View
1
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
BË GI�O DÖC V� ��O T�O
TR×ÍNG ��I HÅC QUY NHÌN
�A THÙC MA TR�N: SÜ PH�N BÈ GI� TRÀ
RI�NG, C�C �ÀNH LÞ BI�U DI�N D×ÌNG V�
MËT SÈ V�N �� LI�N QUAN
LU�N �N TI�N S� TO�N HÅC
B�NH �ÀNH - N�M 2018
BË GI�O DÖC V� ��O T�O
TR×ÍNG ��I HÅC QUY NHÌN
�A THÙC MA TR�N: SÜ PH�N BÈ GI� TRÀ
RI�NG, C�C �ÀNH LÞ BI�U DI�N D×ÌNG V�
MËT SÈ V�N �� LI�N QUAN
Chuy¶n ng nh: �¤i Sè v Lþ thuy¸t sè
M¢ sè: 9460104
Ph£n bi»n 1: PGS. TS. Ph¤m Ti¸n Sìn
Tr÷íng �¤i hå � L¤t
Ph£n bi»n 2: TS. Hç Minh To n
Vi»n To¡n hå - Vi»n H n l¥m Khoa hå v Cæng ngh» Vi»t Nam
Ph£n bi»n 3: TS. L¶ �ù Thoang
Tr÷íng �¤i hå Phó Y¶n
B�NH �ÀNH - N�M 2018
Líi am �oan
Luªn ¡n n y �÷ñ ho n th nh t¤i Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa
TS. L¶ Cæng Tr¼nh v TS. �inh Trung Háa. Tæi xin am �oan �¥y l æng tr¼nh nghi¶n
ùu õa tæi. C¡ k¸t qu£ trong Luªn ¡n l trung thü , �÷ñ ¡ �çng t¡ gi£ ho ph²p sû
döng v h÷a tøng �÷ñ ai æng bè tr÷î �â.
TM. Tªp thº h÷îng d¨n T¡ gi£
TS. L¶ Cæng Tr¼nh D÷ Thà Háa B¼nh
Líi £m ìn
Luªn ¡n n y �÷ñ ho n th nh trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu t¤i Khoa To¡n,
Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh v Ti¸n s¾ �inh
Trung Háa. Tr÷î ti¶n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s �¸n Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh.
Th�y �¢ h¿ b£o tªn t¼nh v h÷îng d¨n tæi tø nhúng b÷î ��u l m nghi¶n ùu. Th�y t¤o
ho tæi mët mæi tr÷íng hå tªp v nghi¶n ùu ði mð, th¥n thi»n nh÷ng �ng r§t nghi¶m
tó . Th�y luæn �ëng vi¶n, gióp �ï �º tæi tøng b÷î ti¸n bë trong nghi¶n ùu khoa hå .
�÷ñ hå tªp, l m vi» vîi th�y l �i·u may mn v h¤nh phó �èi vîi tæi.
Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s �¸n Ti¸n s¾ �inh Trung Háa. Th�y luæn �ëng vi¶n,
kh½ h l», gióp �ï v theo s¡t qu¡ tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi. M° dò th�y khæng ð trong
n÷î , nh÷ng th�y v¨n th÷íng xuy¶n trao �êi khoa hå vîi tæi. C¡ hëi th£o do th�y tê
hù �¢ gióp tæi tr÷ðng th nh r§t nhi·u £ v· khoa hå l¨n uë sèng.
Tæi xin £m ìn Ti¸n s¾ Hç Minh To n. C£m ìn anh v¼ nhúng buêi th£o luªn r§t húu
½ h v· ¡ v§n �· li¶n quan �¸n �ành lþ biºu di¹n d÷ìng v B i to¡n mæmen.
Tæi xin gûi líi £m ìn h¥n th nh �¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn,
Pháng � o t¤o sau �¤i hå �¢ t¤o �i·u ki»n tèt nh§t �º tæi hå tªp t¤i tr÷íng. �° bi»t,
tæi xin gûi líi £m ìn �¸n Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n òng ¡ th�y gi¡o, æ gi¡o trong
Khoa �¢ t¤o ra mët mæi tr÷íng hå tªp th¥n thi»n, ði mð v r§t huy¶n nghi»p. �i·u
n y gióp tæi â �ëng lü �º ph¡t triºn b£n th¥n.
Tæi xin gûi líi £m ìn �¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng Cao �¯ng S÷ ph¤m H T¥y, Pháng
Tê hù ¡n bë �¢ t¤o �i·u ki»n tèt nh§t ho tæi �i hå . Tæi �ng xin gûi líi £m ìn �¸n
Ban Chõ nhi»m Khoa Tü nhi¶n v ¡ b¤n b± �çng nghi»p �¢ luæn õng hë, �ëng vi¶n,
hia s´ ¡ æng vi» �º tæi â thíi gian tªp trung nghi¶n ùu t¤i Tr÷íng �¤i hå Quy
Nhìn.
Tæi xin £m ìn ¡ b¤n nghi¶n ùu sinh t¤i Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn �¢ luæn �ëng
vi¶n, hia s´ gióp �ï tæi trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu.
Tæi xin gûi líi bi¸t ìn �¸n gia �¼nh hai b¶n nëi ngo¤i. Nhúng ng÷íi th¥n �¢ luæn õng
hë, �ëng vi¶n tæi. Hå l hé düa tinh th�n vúng h �º tæi y¶n t¥m hå tªp v nghi¶n
ùu khi xa nh . �° bi»t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn s¥u s �¸n ng÷íi mµ th¥n y¶u õa m¼nh.
C£m ìn sü hy sinh ao £ �ng nh÷ t¼nh y¶u væ h¤n õa mµ d nh ho on. T¼nh th÷ìng
bao la õa mµ luæn õ §m tr¡i tim on.
i
Cuèi òng, tæi xin d nh t¼nh £m �° bi»t �¸n hçng v hai on th¥n y¶u õa m¼nh.
C£m ìn anh v hai on �¢ �¸n b¶n �íi em, gióp �ï, �ëng vi¶n em. Gia �¼nh luæn l nìi
b¼nh y¶n õa em.
Mö lö
Danh mö ¡ kþ hi»u iii
Mð ��u 1
1 Mët sè k¸t qu£ hu©n bà 12
1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ �a thù mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù 18
1.2.1 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v �ành lþ Artin . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 B i to¡n tèi ÷u �a thù v b i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 B i to¡n tèi ÷u �a thù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 B i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 H¼nh hå �¤i sè thü ho �a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 T½nh x¡ �ành d÷ìng õa ¡ �a thù ma trªn v thu�n nh§t hâa õa hóng 32
1.6 Chu©n ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn 38
2.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Enestr�om-Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 C¡ �ành lþ d¤ng Cau hy ho �a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 So s¡nh ¡ h°n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
i
3 C¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù ma trªn 58
3.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Putinar-Vasiles u . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Di kinson-Povh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman tr¶n n-�ìn h¼nh . . . . . . . 63
3.3.2 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman tr¶n ¡ �a di»n lçi, ompa t 66
3.3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho �a thù ma trªn d÷ìng
tr¶n mët �a di»n lçi ompa t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
K�T LU�N 75
Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan �¸n Luªn ¡n 77
T i li»u tham kh£o 78
ii
Danh mö ¡ kþ hi»u
R: Tr÷íng ¡ sè thü
R+ : Tªp hñp ¡ sè thü khæng ¥m
C: Tr÷íng ¡ sè phù
N: Tªp ¡ sè tü nhi¶n
K: R ho° C
Rn: Khæng gian thü n hi·u
Cn: Khæng gian phù n hi·u
Mt(R) : V nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ ph�n tû tr¶n R
Mt(C) : V nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ ph�n tû tr¶n C
St(R) : V nh ¡ ma trªn �èi xùng §p t trong Mt(R)
X: bë n bi¸n (X1, ..., Xn)
Xα: Xα1
1 ...Xαnn , α = (α1, ..., αn) ∈ Nn
C[z]: V nh �a thù mët bi¸n z vîi h» sè phù
R[X ]: V nh �a thù n bi¸n X = (X1, ..., Xn) vîi h» sè thü
R(X): Tr÷íng ¡ th÷ìng õa v nh �a thù R[X ]
Mt(R[X ]): V nh ¡ ma trªn §p t vîi ¡ ph�n tû tr¶n R[X ]
St(R[X ]): V nh ¡ ma trªn �èi xùng §p t trong Mt(R[X ])
AT
: Ma trªn huyºn và õa ma trªn A ∈ Mt(R[X ])
A < 0: Ma trªn A nûa x¡ �ành d÷ìng
A ≻ 0: Ma trªn A x¡ �ành d÷ìng
||A||: Chu©n to¡n tû õa ma trªn A
∑A2 : Tªp hñp t§t £ ¡ têng b¼nh ph÷ìng õa húu h¤n
ph�n tû trong mët v nh giao ho¡n A
iii
Mð ��u
Kþ hi»u K[X ] := K[X1, · · · , Xn] l v nh ¡ �a thù n bi¸n X1, · · · , Xn vîi h» sè trong
K. Kþ hi»u Mt(K),Mt(K[X ]) l�n l÷ñt l v nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ ph�n tû
trong K v K[X ]. Méi ma trªn A ∈ Mt(K[X ]) �÷ñ gåi l mët ma trªn �a thù ho° mët
�a thù ma trªn, bði v¼ nâ â thº biºu di¹n d÷îi d¤ng mët �a thù n ©n X1, · · · , Xn vîi
h» sè tr¶n Mt(K) nh÷ sau:
A =d∑
|α|=0
AαXα,
trong �â, α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn, |α| := α1 + · · ·+ αn, X
α := Xα1
1 · · ·Xαnn , Aα ∈ Mt(K),
d l bª ao nh§t õa ¡ �ìn thù trong A. Do �â, �º thèng nh§t ¡ h gåi trong to n
Luªn ¡n, méi ma trªn trong Mt(K[X ]) �÷ñ gåi l mët �a thù ma trªn.
�èi t÷ñng nghi¶n ùu h½nh õa Luªn ¡n l ¡ �a thù ma trªn, v �èi vîi méi tr÷íng
hñp õa sè bi¸n, hóng tæi quan t¥m �¸n ¡ b i to¡n kh¡ nhau. Do �â, �º thuªn ti»n
ho ng÷íi �å , hóng tæi t¡ h v tr¼nh b y ¡ b i to¡n li¶n quan trong hai ph�n ri¶ng
bi»t nh÷ sau.
1. C¡ �a thù ma trªn mët bi¸n
Trong ph�n n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n �· li¶n quan �¸n ¡ �a thù ma trªn mët
bi¸n, tù l x²t ¡ �a thù ma trªn â d¤ng
P (z) = Adzd + · · ·+ A1z + A0,
trong �â, z l bi¸n sè v Ai ∈ Mt(C), ∀i = 0, ..., d. C¡ �a thù ma trªn mët bi¸n l sü
mð rëng tü nhi¶n õa �a thù �° tr÷ng λIt − A õa mët ma trªn A ∈ Mt(C), trong �â
It l ma trªn �ìn và trong Mt(C).
N¸u Ad 6= 0, th¼ P (z) �÷ñ gåi l mët �a thù ma trªn bª d. Khi Ad = It, P (z) �÷ñ
gåi l mët �a thù ma trªn moni .
N¸u tçn t¤i mët v² tì kh¡ khæng x ∈ Ctv λ ∈ C sao ho P (λ)x = 0, th¼ λ �÷ñ gåi
l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v khi �â x �÷ñ gåi l mët v² tì ri¶ng õa P (z) t÷ìng ùng
vîi gi¡ trà ri¶ng λ.
Nh÷ vªy, méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l mët nghi»m õa �a thù �° tr÷ng det(P (z)).
Tªp hñp ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v �÷ñ gåi l phê õa �a
thù ma trªn P (z).
1
Chó þ th¶m r¬ng trong tr÷íng hñp P (z) = zIt − A, �a thù �° tr÷ng õa ma trªn
A ∈ Mt(C), th¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn P (z) l mët gi¡ trà ri¶ng õa ma
trªn A. Do �â â thº nâi gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn l mët kh¡i ni»m mð rëng õa
gi¡ trà ri¶ng õa mët ma trªn.
B i to¡n gi¡ trà ri¶ng �a thù (Polynomial Eigenvalue Problem - PEP) l t¼m mët gi¡
trà ri¶ng λ v mët v² tì kh¡ khæng x ∈ Ctsao ho P (λ)x = 0. Trong tr÷íng hñp d = 1
hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng têng qu¡t
Ax = λBx.
Hìn núa, n¸u A1 = It th¼ hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng hu©n
Ax = λx.
B i to¡n gi¡ trà ri¶ng bª hai (Quadrati Eigenvalue Problem - QEP) t÷ìng ùng vîi tr÷íng
hñp d = 2.
�a thù ma trªn mët bi¸n â nhi·u ùng döng trong ¡ l¾nh vü nh÷ ph÷ìng tr¼nh vi
ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng, kÿ thuªt Wiener-Hopf, ì hå v lþ thuy¸t rung, gi£i t½ h sè,
... M° dò t�m quan trång õa �a thù ma trªn l kh¡ rã r ng nh÷ng ¡ t i li»u v· �¤i
sè tuy¸n t½nh v lþ thuy¸t ma trªn �· ªp v· nâ khæng nhi·u. Hai æng tr¼nh ��u ti¶n
vi¸t ��y �õ nh§t v· �a thù ma trªn l õa Frazer, Dun an v Collar [15℄ n«m 1955 v
Lan aster [26℄ n«m 1966. C£ hai �·u ph¡t triºn lþ thuy¸t �a thù ma trªn thæng qua lþ
thuy¸t õa h» rung. Chóng ta â thº g°p �a thù ma trªn khi nghi¶n ùu h» ph÷ìng tr¼nh
vi ph¥n ( â bª lîn hìn 1) vîi h» sè h¬ng, tù l h» â d¤ng
d∑
i=0
Ai
(d
dt
)i
u(t) = 0.
Vi» t¼m nghi»m ho h» d¤ng u(t) = x0eλ0t
, vîi x0, λ0 �ë lªp vîi t, trü ti¸p d¨n �¸n b i
to¡n gi¡ trà ri¶ng - v² tì ri¶ng õa �a thù ma trªn.
B¶n ¤nh �â, b i to¡n gi¡ trà ri¶ng QEP â nhi·u ùng döng v o khoa hå v kÿ thuªt.
Mët têng quan v· nhúng ùng döng õa QEP �÷ñ tr¼nh b y trong uèn s¡ h õa Gohberg,
Lan aster v Rodman [16℄, Hamarling, Munro v Tisseur [18℄ v Zeng v Su [56℄ �¢ �÷a
ra nhúng thuªt to¡n �º gi£i b i to¡n QEP. �èi vîi b i to¡n PEP, â v i nghi¶n ùu v·
h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn �÷ñ thi¸t lªp theo hu©n õa ¡ h» sè õa
�a thù ma trªn �¢ ho h¯ng h¤n nh÷ æng tr¼nh õa Higham v Tisseur [22℄. Tuy nhi¶n,
2
vi» t½nh gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn (thªm h½ t½nh gi¡ trà ri¶ng õa ma trªn
væ h÷îng v t¼m nghi»m õa ¡ �a thù mët bi¸n) l mët b i to¡n khâ. Câ mët ph÷ìng
ph¡p l°p �º t½nh ¡ gi¡ trà ri¶ng n y �÷ñ �÷a ra bði Simon ini v Perotti [52℄. Hìn núa,
vi» t½nh gi£ phê õa ¡ �a thù ma trªn trong [21℄ ung §p thæng tin v· phê, tù l ,
h¿ ra ¡ h°n ö thº �º x¡ �ành �óng mët mi·n õa m°t ph¯ng phù hùa ¡ gi¡ trà
ri¶ng �â. V¼ th¸ vi» t¼m h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn mët bi¸n l mët vi»
l m r§t â þ ngh¾a.
B i to¡n ��u ti¶n m hóng tæi tªp trung nghi¶n ùu trong Luªn ¡n nh÷ sau.
B i to¡n 1. Cho P (z) = Adzd + · · ·+A1z +A0 l mët �a thù ma trªn. Ch¿ ra ¡ sè m
v M "�õ tèt" sao ho
m ≤ |λ| ≤ M, ∀ λ ∈ σ(P (z)),
tù l h¿ ra ¡ h°n "�õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa P (z).
Trong tr÷íng hñp t = 1, tù l tr÷íng hñp õa ¡ �a thù mët bi¸n vîi h» sè phù ,
B i to¡n n y �¢ �÷ñ nghi¶n ùu bði nhi·u nh to¡n hå , â thº kº ra �¥y ¡ k¸t qu£
õa Cau hy [31, 33℄, Enestr�om v Kakeya [31, 33℄, Joyal, Labelle v Rahman [24℄, Datt
v Govil [8℄, ...
�º þ r¬ng n¸u Ad l mët ma trªn suy bi¸n, th¼ �a thù zdP
(1
z
) â mët gi¡ trà ri¶ng
b¬ng 0, v n¸u A0 l mët ma trªn suy bi¸n th¼ 0 l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z). Do �â, trong
Luªn ¡n n y hóng tæi luæn x²t nhúng �a thù ma trªn vîi ¡ h» sè Ad v A0 khæng suy
bi¸n, �º tø �â t¼m mët h°n tr¶n v mët h°n d÷îi ho gi¡ trà ri¶ng λ.
Trong tr÷íng hñp t > 1, vi» t¼m ¡ h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn P (z)
theo hu©n (to¡n tû) õa ¡ ma trªn h» sè �¢ �÷ñ thü hi»n v tr¼nh b y trong b i b¡o
õa Higham v Tisseur [22℄. Mö �½ h h½nh ��u ti¶n õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i
quy¸t B i to¡n 1, �÷a ra ¡ h°n mîi "�õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn, tø
�â so s¡nh vîi ¡ h°n �÷ñ �÷a ra bði Higham v Tisseur.
2. C¡ �a thù ma trªn nhi·u bi¸n
Trong ph�n n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n �· li¶n quan �¸n ¡ �a thù ma trªn â
sè bi¸n lîn hìn 1. Tr÷î ti¶n, x²t tr÷íng hñp t = 1, tù l x²t ¡ �a thù â sè bi¸n lîn
hìn mët.
Cho f ∈ R[X ] := R[X1, ..., Xn], G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ]. Kþ hi»u
∑R[X ]2 =
{n∑
i=1
f 2i |fi ∈ R[X ], n ∈ N
},
3
tªp hñp ¡ têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ �a thù trong R[X ];
KG = {x ∈ Rn|g1(x) ≥ 0, ..., gm(x) ≥ 0},
tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n trong Rnx¡ �ành bði G;
MG = {t0 +m∑
i=1
tigi|ti ∈∑
R[X ]2, i = 0, ..., m},
mæ�un bª hai nhä nh§t tr¶n R[X ] hùa G;
TG = {∑
σ=(σ1,...,σm)∈{0,1}m
tσgσ1
1 ...gσm
m |tσ ∈∑
R[X ]2},
ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n R[X ] hùa G.
Chó þ MG ⊆ TG, v khi G = ∅ ta â K∅ = Rn,M∅ = T∅ =∑
R[X ]2.
D¹ th§y n¸u f ∈ TG (hay MG) th¼ f ≥ 0 tr¶n KG. Do �â, mët ¥u häi tü nhi¶n �°t ra
l hi·u ng÷ñ l¤i õa �i·u n y â �óng khæng? Tù l ,
f ≥ 0 tr¶n KG =⇒ f ∈ TG (hay MG)?
N¸u ¥u tr£ líi l �óng, hóng ta â �÷ñ mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng (Positivstellensatz),
hay �ành lþ biºu di¹n khæng ¥m (Ni htnegativstellensatz). Trong mët sè t i li»u ( h¯ng
h¤n, [32℄), ¡ t¡ gi£ sû döng thuªt ngú hung l "Positivstellensatz". Do �â, trong to n
bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz (�ành lþ biºu di¹n
d֓ng).
Trong tr÷íng hñp �° bi»t, G = ∅, ta â ¥u häi:
f ≥ 0 tr¶n Rn =⇒ f ∈∑
R[X ]2?
C¥u tr£ líi ho ¥u häi n y �÷ñ �÷a ra bði Hilbert (1888), h¿ ra r¬ng ¥u häi tr¶n h¿
�óng trong ba tr÷íng hñp �° bi»t õa sè bi¸n v bª õa f . Sau �â, t¤i �¤i hëi To¡n hå
th¸ giîi tê hù t¤i Paris n«m 1900, Hilbert �¢ �÷a ra mët danh s¡ h gçm 23 "B i to¡n
th¸ k�", trong sè �â, B i to¡n thù 17 trong danh s¡ h n y �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:
B i to¡n thù 17 õa Hilbert: Cho f ∈ R[X ]. Kþ hi»u R(X) l tr÷íng ¡ th÷ìng
õa v nh �a thù R[X ]. Kþ hi»u
∑R(X)2 =
{k∑
i=1
(figi
)2
|k ∈ N, fi, gi ∈ R[X ], gi 6= 0, i = 1, · · · , k}.
4
N¸u f ≥ 0 tr¶n Rn, â suy ra �÷ñ hay khæng f ∈∑R(X)2?
Mët sè v§n �· li¶n quan �¸n vi» biºu di¹n th nh têng b¼nh ph÷ìng ( õa �a thù , ph¥n
thù ) v B i to¡n thù 17 õa Hilbert �÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.2.1.
Vi» nghi¶n ùu ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng �âng vai trá quan trång trong b i to¡n
tèi ÷u �a thù v b i to¡n mæmen. Cö thº hìn, b i to¡n tèi ÷u �a thù l b i to¡n t¼m
f ∗ = infx∈KG
f(x), (0.1)
vîi f ∈ R[X ], G v KG x¡ �ành nh÷ tr¶n. Trong tr÷íng hñp G = ∅, KG = Rn, b i to¡n
tr¶n �÷ñ gåi l b i to¡n tèi ÷u �a thù khæng r ng buë .
B i to¡n tèi ÷u �a thù �÷ñ nhi·u nh nghi¶n ùu quan t¥m tø ¡ l¾nh vü kh¡
nhau nh÷ �¤i sè thü , quy ho¤ h nûa x¡ �ành v lþ thuy¸t to¡n tû. Shor [51℄ l ng÷íi
��u ti¶n ¡p döng mët kÿ thuªt tèi ÷u lçi �º ü tiºu mët �a thù nhi·u bi¸n khæng r ng
buë . Nesterov [36℄ �¢ h¿ ra �° t½nh õa nân mæmen bði ¡ r ng buë nûa x¡ �ành
trong tr÷íng hñp ¡ ph�n tû õa nân t÷ìng ùng l ¡ �a thù khæng ¥m â thº vi¸t
�÷ñ th nh têng ¡ b¼nh ph÷ìng �a thù . Trong né lü gi£m bît �a thù nhi·u bi¸n,
Lasserre [27℄ l ng÷íi ��u ti¶n �¢ ¡p döng ¡ k¸t qu£ �¤i sè thü g�n �¥y õa Putinar
[39℄ �º thi¸t lªp mët d¢y ¡ nîi läng hëi tö �¸n gi¡ trà tèi ÷u õa mët b i to¡n tèi ÷u �a
thù . Sau �¥y hóng tæi minh håa rã hìn v· ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng
trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n tèi ÷u �a thù (xem, h¯ng h¤n, [28℄).
Biºu thù (0.1) â thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng
f ∗ = infx∈KG
f(x) = sup{λ|λ ≤ f(x), x ∈ KG}
=sup{λ|f(x)− λ ≥ 0, x ∈ KG}=sup{λ|f(x)− λ > 0, x ∈ KG}.
Nh÷ th¸, vi» t¼m f ∗�÷ñ huyºn sang t¼m supremum õa ¡ sè λ sao ho f − λ khæng
¥m (ho° d÷ìng) tr¶n KG. �º gi£i quy¸t b i to¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l
thay th¸ �i·u ki»n khæng ¥m bði mët �i·u ki»n n o �â �ìn gi£n hìn, trong �â â hùa ¡
têng b¼nh ph÷ìng, �º â thº ti¸p ªn b¬ng ¡ h sû döng Quy ho¤ h nûa x¡ �ành (SDP).
Vîi þ t÷ðng �â, mët trong nhúng ¡ h �º nîi läng �i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n KG" l x²t
biºu di¹n f − λ d÷îi d¤ng
f − λ = t0 +m∑
i=1
tigi,
trong �â ti ∈∑
R[X ]2. Tù l , nîi läng �i·u ki»n "f−λ ≥ 0 tr¶nKG" th nh "f−λ ∈ MG".
5
�i·u n y d¨n �¸n vi» x²t b i to¡n
f sos,G = sup{λ|f − λ ∈ MG}. (0.2)
Rã r ng, n¸u f − λ ∈ MG th¼ f − λ ≥ 0 tr¶n KG. Do �â f sos,G ≤ f ∗. Hìn núa, n¸u ta â
mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù f − λ tr¶n KG th¼ f sos,G = f ∗.
Tuy nhi¶n vi» t¼m f sos,Gkhæng d¨n �¸n mët Quy ho¤ h nûa x¡ �ành, bði v¼ hóng
ta khæng h°n �÷ñ bª õa ¡ �a thù ti trong biºu di¹n õa f − λ. �º nhªn �÷ñ mët
Quy ho¤ h nûa x¡ �ành, hóng ta x²t ¡ sè nguy¶n k vîi
2k ≥ max{deg(f), deg(g1), . . . , deg(gm)}.
X²t b i to¡n
f sos,Gk = sup{λ|f − λ = t0 +
m∑
i=1
tigi, ti ∈∑
R[X ]2, deg(t0), deg(tigi) ≤ 2k}. (0.3)
Khi �â f sos,Gk �÷ñ t½nh qua mët Quy ho¤ h nûa x¡ �ành. Hìn núa,
f sos,Gk ≤ f sos,G
k+1 ≤ f sos,G ≤ f ∗
v limk→∞
f sos,Gk = f sos,G
.
Ti¸p theo hóng tæi giîi thi»u vai trá õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong vi» gi£i
quy¸t b i to¡n mæmen. D¤ng thù nh§t õa b i to¡n mæmen �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau.
B i to¡n mæmen (d¤ng 1)ChoK l mët tªp on �âng trong Rn. Cho L : R[X1, ..., Xn] →
R l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh. Häi li»u â tçn t¤i mët �ë �o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa
trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X1, ..., Xn],
L(f) =
∫
K
fdµ?
Haviland (1935, [20℄) �¢ �÷a ra mët �i·u ki»n �n v �õ ho sü tçn t¤i õa �ë �o d÷ìng
µ, ö thº nh÷ sau.
�ành lþ 1 (Haviland, [20℄). �i·u ki»n �n v �õ �º tçn t¤i mët �ë �o Borel d÷ìng µ vîi
gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X1, ..., Xn] ta â
L(f) =
∫
K
fdµ
l L(f) ≥ 0 vîi måi f ≥ 0 tr¶n K.
6
�èi vîi ¡ tªp tªp on �âng trong Rn â d¤ng K = KG, vîi G l mët tªp on húu
h¤n n o �â trong v nh �a thù R[X ], mët d¤ng kh¡ õa b i to¡n mæmen �÷ñ ph¡t biºu
nh÷ sau.
B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ]; KG, TG �÷ñ �ành ngh¾a nh÷
tr¶n. N¸u L(f) ≥ 0, ∀ f ∈ TG th¼ â tçn t¤i mët �ë �o Borel d÷ìng µ â gi¡ hùa trong
KG sao ho
L(f) =
∫
KG
fdµ
vîi måi f ∈ R[X ] hay khæng?
Chó þ r¬ng vîi f ∈ TG th¼ f ≥ 0 tr¶n KG. Do �â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn
b i to¡n mæmen d¤ng 1. Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta â mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n
KG th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng �÷ìng vîi nhau (qua �ành lþ Haviland). Ng÷íi �å â thº
xem th¶m v· ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng �º gi£i quy¸t ¡ b i to¡n mæmen
trong ¡ t i li»u [28℄, [17℄.
C¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù �¢ nhªn �÷ñ nhi·u sü quan t¥m õa ¡
nh to¡n hå . Krivine (1964) v Stengle (1974) [25, 54℄ �¢ �÷a ra biºu di¹n " â m¨u thù "
ho ¡ �a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng khæng) tr¶n mët tªp nûa �¤i sè �âng
ì b£n. Vi» t¼m ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng "khæng m¨u thù " hi»n v¨n �ang thu hót
sü quan t¥m õa nhi·u ng÷íi.
N«m 1991, vîi vi» t¼m líi gi£i ho B i to¡n mæmen b¬ng æng ö Gi£i t½ h h m,
S hm�udgen [46℄ �¢ �÷a ra mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n tªp ompa t. Cö thº,
S hm�udgen kh¯ng �ành r¬ng: N¸u f > 0 tr¶n KG v KG l tªp ompa t th¼ f ∈ TG.
Mët tr÷íng hñp �° bi»t õa �ành lþ S hm�udgen �÷ñ �÷a ra tr÷î �â bði Handelman
[19℄, biºu di¹n ¡ �a thù d÷ìng tr¶n mët �a di»n lçi, ompa t.
Vi» �÷a ra mët �i·u ki»n �º �£m b£o ¡ �a thù d÷ìng tr¶n KG thuë v o MG khâ
hìn so vîi thuë v o TG. Mët �i·u ki»n nh÷ th¸ �÷ñ Putinar [39℄ �÷a ra n«m 1993, vîi
�i·u ki»n a simet õa mæ�un bª hai MG. Nh l¤i, mët mæ�un bª hai M trong v nh �a
thù R[X ] �÷ñ gåi l a simet n¸u tçn t¤i sè tü nhi¶n k ∈ N sao ho k−(X21+...+X2
n) ∈ M .
�ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau: Gi£ sû MG a simet. Khi
�â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f ∈ MG.
Chó þ r¬ng, MG a simet th¼ TG a simet. Hìn núa, TG a simet t÷ìng �÷ìng vîi KG
ompa t. Hìn núa, n¸u f â nghi»m trong KG th¼ ¡ �ành lþ õa S hm�udgen v Putinar
â thº khæng án �óng. Do �â, S heiderer [42, 43℄ �¢ �÷a ra mët ti¶u hu©n Hessian �º
7
�£m b£o ho ¡ �a thù khæng ¥m (tù l â nghi»m) tr¶n KG thuë v o TG (t÷ìng ùng,
MG) vîi �i·u ki»n KG ompa t (t÷ìng ùng, MG a simet).
Biºu di¹n ¡ �a thù d÷ìng (khæng ¥m) tr¶n mët tªp on khæng ompa t trong Rn
khâ hìn nhi·u. Trong tr÷íng hñp KG khæng ompa t, S hweighofer (2006, [50℄) kh¯ng
�ành r¬ng: Gi£ sû f ∈ R[X ] bà h°n tr¶n KG, v f h¿ â húu h¤n gi¡ trà ti»m ªn trong
KG v to n bë �·u d÷ìng. Khi �â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f ∈ TG.
Nh l¤i r¬ng, tªp hñp
R∞(f,KG) := {y ∈ R|∃xk ∈ KG, xk → ∞(k → ∞), f(xk) → y}
l tªp ¡ gi¡ trà ti»m ªn õa f .
Pâlya [37℄ â k¸t qu£ sau �¥y, biºu di¹n ¡ �a thù d÷ìng tr¶n Rn+ \ {0}, trong �â
Rn+ = {(x1, · · · , xn) ∈ Rn : xi ≥ 0}:
Cho f l mët �a thù thu�n nh§t. N¸u f > 0 tr¶n Rn+ \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè tü nhi¶n N
�õ lîn sao ho �a thù
(n∑
i=1
Xi
)N
f â t§t £ ¡ h» sè kh¡ khæng �·u d÷ìng.
N«m 1995, Rezni k �¢ �÷a ra mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng biºu di¹n th nh têng ¡
b¼nh ph÷ìng ho ¡ �a thù thu�n nh§t d÷ìng tr¶n Rn \ {0}. �ành lþ Rezni k nâi r¬ng:
Cho f l mët �a thù thu�n nh§t bª h®n vîi f(x) > 0, ∀x ∈ Rn \ {0}. Khi �â, tçn t¤i
mët sè tü nhi¶n N �õ lîn sao ho
(n∑
i=1
X2i
)N
f ∈∑R[X ]2.
Têng qu¡t ho k¸t qu£ õa Rezni k, Putinar v Vasiles u [40℄ �¢ �÷a ra mët �ành
lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n mët tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n trong Rn. G�n �¥y, n«m 2015,
Di kinson v Povh [10℄ �¢ k¸t hñp �ành lþ Pâlya v �ành lþ Putinar-Vasiles u �º �÷a ra
mët �ành lþ biºu di¹n ho ¡ �a thù d÷ìng tr¶n mët tªp on nûa �¤i sè �âng ì b£n
trong Rn. Chi ti¸t ho ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng n y �÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong
Mö 1.2.2 õa Luªn ¡n.
Sau �¥y hóng tæi �· ªp mët sè v§n �· li¶n quan �¸n tr÷íng hñp t > 1, x²t biºu
di¹n õa ¡ �a thù ma trªn x¡ �ành d÷ìng (t÷ìng ùng, nûa x¡ �ành d÷ìng) tr¶n mët
tªp on õa Rn. Kþ hi»u St(R[X ]) l tªp hñp ¡ �a thù ma trªn �èi xùng §p t trong
Mt(R[X ]). Vîi méi F ∈ St(R[X ]) v G = {G1, ...,Gm} ⊆ St(R[X ]), kþ hi»u
KG := {x ∈ Rn|Gi(x)< 0, i = 1, ..., m},
tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n trong Rnx¡ �ành bði G.
8
� �¥y, vîi méi �a thù ma trªn G ∈ St(R[X ]) v vîi méi x ∈ Rn, G(x)< 0 �÷ñ dòng
�º kþ hi»u ho ma trªn G(x) l nûa x¡ �ành d÷ìng, tù l vîi måi v ∈ Rt, vTG(x)v ≥ 0.
Kþ hi»u G(x) ≻ 0 �÷ñ hiºu l ma trªn G(x) l x¡ �ành d÷ìng, tù l vîi måi v ∈Rt \ {0}, vTG(x)v > 0.
Kþ hi»u
MG := {∑
i,j
ATijGiAij|Gi ∈ G ∪ {It},Aij ∈ Mt(R[X ])},
mæ�un bª hai nhä nh§t tr¶n Mt(R[X ]) hùa G.
Ti·n thù tü nhä nh§t hùa G s³ �÷ñ kþ hi»u bði TG . Trong tr÷íng hñp G = ∅,∑tR[X ] := M∅ = T∅ l tªp hñp ¡ têng húu h¤n õa nhúng ph�n tû â d¤ng A
TA,
trong �â A ∈ Mt(R[X ]), v nâ l mæ�un bª hai nhä nh§t trong Mt(R[X ]).
Rã r ng, n¸u F ∈ TG ho° MG th¼ F < 0 tr¶n KG . V§n �· h½nh ti¸p theo hóng tæi
quan t¥m trong Luªn ¡n nh÷ sau
B i to¡n 2. Cho F ∈ St(R[X ]),G = {G1, ...,Gm} ⊆ St(R[X ]). Gi£ sû F ≻ 0 tr¶n KG.
Vîi �i·u ki»n n o th¼ F ∈ TG ho° F ∈ MG.
Li¶n quan �¸n b i to¡n n y, S herer v Hol [44℄ �¢ �÷a ra mët d¤ng ma trªn biºu
di¹n ¡ �a thù ma trªn x¡ �ành d÷ìng tr¶n ∆n �ng nh÷ ¡ �a thù ma trªn x¡
�ành d÷ìng tr¶n KG m MG a simet ho �ành lþ Pâlya v �ành lþ Putinar; trong �â
∆n = {(x1, ..., xn) ∈ Rn|xi ≥ 0,n∑
i=1
xi = 1}.
Cimpri� [6℄ �÷a ra d¤ng ma trªn ho �ành lþ Krivine-Stengle; Cimpri� v Zalar [7℄ �¢
nghi¶n ùu b i to¡n mæmen ho ¡ �a thù to¡n tû v hå �¢ �÷a ra mët d¤ng ma trªn
ho �ành lþ S hm�udgen; L¶ Cæng Tr¼nh [29℄ �¢ �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu
di¹n d÷ìng õa Krivine-Stengle, S hweighofer, S heiderer,... Chi ti¸t ho ¡ k¸t qu£ n y
�÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.4 õa Ch÷ìng 1.
D¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya [37℄ �âng mët vai trá quan trång
trong lþ thuy¸t �i·u khiºn. H�u h¸t ¡ b i to¡n �i·u khiºn tuy¸n t½nh �·u d¨n �¸n ¡
b§t �¯ng thù ma trªn. R§t nhi·u trong sè ¡ b i to¡n n y â thº gi£i �÷ñ khi ¡ b§t
�¯ng thù ma trªn l tuy¸n t½nh. Rã hìn, mët b§t �¯ng thù ma trªn tuy¸n t½nh (Linear
Matrix Inequality - LMI) â d¤ng
L(X) := A0 + A1X1 + ...+ AnXn ≻ 0, (0.4)
trong �â X = (X1, ..., Xn) l n bi¸n thü v A0, A1, ..., An ∈ Sn(R) l ¡ ma trªn �èi xùng
ho tr÷î . B§t �¯ng thù (0.4) h¿ ra L(x) x¡ �ành d÷ìng, tù l , vTL(x)v > 0, ∀ v ∈
9
Rn \ {0}. Khi �â, mi·n x¡ �ành õa LMI l
G := {x ∈ Rn|L(x) ≻ 0}.
�ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya ho �a thù ma trªn [44℄ kh¯ng �ành r¬ng: Gi£ sû F
l mët �a thù ma trªn �èi xùng thu�n nh§t bª d. N¸u F ≻ 0 tr¶n △n th¼ tçn t¤i sè tü
nhi¶n N sao ho
(X1 + · · ·+Xn)NF =
∑
|α|≤N+d
AαXα,
trong �â, Aα l ¡ ma trªn nûa x¡ �ành d÷ìng, Xα = Xα1
1 ...Xαnn . �º rã hìn v· ¡ ùng
döng n y, â thº xem hi ti¸t trong b i b¡o õa S herer v Hol [44℄.
Mö �½ h h½nh ti¸p theo õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i quy¸t B i to¡n 2, �÷a ra
d¤ng ma trªn ho ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh v
Handelman.
Ngo i Mö lö , Danh mö ¡ kþ hi»u, Líi mð ��u, Danh s¡ h ¡ æng tr¼nh õa t¡
gi£ li¶n quan �¸n Luªn ¡n, T i li»u tham kh£o v K¸t luªn, nëi dung h½nh õa Luªn ¡n
�÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong ba h÷ìng.
Trong Ch÷ìng 1 hóng tæi ung §p nhúng kh¡i ni»m v k¸t qu£ ì b£n �÷ñ sû döng
trong Luªn ¡n gçm: Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ �a thù mët bi¸n, B i to¡n thù 17 õa
Hilbert v mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng, B i to¡n mæmen v B i to¡n tèi ÷u �a thù ,
d¤ng ma trªn ho mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng. Cuèi h÷ìng hóng tæi �÷a ra k¸t qu£
mîi v· mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa �a thù ma trªn v thu�n nh§t hâa õa nâ.
Trong Ch÷ìng 2 hóng tæi �÷a ra mët sè h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn.
Cö thº, hóng tæi �¢ �÷a ra mët sè d¤ng ma trªn ho �ành lþ Enestr�om-Kakeya ( ¡ �ành
lþ 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4). Mët sè d¤ng ma trªn ho ¡ �ành lþ d¤ng Cau hy �ng �÷ñ hóng
tæi �÷a ra trong ¡ �ành lþ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14, 2.2.16, 2.2.17.
Cuèi h÷ìng, trong Mö 2.3, hóng tæi tr¼nh b y b£ng so s¡nh ¡ h°n �¢ �¤t �÷ñ trong
h÷ìng n y vîi ¡ h°n �÷ñ �÷a ra bði Higham v Tisseur [22℄ tr¶n òng v½ dö v ph�n
m·m t½nh to¡n.
Trong Ch÷ìng 3 hóng tæi nghi¶n ùu ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho ¡ �a thù
ma trªn. Cö thº, hóng tæi �÷a ra d¤ng ma trªn ho ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa
Putinar-Vasiles u, Rezni k, Di kinson-Povh v Handelman. Ri¶ng �èi vîi d¤ng ma trªn
ho �ành lþ Handelman, hóng tæi �÷a ra mët thõ tö �º t¼m biºu di¹n ho mët �a thù
ma trªn x¡ �ành d÷ìng tr¶n mët �a di»n ompa t, lçi trong Rn.
10
C¡ k¸t qu£ h½nh õa Luªn ¡n �÷ñ hóng tæi æng bè trong ¡ b i b¡o [12, 30℄, ti·n
§n ph©m [13℄ v �¢ �÷ñ b¡o ¡o t¤i:
• Hëi th£o �To¡n hå Mi·n Trung-T¥y Nguy¶n l�n I�, Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn, B¼nh
�ành, 12-14/08/2015;
• Hëi th£o què t¸ �The 6th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli-
ations (ICMAA)�, Tr÷íng �¤i hå Duy T¥n, � N®ng, 15-18/06/2017;
• Hëi th£o què t¸ �String-Math 2018�, Tr÷íng �¤i hå Tohoku, Sendai, Nhªt B£n,
18-22/06/2018;
• Hëi th£o què t¸ �The 7th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli a-
tions (ICMAA 2018)�, Tr÷íng �¤i hå Shinshu, Nagano, Nhªt B£n, 22-25/06/2018;
• Seminar Khoa To¡n, Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn, B¼nh �ành;
• �¤i hëi To¡n hå Vi»t Nam l�n thù IX, Tr÷íng �¤i hå Thæng tin Li¶n l¤ , 14-
18/08/2018.
B¼nh �ành, th¡ng 11 n«m 2018
T¡ gi£
D÷ Thà Háa B¼nh
11
Ch֓ng 1
Mët sè k¸t qu£ hu©n bà
Trong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ hu©n bà ho ¡ h÷ìng án
l¤i õa Luªn ¡n. Sü ph¥n bè nghi»m õa �a thù mët bi¸n nh÷ �ành lþ Cau hy [31, 33℄
v mët sè �ành lþ d¤ng Cau hy, �ành lþ Enestr�om-Kakeya [53, Corollary 3℄ �÷ñ tr¼nh
b y trong Mö 1.1. Chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè �ành ngh¾a ì b£n trong H¼nh hå �¤i
sè thü , �÷ñ tr½ h d¨n tø ¡ æng tr¼nh õa S hm�udgen [45, 47, 48℄, Cimpri� [5, 6℄ v
Marshall [32℄ trong Mö 1.2. � �¥y hóng tæi �ng tr¼nh b y mët sè �ành lþ biºu di¹n
d÷ìng ho �a thù . Mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù ma trªn �÷ñ hóng tæi
tr¼nh b y trong Mö 1.4. Ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong B i to¡n tèi
÷u �a thù v B i to¡n mæmen s³ �÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.3. Cuèi h÷ìng
hóng tæi �÷a ra mët sè k¸t qu£ mîi v· mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa �a thù ma trªn
v thu�n nh§t hâa õa nâ.
1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ �a thù mët bi¸n
B i to¡n t¼m nghi»m õa ¡ �a thù mët bi¸n l mët trong nhúng b i to¡n ì b£n
õa �¤i sè. Tuy nhi¶n vi» t¼m h½nh x¡ nghi»m õa �a thù mët bi¸n khæng ph£i ló
n o �ng d¹ d ng. Do �â, thay v¼ t¼m nghi»m õa �a thù , hóng ta t¼m mi·n hùa ¡
nghi»m õa nâ. �èi vîi ¡ �a thù h» sè thü , ta â ¡ d¤ng t÷ìng �÷ìng sau �¥y õa
�ành lþ Enestr�om-Kakeya.
�ành lþ 1.1.1 (Enestr�om-Kakeya, d¤ng 1, [53, Corollary 3℄). Cho f(z) l mët �a thù
bª d
f(z) = adzd + ad−1z
d−1 + · · ·+ a1z + a0, ai ∈ R, ∀i = 0, ..., d.
12
Gi£ sû r¬ng
ad ≥ ad−1 ≥ · · · ≥ a0 ≥ 0, v ad > 0.
N¸u z ∈ C l mët nghi»m õa f(z) th¼a02ad
≤ |z| ≤ 1.
Bä qua �i·u ki»n sp thù tü õa ¡ h» sè, ta â d¤ng 2 sau õa �ành lþ Enestr�om-
Kakeya.
�ành lþ 1.1.2 (Enestr�om-Kakeya, d¤ng 2, [3℄). Cho f(z) = adzd+ad−1z
d−1+· · ·+a1z+a0
l mët �a thù thü vîi ai, i = 0, ..., d, l ¡ sè thü d÷ìng. Kþ hi»u
α := min0≤i≤d−1
{aiai+1
}, β := max
0≤i≤d−1
{aiai+1
}.
Khi �â, måi nghi»m z ∈ C õa f(z) thäa m¢n
α ≤ |z| ≤ β.
�èi vîi ¡ �a thù phù , �ành lþ Cau hy h¿ ra mët �¾a trán hùa ¡ nghi»m õa nâ,
ö thº nh÷ sau.
�ành lþ 1.1.3 (Cau hy, d¤ng 1, [31, 33℄). Cho f(z) =d∑
i=0
aizil mët �a thù phù bª d.
Khi �â, måi nghi»m õa �a thù f(z) n¬m trong �¾a
{z ∈ C| |z| ≤ 1 +M},vîi M = max
{∣∣∣ajad
∣∣∣, j = 0, 1, ..., d− 1
}.
Trong tr÷íng hñp �a thù f(z) â |ad| > |ai|, ∀i = 0, ..., d − 1, th¼ M < 1. Khi �â,
hóng ta nhªn �÷ñ mët h» qu£ sau.
H» qu£ 1.1.4 ([9, Theorem 2.2℄). Cho f(z) =d∑
i=0
aizil mët �a thù phù bª d. N¸u
|ad| > |ai|, ∀i = 0, ..., d−1, th¼ måi nghi»m õa �a thù f(z) n¬m trong �¾a {z ∈ C| |z| < 2}.
�ành lþ 1.1.5 (Cau hy, d¤ng 2, [31, Se tion 27℄). Cho f(z) =d∑
i=0
aizil mët �a thù phù
bª d. Gåi r v R t÷ìng ùng l nghi»m d÷ìng õa ¡ �a thù
h(z) = |ad|zd + |ad−1|zd−1 + · · ·+ |a1|z − |a0|,
v
g(z) = |ad|zd − |ad−1|zd−1 − · · · − |a1|z − |a0|.Khi �â, måi nghi»m õa �a thù f(z) thäa m¢n
r ≤ |z| ≤ R.
13
T÷ìng tü þ t÷ðng tr¶n õa Cau hy, hóng ta â mët sè k¸t qu£ d¤ng Cau hy v· sü
ph§n bè nghi»m õa �a thù nh÷ sau.
�ành lþ 1.1.6 ([9, Theorem 3.2℄). Cho f(z) =d∑
i=0
aizil mët �a thù phù bª d. Kþ hi»u
M := max0≤i≤d−1
∣∣∣ aiad
∣∣∣.
Khi �â, måi nghi»m õa �a thù f(z) n¬m trong �¾a
K(0, r1) = {z ∈ C| |z| ≤ r1},
trong �â, r1 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa ph÷ìng tr¼nh
zd+1 − (1 +M)zd +M = 0.
�p döng �ành lþ 1.1.6 ho �a thù (1− z)f(z), hóng ta nhªn �÷ñ ¡ h» qu£ sau.
H» qu£ 1.1.7 ([9, Theorem 3.3℄). Cho f(z) =d∑
i=0
aizil mët �a thù phù bª d. Kþ hi»u
M̃ := maxi=0,...,d
∣∣∣ad−i − ad−i−1
ad
∣∣∣, a−1 := 0.
Khi �â, måi nghi»m õa �a thù f(z) n¬m trong �¾a
K(0, r2) = {z ∈ C| |z| ≤ r2},
trong �â, r2 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa ph÷ìng tr¼nh
zd+2 − (1 + M̃)zd+1 + M̃ = 0.
H» qu£ sau �¥y l mët k¸t qu£ t÷ìng tü �ành lþ 1.1.3.
H» qu£ 1.1.8 ([9, Theorem 3.4℄). Cho f(z) =d∑
i=0
aizil mët �a thù phù bª d. Khi �â,
måi nghi»m õa �a thù f(z) n¬m trong �¾a
K(0, r3) = {z ∈ C| |z| ≤ r3},
trong �â, r3 = 1 + M̃ v M̃ �÷ñ x¡ �ành nh÷ trong H» qu£ 1.1.7.
Ch°n tr¶n sau �¥y õa Joyal-Labelle-Rahman [24℄ trong nhi·u tr÷íng hñp l tèt hìn
so vîi ¡ h°n Cau hy.
14
�ành lþ 1.1.9 (Joyal, Labelle, Rahman, [24℄). Cho f(z) =d∑
i=0
aizil mët �a thù phù
bª d. Kþ hi»u
α := maxi=0,...,d−2
∣∣∣ aiad
∣∣∣.
Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n
|z| ≤ 1
2
1 +
∣∣∣ad−1
ad
∣∣∣ +
√(1−
∣∣∣ad−1
ad
∣∣∣)2
+ 4α
.
�p döng �ành lþ 1.1.9 ho �a thù g(z) = zdf(1z), hóng ta s³ �¤t �÷ñ mët h°n d÷îi
ho nghi»m õa �a thù nh÷ sau.
H» qu£ 1.1.10 ([24℄). Cho f(z) = adzd + ad−1z
d−1 + · · ·+ a1z + a0 l mët �a thù phù
bª d vîi a0 6= 0. Kþ hi»u
β := maxi=2,...,d
∣∣∣ aia0
∣∣∣.
Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n
|z| ≥ 2
1 +∣∣∣a1a0
∣∣∣+√(
1−∣∣∣a1a0
∣∣∣)2
+ 4β
.
�p döng �ành lþ 1.1.9 ho �a thù (1− z)f(z) ta â h» qu£ sau.
H» qu£ 1.1.11 ([24℄). Cho f(z) = adzd + ad−1z
d−1 + · · ·+ a1z + a0 l mët �a thù phù
bª d. Kþ hi»u
γ := maxi=1,...,d
∣∣∣ad−i − ad−i−1
ad
∣∣∣, a−1 := 0.
Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n
|z| ≤ 1
2
1 +
∣∣∣ad − ad−1
ad
∣∣∣+
√(1−
∣∣∣ad − ad−1
ad
∣∣∣)2
+ 4γ
.
T÷ìng tü, ¡p döng H» qu£ 1.1.11 ho �a thù g(z) = zdf(1z), hóng ta nhªn �÷ñ mët
h°n d÷îi ho �a thù nh÷ sau.
15
H» qu£ 1.1.12. Cho f(z) = adzd + ad−1z
d−1 + · · ·+ a1z + a0 l mët �a thù phù bª d
â a0 6= 0. Kþ hi»u
γ′ := maxi=1,...,d
∣∣∣ai − ai+1
a0
∣∣∣, ad+1 := 0.
Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n
|z| ≥ 2
1 +∣∣∣a0 − a1
a0
∣∣∣+√(
1−∣∣∣a0 − a1
a0
∣∣∣)2
+ 4γ′
.
�p döng �ành lþ 1.1.9 ho �a thù (z − ad−1)f(z) ta �÷ñ h» qu£ sau.
H» qu£ 1.1.13 ([24℄). Cho f(z) = zd + ad−1zd−1 + · · ·+ a1z+ a0 l mët �a thù phù bª
d. Kþ hi»u
δ := maxi=0,...,d−1
|ad−1ai − ai−1|, a−1 := 0.
Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n
|z| ≤ 1
2(1 +
√1 + 4δ).
�èi vîi mët �a thù b§t ký, b¬ng ¡ h x²t �a thù moni t÷ìng ùng, ta nhªn �÷ñ
�¡nh gi¡ sau.
H» qu£ 1.1.14 ([24℄). Cho f(z) = adzd + ad−1z
d−1 + · · ·+ a1z + a0 l mët �a thù phù
bª d. Kþ hi»u
δ′ := maxi=0,...,d−1
∣∣∣ad−1ai − ai−1ada2d
∣∣∣, a−1 := 0.
Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n
|z| ≤ 1
2(1 +
√1 + 4δ′).
T÷ìng tü, ¡p döng H» qu£ 1.1.14 ho �a thù g(z) = zdf(1z), hóng ta nhªn �÷ñ mët
h°n d÷îi ho �a thù nh÷ sau.
H» qu£ 1.1.15. Cho mët �a thù phù f(z) = adzd + ad−1z
d−1 + · · ·+ a1z + a0 bª d â
a0 6= 0. Kþ hi»u
δ” := maxi=1,...,d
∣∣∣a1ai − a0ai+1
a20
∣∣∣, ad+1 := 0.
Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n
|z| ≥ 2
1 +√1 + 4δ”
.
16
�ành lþ sau õa Datt v Govil [8℄ ho hóng ta mët h°n tr¶n tèt hìn so vîi h°n tr¶n
õa Cau hy trong �ành lþ 1.1.3.
�ành lþ 1.1.16 (Datt-Govil,[8, Theorem 1℄). Cho mët �a thù phù f(z) = adzd +
ad−1zd−1 + · · ·+ a1z + a0 bª d. Kþ hi»u
A := maxi=0,...,d−1
∣∣∣ aiad
∣∣∣.
Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n
|a0|2|ad|(1 + A)d−1(Ad+ 1)
≤ |z| ≤ 1 + x0A,
trong �â, x0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(Ax+1)d
n¬m trong (0, 1).
Trong tr÷íng hñp khâ t¼m nghi»m x0 ∈ (0, 1) õa ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(Ax+1)d
, hóng
ta â thº dòng h°n sau �¥y.
�ành lþ 1.1.17 (Datt-Govil,[8, Theorem 2℄). Cho mët �a thù phù f(z) = adzd +
ad−1zd−1 + · · ·+ a1z + a0 bª d. Kþ hi»u
A := maxi=0,...,d−1
∣∣∣ aiad
∣∣∣.
Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n
|a0|2|ad|(1 + A)d−1(Ad+ 1)
≤ |z| < 1 +(1− 1
(1 + A)d
)A.
T÷ìng tü ¡ �ành lþ Cau hy, hóng ta â ¡ h°n sau �¥y ho nghi»m õa �a thù .
�ành lþ 1.1.18 ([34, Theorem 2.2℄). Cho mët �a thù phù f(z) = adzd + ad−1z
d−1 +
· · ·+ a1z + a0 bª d. Kþ hi»u
M := maxi=0,...,d−1
|ai|, M ′ := maxi=1,...,d
|ai|.
Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n
|a0||a0|+M ′
< |z| < 1 +M
|ad|.
Têng qu¡t ho �ành lþ 1.1.18 ta â k¸t qu£ sau.
17
�ành lþ 1.1.19 ([34, Theorem 2.4℄). Cho mët �a thù phù f(z) = adzd + ad−1z
d−1 +
· · ·+ a1z + a0 bª d. Cho p, q > 1 sao ho
1p+ 1
q= 1. Kþ hi»u
Mp :=
(d−1∑
i=0
|ai|p) 1
p
, M ′p :=
(d∑
i=1
|ai|p) 1
p
.
Khi �â, vîi måi nghi»m z õa f(z) ta â
[ |a0|q(M ′
p)q + |a0|q
] 1
q
< |z| <[1 +
(Mp
|ad|
)q] 1
q
.
1.2 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè �ành lþ
biºu di¹n d÷ìng ho �a thù
Cho n ≥ 1, kþ hi»u R[X1, ..., Xn] := R[X ] l v nh ¡ �a thù n bi¸n X1, ..., Xn vîi h»
sè thü ;
∑R[X ]2 l tªp hñp gçm têng húu h¤n ¡ b¼nh ph÷ìng õa ¡ �a thù trong
R[X ], tù l tªp hñp ¡ ph�n tû â d¤ng
k∑i=1
f 2i , vîi k ∈ N, fi ∈ R[X ], i = 1, · · · , k.
1.2.1 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v �ành lþ Artin
Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù theo n bi¸n X1, ..., Xn. N¸u f biºu di¹n �÷ñ th nh têng
b¼nh ph÷ìng õa húu h¤n �a thù trong R[X ] th¼ rã r ng f khæng ¥m tr¶n Rn. Do �â,
mët ¥u häi tü nhi¶n �÷ñ �°t ra l hi·u ng÷ñ l¤i â �óng khæng, tù l
f ≥ 0 tr¶n Rn =⇒ f ∈∑
R[X ]2?
C¥u tr£ líi ho ¥u häi n y �÷ñ �÷a ra bði Hilbert v o n«m 1888, ö thº nh÷ sau.
�ành lþ 1.2.1 (Hilbert, [23℄). Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù bª d h®n v khæng ¥m tr¶n
Rn. Khi �â, f â thº biºu di¹n �÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ �a thù trong R[X ]
n¸u v h¿ n¸u mët trong ¡ �i·u ki»n sau thäa m¢n:
. n = 1;
. d = 2;
. n = 2, d = 4.
18
Nh÷ th¸, ngo i ba tr÷íng hñp �÷ñ Hilbert �÷a ra, �èi vîi méi °p sè tü nhi¶n n ≥ 2
v d ≥ 4, luæn tçn t¤i mët �a thù n bi¸n bª d, khæng ¥m tr¶n Rnnh÷ng khæng thº biºu
di¹n th nh têng b¼nh ph÷ìng ¡ �a thù tr¶n R[X ]. Tuy nhi¶n æng khæng h¿ ra trü ti¸p
¡ ph£n v½ dö.
N«m 1967, Motzkin [35℄ �¢ �÷a ra mët ph£n v½ dö v· mët �a thù hai bi¸n bª 6 khæng
¥m tr¶n R2nh÷ng khæng thº biºu di¹n th nh têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ �a thù hai bi¸n.
Cö thº, �a thù Motzkin
M(X, Y ) = 1− 3X2Y 2 +X2Y 4 +X4Y 2 ∈ R[X, Y ]
khæng ¥m tr¶n R2nh÷ng khæng thº biºu di¹n �÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng ¡ �a thù
trong R[X, Y ] ([32, Proposition 1.2.2℄). Tuy nhi¶n, hóng ta â thº biºu di¹n M(X, Y ) bði
têng b¼nh ph÷ìng ¡ ph¥n thù nh÷ sau:
M(X, Y ) =
[X2Y (X2 + Y 2 − 2)
X2 + Y 2
]2+
[XY 2(X2 + Y 2 − 2)
X2 + Y 2
]2
+
[XY (X2 + Y 2 − 2)
X2 + Y 2
]2+
[X2 − Y 2
X2 + Y 2
]2.
N«m 1977, Choi-Lam [4℄ �÷a ra mët �a thù ba bi¸n bª 4
q(X, Y, Z) = 1 +X2Y 2 + Y 2Z2 + Z2X2 − 4XY Z.
Rã r ng q(X, Y, Z) ≥ 0 tr¶n R3, nh÷ng q(X, Y, Z) khæng thº biºu di¹n th nh têng ¡
b¼nh ph÷ìng ¡ �a thù .
T¤i �¤i hëi To¡n hå th¸ giîi tê hù t¤i Paris n«m 1900, Hilbert �¢ �· nghà mët danh
s¡ h gçm 23 "B i to¡n th¸ k�", trong sè �â, B i to¡n thù 17 �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:
B i to¡n thù 17 õa Hilbert. Cho f ∈ R[X ]. N¸u f ≥ 0 tr¶n Rn, â suy ra �÷ñ
f =k∑
i=1
(figi
)2
hay khæng?
N«m 1927, Artin �¢ �÷a ra ¥u tr£ líi sau ho B i to¡n thù 17 õa Hilbert.
�ành lþ 1.2.2 (Artin, [1℄). Cho f ∈ R[X ]. N¸u f khæng ¥m tr¶n Rnth¼ f biºu di¹n �÷ñ
th nh têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ ph¥n thù trong R(X).
1.2.2 Mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù
Tr÷î ti¶n hóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m ì b£n trong H¼nh hå �¤i sè thü
ho �a thù �÷ñ tr½ h d¨n tø ¡ æng tr¼nh õa S hm�udgen [45, 47, 48℄, Cimpri� [5, 6℄
19
v Marshall [32℄.
Cho A l mët v nh giao ho¡n â �ìn và 1. Kþ hi»u
∑A2
l tªp hñp õa ¡ têng b¼nh
ph÷ìng trong A, tù l tªp hñp ¡ ph�n tû â d¤ng
k∑i=1
a2i , k ∈ N, ai ∈ A, i = 1, · · · , k.
�ành ngh¾a 1.2.3 (Marshall, [32℄). (a) Mët mæ�un bª hai tr¶n A l mët tªp on M
õa A thäa m¢n:
. M +M ⊆ M ;
. 1 ∈ M ;
. a2M ⊆ M vîi måi a ∈ A.
(b) Mët ti·n thù tü tr¶n A l mët tªp on T õa A thäa m¢n:
. T + T ⊆ T ;
. T · T ⊆ T ;
. a2 ∈ T vîi måi a ∈ A.
Tø �ành ngh¾a 1.2.3 hóng ta â mët sè nhªn x²t sau.
Chó þ 1.2.4. Cho A l mët v nh giao ho¡n â �ìn và 1. Khi �â,
(1) Méi ti·n thù tü tr¶n A l mët mæ�un bª hai tr¶n A.
(2)
∑A2
l ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n A.
B¥y gií hóng ta x²t A l v nh �a thù R[X ] := R[X1, ..., Xn].
�ành ngh¾a 1.2.5 (Marshall, [32℄).
(a) Méi tªp on õa Rn â d¤ng
{x ∈ Rn|f(x) = 0, fj(x) > 0, j = 1, · · · , k},
vîi f, fj ∈ R[X ], �÷ñ gåi l mët tªp on nûa �¤i sè ì b£n õa Rn.
(b) Mët tªp on õa Rn�÷ñ gåi l mët tªp nûa �¤i sè n¸u nâ l hñp húu h¤n õa ¡
tªp nûa �¤i sè ì b£n trong Rn.
Cho G = {g1, ..., gm} l mët tªp on õa R[X ]. Khi �â,
20
• Tªp hñp KG = {x ∈ Rn|g1(x) ≥ 0, ..., gm(x) ≥ 0} l mët tªp nûa �¤i sè, �÷ñ gåi l
mët tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n trong Rn;
• Mæ�un bª hai nhä nh§t tr¶n R[X ] hùa G, kþ hi»u bði MG, l
MG = {σ0 + σ1g1 + · · ·+ σmgm|σi ∈∑
R[X ]2};
• Ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n R[X ] hùa G, kþ hi»u bði TG, l
TG = {∑
δ=(δ1,··· ,δm)∈{0,1}m
sδgδ11 · · · gδmm |m ∈ N, sδ ∈
∑R[X ]2}.
Cho �a thù f ∈ R[X ]. D¹ th§y, n¸u f ∈ MG ho° TG th¼ f ≥ 0 tr¶n KG, tù l
f(x) ≥ 0, ∀x ∈ KG. Do �â, mët ¥u häi �÷ñ �°t ra l :
f ≥ 0 tr¶n KG =⇒ f ∈ TG ho° f ∈ MG?
N¸u ¥u tr£ líi l �óng, hóng ta â �÷ñ mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng (Positivstel-
lensatz), hay �ành lþ biºu di¹n khæng ¥m (Ni htnegativstellensatz). Trong mët sè t i li»u
( h¯ng h¤n, [32℄), ¡ t¡ gi£ sû döng thuªt ngú hung l "Positivstellensatz". Do �â,
trong to n bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz (�ành lþ
biºu di¹n d÷ìng).
Mët biºu di¹n " â m¨u thù " ho ¡ �a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng
khæng) tr¶n KG �÷ñ �÷a ra bði Krivine (1964) v Stengle (1974), ö thº nh÷ sau.
�ành lþ 1.2.6 (Krivine-Stengle, [25, 54℄). Cho mët tªp on G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ] v
mët �a thù f ∈ R[X ]. Khi �â:
(i) f > 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i p, q ∈ TG sao ho pf = 1 + q.
(ii) f ≥ 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n m ≥ 0 v p, q ∈ TG sao ho
pf = f 2m + q.
(iii) f = 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n m ≥ 0 sao ho −f 2m ∈ TG;
(iv) KG = ∅ n¸u v h¿ n¸u −1 ∈ TG.
Trong tr÷íng hñp G = ∅ th¼ KG = Rn,MG = TG =∑
R[X ]2. Khi �â, �ành lþ Artin
(�ành lþ 1.2.2) l mët h» qu£ õa �ành lþ 1.2.6.
21
Trong �ành lþ Krivine-Stengle, biºu di¹n õa ¡ �a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng
¥m, b¬ng khæng) tr¶n tªp KG luæn â "m¨u thù ". Vi» t¼m biºu di¹n "khæng m¨u thù "
ho ¡ �a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng khæng) tr¶n mët tªp nûa �¤i sè �âng
ì b£n l mët v§n �· quan trång v â nhi·u ùng döng trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n tèi
÷u �a thù �ng nh÷ b i to¡n mæmen. �ành lþ biºu di¹n d÷ìng khæng m¨u thù ��u ti¶n
�÷ñ �÷a ra bði S hm�udgen, ö thº nh÷ sau.
�ành lþ 1.2.7 (S hm�udgen, [46, Corollary 3℄). Gi£ sû KG ompa t. N¸u f > 0 tr¶n KG
th¼ f ∈ TG.
Mët tr÷íng hñp �° bi»t õa �ành lþ 1.2.7 �÷ñ �÷a ra bði Handelman (1988, [19℄),
biºu di¹n ho ¡ �a thù d÷ìng tr¶n mët �a di»n lçi, ompa t, ö thº nh÷ sau.
Cho P l mët �a di»n lçi, ompa t vîi ph�n trong kh¡ réng, vîi bi¶n x¡ �ành bði
¡ �a thù tuy¸n t½nh λ1, ..., λk ∈ R[X ]. Khi �â, hóng ta â thº hån d§u õa λi sao ho
P = {x ∈ Rn|λi(x) ≥ 0, ∀i = 1, ..., k}.
�ành lþ 1.2.8 (Handelman, [19℄). Cho �a di»n P nh÷ tr¶n v gi£ sû �a thù f ∈ R[X ]
l d÷ìng tr¶n P . Khi �â, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n m ∈ N sao ho
f =∑
|α|≤m
bαλα1
1 ...λαk
k ,
trong �â, |α| = α1 + · · ·+ αk, bα ∈ R+vîi måi α.
Tø �ành lþ 1.2.8 hóng ta â h» qu£ sau.
H» qu£ 1.2.9. Cho mët �a thù f ∈ R[X ], n¸u f(x) > 0 vîi måi x ∈ P , th¼ f â thº
�÷ñ biºu di¹n nh÷ sau
f =∑
δi∈{0,1}
bδλδ11 · · ·λδm
m ,
trong �â, méi bδ l mët têng húu h¤n ¡ b¼nh ph÷ìng �a thù trong R[X ] m â bª khæng
qu¡ m.
H» qu£ n y l mët tr÷íng hñp �° bi»t õa �ành lþ 1.2.7 khi x²t �a thù d÷ìng tr¶n
mët �a di»n lçi, ompa t.
Chó þ r¬ng MG ⊆ TG, do �â �º f ∈ MG ta �n mët �i·u ki»n m¤nh hìn �èi vîi G.
Mët mæ�un bª hai M ⊆ R[X ] �÷ñ gåi l a simet n¸u tçn t¤i sè tü nhi¶n k ∈ N, k 6= 0
sao ho k − (X21 + ...+X2
n) ∈ M .
22
N«m 1993, Putinar [39℄ �¢ �÷a ra �i·u ki»n a simet �èi vîi mæ�un bª hai MG �º
nhªn �÷ñ k¸t qu£ sau.
�ành lþ 1.2.10 (Putinar, [39℄). Gi£ sû MG a simet. Khi �â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼
f ∈ MG.
Chó þ r¬ng n¸u MG a simet th¼ TG a simet. Hìn núa, TG a simet n¸u v h¿ n¸u
KG ompa t ([31, Theorem 6.1.1℄). Do �â �i·u ki»n a simet õa MG m¤nh hìn �i·u ki»n
ompa t õa KG.
Trong tr÷íng hñp KG khæng ompa t, S hweighofer [50℄ �¢ �÷a ra �ành lþ biºu di¹n
d÷ìng sau �¥y. Kþ hi»u
R∞(f,KG) := {y ∈ R|∃xk ∈ KG, xk → ∞(k → ∞), f(xk) → y}
l tªp ¡ gi¡ trà ti»m ªn õa f .
�ành lþ 1.2.11 (S hweighofer, [50℄). Cho G = {g1, · · · , gm} ⊆ R[X ] v f ∈ R[X ]. Gi£
sû
(i) f > 0 tr¶n KG;
(ii) f bà h°n tr¶n KG;
(iii) R∞(f,KG) l mët tªp on húu h¤n õa R+.
Khi �â, f ∈ TG.
Mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng kh¡ tr¶n ¡ tªp khæng ompa t ho ¡ �a thù
thu�n nh§t �÷ñ hóng tæi tr¼nh b y sau �¥y.
�ành ngh¾a 1.2.12 (Fiedler, [14℄). Cho {v0, ..., vn} l mët h» �ë lªp affine trong Rn.
Mët �ìn h¼nh trong Rnvîi n+ 1 �¿nh v0, ..., vn �÷ñ x¡ �ành bði
{x0v0 + · · ·+ xnvn|xi ≥ 0,n∑
i=0
xi = 1}.
�° bi»t, �ìn h¼nh hu©n trong Rn�÷ñ x¡ �ành bði
∆n := {(x1, · · · , xn) ∈ Rn|xi ≥ 0,
n∑
i=1
xi = 1}.
23
�ành ngh¾a 1.2.13 (Marshall, [32℄). Mët �a thù f ∈ R[X ] �÷ñ gåi l thu�n nh§t bª
d n¸u
f(λX1, · · · , λXn) = λdf(X1, · · · , Xn),
vîi måi λ 6= 0.
L÷u þ r¬ng méi �a thù bª d kh¡ khæng f ∈ R[X ] â thº ph¥n t½ h �÷ñ mët ¡ h
duy nh§t d÷îi d¤ng
f = f0 + f1 + · · ·+ fd,
trong �â fi, i = 0, · · · , d, l th nh ph�n thu�n nh§t bª i õa f . Hìn núa, khi ho
mët �a thù f ∈ R[X ] bª d, hóng ta â thº nhªn �÷ñ mët �a thù thu�n nh§t
f̃ ∈ R[X0, X1, · · · , Xn] bª d li¶n k¸t vîi nâ nh÷ sau.
f̃(X0, X1, ..., Xn) = Xd0f0 +Xd−1
0 f1 + · · ·+ fd,
trong �â X0 l mët bi¸n mîi. �a thù f̃ �÷ñ gåi l thu�n nh§t hâa õa f . D¹ d ng th§y
r¬ng,
f̃(1, X1, ..., Xn) = f(X1, ..., Xn) v f̃(0, X1, ..., Xn) = fd(X1, · · · , Xn).
�ành lþ 1.2.14 (Pâlya, [37℄). Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù thu�n nh§t bª d h®n. Gi£
sû f > 0 tr¶n Rn+ \{0}. Khi �â, tçn t¤i sè tü nhi¶n N �õ lîn sao ho t§t £ ¡ h» sè kh¡
khæng õa �a thù (X1 + · · ·+Xn)Nf �·u d÷ìng.
N«m 1995, Rezni k �¢ �÷a ra mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng nh÷ sau.
�ành lþ 1.2.15 (Rezni k, [41℄). Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù thu�n nh§t bª h®n. N¸u
f > 0 tr¶n Rn \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r sao ho
(X21 + · · ·+X2
n)rf ∈∑R[X ]2.
Têng qu¡t ho �ành lþ õa Rezni k, Putinar v Vasiles u [40, Theorem 4.2℄ �¢ nghi¶n
ùu biºu di¹n õa ¡ �a thù thu�n nh§t d÷ìng tr¶n ¡ tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n
trong Rn.
�ành lþ 1.2.16 ([40, Theorem 4.2℄). Cho f, g1, · · · , gm ∈ R[X ] l ¡ �a thù thu�n nh§t
bª h®n v gi£ sû f > 0 tr¶n KG \ {0}, trong �â G = {g1, · · · , gm}. Khi �â, tçn t¤i mët
sè nguy¶n r ≥ 0 sao ho
(X21 + · · ·+X2
n)rf ∈ MG.
24
Chó þ r¬ng khi G = ∅, ta nhªn �÷ñ �ành lþ 1.2.15 õa Rezni k.
N«m 2015, Di kinson v Povh [10, Theorem 3.5℄ �¢ �÷a ra mët �ành lþ biºu di¹n
d÷ìng, k¸t hñp �ành lþ õa Pâlya v õa Putinar v Vasiles u.
�ành lþ 1.2.17 ([10, Theorem 3.5℄). Cho f, g1, · · · , gm ∈ R[X ] l ¡ �a thù thu�n nh§t
bª h®n. N¸u f > 0 tr¶n Rn+ ∩KG \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v ¡ �a
thù thu�n nh§t h1, · · · , hm vîi h» sè khæng ¥m sao ho
(X1 + · · ·+Xn)rf =
m∑
i=1
gihi.
C¡ ph¡t biºu khæng thu�n nh§t ho ¡ �ành lþ tr¶n �÷ñ tr¼nh b y trong Mö 1.5.
1.3 B i to¡n tèi ÷u �a thù v b i to¡n mæmen
Trong ph�n n y hóng tæi tr¼nh b y ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong
tèi ÷u �a thù v gi£i quy¸t b i to¡n mæmen. C¡ k¸t qu£ �÷ñ tr¼nh b y ð �¥y �÷ñ tr½ h
tø [32℄ v [28℄.
1.3.1 B i to¡n tèi ÷u �a thù
B i to¡n tèi ÷u �a thù l b i to¡n t¼m
f ∗ = infx∈KG
f(x), (1.1)
trong �â, f ∈ R[X ], G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ], KG = {x ∈ Rn|g1(x) ≥ 0, ..., gm(x) ≥ 0}.Trong tr÷íng hñp G = ∅, KG = Rn
, b i to¡n tr¶n �÷ñ gåi l b i to¡n tèi ÷u �a thù khæng
r ng buë .
Biºu thù (1.1) â thº �÷ñ vi¸t l¤i d÷îi d¤ng
f ∗ = infx∈KG
f(x) = sup{λ|λ ≤ f(x), x ∈ KG}
=sup{λ|f(x)− λ ≥ 0, x ∈ KG}=sup{λ|f(x)− λ > 0, x ∈ KG}.
Nh÷ th¸, vi» t¼m f ∗�÷ñ huyºn sang t¼m supremum õa ¡ sè λ sao ho f − λ khæng
¥m (ho° d÷ìng) tr¶n KG. �º gi£i quy¸t b i to¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l
25
thay th¸ �i·u ki»n khæng ¥m bði mët �i·u ki»n n o �â �ìn gi£n hìn, trong �â â hùa ¡
têng b¼nh ph÷ìng, �º â thº ti¸p ªn b¬ng ¡ h sû döng Quy ho¤ h nûa x¡ �ành (SDP).
Vîi þ t÷ðng �â, mët trong nhúng ¡ h �º nîi läng �i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n KG" l x²t
biºu di¹n f − λ d÷îi d¤ng
f − λ = t0 +m∑
i=1
tigi,
trong �â ti ∈∑
R[X ]2. Tù l , nîi läng �i·u ki»n "f−λ ≥ 0 tr¶nKG" th nh "f−λ ∈ MG".
�i·u n y d¨n �¸n vi» x²t b i to¡n
f sos,G = sup{λ|f − λ ∈ MG}. (1.2)
Rã r ng, n¸u f − λ ∈ MG th¼ f − λ ≥ 0 tr¶n KG. Do �â f sos,G ≤ f ∗. Hìn núa, n¸u ta â
mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù f − λ tr¶n KG th¼ f sos,G = f ∗. Ch¯ng h¤n, ¡p
döng �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar (�ành lþ 1.2.10) ta â �÷ñ k¸t qu£ sau.
H» qu£ 1.3.1. Cho G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ] v f ∈ R[X ]. Gi£ sû MG a simet. Khi �â
f ∗sos,G = f ∗
.
Tuy nhi¶n vi» t¼m f sos,Gkhæng d¨n �¸n mët Quy ho¤ h nûa x¡ �ành, bði v¼ hóng
ta khæng h°n �÷ñ bª õa ¡ �a thù ti trong biºu di¹n õa f − λ. �º nhªn �÷ñ mët
Quy ho¤ h nûa x¡ �ành, hóng ta x²t ¡ sè nguy¶n k vîi
2k ≥ max{deg(f), deg(g1), . . . , deg(gm)}.
X²t b i to¡n
f sos,Gk = sup{λ|f − λ = t0 +
m∑
i=1
tigi, ti ∈∑
R[X ]2, deg(t0), deg(tigi) ≤ 2k}. (1.3)
Khi �â f sos,Gk �÷ñ t½nh qua mët Quy ho¤ h nûa x¡ �ành. Hìn núa,
f sos,Gk ≤ f sos,G
k+1 ≤ f sos,G ≤ f ∗
v limk→∞
f sos,Gk = f sos,G
.
1.3.2 B i to¡n mæmen
D¤ng thù nh§t ( ê �iºn) õa b i to¡n mæmen �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:
B i to¡n mæmen (d¤ng 1) Cho K l mët tªp on �âng trong Rn. Cho L : R[X ] → R
26
l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh. Câ tçn t¤i hay khæng mët �ë �o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa
trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X ],
L(f) =
∫
K
fdµ?
Haviland (1935, [20℄) �¢ �÷a ra mët �i·u ki»n �n v �õ ho sü tçn t¤i õa �ë �o d÷ìng
µ, ö thº nh÷ sau.
�ành lþ 1.3.2 (Haviland, [20℄). �i·u ki»n �n v �õ �º tçn t¤i mët �ë �o Borel d÷ìng µ
vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X ] ta â
L(f) =
∫
K
fdµ
l L(f) ≥ 0 vîi måi f ≥ 0 tr¶n K.
Nh÷ th¸, vi» mæ t£ ¡ �a thù khæng ¥m tr¶n K �âng mët vai trá quan trång trong
vi» gi£i b i to¡n mæmen tr¶n K.
Mët d¤ng kh¡ õa b i to¡n mæmen �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau.
B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ]. Kþ hi»u KG, TG nh÷ tr¶n.
N¸u L(f) ≥ 0 vîi måi f ∈ TG th¼ â tçn t¤i hay khæng mët �ë �o Borel d÷ìng µ â gi¡
hùa trong KG sao ho vîi måi f ∈ R[X ] ta â
L(f) =
∫
KG
fdµ?
Chó þ r¬ng, vîi f ∈ TG th¼ f ≥ 0 tr¶n KG. Do �â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn
b i to¡n mæmen d¤ng 1. Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta â mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n
KG th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng �÷ìng vîi nhau (qua �ành lþ Haviland). Ng÷íi �å â thº
xem th¶m v· ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng �º gi£i quy¸t ¡ b i to¡n mæmen
trong ¡ t i li»u [28℄, [17℄.
Mët h» qu£ õa �ành lþ Haviland, �ành lþ S hm�udgen v �ành lþ Putinar �èi vîi b i
to¡n mæmen �÷ñ ho nh÷ sau.
H» qu£ 1.3.3. Cho G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ]. Gi£ sû KG ompa t (t÷ìng ùng, MG
a simet). Gåi L : R[X ] → R l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh thäa m¢n L(f) ≥ 0, ∀f ∈ TG
27
(t÷ìng ùng, ∀f ∈ MG). Khi �â tçn t¤i mët �ë do d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong KG sao ho
vîi måi f ∈ R[X ] ta â
L(f) =
∫
KG
fdµ.
1.4 H¼nh hå �¤i sè thü ho �a thù ma trªn
Trong ph�n n y hóng tæi s³ tr¼nh b y d¤ng ma trªn õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng
�÷ñ tr¼nh b y trong Mö 1.2.2. Tr÷î h¸t hóng tæi �n mët sè kþ hi»u v kh¡i ni»m li¶n
quan. Vîi méi sè tü nhi¶n kh¡ khæng t, kþ hi»u Mt(R[X ]) l v nh ¡ �a thù ma trªn.
Kþ hi»u St(R[X ]) l v nh on õa Mt(R[X ]) gçm ¡ �a thù ma trªn �èi xùng. Gåi It
l ma trªn �ìn và trong Mt(R[X ]).
�ành ngh¾a 1.4.1 (Cimpri� -Zalar, [7℄). (a) Mët mæ�un bª hai tr¶n Mt(R[X ]) l mët
tªp on M õa St(R[X ]) thäa m¢n
. M+M ⊆ M;
. It ∈ M;
. ATMA ⊆ M, ∀ A ∈ Mt(R[X ]).
(b) Mët ti·n thù tü tr¶n Mt(R[X ]) l mët tªp on T õa St(R[X ]) sao ho T l mët
mæ�un bª hai trong Mt(R[X ]) v tªp hñp T ∩ (R[X ] · It) l �âng vîi ph²p to¡n
nh¥n.
Mæ�un bª hai nhä nh§t tr¶n Mt(R[X ]) hùa mët tªp on ho tr÷î G õa St(R[X ])
s³ �÷ñ kþ hi»u bði MG. D¹ kiºm tra �÷ñ
MG =
{∑
i,j
ATijGiAij |Gi ∈ G ∪ {It},Aij ∈ Mt(R[X ])
}.
Ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n Mt(R[X ]) hùa mët tªp on ho tr÷î G õa St(R[X ]) s³ �÷ñ
kþ hi»u bði TG .
Cimpri� [6℄ �¢ �÷a ra mèi li¶n h» giúa mæ�un bª hai v ti·n thù tü trong v nh ¡
�a thù ma trªn nh÷ sau.
Bê �· 1.4.2 ([6, Lemma 2℄). Vîi måi tªp on G õa St(R[X ]),
TG = MG∪(∏
G′·It),
28
ð �¥y
∏G ′l tªp hñp t§t £ ¡ t½ h húu h¤n õa nhúng ph�n tû trong tªp hñp G ′ :=
{vTGv|G ∈ G,v ∈ (R[X ])t}.
Trong tr÷íng hñp G = ∅,∑t R[X ] := M∅ = T∅ l tªp hñp ¡ têng húu h¤n õa nhúng
ph�n tû â d¤ng ATA, trong �â A ∈ Mt(R[X ]), v nâ l mæ�un bª hai nhä nh§t trong
Mt(R[X ]).
Vîi mët mæ�un bª hai M trong R[X ], kþ hi»u
M t :=
{∑
i
miATi Ai|mi ∈ M,Ai ∈ Mt(R[X ])
}.
Khi �â, M tl mæ�un bª hai nhä nh§t trong Mt(R[X ]) â giao vîi R[X ] · It b¬ng M · It
([6, Proposition 3℄).
�ành ngh¾a 1.4.3 (Gohberg, Lan aster, Rodman, [16℄). Cho mët ma trªnA ∈ Mt(R[X ])
v mët tªp on K ⊆ Rn. Ma trªnA �÷ñ gåi l nûa x¡ �ành d÷ìng tr¶n K, kþ hi»u A < 0
tr¶n K, n¸u vîi måi x ∈ K, vîi måi v ∈ Rt, vTA(x)v ≥ 0.
A �÷ñ gåi l x¡ �ành d÷ìng tr¶n K, kþ hi»u A ≻ 0 tr¶n K, n¸u vîi måi x ∈ K, vîi måi
v ∈ Rt \ {0}, vTA(x)v > 0.
Vîi hai ma trªn A,B ∈ Mt(R[X ]), kþ hi»u A < B tr¶n K �÷ñ hiºu A−B < 0 tr¶n
K.
Vîi méi tªp on G ⊆ St(R[X ]), tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n �ành ngh¾a bði G
KG = {x ∈ Rn|G(x)< 0, ∀G ∈ G}.
Theo k¸t qu£ õa Cimpri� [6℄, tªp hñp KG â thº �÷ñ x¡ �ành bði ¡ �a thù trong
R[X ].
Bê �· 1.4.4 ([6, Proposition 5℄). Cho G ⊆ St(R[X ]). Khi �â, tçn t¤i mët tªp on G õa
R[X ] â ¡ t½nh h§t sau:
. KG = KG;
. (MG)t ⊆ MG;
. (TG)t ⊆ TG.
Hìn núa, n¸u G l mët tªp hñp húu h¤n th¼ tªp hñp G â thº hån húu h¤n.
29
Chóng ta �¢ bi¸t r¬ng måi ma trªn �èi xùng trong Mt(R) �·u â thº h²o hâa �÷ñ
bði mët ma trªn trü giao. Tuy nhi¶n �i·u n y khæng án �óng �èi vîi ¡ �a thù ma
trªn �èi xùng, bði v¼ ma trªn trü giao t÷ìng ùng khæng án thuë Mt(R[X ]). Tuy nhi¶n,
n«m 2009, S hm�udgen [48℄ �¢ h¿ ra r¬ng måi �a thù ma trªn �èi xùng �·u â thº " h²o
hâa �÷ñ " theo ¡ h sau �¥y.
Bê �· 1.4.5 ([48, Corollary 9℄). Cho A ∈ St(R[X ]). Khi �â, tçn t¤i ¡ �a thù kh¡
khæng b, dj ∈ R[X ], j = 1, · · · , r, r ≤ t, v ¡ ma trªn X+,X− ∈ Mt(R[X ]) sao ho
X+X− = X−X+ = bIt, b2A = X+DXT+, D = X−AX
T−,
trong �â, D = D(d1, · · · , dr) l ma trªn �÷íng h²o trong Mt(R[X ]).
Chó þ 1.4.6. Cho A,D nh÷ trong Bê �· 1.4.5 v mët tªp on K ⊆ Rn. N¸u A ≻ 0
(t÷ìng ùng A < 0) tr¶n K th¼ D ≻ 0 (t÷ìng ùng D < 0) tr¶n K.
Vîi ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù �÷ñ tr¼nh b y trong Mö 1.2.2, hóng ta
�ng â ¡ k¸t qu£ t÷ìng tü ho ¡ �a thù ma trªn t÷ìng ùng. Tr÷î h¸t l d¤ng ma
trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Artin �÷ñ tr¼nh b y bði S hm�udgen [48℄ nh÷ sau.
�ành lþ 1.4.7 ([48, Proposition 10℄). Cho A ∈ St(R[X ]). N¸u A(x) < 0 vîi måi x ∈ Rn,
th¼ tçn t¤i mët �a thù kh¡ khæng c ∈ R[X ] v ¡ ma trªn Ai ∈ Mt(R[X ]), i = 1, · · · , k,sao ho
c2A =k∑
i=1
ATi Ai,
tù l c2A ∈∑tR[X ].
Cho mët tªp on G = {G1, ...,Gm} ⊆ St(R[X ]). Khi �â theo Bê �· 1.4.4, tçn t¤i mët
tªp on G = {g1, ..., gk} ⊆ R[X ] sao ho KG = KG. �ành lþ d÷îi �¥y l d¤ng ma trªn õa
Krivine-Stengle [25, 54℄ �÷ñ �÷a ra bði L¶ Cæng Tr¼nh [29℄.
�ành lþ 1.4.8 ([29℄). Cho G ⊆ St(R[X ]), G ⊆ R[X ],KG, KG, TG v TG �÷ñ x¡ �ành nh÷
tr¶n. Cho �a thù ma trªn F ∈ St(R[X ]). Khi �â:
(i) F ≻ 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët �a thù ma trªn X− ∈ Mt(R[X ]) v ¡
ma trªn �÷íng h²o S v T â h» tû thuë TG sao ho
S(X−FXT−) = (X−FX
T−)S = It +T;
30
(ii) F < 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u â mët sè nguy¶n m ≥ 0, mët ma trªn X− ∈Mt(R[X ]) v ¡ ma trªn �÷íng h²o S v T â h» tû thuë TG sao ho
S(X−FXT−) = (X−FX
T−)S = D
2m +T;
(iii) F = 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u â mët sè nguy¶n m ≥ 0, mët ma trªn X− ∈Mt(R[X ]) sao ho
−(X−FXT−)
2m ∈ (TG)t.
Trong [29℄, t¡ gi£ �ng �÷a ra d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa
S hweighofer (�ành lþ 1.2.11)
�ành lþ 1.4.9 ([29, Theorem 3℄). Cho G = {G1, ...,Gm} ⊆ St(R[X ]) v F ∈ St(R[X ]).
Gi£ sû
(i) F ≻ 0 tr¶n KG;
(ii) F bà h°n tr¶n KG tù l â mët sè thü N ∈ R+ sao ho N.It ± F < 0 tr¶n KG;
(iii) Vîi måi v ∈ Rt \ {0}, R∞(vTFv,KG) l mët tªp on húu h¤n õa R+.
Khi �â, tçn t¤i mët on tªp húu h¤n G ⊆ R[X ] v
(1) mët ma trªn X− ∈ Mt(R[X ]) sao ho
X−FXT− ∈ (TG)
t ⊆ TG ;
(2) mët �a thù kh¡ khæng b ∈ R[X ] sao ho
b2F ∈ (TG)t ⊆ TG .
Cimpri� v Zalar [7℄ �ng �¢ �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ S hm�udgen (�ành
lþ 1.2.7) nh÷ sau.
�ành lþ 1.4.10 ([7, Theorem 6 (2)℄). Cho G ⊆ St(R[X ]). Gi£ sû KG l mët tªp ompa t.
Gi£ sû F ≻ 0 tr¶n KG. Khi �â F ∈ TG.
S herer-Hol [44℄ �¢ �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ Putinar (�ành lþ 1.2.10) v
�ành lþ Pâlya (�ành lþ 1.2.14) nh÷ sau.
31
�ành lþ 1.4.11 ([44℄). Cho G ⊆ St(R[X ]). Gi£ sû MG l a simet. Khi �â, n¸u F ≻ 0
tr¶n KG th¼ F ∈ MG.
�º tr¼nh b y �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya ho �a thù ma trªn hóng tæi �n
mët sè kþ hi»u sau �¥y. Vîi méi tªp �a h¿ sè α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn, kþ hi»u
α! := α1! · · ·αn!; Dα := ∂α1
1 · · ·∂αn
n .
Vîi méi �a thù ma trªn F ∈ Mt(R[X ]), ta â thº vi¸t
F(X) =∑
|α|≤d
DαF(0)
α!Xα.
S herer-Hol [44℄ �¢ �ành ngh¾a
L(F) := max|α|≤d
‖DαF(0)‖|α|! ,
trong �â ||.|| kþ hi»u hu©n ma trªn trong Mt(R).
�ìn h¼nh hu©n �÷ñ x¡ �ành
∆n = {(x1, ..., xn) ∈ Rn|xi ≥ 0,n∑
i=1
xi = 1}.
�ành lþ 1.4.12 ([44℄). Cho �a thù ma trªn F ∈ St(R[X ]). Gi£ sû F thu�n nh§t bª d
h®n v F < λIt tr¶n ∆n, vîi λ l mët sè thü d÷ìng. N¸u N >d(d− 1)L(F)
2λ− d th¼ måi
h» sè õa �a thù ma trªn (X1 + · · ·+Xn)NF �·u x¡ �ành d÷ìng.
D¤ng ma trªn ho ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Rezni k, Putinar v Vasiles u,
Di kinson v Povh, Handelman l ¡ k¸t qu£ mîi õa hóng tæi, s³ �÷ñ tr¼nh b y trong
Ch÷ìng 3 õa Luªn ¡n.
1.5 T½nh x¡ �ành d÷ìng õa ¡ �a thù ma trªn v
thu�n nh§t hâa õa hóng
Nh÷ hóng ta �¢ th§y ð Mö 1.2, ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya, Rezni k,
Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh �÷ñ ph¡t biºu ho ¡ �a thù thu�n nh§t, v nâi
hung khæng �óng ho ¡ �a thù b§t ký. �º ph¡t biºu ¡ �ành lþ tr¶n ho ¡ �a thù
32
b§t ký, hóng tæi �n mët sè li¶n h» sau v· T½nh d÷ìng õa mët �a thù vîi thu�n nh§t
hâa õa nâ.
Nh l¤i, vîi mët �a thù f ∈ R[X1, ..., Xn] â bª b¬ng d, �a thù thu�n nh§t hâa
õa nâ �÷ñ �ành ngh¾a bði
f̃(X0, X1, ..., Xn) := Xd0f
(X1
X0, ...,
Xn
X0
)∈ R[X0, X1, ..., Xn].
N¸u f vi¸t �÷ñ th nh f =d∑
i=0
fi, vîi fi l th nh ph�n thu�n nh§t bª i õa f , th¼
f̃(X0, X1, ..., Xn) = Xd0f0 +Xd−1
0 f1 + · · ·+ fd.
Hìn núa,
f̃(1, X1, ..., Xn) = f(X1, ..., Xn) v f̃(0, X1, ..., Xn) = fd(X1, · · · , Xn).
Cho mët �a thù f ∈ R[X1, ..., Xn] v gåi f̃ ∈ R[X0, X1, ..., Xn] l �a thù thu�n nh§t
hâa õa f . Chóng ta â mèi quan h» v· t½nh d÷ìng õa �a thù f v f̃ tr¶n ¡ tªp nûa
�¤i sè �âng ì b£n t÷ìng ùng nh÷ sau.
M»nh �· 1.5.1. Cho G = {g1, · · · , gm} ⊆ R[X ] v f ∈ R[X ]. Gåi f̃ , g̃1, · · · , g̃m ∈R[X0, X ] t÷ìng ùng l thu�n nh§t hâa õa ¡ �a thù f, g1, · · · , gm ∈ R[X ], vîi deg(f) =
2d, deg(gi) = 2di, ∀i = 1, · · · , m. Kþ hi»u d′ := max{di, i = 1, · · · , m}, G̃ := {g̃1, · · · , g̃m},v
(KG)2d′ = {x ∈ Rn|(gi)2d′ ≥ 0, ∀i = 1, · · · , m}.
Khi �â, f̃ > 0 tr¶n KG̃ \ {0} n¸u v h¿ n¸u f > 0 tr¶n KG v f2d > 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0}.
Chó þ r¬ng, n¸u d′ > di th¼ (gi)2d′ = 0.
Chùng minh. Gi£ sû f̃ > 0 tr¶n KG̃ \{0}. Khi �â, vîi méi x ∈ KG, ta â (1, x) ∈ KG̃ \{0}.Tø �â suy ra f(x) = f̃(1, x) > 0, hay f > 0 tr¶n KG. Hìn núa, vîi méi x ∈ (KG)2d′ \ {0}ta â (0, x) ∈ KG̃ \ {0}. V¼ th¸ f2d(x) = f̃(0, x) > 0, hay f2d > 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0}.
Ng÷ñ l¤i, gi£ sû f > 0 tr¶nKG v f2d > 0 tr¶n (KG)2d′\{0}. Vîi méi (x0, x) ∈ KG̃\{0},ta â g̃i(x0, x) ≥ 0 vîi måi i = 1, · · · , m. N¸u x0 = 0, v¼ (x0, x) 6= (0, 0) n¶n x 6= 0. Khi
�â, vîi måi i = 1, · · · , m,
(gi)2d′(x) = g̃i(0, x) ≥ 0, tù l , x ∈ (KG)2d′ \ {0}.
33
�i·u n y h¿ ra f̃(0, x) = f2d(x) > 0. N¸u x0 6= 0, theo �ành ngh¾a ta â g̃i(x0, x) =
x2di0 gi
(xx0
)≥ 0. Do x0 6= 0 n¶n gi
(xx0
)≥ 0, 1 ≤ i ≤ m. �i·u n y d¨n �¸n
x
x0∈ KG. Theo
gi£ thi¸t ta â f(
xx0
)> 0. Suy ra
f̃(x0, x) = x2d0 f
(x
x0
)> 0,
hay f̃ > 0 tr¶n KG̃ \ {0}. M»nh �· �÷ñ hùng minh.
B¬ng lªp luªn t÷ìng tü hóng ta �ng nhªn �÷ñ mët k¸t qu£ t÷ìng tü v· li¶n h» giúa
t½nh d÷ìng õa mët �a thù vîi thu�n nh§t hâa õa nâ tr¶n giao õa mët tªp nûa �¤i sè
�âng ì b£n trong Rnvîi mi·n d÷ìng
Rn+ = {x = (x1, .., xn) ∈ Rn|xi ≥ 0, i = 1, ..., n}.
M»nh �· 1.5.2. Vîi ¡ kþ hi»u nh÷ trong M»nh �· 1.5.1, f̃ > 0 tr¶n Rn+1+ ∩KG̃ \ {0}
n¸u v h¿ n¸u f > 0 tr¶n Rn+ ∩KG v f2d > 0 tr¶n Rn
+ ∩ (KG)2d′ \ {0}.
C¡ k¸t qu£ tr¶n ho hóng ta ¡ ph¡t biºu khæng thu�n nh§t ho ¡ �ành lþ õa
Pâlya v Rezni k. D¤ng khæng thu�n nh§t õa Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh �÷ñ
tr¼nh b y trong Ch÷ìng 3 õa Luªn ¡n.
H» qu£ 1.5.3 (�ành lþ Pâlya, d¤ng khæng thu�n nh§t). Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù
bª d h®n. Gi£ sû f > 0 tr¶n Rn+ v fd > 0 tr¶n Rn
+ \ {0}. Khi �â, tçn t¤i sè tü nhi¶n N
sao ho t§t £ ¡ h» sè kh¡ khæng õa �a thù (1 +X1 + · · ·+Xn)Nf �·u d÷ìng.
H» qu£ 1.5.4 (�ành lþ Rezni k, d¤ng khæng thu�n nh§t). Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù
bª d h®n. N¸u f > 0 tr¶n Rnv fd > 0 tr¶n Rn \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng
¥m r sao ho
(1 +X21 + · · ·+X2
n)rf ∈∑R[X ]2.
Vîi méi �a thù ma trªn G ∈ Mt(R[X ]) bª d, gi£ sû
G(X) =d∑
|α|=0
GαXα,
trong �â, Gα ∈ Mt(R), Xα = Xα1
1 · · ·Xαnn , |α| = α1 + · · ·+ αn, ta �ành ngh¾a thu�n nh§t
hâa õa G bði
G̃(X0, X) := Xd0G
(X1
X0
, ...,Xn
X0
)=
d∑
|α|=0
GαXd−|α|0 Xα.
34
T÷ìng tü �èi vîi �a thù , ta �ng â
G̃(1, X) = G(X), G̃(0, X) = Gd(X),
trong �â Gd(X) =∑
|α|=d
GαXαkþ hi»u ho th nh ph�n thu�n nh§t bª ao nh§t õa G̃.
B¥y gií hóng tæi giîi thi»u ¡ k¸t qu£ t÷ìng tü ho �a thù ma trªn. Cho
G = {G1, · · · ,Gm} ⊆ St(R[X ]) v F ∈ St(R[X ]).
Gi£ sû deg(F) = 2d, deg(Gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u d′ := max{di|i = 1, · · · , m},
KG :={x ∈ Rn|Gi(x) < 0, ∀i = 1, · · · , m},(KG)2d′ :={x ∈ Rn|(Gi)2d′(x) < 0, ∀i = 1, · · · , m}.
Gåi F̃, G̃1, · · · , G̃m ∈ St(R[X0, X ]) t÷ìng ùng l thu�n nh§t hâa õa ¡ �a thù ma trªn
F,G1, · · · ,Gm. Kþ hi»u G̃ := {G̃1, · · · , G̃m}, v
KG̃ := {(x0, x) ∈ Rn+1|G̃i(x0, x) < 0, ∀i = 1, · · · , m}.
M»nh �· 1.5.5. F̃ ≻ 0 tr¶n KG̃ \ {0} n¸u v h¿ n¸u F ≻ 0 tr¶n KG v F2d ≻ 0 tr¶n
(KG)2d′ \ {0}.
Chùng minh. Gi£ sû F̃ ≻ 0 tr¶n KG̃ \{0}. Khi �â, vîi méi x ∈ KG , ta â (1, x) ∈ KG̃ \{0}.Tø �â suy ra F(x) = F̃(1, x) ≻ 0, hay F ≻ 0 tr¶n KG . Hìn núa, vîi méi x ∈ (KG)2d′ \ {0}ta â (0, x) ∈ KG̃ \ {0}. V¼ th¸ F2d(x) = F̃(0, x) ≻ 0, hay F2d ≻ 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0}.
Ng÷ñ l¤i, gi£ sû F ≻ 0 tr¶nKG v F2d ≻ 0 tr¶n (KG)2d′\{0}. Vîi méi (x0, x) ∈ KG̃\{0},ta â G̃i(x0, x) < 0 vîi måi i = 1, · · · , m. N¸u x0 = 0, v¼ (x0, x) 6= (0, 0) n¶n x 6= 0. Khi
�â, vîi måi i = 1, · · · , m,
(Gi)2d′(x) = G̃i(0, x) < 0, tù l x ∈ (KG)2d′ \ {0}.
�i·u n y h¿ ra F̃(0, x) = F2d(x) ≻ 0.
N¸u x0 6= 0, theo �ành ngh¾a ta â G̃i(x0, x) = x2di0 Gi
(xx0
)< 0. Do x0 6= 0 n¶n
Gi
(xx0
)< 0, 1 ≤ i ≤ m. �i·u n y d¨n �¸n
x
x0∈ KG .
Theo gi£ thi¸t ta â F
(xx0
)≻ 0. Suy ra
F̃(x0, x) = x2d0 F
(x
x0
)≻ 0,
hay F̃ ≻ 0 tr¶n KG̃ \ {0}. M»nh �· �÷ñ hùng minh.
35
B¬ng mët lªp luªn t÷ìng tü ta nhªn �÷ñ k¸t qu£ sau.
M»nh �· 1.5.6. F̃ ≻ 0 tr¶n Rn+1+ ∩ KG̃ \ {0} n¸u v h¿ n¸u F ≻ 0 tr¶n Rn
+ ∩ KG v
F2d ≻ 0 tr¶n Rn+ ∩ (KG)2d′ \ {0}.
1.6 Chu©n ma trªn
C¡ �ành ngh¾a v k¸t qu£ trong ph�n n y �÷ñ tr½ h d¨n tø [2℄.
�ành ngh¾a 1.6.1. H m sè ||.|| : Mt×s(C) → R �÷ñ gåi l mët hu©n ma trªn tr¶n
Mt×s(C) n¸u vîi måi A,B ∈ Mt×s(C), vîi måi α ∈ C, ¡ �i·u ki»n sau thäa m¢n:
(a) ||A|| ≥ 0, ||A|| = 0 n¸u v h¿ n¸u A = 0;
(b) ||αA|| = |α|||A||;
( ) ||A+B|| ≤ ||A||+ ||B||.
�ành ngh¾a 1.6.2. Cho p l mët sè tü nhi¶n kh¡ 0. Vîi méi v² tì v = (v1, ..., vt) ∈ Ct,
kþ hi»u
||v||p :=(
t∑
i=1
|vi|p)1/p
.
Vîi A ∈ Mt(C), ta �ành ngh¾a
||A||p := max||x||p 6=0
||Ax||p||x||p
.
Tø �ành ngh¾a tr¶n ta â thº vi¸t l¤i
||A||p := max||x||p 6=0
||Ax||p||x||p
= max||x||p 6=0
∥∥∥∥Ax
||x||
∥∥∥∥p
= max||y||p=1
||Ay||p, vîi y ∈ Ct.
�ành lþ 1.6.3. Cho A = (a)ij ∈ Mt(C). Khi �â
(i) Vîi p = 1,
||A||1 = max||x||1
||Ax||1 := max1≤j≤t
t∑
k=1
|akj|.
36
(ii) Vîi p = 2,
||A||2 = max||x||2
||Ax||2 :=(
t∑
i=1
t∑
j=1
|aij |2)1/2
.
Chu©n 2 õa ma trªn A án �÷ñ gåi l hu©n phê, hay hu©n Frobenius õa A.
(iii) Vîi p = ∞,
||A||∞ = max||x||∞
||Ax||∞ := max1≤k≤t
t∑
j=1
|akj|.
M»nh �· 1.6.4. Cho A,B ∈ Mt(C) v x ∈ Ct. Khi �â
(i) ||Ax|| ≤ ||A||.||x||,
(ii) ||AB|| ≤ ||A||.||B||.
H» qu£ 1.6.5. Gi£ sû A ∈ Mt(C) l mët ma trªn kh£ nghà h. Khi �â
||A−1||−1 ≤ ||A||.
Chùng minh. Gåi I l ma trªn �ìn và õa Mt(C). Ta â
||x|| = ||Ix|| = ||A−1(Ax)||≤ ||A−1||.||Ax|| (theo M»nh �· 1.6.4 (i))
≤ ||A−1||.||A||.||x||
vîi måi x ∈ Ct \ {0}. Suy ra
1 ≤ ||A−1||.||A||
hay
||A−1||−1 ≤ ||A||.
37
Ch֓ng 2
Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa �a thù
ma trªn
Trong h÷ìng n y hóng tæi nghi¶n ùu sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma
trªn mët bi¸n phù . C¡ h°n �÷ñ �÷a ra ð �¥y �÷ñ thi¸t lªp düa v o hu©n õa ¡
ma trªn h» sè õa �a thù ma trªn �¢ ho. Trong Mö 2.1, hóng tæi �÷a ra d¤ng ma trªn
ho �ành lþ Enestr�om-Kakeya. Mët sè �ành lþ d¤ng Cau hy ho �a thù ma trªn �÷ñ
tr¼nh b y trong Mö 2.2. Trong Mö 2.3 hóng tæi thü hi»n t½nh to¡n tr¶n mët sè v½ dö
ö thº nh¬m so s¡nh ¡ h°n �¢ �¤t �÷ñ trong h÷ìng n y vîi ¡ h°n �÷ñ �÷a ra
bði Higham v Tisseur [22℄. C¡ k¸t qu£ h½nh trong h÷ìng n y �÷ñ hóng tæi æng bè
trong ti·n §n ph©m [13℄.
Trong to n bë h÷ìng n y hóng tæi x²t ¡ �a thù ma trªn d¤ng
P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · ·+ A1z + A0,
vîi Ai ∈ Mt(C), ∀i = 0, · · · , d.�ành ngh¾a 2.0.1 ([26℄). Gi£ sû P (z) l mët �a thù ma trªn. N¸u â v² tì kh¡ khæng
x ∈ Ctv væ h÷îng λ ∈ C sao ho P (λ)x = 0, th¼ λ �÷ñ gåi l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z)
án x �÷ñ gåi l mët v² tì ri¶ng õa P (z) ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ.
Nh÷ vªy, méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l mët nghi»m õa �a thù �° tr÷ng det(P (z)).
Tªp hñp ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v �÷ñ gåi l phê õa �a
thù ma trªn P (z).
Chó þ th¶m r¬ng trong tr÷íng hñp P (z) = zIt − A, �a thù �° tr÷ng õa ma trªn
A ∈ Mt(C), th¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn P (z) l mët gi¡ trà ri¶ng õa ma
38
trªn A. Do �â â thº nâi gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn l mët kh¡i ni»m mð rëng õa
gi¡ trà ri¶ng õa mët ma trªn.
2.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Enestr�om-Kakeya
Trong ph�n n y hóng tæi �÷a ra mët sè h°n tr¶n v h°n d÷îi ho ¡ gi¡ trà ri¶ng
õa mët sè ¡ �a thù ma trªn �° bi»t. K¸t qu£ ��u ti¶n nghi¶n ùu h°n tr¶n ho gi¡
trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn m hu©n õa ¡ h» sè â t½nh trëi.
�ành lþ 2.1.1. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · · + A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
vîi ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n t½nh h§t:
‖Ad‖ > ‖Ai‖, i = 0, ..., d− 1.
Khi �â, ¡ gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) n¬m trong �¾a mð
|λ| < 1 + ‖Ad‖‖A−1d ‖.
Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.4.
Chùng minh. Cho λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Cnl mët v² tì ri¶ng �ìn
và t÷ìng ùng vîi λ. Rã r ng, n¸u |λ| ≤ 1 th¼ hóng ta nhªn �÷ñ k¸t qu£ �n hùng minh.
Gi£ sû |λ| > 1. Khi �â, ta â
‖P (λ)x‖ ≥ |λ|d[‖Adx‖ − ‖
d−1∑
i=0
Aix
λd−i‖]
≥ |λ|d[‖A−1
d ‖−1 −d−1∑
i=0
‖Ai‖|λ|d−i
]
≥ |λ|d[‖A−1
d ‖−1 −d−1∑
i=0
‖Ad‖|λ|d−i
]
= |λ|d‖A−1d ‖−1
[1− ‖Ad‖‖A−1
d ‖d∑
i=1
1
|λ|i
].
39
Do �â,
‖P (λ)x‖ > |λ|d‖A−1d ‖−1
[1− ‖Ad‖‖A−1
d ‖∞∑
i=1
1
|λ|i
]
= |λ|d‖A−1d ‖−1
[1− ‖Ad‖‖A−1
d ‖|λ| − 1
]
=|λ|d‖A−1
d ‖−1
|λ| − 1
(|λ| − 1− ‖Ad‖‖A−1
d ‖).
Suy ra, n¸u |λ| ≥ 1 + ‖Ad‖‖A−1d ‖ th¼ ‖P (λ)x‖ > 0, m¥u thu¨n vîi P (λ)x = 0. Do �â,
|λ| < 1 + ‖Ad‖‖A−1d ‖.
D¤ng ma trªn thù nh§t õa �ành lþ Enestr�om-Kakeya �÷ñ �÷a ra trong k¸t qu£ sau.
�ành lþ 2.1.2. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · · + A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
vîi ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n
Ad < Ad−1 < · · · < A0 < 0; Ad ≻ 0.
Khi �â, méi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n
λmin(A0)
2λmax(Ad)≤ |λ| ≤ 1,
trong �â, λmin(A0) l gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t õa A0 v λmax(Ad) l gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t
õa Ad.
Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng ta th§y r¬ng vîi méi ma trªn A ∈ Mt(C), gi¡ trà ri¶ng
nhä nh§t λmin(A)v gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t λmax(A) õa nâ n¬m trong tªp hñp
{x∗Ax|x ∈ Ct, ‖x‖ = 1}.
Do �â, vîi méi v² tì �ìn và x ∈ Ct, ta luæn â
λmin(A) ≤ x∗Ax ≤ λmax(A). (2.1)
Cho λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v u ∈ Ct, ‖u‖ = 1 l mët v² tì ri¶ng t÷ìng ùng
vîi λ. X²t �a thù
Pu(z) = u∗P (z)u =
d∑
i=0
(u∗Aiu)zi.
40
D¹ th§y λ l mët nghi»m õa Pu(z). Hìn núa, theo gi£ thi¸t v· �i·u ki»n õa ¡ ma trªn
h» sè ta suy ra
u∗Adu ≥ u∗Ad−1u ≥ · · · ≥ u∗A0u ≥ 0, u∗Adu > 0.
�i·u n y h¿ ra �a thù Pu(z) thäa m¢n ¡ �i·u ki»n trong �ành lþ 1.1.1. �p döng �ành
lþ 1.1.1 ho Pu(z), hóng ta nhªn �÷ñ
u∗A0u
2u∗Adu≤ |λ| ≤ 1. (2.2)
Khi �â, h°n d÷îi õa |λ| �÷ñ suy ra tø (2.3) v (2.2).
�p döng �ành lþ 2.1.2 ho �a thù ma trªn Q(z) = zdP (1z), hóng ta nhªn �÷ñ k¸t
qu£ �èi ng¨u vîi �ành lþ 2.1.2.
�ành lþ 2.1.3. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · · + A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
vîi ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n
A0 < A1 < · · · < Ad ≻ 0.
Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n |λ| ≥ 1.
Mët d¤ng ma trªn kh¡ õa �ành lþ Enestr�om-Kakeya �÷ñ �÷a ra sau �¥y.
�ành lþ 2.1.4. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · · + A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
â ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) l x¡ �ành d÷ìng. N¸u λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa
P (z), th¼
mini=0,...,d−1
{λmin(Ai)
λmax(Ai+1)
}≤ |λ| ≤ max
i=0,...,d−1
{λmax(Ai)
λmin(Ai+1)
}.
Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ �ành lþ 1.1.2.
Chùng minh. Chóng ta th§y r¬ng vîi méi ma trªn A ∈ Mt(C), gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t
λmin(A) v gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t λmax(A) õa nâ n¬m trong tªp hñp
{x∗Ax|x ∈ Ct, ‖x‖ = 1}.
Do �â, vîi méi v² tì �ìn và x ∈ Ct, ta luæn â
λmin(A) ≤ x∗Ax ≤ λmax(A). (2.3)
41
Cho λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v u ∈ Ct, ‖u‖ = 1 l mët v² tì ri¶ng t÷ìng ùng
vîi λ. X²t �a thù
Pu(z) = u∗P (z)u =
d∑
i=0
(u∗Aiu)zi.
D¹ th§y λ l mët nghi»m õa Pu(z). Hìn núa, theo gi£ thi¸t Ai, i = 0, ..., d, l ¡ ma trªn
x¡ �ành d÷ìng n¶n ¡ h» sè õa �a thù Pu(z) thäa m¢n �i·u ki»n �ành lþ 1.1.2. �p
döng �ành lþ 1.1.2 ho Pu(z), hóng ta nhªn �÷ñ
α ≤ |λ| ≤ β, (2.4)
trong �â,
α := min0≤i≤d−1
{u∗Aiu
u∗Ai+1u
}, β := max
0≤i≤d−1
{u∗Aiu
u∗Ai+1u
}.
K¸t hñp (2.3) v (2.4) hóng ta nhªn �÷ñ �i·u �n hùng minh.
Chóng ta minh håa ho �ành lþ 2.1.2 bði v½ dö sau.
V½ dö 2.1.1. Cho �a thù ma trªn P (z) = A2z2 + A1z + A0, trong �â,
A0 =
[2 −i
i 1
], A1 =
[3 2− i
2 + i 6
], A2 =
[7 6− 4i
6 + 4i 13
].
Sû döng ph�n m·m MATLAB 7.11.0 (R2010b) ta t½nh �÷ñ r =λmin(A0)
2λmax(A2)
= 0.0107. D¹
d ng kiºm tra �÷ñ r¬ng A2 < A1 < A0 ≻ 0. Hìn núa, ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l
λ1 = −0.3487 + 0.6443i, λ2 = −0.3487− 0.6443i, λ3 = −0.1053, λ4 = −0.4537.
Tø �â suy ra 0.0107 ≤ |λi| ≤ 1, vîi måi i = 1, 2, 3, 4.
Ng÷ñ l¤i, khi x²t �a thù ma trªn Q(z) = A0z2 + A1z + A2 . Ta â ¡ gi¡ trà ri¶ng
õa Q(z) l
λ1 = −0.6497 + 1.2004i, λ2 = −0.6497− 1.2004i, λ3 = −9.4962, λ4 = −2.2043.
D¹ th§y |λi| ≥ 1, ∀ i = 1, 2, 3, 4. Chóng ta â k¸t qu£ ho �ành lþ 2.1.3.
V½ dö sau minh håa ho �ành lþ 2.1.4.
42
V½ dö 2.1.2. Cho �a thù ma trªn P (z) = A2z2 + A1z + A0, trong �â,
A0 =
[5 3− 2i
3 + 2i 3
], A1 =
[4 2− i
2 + i 6
], A2 =
[10 4 + 3i
4− 3i 9
].
Ta â Ai < 0, i = 1, 2, 3. C¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l
λ1 = −0.4419 + 0.8008i, λ2 = −0.4419− 0.8008i, λ3 = −0.3267, λ4 = −0.1126.
M°t kh¡ , min
{λminA0
λmaxA1,λminA1
λmaxA2
}= 0.0446, max
{λmaxA0
λminA1,λmaxA1
λminA2
}= 6.4049.
Ta â 0.0446 < |λi| < 6.4049, ∀i = 1, 2, 3.
2.2 C¡ �ành lþ d¤ng Cau hy ho �a thù ma trªn
Trong ph�n n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè d¤ng ma trªn ho ¡ �ành lþ d¤ng Cau hy
�÷ñ tr¼nh b y ð Mö 1.1. Nh l¤i r¬ng, ¡ �ành lþ d¤ng Cau hy l ¡ �ành lþ t¼m h°n
ho nghi»m õa �a thù düa v o h» sè õa �a thù �â. Mët d¤ng ma trªn õa �ành lþ
Cau hy (�ành lþ 1.1.5) �¢ �÷ñ �÷a ra trong b i b¡o [22℄ nh÷ sau.
�ành lþ 2.2.1 ([22, Lemma 3.1℄). Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · ·+A1z + A0 l mët
�a thù ma trªn vîi ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Cho r, R t÷ìng ùng l nghi»m d÷ìng
õa �a thù
h(z) = ‖Ad‖ zd + ‖Ad−1‖ zd−1 + · · ·+ ‖A1‖ z −∥∥A−1
0
∥∥−1
v
g(z) =∥∥A−1
d
∥∥−1zd − ‖Ad−1‖ zd−1 − · · · − ‖A0‖ .
Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n
r ≤ |λ| ≤ R.
Mët d¤ng ma trªn õa �ành lþ Cau hy (�ành lþ 1.1.3) �÷ñ �÷a ra nh÷ sau.
�ành lþ 2.2.2. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · · + A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
vîi ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u
M := ‖A−1d ‖ max
i=0,...,d−1‖Ai‖.
Khi �â, t§t £ ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) n¬m trong �¾a mð
Ko(0, 1 +M) = {z ∈ C| |z| < 1 +M}.
43
Chùng minh. Gi£ sû λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Cnl mët v² tì ri¶ng
�ìn và ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ.
K¸t luªn hiºn nhi¶n �óng n¸u |λ| ≤ 1. Gi£ sû |λ| > 1. Ta â,
‖P (λ)x‖ ≥ |λ|d[‖Adx‖ − ‖
d−1∑
i=0
Aix
λd−i‖]
≥ |λ|d‖A−1d ‖−1
[1− ‖A−1
d ‖d−1∑
i=0
‖Ai‖|λ|d−i
]
≥ |λ|d‖A−1d ‖−1
[1−M
d∑
i=1
1
|λ|i
]
> |λ|d‖A−1d ‖−1
[1−M
∞∑
i=1
1
|λ|i
]
= |λ|d‖A−1d ‖−1
[1− M
|λ| − 1
]
=|λ|d‖A−1
d ‖−1
|λ| − 1(|λ| − 1−M) .
Khi �â, n¸u |λ| ≥ 1 +M th¼ ‖P (λ)x‖ > 0, m¥u thu¨n. Do �â, |λ| < 1 +M .
B¬ng ¡ h ¡p döng �ành lþ 2.2.2 ho �a thù ma trªn Q(z) = (1 − z)P (z) ta nhªn
�÷ñ h°n tr¶n sau �¥y.
H» qu£ 2.2.3. Cho P (z) = Adzd +Ad−1z
d−1+ · · ·+A1z+A0 l mët �a thù ma trªn vîi
ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u
M̃ := ‖A−1d ‖ max
i=0,...,d‖Ad−i − Ad−i−1‖, A−1 := 0.
Khi �â, t§t £ ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �÷ñ hùa trong �¾a mð Ko(0, 1 + M̃).
Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.8.
Chùng minh. X²t �a thù
Q(z) = (1− z)P (z) = −Adzd+1 +
d∑
i=0
(Ad−i −Ad−i−1)zd−i.
V¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �ng l mët gi¡ trà ri¶ng õa Q(z), n¶n ¡p döng �ành lþ
2.2.2 ho Q(z) hóng ta nhªn �÷ñ �i·u �n hùng minh.
44
Mët d¤ng ma trªn õa �ành lþ 1.1.6 �÷ñ �÷a ra nh÷ sau
�ành lþ 2.2.4. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · · + A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
vîi ma trªn Ad kh£ nghà h. Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �÷ñ hùa trong �¾a �âng
K(0, r1) = {z ∈ C| |z| ≤ r1},
trong �â, M �÷ñ x¡ �ành nh÷ trong �ành lþ 2.2.2, v r1 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa
ph÷ìng tr¼nh
zd+1 − (1 +M)zd +M = 0.
Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ �ành lþ 1.1.6.
Chùng minh. Gi£ sû λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Ctl mët v² tì ri¶ng �ìn
và t÷ìng ùng vîi λ.
K¸t luªn l hiºn nhi¶n ho tr÷íng hñp |λ| ≤ 1. Gi£ sû |λ| > 1. Khi �â,
‖P (λ)x‖ ≥[‖Adx‖|λ|d − ‖
d−1∑
i=0
Aixλi‖]
(2.5)
≥ ‖A−1d ‖−1
[|λ|d −
d−1∑
i=0
‖Ai‖‖A−1d ‖λi
](2.6)
≥ ‖A−1d ‖−1
[|λ|d −M
d−1∑
i=0
λi
](2.7)
= ‖A−1d ‖−1
[|λ|d −M
|λ|d − 1
|λ| − 1
]
=‖A−1
d ‖−1
|λ| − 1
(|λ|d+1 − (1 +M)|λ|d +M
).
B§t �¯ng thù (2.6) suy ra tø b§t �¯ng thù ‖Ad‖ ≥ ‖A−1d ‖−1
; b§t �¯ng thù (2.7) suy ra
tø �ành ngh¾a õa M .
M°t kh¡ , theo quy t d§u õa Des artes, �a thù f(z) = zd+1 − (1 +M)zd +M â
hai l�n �êi d§u n¶n nâ â �óng hai nghi»m thü d÷ìng l 1 v δ 6= 1. Hìn núa, f(0) > 0.
�i·u n y suy ra
|f(z)| > 0 vîi måi z > max{δ, 1}.
Do �â, ‖P (λ)x‖ > 0 n¸u |λ| > r1, vîi r1 = max{δ, 1}. �i·u n y m¥u thu¨n vîi P (λ)x = 0.
�ành lþ �÷ñ hùng minh.
45
�p döng �ành lþ 2.2.4 ho �a thù ma trªn (1− z)P (z) hóng ta nhªn �÷ñ mët h°n
mîi ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z).
H» qu£ 2.2.5. Cho P (z) = Adzd +Ad−1z
d−1+ · · ·+A1z+A0 l mët �a thù ma trªn vîi
ma trªn Ad kh£ nghà h. Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) n¬m trong �¾a �âng
K(0, r2) = {z ∈ C| |z| ≤ r2},
trong �â, M̃ �÷ñ x¡ �ành nh÷ trong H» qu£ 2.2.3, v r2 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa
ph÷ìng tr¼nh
zd+2 − (1 + M̃)zd+1 + M̃ = 0.
Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.7.
Chùng minh. X²t �a thù ma trªn
Q(z) = (1− z)P (z) = −Adzd+1 +
d∑
i=0
(Ad−i −Ad−i−1)zd−i.
Do méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �ng l gi¡ trà ri¶ng õa Q(z) n¶n ¡p döng �ành lþ 2.2.4
ho �a thù Q(z) ta â �i·u ph£i hùng minh.
Ti¸p theo hóng tæi tr¼nh b y mët d¤ng ma trªn õa �ành lþ Joyal, Labelle v Rahman
(�ành lþ 1.1.9). Tr÷î h¸t, hóng tæi x²t ¡ �a thù moni . Ti¸p �â, hóng tæi x²t �a
thù ma trªn b§t ký. Rçi tø �â, ù méi h°n tr¶n ho gi¡ trà ri¶ng õa �a thù P (z) bª
d hóng tæi s³ h¿ ra mët h°n d÷îi õa nâ b¬ng ¡ h x²t �a thù Q(z) = zdP(1z
).
Bê �· 2.2.1. Cho P (z) = It · zd +Ad−1zd−1 + · · ·+A1z +A0 l mët �a thù ma trªn. Kþ
hi»u
α := maxi=0,...,d−2
‖Ai‖ .
Khi �â, vîi méi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
|λ| ≤ 1
2
{1 + ‖Ad−1‖+
[(1− ‖Ad−1‖)2 + 4α
] 1
2
}.
Chùng minh. Gi£ sû λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Cnl mët v² tì ri¶ng
�ìn và t÷ìng ùng vîi λ. Gi£ sû ng÷ñ l¤i,
|λ| > 1
2
{1 + ‖Ad−1‖+
[(1− ‖Ad−1‖)2 + 4α
] 1
2
}.
46
Tø �â k²o theo
(|λ| − 1) (|λ| − ‖Ad−1‖)− α > 0. (2.8)
Nh¥n £ hai v¸ õa (2.8) vîi
|λ|d−1
|λ| − 1, ta â
|λ|d − ‖Ad−1‖ λd−1 − α|λ|d−1
|λ| − 1> 0.
Tuy nhi¶n,
α|λ|d−1
|λ| − 1> α
|λ|d−1 − 1
|λ| − 1= α(1 + |λ|+ · · ·+ |λ|d−2)
≥ ‖(A0 + A1λ+ · · ·+ Ad−2λd−2)x‖.
M°t kh¡ ,
|λ|d − ‖Ad−1‖λd−1 ≤ ‖(It · λd + Ad−1λd−1)x‖.
Suy ra,
0 < |λ|d − ‖Ad−1‖ λd−1 − α|λ|d−1
|λ| − 1
< ‖(It · λd + Ad−1λd−1)x‖ − ‖(A0 + A1λ+ · · ·+ Ad−2λ
d−2)x‖≤ ‖(A0 + A1λ+ · · ·+ Ad−2λ
d−2)x+ (Ad−1λd−1 + It · λd)x‖ = ‖P (λ)x‖.
�i·u n y m¨u thu¨n vîi gi£ thi¸t λ l gi¡ trà ri¶ng õa P (z) t÷ìng ùng vîi v² tì ri¶ng x.
Do �â
λ ≤ 1
2
{1 + ‖Ad−1‖+
[(1− ‖Ad−1‖)2 + 4α
] 1
2
}.
B¬ng ¡ h x²t �a thù ma trªn moni t÷ìng ùng, ¡p döng Bê �· 2.2.1, ta nhªn �÷ñ
d¤ng ma trªn õa �ành lþ Joyal, Labelle v Rahman sau �¥y.
�ành lþ 2.2.6. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · · + A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
vîi ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u
α′ := maxi=0,...,d−2
∥∥AiA−1d
∥∥ .
Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
|λ| ≤ 1
2
{1 +
∥∥Ad−1A−1d
∥∥+[(1−
∥∥Ad−1A−1d
∥∥)2 + 4α′] 1
2
}.
47
Khi t = 1 hóng ta nhªn �÷ñ �ành lþ 1.1.9.
�p döng �ành lþ 2.2.6 ho �a thù ma trªn Q(z) = zdP (1z), hóng ta nhªn �÷ñ mët
h°n d÷îi ho ¡ gi¡ trà ri¶ng nh÷ sau.
H» qu£ 2.2.7. Cho P (z) = Adzd +Ad−1z
d−1+ · · ·+A1z+A0 l mët �a thù ma trªn vîi
ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u
β := maxi=2,...,d
∥∥AiA−10
∥∥ .
Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
|λ| ≥ 2
1 +∥∥A1A
−10
∥∥+[(1−
∥∥A1A−10
∥∥)2 + 4β] 1
2
.
Khi t = 1 hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.10.
�p döng �ành lþ 2.2.6 ho �a thù ma trªn (1− z)P (z) ta nhªn �÷ñ k¸t qu£ sau.
�ành lþ 2.2.8. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · · + A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
vîi ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u
γ := maxi=1,...,d
∥∥(Ad−i −Ad−i−1)A−1d
∥∥ , A−1 := 0.
Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
|λ| ≤ 1
2
{1 +
∥∥(Ad − Ad−1)A−1d
∥∥+[(1−
∥∥(Ad − Ad−1)A−1d
∥∥)2 + 4γ] 1
2
}.
Khi t = 1 hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.11.
�p döng �ành lþ 2.2.8 ho �a thù ma trªn Q(z) = zdP (1z) ta nhªn �÷ñ h°n d÷îi
sau ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn.
H» qu£ 2.2.9. Cho P (z) = Adzd +Ad−1z
d−1+ · · ·+A1z+A0 l mët �a thù ma trªn vîi
ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u
γ′ := maxi=1,...,d
∥∥(Ai − Ai+1)A−10
∥∥ , Ad+1 := 0.
Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n
|λ| ≥ 2
1 +∥∥(A0 −A1)A
−10
∥∥+[(1−
∥∥(A0 −A1)A−10
∥∥)2 + 4γ′] 1
2
.
48
Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.12.
�p döng Bê �· 2.2.1 ho �a thù ma trªn (It · z − Ad−1)P (z) ta nhªn �÷ñ .
Bê �· 2.2.2. Cho P (z) = It · zd +Ad−1zd−1 + · · ·+A1z +A0 l mët �a thù ma trªn. Kþ
hi»u
δ := maxi=0,...,d−1
‖Ad−1Ai − Ai−1‖ , A−1 := 0.
Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n
|λ| ≤ 1
2(1 +
√1 + 4δ).
Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.13.
B¬ng ¡ h x²t �a thù ma trªn moni t÷ìng ùng, ¡p döng Bê �· 2.2.2 ta nhªn �÷ñ
h°n tr¶n ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn b§t ký.
�ành lþ 2.2.10. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
â ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u
δ′ := maxi=0,...,d−1
∥∥((Ad−1A−1d )Ai −Ai−1
)A−1
d
∥∥ , A−1 := 0.
Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n
|λ| ≤ 1
2(1 +
√1 + 4δ′).
Khi t = 1 hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.14.
T÷ìng tü tr¶n ta nhªn �÷ñ h°n d÷îi sau �¥y.
H» qu£ 2.2.11. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
â ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u
δ” := maxi=1,...,d
∥∥((A1A−10 )Ai −Ai+1
)A−1
0
∥∥ , Ad+1 := 0.
Khi �â vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
|λ| ≥ 2
1 +√1 + 4δ”
.
Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.15.
�p döng Bê �· 2.2.1 ho �a thù ma trªn (It · z + It − Ad−1)P (z) ta nhªn �÷ñ h°n
tr¶n sau �¥y.
49
Bê �· 2.2.3. Cho P (z) = It · zd +Ad−1zd−1 + · · ·+A1z +A0 l mët �a thù ma trªn. Kþ
hi»u
ǫ := maxi=0,...,d−1
‖(It −Ad−1)Ai + Ai−1‖ , A−1 := 0.
Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
|λ| ≤ 1 +√ǫ.
�èi vîi �a thù ma trªn vîi ma trªn h» sè ao nh§t kh£ nghà h ta â h°n tr¶n sau
�¥y.
�ành lþ 2.2.12. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
â ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u
ǫ′ := maxi=0,...,d−1
∥∥∥((It −Ad−1A
−1d )Ai + Ai−1
)A−1
d
∥∥∥ , A−1 := 0.
Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
|λ| ≤ 1 +√ǫ′.
Ch°n d÷îi ho d÷îi �¥y nhªn �÷ñ b¬ng ¡ h ¡p döng �ành lþ 2.2.12 ho �a thù ma
trªn Q(z) = zdP (1z).
H» qu£ 2.2.13. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
â ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u
ǫ” := maxi=1,...,d
∥∥∥((It −A1A
−10 )Ai + Ai+1
)A−1
0
∥∥∥ , Ad+1 := 0.
Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
|λ| ≥ 1
1 +√ǫ”.
Ti¸p theo �¥y hóng tæi �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ Datt-Govil (�ành lþ
1.1.16).
Bê �· 2.2.4. Cho P (z) = It · zd + Ad−1zd−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn â
ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u
A := maxi=0,...,d−1
‖Ai‖ .
50
Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
∥∥A−10
∥∥−1
2(1 + A)d−1(Ad+ 1)≤ |λ| ≤ 1 + λ0A,
trong �â λ0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(Ax+1)d
trong kho£ng mð (0, 1).
Chùng minh. Gi£ sû λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Cnl mët v² tì ri¶ng
�ìn và ùng vîi λ. Tr÷î h¸t ta hùng minh ho h°n tr¶n õa |λ|. Chóng ta x²t hai tr÷íng
hñp.
Tr÷íng hñp 1: dA ≤ 1. Trong tr÷íng hñp n y, n¸u |λ| > 1 th¼
‖P (λ)x‖ ≥ |λ|d − dA |λ|d−1 ≥ |λ|d − |λ|d−1 > 0.
�i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t. Do �â, |λ| ≤ 1 ≤ 1 + λ0A vîi måi λ0 ∈ (0, 1).
Tr÷íng hñp 2: dA > 1. Trong tr÷íng hñp n y ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(Ax+1)d
â duy nh§t
mët nghi»m d÷ìng λ0 ∈ (0, 1) [8, Lemma 2℄. Hìn núa, ta â
‖P (λ)x‖ ≥ |λ|d − Ad−1∑
j=0
|λ|j = |λ|d − A|λ|d − 1
|λ| − 1.
N¸u |λ| > 1 + Aλ0, th¼ ta â thº vi¸t |λ| = 1 + Aα vîi α > λ0. Khi �â α > 1 − 1(Aα+1)d
.
�i·u n y h¿ ra r¬ng
‖P (λ)x‖ ≥ (1 + Aα)d − (1+Aα)d−1α
> 0, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t P (λ)x = 0.
Do �â, |λ| ≤ 1 + Aλ0.
B¥y gií hóng ta hùng minh h°n d÷îi ho |λ|. Gi£ sû ng÷ñ l¤i, |λ| < ‖A−1
0 ‖−1
2(1+A)d−1(Ad+1).
X²t �a thù ma trªn G(z) = (1− z)P (z). Ta â
G(z) = A0 +
d−1∑
i=1
(Ai −Ai−1)zi + It · zd −Ad−1z
d − It · zd+1 =: A0 +H(z),
Kþ hi»u R = 1 + A. Khi �â, vîi |z| = R, ta â
max|z|=R
‖H(z)x‖ ≤ Rd+1 +Rd + ‖Ad−1‖Rd +d−1∑
i=1
‖Ai −Ai−1‖Ri
≤ Rd [R + 1 + A+ 2(d− 1)A]
= 2(1 + A)d(dA+ 1).
Theo Nguy¶n lþ mæ�un ü �¤i, vîi |z| ≤ R ta â
‖H(z)x‖ ≤ 2(1 + A)d(dA+ 1).
51
Khi �â, vîi |λ| < ‖A−1
0 ‖−1
2(1+A)m−1(Am+1)< R ta â
‖G(λ)x‖ = ‖A0x+H(λ)x‖ ≥∥∥A−1
0
∥∥−1 − ‖H(λ)x‖
≥∥∥A−1
0
∥∥−1 − |λ|1 + A
max|λ|≤1+A
‖H(λ)x‖
≥∥∥A−1
0
∥∥−1 − 2(1 + A)d−1(dA+ 1) |λ| > 0,
M°t kh¡ , theo ¡ h x¡ �ành õa G(z) th¼ λ �ng l gi¡ trà ri¶ng t÷ìng ùng vîi v² tì
ri¶ng x õa G. Suy ra G(λ)x = 0. �i·u n y m¨u thu¨n vîi b§t �¯ng thù tr¶n. Do vªy,
∥∥A−10
∥∥−1
2(1 + A)d−1(Ad+ 1)≤ |λ| .
B¬ng ¡ h x²t �a thù ma trªn moni t÷ìng ùng, ¡p döng Bê �· 2.2.4, ta nhªn �÷ñ
h°n tr¶n v h°n d÷îi sau ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn.
�ành lþ 2.2.14. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
vîi ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u
A′ := maxi=0,...,d−1
∥∥AiA−1d
∥∥ .
Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
∥∥AdA−10
∥∥−1
2(1 + A′)d−1(A′d+ 1)≤ |λ| ≤ 1 + λ0A
′,
trong �â, λ0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(A′x+1)d
n¬m trong kho£ng (0, 1).
Khi t = 1, hóng ta â �ành lþ 1.1.16.
N¸u vi» t¼m nghi»m trong kho£ng (0, 1) õa ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(A′x+1)d
khâ, hóng
ta sû döng h°n tr¶n sau �¥y.
H» qu£ 2.2.15. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
vîi ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u
A′ := maxi=0,...,d−1
∥∥AiA−1d
∥∥ .
Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
∥∥AdA−10
∥∥−1
2(1 + A′)d−1(A′d+ 1)≤ |λ| < 1 +
(1− 1
(1 + A′)d
)A′.
52
Khi t = 1, hóng ta â H» qu£ 1.1.17.
Chùng minh. Gåi λ0 ∈ (0, 1) l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1 − 1(A′x+1)d
. Khi �â
λ0 < 1− 1
(1 + A′)d. Do �â h°n tr¶n ð �¥y nhªn �÷ñ tø �ành lþ 2.2.14.
Ti¸p theo l mët v i h°n kh¡ ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn.
�ành lþ 2.2.16. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
vîi ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u
M := maxi=0,...,d−1
‖Ai‖ , M ′ := maxi=1,...,d
‖Ai‖ .
Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n
∥∥A−10
∥∥−1
∥∥A−10
∥∥−1+M ′
< |λ| < 1 +M∥∥A−1
d
∥∥ .
Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ �ành lþ 1.1.18.
Chùng minh. Cho λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Ctl mët v² tì ri¶ng �ìn
và ùng vîi λ. N¸u |λ| ≥ 1 +M∥∥A−1
d
∥∥, ta â
‖P (λ)x‖ ≥ |λ|d ‖Adx‖ −∥∥Ad−1λ
d−1x+ · · ·+ A0x∥∥
≥∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d −d−1∑
i=0
‖Ai‖ |λ|i
≥∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d −M
d−1∑
i=0
|λ|i
=∥∥A−1
d
∥∥−1 ∣∣λd∣∣(1− M
∥∥A−1d
∥∥|λ|d
d−1∑
i=0
|λ|i)
=∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d(1−M
∥∥A−1d
∥∥d∑
i=1
1
|λ|i
)
>∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d(1−M
∥∥A−1d
∥∥∞∑
i=1
1
|λ|i
)
=∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d(1−M
∥∥A−1d
∥∥ 1
|λ| − 1
)≥ 0,
53
m¥u thu¨n. Do �â |λ| < 1 +M∥∥A−1
d
∥∥
T÷ìng tü, n¸u |λ| ≤ ‖A−1
0 ‖−1
‖A−1
0 ‖−1
+M, th¼
‖P (λ)x‖ ≥∥∥A−1
0
∥∥−1 −d∑
i=1
|λ|i ‖Ai‖
≥∥∥A−1
0
∥∥−1 −M ′d∑
i=1
|λ|i
>∥∥A−1
0
∥∥−1 −M ′ |λ|1− |λ|
=
∥∥A−10
∥∥−1(1− |λ|)−M ′ |λ|1− |λ| ≥ 0,
m¥u thu¨n. �ành lþ �÷ñ hùng minh.
Têng qu¡t hìn hóng ta â k¸t qu£ sau �¥y.
�ành lþ 2.2.17. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z
d−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn
â ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Cho p, q > 1 sao ho
1p+ 1
q= 1. Kþ hi»u
Mp :=
(d−1∑
i=0
‖Ai‖p) 1
p
, M ′p :=
(d∑
i=1
‖Ai‖p) 1
p
.
Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
[ ∥∥A−10
∥∥−q
(M ′p)
q +∥∥A−1
0
∥∥−q
] 1
q
< |λ| <[1 +
(Mp
∥∥A−1d
∥∥)q] 1
q .
Khi t = 1, ta nhªn �÷ñ �ành lþ 1.1.19. Hìn núa, khi p → ∞ (ló �â q → 1), hóng
ta nhªn �÷ñ �ành lþ 2.2.16.
Chùng minh. Cho λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Ctl mët v² tì ri¶ng �ìn
và ùng vîi λ.
54
N¸u |λ| ≥[1 +
(Mp
∥∥A−1d
∥∥)q] 1
q, th¼
‖P (λ)x‖ ≥∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d −d−1∑
i=0
‖Ai‖ |λ|i (2.9)
≥∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d −(
d−1∑
i=0
‖Ai‖p) 1
p(
d−1∑
i=0
|λ|iq) 1
q
(2.10)
=∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d1− Mp
∥∥A−1d
∥∥|λ|d
(d−1∑
i=0
|λ|iq) 1
q
=∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d1−Mp
∥∥A−1d
∥∥(
d−1∑
i=0
|λ|(i−d)q
) 1
q
>∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d1−Mp
∥∥A−1d
∥∥(
∞∑
i=1
|λ|−iq
) 1
q
=∥∥A−1
d
∥∥−1 |λ|d[1−Mp
∥∥A−1d
∥∥. 1
(|λ|q − 1)1
q
]≥ 0, m¥u thu¨n .
Trong ¡ dáng tr¶n, tø (2.9) �¸n (2.10) ta sû döng B§t �¯ng thù H�older.
Do �â, |λ| <[1 +
(Mp
∥∥A−1d
∥∥)q] 1
q .
Chùng minh t÷ìng tü ta â |λ| >[
‖A−1
0 ‖−q
(M ′
p)q+‖A−1
0 ‖−q
] 1
q
.
2.3 So s¡nh ¡ h°n
Trong Mö 2.1 v Mö 2.2 hóng tæi �¢ thi¸t lªp mët sè h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa
¡ �a thù ma trªn. Nâi hung v· m°t lþ thuy¸t, hóng ta khæng thº �¡nh gi¡ h°n n o
tèt hìn m h¿ â thº so s¡nh hóng trong mët sè tr÷íng hñp �° bi»t qua ¡ v½ dö ö
thº. �º â �÷ñ mët so s¡nh tèt trong suèt qu¡ tr¼nh t½nh to¡n, hóng tæi sû döng dú li»u
ng¨u nhi¶n trong méi v½ dö. Hìn núa, hóng tæi lªp ¡ b£ng v· h°n tr¶n v h°n d÷îi
ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn. Tø �â, hóng ta â thº so s¡nh ¡ h°n n y
vîi ¡ h°n �÷ñ �÷a ra bði Higham-Tisseur [22℄ tr¶n òng ¡ v½ dö. C¡ t½nh to¡n n y
�÷ñ thü hi»n thæng qua ph�n m·m m¢ nguçn mð OCTAVE, version 4.4.0.
X²t mët �a thù ma trªn P (z) â ï 5× 5, bª d = 9 v ¡ ma trªn h» sè l
Ai = 10i−3rand(5), i = 0, · · · , 8; A9 = rand(5),
55
trong �â rand(5) kþ hi»u ho mët ma trªn ng¨u nhi¶n ï 5×5 tø ph¥n phèi hu©n N(0, 1).
C¡ h°n tr¶n õa Higham-Tisseur [22℄ �÷ñ tr¼nh b y trong B£ng 2.1, án ¡ h°n
tr¶n �¤t �÷ñ trong Luªn ¡n �÷ñ tr¼nh b y trong B£ng 2.2. Chó th½ h r¬ng ¡ h vi¸t
trong B£ng 2.1, h¯ng h¤n dáng ��u ti¶n, hiºu l ¡p döng Bê �· 2.3 �èi vîi �a thù ma
trªn P bði biºu thù 2.3.
Bê �· Gi¡ trà �p döng
2.3 (2.3) 3.284676 ×106 hu©n 2
2.11 (2.18) 3.281052 ×106 hu©n 2
3.1 13.8757 ×106 �ành lþ Cau hy ¡p döng ho P , hu©n 2
3.1 3.277426 ×106 �ành lþ Cau hy ¡p döng ho PU , hu©n 2
4.1 14.129079 ×106 hu©n 2
B£ng 2.1: C¡ h°n tr¶n �¤t �÷ñ bði Higham v Tisseur
�ành lþ/H» qu£ Gi¡ trà �p döng
2.2.2, 2.2.4 13.875701 ×106 hu©n 2
2.2.3, 2.2.5 13.875567 ×106 hu©n 2
2.2.6 2.324721 ×106 hu©n 2
2.2.8, 2.2.15 2.324722 ×106 hu©n 2
2.2.10, 2.2.12 1.674829 ×106 hu©n 2
B£ng 2.2: C¡ h°n tr¶n �¤t �÷ñ trong Luªn ¡n
Chóng ta â thº t½nh gi¡ trà lîn nh§t õa mæ�un ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) x§p x¿ b¬ng
1.125744× 106. Hìn núa, �ành lþ 2.2.10 v �ành lþ 2.2.12 th÷íng ho hóng ta ¡ h°n
tr¶n tèt nh§t. Tø hai b£ng �¢ �÷a ra, hóng ta th§y �÷ñ h°n tr¶n õa B£ng 2.2 tèt hìn
h°n tr¶n õa B£ng 2.1.
C¡ h°n d÷îi õa Higham-Tisseur [22℄ �÷ñ tr¼nh b y trong B£ng 2.3, án ¡ h°n
d÷îi �¤t �÷ñ trong Luªn ¡n �÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong B£ng 2.4.
56
Bê �· Gi¡ trà �p döng
2.2 7.9837 ×10−10 hu©n 2
2.3 (2.3) 8.6528 ×10−10 hu©n 2
2.4 (2.7) 8.6519 ×10−10 hu©n 2
2.6 (2.14) 1.49 ×10−7 hu©n 2, ¡p döng ho CL
B£ng 2.3: C¡ h°n d÷îi �¤t �÷ñ bði Higham v Tisseur
�ành lþ Gi¡ trà �p döng
2.2.7, 2.2.9 3.9052 ×10−5 hu©n 2
2.2.11 0.893 ×10−5 hu©n 2
2.2.13 0.895 ×10−5 hu©n 2
B£ng 2.4: C¡ h°n d÷îi �¤t �÷ñ trong Luªn ¡n
Chóng ta â thº t½nh gi¡ trà nhä nh§t õa mæ�un ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) x§p x¿ b¬ng
0.020756.
57
Ch֓ng 3
C¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a
thù ma trªn
Trong h÷ìng n y hóng tæi nghi¶n ùu ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho ¡ �a thù
ma trªn â sè bi¸n lîn hìn mët. Trong Mö 3.1, hóng tæi �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho
�ành lþ Putinar-Vasiles u v Rezni k. Mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ Di kinson-Povh �÷ñ
tr¼nh b y trong Mö 3.2. Trong Mö 3.3, hóng tæi �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ
Handelman tr¶n mët n-�ìn h¼nh v tr¶n mët �a di»n lçi, ompa t. Hìn núa, hóng tæi
�ng �· xu§t mët thõ tö t¼m biºu di¹n n y ho ¡ �a thù ma trªn trong Mö 3.3.3.
C¡ k¸t qu£ h½nh trong h÷ìng n y �÷ñ hóng tæi æng bè trong hai b i b¡o [12, 30℄.
3.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Putinar-Vasiles u
�ành lþ Putinar-Vasiles u (�ành lþ 1.2.16) �¢ �÷ñ ph¡t biºu ho ¡ �a thù thu�n
nh§t. Vîi sü k¸t hñp �ành lþ 1.2.16 v M»nh �· 1.5.1, hóng tæi �÷a ra d¤ng khæng thu�n
nh§t ho �ành lþ Putinar-Vasiles u nh÷ sau.
H» qu£ 3.1.1 (�ành lþ Putinar-Vasiles u, d¤ng khæng thu�n nh§t). Cho G = {g1, · · · , gm} ⊆R[X ] v f ∈ R[X ]. Gi£ sû deg(f) = 2d, deg(gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u
d′ := max{di|i = 1, · · · , m}.
N¸u f > 0 tr¶n KG v f2d > 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0}, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n r ≥ 0 sao ho
(1 +X21 + · · ·+X2
n)rf ∈ MG. (3.1)
58
Chùng minh. Theo M»nh �· 1.5.1 ta â f̃ > 0 tr¶n KG̃ \ {0}, trong �â G̃ = {g̃1, · · · , g̃m}.�p döng �ành lþ 1.2.16 ho �a thù thu�n nh§t f̃ ∈ R[X0, X1, · · · , Xn], tçn t¤i r ∈ N sao
ho
(X20 +X2
1 + · · ·+X2n)
rf̃ ∈ MG̃. (3.2)
�p döng (3.2) ho X0 = 1, v hó þ r¬ng
g̃i(1, X1, · · · , Xn) = gi(X1, · · · , Xn) vîi måi i = 1, · · · , m,
hóng ta nhªn �÷ñ (3.1).
Chóng tæi �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u
nh÷ sau.
�ành lþ 3.1.2. Cho G = {G1, · · · ,Gm} ⊆ St(R[X ]) v F ∈ St(R[X ]). Gi£ sû deg(F) =
2d, deg(Gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u
d′ := max{di|i = 1, · · · , m}.
Gi£ sû r¬ng F ≻ 0 tr¶n KG v F2d ≻ 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0}. Khi �â, tçn t¤i mët sè nguy¶n
khæng ¥m r, mët tªp on húu h¤n G ⊆ R[X ] v
(i) mët �a thù ma trªn X ∈ Mt(R[X ]) sao ho
(1 +X21 + · · ·+X2
n)rXFX
T ∈ (MG)t ⊆ MG;
(ii) mët �a thù kh¡ khæng b ∈ R[X ] sao ho
b2(1 +X21 + · · ·+X2
n)rF ∈ (MG)
t ⊆ MG.
Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng tæi x²t tr÷íng hñp �° bi»t F l mët �a thù ma trªn
�÷íng h²o â d¤ng F = D(f1, · · · , fr), vîi r ≤ t. Khi �â, F̃ = D(f̃1, · · · , f̃r). Tø gi£ thi¸t
õa F v M»nh �· 1.5.5, F̃ ≻ 0 tr¶n KG̃ \ {0}, trong �â G̃ = {G̃1, · · · , G̃m}. �i·u n y k²o
theo r = t v f̃i > 0 tr¶n KG̃ \ {0} vîi måi i = 1, · · · , t.Theo Bê �· 1.4.4, tçn t¤i mët tªp húu h¤n ¡ �a thù thu�n nh§t G̃ = {g̃1, g̃2, · · · , g̃k} ⊆R[X0, X ] sao hoKG̃ = KG̃ , (MG̃)
t ⊆ MG̃ . �°tG = {g1, · · · , gk}, trong �â gj(X1, · · · , Xn) =
g̃j(1, X1, · · · , Xn) vîi måi j = 1, · · · , k.Theo H» qu£ 3.1.1, vîi méi i = 1, · · · , t, tçn t¤i mët sè nguy¶n ri ≥ 0 sao ho
(1 +X21 + · · ·+X2
n)rifi ∈ MG.
�°t r = max{ri, i = 1, · · · , t}. Khi �â, vîi måi i = 1, · · · , t, ta â
(1 +X21 + · · ·+X2
n)rfi ∈ MG.
59
Do �â (1 +X21 + · · ·+X2
n)rD ∈ (MG)
t. �i·u n y d¨n �¸n
(1 +X21 + · · ·+X2
n)rD ∈ (MG)
t ⊆ MG .
B¥y gií x²t b§t ký F ∈ St(R[X ]). Theo Bê �· 1.4.5, tçn t¤i ¡ �a thù kh¡ khæng
b, fj ∈ R[X ], j = 1, · · · , r, r ≤ t, v ¡ �a thù ma trªn X+,X− ∈ Mt(R[X ]) sao ho
X+X− = X−X+ = bIt, b2F = X+DX+
T ,D = X−FX−T , (3.3)
trong �â, D = D(f1, · · · , fr). Theo gi£ thi¸t, F ≻ 0 tr¶n KG . Suy ra D ≻ 0 tr¶n KG .
T÷ìng tü, do F2d ≻ 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0} n¶n Dm ≻ 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0} trong �â m
l bª õa �a thù ma trªn D. Theo hùng minh ph�n tr¶n, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng
¥m r sao ho (1 +X21 + · · ·+X2
n)rD ∈ (MG)
t ⊆ MG . Suy ra tø (3.3),
(i) (1 +X21 + · · ·+X2
n)rX−FX−
T ∈ (MG)t ⊆ MG ;
(ii) b2(1 +X21 + · · ·+X2
n)rF = (1 +X2
1 + · · ·+X2n)
rX+DX
T+ ∈ (MG)
t ⊆ MG .
�ành lþ �÷ñ hùng minh.
Trong tr÷íng hñp G = ∅, th¼ M∅ = T∅ =∑
t R[X ], trong �â,
∑
t
R[X ] =
{k∑
i=1
ATi Ai : Ai ∈ Mt(R[X ]), i = 1, ..., k, vîi k l sè tü nhi¶n n o �â
}.
Khi �â, hóng ta nhªn �÷ñ mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Rezni k
(�ành lþ 1.2.15).
H» qu£ 3.1.3. Cho F ∈ St(R[X ]) l mët �a thù ma trªn �èi xùng bª 2d. Gi£ sû F ≻ 0
tr¶n Rnv F2d ≻ 0 tr¶n Rn \ {0}. Khi �â, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v
(i) mët �a thù ma trªn X ∈ Mt(R[X ]) sao ho
(1 +X21 + · · ·+X2
n)rXFX
T ∈∑tR[X ];
(ii) mët �a thù kh¡ khæng b ∈ R[X ] sao ho
b2(1 +X21 + · · ·+X2
n)rF ∈∑tR[X ].
3.2 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Di kinson-Povh
�ành lþ Di kinson-Povh (�ành lþ 1.2.17) �¢ �÷ñ ph¡t biºu ho ¡ �a thù thu�n
nh§t. Vîi sü k¸t hñp �ành lþ 1.2.17 v M»nh �· 1.5.2, hóng tæi �÷a ra d¤ng khæng thu�n
nh§t ho �ành lþ Di kinson-Povh nh÷ sau.
60
H» qu£ 3.2.1. Cho G = {g1, · · · , gm} ⊆ R[X ] v f ∈ R[X ]. Gi£ sû deg(f) = 2d, deg(gi) =
2di, ∀i = 1, · · · , m. Kþ hi»u d′ := max{di|i = 1, · · · , m}. N¸u f > 0 tr¶n Rn+ ∩ KG v
f2d > 0 tr¶n Rn+ ∩ (KG)2d′ \ {0}, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v ¡ �a thù
h1, · · · , hm ∈ R[X ] vîi ¡ h» sè khæng ¥m sao ho
(1 +X1 + · · ·+Xn)rf =
m∑
i=1
gihi.
Chùng minh. Theo M»nh �· 1.5.2, f̃ > 0 tr¶n Rn+1+ ∩KG̃\{0}, trong �â G̃ = {g̃1, · · · , g̃m}.
�p döng �ành lþ 1.2.17 ho �a thù thu�n nh§t f̃ , tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v
¡ �a thù thu�n nh§t h̃1, · · · , h̃m â ¡ h» sè khæng ¥m sao ho
(X0 +X1 + · · ·+Xn)rf̃ =
m∑
i=1
g̃ih̃i. (3.4)
Thay X0 = 1 v o ph÷ìng tr¼nh (3.4), ta nhªn �÷ñ
(1 +X1 + · · ·+Xn)rf =
m∑
i=1
gihi,
ð �¥y
hi(X1, · · · , Xn) := h̃i(1, X1, · · · , Xn), vîi måi i = 1, · · · , n.
Chóng tæi thi¸t lªp mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng Di kinson-Povh
nh÷ sau.
�ành lþ 3.2.2. Cho G = {G1, · · · ,Gm} ⊆ St(R[X ]) v F ∈ St(R[X ]). Gi£ sû deg(F) =
2d, deg(Gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u d′ := max{di|i = 1, · · · , m}. N¸u F ≻ 0 tr¶n
Rn+ ∩KG v F2d ≻ 0 tr¶n Rn
+ ∩ (KG)2d′ \ {0}, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r, v
mët tªp on húu h¤n G = {g1, · · · , gk} ⊆ R[X ] v
(i) ¡ �a thù ma trªn nûa x¡ �ành d÷ìng H1, · · · ,Hk ∈ St(R[X ]) v mët �a thù ma
trªn X ∈ Mt(R[X ]) sao ho
(1 +X1 + · · ·+Xn)rXFX
T =k∑
j=1
Hjgj;
61
(ii) ¡ �a thù ma trªn nûa x¡ �ành d÷ìng H′1, · · · ,H′
k ∈ St(R[X]) v mët �a thù
kh¡ khæng b ∈ R[X ] sao ho
b2(1 +X1 + · · ·+Xn)rF =
k∑
j=1
H′jgj.
Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng tæi x²t tr÷íng hñp �° bi»t F l mët �a thù ma trªn
�÷íng h²o â d¤ng F = D(f1, · · · , fr), vîi r ≤ t. Khi �â, F̃ = D(f̃1, · · · , f̃r). Tø gi£ thi¸t
õa F v M»nh �· 1.5.6, F̃ ≻ 0 tr¶n Rn+1+ ∩KG̃ \ {0}.
�i·u n y k²o theo r = t v f̃i > 0 tr¶n Rn+1+ ∩KG̃ \ {0}, vîi måi i = 1, · · · , t.
Theo Bê �· 1.4.4, tçn t¤i mët tªp on húu h¤n õa ¡ �a thù thu�n nh§t G̃ =
{g̃1, g̃2, · · · , g̃k} ⊆ R[X0, X ] sao ho KG̃ = KG̃ .
�i·u n y h¿ ra r¬ng f̃i > 0 tr¶n Rn+1+ ∩KG̃ \ {0} vîi måi i = 1, · · · , t. Khi �â, theo �ành
lþ 1.2.17, vîi méi i = 1, · · · , t, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m ri v ¡ �a thù thu�n
nh§t h̃i1, · · · , h̃ik â ¡ h» sè khæng ¥m thäa m¢n
(X0 +X1 + · · ·+Xn)ri f̃i =
k∑j=1
h̃ij g̃j .
�°t r = max{ri, i = 1, · · · , t}. Khi �â, vîi måi i = 1, · · · , t, ta â
(X0 +X1 + · · ·+Xn)rf̃i =
k∑j=1
h̃′ij g̃j,
ð �¥y, h̃′ij = (X0 +X1 + · · ·+Xn)
r−rih̃ij, ∀ j = 1, ..., k. �i·u n y d¨n �¸n
(X0 +X1 + · · ·+Xn)rF̃ =
k∑
j=1
H̃j g̃j, (3.5)
trong �â, H̃j = D(h̃′1j , h̃′
2j , · · · , h̃′tj) ∈ St(R[X0, X ]) l mët �a thù ma trªn thu�n nh§t
â ¡ h» sè l ¡ ma trªn nûa x¡ �ành d÷ìng, vîi måi j = 1, · · · , k. Thay X0 = 1 v o
ph÷ìng tr¼nh (3.5), ta nhªn �÷ñ
(1 +X1 + · · ·+Xn)rF =
k∑j=1
Hjgj ,
trong �â F = F̃(1, X),Hj = H̃j(1, X), gj = g̃j(1, X), vîi méi j = 1, · · · , k.
B¥y gií ta x²t b§t ký F ∈ St(R[X ]). Theo Bê �· 1.4.5, tçn t¤i ¡ �a thù kh¡ khæng
b, fj ∈ R[X ], j = 1, · · · , r, r ≤ t, v ¡ �a thù ma trªn X+, X− ∈ Mt(R[X ]) sao ho
X+X− = X−X+ = bIt, b2F = X+DX+
T ,D = X−FX−T , (3.6)
trong �â, D = D(f1, · · · , fr). Do F ≻ 0 tr¶n Rn+ ∩KG v F2d ≻ 0 tr¶n Rn
+ ∩ (KG)2d \ {0}.�i·u n y suy ra D ≻ 0 tr¶n Rn
+ ∩ KG v Ds ≻ 0 tr¶n Rn+ ∩ (KG)2d′ \ {0}, trong �â,
62
deg(D) = s. Theo hùng minh tr¶n, tçn t¤i mët sè nguy¶n r ≥ 0, ¡ ma trªn nûa x¡
�ành d÷ìng H1, · · · ,Hk ∈ Mt(R[X ]) sao ho
(1 +X1 + · · ·+Xn)rD =
k∑j=1
Hjgj.
Suy ra tø (3.6),
(i) (1 +X1 + · · ·+Xn)rX−FX−
T = (1 +X1 + · · ·+Xn)rD =
k∑j=1
Hjgj;
(ii) b2(1 +X1 + · · ·+Xn)rF = X+ ((1 +X1 + · · ·+Xn)
rD)X+
T
= X+
k∑j=1
HjgjX+T =
k∑j=1
H′jgj ,
trong �â, H′j = X+HjX+
T ∈ Mt(R[X ]), vîi måi j = 1, · · · , k. V¼ Hj l ma trªn nûa x¡
�ành d÷ìng, n¶n H′j �ng l ma trªn nûa x¡ �ành d÷ìng. �i·u ph£i hùng minh.
3.3 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman
Trong ph�n n y hóng tæi s³ �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng
õa Handelman (�ành lþ 1.2.8). Trong Mö 3.3.1, hóng tæi tr¼nh b y d¤ng ma trªn ho
�ành lþ Handelman tr¶n mët n-�ìn h¼nh. Ti¸p theo, trong Mö 3.3.2, hóng tæi thi¸t lªp
d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Handelman tr¶n mët �a di»n lçi, ompa t.
Cuèi òng, trong Mö 3.3.3, hóng tæi �÷a ra mët thõ tö �º t¼m biºu di¹n ho mët �a
thù ma trªn x¡ �ành d÷ìng tr¶n mët �a di»n lçi, ompa t trong Rnv mët v½ dö minh
håa ho ¡ b÷î l m �â.
Cho P ⊆ Rnl mët �a di»n lçi, ompa t vîi ph�n trong kh¡ réng, vîi bi¶n �÷ñ x¡
�ành bði ¡ �a thù tuy¸n t½nh λ1, · · · , λm ∈ R[X ]. B¬ng ¡ h hån d§u õa λi, hóng ta
gi£ sû r¬ng
P = {x ∈ Rn|λi(x) ≥ 0, i = 1, · · · , m}. (3.7)
3.3.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman tr¶n n-�ìn h¼nh
Trong ph�n n y hóng ta x²t P l mët n-�ìn h¼nh trong Rn â ¡ �¿nh {v0, v1, · · · , vn}
v gåi {λ0, λ1, · · · , λn} l h» tåa �ë trång t¥m õa P , tù l méi λi ∈ R[X ] l tuy¸n t½nh
v
X =
n∑
i=0
λi(X)vi,
n∑
i=0
λi(X) = 1, λi(vj) = δij . (3.8)
63
Cho F ∈ St(R[X ]) l mët �a thù ma trªn bª d > 0. Chóng ta â thº vi¸t F nh÷ sau
F(X) =∑
|α|≤d
AαXα,
trong �â, Aα ∈ Mt(R).
X²t d¤ng Bernstein-B²zier õa F t÷ìng ùng vîi P :
F̃d(Y ) := F̃d(Y0, · · · , Yn) :=∑
|α|≤d
Aα
( n∑
i=0
Yivi
)α( n∑
i=0
Yi
)d−|α|
. (3.9)
D¹ d ng th§y r¬ng F̃d(Y ) ∈ St(R[Y ]) l mët �a thù ma trªn thu�n nh§t bª d. Hìn núa,
tø ¡ quan h» (3.8) h¿ ra r¬ng
F̃d(λ0, · · · , λn) = F(X).
Theo S herer-Hol [44℄, vîi méi tªp �a h¿ sè α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn, hóng ta kþ hi»u
α! := α1! · · ·αn!; Dα := ∂α1
1 · · ·∂αn
n .
Nh÷ vªy, hóng ta â thº vi¸t l¤i F nh÷ sau
F(X) =∑
|α|≤d
DαF(0)
α!Xα.
Vîi hu©n phê ‖·‖, theo S herer-Hol [44℄, hóng ta �ành ngh¾a
L(F) := max|α|≤d
‖DαF(0)‖|α|! . (3.10)
�º rã hìn v· kþ hi»u n y, hóng ta x²t mët �a thù ma trªn thu�n nh§t
F(X, Y, Z) =
[1 3
5 4
]X3 −
[2 7
6 −3
]X2Y +
[−4 0
2 3
]Y 2Z +
[2 1
9 8
]XY Z.
�°t A1 =
[1 3
5 4
], A2 =
[2 7
6 −3
], A3 =
[−4 0
2 3
], A4 =
[2 1
9 8
].
Trong �a thù ma trªn F(X, Y, Z) ¡ �ìn thù X3, X2Y, Y 2Z,XY Z â bë sè m�
t÷ìng ùng l (3, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 2, 1), (1, 1, 1). Khi �â,
L(F) = max
{||A1||,
2!
3!||A2||,
2!
3!||A3||,
1
3!||A4||
}.
64
Sû döng ph�n m·m MATLAB 7.11.0 (R2010b) ta â
||A1|| = 6.9646, ||A2|| = 7.6713, ||A3|| = 4.7581, ||A4|| = 12.2341.
Do �â, L(F) = 6.9646.
Sû döng ¡ kþ hi»u n y, d÷îi �¥y hóng tæi tr¼nh b y biºu di¹n ho ¡ �a thù ma
trªn x¡ �ành d÷ìng tr¶n n-�ìn h¼nh.
�ành lþ 3.3.1. Gi£ sû P ⊆ Rnl mët n-�ìn h¼nh �÷ñ ho nh÷ tr¶n v F ∈ St(R[X ])
l mët �a thù ma trªn bª d > 0. Gi£ sû r¬ng F < λIt tr¶n P vîi λ > 0. Kþ hi»u
L := L(F̃d). Khi �â, vîi N >d(d− 1)
2
L
λ− d, F â thº �÷ñ biºu di¹n
F =∑
|α|=N+d
Bαλα0
0 · · ·λαn
n ,
trong �â, méi Bα ∈ St(R) l x¡ �ành d÷ìng.
Chùng minh. Kþ hi»u ∆n+1 l �ìn h¼nh hu©n trong Rn+1, tù l
∆n+1 = {(y0, · · · , yn) ∈ Rn+1|yi ≥ 0,
n∑
i=0
yi = 1}.
Do F(x) < λIt vîi måi x ∈ P n¶n d¤ng Bernstein-B²zier F̃d õa F t÷ìng ùng vîi P thäa
m¢n
F̃d(y0, · · · , yn) < λIt, ∀(y0, · · · , yn) ∈ ∆n+1.
�p döng �ành lþ 1.4.12 (d¤ng ma trªn õa �ành lþ Pâlya) vîi N >d(d− 1)
2
L
λ− d, ta â
(
n∑
i=0
Yi)NF̃d(Y ) =
∑
|α|=N+d
BαYα0
0 · · ·Y αn
n , (3.11)
trong �â méi Bα ∈ St(R) l ma trªn x¡ �ành d÷ìng. Thay Yi bði λi v o v¸ ph£i õa
(3.11), v sû döng ¡ t½nh h§t
F̃d(λ0(X), · · · , λn(X)) = F (X) v N∑
i=0
λi(X) = 1,
hóng ta nhªn �÷ñ biºu di¹n õa F.
65
Chóng tæi minh håa �ành lþ 3.3.1 bði v½ dö sau �¥y.
Cho mët �ìn h¼nh P trong R2 â ¡ �¿nh v0, v1, v2 v h» tåa �ë trång t¥m l {λ0, λ1, λ2}
trong �â v0 = (0, 1), v1 = (1, 0), v2 = (1, 1) v λ0 = 1−X, λ1 = 1− Y, λ2 = X + Y − 1, tù
l
P = {(x, y) ∈ R2|λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0}.
D¹ th§y X = λ1 + λ2
Y = λ0 + λ2
Cho �a thù ma trªn
F =
[x2y2 − xy2 + 3x+ y3 + 3y2 − 2y + 5 x2y − 4xy + 3y2 − 2y
x2y − 4xy + 3y2 − 2y x2 + 3xy2 − x− 2y3 + 5y2 + y + 3
]
Sû döng ph�n m·m MATLAB 7.11.0 (R2010b) ta â ¡ gi¡ trà ri¶ng õa F nh÷ sau:
λ1(F) = 3x− 2y + 3xy2 + 5y2 − 2y3 + 5, λ2(F) = x2y2 + x2 − xy2 − x+ y3 + 3y2 + y + 3.
Do λi(F) ≥ 3 tr¶n P vîi i = 1, 2 n¶n F < 3I2.
Ta â, d¤ng Bernstein-B²zier F̃ = (f̃ij) õa F t÷ìng ùng vîi P
f̃11 = y40 +23y30y1 +30y30y2 +36y20y21 +79y20y1y2 +49y20y
22 +27y0y
31 +81y0y
21y2 +89y0y1y
22 +
36y0y32 + 8y41 + 30y31y2 + 45y21y
22 + 33y1y
32 + 10y42
f̃12 = f̃21 = y40−4y30y1−10y20y21−18y20y1y2−5y20y
22 −5y0y
31 −22y0y
21y2−23y0y1y
22−6y0y
32−
5y31y2 − 12y21y22 − 9y1y
32 − 2y42
f̃22 = 7y40 +25y30y1+30y30y2+27y20y21 +77y20y1y2+49y20y
22 +12y0y
31 +55y0y
21y2+81y0y1y
22 +
36y0y32 + 3y41 + 13y31y2 + 29y21y
22 + 29y1y
32 + 10y42.
Ta â L := L(F̃) =51.422
4= 12.855.
Do �â, hån N = 22, �a thù ma trªn (y0 + y1 + y2)22F̃ â ¡ ma trªn h» sè l x¡ �ành
d÷ìng. Th¸ λi bði yi, vîi i = 0, 1, 2 ta nhªn �÷ñ biºu di¹n õa F.
3.3.2 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman tr¶n ¡ �a di»n lçi,
ompa t
Trong ph�n n y hóng tæi x²t ¡ �a di»n P lçi, ompa t vîi ph�n trong kh¡ réng
�÷ñ ho bði (3.7). Theo [49℄, tçn t¤i ¡ sè thü d÷ìng ci ∈ R sao ho
m∑
i=1
ciλi(X) = 1.
66
Thay méi λi bði ciλi hóng ta â thº gi£ sû r¬ng
m∑
i=1
λi(X) = 1. (3.12)
Hìn núa, d¹ d ng kiºm tra �÷ñ r¬ng vîi méi i = 1, · · · , n, tçn t¤i ¡ sè thü bij ∈ R, j =
1, · · · , m sao ho
Xi =
m∑
j=1
bijλj(X).
X²t ma trªn B := (bij)i=1,··· ,n;j=1,··· ,m §p n × m. Khi �â, vîi X = (X1, · · · , Xn) v
λ = (λ1, · · · , λm), ta â XT = B · λT , nâi ¡ h kh¡
X = λ ·BT . (3.13)
�º rã hìn v· ¡ h t¼m ci v ma trªn B hóng ta minh håa b¬ng v½ dö sau.
V½ dö 3.3.1. Cho P l �a di»n lçi, ompa t v �÷ñ x¡ �ành bði
P = {(x, y, z) ∈ R3|λ′i(x, y, z) ≥ 0, i = 0, 1, 2, 3}
trong �â,
λ′0(X, Y, Z) = −5 + 2X + 2Y + Z, λ′
1(X, Y, Z) = 2−X − Y,
λ′2(X, Y, Z) = 3− 4Y − 3Z, λ′
3(X, Y, Z) = X + 7Y + 4Z.
X²t tê hñp tuy¸n t½nh c0λ′0 + c1λ
′1 + c2λ
′2 + c3λ
′3 = 1. Khi �â, ta â thº vi¸t d¤ng ma trªn
nh÷ sau
−5 2 3 0
2 −1 0 1
2 −1 −4 7
1 0 −3 4
c0
c1
c2
c3
=
1
0
0
0
.
H» ph÷ìng tr¼nh tr¶n â nghi»m c0 =112, c1 =
13, c2 =
14, c3 =
16. �°t
λ0 =1
12λ′0, λ1 =
1
3λ′1, λ2 =
1
4λ′2, λ3 =
1
6λ′3.
Nh÷ vªy,
3∑i=0
λi = 1.
X²t ma trªn B = (bij)3×4 thäa m¢n
B ·
λ0
λ1
λ2
λ3
=
X
Y
Z
.
67
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta nhªn �÷ñ
B =
11 7
23 2
−9 −92
−1 0
13 7 1 1
.
Nh÷ vªy,
X = 11λ0 +72λ1 + 3λ2 + 2λ3
Y = −9λ0 − 92λ1 − λ2
Z = 13λ0 + 7λ1 + λ2 + λ3.
Kþ hi»u R[Y ] := R[Y1, · · · , Ym], v x²t �çng §u v nh
ϕ : R[Y ] → R[X ], Yi 7−→ λi(X), ∀i = 1, · · · , m.
�¯ng thù (3.12) h¿ ra r¬ng
∑mi=1 Yi − 1 ∈ Ker(ϕ). Do �â, hóng ta â thº gi£ sû i�¶an
I := Ker(ϕ) �÷ñ sinh bði ¡ �a thù r1(Y ), · · · , rs(Y ) ∈ R[Y ],
I := Ker(ϕ) = 〈r1(Y ), ..., rs(Y )〉 ,
trong �â
∑mi=1 Yi − 1 l mët trong ¡ ri n o �â. Chó þ r¬ng �çng §u ϕ £m sinh mët
�çng §u v nh
Mϕ : Mt(R[Y ]) −→ Mt(R[X ]), G = (gij(Y )) 7−→ (ϕ(gij(Y ))).
Bê �· 3.3.1. �çng §u Mϕ l to n ¡nh, v
I := Ker(Mϕ) = 〈r1(Y )It, ..., rs(Y )It〉 ,
vîi It l ma trªn �ìn và trong Mt(R[Y ]).
Chùng minh. Vîi méi g(X) =∑
|α|≤d aαXα ∈ R[X ], kþ hi»u
g̃(Y ) :=∑
|α|≤d
aα(Y · BT )α( m∑
i=1
Yi
)d−|α| ∈ R[Y ]. (3.14)
D¹ th§y g̃ l �a thù thu�n nh§t bª d. Hìn núa ϕ(g̃(Y )) = g(X). Suy ra ϕ l to n §u.
�i·u n y k²o theo Mϕ �ng l mët to n §u.
68
M°t kh¡ , G = (gij(Y )) ∈ Ker(Mϕ) n¸u v h¿ n¸u gij ∈ Ker(ϕ) vîi måi i, j = 1, · · · , t.Do �â, vîi méi i, j = 1, · · · , t ta â
gij(Y ) =
s∑
k=1
aijk(Y )rk(Y ), trong �â aijk(Y ) ∈ R[Y ].
Nh÷ vªy, G â thº �÷ñ vi¸t nh÷ sau
G =
s∑
k=1
rkAk =
s∑
k=1
(rkIt)Ak,
ð �¥y, Ak = (aijk(Y )) ∈ Mt(R[Y ]) vîi méi k = 1, · · · , s. �i·u n y h¿ ra r¬ng G ∈〈r1It, · · · , rsIt〉 . Bê �· �÷ñ hùng minh.
Cho F = (fij) ∈ St(R[X ]) l mët �a thù ma trªn bª d > 0. Kþ hi»u F̃ := (f̃ij) ∈St(R[Y ]), trong �â méi f̃ij �÷ñ x¡ �ành bði (3.14), l mët �a thù thu�n nh§t bª d.
Gi£ sû λ(F) l mët h m gi¡ trà ri¶ng õa F. Theo [55, Theorem 1℄, λ(F) l mët h m
li¶n tö tr¶n fij(X), i, j = 1, · · · , t. Tù l , tçn t¤i mët h m li¶n tö Λ : Rt×t → R sao ho
λ(F) = Λ(fij(X)). Kþ hi»u λ̃(F)(Y ) := Λ(f̃ij(Y )), thü sü l mët h m gi¡ trà ri¶ng õa
�a thù ma trªn F̃.
Kþ hi»u r(Y ) :=s∑
i=1
r2i (Y ). Vîi kþ hi»u ho ð tr¶n, hóng ta â bê �· sau.
Bê �· 3.3.2. Cho F = (fij) ∈ St(R[X ]) l mët �a thù ma trªn bª d > 0. Cho λ(F) l
mët h m gi¡ trà ri¶ng õa F. N¸u λ(F) > 0 tr¶n P , th¼ tçn t¤i mët sè tü nhi¶n �õ lîn c
sao ho λ̃(F) + cr > 0 tr¶n m-�ìn h¼nh ti¶u hu©n ∆m. Rã hìn, c > −m1/m2, trong �â
m1 l gi¡ trà nhä nh§t õa λ̃(F) tr¶n ∆m v m2 l gi¡ trà nhä nh§t õa r tr¶n tªp ompa t
∆m ∩ {y ∈ Rm|λ̃(F)(y) ≤ 0}.
Chùng minh. Chùng minh düa v o [38, Lemma 4℄. �°t U = ∆m ∩{y ∈ Rm|λ̃(F)(y) ≤ 0}.Theo [49, Se tion 3℄, r > 0 tr¶n U. Do U ompa t n¶n tçn t¤i gi¡ trà nhä nh§t m2 õa r
tr¶n U . Hìn núa, m2 > 0. M°t kh¡ , do λ̃(F) li¶n tö tr¶n tªp ompa t ∆m n¶n tçn t¤i
gi¡ trà nhä nh§t m1. Nh÷ vªy, tr¶n U , hóng ta â
λ̃(F) + cr ≥ m1 + cm2 > 0;
tr¶n ∆m \ U , hóng ta â
λ̃(F) + cr ≥ λ̃(F) > 0.
69
�p döng bê �· n y, ta nhªn �÷ñ k¸t qu£ sau.
Bê �· 3.3.3. Cho F = (fij) ∈ St(R[X ]) l mët �a thù ma trªn bª d > 0. Kþ hi»u
F̃ := (f̃ij) ∈ St(R[Y ]). Gi£ sû F ≻ 0 tr¶n P . Khi �â tçn t¤i mët sè tü nhi¶n �õ lîn c sao
ho F̃+ crIt ≻ 0 tr¶n m-�ìn h¼nh ti¶u hu©n ∆m.
Chùng minh. Do F l x¡ �ành d÷ìng tr¶n P , n¶n ¡ h m gi¡ trà ri¶ng õa nâ λk(F), k =
1, · · · , t, l d÷ìng tr¶n P . Theo Bê �· 3.3.2, vîi méi k, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n �õ lîn
ck sao ho λ̃k(F) + ckr l d÷ìng tr¶n ∆m. �°t c = maxk=1,··· ,t
ck. Khi �â λ̃k(F) + cr l d÷ìng
tr¶n ∆m vîi méi k = 1, · · · , t. �º þ r¬ng, λ̃k(F), k = 1, · · · , t, l ¡ gi¡ trà ri¶ng õa �a
thù ma trªn F̃. Do �â, ¡ gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn F̃ + crIt l λ̃k(F) + cr,
k = 1, · · · , t. �i·u n y hùng tä r¬ng F̃ + crIt l x¡ �ành d÷ìng tr¶n ∆m. Bê �· �÷ñ
hùng minh.
Chó þ r¬ng F := F̃ + crIt khæng ph£i l mët �a thù thu�n nh§t. Tuy nhi¶n, thu�n
nh§t hâa F bði
m∑
i=1
Yi, hóng ta nhªn �÷ñ mët �a thù ma trªn thu�n nh§t â òng bª
vîi F. Cö thº, n¸u hóng ta biºu di¹n F nh÷ sau
F =∑
|β|≤d
BβYβ, Bβ ∈ St(R),
th¼ thu�n nh§t hâa õa nâ bði
m∑
i=1
Yi l
Fh=∑
|β|≤d
BβYβ(
m∑
i=1
Yi)d−|β|. (3.15)
Khi �â Fhl mët �a thù ma trªn thu�n nh§t bª d. Hìn núa, Mϕ(F
h) = F, v F
hl
x¡ �ành d÷ìng tr¶n ∆m.
B¥y gií hóng ta â thº sû döng d¤ng ma trªn õa �ành lþ biºu di¹n d÷ìng Pâlya �÷ñ
�÷a ra trong [44℄ �º â d¤ng ma trªn õa �ành lþ biºu di¹n d÷ìng Handelman nh÷ sau.
�ành lþ 3.3.2. Cho P , ϕ, Mϕ, r, F, F, Fhnh÷ ð tr¶n, trong �â, F l x¡ �ành d÷ìng
tr¶n P . Gi£ sû r¬ng Fh< λIt tr¶n ∆m vîi λ > 0 n o �â. �°t d := deg(F) v L := L(F
h).
Khi �â, vîi N >d(d− 1)
2
L
λ− d, F â thº �÷ñ biºu di¹n d÷îi d¤ng
F =∑
|α|=N+d
Cαλα1
1 · · ·λαm
m , (3.16)
70
trong �â, méi Cα ∈ St(R) l x¡ �ành d÷ìng.
Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng ta ¡p döng �ành lþ 1.4.12 ho Fh, trong �â d = deg(F
h).
Sau �â, hóng ta ¡p döng ho Mϕ, vîi Mϕ(Fh) = F v ϕ
(m∑
i=1
Yi
)= 1.
T÷ìng tü ho nhúng �a thù , hóng ta �¤t �÷ñ d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n
d÷ìng S hm�udgen ho �a di»n lçi, ompa t.
H» qu£ 3.3.3. Cho P , F, F, Fh�÷ñ ho ð tr¶n, vîi F x¡ �ành d÷ìng tr¶n P . Gi£
sû Fh< λIt tr¶n ∆m vîi λ > 0 n o �â. �°t d := deg(F) v L := L(F
h). Khi �â vîi
N >d(d− 1)
2
L
λ− d, F â thº biºu di¹n d÷îi d¤ng
F =∑
δi∈{0,1}
Cδλδ11 · · ·λδm
m , (3.17)
trong �â méi Cδ ∈ St(R[X ]) l mët têng húu h¤n õa nhúng �a thù ma trªn â d¤ng
ATA, A ∈ Mt(R[X ]), v bª õa méi Cα khæng qu¡ N + d.
3.3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho �a thù ma trªn
d÷ìng tr¶n mët �a di»n lçi ompa t
Cho mët �a di»n lçi ompa t P vîi ph�n trong khæng réng, bà h°n bði nhúng �a thù
tuy¸n t½nh λ1, · · · , λm ∈ R[X ], â d¤ng
P = {x ∈ Rn|λi(x) ≥ 0, i = 1, · · · , m}.
Cho mët �a thù ma trªn F = (fij) ∈ St(R[X ]) â bª d > 0 v x¡ �ành d÷ìng tr¶n P .
Theo hùng minh õa �ành lþ 3.3.2 v [19℄, hóng ta �÷a ra ¡ b÷î �º t¼m biºu di¹n
ho F nh÷ sau:
(1) T¼m sè tü nhi¶n ci ∈ R sao ho
∑mi=1 ciλi(X) = 1. Vi» t¼m ci d¨n �¸n gi£i mët h»
ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh.
(2) Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
Xi =m∑
j=1
bijλi(X), i = 1, · · · , n,
�º t¼m ma trªn B = (bij)i=1,··· ,n;j=1,··· ,m.
71
(3) Sû döng (3.14) �º t¼m f̃ij , i, j = 1, · · · , t.
(4) Sû döng ì sð Gr�obner �º t¼m mët ì sð {r1, · · · , rs} ho h¤t nh¥n Ker(ϕ) õa �çng
§u v nh ϕ.
(5) T¼m mët sè c �õ lîn sao ho F̃+ crIt ≻ 0 tr¶n ∆m.
(6) Sû döng (3.15) �º x¥y düng �a thù ma trªn thu�n nh§t Fh õa F := F̃+ crIt.
(7) T¼m mët sè tü nhi¶n λ sao ho Fh(y) < λIt vîi måi y ∈ ∆m.
Bê �· 3.3.4. Cho K ⊆ Rml mët tªp ompa t khæng réng, v G ∈ St(R[Y ]). Khi �â,
tçn t¤i mët sè thü c ∈ R sao ho
G(y) < cIt, vîi måi y ∈ K.
�° bi»t, n¸u G(y) ≻ 0 vîi måi y ∈ K th¼ hóng ta â thº hån sè c > 0 sao ho
G(y) < cIt vîi måi y ∈ K.
Chùng minh. Gi£ sû λ1(G), · · · , λt(G) l nhúng h m gi¡ trà ri¶ng thü õa �a thù ma
trªnG ∈ St(R[Y ]). Theo [55, Theorem 1℄, λi(G) l h m li¶n tö . DoK l tªp hñp ompa t,
n¶n ta â
ci := miny∈K
λi(G)(y), i = 1, · · · , t.
Kþ hi»u c := maxi=1,··· ,t ci. V¼ nhúng h m gi¡ trà ri¶ng õaG−cIt l λi(G)−c, i = 1, · · · , t,n¶n theo �ành ngh¾a õa c ta suy ra
λi(G)(y)− c ≥ λi(G)(y)− ci ≥ 0
vîi måi y ∈ K v vîi måi i = 1, · · · , t. K²o theo G(y) < cIt, vîi måi y ∈ K.
(8) �p döng æng thù (3.10) �º t¼m L := L(Fh).
(9) T¼m mët sè tü nhi¶n N >d(d− 1)
2
L
λ− d.
(10) T¼m ¡ ma trªn h» sè õa �a thù ma trªn (∑m
i=1 Yi)NF
h ∈ St(R[Y ]), thay Yi v o
λi(X), hóng ta nhªn �÷ñ mët biºu di¹n ho F.
Chóng ta �÷a mët v½ dö sau �º minh håa ho nhúng b÷î thi¸t lªp ð tr¶n.
72
V½ dö 3.3.2. Chóng ta x²t h¼nh vuæng �ìn và â t¥m t¤i gâ tåa �ë
P := {(x, y) ∈ R2|λ′1 = 1 + x ≥ 0, λ′
2 = 1− x ≥ 0, λ′3 = 1 + y ≥ 0, λ′
4 = 1− y ≥ 0}.
Chån c1 = c2 = c3 = c4 =1
4, ta â
∑4i=1 ciλ
′i(x, y) = 1. Do �â, �°t
λ1 :=1
4+
1
4x, λ2 :=
1
4− 1
4x, λ3 :=
1
4+
1
4y, λ4 :=
1
4− 1
4y ∈ R[x, y],
ta �÷ñ
∑4i=1 λi = 1.
D¹ th§y r¬ng ma trªn B =
[2 −2 0 0
0 0 2 −2
]thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh
B · [λ1 λ2 λ3 λ4]T = [x y]T .
Cho ϕ : R[y1, y2, y3, y4] → R[x, y] l mët �çng §u v nh �÷ñ x¡ �ành bði ϕ(yi) :=
λi(x, y), i = 1, 2, 3, 4. Mët ì sð Gr�obner ho h¤t nh¥n Ker(ϕ) õa ϕ l
{r1, r2} := {y1 + y2 −1
2, y3 + y4 −
1
2}.
�°t r := r21 + r22.
Chóng ta x²t �a thù ma trªn
F :=
[−4x2y + 7x2 + y + 3 x3 + 5xy − 3x
x3 + 5xy − 3x x4 + x2y + 3x2 − 4y + 6
].
Nhúng h m gi¡ trà ri¶ng õa F l
λ1(F) = 6x2 − 4x2y − 4y + 6; λ2(F) = x4 + x2y + 4x2 + y + 3.
Vîi méi (x, y) ∈ P ta â λi(F)(x, y) ≥ 2, i = 1, 2. Suy ra F(x, y) < 2I2 vîi måi (x, y) ∈ P .
Vîi ma trªn B ho ð tr¶n, ta â F̃ = (f̃ij), trong �â
f̃11 = −4(2y1 − 2y2)2(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4) + 7(2y1 − 2y2)
2(y1 + y2 + y3 + y4)2 +
(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4)3 + 3(y1 + y2 + y3 + y4)
4,
f̃12 = f̃21 = (2y1 − 2y2)3(y1 + y2 + y3 + y4) + 5(2y1 − 2y2)(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4)
2 −3(2y1 − 2y2)(y1 + y2 + y3 + y4)
3,
f̃22 = (2y1 − 2y2)4 + (2y1 − 2y2)
2(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4) + 3(2y1 − 2y2)2(y1 + y2 +
y3 + y4)2 − 4(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4)
3 + 6(y1 + y2 + y3 + y4)4.
Nhúng h m gi¡ trà ri¶ng õa F̃ l
73
λ1(F̃) = λ̃1(F) = 35y41 − 52y31y2+54y31y3+34y31y4+82y21y22 +2y21y2y3+6y21y2y4+48y21y
23 +
68y21y3y4+20y21y24−52y1y
32+2y1y
22y3+6y1y
22y4+8y1y2y3y4+8y1y2y
24+18y1y
33+42y1y
23y4+
30y1y3y24+6y1y
34+35y42+54y32y3+34y32y4+48y22y
23+68y22y3y4+20y22y
24+18y2y
33+42y2y
23y4+
30y2y3y24 + 6y2y
34 + 5y43 + 16y33y4 + 18y23y
24 + 8y3y
34 + y44,
λ2(F̃) = λ̃2(F) = 30y41+24y31y2+32y31y3+112y31y4−12y21y22+32y21y2y3+16y21y2y4+4y21y
23+
120y21y3y4 + 116y21y24 + 24y1y
32 + 32y1y
22y3 + 16y1y
22y4 + 40y1y2y
23 + 48y1y2y3y4 + 8y1y2y
24 +
48y1y23y4 + 96y1y3y
24 + 48y1y
34 + 30y42 + 32y32y3 + 112y32y4 + 4y22y
23 + 120y22y3y4 + 116y22y
24 +
48y2y23y4 + 96y2y3y
24 + 48y2y
34 − 2y43 + 8y33y4 + 36y23y
24 + 40y3y
34 + 14y44.
Ta â min∆4λ1(F̃) = 1, min∆4
λ2(F̃) = −2.
Hìn núa, min∆4∩{λ2(F̃)≤0} r = 0.125. Do �â hóng ta â thº hån c > − −2
0.125= 16, ö thº,
c = 17, �º F := F̃+ crI2 ≻ 0 tr¶n ∆4.
Thu�n nh§t hâa F bði
4∑i=1
yi hóng ta nhªn �÷ñ mët �a thù ma trªn thu�n nh§t Fh=
(fijh), trong �â,
f11h= (3(y1 + y2 + y3 + y4)
2 + (2y1 − 2y2)2 + (2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4))(y1 + y2 + y3 +
y4)2+(6(y1+y2+y3+y4)
2−(4(2y3−2y4))(y1+y2+y3+y4))(2y1−2y2)2+17(0.5y1+0.5y2−
0.5y3 − 0.5y4)2(y1 + y2 + y3 + y4)
2 + 17(0.5y3 + 0.5y4 − 0.5y1 − 0.5y2)2(y1 + y2 + y3 + y4)
2,
f12h= f21
h= (y1 + y2 + y3 + y4)(3(y1 + y2 + y3 + y4)
2 + (2y1 − 2y2)2 + (2y3 − 2y4)(y1 +
y2 + y3 + y4))(2y1 − 2y2) + (2y1 − 2y2)(6(y1 + y2 + y3 + y4)2 − (8y3 − 8y4)(y1 + y2 + y3 +
y4))(−y1 − y2 − y3 − y4),
f22h= (3(y1 + y2 + y3 + y4)
2 + (2y1 − 2y2)2 + (2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4))(2y1 − 2y2)
2 +
(6(y1+y2+y3+y4)2−(8y3−8y4)(y1+y2+y3+y4))(−y1−y2−y3−y4)
2+17(0.5y1+0.5y2−0.5y3 − 0.5y4)
2(y1 + y2 + y3 + y4)2 + 17(0.5y3 + 0.5y4 − 0.5y1 − 0.5y2)
2(y1 + y2 + y3 + y4)2.
Chóng ta â thº t½nh min∆4λ1(F
h) = 1.9706, min∆4
λ2(Fh) = 1.5294.
�i·u n y h¿ ra r¬ng Fh< 1.5294I2 tr¶n ∆4, v λ := 1.5294.
�p döng æng thù (3.10), hóng ta â thº t¼m sè L := L(Fh) =
1044
24=
87
2.
Do �â, hån N = 167, �a thù ma trªn (y1 + y2 + y3 + y4)167
Fh â ¡ ma trªn h» sè l
x¡ �ành d÷ìng.
T¼m ¡ ma trªn h» sè õa �a thù ma trªn (y1 + y2 + y3 + y4)167
Fh ∈ St(R[y1, y2, y3, y4]),
th¸ yi bði λi(x, y), hóng ta nhªn �÷ñ biºu di¹n ho F.
74
K�T LU�N
Trong Luªn ¡n hóng tæi �¢ �¤t �÷ñ ¡ k¸t qu£ h½nh sau:
(1) Thi¸t lªp �÷ñ mët sè h°n tr¶n v h°n d÷îi ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma
trªn mët bi¸n. Cö thº, hóng tæi �¢ �÷a ra d¤ng ma trªn ho �ành lþ Enestr�om-Kakeya
(xem ¡ �ành lþ 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4). �çng thíi, hóng tæi �÷a ra mët sè d¤ng ma trªn ho
¡ �ành lþ d¤ng Cau hy (xem ¡ �ành lþ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14,
2.2.16, 2.2.17). B¶n ¤nh �â, hóng tæi so s¡nh ¡ h°n �¢ �¤t �÷ñ trong Luªn ¡n vîi
¡ h°n �÷ñ �÷a ra bði Higham v Tisseur [22℄ (xem Mö 2.3).
(2) �÷a ra mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa mët �a thù ma trªn tr¶n mët tªp nûa �¤i sè
�âng ì b£n vîi thu�n nh§t hâa õa nâ (xem ¡ M»nh �· 1.5.1, 1.5.2, 1.5.5, 1.5.6).
(3) �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u (xem
�ành lþ 3.1.2), tø �â suy ra mët d¤ng ma trªn õa �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Rezni k
(xem H» qu£ 3.1.3).
(4) �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Di kinson-Povh (xem �ành
lþ 3.2.2).
(5) �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ Handelman, biºu di¹n mët �a thù ma trªn x¡
�ành d÷ìng tr¶n mët �ìn h¼nh (xem �ành lþ 3.3.1) v x¡ �ành d÷ìng tr¶n mët �a di»n
lçi, ompa t (xem �ành lþ 3.3.2). Tø �â, hóng tæi �· xu§t mët thõ tö t¼m biºu di¹n n y
ho ¡ �a thù ma trªn (xem Mö 3.3.3).
C¡ k¸t qu£ h½nh trong Luªn ¡n �÷ñ t¡ gi£ æng bè trong 02 b i b¡o [12, 30℄ v
ti·n §n ph©m [13℄. C¡ k¸t qu£ tr¶n l mîi, v �âng gâp th¶m v o h÷îng nghi¶n ùu ¡
�ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù v �a thù ma trªn, �ng nh÷ ùng döng õa hóng
trong Tèi ÷u �a thù , Lþ thuy¶t �i·u khiºn v B i to¡n mæmen.
Mët sè v§n �· nghi¶n ùu ti¸p theo:
1. T¼m ¡ �i·u ki»n �º â biºu di¹n "khæng m¨u thù " trong ¡ d¤ng ma trªn �÷a ra
trong Luªn ¡n ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u v õa Di kinson-Povh.
Nguy¶n nh¥n xu§t hi»n "m¨u thù " trong ¡ biºu di¹n nâi tr¶n l do hóng tæi �¢ ¡p
döng thõ tö " h²o hâa" õa S hm�udgen �èi vîi ¡ �a thù ma trªn (Bê �· 1.4.5). Do
�â, mët æng ö mîi �º biºu di¹n ¡ �a thù ma trªn d÷ìng (khæng ¥m) tr¶n mët tªp
nûa �¤i sè �âng ì b£n thay th¸ ho æng ö h²o hâa tr¶n �¥y õa S hm�udgen l �n
thi¸t ph£i nghi¶n ùu.
75
2. T¼m ¡ ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng �¢ �¤t �÷ñ ho �a thù ma trªn
trong Lþ thuy¸t �i·u khiºn v trong ¡ l¾nh vü kh¡ , t÷ìng tü nh÷ ¡ h S herer-Hol [44℄
�¢ thü hi»n.
76
Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£
li¶n quan �¸n Luªn ¡n
(1) T. H. B. D÷ (2017) �A Note on Positivstellens�atz for Matrix Polynomials�, East-West
Journal of Mathemati s, 19(2), 171-182 .
(2) C. T. L¶, T. H. B. D÷ (2018) �Handelman's Positivstellensatz for Polynomial Matri-
es Positive Definite on Polyhedra�, Positivity, 22(2), 449-460.
(3) T. H. B. D÷, C. T. L¶, T. �. Nguy¹n (2018) �On the Lo ation of Eigenvalues of
Matrix Polynomials� (submitted).
77
T i li»u tham kh£o
[1℄ E. Artin (1927),
�
Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Math.
Sem. Univ. Hamburg 5, 100-115.
[2℄ R. Bhatia (2001), Matrix Analysis, Springer, New York.
[3℄ P. Borwein and T. Erd±lyi (1995), Polynomials and Polynomial Inequalities, Springer-
Verlag, New York.
[4℄ M.D. Choi and T.-Y. Lam (1977), Extremal positive semi-definite forms, J. Math.
Ann. 231, 1-18.
[5℄ J. Cimpri� (2009), A representation theorem for Ar himedean quadrati modules on
∗-rings, Canad. Math. Bull 52(1), 39-52.
[6℄ J. Cimpri� (2012), Real algebrai geometry for matri es over ommutative rings, J.
Algebra 359, 89-103.
[7℄ J. Cimpri� and J. Zalar (2013), Moment problems for operator polynomials, J. Math.
Anal. Appl. 401(1), 307-316.
[8℄ B. Datt and N. K. Govil (1978), On the lo ation of the zeros of a polynomial, J.
Approx. Theory 24, 78-82.
[9℄ M. Dehmer (2006), On the lo ation of zeros of omplex polynomials, J. Inequal. Pure
Appl. Math. 7(1), 1-13.
[10℄ P. Di kinson, J. Povh (2015), On an extension of Pâlya's Positivstellensatz, J. Global
Optim. 61(4), 615-625.
[11℄ G. Dirr and H. K. Wimmer (2007), An Enestr�om-Kakeya theorem for hermitian poly-
nomial matri es, IEEE Trans. Automat. Control 52, 2151�2153.
78
[12℄ T. H. B. D÷ (2017), A Note on Positivstellens�atz for Matrix Polynomials, East-West
J. Math., 19(2), 171-182 .
[13℄ T. H. B. D÷, C. T. L¶, T. �. Nguy¹n (2018), On the Lo ation of Eigenvalues of Matrix
Polynomials (submitted).
[14℄ M. Fiedler (2011), Metri es and Graphs in Geometry, Cambridge Univ. Press, New
York.
[15℄ R. A. Frazer, W. J. Dun an and A. R. Collar (1955), Elementary matri es, 2nd ed.,
Cambridge Univ. Press, London and New York.
[16℄ I. Gohberg, P. Lan aster and L. Rodman (1982),Matrix Polynomials, A ademi Press,
New York.
[17℄ H.-V. Ha, T.-M. Ho (2016), Positive polynomials on nondegenerate basi semi-
algebrai sets, Advan es in Geometry, 16(4), 497-510.
[18℄ S. Hamarling, C. J. Munro and F. Tisseur (2013), An algorithm for the omplete
solution of quadrati eigenvalue problems, ACM Trans, Math. Softw. 39(3), Arti le
18.
[19℄ D. Handelman (1988), Representing polynomials by positive linear fun tions on om-
pa t onvex polyhedra, Pa ifi J. Math. 132, 35-62.
[20℄ E. K. Haviland (1935), On the momentum problem for distribution fun tions in more
than one dimension, Amer. J. Math. 57, 562-572.
[21℄ N. J. Higham and F. Tisseur (2001), Stru tured pseudospe tra for polynomial eigen-
value problems, with appli ations, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 23(1), 187-208.
[22℄ N. J. Higham and F. Tisseur (2003), Bounds for eigenvalues of Matrix Polynomials,
Linear Algebra Appl. 358, 5-22.
[23℄ D. Hilbert (1888),
�
Uber die Darstellensatz definiter Formen als Summe von Formen-
quadraten, Math. Ann. 32, 342-350.
[24℄ A. Joyal, G. Labelle and Q. I. Rahman (1967), On the lo ation of zeros of polynomials,
Cand. Math. Bull. 10, 53-63.
[25℄ J. L. Krivine (1964), Anneaux pr²ordonn²s, J. Analyse. Math. 12, 307-326.
79
[26℄ P. Lan aster (1966), Lambda-matri es and vibrating systems, Pergamon Press, Oxford.
[27℄ J. B. Lasserre (2001), Global optimization with polynomials and the problem of mo-
ments, SIAM J. Optim. 11(3), 796-817.
[28℄ M. Laurent (2009), Sums of squares moment matri es and optimization over poly-
nomials, in: Emerging Appli ations of Algebrai Geometry, New York:Springer, 149,
157-270.
[29℄ C. T. L¶ (2014), Some Positivstellens�atze for polynomial matri es, Positivity. 19(3),
513-528.
[30℄ C. T. L¶, T. H. B. D÷ (2018), Handelman's Positivstellensatz for Polynomial Matri es
Positive Definite on Polyhedra, Positivity. 22(2), 449�460.
[31℄ M. Marden (1966), Geometry of polynomials, Mathemati al Surveys. Amer. Math.
So ., Rhode Island, 3.
[32℄ M. Marshall (2010), Positive polynomials and sums of squares, Springer.
[33℄ G. V. Milovanovi� , D. S. Mitrinovi and Th. M. Rassias (1994), Topi s in polynomials,
Extremal problems, Inequalities, Zeros, World S ientifi , Singapore.
[34℄ G. V. Milovanovi� and Th. M. Rassias (2000), Inequalities for polynomial zeros, In:
Survey on Classi al Inequalities (Th. M. Rassias, ed.), Mathemati s and Its Appli a-
tions. 517, 165-202, Kluwer, Dordre ht.
[35℄ T. Motzkin (1967), The arithmeti -geometri inequalities, In: Inequalities (0. Shisha,
ed.), Pro . Symp. Wright-Patterson AFB, August 19-27, 1965, A ademi Press, 205-
224.
[36℄ Y. Nesterov (2000), Squared fun tional systems and optimization problems, in J.B.G.
Frenk, C. Roos, T. Terlaky, and S. Zhang, editors, High Performan e Optimization,
405-440. Kluwer A ademi Publishers.
[37℄ G. Pâlya (1928),
�
Uber positive Darstellung von Polynomen, Vierteljs hr. Natur-fors h.
Ges. Zuri h. 73, 141-145.
[38℄ V. Powers, B. Rezni k (2001), A new bound for Pâlya's theorem with appli ations to
polynomials positive on polyhedra, J. Pure Appl. Algebra. 164, 221-229.
80
[39℄ M. Putinar (1993), Positive polynomials on ompa t semialgebrai sets, Indiana Univ.
Math. J. 43(3), 969-984.
[40℄ M. Putinar and F.H. Vasiles u (1999), Solving moment problems by dimensional ex-
tension, Ann. of Math. (2), 149(3), 1087-1107.
[41℄ B. Rezni k (1995), Uniform denominators in Hilbert's seventeenth problem, Math. Z.
220, 75-98.
[42℄ C. S heiderer (2003), Sums of squares on real algebrai urves, Math. Z. 245, 725-760.
[43℄ C. S heiderer (2005), Distinguished representations of non-negative polynomials, J.
Algebra. 289, 558-573.
[44℄ C. W. S herer, C. W. Hol (2006), Matrix sum-of-squares relaxations for robust semi-
definite programs, Math. Program. 107 (1,2), 189-211.
[45℄ K. S hm�udgen (1990), Unbounded operator algebras and representation theory. Oper-
ator Theory , Advan es and Appli ations, 37. Birkh�auser Verlag, Basel-Boston-Berlin.
[46℄ K. S hm�udgen (1991), The K-moment problem for ompa t semialgebrai sets, Math.
Ann. 289, 203-206.
[47℄ K. S hm�udgen (2005), A stri t Positivstellensatz for the Weyl algebra, Math. Ann.
331, 779-794.
[48℄ K. S hm�udgen (2009), Non ommutative real algebrai geometry - some basi on epts
and first ideas. In: Emerging Appli ations of Algebrai Geometry, IMA Vol. Math.
Appl. Springer, New York, 149, 325-350.
[49℄ M. S hweighofer (2002), An algorithmi approa h to S hm�udgen's Positivstellensatz,
J. Pure Appl. Algebra. 166(3),307-319.
[50℄ M. S hweighofer (2006), Global optimization of polynomials using gradient tenta les
and sums of squares, SIAM J. Optim. 17(3), 920-942.
[51℄ N. Z. Shor (1987), Class of global minimum bounds of polynomial fun tions, Cyber-
neti s. 23(6), 731-734.
[52℄ V. Simon ini, F. Perotti (2006), On the numeri al solution of (λ2A + λB + C)x = b
and appli ation to stru tural dynami s, SIAM J. S i. Comput. 23, 1875-189.
81
[53℄ G. Singh and W. M. Shah (2011), On the Lo ation of Zeros of Polynomials, Amer. J.
Comp. Math. 1(1), 1-10.
[54℄ G. Stengle (1974), A Nullstellensatz and a Positivstellensatz in semialgebrai geome-
try, Math. Ann. 207, 87-97.
[55℄ M. Zedek (1965), Continuity and Lo ation of Zeros of Linear Combinations of Poly-
nomials, Pro . Amer. Math. So . 16, 78-84.
[56℄ L. Zeng and Y. Su (2014), A ba kward stable algorithm for quadrati eigenvalue prob-
lems, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 35(2), 499-516.
82
Recommended