Lezione 2 - fisica.unimi.it · • La carica del nucleo è data dal numero di protoni: ... • Nuclei con lo stesso Z ma diverso N sono detti isotopi dello stesso elemento. • Nuclei

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Proprietà dei nuclei

Lezione 2

Classificazione dei nuclei

•  I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni. •  La carica del nucleo è data dal numero di protoni:

–  numero atomico Z –  determina le proprietà chimiche dell’atomo risultante –  di solito indicato attraverso il simbolo dell’elemento

chimico •  La massa del nucleo dipende principalmente dal numero di

nucleoni: –  numero di massa A –  somma di Z e del numero di neutroni N

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2015/16 2

9Be Berillio: Z=4

Numero di massa A=9 Neutroni N=A-Z=5

N.B.: se fosse necessario indicare esplicitamente Z, useremo la notazione:

AZX

Classificazione dei nuclei

•  Nuclei con lo stesso Z ma diverso N sono detti isotopi dello stesso elemento.

•  Nuclei con lo stesso A, ma diverso Z, sono detti isobari.

•  Nuclei con lo stesso N, ma diverso Z, sono detti isotoni.

•  Un nucleo con determinati valori di A e Z può trovarsi in stati eccitati, isomeri o risonanze, da cui solitamente decade nello stato fondamentale emettendo radiazione elettromagnetica (raggi γ)


N→ Z→

BNL Nuclide Map http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/

Carta dei Nuclidi


BNL Nuclide Map http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/

20983Bi

Masse dei nuclei

•  La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti:

•  La differenza di massa è dovuta all’energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari:

–  Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità.

•  Una quantità fisicamente importante è l’energia media di legame per nucleone:


M (A,Z )< Zmp + (A− Z )mn

B.E. / c2 =M (A,Z )− Zmp − (A− Z )mn

mp = 938.27 MeV / c2

mn = 939.57 MeV / c2

BA= −

B.E.A

=Zmp + (A− Z )mn −M (A,Z )"# $%c

2

A

Spettrometro di massa


•  Per la misura di masse atomiche si usano spettrometri di massa •  Il principio di funzionamento è il seguente

–  una sorgente di ioni •  gli atomi sono ionizzati e accelerati

–  un selettore di velocità •  solo le particelle che viaggiano in linea retta

attraversano i collimatori •  La forza elettrica e la forza magnetica

si bilanciano

–  uno spettrometro magnetico •  masse diverse hanno raggi diversi

sorgente di ioni selettore v

!v

!FE = q

!Ev

!FB = q

!v ×!Bv

!FE = −

!FB

spettrometro magnetico

qvB = mv2 R

mv = qBR

m = q BvEvBR

collimatori

v = EvBv

!Bv

!Ev

R

Spettrometro di massa


•  Interessano precisioni sulle masse ~0.1 MeV. –  ~10-6 per atomi con A~100

•  Per poter determinare la massa con precisione occorre –  misurare con precisione R –  misurare con precisione Ev, Bv, B

•  stabilità ed uniformità

•  Si ottengono precisioni migliori per rapporti di masse –  si utilizzano due molecole che hanno

circa la stessa massa; ad esempio: –  si possono utilizzare le stesse regolazioni

di E e B per le due molecole –  Le molecole passano attraverso le stesse

regioni dell’apparato

•  Il rapporto delle masse dipende solo dai raggi:

•  Il carbonio consente numerose possibilità di realizzare le masse volute.

m = q BvEvBR

160Gd ≈ C12H16 AC12H16 = 12 ×12 +16 ×1

m1 = qBvEvBR1

m2 = qBvEvBR2 C12H16

160Gd

m1 m2 = R1 R2

Masse atomiche

•  Normalmente viene tabulato il peso atomico:

–  include le masse degli elettroni e la loro piccola energia di legame Be: –  espresso in unified atomic mass unit (u):

1/12 della massa di un atomo di 12C –  1 u = 931.49 MeV/c2 = 1.6605 × 10-27 kg –  NA = 6.022142×1023 mol-1 è il numero di atomi contenuti in 12 g di 12C

•  Si definisce eccesso di massa la differenza rispetto ad A u:


Mass excess =m(A,Z )− A u

m(A,Z ) =M (A,Z )+ Zme −Be(Z ) / c2

Mass excess [keV/c2] Atomic mass [µu]

Isotopi e pesi atomici

•  Uno spettrometro di massa può venire usato come separatore di isotopi. –  sia come analisi di composizione –  che come produzione di specifici nuclidi

•  I pesi atomici degli elementi tengono conto dell’abbondanza isotopica. –  Tipicamente differiscono da A di frazioni in 10-3, –  eccetto quanto sono presenti diversi isotopi con

abbondanza comparabile.


Energia di legame per nucleone


Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons.




•  Osservazione: –  l’energia media di legame è

approssimativamente costante: B/A ~ 8 MeV

–  l’interazione nucleare deve essere a corto range.

Interazioni a lungo e corto range

•  Interazioni a lungo range (es. interazione Coulombiana): –  una particella interagisce con tutte le altre

particelle presenti –  energia della particella: A+1∝A –  energia totale proporzionale al numero di

coppie: E∝A(A-1)/2

•  Interazioni a breve range (es. legami molecolari)

–  una particella interagisce solo con le particelle più vicine

–  energia della particella: A+1~costante –  energia totale proporzionale al numero di

particelle: E∝A





•  Osservazione: –  esiste un massimo in corrispondenza del 56Fe. –  Sotto tale A, è energeticamente conveniente

combinare nuclei leggeri in un nucleo pesante: •  fusione nucleare •  processo di nucleosintesi primordiale e stellare.

–  Al di sopra i nuclei devono venire prodotti da altri meccanismi:

•  esplosioni di supernovae.




•  Osservazione: –  L’energia media di legame presenta irregolarità

nella regione di basse masse: •  modelli nucleari dovranno spiegare queste

proprietà

–  In particolare 4He (Z=2, N=2) è più strettamente legato degli stati vicini:

•  assenza di nuclei stabili con A=5 e 8 •  possibilità di decadimenti α di elementi pesanti

Le barriere di massa A=5, A=8

•  Energia di separazione –  Energia minima necessaria da

fornire ad un nucleone per estrarlo dal nucleo.

–  Per protoni:

–  Per neutroni

•  Sp(5Li) e Sn(5He) sono negative: –  gli stati legati sono instabili.

•  Infine abbiamo che: m(8Be)>2m(4He)

–  tale nucleo decade immediatamente in due α


N→ Z→

A=5

A=8

Sp ZAX( ) = m Z−1

A−1X( )+m 1H( )−m ZAX( )"

#$%c

2

Sn ZAX( ) = m Z

A−1X( )+mn −m ZAX( )"

#$%c

2

Stabilità dei nuclei


Stabile

N Z Nuclei stabili

Pari Pari 156

Pari Dispari 48

Dispari Pari 50

Dispari Dispari 5



Stabile

β+

β-

β- AZX→AZ+1X

β+ AZX→AZ-1X

Decadimenti β

Decadimenti tra nuclei isobari: •  β-: AZ-1X→A

ZX+e-+νe

–  permesso se: m(A,Z-1)>m(A,Z) •  β+: AZX→A

Z-1X+e++νe

–  permesso se: m(A,Z)>m(A,Z-1)+2me

•  Cattura Elettronica (EC): AZX+e-→AZ-1X+νe

–  permesso se: m(A,Z)>m(A,Z-1) Tra due isobari contigui (|ΔZ|=1) è sempre permesso o un decadimento β- o un EC

–  β+ sempre accompagnato da EC –  sequenze di decadimenti fino a

raggiungere l’isotono più stabile: valle di stabilità

–  se A pari, nuclei dispari-dispari decadranno in pari-pari

–  possono esserci più nuclei pari-pari stabili


N.B.: masse atomiche



Stabile

β+

β-

emissione di n

α AZX→A-4Z-2X

α

Fissione spontanea

emissione di p

Momento magnetico

•  Una particella può essere dotata di momento angolare: spin S •  In una visione classica, in cui una distribuzione

di massa ruota con velocità angolare ω attorno al proprio asse:

–  I = momento d’inerzia •  Se abbiamo una corrispondente distribuzione di carica:

•  la particella presenta anche un momento magnetico:


S = dVρ(r) rsinθω( ) rsinθ( )∫

S = dVρ(r)v× r∫=ω dVρ(r)r2 sin2θ = I∫ ω

ρe(r) =QMρ(r)

µ = dVρe(r)v2πr

πr2 sin2θ( )∫

µ =Q2M

S

=Q2M

ω dVρ(r)r2 sin2θ∫

rsinθ

rsinθ

I=Qv/2πrsinθ I S

Momento magnetico

•  In meccanica quantistica solo alcuni valori di S sono permessi:

•  Il momento magnetico si può esprimere come –  g fattore giromagnetico

•  p, n, e (e ν) hanno tutti s=1/2 –  possono trovarsi in due stati di Sz=±ℏ/2 –  g=2 per particelle elementari di spin ½ –  κ=g-2: anomalia magnetica

•  Per l’elettrone:

•  Per il protone:

•  Per il neutrone:


S = s(s+1) ! s = 0, 12 ,1, 32… Sz =m! m = −s,−s+1,…+ s

!µ = g Q!

2M

"S!

!

"#

$

%&

µe = µB =e!2me

Spesso gergalmente si dice S=sℏ

= 5.788381×10−11MeV / T ge ≈ 2

µp = 2.79µN = 2.79e!2mp

κ p = 3.58

µn = −1.91µNκn = −3.82

µN = 3.152451×10−14MeV / T

Magnetone di Bohr

Magnetone nucleare

Momento magnetico

•  Nuclei stabili con A pari (tipicamente Z-N pari-pari) presentano S=0 –  µ=0

•  Nuclei con A dispari (Z-N pari-dispari/dispari pari) hanno valori osservati -3µN<µ<7µN. –  molto minore del numero di nucleoni disponibili

•  I momenti magnetici dei singoli nucleoni tendono a compensarsi l’uno con l’altro.


Dimensione dei nuclei

•  Primi studi sulla struttura interna del nucleone effettuati con esperimenti di scattering elastico e-nucleo

•  Acceleratore lineare a Stanford •  Serie di esperimenti con elettroni di

energia 150-550 MeV e diversi tipi di bersaglio.

•  McAllister e Hofstadter, Phys. Rev. 102 851 (1956)

Premio Nobel nel 1961


Cinematica

•  Consideriamo un elettrone incidente su un nucleo a riposo. –  Per fissare le idee definiamo l’asse

z come la direzione del moto. –  Possiamo trascurare la massa

dell’elettrone. –  mN massa del nucleo.

•  L’elettrone scambia un fotone con il nucleo, trasferendogli un tetramomento q. –  W massa dello stato adronico

finale:

Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 4- A. Andreazza - a.a. 2014/15 24

k = E 0 0 E( )!k = !E !E sinθ 0 !E cosθ( )p = mN 0 0 0( )q = E − "E − "E sinθ 0 E − "E cosθ( )

W 2 = p+ q( )2 =mN2 + 2 pq( )+ q2

e-e-

N adroni

Cinematica: Invarianti relativistiche

•  Ci sono tre tetravettori indipendenti: p, k, k′ –  Possono venire combinati a dare tre quantità scalari

•  Energia nel centro di massa •  Due a scelta tra:

–  Momento trasferito –  Per comodità si definisce Q2 come quantità positiva:

–  Frazione di energia trasferita

–  xB

•  Caso elastico: –  un vincolo aggiuntivo


s = p+ k( )2 =mN2 + 2mNE

q2 = k − "k( )2 = −2 k "k( ) = −2E "E (1− cosθ ) = −4E "E sin2 12θQ2 = −q2

y =2 pq( )2 pk( )

=E − "EE

0 < y <1

x = Q2

2 pq( )0 < x <1

W 2 =mN2

W 2 = p+ q( )2 =mN2 + 2 pq( )+ q2 ⇒ mN

2 =mN2 + 2 pq( )+ q2 ⇒ x = −q2

2 pq( )=1

2E !E (1− cosθ )2mN E − !E( )

=1⇒"EE=

11+ E /mN( )(1− cosθ )

=1

1+ 2E /mN( )sin2 12θ

Sezione d’urto di Mott

•  Quando si considera lo spin dell’elettrone, la sezione d’urto di Rutherford viene modificata.

•  Si ottiene la sezione d’urto di Mott:

•  Se si considera un nucleone con spin ½:


dσdΩ"

#$

%

&'Mott

=α 2 cos2 12θ4E 2 sin4 12θ

(EE

dσdΩ

=α 2

4E 2 sin4 12θ"EE ⇒

Correzione per tenere in conto che siamo nel sistema del laboratorio

dσdΩ

=α 2 cos2 12θ4E 2 sin4 12θ

"EE1+ Q2

2mN2 tan

2 12θ

#

$%

&

'( =

dσdΩ"

#$

%

&'Mott

1+ Q2

2mN2 tan

2 12θ

(

)*

+

,-

Formula di Rosenbluth

•  Nel caso generale:

•  Solitamente le funzioni W sono espresse in termine dei fattori di forma adimensionali F1 ed F2.

•  Che si possono interpretare come i termini che definiscono il contributo della carica e del momento magnetico anomalo:

κ=g-2 nell’interazione e-p.


dσdΩ

=α 2 cos2 12θ4E 2 sin4 12θ

"EE

W2 Q2( )

4mN2 +

W1 Q2( )

2mN2 tan2 12θ

#

$%%

&

'((

W1 Q2( ) =Q2 F1(q

2 )+κF2 (q2 )( )

2W2 Q

2( ) = 4mN2 F12 (q2 )+ κ2Q2

4mN2F22 (q2 )

!

"##

$

%&&

Interpretazione dei fattori di forma

•  La sezione d’urto è proporzionale al quadrato dell’elemento di matrice

•  Nel caso di scattering di Rutherford

•  Per una generica distribuzione di carica normalizzata ρ(r):


drρ(r) =1∫

f V i = drψ f* r( )V r( )ψi r( )∫

V r( ) =Ze2

4πε0rf V i = dre

i!p f ⋅r Ze2

4πε0re−i!pi ⋅r∫ =

Ze2

4πε04π!2

q2q = pi − p f

V r( ) = d !r Ze2ρ( !r )4πε0 | r − !r |∫

f V i = drei!p f ⋅r d "r Ze2ρ( "r )

4πε0 | r − "r |∫%

&'

(

)*e

−i!pi ⋅r∫ = dr d !r Ze2ρ( !r )

4πε0 | r − !r |∫ e−i!q⋅r

∫

= d !r ρ( !r )e−i!q⋅ !r

dr Ze2

4πε0 | r − !r |∫ e−i!q⋅(r− !r )

∫ =Ze2

4πε04π!2

q2!

"#

$

%& d 'r ρ( 'r )e

−i!q⋅ 'r

∫

Interpretazione dei fattori di forma

•  Se il processo di scattering avviene non in un punto, ma su una distribuzione di densità compare un contributo dovuto alla propagazione delle onde piane corrispondenti alle funzioni d’onda della particelle incidente e di quella diffusa:

•  Per particelle puntiformi •  A basso momento trasferito, q≪1/r, e, sviluppando l’integrale, si ottiene una

serie di potenze in q:

–  Assumendo ρ a simmetria sferica:

•  Se q≫1/r, l’integranda oscilla fortemente e


F(q2 ) = dre−i "k ⋅rρ(r)eik⋅r∫ = dreiq⋅rρ(r)∫F(q2 ) =1

F(q2 ) = dreiq⋅rρ(r) =∫ drρ(r) 1+ iq ⋅ r− 12q ⋅ r( )2 +...

$

%&'

()=∫

drρ(r) =1∫drρ(r)iq ⋅ r =∫ 0

−12

drρ(r) q ⋅ r( )2 =∫ −16q2 r2

Primo termine dello sviluppo: 0ggetto della misura di Hofstadter

F(q2 )→ 0 perq2 →∞

•  La figura mostra uno schema semplificato della camera di scattering

•  Gli elettroni normalmente attraversano la camera di scattering senza interagire con il bersaglio e vengono misurati dal rivelatore monitor che permette così di misurare il numero di elettroni di ogni impulso

La camera di scattering

•  Occasionalmente gli elettroni interagiscono nel bersaglio

•  Gli elettroni deflessi dell'angolo a cui è posto il rivelatore entrano nelo spettrometro.

•  Lo spettrometro misura il momento per verificare lo scattering elastico:


!EE=

1

1+ EmN

1− cosθ( )

Risultati per idrogeno

a)  Sezione d’urto di Mott

b)  Particella di Dirac

c)  Sezione d’urto di Rosenbluth per protone puntiforme

La curva sperimentale indica una correzione: con


F1 Q2( ) = F2 Q2( ) =1−Q

2

6rp2

rp2 = 0.74± 0.24fm

F1 Q2( ) = F2 Q2( ) =1

dσdΩ

=α 2

4E 2 sin4 12θ"EEcos2 12θ F1

2 +κ 2Q2

4mp2 F2

2#

$%%

&

'((+

Q2

2MF1 +κF2( )

2tan2 12θ

)

*++

,

-..

dσdΩ

=α 2

4E 2 sin4 12θ"EEcos2 12θ

dσdΩ

=α 2

4E 2 sin4 12θ"EEcos2 12θ 1+

Q2

2Mtan2 12θ

#

$%

&

'(

Risultati per particelle α

•  Siccome il nucleo di He ha spin 0, il confronto viene fatto con la formula di Mott

–  Scalata per Z2

•  Anche in questo caso accordo con un fattore di forma:


F1 Q2( ) =1−Q

2

6rHe2

rHe2 =1.60± 0.10fm

dσdΩ

=Z 2α 2

4E 2 sin4 12θ* cos

2 12θ

*F12 Q2( )

Un’analogia con l’ottica

•  Il fenomeno è simile a quello della diffrazione: –  Interferenza tra i fronti d’onda

diffusi dai vari centri di scattering


Frosch et al, “Structure of the He4 Nucleus from Elastic Electron Scattering”, Phys. Rev. 160 874 (1967)

A(θ ) = dyei2πλysinθ

−d /2

d /2∫

x

y

θ

eik⋅x

k = 2πλ1,0( )

ρ x( ) = δ x( )ϑ d / 2− | y |( )

ei !k ⋅x

!k =2πλcosθ, sinθ( )

= dxρ x( )ei( !k −k)⋅x∫

•  Gli studi sistematici sui nuclei furono completati da Hofstadter† negli anni 50 presso l’Università di Stanford –  Ricostruzione di ρ(r) –  Altri esempi di studi più recenti

•  †R. Hofstadter, Electron Scattering and Nuclear Structure Rev. Mod. Phys 28 p.214 (1956)

•  http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1961/hofstadter-bio.html

Altri nuclei


197Au

16O 109Ag 208Pb

208Pb

Le dimensioni dei nuclei


•  I risultati di molte misure delle dimensioni nucleari sono stati trovati in accordo con la legge empirica

•  La conseguenza di questa legge empirica è che la densità della materia nucleare è costante

•  La densità della materia nucleare è molto elevata

R = roA1/3 ro = 1.2 ×10−15m = 1.2 fm

V =43πR3 =

43πro3A

MA ≈ AmN

ρ =MAV

=AmN43πro3A

=mN43πro3

ρ ∼ 1014 g / cm3

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