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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
La struttura nucleare dell’atomo
Lezione 1
Prequel: la struttura atomica della materia
• Alla fine dell’800 è ormai completamente assodata la struttura atomica della materia: – su di essa si basa tutta la chimica – elementi chimici classificati nella tavola periodica – identificati dal numero atomico Z
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 2
Z Numero atomico
Peso atomico
Peso atomico: massa [in g] di una mole NA = 6.022×1023
di atomi dell’elemento
L’esperimento di Rutherford (Das-Ferbel, cap. 1)
• J.J. Thomsons aveva estratto dall’atomo particelle cariche negativamente.
• Essendo neutro, l’atomo doveva contenere delle cariche positive. • Si pone il problema di come queste siano distribuite. • L’esperimento di Rutherford e collaboratori del 1910 dimostrò che la
carica positiva è concentrata in un nucleo – puntiforme entro la risoluzione dell’esperimento – inizio della fisica “nucleare”
• Introdurremo due concetti fondamentali per il corso: – il processo di scattering – e la definizione di sezione d’urto
• con le definizioni collegate di coefficiente di assorbimento e cammino libero medio o lunghezza di interazione
• Vedremo: – la cinematica dell’urto non relativistico – come calcolare la sezione d’urto per scattering coulombiano
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 3
→ scoperta dell’elettrone
L’esperimento di Rutherford
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 4
Prima di realizzare l’esperimento per cui è universalmente ricordato
L’esperimento di Rutherford
• Nel 1910 due assistenti di Rutherford, H. Geiger e E. Marsden, iniziarono sotto la direzione di Rutherford, una serie di esperimenti a Manchester.
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 5
• Con questi esperimenti fu misurata la sezione d’urto di diffusione delle particelle α da parte degli atomi del bersaglio.
• L’osservazione che destò l’interesse di Rutherford fu la relativa abbondanza di particelle α diffuse a grande angolo.
L’esperimento di Rutherford
• L’esperimento consiste nella misura del numero di particelle α deviate in funzione dell’angolo di deflessione:
• È necessario determinare quantitativamente: – la probabilità che una particelle α venga deflessa in un certo angolo
solido – il tasso di eventi effettivamente atteso – concetto di sezione d’urto
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 6
dΩ
Interludio: angolo solido
• L’angolo solido in steradianti (sr) è l’area sottesa sulla superficie sferica di raggio unitario. – In analogia all’angolo in radianti (rad) che è l’arco sotteso sulla
circonferenza di raggio unitario.
• Il differenziale dΩ è dato da:
– a volte si sottintende l’integrazione su φ:
• Come ci si aspetta:
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 7
θ θ
=sinθdφdθ
dΩ = sinθdϕdθ= dϕ d cosθ
= 2sin θ 2( )cos θ 2( )dϕ dθ
dΩ = 2π sinθdθ
dΩ∫ = dϕ dθ sinθ0
π∫0
2π∫ = 2π dθ sinθ
0
π∫
= 2π dcosθ−1
1∫ = 4π
Un rivelatore di area A, ad una distanza r sottende un angolo solido ΔΩ=A/r2
Sezione d’urto
• In fisica nucleare e subnucleare siamo interessati a interazioni che avvengono in regioni di dimensioni inferiori a quelle di un atomo: – dimensioni minori del più piccolo strumento che possiamo costruire; – la stessa preparazione dello stato iniziale ha incertezze maggiori della
regione in cui avvengono i fenomeni.
• In esperimenti di scattering studiamo stati asintotici: – parametri (intensità, quantità di moto...) del fascio incidente – parametri (angolo di deflessione, quantità di moto...) delle particelle
diffuse – entrambi misurati a “grandi” distanze dalla regione di interazione. – Si può misurare il tasso con cui si ottiene un certo risultato finale a partire
dal sistema inizialmente preparato.
• La sezione d’urto è una quantità collegata alla probabilità che si verifichi un certo evento: – Quantità osservabile – Interpretabile sia in meccanica classica che in meccanica quantistica
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 8
Sezione d’urto
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 9
• Consideriamo un esperimento ideale: – un fascio di proiettili – incidente su una lamina di materiale – andiamo a misurare quante vengono deflesse verso un rivelatore
• Il numero di interazioni al secondo dn/dt è proporzionale a: – l’intesità del fascio (numero di particelle incidenti al secondo) I0
– la densità di bersagli (numero di bersagli per unità di volume) nT – lo spessore del bersaglio dz – l’angolo solido sotteso dal rivelatore ΔΩ
• La costante di proporzionalità ha le dimensioni di una superficie ed è detta sezione d’urto differenziale dσ/dΩ
dzoI dn θ( )dt
∝ nT
dn θ( )dt
= I0nTdzdσdΩ
ΔΩ
I0nT dz ΔΩ
ΔΩ
Misura della sezione d’urto
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• Supponiamo di potere considerare il bersaglio sottile (condizione che si verifica molto frequentemente) – ciò è equivalente alla condizione
• in queste condizioni per una ben definita condizione sperimentale – ad es. una fissata energia del fascio, una fissata accettanza angolare ΔΩ – il numero N0 di particelle del fascio è misurato con un rivelatore monitor – il numero di interazioni n è misurato con il rivelatore
• inoltre sono ovviamente conosciuti – lo spessore del bersaglio dz – la densita nT di atomi/nuclei bersaglio (target)
• ρ è la densità, A peso atomico e NA il numero di Avogadro
• La sezione d'urto allora è
• se gli errori su tutte le grandezze sono trascurabili escluso l'errore statistico su n, l'errore statistico sulla sezione d'urto è
nTdzσ ≪ 1
nT =ρANA
dσdΩ
=1ΔΩ
1nTdz
nN0
Δσσ
=Δnn=
nn
=1n
monitor θ
rivelatore E
N.B.: ΔΩ = area rivelatore/distanza2
Assorbimento e lunghezza di interazione
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 11
• La sezione d’urto totale σ si ottiene integrando la sezione d’urto differenziale su tutto l’angolo solido:
• Il tasso totale di particelle diffuse si traduce in una diminuzione dell’intensità I del fascio:
• Se la diminuzione del numero di particelle nel fascio non è trascurabile, l’intensità varia con la profondità secondo la legge:
• dove µ=nTσ prende il nome di coefficiente di assorbimento. • Analogamente si può introdurre la lunghezza d’interazione λ
(detta anche libero cammino medio)
⇒dII z( )
= −nTσdz
I z( ) = I0e−nTσ z = I0e−µz
λ =1µ=1nTσ
I z( ) = I0 e−zλ
dndt
= −dI = InTdzσ 0 Ldz
fascio
z
σ = dϕ sinθ dθ dσdΩ0
π∫0
2π∫
Assorbimento e lunghezza di interazione
• Se lo spessore z è piccolo (z≪λ): – il fascio uscente è ridotto in intensità di un fattore 1-z/λ – la probabilità di scattering di un particella del fascio è
– prodotto della densità superficiale nTz per la sezione d’urto σ
• La densità di centri di scattering dipende dalla densità del materiale:
– spesso si esprime λ normalizzata per la densità:
• dipende dal materiale, ma non dallo stato dello stesso • ha le dimensioni di una densità superficiale.
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z λ = nT zσ
nT =ρANA
λ =1nTσ
=A
ρNAσλρ( ) =
ANAσ
Urto non relativistico tra due particelle
– Conservazione del momento
– Conservazione dell’energia cinetica
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!vo
!vα
!vtmα!vo = mα
!vα +mt!vt
!vo =!vα +
mtmα!vt vo2 = vα2 +
mt2
mα2vt2 + 2
mtmα!vt ⋅!vα
12mαvo2 =
12mαvα2 +
12mtvt2
2 2 2to t
mv v vmaa
= + 2 2tt
mv v
maa
+ = vt2 =mtmα
vt2 + 2!vt ⋅!vα
vt2 1−mtmα
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 2
!vt ⋅!vα
vα2 +mt2
mα2vt2 + 2
mtmα!vt ⋅!vα
Urto non relativistico tra due particelle
• In base alla relazione
• Se mt<mα
• le due particelle escono nella stessa direzione
• Se mt>mα
• le due particelle tendono a uscire in direzioni opposte
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vt2 1−mtmα
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 2
!vt ⋅!vα
1 0tmma
- >!vt ⋅!vα > 0
1 0tmma
- <!vt ⋅!vα < 0
L’esperimento di Rutherford
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 15
• Nel modello di Thomson dell’atomo
• Sappiamo che l’elettrone è molto leggero (misura e/m)
• Se l’urto fosse con l’elettrone
• La particelle α non sarebbe apprezzabilmente deviata dall’elettrone – Si può verificare che neppure la carica positiva uniformemente
distribuita sulle dimensioni dell’atomo deflette apprezzabilmente la particella α
+
-
mtmα∼ 10−4 !vo =
!vα +mtmα!vt ≈
!vα
L’esperimento di Rutherford
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 16
• Supponiamo che l’atomo abbia un nucleo molto piccolo ma molto pesante – ad esempio se consideriamo l’oro (A=197, mt ~ 2×105 MeV)
– Inoltre
– Pertanto il momento del nucleo dopo l’urto è
• Significa che la particella α può addirittura rinculare indietro
vt2 1−mtmα
"#$
%&' = 2
!vt ⋅!vα vt2 1−
mtmα
"#$
%&' = 2vt ⋅ vα cosθ ≤ 2vt ⋅ vα
vt2 ≤ 2mαmt
vt ⋅ vα vt ≤ 2mαmt
vα
vo2 = vα2 +mtmα
vt2
mtmα∼ 50
≤ vα2 +mtmα
2mαmt
"#$
%&'2vα2 = vα2 + 4
mαmt
vα2 ∼ vα2 vo ∼ vα
vt ≤ 2mαmt
vα mtvt ≤ 2mαvα mtvt ≤ 2mαvo
mα!vo
mtvt ∼ 2mαvomαvo
1− mtmα
≈ −mtmα
Scattering coulombiano
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• Fino a questo punto abbiamo fatto dei ragionamenti qualitativi • Si può fare un calcolo quantitativo con interazione
fra la particella α e il nucleo di tipo Coulombiano
• La traiettoria è un ramo di un’iperbole • Ci sono due costanti del moto
– L’energia totale:il campo è conservativo – Il momento angolare: la forza è
diretta lungo e ha momento nullo
V r( ) =14πεo
ZZαe2
r
z
θχοb
b = parametro d’impatto
θ = angolo di scattering mα!vo
E ≡12mαvo2 =
12mαv2 +U r( )
!L =!r ×m!v
χr
!r
ro
!r ×!F = 0
� Utilizziamo le coordinate polari r e χ
� Le coordinate del punto di massimo avvicinamento sono ro e χo
� vogliamo trovare la relazione fra b e θ
DIM
Scattering Coulombiano
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• Passiamo in coordinate polari r e χ:
– Se scomponiamo la velocità nelle componenti radiale e trasversale:
– Equazione della traiettoria:
– Angolo al punto di massimo avvicinamento: • dove r0 è soluzione di
• Un calcolo lungo ma non difficile permette di ottenere
z
θχοb
mα!vo
χr
b = 14πεo
ZZαe2
2Ecotθ2
E =12mαvo2
DIM
L = mαvob = 2mαEb
dχdt
=Lmr2
vT =Lmr
vT = rdχdt
vr =drdtvr = v2 − vT2 =
2mEkin −
L2
m2r2=
2m
E −V (r)− L2
2mr2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
drdt=
2m
E −V (r)− L2
2mr2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
dχdr
=Lmr2
2m
E −V (r)− L2
2mr2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−1/2
θ = π-2χ0
χ0 = dr Lmr2
2m
E −V (r)− L2
2mr2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−1/2
r0
+∞
∫E −V (r)− L2
2mr2= 0
Sezione d’urto di Rutherford
• Dalla relazione tra parametro di impatto e angolo di deflessione:
• ricaviamo la relazione differenziale:
• Le particelle α che vengono diffuse tra un angolo θ e θ+dθ sono quelle che passano in un’area:
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 19
b = 14πεo
ZZαe2
2Ecotθ2
db = 14πεo
ZZαe2
2E−12
1sin2θ 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟dθ
dσ = 2πbdb
= 2π 14πεo
ZZαe2
2E⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟212cosθ 2sin3θ 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟dθ
DIM
Sezione d’urto di Rutherford
• Possiamo quindi costruire una relazione tra l’angolo solido in cui le particelle α vengono diffuse e l’area in cui sono passate:
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 20
b = 14πεo
ZZαe2
2Ecotθ2 db = 1
4πεoZZαe2
2E−12
1sin2θ 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟dθ
dσ 12cosθ 2sin3θ 2
dϕdθ
bdϕdb = 14πεo
ZZαe2
2E⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟212cosθ 2sin3θ 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟dϕdθ
=142cosθ 2sinθ 2
sin4θ 2dϕdθ
=14sinθsin4θ 2
dϕdθ
=14
1sin4θ 2
dΩ
DIM
Sezione d’urto di Rutherford
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• Otteniamo quindi l’espressione:
• Supponiamo di avere un fascio di n0 particelle per unità di area incidenti su un atomo: – Il numero di particelle diffuse in un angolo solido dΩ sono quelle che
entrano nell’area corrispondente:
• Se il fascio incide su NT atomi:
• In un caso realistico un fascio di N0 particelle di sezione S incide su un bersaglio di spessore dz con nT atomi per unità di volume:
• Il numero totale di particelle deflesse nell’angolo solido dΩ sarà:
dσdΩ
=14πεo
ZZαe2
4E⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2 1sin4θ 2
dn θ( ) =NoSnTdzS
dσdΩ
dΩ
dn θ( ) = n0 dσ = n0dσdΩ
dΩ
dn θ( ) = n0NTdσdΩ
dΩ
n0 = N0 S NT = nTdzS
= NonTdzdσdΩ
dΩ
Sezione d’urto differenziale per scattering coulombiano
Sezione d’urto di Rutherford
• La sezione d’urto totale si può ricavare da quella differenziale per integrazione:
• Nel caso dello scattering Coulombiano è facile rendersi conto che l’integrale non è convergente per piccoli angoli:
– Effetto del grande range delle forze elettromagnetiche: per quanto grande sia b, c’è sempre almeno una piccola deviazione.
– In realtà per b maggiore della dimensione atomica, gli elettroni schermano completamente la carica nucleare.
• La formula per la sezione d’urto totale escludendo un piccolo angolo:
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σ = dϕ sinθ dθ dσdΩ0
π∫0
2π∫
σ = 2π ZZα4!cEα
!"#
$%&2 sinθ dθ
sin4θ 20
π∫
σ θ > θ1( ) = 4π14πεo
ZZαe2
2E⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2 1sin2θ1 2
−1⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= 8π ZZα4!cEα
!"#
$%&2 d sinθ 2( )
sin3θ 20
1∫
ESERCIZI
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 23
Esercizio 1 (vedi es. 1.11 del Das-Ferbel)
• Considerare una sorgente collimata di particelle α di 8 MeV di energia, che fornisce 104 α/s su un foglio d’oro di 0.1 mm. Che tasso di conteggio ci si aspetta in un rivelatore che sottende un anello conico di Δθ=0.05 rad ad un angolo di scattering di 90°? Lo si confronti con il tasso a 5°. Il risultato pone dei problemi?
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 24
Esercizio 2
• Calcolare la sezione d’urto differenziale e totale per l’urto di una particella puntiforme di massa trascurabile su una sfera rigida di raggio R
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 25
Esercizio 3 (vedi sezione 1.5 del Das-Ferbel)
• La derivazione della sezione d’urto per scattering coulombiano, è stata eseguita assumendo un centro di forze fisso.
• Sapendo che, per una forza centrale, si può scomporre il problema a due corpi in un moto relativo con una massa pari alla massa ridotta dei due corpi e nel moto del centro di massa: – dimostrare che il dΩ nel sistema del centro di massa è uguale
al dΩ del moto relativo – determinare la relazione tra la sezione d’urto nel sistema del
centro di massa e quella nel sistema del laboratorio:
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 26
dσdΩlab.
=dσ
dΩc.m.dΩc.m.dΩlab.
Esercizio 4
• Il neutrone venne osservato come una radiazione neutra in grado di trasferire un’energia significativa ai nuclei. – dimostrare che la massima energia
trasferita da un proiettile di massa ed energia m1 ed E1 ad un bersaglio di massa m2 è:
– Chadwick misurò (con errori relativa- mente grandi) una radiazione neutra che produceva un’energia massima di rinculo di 5 MeV su nuclei di idrogeno e di 1 MeV su nuclei di azoto. Che e- nergia e massa ha questa radiazione? (usare i pesi atomici per determinare le masse dei nuclei)
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 27
Emax = E14ζ
(1+ζ )2, ζ =
m1m2
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