La Ecuación de Schrödinger

La Ecuación de Schrödinger

I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics. Do not keep saying to yourself, if you can possibly avoid it, “But how can it be like that?” because you will get “down the drain” into a blind alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows how it can be like that.

- Richard FeynmanRichard Feynman (1918-1988)

Recapitulemos:

• de Broglie: dualidad onda-partícula• Experimento de Young: interpretación probabilística• Principio de Heisenberg: imposible determinar

totalmente x y p al mismo tiempo

No se puede determinar exactamente la trayectoria de una partícula .... Pero sí la probabilidad de encontrarla a tiempo t en determinado punto x.

La probabilidad está relacionada con la función de ondas x,t) asociada a la partícula

es solución de la ec. de ondas: Ec. de Schrödinger

Ecuación de Ondas Clásica

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 ( , ) cos(2 ) ( )v

4 ( ) 0v

4como v= ( ) 0

( ) cos(2 / )

u u u x t t xt x

xx

xx

x A x

Hacia la ecuación de Schrodinger

21/ 2

1/ 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

v ( ), v={2m[E- ( )]}2

de Broglie v {2m[E- ( )]}

4 2m[E- ( )] eqn. ondas clásica ( ) ( ) 0( / 2 )

( / 2 )eqn. Schrodinger - ( ) ( ) ( )2m

mE V x despejando m V x

h hm V x

V xx xx x hh V x x E x

x

La Ecuación de Schrödinger

La ec. de Schrödinger para una partícula de energía E que se mueve en una dimensión bajo un potencial V es

where V = V(x,t)

La ecuación de Schrödinger es la ecuación fundamental en Mecánica Cuántica.Igual que las ecuaciones de Newton en mecánica clásica, no se demuestra, sino que se postula.

),(),(),(2

),(2

22

txtxVx

txmt

txi

La Ecuación de Schrödinger en 3-D

La ec. de Schrödinger para una partícula de energía E que se mueve en una dimensión bajo un potencial V(r,t) es

where V = V(x,t)2 2 2 2

2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2

r t r t r t r ti V r t r tt m x y z

22( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2r ti r t V r t r tt m

Solución General para V = 0

Probando con una onda plana

( )i kx ti Ae it

( )( )i i it

2 2 2 2

22 2k

m x m

LuegoLa onda plana es solución de la ec. de Schrödinger para una partícula libre

)(),( tkxieAtx 2

22 ),(2

),(x

txmt

txi

22

2

kx

mk

2

22

Normalización y Probabilidad

La probabilidad P(x) dx de encontrar la partícula entre x y x + dx está dada por

La probabilidad de estar entre x1 y x2 es

Como la probabilidad de encontrar la partícula en “algún x” debe ser 1, debe estar normalizada

Características de la función de ondas

es una función compleja. Los observables (x, p, E, …) deben ser reales, pero en gral es compleja

debe ser finita debe ser monovaluada Tanto como d /dx deben ser continuas. (Para

que exista la derivada segunda.) Para que esté normalizada, 0 para x

• Las soluciones de la ecuación de ondas que no cumplan las propiedades anteriores no tienen sentido físico.

para el estado fundamental del átomo de H

Comparación de orbitales y probabilidades

Valor EsperadoEl valor esperado de una magnitud dada es el promedio de

dicha magnitud.

Donde Pi es la probabilidad correspondiente al valor xi. Si x es continua:

1 1 2 2 N N i ii

x Px P x P x P x

( )x P x x dx* *( ) ( ) ( ) ( )x x x x dx x x x dx

En mecánica cuántica:

Y el valor esperado de una función de x, g(x):

*( ) ( ) ( ) ( )g x x g x x dx

• Para encontrar el valor esperado de p se necesita representar p en función de x y t. Considerando la derivada respecto a x de la función de onda para una partícula libre .

Operador Momento

piike

xxtkxi )(

x

txitxp

),(),(

Esto sugiere definir el operador momento

Y el valor esperado

xipop

dxx

txtxip

),(),(*

• Considerando la derivada respecto a t de la función de onda para una partícula libre .

Operador Energía

Eiie

tttkxi )(

t

txitxE

),(),(

Esto sugiere definir el operador momento

Y el valor esperado

tiEop

dxt

txtxiE

),(),(*

Sustituyendo los operadores:

E:

K+V:

La Ec. de Schrödinger usando operadores

2

2pE K V Vm

La energía es:

E it

22 12 2p V i Vm m x

2

2pE Vm

2 2

22V

m x

2 2

22i V

t m x

Sustituyendo

Cuando el potencial no depende explícitamente del tiempo la ecuación de Schrödinger es separable en variables espaciales y temporales.

Ec. de Schrödinger Independiente del Tiempo

)()(),( tfxtx

)()()()(2

)()()( 2

22

tfxxVx

xm

tfttfxi

)()()(

12

)()(

12

22

xVdx

xdxmdt

tdftf

i

luego

Dividiendo por (x,t)

Sólo función de t

Sólo función de xCada término debe ser cte. B

Integrando:

Ec. Schrödinger Independiente de t

Comparando con la solución para la partícula libre:

Bdtdf

fi

1 /

) (iBt

e t f

)(),( tkxieAtx

tEititf

)(

)()()()(2 2

22

xExxVdx

xdm

Y se obtiene

Ec. de Schrödinger Independiente del tiempo

Estados Estacionarios

• Si el potencial V no depende explícitamente del tiempo la función de onda se puede escribir

• La densidad de probabilidad:

• Que es cte. en el tiempo. Estados estacionarios.

Postulados de la Mecánica Cuántica• El estado de un sistema está completamente definido por su

función de onda (x,t) • Para cada observable clásico hay un operador lineal y hermítico

en mecánica cuántica • En la medida de un observable A sólo se pueden encontrar

valores a que son autovalores del operador correspondiente A (x,t) = a (x,t) • El valor promedio de un observable está dado por su valor

esperado

• La función de ondas obedece la ec. de Schrödinger,

*A A d

( , ) ( , )2h x ti H x t

t