:
a) x 5 5+ c) 15
5+ x
b) x 5
51+ d) x5 + 1
4 El número 5−3 es igual a:a) 125 c) −
1125
b) 1125
d) − 125
2
Al efectuar el producto 5 35 2x b xb( ) −( ) resulta:a) 15 6 2x bb) −15 5 2x bc) 15 5 3x bd) −15 6 3x b
1Autocomprobación
3 Al efectuar el producto − −( )2 52 3 2x y x y este resulta:a) 10 5 3x yb) −10 5 3x yc) − −10 22 5 3x y x yd) − +10 22 5 3x y x y
EXPONENTE NEGATIVO 250 a. de C.
séptimo Grado - Matemática 81
Quinta Unidad
Motivación
determinarás y explicarás con confianza la radicación de cantidades numéricas.
determinarás y explicarás con claridad la utilidad de las raíces cuadradas y cúbicas exactas.
calcularás con seguridad las raíces cuadradas y cúbicas exactas.
resolverás problemas aplicando ordenadamente las raíces exactas.
aplicarás con confianza, la propiedad: producto de las raíces.
simplificarás ordenadamente las raíces cuadradas y cúbicas con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.
Indicadores de logro:
El teorema de Pitágoras establece que “en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. De acuerdo a este teorema, ¿cuál es la longitud de la escalera en la figura de la derecha?
raíces cuadradas y cúbicas
Lección4
Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo dado resulta:
x 2 2 24 3= + x 2 16 9= + x 2 25=x = =25 5 , ya que 52 = (5)(5) = 25
La expresión 25 se lee “raíz cuadrada de 25”. El signo se llama signo radical o signo de radical. El número o expresión que va dentro del signo radical se llama radicando. Toda la expresión 25 se llama expresión radical o radical. Las partes de un radical son:
Otro elemento de una expresión radical es su índice: éste indica la raíz de la expresión. Las raíces cuadradas tienen índice 2, el cual no se escribe. Es decir: 25 252= . Otros radicales tienen índices diferentes
de 2, así 83 es la raíz cúbica de 8. En este caso el índice es 3. En la expresión 325 o raíz quinta de 32.
¿Cuál es el índice?
Radical Se lee Radicando
16 Raíz cuadrada de 16 16
64 Raíz cuadrada de 64 64
94
Raíz cuadrada de 94
94
3 m
5 m 4 m
Radical 25
Signo radical
Radicando
Raíz cuadrada5 m h = 4 m
3 m
UNIDAD 5
82 Matemática - séptimo Grado
Todo número positivo posee dos raíces cuadradas: la raíz cuadrada principal o positiva y la raíz cuadrada secundaria o negativa. Así la raíz cuadrada principal o positiva de 25, se escribe 25 , o sea es el número positivo cuyo cuadrado es 25. ¿Cuál es dicho número? La raíz cuadrada secundaria o negativa de 25 se escribe − 25 : es el número negativo cuyo cuadrado es 25, o sea, − =−25 5 , ya que −( ) =5 252 .
Ejemplo 1Radical Equivale a Clase de Raíz
25 5= 5 252 = Principal o positiva
− =−25 5 −( ) =5 252 Secundaria o negativa
100 10= 10 1002 = Principal
− =−19
13
− =
13
19
2 Secundaria
Cuando no se exprese lo contrario, al considerar la raíz cuadrada de una expresión ésta será la principal o positiva.
Raíces cuadradas exactas
A continuación te presentamos una lista de algunos números enteros no negativos que son cuadrados perfectos. Esto significa que su raíz cuadrada es exacta.
Radical Valor Comprobación Radical Valor Comprobación
0 =0 0 02 = 144 =
12 12 1442 =
1 =1 1 12 = 169 =
13 13 1692 =
4 =2 2 42 = 196 =
14 142 = 196
9 =3 32 = 9 225 =
15 15 2252 =
16 =4 4 162 = 256 =
16 16 2562 =
25 =5 5 252 = 289 =
17 17 2892 =
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 83
Ejemplo 2
Encuentra el valor de:
a) 225 c) 400
b) 9 25 d) 4 100
Solución:
225 5 3
5 3
2 2
2
=
=
( ) ( )
[( )( )]
(15)15
==
2
22545931
5533
5
3
2
2
b) 9 25
Resuelve tú el literal b)
c) 400
Solución:
400 2 2
2
=
=
(2) (10)
[(2)(10)]
(20)20
==
2
400200100101
221010
2
10
2
2
d) 4 100
Resuelve el literal d)
ab a b= donde a y b son números no negativos.
Ejemplo 3
Las siguientes igualdades son ilustraciones de la propiedad anterior.
a) 2 18 2 18( ) = c) 4 25 4 25( ) =
b) 9 100 9 100( ) = d) 9 25 9 25( ) =
Ejemplo 4
Simplifica haciendo uso de la propiedad anterior.
a) 10000
b) 900
Solución:
Para encontrar el valor de una raíz cuadrada, procura descomponer el radicando en factores que sean cuadrados perfectos, los cuales ubicas en las raíces cuadradas de la página anterior. Así:
a) 10000 100 100= ( )
= 100 100 Ya que 100 es cuadrado perfecto 100 = (10)2
=10(10) =100 Pues 100 10=
b) 900 4 225= ( ) 900450225752551
223355
22
= 4 225
= 2 3 52 2 2
32
= 2(15) 52
= 30
Observa que en el proceso de descomposición en factores de 900, obtienes que el factor 225 es cuadrado perfecto.
Ejemplo 5
Simplifica descomponiendo el radicando en factores que sean cuadrados perfectos:
a) 60
b) 80
UNIDAD 5
84 Matemática - séptimo Grado
Solución:
a) Como el único factor de 60 que es cuadrado perfecto es 4, entonces:
60 4 15= 6030151
2215 } 15
} 4 = 2 15
Como 15 no es un cuadrado perfecto, concluyes que 60 no es cuadrado perfecto, o sea,
su raíz cuadrada no es exacta.
16b) 80 16 5=
= 4 5
Como 5 no es cuadrado perfecto, concluyes que 80 tampoco lo es, o sea, su raíz cuadrada no es exacta.
Ejemplo 6
Si el área de un cuadrado mide 576 m2, ¿cuánto mide el lado?
Solución:Como el área del cuadrado se calcula elevando el lado al cuadrado, el valor de éste es la raíz cuadrada del área. O sea,
x 2 576= x = 576
x = 4 144
x = ( )=2 12 24 R: El lado del cuadrado mide 24 m
Raíces Cúbicas
Como 53=125, entonces 5 es la raíz cúbica de 125. Esto lo escribimos así: 125 53 = . En General.
El número c se llama raíz cúbica de a si c3 = a, lo cual se escribe así: c a= 3
Ejemplo 7Radical Resultado Se lee Comprobación
83 = 2 Raíz cúbica de 8 2 83 =
273 = 3 Raíz cúbica de 27 3 273 =
1 0003 , = 10 Raíz cúbica de 1,000 10 1 0003 = ,
−83 = −2 Raíz cúbica de – 8 −( ) =−2 83
−643 = −4 Raíz cúbica de – 64 −( ) =−4 643
40 2 20 2 10 2 10 2 5 5 1
576 2 288 2 144 12 12 12 1
4
144
x
A = 576 m2
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 85
De manera similar a la raíz cuadrada, descompones el radicando en factores que sean cubos perfectos, los que encuentras en la lista anterior de raíces cúbicas.
Tienes entonces, 1728 8 216 2 6 123 3 3= = ( )=
Simplificación de raíces cúbicas
Ejemplo 9
Averigua si 1,728 es cubo perfecto.
Solución:
El método que estudiaste para simplificar raíces cuadradas lo aplicas en las raíces cúbicas.
¿Por qué la raíz cúbica de un número negativo resulta otro número negativo?
Raíces cúbicas exactas
La siguiente es una lista de los primeros 11 números enteros no negativos que son cubos perfectos. Es decir, que su raíz cúbica es exacta.
Radical Valor Comprobación
13 = 1 1 111 13 = =. .
83 = 2 2 222 83 = =. .
273 = 3 3 333 273 = =. .
643 = 4 4 444 643 = =. .
1253 = 5 5 555 1253 = =. .
2163 = 6 6 666 2163 = =. .
3433 = 7 7 777 3433 = =. .
5123 = 8 8 888 5123 = =. .
7293 = 9 9 999 7293 = =. .
1 0003 , = 10 10 101010 1 0003 = =. . ,
Ejemplo 8
Mediante la tabla anterior determina si 343, 1, 525, 729 y 428 son cubos perfectos.
Solución:
343 es cubo perfecto ya que 7 3433 = , 1 es cubo perfecto ya que 1 13 = .
525 no es cubo perfecto, ya que no aparece en la tabla anterior. Como 525 está entre 512 y 729, su raíz cúbica es mayor que 8 pero menor que 9; 729 es cubo perfecto, ya que 9 7293 = , y 428 no es cubo perfecto. ¿Entre qué valores se halla su raíz cúbica?
Datos obtenidos de la tabla
1728 2 864 2 432 2 216 216 1
8
Es decir: ab a b3 3 3=
Luego 17283 es cubo perfecto ya que 123 = 1,728
UNIDAD 5
86 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 11
Simplifica:
a) 50 b) 18 c) 48t
Solución:
a) 50 252 25 2= =. . 502551
255
= 25 2 25 = 5 2
b) 18 92
9 2
=
=
. 18931
233
Ejemplo 10
Simplifica: −40963
Solución:
− = − =− ( )=−4096 8 512 2 8 163 3 3.
Luego: − =−4096 163 , tienes: −( ) =−16 4 0963 ,
Actividad 11. Simplifica descomponiendo el radicando en factores que
sean cuadrados perfectos o cubos perfectos según sea el caso.
a) 4 e) 196 i) −273
b) − 4 f) − 4 900, j) 8 0003 ,
c) 16 g) 2 500, k) −1 7283 ,
d) − 16 h) 1 764, l) 5 8323 ,2. Un terreno de forma cuadrada tiene un área de 4,225 m2 y se
desea cercar con malla ciclón. ¿Cuántos metros de esta malla deben comprarse?
3. Un cubo tiene un volumen de 13,824 cm3 ¿Cuánto mide su arista?
c) 48 16 3 16 3t t t= =( ) 482412
631
22223
= 4 3t 16
Puedes ver que las expresiones radicales o radicales, se simplifican buscando en el radicando factores que son cuadrados perfectos. Una expresión radical está simplificada cuando su radicando no tiene factores que son cuadrados perfectos.
Cuando en un radical aparecen variables, considera que éstas no representan números negativos.
Ejemplo 12
Simplifica:
a) 75x c) 72 2x e) y15
b) 45 2t d) x 9
Solución:
Descompone en tu cuaderno, en factores las cantidades adentro del radical y compara con los resultados:
a) 75 253 5 3x x x= =.
b) 45 9 5 9 5 3 52 2 2t t t t= = =.
c) 72 36 2 36 2 6 22 2 2x x x x= = =.
d) x x x x x x x x x9 8 8 4 2 4= = = ( ) =.
Para extraer raíz cuadrada de una potencia como x 8 , el exponente debe ser par. Al sacar la raíz tomas la mitad del exponente: x x8 4 2
=( )En el caso de las potencias impares, el radicando se expresa como el producto de la mayor potencia par y el término a la primera potencia.
Luego se simplifica la potencia par:
d) x x x x x x x9 8 8 4= = =.
e) y y y y y y y15 14 14 7= = =.
9
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 87
Ejemplo 13
Simplifica:
a) 16 43 a
b) 54 6 33 x y
Solución:
Los procedimientos que aplicaste para trabajar con raíces cuadradas, también se aplica a las raíces cúbicas.
a) 16 82 2 2 2 2 2 243 33 3 33 3 33 3 3a a a a a a a a a= = = =. . . . . . . .
b) 54 27 2 3 2 36 33 6 33 3 6 33x y x y x y= ( )( )( )( ) = ( )( )( )( ) = xx y2 3 2
1. Simplifica las siguientes raíces. Recuerda que ninguna variable es negativa:
a) 12 c) 20 e) 3 2x g) 9 y i) 64 2y k) 8 2t
b) 8 d) 200 f) 5 2y h) 4x j) 9 2x l) 125 2a2. Simplifica:
a) x 6 c) y12 e) 16 16x g) x 3 i) q17 k) x +( )3 6
b) x 10 d) x 20 f) x 5 h) t 19 j) 8 5a l) 12 3 7x +( )3. Simplifica:
a) −13 c) x 33 e) y 73 g) mn 33
b) 13 d) x 63 f) y 83 h) −125 123 p
Los elementos de un radical o expresión radical son el signo radical, el radicando y el índice. Éste indica la raíz de la expresión. El índice de las raíces cuadradas no se escribe. Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas: la raíz cuadrada principal o positiva y la raíz cuadrada secundaria o negativa. La raíz cuadrada de un número, es exacta cuando corresponde a un número elevado al cuadrado. Para simplificar raíces cuadradas o cúbicas te basas en la propiedad del producto para los radicales: a b a b. .= , a b a b3 3 3. .= .
Resumen
Actividad 2
UNIDAD 5
88 Matemática - séptimo Grado
1. d. 2. b. 3. d. 4. a. Soluciones
Autocomprobación
El número que es cubo perfecto es:
a) 5 000,b) 3 375,c) 100d) Todos son cubos perfectos.
2
El número que es cuadrado perfecto es:
a) 1 225,b) 2 500,c) 10 000,d) Todos son cuadrados perfectos.
1 3 El radical 32 5x equivale a:
a) 16 2x xb) 4x xc) 4 2x xd) 4 22x x
El radical 16 103 x equivale a:
a) 2 23x xb) 2 26xc) 4 5xd) Ninguna de las anteriores.
4
2 = 1.4142135623730950488016887242....
Pero es solo una aproximación decimal de la raíz que no es exacta. Por lo que la mejor forma de
representarla es como 2 .
Esto sucede con muchas raíces cuadradas que no dan un resultado excato.
33 = 1.4422495703074083823216383107796...
Pero al igual que el anterior es solo una aproximación decimal de la raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representarla es 33
RAÍCES INEXACTAS
séptimo Grado - Matemática 89
Quinta Unidad
Motivación
Una parcela mide 100 m de lado. Si se necesita otra cuya área sea el doble, ¿por cuánto hay que multiplicar el lado? ¿Qué sucede si el lado se duplica?
Indicadores de logro:
simplificarás ordenadamente las raíces cuadradas y cúbicas con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.
aplicarás con seguridad la propiedad: raíz de un cociente.
diseñarás correctamente procedimientos y funciones que realizan cálculo matemático simulando una calculadora.
simplificarás con confianza los radicales cuadrados y cúbicos semejantes con radicandos enteros numéricos o algebraicos.
calcularás con orden la suma y resta de radicales cuadrados y cúbicos semejantes con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.
calcularás con autonomía la multiplicación de radicales cuadradas y cúbicas con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.
calcularás con seguridad los cocientes de radicales cuadradas y cúbicas con argumentos enteros numéricos y algebraicos que den respuestas exactas.
operaciones con radicales
Lección5
En la lección anterior aplicaste la siguiente propiedad de radicales, con a y b números no negativos:
ab a b=
Además de la propiedad: ab a b3 3 3= , estas propiedades te permiten la multiplicación y simplificación de radicales.
Ejemplo 1
Multiplica y simplifica:
a) 2 14 b) 2 8
Solución:
a) 2 14 2 14= ( ) Propiedad de radicales.
= ( )( )2 2 7 14 = 2(7)
= ( )2 72 2 (2) = 22
= 2 7 2 22 =
b) 2 8 2 8= ( ) Propiedad de radicales.
= ( )2 2 3 8 = 23
= 24 2(23) = 24
= 4 2 44 =
Propiedades de los radicales
UNIDAD 5
90 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 2
Simplifica: 3 92 3x x
Solución:
3 9 3 92 3 2 3x x x x= ( ) Propiedad de radicales.
= ( )3 32 2 3x x 9 = 32
= ( )3 32 5x x2 (x3) = x5
= ( ) ( )3 32 4x x x5 = x4 (x)
= ( )( )( )3 32 4x x Propiedad conmutativa.
=3 32x x
Trabaja en tu cuaderno. Aplica la propiedad del radical de un producto y simplifica la expresión:
2 83 3 4x x y
Propiedad de la división de radicales
Compara las siguientes raíces:2516
y 2516
¿Cómo son los resultados?
La relación entre las expresiones anteriores, sugieren la siguiente propiedad de radicales.
Ejemplo 4
Divide y simplifica:
a) 30
6
3
2
a
a b) 42
7
4
2
x
x Solución:
a)
30
6
6 56
3
2
3
2
aa
aa
= ( )( ) Propiedad.
=
6 56
2
2
( )a aa
. Simplificando.
= 5a
b) 42
7
427
4
2
4
2
x
x
xx
= Propiedad de la división de radicales.
= 6 2x Dividiendo en el radicando.
= 6 2x Propiedad de la raíz de un producto.
= 6 x x x2 =
= x 6 Propiedad conmutativa del producto.
ab
ab
ab
ab
b= = ≠o sea: con 0
Ejemplo 3
Simplifica:
a) 259
b) 116
c) 1832
Solución:
a) 259
259
53
= =
b) 116
116
14
= =
c)
1832
1832
92162
9 216 2
3 24 2
34
= = = =..
=
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 91
Ejemplo 5
Aplicando un procedimiento similar al del ejemplo anterior simplifica:
a) 642
4
2
x yx y
Solución:64
232
16 2
4
22
2
x yx y
x
x
=
= .
= 16 22x
== 4 2x
b) 153
5 2
5
xy zx yz
Solución:153
5
5
5 2
5
4
4
xy zx yz
y zx
y
=
=44
4
4
4
5
z
x
y z
x=
=y zx
2
2
5
En los ejercicios del ejemplo anterior, primero cancelas los factores comunes al numerador y denominador. Después, usas la regla o propiedad del cociente de radicales y simplificas. Al igual que en la propiedad del producto de radicales, la propiedad de división de radicales se aplica a índices diferentes de dos.
Ejemplo 6
Divide y simplifica:
a)
xx
x9
33 9 33= -
Solución:
=
=
=
x
x x
x
63
3 33 .333 33
2
xx x
x
=
=
.
b) 322
1610
24 10 24a
aa= -
Solución:
=
=
16
2
84
4 2
a
a(( )= ( )
44
44 2 442 a
= 2 2aObserva que al igual que cuando el índice es 2,
simplificas 244 y a 2 44 ( )
UNIDAD 5
92 Matemática - séptimo Grado
Actividad 1 Simplifica las siguientes expresiones. Todas las variables representan números positivos:
a) 123
c) 1625
e) 402
3xx
g) 5010
3 6
3 8
x yx y
i) 543
9
2
xx
b) 567
d) 10490
f) 4516
2
2 4
xx y
h) 2545
6
6 3
x yx y
j) −827
3
63
xy
Observa cada uno de los siguientes grupos de radicales.
a) 3 5 8 5 2 5, ,− c) 5 4 2 4 08 43 3 3, , .−
b) − −7 3 6 3 8 3, , d) 2 7 08 74 4, .−
¿Qué tienen en común cada uno de ellos?
Los radicales semejantes se simplifican o reducen de la misma forma que los términos semejantes.
Suma y resta de radicales
¿Cómo reduces o simplificas la expresión 5 7 9 7+ ? Hazlo mentalmente y copia la respuesta en tu cuaderno.
Compárala con la siguiente:5 7 9 7 5 9 7 14 7+ = +( ) =Ejemplo 7
Simplifica y reduce las siguientes expresiones con radicales:
a) − −5 7 9 7 c) − −8 6 5 6
b) 8 6 5 6+
Solución:
Lo haces así:
a) − − = − + −( )( ) =−5 7 9 7 5 9 7 14 7
b) 8 6 5 6 8 5 6 13 6+ = +( ) =
c) − − = − + −( )( ) =−8 6 5 6 8 5 6 13 6
¿Cómo simplificas 7 5 2 5− ?
¿Lo haces mentalmente? Compara tu respuesta con la siguiente:
7 5 2 5 5 5− =
¿Puedes decir a qué es igual 5 7x x+ ?
Ahora observa las siguientes simplificaciones:
a) 5 4 5 8 1 4 5 8 3 5 8− + = −( ) + =− + b) 4 3 2 3 9 4 2 3 9 6 3 9+ − = +( ) − = −
c) 2 3 7 2 3 7 6x x x x x− + = − +( ) =
d) x xy xy x xy x xy+ − = + −( ) = −3 1 3 2
Para que dos radicales sean semejantes deben de tener el mismo radicando y el mismo índice:
a3
5 3 ason semejantes
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 93
Ejemplo 8
Simplifica: 2 18+
Solución:
Como 18 tiene un factor que es cuadrado perfecto, 9 se escribe como el producto del cuadrado perfecto y otros factores 18 9 2= ×
Luego: 2 18 2 9 2 2 9 2 2 3 2 4 2+ = + = + = + =( )
Ejemplo 9
Simplifica: 24 54−
Solución:
Como el máximo común divisor de 24 y 54 es 6 entonces: 24 4 6= ( )Luego: 24 54 4 6 9 6 4 6 9 6 2 6 3 6 6− = ( ) − ( ) = − = − =−
Simplifica las siguientes expresiones.
a) 4 5 10 5− e) − + −x x x6 2 i) k m m k− − +10 2
b) 7 2 7+ f) 3 5 4 5 3− + −x x j) 3 12 2 3+
c) 6 15 8 15− g) 3 x x x− + k). 7 50 3 2−
d) 23
1112
11− h) 4 16 3 4x x y y− + − l) 9 8 72−
Multiplicación de expresiones con radicales
Ejemplo 10
Multiplica: 2 3 2 3+( ) −( )Solución:
( )( ) ( ) ( )
( )
2 3 2 3 2 2 3 3 2 3
4 2 3 2 3 34 31
2
+ − = − + −
= − + −= −=
Actividad 2
UNIDAD 5
94 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 11
Efectúa: 5 5x y x y+( ) −( )Solución:
5 5x y x y+( ) −( )
5xy
− 5xy
Resultado:
5 5 5 5
5 5
x xy xy y x y
x y xy
+ − − = −
− −
Otra forma:
5 5 5 5
5 5
x x y x xy
y x y xy y
( )
( )
− = −
− = −
5xx y−
Luego: ( )( )5 5 5x y x y x y+ − = −
Raíz de raízAl relacionar las expresiones 643 y 646 , tienes:
64 8 23 3= =
64 2 26 66= =
Ejemplo 12
Simplifica:
a) x 2443
b) 7293
c) x 3053
Solución:
a) x x
x x
2443 2412
1212 1212
=
==
=
x x
x
.2
b) 729 729
3
3 6
66
=
==3
c) x x
x x
3053 3015
1515 1515
=
==
=
x x
x
.2
En general se tiene: a amn nm=
La raíz cúbica de la raíz cuadrada de 64 es igual a la raíz sexta (3 × 2) de 64.
Observa
5x −y
1. Efectúa:
a) 5 7 5 7+( ) −( )b) 8 11 8 11+( ) −( )
2. Simplifica:
a) x 63 b) x 93 c) a 3053
Actividad 3
UNIDAD 5
séptimo Grado - Matemática 95
Las principales propiedades o reglas de los radicales son:
a) ab a b=
b)
ab
ab
con bnn
n= ≠, 0
c) a amn nm=
Para multiplicar binomios que contienen radicales, aplicas la técnica PEIU.
Resumen
Ejemplo 13
Ahora se resolverá el problema planteado al principio de esta lección. Una parcela mide 100 m de lado, si se necesita otra cuya área sea el doble.
a) ¿Por cuánto hay que multiplicar el lado?
b) ¿Qué sucede si el lado se duplica?
Solución:
a) El área del cuadrado está dada por la fórmula A = 2
donde es el lado.
Si el área es el doble, entonces ésta es: 2A = 20,000
Luego, el nuevo lado es:
= k (100), encuentra k.
2 2100 20 000= ( )( ) =k ,
k 100 20 000 2 10 000 100 2( )= = =, ( , )
De aquí se obtiene que k = 2En este caso particular, el nuevo lado del cuadrado es 100 2
Al verificar la solución tienes que:
A = 2 = (100 2 )2 =1002( 2 )2 =10,000(2)= 20,000 m2 que es el doble del área del cuadrado cuyo lado es 100 m, ya que en este caso el área es de (100)2 = 10,000 m2.
b) Si el lado se multiplica por 2, tienes que: 2 = 2(100) = 200 m.
Luego, el área es:
A = (200)2 = 40,000 m2, lo cual significa que el área se cuadruplica.
¿Qué sucede con el área si el lado se hace tres veces mayor?
¿Y si se hace cuatro veces mayor, que sucede con el área?
¿Por cuánto hay que multiplicar el lado para que el área se haga tres veces más grande?
Ejemplo 14
¿Cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 24 m2?
Solución:
Como el cubo tiene 6 caras, y cada una es un cuadrado, el área total es 6a2, donde a es el valor de la arista. Luego:
6a2 = 24, o sea, a 2 246
4= =
Ahora bien, como a2 = 4, entonces a = 2 m.
O sea que la arista de un cubo cuya área total mide 24 m2, tiene una arista de 2 m.
UNIDAD 5
96 Matemática - séptimo Grado
1. c. 2. d. 3. c. 4. b. Soluciones
Los signos matemáticos se fueron incorporando de forma paulatina. Antes que éstos aparecieran,
se usaba la palabra raíz o lado para referirse a la raíz cuadrada de un número. El signo apareció por primera vez en 1,525, en el libro de álgebra publicado en alemán por Christoff
Rudolff. El símbolo de la raíz tiene su origen en una r inicial de la palabra latina radix.
El número raíz cuadrada de dos aparece por primera vez al aplicar los griegos el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un
cuadrado de lado 1.
Autocomprobación
Al simplificar 60
5
2 4
2 2
x y
x y resulta:
a) 10
y c)
10y
b) 10y
d) 2 3y
4 Al simplificar 24 resulta:
a) 6 2 c) 4 6
b) 2 4 d) 2 6
2
32 es igual a:
a) −2 2 c) 4 2
b) 2 2 d) −4 2
1 3 xy xy x− −7 5 es igual a:
a) −11 xy c) − −6 5xy x
b) − +6 5xy x d) −11 x
Lado 5 = 5
Lado 7 = 7
Lado 9 = 9 3=
Lado =
EL SIGNO
séptimo Grado - Matemática 97
Solucionario
Lección 1
Actividad 1.
2. Al simplificar obtienes: − =−x y x y37 47 21 28. . , el resultado es negativo, porque:
−( ) −( ) −( ) −( ) −( ) −( ) −( )=−x x x x x x x x3 3 3 3 3 3 3 21
3. −( ) ( ) ( ) =7 2 4014 5 4 3 4 20 12x b x b, el resultado es positivo, porque −( ) −( ) −( ) −( )=7 7 7 7 2 401, .
4. a) x 9 e) x x17 15 2− = i) xx
x x4
44 4 0 1= = =−
b) y 7 f) 1 1
1715 2x x−= j) 55
17
7 = c) y 2 g) y y3 1 4− −( ) = k) −( ) =7 12 0
x
d) y1+2−3 = y0 =1 h) 1 l) x x2 3 6( ) =
5. a) x 10 e) 625 4 12x y i) −64 12 6 3x y z
b) y12 f) −32 15x j) xa
2
2
c) −( ) ( ) =3 92 2 2x x g) 81 4 6x y k) −
xa
5
5
d) −( ) ( ) =−3 273 3 3x x h) −x y z12 15 18 l) 27
3
6
ab
6. a) 62516
8
12
ab
d) 2 2 3x y g) 4 4x
b) x y2 3 e) xy
10
42 h)
zy
18
158 c) 1 1
2 1 6 5a b ab- - = f) −3
3 7x y zActividad 2.
1. a) 5 × 103 e) 5.265 × 106 i) 5.04 × 102
b) 7.5 × 104 f) 5.18 × 105 j) 8.2 × 10−1
c) 9 × 103 g) 5.7 × 10−3 k) 9.56 × 10−4
d) 7.5 × 10−4 h) 1.57 × 10−1 l) 6.27 × 106
2. a) 5,400 c) 400,000 e) 0.328 g) 0.000023
b) 0.00118 d) 3 140,000 f) 0.0001 h) 540
3. a) 14 × 106 c) 2.1 × 10−5 e) 5 × 106
b) 2 × 10−5 d) 3.4 × 102 f) 4.5 × 10−6
4. a) 3.5 × 1012 b) 5.6 × 103 c) 2 ×108 d) 2 × 107
Lección 2
Actividad 1.
1. a) 5a – 6b – 3 c) 3 2b a− e) – 9pq
b) 1110
43
x y+ d) −17x
2. –2k; –2m; –6p; 5a2x + 3xy3; 13; −73
2 2a b .
3. a) 2y – 2x c) –7b3 + 6b – 10
b) –5m2 – n2 + 6mn – x2 + y2 + 3xyd) 4x+ 3y + 9;
4. a) a2 – 3b2 b) 9x2 – 3xy + 4y2 c) 0 d) a + 2b;
5. a) a – [–2b – (a – b)] = a – (–2b – a + b) = a – (– a – b)
b) 4m – [2n – 3 + (–m + n) – (2m – n)] = 4m – [4n – 3m – 3]
c) x2 – (3xy – [(x2 – xy) + y2]) = x2 – (4xy – x2 – y2)
d) x3 – [3x2 – (–4x + 2) + 3x + (2x + 3)] = x3 – (3x2 + 9x + 1)
Actividad 2.
1. a) 25 6n f) −27 18n k) 425
4 12x y
b) 100 12b g) 27
6a l) −
8 3
3
cy
c) 1
4 6t h)
494x
m) 131 6x d) −512 12k i) −32 10 20x y n) −432 12 14a b e) 9 8 4m n j)
1256 8 12 4x y z
98 Matemática - séptimo Grado
Solucionario
Lección 3
Actividad 1.
a) 19
f) x 3 k) x 12 o) 65x y
b) 1
3x g) y 3
l) 2 646 = p) xy
4
52 c) 1
5 h) 1
8x m)
110x
q) x y36 12
64 d) 1
36 i) 125 n) y y6 3 9+ = s) 4
8x
e) 14x
j) 110x
ñ) 4xy
r) xy
5
62Actividad 2.
1. a) 3 3x y d) −30 4 8x y g) 3 6x y
b) 18 2 6x y e) −28 6 15x y h) 54 4 14x y
c) 30 5 7x y f) 24 15 9x y i) 4 3 3x y
2. a) 6 15x + f) 8 242x x− k) 6 15 183 2a a a− +
b) − −6 15x g) − +3 52x x l) 2 22 2m n mn+
c) 6 15x − h) 2 6 23 2a a a+ − m) xy y y− −2 4
d) − +6 15x i) − + −20 30 203 2a a a n) kk k
32
23 18− +
e) − −5 102x x j) b b b3 2− +
3. a) 32
2a + f) 24
+x
k) 52
32
−a
b) 2 3a − g) 43
−x
l) x x2 2 3+ −
c) 3 2x − h) 3 1a + m) 3 26
yy
− +
d) 32
4x − i) − +65
a n) 4 67
xx
− +
e) 56
2x − j) 36
+x
Lección 4
Actividad 1.
1. a) 2 d) –4 g) 50 j) 20
b) –2 e) 14 h) 42 k) –12
c) 4 f) –70 i) –3
2. El área de un cuadrado es x2, entonces x m= =4225 65 de lado; por tanto deberá
comprar (65 m) (4) = 260 m de malla ciclón. 3.
El volumen de un cubo es x3, entonces x cm= =13 824 243 , , por tanto la arista mide
24 cm.
Actividad 2.
1. a) 2 3 e) x 3 i) 8y
b) 2 2 f) y 5 j) 3x
c) 2 5 g) 3 y k) 2 2t
d) 10 2 h) 2 x l) 5 5a
2. a) x 3 e) 4 8x i) q q8
b) x 5 f) x x2 j) 2 22a a
c) y 6 g) x x k) x +( )3 3
d) x 10 h) t t9 l) 2 3 3 93x x+( ) +
3. a) –1 d) x 2 g) n m3
b) 1 e) y y2 3 h) −5 4p
c) x f) y y2 23
séptimo Grado - Matemática 99
Solucionario
Lección 5
Actividad 1.
a) 2 c) 45
e) 2 5x g) 5y
i) 3 23x x
b) 2 2 d) 17
f) 3 54 2y
h) 53 y
j) −23 2
xy
Actividad 2.
a) −6 5 d) 16
11 g) 2 x x+ j) 8 3
b) 3 7 e) 3 x h) − −12 x y k) 32 2
c) −2 15 f) 7 5 4− x i) 2 12k m− l) 12 2
Actividad 3.
1. a) 5 7 5 7 25 7 18+( ) −( )= − = b) 53 2. a) x b) x x c) a2.
Proyecto
La cooperativa de técnicos “El Porvenir” se dedica a efectuar instalaciones eléctricas y han establecido una serie de normas de seguridad industrial. Una de ellas establece que la distancia entre la base o pie de una escalera y la superficie sobre la cual se apoya debe estar entre la cuarta parte y la mitad de la longitud de la escalera.
Para efectuar una instalación a 9 m de altura de un edificio apoyarán una escalera de 10 m de longitud a 5 m de éste. Se preguntan si la escalera alcanzará la altura deseada.
Para averiguarlo, comienzas aplicando una consecuencia del teorema de Pitágoras:
En todo triángulo rectángulo, un cateto, para el caso h, es igual al cuadrado de la hipotenusa (10 m) menos el cuadrado del otro cateto (5 m).
Ayúdales a los técnicos a resolver el problema.
10 m h
5 m
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