Métodos Matemáticos 2 - unican.es...ondas, ecuación del calor, ecuación de Schrödinger y ecuación de Laplace, respectivamente. Este tipo de problemas es ubicuo en física, biología,

Métodos Matemáticos 2:Ecuaciones en Derivadas Parciales

Notas de clase

Rafael Granero-BelinchónDepartamento de Matemáticas, Estadística y ComputaciónUniversidad de Cantabriaemail: [email protected]

Índice general

1. Recordando las ecuaciones diferenciales ordinarias 111.1. El problema de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. El problema de valores de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Algunas ecuaciones en derivadas parciales clásicas 272.1. La ecuación de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1. Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.2. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.3. Velocidad finita de propagación . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.4. El método de las características . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.1. Derivación usando la conservación del momento . . . . . . . 372.2.2. Derivación usando la Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . 382.2.3. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.4. Conservación de la energía y unicidad de soluciones . . . . 422.2.5. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3. La ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.1. Derivación usando caminos aleatorios . . . . . . . . . . . . . 462.3.2. Derivación usando la ley de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.3. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.4. Disipación de la energía y unicidad de soluciones . . . . . . 502.3.5. Velocidad infinita de propagación . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4. La ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4.1. Derivación usando estados estacionarios . . . . . . . . . . . 532.4.2. Derivación usando la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4.3. No unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5. Clasificación y reducción a la forma canónica de EDP de segundoorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3. Problemas de valores de frontera 593.1. La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.1. Extremos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.2. Extremos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.3. Otras condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2. La ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.1. Extremos con temperatura fija . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3

R. Granero-Belinchón Métodos Matemáticos 2: EDPs

3.2.2. Extremos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.3. Otras condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3. La ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.1. Condición de borde Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.2. Condición de borde Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4. Separación de variables para ecuaciones con derivadas cruzadas . 703.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4. Series de Fourier 734.1. Revisitando la ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2. Series de Fourier exponenciales en r´L,Ls . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.1. Los coeficientes de la serie de Fourier y el espacio L2 . . . . 754.2.2. La suma parcial de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . 794.2.3. Varias nociones de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.4. Teoremas de convergencia para las series de Fourier . . . . 844.2.5. Propiedades de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . 91

4.3. Series de Fourier trigonométricas en r´L,Ls . . . . . . . . . . . . . 924.4. Series de Fourier trigonométricas en r0, Ls . . . . . . . . . . . . . . 944.5. Más ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5.1. Soluciones particulares de las EDP anteriores . . . . . . . . 994.5.2. Forma de D’Alembert de la solución (3.7) . . . . . . . . . . . 1014.5.3. El problema isoperimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.5.4. El problema de Basilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.6. Series de Fourier en términos de los polinomios de Legendre . . . . 1074.7. Series de Fourier en términos de las funciones de Bessel . . . . . . 1084.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5. Transformadas integrales y distribuciones 1135.1. La transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y el principio de Duhamel1195.3. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.4. Funciones ideales o distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Las imágenes de la portada son parte de las obras de Leonhard Euler, Principes générauxdu mouvement des fluides (1757) y Sur le mouvement d’un corde, que au commencementn’a ete ebranlee que dans un partie (1767).

4

Apertura

En este curso vamos a estudiar ecuaciones en derivadas parciales (deahora en adelante, EDP). Una EDP es una ecuación donde se relacionanuna función (que depende de varias variables independientes entre si) consus derivadas parciales. Nos referimos a un objeto como

G

ˆ

~x, t, up~x, tq,Bup~x, tq

Bt,∇up~x, tq, ...

˙

“ 0.

Aquí, x denota típicamente el punto del espacio mientras que t denota eltiempo. Por su parte, la función u (que depende en general de las variablesindependientes x y t) es la incógnita a determinar. En el caso de que u sólodependa de t estamos ante una ecuación diferencial ordinaria (EDO).Algunos ejemplos clásicos de EDPs son los siguientes

(1)Bupx, tq

Bt“Bupx, tq

Bx,

(2)B2upx, y, tq

Bt2“B2upx, y, tq

Bx2`B2upx, y, tq

By2,

La ecuación de ondas (2)fue la primera EDP escritaen la historia! Ladescubrió D’Alembertcuando estudiaba elmovimiento de unacuerda vibrante en 1747.La ecuación del calor (3),por su parte, la descubrióFourier en 1822. En elcaso de funciones que nodependen del tiempo t,ambas se reducen a laecuación de Laplace (5)!Finalmente, la ecuaciónde Schrödinger (4) es labase de la mecánicacuántica

(3)Bupx, y, tq

Bt“B2upx, y, tq

Bx2`B2upx, y, tq

By2,

(4) iBψpx, y, tq

Bt“B2ψpx, y, tq

Bx2`B2ψpx, y, tq

By2,

(5) 0 “B2upx, y, tq

Bx2`B2upx, y, tq

By2.

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuación de transporte, ecuación deondas, ecuación del calor, ecuación de Schrödinger y ecuación de Laplace,respectivamente. Este tipo de problemas es ubicuo en física, biología,química...El tipo de preguntas que nos haremos en este curso girarán en torno a dosejes principales: dada una EDP,

5


1. ¿existe al menos una solución? De ser así, ¿es dicha solución única?¿depende de manera continua de los datos (es decir, ¿si cambiamoslos datos iniciales o de borde un poco, la solución cambia un poco?)

2. una vez que tenemos respuestas a las preguntas anteriores, bienporque somos capaces de escribir explícitamente una solución en elcaso de problemas lineales (la inmensa mayoría de los problemas deeste curso), bien por otros métodos, la pregunta relevante que quedaes ¿podemos decir algo de cómo se comporta la solución?

La primera pregunta, aunque tras un primer vistazo parezca principalmenteabstracta (eso de infinitas soluciones suena ciertamente esotérico), vienerealmente de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales al mundoreal.Si para una ecuación diferencial dada (que asumimos por el momento vienede un sistema físico), la solución no fuese única no podríamos decidir quéhará nuestro sistema. Por ejemplo, bajo ciertas hipótesis, uno puede escribirla EDO que describe el movimiento de una pelota que inicialmente está enun determinado lugar al botar. El que dicha EDO no tuviese solución únicaimplicaría que nosotros seríamos incapaces de predecir la posición de lapelota por no poder distinguir cuál es la solución que realmente describela trayectoria de la bola (que, ésta sí, la naturaleza se ocupa de que seaúnica). Es decir, la unicidad de soluciones es necesaria para que hayadeterminismo.Por otro lado, si tuviésemos una solución única pero esta no depende demanera continua de los datos, dicha solución sería, de nuevo, inútil paranuestro propósito de describir la realidad. Por ejemplo, supongamos ahoraque uno obtiene la ecuación diferencial que describe la temperatura deun alambre que inicialmente está a una cierta temperatura. Sabemos latemperatura inicial porque la hemos medido. Supongamos también quedicha ecuación no dependiese de manera continua de los datos iniciales(en este caso, la temperatura inicial medida). Bien, pues entonces nuestrapredicción de la temperatura a tiempo 5s, digamos, sería incorrecta y tendríaun error, en principio, grande. La razón ahora es que la temperatura real delalambre no es la que nosotros hemos medido (esto es debido tanto a erroresde medición como a otros factores). Es decir, la temperatura inicial real y latemperatura inicial que nosotros hemos medido no coinciden en general sinoque sólo están cerca. ¡Si la solución cambia drásticamente si uno modificaun poco los datos iniciales, nuestra predicción estará drásticamente mal!Obviamente, en la mayoria (por no decir la totalidad) de los problemas realesque aparecen en las aplicaciones, las ecuaciones no son tan bonitas comolas anteriores. Sin embargo, podríamos decir que una buena comprensiónde estas ecuaciones es el primer paso a dar de cara a futuros estudiosde otras EDPs, que en general tendrán términos no lineales tanto en la

6


incógnita u como en sus derivadas parciales. Términos no lineales como,por ejemplo,

upx, tqBupx, tq

Bx.

Además de por sus múltiples aplicaciones, parte de la dificultad (¡y elinterés!) de las EDPs no lineales reside en que no hay una teoría capazde abarcar todos los casos. La situación de hecho puede ser incluso másdramática. En palabras de Sergiu Klainerman [9]

Is there really a unified subject of Mathematics which one cancall PDE? At first glance this seems easy: we may define PDEas the subject which is concerned with all partial differentialequations. According to this view the goal of the subject is to finda general theory of all, or very general classes of PDE’s. (...) itis now recognized by many practitioners of the subject that thegeneral point of view as a goal in itself, is seriously flawed.

Notación

A lo largo de este curso escribiremos

uxpx, y, tq “ Bxupx, y, tqdef“Bupx, y, tq

Bx,

uypx, y, tq “ Byupx, y, tqdef“Bupx, y, tq

By,

utpx, y, tq “ Btupx, y, tqdef“Bupx, y, tq

Bt.

El Laplaciano y el gradiente (en x, y, z) los denotaremos por

∆upx, y, z, tq “ uxxupx, y, z, tq ` uyyupx, y, z, tq ` uzzupx, y, z, tq,

∇upx, y, z, tq “ puxpx, y, z, tq, uypx, y, z, tq, uzpx, y, z, tqq .

Además normalmente reservaremos la letra t para la variable independienteque refleje el tiempo y las letras x, y, z para las variables independientes quereflejen el espacio. Denotaremos por Ω Ă Rd con d “ 1, 2 o 3 el dominio dedefinición de las variables espaciales y por Γ la frontera de Ω, i.e. Γ “ BΩ.Algunos de los espacios de funciones que usaremos más corrientemente alo largo del curso son:

El espacio de funciones continuas con dominio I. La norma en esteespacio viene dada por

|f |CpIq “ maxtPI

|fptq|

7


El espacio de funciones con n derivadas continuas definidas en eldominio I. La norma en este espacio viene dada por

|f |CnpIq “nÿ

`“1

maxtPI

|f `qptq|

El espacio de funciones de cuadrado integrable en el intervalo I

L2pIq “

"

upxq tales queż

I|upxq|2dx ă 8

*

.

A este espacio vectorial lo podemos dotar del producto interno

xfpxq, gpxqy “

ż

Ifpxqgpxqdx,

y de la norma

fL2 “a

xfpxq, fpxqy “

ˆż

I|fpxq|2dx

˙0,5

.

El espacio de las funciones test

C8c “ tφ P C8 tales que φ “ 0@x P Kc con K conjunto compactou .

Mapa del curso

Hay que decir que este curso es amplio. Se cubren muchos temas relaciona-dos entre si, y, aunque en estos apuntes hay más de 50 ejemplos resueltos(algunos son ejercicios de los exámenes de otras convocatorias), a vecesel estudiante puede perder la perspectiva y no tener del todo claro cómose relaciona un concepto con los demás. Para evitarlo, hemos preparadoun índice alfabético con los principales conceptos y además vamos a dejaraquí un mapa del curso:

8


Problemade valoresiniciales

para EDPs

Repasode EDOs

Problemasde contornopara EDPs

Separaciónde variables

Series deFourier

con expo-nencialescomplejas

Series deFourier

con otrasfunciones

Series deFourier con

senos ycosenos

Series deFourier con

senos ocosenos

Transformadade Fourier

Principio deDuhamelpara pro-

blemas nohomogéneos

Transformadade Laplace

Distribuciones

Este mapa intenta indicar cómo se relacionan los conceptos entre si eneste curso. Por supuesto, no hay una única manera de navegar entre ellosy otros libros o apuntes de otros profesores pueden motivar los distintosconceptos de distinta manera. Por ejemplo, uno puede llegar a definir lasdistribuciones de varias maneras distintas y que nuestro mapa diga quellegaremos desde la transformada de Fourier solo indica que en este cursolo haremos así, no que se la única ni la mejor manera de hacerlo.

9

Capítulo 1

Recordando las ecuacionesdiferenciales ordinarias

Vamos a empezar el curso con un repaso rápido de algunos conceptos yteoremas para ecuaciones diferenciales ordinarias (de ahora en adelante,EDOs), esto es ecuaciones que relacionan una función de una única variablecon su derivadas, es decir,

(1.1)dn~yptq

dtn“ F

ˆ

t, ~yptq,d~yptq

dt,d2~yptq

dt2, ...,

dn´1~yptq

dtn´1

˙

,

donde ~yptq P Rd es un vector d´dimensional, I Ă R es un intervalo y

F : I ˆ Rnd Ñ Rd

es una función. Por ejemplo una EDO con aplicaciones a la dinámica depoblaciones en ecología, es la ecuación logística

(1.2)dyptq

dt“ yptqp1´ yptqq.

En este caso, la ecuación (1.2) se puede pensar como un modelo de lacantidad de un determinado tipo de organismo. Aquí yptq (la cantidad deorganismos) es una función que, en principio, asumimos que sólo dependedel tiempo t. Obviamente, dicha hipótesis es muy restrictiva ya que parala mayoría de organismos la distribución espacial es importante (y nouniforme). Por ejemplo podemos pensar en animales que migran, con loque la cantidad de animales en una determinada región del espacio cambia(y en particular, depende de la región que uno considere).

11


1.1. El problema de valores iniciales

En principio, lo normal es que la ecuación (1.1) tenga infinitas soluciones.Podemos pensar por ejemplo en la EDO

dyptq

dt“ yptq,

que tiene como soluciones toda la familia de funciones (dependiente delvalor a tiempo t “ 0) dada porLo cierto es que basta

con conocer el valor de lafunción en un t “ t0 (no

necesariamente cero)para conseguir determinar

de manera única lasolución de una EDO.

yptq “ Cet.

Una manera de evitar eso es añadirle datos iniciales apropiados a la ecua-ción (1.1). Por supuesto, en principio el problema (1.1) sin datos inicialeso con datos iniciales mal asignados podría tanto no tener solución, comotener una única solución o tener varias (e incluso infinitas) de ellas. Asívamos intuyendo ya que los datos iniciales (o, más adelante, de borde)tendrán un papel crucial en que exista una solución única.Por ejemplo, uno podría considerar la EDO anterior con dato inicial yp0q “ 2con la que la única solución vendría dada por

yptq “ 2et.

Igualmente observamos que si en lugar de imponer únicamente yp0q “ 2,tratamos de imponer yp0q “ 2, ytp0q “ 3, el problema deja de tener solución.Es decir, no existe ninguna función yptq que cumpla todas las condicionesque estamos imponiendo. Esto es así porque estamos pidiendo demasiado.No debería sorprender a

nadie en este curso lacoincidencia entre el

número de datos inicialesa aportar y el número dederivadas que aparecen

en la ecuación...

El problema principal de esta sección consiste en estudiar la trayectoriade una partícula de masa uno (en nuestras unidades favoritas) de la queconocemos tanto su posición inicial y0 como su velocidad inicial y1 y queestá sujeta a una fuerza proporcional a su posición, F “ ýptq. La segundaley de Newton,

Fuerza “ masaäceleración,

junto al hecho de que, si yptq es la posición de nuestra partícula, la acele-ración viene dada por yttptq, nos dice que la EDO a estudiar en este casoviene dada por el oscilador armónico

(1.3)d2yptq

dt2` yptq “ 0,

con datos iniciales apropiados

yptq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

t“0

“ y0,dyptq

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

t“0

“ y1.

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La primera observación importante es que una ecuación de segundo ordencomo (1.3) se puede escribir como una ecuación vectorial de primer orden.En concreto, basta con definir una variable auxiliar v tal que

dyptq

dt“ vptq

dvptq

dt“ ýptq,

así para ~u “ pyptq, vptqqT se tiene la EDO

(1.4)d~uptq

dt“ pvptq,ýptqqT .

Una consecuencia de esta observación es que nos basta con desarrollar Porque entonces se tieneytt “ vt “ ýptq que esequivalente a (1.3).

una teoría de existencia para EDOs de la forma

(1.5)d~yptq

dt“ F pt, ~yptqq ,

con dato inicial

(1.6) ~yp0q “ ~y0 P Rd.

Para el problema (1.5)-(1.6) hay varios teoremas que aseguran la existenciay, a veces, también la unicidad, de solución. El teorema principal de estasección es Denotamos el espacio

vectorial de las funcionescontinuas definidas en unintervalo I como CpIq. Elespacio de las funcionesderivables con derivadacontinua en el mismointervalo se escribe C1

pIqy así sucesivamente.Entonces, las hipótesisdel teorema garantizanque tanto F como

BF

Byj, j “ 1, 2, ..., d

son funciones continuasen R. Este teorema no esóptimo en el sentido deque se le puede pedir unpoco menos a F y susderivadas y todavía seguirteniendo una únicasolución.

TEOREMA 1. Consideramos el rectángulo R “ ra, bsˆ rc, dsd conteniendo alpunto pt0, ~y0q y sea F pt, ~yq una función continua en sus variables pt, ~yq P Ry C1prc, dsdq en su variable ~y P rc, dsd para todo tiempo t P ra, bs. Entoncesexiste una única solución de (1.5)-(1.6) en un intervalo de tiempo dado (almenos) por pt0 ´ h, t0 ` hq para cierto h suficientemente pequeño.

Antes de empezar con la prueba vamos a ver varios ejemplos que nosayuden a entender el teorema anterior:

EJEMPLO 1. Estudiar la existencia de soluciones para el problema devalores iniciales

dyptq

dt“ pyptqq13, yp0q “ 0.

Solución. Esta EDO es separable, es decir, se puede resolver de maneraexplícita si hacemos

dy

y13“ dt,

e integramos3

2pyptqq23 “ t.

13


O, de manera equivalente,

yptq “

ˆ

2

3t

˙32

.

Ahora observamos que yptq “ 0 también es solución (¡ya hemos encontradodos soluciones!). Es más, yptq “ ´

`

23 t˘32 es otra solución. De hecho,

podemos construir muchas más soluciones pegando los tres tipos anterioresentre sí. Lo que ocurre es que F pt, yptqq “ y13 no es C1. Eso evita quepodamos aplicar el teorema anterior y a la vez ocasiona que haya múltiplessoluciones empezando desde el mismo punto yp0q “ 0.

EJEMPLO 2. Estudiar la existencia de soluciones para el problema devalores iniciales

dyptq

dt“ pyptqq5, yp0q “ 2.

Solución. Tenemos que F pt, yq “ y5 que es una función regular con infinitasderivadas continuas, por lo que el Teorema 1 nos garantiza que hay unaúnica solución para un tiempo de existencia suficientemente corto. Vamos aresolver explícitamente esta ecuación usando que esta EDO es separable.Vemos que

dy

dt“ pyptqq5 ñ

dy

y5“ dt.

Integrandoż yptq

y0

dy

y5“pyptqq´4

´4´py0q

´4

´4“ t,

de dondeyptq “

1

p 116 ´ 4tq14

.

Vemos quelımtÑ 1

64

yptq “ 8,

y como consecuencia la solución yptq no se puede definir para cualquiervalor de tiempo (tiene una asíntota). En estos casos se dice que la soluciónexiste localmente.

Así, unos puntos que conviene recordar son

1. Si el teorema no se puede aplicar, es muy posible que haya múltiplessoluciones.

2. Aún pudiendo aplicar el teorema, eso no garantiza que la soluciónúnica exista para todo tiempo. Cuando no hay solución para todotiempo puede significar que algo especial o singular esta pasando entu sistema físico.

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Antes de la prueba del Teorema 1 necesitamos un Lema previo

LEMA 2 (Teorema del punto fijo de Banach). Sea f : Rd Ñ Rd una funcióntal que

|fpxq ´ fpyq|Rd ď L|x´ y|Rd

con 0 ă L ă 1. Entonces f tiene un único punto fijo x˚ tal que

x˚ “ fpx˚q.Una sucesión xn es deCauchy si satisface que@ε ą 0 Dn0pεq tal que|xn ´ xm| ă ε@n,m ě

n0pεq. Es decir, lasucesión se apelotona. Esimportante notar que n ym son arbitrarios, enparticular, m ‰ n` 1.Toda sucesión de Cauchyde números realesconverge a un númeroreal.

Demostración. Vamos a hacer la prueba en el caso d “ 1, pero funcionaen general. Sea x0 P R un punto arbitrario. Definimos la iteración

xn`1 “ fpxnq.

Tenemos que

|fpx1q ´ fpx0q| ď L|x1 ´ x0|,

|fpx2q ´ fpx1q| ď L|x2 ´ x1| “ L|fpx1q ´ fpx0q| ď L2|x1 ´ x0|,

|fpxnq ´ fpxn´1q| ď Ln|x1 ´ x0|.

Como consecuencia

|xn`1 ´ xn| ď Ln|x1 ´ x0|.

Queremos probar que la serie anterior es de Cauchy. El teorema del punto fijode Banach sigue siendocierto si cambiamos Rdpor cualquier espaciovectorial normado ycompleto, X , es decir,cualquier espacio dotadode una norma y dondecualquier sucesión deCauchy es convergentedentro de X sin más quecambiar las normas enRd, ¨ Rd , por normas enX , ¨ X . A los espaciosvectoriales normados ycompletos se les llamaespacios de Banach. Porejemplo, el espacio CpIqcon la norma

|f |CpIq “ maxtPI

|fptq|

es un espacio de Banach.

Fijamos n ą m ě 1 dos enteros. Entonces tenemos que

|xn´xm| “ |xn´xn´1`xn´1´xm| “ |xn´xn´1`xn´1´xn´2`xn´2´xm|...,

y

|xn ´ xm| ď |xn ´ xn´1| ` |xn´1 ´ xn´2| ` ...` |xm`1 ´ xm|

ď Ln´1|x1 ´ x0| ` Ln´2|x1 ´ x0| ` ...` L

m|x1 ´ x0|

ď Lm`

1` L` L2 ` ...` Ln´1´m˘

|x1 ´ x0|

ď Lm

˜

8ÿ

k“0

Lk

¸

|x1 ´ x0|

ďLm

1´ L|x1 ´ x0|.

Sin más que tomar m suficientemente grande obtenemos que

|xn ´ xm| ă ε,

para cualquier ε fijado de antemano. Como consecuencia de que xn es unasucesión de Cauchy obtenemos la existencia de un límite x˚.

15


Además, como f es continua se tiene que

x˚ “ lımnÑ8

xn “ lımnÑ8

fpxn´1q “ fp lımnÑ8

xn´1q “ fpx˚q,

y x˚ es un punto fijo.Sólo nos falta probar que el punto fijo es único. Vamos a argumentar porcontradicción. Asumamos que y fuese otro punto fijo. Entonces

|x˚ ´ y| “ |fpx˚q ´ fpyq| ď L|x˚ ´ y|.

Pero como L ă 1 la desigualdad anterior es una contradicción.

EJEMPLO 3. Los babilonios (600 a.C.) solían calcular?a iterando la función

fpxq “1

2

á

x` x

¯

.

¿Sabrías decir por qué?

Solución. Observamos que un punto fijo de f satisface que

fpx˚q “1

2

´ a

x˚` x˚

¯

“ x˚,

y1

2x˚ “

1

2

a

x˚,

o, de otra manera,px˚q2 “ a.

EJEMPLO 4. El método de Newton es un procedimiento iterativo para en-contrar soluciones a fpxq “ 0. La iteración viene dada por

xn`1 “ xn ´fpxnq

f 1pxnq.

¿Sabrías decir por qué?

Solución. Definamosgpxq “ x´

fpxq

f 1pxq.

Iterando llegamos a un punto fijo de g. Dicho punto fijo satisface

gpx˚q “ x˚ ´fpx˚q

f 1px˚q“ x˚,

ofpx˚q

f 1px˚q“ 0,

de dondefpx˚q “ 0.

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Prueba del Teorema 1: Sin perder generalidad consideramos el caso don-de t0 “ 0, d “ 1 y el rectángulo es

R “ rá, as ˆ rć, cs.

Sea h ă a un número que especificaremos luego y fijamos t P r0, hs.Escribimos

M “ maxps,ξqPR

|F ps, ξq|,

L “ maxps,ξqPR

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

BF ps, ξq

By

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

.

Lo primero es notar que la EDO se puede escribir como

yptq “ y0 `

ż t

0F ps, ypsqqds.

Vamos a usar esta forma integrada de la EDO para construir una secuenciade soluciones aproximadas a las que podamos aplicar el Teorema del puntofijo de Banach. El límite de la sucesión de soluciones aproximadas será lasolución que buscamos. Empezamos con

y1ptq “ y0 `

ż t

0F ps, y0qds,

y2ptq “ y0 `

ż t

0F ps, y1psqqds,

y3ptq “ y0 `

ż t

0F ps, y2psqqds,

(1.7) yn`1ptq “ y0 `

ż t

0F ps, ynpsqqds.

Formalmente al menos, si n “ 8, se tiene que

y8ptq “ y0 `

ż t

0F ps, y8psqqds,

y esta y8 sería una solución de nuestra EDO original.Definimos la aplicación

Ttrys “ y0 `

ż t

0F ps, ypsqqds.

Observamos que nuestra iteración anterior se puede escribir como

(1.8) yn`1ptq “ Ttryns,

17


y nuestra solución vendría dada por

(1.9) y8ptq “ Ttry8s,

es decir, sería un punto fijo de nuestra aplicación Ttrys. Esto sugiere queusemos el teorema del punto fijo de Banach.Observamos que Y ptq “ Ttrys es una función continua (de t). Para conven-cerse de esto basta con ver que

Y pt` αq ´ Y ptq “ Tt`αrys ´ Ttrys “ż t`α

tF ps, ypsqqds ď αM.

Como consecuencia

Ttrys : Cpr´h, hsq Ñ Cpr´h, hsq.

AdemásTtrysCpp´h,hqq ď y0 ` hM,

así que si

h ăc´ y0

M,

TtrysCpp´h,hqq ă c. Esta última desigualdad implica que, para este valor deh (o menores) Ttrys no abandona el rectángulo R (donde sabemos que Fsatisface ciertas buenas propiedades).Para aplicar el teorema del punto fijo de Banach (en el espacio Cpp´h, hqqnos basta con probar que Ttrys satisface

Ttrys ´ TtrxsCpp´h,hqq ď Ny ´ xCpp´h,hqq

con N ă 1. Tenemos

Ttrys ´ TtrxsCpp´h,hqq “ maxtPr´h,hs

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż t

0F ps, ypsqq ´ F ps, xpsqqds

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď maxtPr´h,hs

ż t

0|F ps, ypsqq ´ F ps, xpsqq| ds

ď L

ż t

0max

tPr´h,hs|yptq ´ xptq| ds

ď Lhy ´ xCpp´h,hqq.

Si ahora tomamos

h ď a ă mın

"

c´ y0

M,

1

L

*

,

podemos asegurar que

18


1.Ttrys P rć, cs @ t P r´h, hs,

es decir, no abandonamos la región donde sabemos que F cumpledeterminadas propiedades,

2. Ttrys satisface la desigualdad deseada

Ttrys ´ TtrxsCpp´h,hqq ď Ny ´ xCpp´h,hqq

con N ă 1

Así Ttrys tiene un único punto fijo yptq. Además

yptq P C1pp´h, hqq,

es decir, este punto fijo es la solución de la EDO.

EJEMPLO 5. Comprueba que el método de aproximaciones sucesivas dePicard realmente aproxima la solución de la EDO

y1 “ ý ´ 1, yp0q “ 0.

Solución. Vamos a denotar las aproximaciones sucesivas (o iteradas dePicard) como φn. Tenemos que

φ0ptq “ yp0q “ 0,

φ1ptq “ ´

ż t

0φ0 ` 1ds “ ´t,

φ2ptq “ ´

ż t

01´ sds “ ´t` t22,

φ3ptq “ ´

ż t

01` p´s` s22qds “ ´t` t22´ t36.

Podemos intuir que el caso general vendrá dado por la fórmula

φnptq “ ´t` t22´ t36` ...´ tnn!, si n es impar,

yφnptq “ ´t` t

22´ t36` ...` tnn!, si n es par.

De hecho, podemos probar las identidades anteriores usando inducción.Consideramos primero el caso n impar. Entonces

φn`1ptq “ ´

ż t

01` p´s` s22´ s36` ...´ snn!qds

“ ´`

t´ t22` t36´ ...´ tn`1n!pn` 1q˘

.

19


Como n` 1 es par (porque n es impar), hemos obtenido la fórmula correcta.De la misma manera se haría el caso de n par (y n` 1 impar).Además, conocemos la siguiente fórmula de Taylor

e´x “ 1´ x` x22´ x36` ...

Eso nos permite intuir que el límite es

φ8 “ e´t ´ 1.

Si resolvemos la EDO (de manera exacta) usando factores integrantes,tenemos que

µptqy1 ` µptqy “ ´µptq,

donde elegimos µ tal queµ1 “ µ,

para que se tenga

µptqy1 ` µptqy “ µptqy1 ` µ1ptqy “d

dtpµptqyptqq .

Por lo tanto,d

dt

`

etyptq˘

“ ét

y se concluye queetyptq “ ét ` 1.

Simplificando se obtiene la solución final

yptq “ e´t ´ 1,

y vemos que las iteradas de Picard convergen a la solución real.

1.2. El problema de valores de frontera

En la sección anterior considerábamos el caso de una partícula movien-dose bajo efecto de una fuerza. De dicha partícula conocíamos tanto laposición inicial como la velocidad inicial. Para este tipo de problemas hemosdesarrollado una teoría matemática que responde (bajo ciertas hipótesis)a la primera pregunta planteada en la Apertura, es decir, nos asegura quehay una única solución.Si en lugar de conocer el

período del pénduloconociésemos la posicióny la velocidad iniciales de

la lenteja el problematiene la forma (1.5)-(1.6)estudiada en la sección

anterior.

En esta sección consideramos un problema parecido. Ahora queremosconocer la posición de un péndulo forzado por una fuerza fptq (conocida)del cual conocemos su período, T , pero no su posición y velocidadesiniciales. Cambiando la incógnita un poco podemos asumir que tanto suposición inicial (que coincide con su posición final después del período T )

20


viene dada por y0 “ 0 “ yT . Nos gustaría recalcar que no conocemos lavelocidad inicial del péndulo. Las fuerzas que actúan sobre la lenteja delpéndulo tienen la forma

F “ ýptq ` fptq,

donde fptq es conocido (podemos pensar en algún tipo de fuerza mecánicaconocida por nosotros e independiente de la posición de la lenteja). Ahorala EDO es

(1.10)d2yptq

dt2` yptq “ fptq,

con datos de frontera

yptq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

t“0

“ y0 “ 0, yptq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

t“T

“ yT “ 0.

Obviamente no podemos escribir esta nueva EDO en la forma anterior(1.5)-(1.6), por lo que el Teorema 1 no lo vamos a poder aplicar. Ahoranecesitamos otro tipo de técnicas. En lo que sigue vamos a centrarnos enla motivación y la ídea más que en los detalles matemáticos.Cambiamos un poco el problema y consideramos la siguiente EDO

(1.11) ´d2xptq

dt2` xptq “ fptq,

con datos de frontera

xptq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

t“0

“ 0, xptq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

t“1

“ 0,

y la siguiente aplicación: A las aplicaciones quemandan funciones anúmeros se les llamafuncionalesFryptqs “ 1

2

ż 1

0pytq

2psq ` y2psqds´

ż 1

0fyds.

Tenemos queF : C1pp0, 1qq Ñ R.

Así, podemos considerar el problema de encontrar su mínimo:

mınyptq

Fryptqs “ mınyptq

"

1

2

ż 1

0pytq

2psq ` y2psqds´

ż 1

0fyds

*

.

De momento no parece muy claro cuál es la relación entre el problema deencontrar un mínimo del funcional y el problema de encontrar una soluciónde una EDO. Lo cierto es que vamos a ver que, bajo ciertas condiciones,son equivalentes.

21


El problema de minimización anterior no es trivial dado que estamos mini-mizando un funcional y no una función en Rd. Dicho problema pertenece aun área de las matemáticas llamada cálculo de variaciones.Asumamos por el momento que tenemos la función F p~xq “ F px1, x2, ..., xdq :Rd Ñ R y que queremos buscar su mínimo. Sabemos (desde primero) que,en el punto de mínimo, todas las derivadas direccionales se anulan

D~yF p~xq “ lımhÑ0

F p~x` h~yq ´ F p~xq

h“ 0.

Es bastante razonable que el mínimo de un funcional verifique la mismapropiedad. En el caso de un funcional, la derivada direccional en la direcciónyptq toma la siguiente formaAquí h P R e yptq

satisface yp0q “ yp1q “ 0.

DyptqFrxs “ lımhÑ0

Frxptq ` hyptqs ´ Frxptqsh

.

Así, el mínimo debe satisfacer

DyptqFrxs “ 0.

Calculamos

Frx`hys “ 1

2

ż 1

0pxtq

2`h2pytq2`2hxtyt`x

2`h2y2`2hxy´

ż 1

0fpx`hyq,

de donde

Frx` hys ´ Frxs “ 1

2

ż 1

0h2pytq

2 ` 2hxtyt ` h2y2 ` 2hxy ´

ż 1

0fhy,

yFrx` hys ´ Frxs

h“

1

2

ż 1

0hpytq

2 ` 2xtyt ` hy2 ` 2xy ´

ż 1

0fy.

Por lo tanto

(1.12) DyptqFrxptqs “ż 1

0xtpsqytpsq ` xpsqypsqds´

ż 1

0fpsqypsqds.

Integrando por partes y usando yp0q “ yp1q “ 0 tenemos que

(1.13) DyptqFrxptqs “ż 1

0p´xttpsq ` xpsq ´ fpsqqypsqds.

Por lo tanto, dado que yptq es arbitraria, si la anterior derivada direccionalse anula para toda yptq (con lo que xptq sería un mínimo) es porque dichomínimo xptq satisface la EDO

´xttpsq ` xpsq ´ fpsq “ 0.

22


Así vemos que la minimización de funcionales puede ser una buena herra-mienta para resolver problemas de valores de frontera.Vamos a ver otra situación en la que minimizar un funcional es útil. Volvamospor un momento al problema del péndulo del que conocemos el períodocon el que comenzamos la sección:

d2xptq

dt2` xptq “ 0,

xptq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

t“0

“ x0,

xptq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

t“1

“ x1.

Observamos que el Hamiltoniano

Hpxptq, x1ptqq “ xptq2 ` px1ptqq2

se conserva. En efecto, si derivamos tenemos que

d

dtH “ 2xtpx` xttq.

Este Hamiltoniano se obtiene como la suma de la energía cinética y lapotencial:

Ecin “1

2pxtq

2,

Epot “1

2x2.

Otra cantidad importante es el Lagrangiano

Lpx, x1q “ EkinÉpot “1

2pxtq

2 ´1

2x2.

Así, dado el Lagrangiano, podemos definir la acción de una determinadatrayectoria xptq como

Arxs “ż t1

t0

Lpxpsq, xtpsqqds.

Así el principio de mínima acción nos dice que la trayectoria que reali-za el sistema físico es la curva xptq que minimiza la acción sujeta a lasrestricciones

xp0q “ x0, xp1q “ x1.

Asumamos que, por alguna razón, hemos olvidado la EDO del osciladorarmónico pero recordamos la forma de la energía cinética y la potencial.

23


Así podemos definir el Lagrangiano y la acción. Que la trayectoria minimicela acción quiere decir que

ˆ

d

dhArxptq ` hyptqs

˙ ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

h“0

“ 0,

para toda trayectoria yptq tal que yp0q “ yp1q “ 0. Obtenemos que

Arxptq ` hyptqs “ 1

2

ż 1

0´pxpsq ` hypsqq2 ` pxtpsq ` hytpsqq

2ds,

por lo que

d

dhArxptq ` hyptqs “

ż 1

0´pxpsq ` hypsqqypsq ` px1psq ` hytpsqqytpsqds,

yˆ

d

dhArxptq ` hyptqs

˙ ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

h“0

“

ż 1

0´xpsqypsq ` xtpsqytpsqds.

Integrando por partes tenemos queˆ

d

dhArx` hys

˙ ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

h“0

“ 0

es equivalente aż 1

0pxpsq ` xttpsqqypsqds “ 0.

Dado que yptq es arbitraria se tiene que

xptq ` xttptq “ 0,

EJEMPLO 6. Una partícula de masa unidad se mueve bajo el efecto delpotencial Upxq. De dicha partícula conocemos su posición inicial y final:

xp0q “ x0, xp1q “ x1.

Encontrar las ecuaciones del movimiento.

Solución. Como la partícula se mueve en el espacio, xptq P R3. La energíacinética es

Ekit “1

2|xt|

2,

mientras que la energía potencial es

Epot “ Upxq.

El Lagrangiano es

Lpx, xtq “1

2|xt|

2 ´ Upxq,

24


y la acción es

Arxptqs “ż 1

0Lpxpsq, xtpsqqds “

ż 1

0

1

2|xtpsq|

2 ´ Upxpsqqds.

Fijamos yptq P R3 tal que yp0q “ yp1q “ 0. Queremos calcularˆ

d

dhArxptq ` hyptqs

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

h“0

.

Se tiene

d

dhArxptq ` hyptqs “

ż 1

0pxtpsq ` hytpsqq ¨ ytpsq ´∇Upxpsq ` hypsqq ¨ ypsqds,

y entoncesˆ

d

dhArxptq ` hyptqs

˙ ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

h“0

“

ż 1

0xtpsq ¨ ytpsq ´∇Upxpsqq ¨ ypsqds.

Integrando por partes y usando yp0q “ yp1q “ 0 obtenemosˆ

d

dhArxptq ` hyptqs

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

h“0

“

ż 1

0p´xttpsq ´∇Upxpsqq ¨ ypsqds.

Como esto tiene que ser cierto para toda yptq, concluímos que

´xttpsq ´∇Upxpsqq “ 0,

que es la EDO que buscábamos.

Vemos así que la idea de minimizar un funcional nos sirve para

1. probar la existencia de solución de una EDO determinada,

2. dado un sistema físico, encontrar la EDO correcta.

1.3. Conclusiones

Este capítulo, además de para recordar algunos puntos claves de nuestrocurso de ecuaciones diferenciales ordinarias, nos ha servido para introduciruna serie de ideas muy simples pero que serán importantes en nuestroestudio de las ecuaciones en derivadas parciales:

1. Aunque no podamos calcular explícitamente la solución de una ecua-ción diferencial, a veces podemos definirla como límite de funcionesmás simples en forma de iteradas de Picard. A veces dicho límitetoma la forma de una serie de Taylor (o de potencias).

25


2. El número de datos iniciales necesario para determinar completa-mente un problema depende del número de derivadas temporalesque aparecen en la ecuación. Sin los datos iniciales adecuados, elproblema puede no tener solución o tener infinitas soluciones.

3. En (muchas) ocasiones el problema que estudiemos tendrá datos deborde. En este curso dichos datos de borde serán en las variablesespaciales, sin embargo, hemos visto ejemplos de que la mismasituación se podía dar en ecuaciones diferenciales ordinarias. Denuevo, sin los datos de borde adecuados, el problema puede no tenersolución o tener infinitas soluciones.

26

Capítulo 2

Algunas ecuaciones enderivadas parciales clásicas

En este capítulo vamos a estudiar varias EDPs clásicas. Además, estasEDPs son lineales, es decir, que dadas dos soluciones de dicha EDP, u1 yu2 la función

u “ u1 ` u2

o, más generalmente,

u “ α1u1 ` α2u2, @αi P R

también son soluciones. Como también veremos más adelante, este princi-pio de superposición es una propiedad muy importante de cara a construirsoluciones.

2.1. La ecuación de transporte

Consideremos el siguiente problema: tenemos un camino donde el tráficofluye en un único sentido y no se permiten adelantamientos. Vamos a asumirque el camino no tiene cruces con otros caminos y que por lo tanto podemosmodelizarlo como la recta real R (usamos la variable x para denotar puntoskilométricos en el camino). Entonces, la pregunta que nos hacemos es,dada una distribución inicial (a tiempo t “ 0) de coches en dicho camino,¿cuál es la distribución de esos coches a tiempo t “ T? Es decir, si usamosla notación upx, tq para la densidad (coches/km) de coches en el punto x(km) en el tiempo t (segundos), la pregunta se puede reformular como, dadala distribución inicial fpxq “ upx, 0q, ¿cuál es upx, T q? Por supuesto, tambiéndeberemos que hacer hipótesis sobre la velocidad de dichos coches.El problema así planteado consta de dos partes más o menos independien-tes:

27


1. debemos conseguir alguna ecuación que relacione las leyes del movi-miento de los coches

2. debemos resolver dicha ecuación si es posible o, al menos, debe-mos intentar decir lo máximo posible sobre el comportamiento de susolución.

2.1.1. Derivación

Empecemos con la primera parte. Si denotamos el número de coches entreel punto x y x` δx a tiempo t por 7upx, tq y número de coches que pasanpor x por unidad de tiempo a un tiempo dado t por 7v, entonces tenemosque

7upx, t` δtq “ 7upx, tq ` 7vpx, tqδt´ 7vpx` δx, tqδt,

o, de otra manera: los coches que hay en el futuro (7upx, t` δtq) son igualesa los que había antes (7upx, tq) más los que llegan (7vpx, tqδt) menos losque se van (´7vpx` δx, tqδt). Como u era la densidad de coches, tenemosque

7upx, tq “ upx, tqδx.

Por lo tanto,

pupx, t`δtqúpx, tqqδx “ 7upx, t`δtq´7upx, tq “ ´p7vpx`δx, tq´7vpx, tqqδt,

o, de otra manera,

upx, t` δtq ´ upx, tq

δt`7vpx` δx, tq ´ 7vpx, tq

δx“ 0.

Usando el polinomio de Taylorgpx` hq “

gpxq`hg1pxq`h2 g2pxq2!`...

(2.1) utpx, tq ` vxpx, tq “ 0.

Sin hacer hipótesis sobre el flujo de coches v no podemos continuar con elEn general, resolver unaEDP explícitamente será

imposible más allá deunos cuantos ejemplos de

EDPs lineales... :-(

problema. En general, podemos asumir que el flujo de coches (que tieneque ver con la velocidad de los mismos) es una función de la densidad decoches. Al fin y al cabo, si en una determinada carretera hay mucho tráfico,el conductor medio reduce la velocidad. Así podemos pensar que

vpx, tq “ vpupx, tqq,

de dondeBvpupx, tqq

Bx“ v1pupx, tqquxpx, tq.

Además, asumiendo cierta regularidad de la función v1p¨q, tenemos que

v1pyq “ q0 ` q1y ` q2y2 ` ...

28


De donde obtenemos que una primera aproximación al problema (válida si|u| ! 1) viene dado por la ecuación

(2.2) utpx, tq ` q0uxpx, tq “ 0.

Al obtener la ecuación (2.2) hemos acabado con la primera parte del proble-ma, la de la formulación matemática. Ahora debemos afrontar la segundaparte, la resolución de dicha ecuación. Cuando la incógnita u

depende de variasvariables espaciales, laecuación del transportetoma la forma

ut “ ~q0 ¨∇u.

2.1.2. Solución

Por el planteamiento original del problema, donde el camino que seguían loscoches lo modelizabamos con la recta real, la variable espacial x pertenecea R. Es decir, el dominio espacial donde nos planteamos el problema (2.2)es toda la recta real (y en particular no está acotado ni tiene frontera). Porsupuesto, esto no es así siempre. En general, los problemas se plantearánen dominios acotados de Rd (intervalos, cuadrados, bolas, etc) y tanto lageometría del dominio espacial donde nos planteamos el problema comoel valor de la incógnita en dicha frontera del dominio tendrán un papel muyimportante en la existencia y el comportamiento de las soluciones. Perodejaremos eso por el momento para centrarnos en resolver el problemade valores iniciales para (2.2) (es decir, donde el dominio espacial no tienefrontera). En este tipo de problemas, la incógnita, además de tener que sa-tisfacer una determinada EDP, tiene que partir de una función determinadaa un tiempo fijo. Entonces podemos pensar que tenemos el valor a tiempot0 (que llamaremos valor o dato inicial) y una ley de cambio (la EDP) y nospreguntamos por el estado futuro de la función que cambia de acuerdo a laEDP y que partió del dato inicial. Es decir, consideramos

utpx, tq ` q0uxpx, tq “ 0, px, tq P Rˆ p0, T q(2.3a)u “ f, px, tq P Rˆ t0u.(2.3b)

Si forzamos un símil con lo que ya sabemos de EDOs nos damos cuen-ta de que, como la EDP sólo involucra primeras derivadas temporales,necesitamos un único valor inicial a tiempo t “ 0.Para resolver (2.3a-b) vamos a usar la regla de la cadena. Esto no es deltodo sorprendente porque ya hemos visto como se aplicaba dicha fórmulapara obtener la propia ecuación. La idea es pensar en los coches comopartículas que siguen una trayectoria Xptq (que tendremos que determinar).Por lo tanto, la densidad de coches en un lugar preciso en un tiempodeterminado vendrá dada en función de los coches cuyas trayectorias leshayan llevado a ese lugar en ese tiempo. Esta idea es equivalente a buscarsoluciones de la forma

upXptq, tq.

29


Así, tenemos que

dupXptq, tq

dt“ utpXptq, tq ` uxpXptq, tq

dXptq

dt.

Por lo tanto, si elegimos la trayectoria Xptq tal que

(2.4)dXptq

dt“ q0 ñ Xptq “ Xp0q ` q0t

entonces

dupXptq, tq

dt“ utpXptq, tq ` uxpXptq, tq

dXptq

dt“ utpXptq, tq ` uxpXptq, tqq0

“ 0.

De donde

upXptq, tq “ upXp0q, 0q “ fpXp0qq “ fpXptq ´ q0tq,

y, volviendo a nuestra anterior notación

upx, tq “ fpx´ q0tq.

Por supuesto, podemos comprobar que

(2.5) upx, 0q “ fpxq

y queutpx, tq “ ´q0f

1px´ q0tq, q0uxpx, tq “ q0f1px´ q0tq,

y por lo tanto (2.5) es solución de la EDP (2.2) con el dato inicial f . Asíhemos resuelto la segunda parte del problema planteado.

2.1.3. Velocidad finita de propagación

Consideremos por un momento el siguiente dato inicial

fpyq “

"

1´ y2 si |y| ă 10 si |y| ě 0

.

Para este dato inicial, la solución, tal cual hemos visto antes, es

upx, tq “ fpx´ q0tq “

"

1´ px´ q0tq2 si |x´ q0t| ă 1

0 si |x´ q0t| ě 0.

Por ejemplo, si q0 “ 1, la solución a tiempo t “ 1 es

upx, 1q “ fpx´ 1q “

"

1´ px´ 1q2 si |x´ 1| ă 10 si |x´ 1| ě 0

.

30


Esta solución tiene el mismo perfil que fpyq, es decir, sigue siendo unaparábola. Sin embargo, ahora el máximo se da en x “ 1. Vemos así que lasolución consiste en transportar el mismo perfil fpyq con una determinadavelocidad.Esto no es un comportamiento partícular de la solución correspondiente aeste dato inicial sino que es general. Si pensamos un poco lo que quieredecir la ecuación para nuestra trayectoria Xptq nos damos cuenta de que(2.4) implica que los coches se mueven a velocidad constante q0 (el signo deq0 nos indica hacia qué lado se mueven). Si además observamos upx, tq paradistintos tiempos nos percatamos de que dichas funciones se correspondencon el perfil inicial trasladado (de nuevo, el signo de q0 nos indica haciaqué lado trasladamos el perfil, si hacia la derecha o hacia la izquierda). Esdecir, la distribución inicial de coches se transporta con velocidad finita q0

sin cambiar su forma. En ese sentido, se trata de un movimiento parecido auna ola. De manera equivalente, podemos pensar que si el dato inicial fpxq En inglés onda y ola se

dicen igual, wave. Sinembargo, en castellanoola transmite la idea demovimiento más o menossin cambiar la formamientras que la palabraonda viene asociada mása oscilaciones. Veremosque al final, dichas cosasestán más relacionadasde lo que en principiopodríamos pensar.

cumple (para cierto R ą 0)

fpxq “ 0@ |x| ą R ą 0,

entonces existe un tiempo t tal que

upx, tq “ 0@ |x| ą R ą 0, 0 ă t.

Es decir, la información proveniente del dato inicial tarda un rato en llegar alos puntos donde no está presente inicialmente. Aunque parezca de algunamanera extraño, este fenómeno no pasa para todas las EDPs. De hecho,veremos que para la ecuación del calor, la información proveniente del datoinicial viaja a velocidad infinita y, por lo tanto, llega a todo los puntos demanera instantánea.

2.1.4. El método de las características

Hemos visto como solucionar la ecuación de trasporte (2.1) inventando unanueva variable Xptq. En esta sección vamos a ver cómo generalizar estaidea a otras ecuaciones (quizá no lineales) de primer orden.Consideremos la EDP

(2.6) Apx, t, upx, tqqutpx, tq `Bpx, t, upx, tqquxpx, tq “ Cpx, t, upx, tqq,

con dato inicialupy, 0q “ fpyq.

La idea es definir 3 nuevas cantidades (una para x, una para t y una parau) que satisfagan un sistema de 3 EDOs de tal manera que la existenciade la solución para el sistema de EDOs sea equivalente a la existenciade solución para la EDP (2.6). Equivalentemente podemos pensar que

31


estamos definiendo dos nuevas coordenadas (una para x y otra para t)donde la solución de mi EDP realmente satisface una EDO.Definimos Xpsq, T psq y Upsq las incógnitas correspondientes a las EDOs(observamos que, en general, s ‰ t). Obviamente, X es la que se corres-ponde con x, T la que se corresponde con t y U la que se correspondecon u. Por analogía con el caso A “ 1, B “ q0, C “ 0, vemos que la EDOpara Upsq “ upXpsq, T psqq tiene que venir de la EDP. Usando la regla de lacadena obtenemos

d

dsUpsq “

d

dsupXpsq, T psqq “

dT

dsutpXpsq, T psqq `

dX

dsuxpXpsq, T psqq.

Así, parece razonable definir

d

dsT psq “ ApXpsq, T psq, Upsqq,

d

dsXpsq “ BpXpsq, T psq, Upsqq,

d

dsUpsq “ CpXpsq, T psq, Upsqq.

Sabemos que si añadimos datos iniciales a este sistema de EDOs y lasfuncionesA,B y C son suficientemente regulares existirá una única solución(local) para X,T y U . Así, usando el dato inicial (upy, 0q “ fpyq) para la EDPobtenemos que

T p0q “ 0, Xp0q “ y, Up0q “ upXp0q, T p0qq “ fpyq.

Antes de pasar a hacer unos ejemplos, veamos una motivación más geo-métrica (es decir, que no se apoya en la regla de la cadena) para estemétodo.Consideremos la superficie

S “ tpx, t, upx, tqqu .

Esta superficie tiene dos vectores tangentes

τ1 “ p1, 0, uxpx, tqq ,

τ2 “ p0, 1, utpx, tqq .

Observamos que entonces

n “ puxpx, tq, utpx, tq,´1q ,

es un vector normal a S. Entonces, nuestra EDP se puede pensar como

pBpx, t, upx, tqq, Apx, t, upx, tqq, Cpx, t, upx, tqqq ¨ puxpx, tq, utpx, tq,´1q “ 0,

32


es decir, como una condición de perpendicularidad. Pero si el vector

pBpx, t, upx, tqq, Apx, t, upx, tqq, Cpx, t, upx, tqqq ,

es perpendicular al vector normal a la superficie, entonces es que es unvector tangente. Así, podemos reconstruir la superficie S como una uniónde curvas satisfaciendo esta condición de tangencia.Vamos con unos ejemplos:

EJEMPLO 7. Calcula, usando el método de las características, una soluciónde

2ut ` xux “ 0,

con dato inicialupy, 0q “ fpyq

Solución. Definimos el sistema de EDOs

dT

ds“ 2,

dX

ds“ Xpsq,

dU

ds“ 0,

con dato inicialT p0q “ 0, Xp0q “ a,

y entonces tenemos que

Upsq “ upXpsq, T psqq “ upXp0q, 0q “ fpaq.

Podemos resolver y llegamos a

T psq “ 2s,

Xpsq “ aes.

Entoncess “

T

2,

a “ Xe´T 2.

EntoncesupXpsq, T psqq “ fpXpsqe´T psq2q.

De otra manera,upx, tq “ fpxe´t2q

33


es la solución de la EDP. Comprobémoslo. Lo primero es observar que

upx, 0q “ fpxq,

con lo que la solución verifica el dato inicial. Además

ut “ f 1pxe´t2qxe´t2p´12q,

ux “ f 1pxe´t2qe´t2.

Por lo tanto,

2ut ` xux “ ´f1pxe´t2qxe´t2 ` xf 1pxe´t2qe´t2 “ 0,

y también se satisface la ecuación en derivadas parciales original.

EJEMPLO 8. Calcula, usando el método de las características, una soluciónde

2ut ` xux “ u,

con dato inicialupy, 0q “ fpyq

Solución. Definimos el sistema de EDOs

dT

ds“ 2,

dX

ds“ Xpsq,

dU

ds“ U,

con dato inicialT p0q “ 0, Xp0q “ a,

y entonces tenemos que

Upsq “ Up0qes “ fpaqes.

Gracias al ejemplo anterior tenemos que

T psq “ 2s, Xpsq “ aes,

s “T

2, a “ Xe´T 2.

EntoncesupXpsq, T psqq “ fpXpsqe´T psq2qeT psq2.

Así llegamos a queupx, tq “ fpxe´t2qet2,

34


es la solución buscada. Para comprobarlo calculamos

ut “ f 1pxe´t2qxe´t2p´12qet2 ` fpxe´t2qet22,

ux “ f 1pxe´t2qe´t2et2.

Por lo tanto,

2ut ` xux “ ´f1pxe´t2qx` xf 1pxe´t2q ` fpxe´t2qet2 “ u.

EJEMPLO 9 (Examen final curso 2018-2019). Resuelve el siguiente proble-ma de valores iniciales

ut ` uux “ 0, upx, 0q “ x.

Solución. Esta ecuación se conoce como ecuación de Burgers. Para laEDP considerada

1ut ` uux “ 0, upx, 0q “ x,

escribimos el sistema característicodT

ds“ 1,

dX

ds“ Upsq,

dU

ds“ 0,

con datos inicialesT p0q “ 0,

Xp0q “ a,

Up0q “ a.

Entonces se tiene queT psq “ s,

Upsq “ Up0q “ a.

Por lo tanto, integrando la ecuación para Xpsq obtenemos que

Xpsq “ a` as.

Es decira “ Upsq “

Xpsq

1` s“

Xpsq

1` T psq.

Deshaciendo el cambio llegamos a que

upx, tq “x

1` t.

35


2.2. La ecuación de ondas

Antes de entrar en materia, conviene decidir qué se entiende por onda. Paraello podemos citar a Whitham [15]

There appears to be no single precise definition of what exactlyconstitutes a wave. Various restrictive definitions can be given,but to cover the whole range of wave phenomena it seemspreferable to be guided by the intuitive view that a wave is any re-cognizable signal that is transferred from one part of the mediumto another with a recognizable velocity of propagation. The signalmay be any feature of the disturbance, such as a maximum or anabrupt change in some quantity, provided that it can be clearlyrecognized and its location at any time can be determined. Thesignal may distort, change its magnitude and change its velocityprovided it is still recognizable. This may seem a little vague,but it turns out to be perfectly adequate and any attempt to bemore precise appears to be too restrictive; different features areimportant in different types of waves.

Así, la idea crucial de un fenómeno ondulatorio parece ser la de transferenciao transporte, y así de nuevo vemos esa conexión entre ondas y la ecuación(2.2). La vaguedad de la definición de Whitham no debería desanimarnosde estudiar fenómenos ondulatorios. De hecho, según Bishop [1],

After all, our hearts beat, our lungs oscillate, we shiver when weare cold, we sometimes snore, we can hear and speak becauseour eardrums and our larynges vibrate. The light waves whichpermit us to see entail vibration. We move by oscillating ourlegs. We cannot even say vibration properly without the tip of thetongue oscillating (...) if we are prepared to stretch the definitionof vibration a little, it quickly becomes apparent that many of theevents of everyday life have an extraordinarily cyclic quality. It isa curiously shaky world we live in. It is no exaggeration to saythat it is unlikely that there is any branch of science in whichvibration does not play an important role.

Dicho esto, pasemos al objeto de estudio. Consideremos una cuerda deguitarra de longitud L. Dicha cuerda esta fija en sus extremos x “ 0 y x “ Lal armazón de la guitarra. La pregunta que nos hacemos ahora es cómopodemos determinar la posición de la cuerda una vez pulsada y dejadavibrar libremente. Al igual que en la sección anterior, nos enfrentamos a unproblema que tiene dos partes: la primera de modelización y traducción delproblema físico a una EDP y la segunda de estudio de dicha EDP.

36


2.2.1. Derivación usando la conservación del momento

Vamos a asumir que sobre la cuerda sólo actúa la tensión y que la cuerdasólo se mueve en un plano. Debido a esta hipótesis, si asumimos que laposición de equilibrio de la cuerda viene dado por el eje x, el desplaza-miento desde la posición de equilibrio de la cuerda, es decir,la posiciónde dicha cuerda de guitarra, puede describirse por medio de la funciónupx, tq. Consideramos también que la cuerda es tan delgada que podemosasumir que no tiene grosor y que su densidad viene dada por ρ (que es unaconstante). Observamos que esta última hipótesis hace que no haya efectosde compresión ni de estiramiento de la cuerda. Una vez que la densidades constante, parece razonable imponer que la tensión es constante (ytangente a la cuerda).El momento vertical entre a y b viene dado por

pptq “

ż b

autpx, tqρdx.

Sabemos que la fuerza es el cambio en momento por unidad de tiempo.Cómo no hay ninguna fuerza externa actuando sobre la cuerda en el inter-valo pa, bq, el momento sólo puede cambiar por efecto de la tensión en susextremos. Además, la tensión actúa en la dirección del vector tangente

τ “p1, uxpx, tqq

a

1` puxpx, tqq2.

Como hablamos del momento vertical y asumiendo que el desplazamientode la cuerda de su posición de equilibrio es pequeño (tal que |ux| ! 1), lacontribución de la tensión (al cambio en la segunda coordenada) es

Fa “ ´Tuxpa, tq, Fb “ Tuxpb, tq,

donde T es la magnitud de la fuerza debida a la tensión (que hemos asumidoconstante). Por lo tanto, la conservación del momento

dpptq

dt“ Tuxpb, tq ´ Tuxpa, tq,

de dondeż b

auttpx, tqρdx “ T

ż b

auxxpx, tqdx.

Por lo tanto,ż b

aputtpx, tqρ´ Tuxxpx, tqqdx “ 0,

y esto es así para todos a y b, por lo que

(2.7) uttpx, tq ´ c2uxxpx, tq “ 0,

37


con

0 ă c “

d

T

ρP R.

2.2.2. Derivación usando la Ley de HookeEn 1900 David Hilbert [8]

propuso una serie deproblemas. En concreto,

el sexto problema deHilbert dice To treat in thesame manner, by meansof axioms, those physicalsciences in which alreadytoday mathematics playsan important part; in the

first rank are the theory ofprobabilities and

mechanics.

Como ya mencionamos anteriormente, la ecuación de ondas (2.7) fue laprimera EDP de la historia (la descubrió D’Alembert en 1747). Sin embargo,la derivación original de D’Alembert no es la que hemos visto anteriormentesino que se basaba en unos trabajos previos de Johann Bernoulli (y tam-bién Daniel Benoulli). En 1727, Johann Bernoulli estudió el problema de unnúmero (finito y arbitrario, digamos, N ) de pesos conectados por muellesque satisfacen la ley de Hooke y derivó una ecuación para el despazamien-to ukptq del peso k-ésimo como función del tiempo. Es en 1746 cuandoD’Alembert comienza a estudiar el problema de la vibración de una cuerdade violín. Así, D’Alembert hizo tender la cantidad de pesos N a infinitomientras que el tamaño y la masa de los pesos tendían a cero de maneraque la densidad (masa/longitud) quedase constante [10].Esta derivación, además de interesante desde el punto de vista histórico,es importante desde el punto de vista matemático porque las ideas subya-centes son precursoras de un tipo de proceso de paso al límite que tieneun papel muy relevante en la física matemática. Más concretamente, enpalabras de David Hilbert [8]

Boltzmann’s work on the principles of mechanics suggests theproblem of developing mathematically the limiting processes,there merely indicated, which lead from the atomistic view to thelaws of motion of continua.

Es decir, sugiere estudiar con detenimiento los límites (en el número de par-tículas) que llevan de la visión atomística (escalas muy pequeñas, númerode particulas finito y grande) hacia el medio continuo (escalas grandes, uncontinuo de partículas).Imaginemos un conjunto de pesos de masa m conectados entre si conmuelles con constante de elasticidad k y longitud δx. Además asumimosque la masa de los muelles es despreciable.

m m m m

Figura 2.1: Esquema de la cuerda

38


Denotamos por upx, tq el desplazamiento desde la posición de equilibrio delpeso x´ésimo en tiempo t. Así la fuerza en el peso situado en x` δx vienedada por

Felastica “ kpupx` 2δx, tq ´ upx` δx, tqq ´ kpupx` δx, tq ´ upx, tqq.

Así la segunda ley de Newton nos dice que

(2.8) uttpx` δx, tq “k

mpupx` 2δx, tq ´ 2upx` δx, tq ` upx, tqq.

Si tenemos N ` 2 pesos separados por una longitud δx (de manera que elprimero y el último peso están fijos) y la longitud de la cuerda es L, entoncesse tiene

pN ` 1qδx “ L.

Vemos que, si N Ñ 8, entonces δx Ñ 0. De la misma manera, la masatotal será

pN ` 2qm “M,

y si N Ñ8, entonces mÑ 0. Fijamos también

K “k

N ` 2.

Por lo tanto

uttpx` δx, tq “KL2

M

pN ` 2q2

pN ` 1q2pupx` 2δx, tq ´ 2upx` δx, tq ` upx, tqq

δx2.

Así,

0 ă c2 “KL2

MP R

está fijo y, formalmente al menos, podemos usar el teorema de Taylor paraescribir

F px` hq ´ 2F pxq ´ F px´ hq « F 2pxqh2.

Podemos ahora pasar al límite N Ñ8 y conseguir

uttpx, tq “ c2uxxpx, tq.

Figura 2.2: La ecuación de ondas tal cual la escribió Euler en 1767Cuando la incógnita udepende de variasvariables espaciales, laecuación de ondas tomala forma

utt “ c2∆u.

39


2.2.3. Solución

El ejercicio original que nos planteábamos en esta sección era el del estudiode la vibración de una cuerda de guitarra de longitud L y sujeta por susextremos. Con esa aplicación en mente llegamos a escribir (2.7). Seguircon este ejercicio nos llevaría a un problema de valores de frontera para laecuación de ondas, por lo que, de momento, vamos a dejar este plantea-miento a un lado y a considerar que los extremos de la cuerda son ´L2y L2 donde 1 ! L es un número enorme. Así podemos pensar que unabuena aproximación viene dada cuando la variable espacial x vive en todala recta real R, por lo que de nuevo estamos ante un problema de valoresiniciales para la ecuación de ondas (2.7):

utt “ c2uxx, px, tq P Rˆ p0, T q(2.9a)u “ f, px, tq P Rˆ t0u(2.9b)ut “ g, px, tq P Rˆ t0u.(2.9c)

Como es una ecuación de segundo orden en tiempo (tiene dos derivadastemporales, sabemos de nuestro curso de EDOs que hacen falta dos datosiniciales. Para resolver dicho problema tenemos encontrar una u que cumplatodas las condiciones en (2.9a-c).Volvamos atrás por un momento. Consideremos la ecuación de transpor-te (2.2) con q0 “ c. Tomando una derivada en tiempo de esta ecuaciónobtenemos

utt “ ćuxt “ pćutqx “ c2uxx.

Es decir, una solución de la ecuación de transporte es una solución de laecuación de ondas. Por supuesto, para encontrar una solución del problemade valores iniciales para la ecuación de ondas (2.9a-c) eso no parece muyútil porque, en principio, no está claro cómo relacionar los datos iniciales(2.9b-c) con este hecho. Sin embargo veremos que pensar en la ecuación detransporte si que arroja alguna pista. Vimos que la solución de la ecuaciónde transporte tenía la forma

upx, tq “ fpx` ctq,

es decir, no depende de x y t independientemente, sino de la variableα “ x ` ct. Como la ecuación de ondas es independiente del signo de c(depende de c2), parece razonable buscar una solución que dependa de lasvariables

α˘ “ x˘ ct.

Así, queremos aplicar la regla de la cadena para traducir la EDP (2.7) delas variables x y t a las variables α` y α´. La regla de la cadena dice que

B

Bx“Bα`

Bx

B

Bα``Bα´

Bx

B

Bα´“

B

Bα``

B

Bα´,

40


B

Bt“Bα`

Bt

B

Bα``Bα´

Bt

B

Bα´“ c

B

Bα`´ c

B

Bα´.

Entonces

uxx “

ˆ

B

Bα``

B

Bα´

˙2

u “ uα`α` ` uα´α´ ` 2uα`α´ ,

utt “

ˆ

B

Bα`´

B

Bα´

˙2

u “ c2 puα`α` ` uα´α´ ´ 2uα`α´q .

Así, la ecuación de ondas (2.9a) en las nuevas variables pasa a ser

(2.10) uα`α´pα`, α´q “ 0.

Si ahora integramos (2.10) llegamos a

uα`pα`, α´q “ C1pα

`q,

y si integramos de nuevo observamos que Porş

C1pα`qdα`

entendemos cualquierprimitiva de la función C1.

upα`, α´q “

ż

C1pα`qdα` ` C2pα

´q.

Entonces tenemos que

upα`, α´q “ F pα`q `Gpα´q,

es decirupx, tq “ F px` ctq `Gpx´ ctq.

Es decir, una solución de la ecuación de ondas tiene la forma de unasuperposición de pulsos viajando uno hacia la izquierda (F px` ctq) y otrohacia la derecha (Gpx´ ctq).Esto es justamente lo que hizo D’Alembert en 1747:

Figura 2.3: Texto original de D’Alembert

Sin embargo, aún no hemos encontrado una solución del problema de valo-res iniciales (2.9a-c) puesto que nuestra solución u (que satisface (2.9a)),para F y G arbitrarias no cumplirá (2.9b-c). Usando (2.9b) obtenemos que

fpxq “ upx, 0q “ F pxq `Gpxq.

De la misma manera,

gpxq “ utpx, 0q “ cF 1pxq ´ cG1pxq,

41


o, de manera equivalente,ż x

´8

gpsqds “ cpF pxq ´Gpxqq.

Ahora, dados f y g podemos resolver explícitamente para hallar F y G:

F pxq “1

2

ˆ

fpxq `1

c

ż x

´8

gpsqds

˙

,

Gpxq “1

2

ˆ

fpxq ´1

c

ż x

´8

gpsqds

˙

.

Así, concluímos que

upx, tq “1

2

ˆ

fpx` ctq `1

c

ż x`ct

´8

gpsqds

˙

`1

2

ˆ

fpx´ ctq ´1

c

ż xćt

´8

gpsqds

˙

y, agrupando términos,

(2.11) upx, tq “fpx` ctq

2`fpx´ ctq

2`

1

2c

ż x`ct

xćtgpsqds.

Desde esta fórmula ya vemos que, de la misma manera que para la ecuaciónde transporte, la solución tiene velocidad finita, c, de propagación.

2.2.4. Conservación de la energía y unicidad de soluciones

Volvamos al oscilador armónico por un momento

uttptq ` uptq “ 0.

Observamos que la energía total o Hamiltoniano

E ptq “ utptq2 ` uptq2

se conserva. En efecto:

d

dtE ptq “ 2 putptquttptq ` uptqutptqq “ 2utptq puttptq ` uptqq “ 0.

Al haber derivado la ecuación de ondas como límite de osciladores armó-nicos acoplados es razonable esperar que la energía total se conservetambién para la ecuación de ondas. La principal diferencia es que ahorala energía total hay que calcularla en toda la cuerda, por lo que debemosintegrar sobre la variable espacial.Recordemos que la

integral no es más que unlímite de sumas...

Así, para (2.9) con c “ 1, definimos

E ptq “

ż

Rutpx, tq

2 ` uxpx, tq2dx,

42


y calculamos (usando integración por partes)

d

dtE ptq “ 2

ż

Rutpx, tq puttpx, tq ´ uxxpx, tqq dx “ 0.

Por lo tanto, sin más que integrar en tiempo la igualdad anterior, obtenemosque la ecuación de ondas tiene un comportamiento conservativo:

E ptq “

ż

Rutpx, tq

2 ` uxpx, tq2dx “

ż

Rutpx, 0q

2 ` uxpx, 0q2dx “ E p0q.

Además de darnos pistas sobre el comportamiento de la solución de laecuación de ondas, la propiedad anterior nos sirve para estudiar la unicidadde soluciones. En efecto, consideremos los problemas (similares a (2.9))

utt “ uxx, px, tq P Rˆ p0, T q(2.12a)u “ f1, px, tq P Rˆ t0u(2.12b)ut “ g1, px, tq P Rˆ t0u,(2.12c)

vtt “ vxx, px, tq P Rˆ p0, T q(2.13a)v “ f2, px, tq P Rˆ t0u(2.13b)vt “ g2, px, tq P Rˆ t0u.(2.13c)

Es decir, consideramos el mismo problema de valores iniciales para laecuación de ondas para dos pares de datos iniciales distintos pf1, g1q ypf2, g2q. Por lo visto anteriormente las soluciones u y v existen y verificanE ă 8. Entonces la función w “ u´ v satisface

wtt “ wxx, px, tq P Rˆ p0, T q(2.14a)w “ f1 ´ f2, px, tq P Rˆ t0u(2.14b)wt “ g1 ´ g2, px, tq P Rˆ t0u.(2.14c)

(¿por qué?). Usando el principio de conservación de la energía visto ante-riormente obtenemos que

ż

Rwtpx, tq

2 ` wxpx, tq2dx “

ż

Rpg1pxq ´ g2pxqq

2 ` pf1pxq ´ f2pxqq2dx.

En particular, la unicidad podemos probarla con un argumento de contradic-ción. Asumamos que el problema (2.9) tuviese dos soluciones distintas uy v (para los mismos datos iniciales f, g) y que dichas soluciones verificanE ptq ă 8. Entonces se tendría que w “ u´ v verificaría

ż

Rwtpx, tq

2 ` wpx, tq2dx “

ż

Rpgpxq ´ gpxqq2 ` pfpxq ´ fpxqq2dx “ 0.

Como el lado de la izquierda es positivo tenemos que tanto w como wt sonidénticamente cero. Pero entonoces u “ v y obtenemos la contradicción.

43


2.2.5. Sistemas de primer orden

Recordemos por un momento el problema de valores iniciales para eloscilador armónico

xtt “ ´x

xp0q “ x0

xtp0q “ x1.

Esta EDO con datos iniciales se puede poner en el marco de un sistema deEDOs de primer orden. Para ello basta con definir el problema

xt “ v

vt “ ´x

xp0q “ x0

vp0q “ x1.

Obviamente, la transformación que nos cambia de la EDO de segundo ordenal sistema de EDOs de primer orden no es único. Por ejemplo, podemosconsiderar las variables

x˘ “ x˘ xt´

Dichas variables satisfacen

x`t “ ´x´

x´t “ x`

x`p0q “ x0 ` x1

x´p0q “ x0 ´ x1.

El poder reducir el orden de una ecuación escalar al escribirla como unsistema también ocurre en el estudio de EDPs. De hecho, nuestra manerade resolver la ecuación de ondas como una superposición de pulsos, unoviajando a la derecha y otro viajando a la izquierda, es un reflejo de quela ecuación de ondas, además de ser lineal, se puede escribir como unsistema de ecuaciones de transporte (una reflejando movimiento hacia laderecha y otra hacia la izquierda). Usando

pBt ` cBxq pBt ´ cBxq “ Btt ´ cBxx,

llegamos a que (2.7) es equivalente al sistema de ecuaciones de transporte

ut ´ cux “ v

vt ` cvx “ 0.

44


De nuevo, dicha transformación en el caso de EDPs ni es única ni tiene porqué ser útil. Por ejemplo,

ut “ v

vt “ uxx,

y

ut “ vx

vt “ ux,

son otros dos sistemas equivalentes a (2.7).Para resolver la ecuación de ondas (2.7) en la sección anterior observá-bamos, sin más que tomar una derivada temporal, una relación entre laecuación de transporte (2.2) y la ecuación de ondas (2.7). De la misma ma-nera a veces es interesante pasar de sistemas de primer orden a ecuacionesde orden superior.

EJEMPLO 10. Las ecuaciones de Maxwell en el vacío son

c´2 ~Et “ ∇ˆ ~B

~Bt “ ´∇ˆ ~E

∇ ¨ ~E “ 0

∇ ¨ ~B “ 0,

donde c « 2,998 ¨ 108 m/s (es decir, la velocidad de la luz en el vacío).Concluir como hizo Maxwell que la luz es una onda electromagnética.

Solución. Si tomamos una derivada temporal de la ecuación para el campoeléctrico obtenemos

~Ett “ c2∇ˆ ~Bt “ ć2∇ˆ∇ˆ ~E “ ć2

´

∇p∇ ¨ ~Eq ´∆ ~E¯

“ c2∆ ~E.

Es decir, el campo eléctrico satisface la ecuación de ondas en tres dimensio-nes. Haciendo una analogía con el caso unidimensional visto anteriormente,afirmamos que la solución de dicha ecuación viaja a la velocidad c (quees la velocidad de la luz). Desde aquí Maxwell conjeturó que la luz es unaonda electromagnética.

EJEMPLO 11. La ecuación de Schrödinger

iBψpx, tq

Bt“B2ψpx, y, tq

Bx2,

se parece mucho a la ecuación del calor (3)

Bψpx, y, tq

Bt“B2ψpx, y, tq

Bx2.

Sin embargo, su comportamiento es mucho más parecido a la ecuación deondas que a la ecuación del calor. ¿Sabrías decir por qué?

45


Solución. Si tomamos una derivada temporal más, llegamos a

iψtt “ ψxxt “1

iψxxxx,

o, equivalentemente,ψtt ` ψxxxx “ 0.

Si ahora, formalmente, multiplicamos la ecuación por ψt e integramos enespacio obtenemos

1

2

d

dt

ˆż

Rψ2t dx`

ż

Rψ2xxdx

˙

“ 0.

Es decir, la ecuación de Schrödinger conserva la energía

E ptq “

ż

Rψ2t dx`

ż

Rψ2xxdx.

2.3. La ecuación del calor

2.3.1. Derivación usando caminos aleatorios

Consideremos el movimiento de un pequeño grano de polen que está in-merso en agua. Lo que veremos es una trayectoria básicamente aleatoria.Por aleatorio queremos decir que no veremos ningún patrón claro. Esto esasí porque la superficie del grano de polen es golpeada por las partículasdel fluido (que tampoco están quietas aunque nos parezca que el fluidoestá en reposo). Estos choques a escalas muy pequeñas no se repartenuniformemente por toda la superficie del grano de polen. De hecho inclusosufren grandes cambios. Por lo tanto la fuerza sobre el grano de polen debi-da a la presión del fluido cambia bastante y provoca esas oscilaciones en latrayectoria. Hoy en día este tipo de procesos se modelizan matemáticamen-En esa época la

naturaleza atómica de lamateria aún era una ideacontrovertida. De hecho,

le dieron el premio Nóbela Perrin entre otras cosas

por validarexperimentalmente la

teoría de Einstein sobre elmovimiento del polen.

te usando (entre otras cosas) lo que se llama movimiento browniano (porRobert Brown, que lo describió en 1827). Remarcablemente, este fenómenopermitió a Einstein [5] y a Smoluchowski [12] confirmar la existencia deátomos y moléculas.Consideremos ahora una malla en dos dimensiones (una asociada al espa-cio y otra al tiempo)

tpnδx,mδtq,m, n P Zu

con incrementos δx y δt. Consideremos una partícula que está en tiempot “ 0 en la posición x “ 0 y asumamos que dicha partícula tiene unaprobabilidad 12 de moverse hacia la derecha o hacia la izquierda en cadapaso de tiempo. Así, la partícula siempre sube en la malla en el eje vertical

46


mientras que en el eje horizontal unas veces salta hacia la izquierda y otrasveces hacia al derecha. Vamos a escribir ppn,mq para la probabilidad deque esta partícula esté en la posición nδx en tiempo mδt.Nos damos cuenta de que para que la partícula este en el punto pn,m` 1qes necesario, o bien que estuviese antes en pn´ 1,mq y se moviese a laderecha o bien que estuviese en pn` 1,mq y se moviese a la izquierda. Porlo tanto, usando probabilidades condicionadas, se tiene que

ppn,m` 1q “1

2pppn´ 1,mq ` ppn` 1,mqq

y por lo tanto,

ppn,m` 1q ´ ppn,mq “1

2pppn´ 1,mq ´ 2ppn,mq ` ppn` 1,mqq.

Si ahora suponemos que

(2.15)δx2

δt“ 2D ą 0

podemos escribir

ppn,m` 1q ´ ppn,mq

δt“ D

pppn´ 1,mq ´ 2ppn,mq ` ppn` 1,mqq

δx2

Formalmente, haciendo δx, δtÑ 0 pero guardando (2.15) se tiene que Cuando la incógnita udepende de variasvariables espaciales, laecuación del calor toma laforma

ut “ D∆u.

ppn,mq Ñ upx, tq

y obtenemos que la densidad verifica la ecuación del calor

(2.16) utpx, tq “ Duxxpx, tq.

2.3.2. Derivación usando la ley de Fick

Vamos a derivar la ecuación del calor de principios físicos básicos. Laenergía termal de un alambre (que modelizamos como un segmento unidi-mensional, es decir, sin grosor) toma la forma

C “ cmu,

donde m y u son la masa y la temperatura del alambre y c es el calorespecífico (la energía requerida para aumentar en 1 unidad la temperaturade una unidad de masa). También sabemos que el calor fluye de los lugaresmás cálidos a los más fríos. Por lo tanto, el flujo de calor es paralelo algradiente. En el caso de un alambre (que es unidimensional) la situación esaún más fácil y tenemos

J “ ´Dux.

47


Así, el cambio en el tiempo δ en la temperatura en el segmento x` δx vienedado por

δxupx, t` δtq ´ δxupx, tq.

Este cambio tiene que ser igual al flujo de calor en los extremos. Dicho flujoen los extremos toma la forma

Jpx, tqδt´ Jpx` δx, tqδt.

Por lo tanto llegamos a

δxupx, t` δtq ´ δxupx, tq “ Jpx, tqδt´ Jpx` δx, tqδt,

o, equivalentemente,

upx, t` δtq ´ upx, tq

δt“ D

uxpx` δx, tq ´ uxpx, tq

δx.

Si tomamos el límite en δx, δtÑ 0 llegamos a (2.16).

2.3.3. Solución

En esta sección vamos a ver cómo encontrar una solución concreta para laecuación del calor (2.16) (es decir, para un dato inicial determinado). Másadelante en el curso veremos cómo construir soluciones de la ecuacióndel calor (2.16) para cualquier dato inicial. Para encontrar esta soluciónpartícular vamos a introducir un tipo de argumentos que nos serán útiles altratar con diversas EDP’s: los argumentos de tipo scaling.Para empezar vamos a asumir que, de alguna manera, tenemos una solu-ción de la ecuación del calor (2.16), upx, tq.Para λ ą 0 y ciertos α, β P R (por determinar) definimos la función reescala-da

uλpx, tq “ λαupλβx, λtq.

Queremos encontrar α y β tal que, si u es una solución de la ecuación delcalor, uλ sea una solución de la ecuación del calor. Entonces calculamosusando la regla de la cadena lo siguiente:

B

Bt“ λ

B

Bs,

donde s “ λt. De la misma manera,

B

Bx“ λβ

B

By,

con y “ λβx. Entonces se tiene que

BuλBt

´B2uλBx2

“ λα`1 Bu

Bs´ λ2β`α Bu

By2.

48


Observamos que si α` 1 “ 2β ` α entonces

λα`1 Bu

Bs´ λ2β`α Bu

By2“

ˆ

Bu

Bs´Bu

By2

˙

λ2β`α “ 0 ¨ λ2β`α,

donde en la última igualdad hemos usado que u es una solución de laecuación del calor. Para conseguir α` 1 “ 2β ` α basta con tomar β “ 0,5y cualquier α. Como λ es arbitrario, lo elegimos λ “ t´1. Entonces

uλpx, tq “ t´αu´ x

t´0,5, 1¯

“ t´αF pzq ,

conz “

x

t´0,5.

Calculamos

B

Btuλpx, tq “ ´αt

´α´1F pzq ´1

2t´αF 1 pzq

x

t1,5,

yB2

Bx2uλpx, tq “ t´αF 2pzq

1

t.

Si introducimos la fórmula para uλ en la ecuación del calor (2.16) llegamosa

´αt´α´1F pzq ´1

2t´αF 1 pzq

x

t1,5“ t´αF 2pzq

1

t,

de dondeαF pzq `

1

2F 1 pzq z “ ´F 2pzq.

Así, el problema se reduce a encontrar una solución de esta EDO en lavariable z. Ahora observamos que

pF pzqzqz “ F 1pzqz ` F pzq

por lo que si α “ 0,5 obtenemos

1

2pF pzq zqz “ ´Fzzpzq.

Si integramos esta EDO llegamos a

Fzpzq “ ´1

2F pzqz ` c,

y, si además forzamos c “ 0,

F pzq “ Ce´z2

4 ,

49


para alguna constante C. Finalmente, si deshacemos los cambios llegamosa

upx, tq “ Ct´12e´x2

4t

para cualquier C. Así, por ejemplo, si consideramos como dato inicial atiempo t “ 1 la función

fpyq “1?πe´

y2

4 ,

tenemos que basta tomar C “ π´0,5 para que la u descrita anteriormentesea la solución buscada.

2.3.4. Disipación de la energía y unicidad de soluciones

Habíamos visto que una característica importante de la ecuación de ondases que conserva la energía

E ptq “

ż

Rutpx, tq

2 ` upx, tq2dx.

La ecuación del calor tiene un comportamiento radicalmente distinto. Sidefinimos

E ptq “

ż

Rupx, tq2dx,

y calculamos (para el caso D “ 1)

d

dtE ptq “ 2

ż

Rutpx, tqupx, tqdx “ 2

ż

Ruxxpx, tqupx, tqdx “ ´2

ż

Rpuxpx, tqq

2dx ď 0.

Por lo tanto, sin más que integrar en tiempo la igualdad anterior, obtenemosE ptq “ş

R upx, tq2dx es un

funcional de Lyapunovpara la ecuación del calor

que la ecuación del calor tiene un comportamiento disipativo:

E ptq ` 2

ż t

0

ż

Rpuxpx, sqq

2dxds “ E p0q.

De nuevo, esta propiedad nos sirve para estudiar la unicidad de soluciones.En efecto, consideremos los problemas (similares a (2.16))

ut “ uxx, px, tq P Rˆ p0, T q(2.17a)u “ f1, px, tq P Rˆ t0u,(2.17b)

vt “ vxx, px, tq P Rˆ p0, T q(2.18a)v “ f2, px, tq P Rˆ t0u.(2.18b)

Es decir, consideramos el mismo problema de valores iniciales para laecuación del calor para dos iniciales distintos f1 y f2. Asumamos que las

50


soluciones u y v existen y satisfacen E ă 8. Entonces la función w “ u´ vsatisface

wt “ wxx, px, tq P Rˆ p0, T q(2.19a)w “ f1 ´ f2, px, tq P Rˆ t0u.(2.19b)

(¿por qué?). Usando el principio de disipación de la energía visto anterior-mente obtenemos que

ż

Rwpx, tq2dx` 2

ż t

0

ż

Rpwxpx, sqq

2dxds “

ż

Rpf1pxq ´ f2pxqq

2dx.

En particular, la unicidad podemos probarla con un argumento de contradic-ción. Asumamos que el problema (2.16) tuviese dos soluciones distintas u yv (para el mismo dato inicial f ) y que dichas soluciones verifican E ptq ă 8.Entonces se tendría que w “ u´ v verificaría

ż

Rwpx, tq2dx` 2

ż t

0

ż

Rpwxpx, sqq

2dxds “ 0.

Como el lado de la izquierda es positivo tenemos que w debe ser idéntica-mente cero. Pero entonoces u “ v y obtenemos la contradicción.Puesto que la ecuación modela una temperatura, tiene sentido pensar quetanto el dato inicial como la solución sean funciones positivas. Entoncesobservamos que

E 1ptq “

ż

R|upx, tq|dx “

ż

Rupx, tqdx

se conserva

E 1ptq “ E 1p0q.

Que E 1 se conserve significa que la cantidad total de calor ser preserva.

EJEMPLO 12. Sea u una solución que decae a cero si |x| Ñ 8 y positiva(esta hipótesis no es realmente necesaria) de la ecuación del calor (2.16).Fijemos p ě 1. Demuestra que

E pptq “

ż

R|upx, tq|pdx

decae. Es decir, que se verifica

E pptq ď E pp0q.

51


Solución. Tenemos que

d

dtE pptq “

ż

Rppupx, tqqp´1utpx, tqdx

“

ż

Rppupx, tqqp´1uxxpx, tqdx

“ ´

ż

Rprpupx, tqqp´1sxuxpx, tqdx

“ ´

ż

Rppp´ 1qpupx, tqqp´2puxpx, tqq

2dx

ď 0.

Ahora basta integrar en tiempo para concluir.

2.3.5. Velocidad infinita de propagación

Hemos visto que tanto la ecuación del transporte como la de ondas tienenvelocidad finita de propagación c. Esto, de nuevo, vuelve a ser radicalmentediferente en el caso de la ecuación del calor. Observamos que la ecuacióndel calor (2.16) se puede escribir como

ut “ puvqx ,

conv “ plogpuqqx .

De esta manera tenemos que la ecuación del calor, de alguna manera (nadarigurosa), toma la forma de una ecuación de transporte

ut “ uxv ` uvx.

Si, por un momento nos olvidamos el término uvx, tenemos que, tal cualhabíamos visto al principio de este capítulo, la velocidad viene dada por ven el término uxv. Consideremos ahora por un momento un dato inicial ftal que existe R ą 0 y se cumple

fpxq “ 0 @ |x| ą R .

Entonces, en los puntos donde f es cero se tiene que la velocidad v tomaformalmente el valor ˘8. De este razonamiento totalmente formal (y nadariguroso) podemos esperar que la ecuación del calor se vuelva estrictamentepositiva para todo x si t ą 0, o, de otra manera, que la velocidad depropagación de la solución es infinita. Por el momento nos conformaremoscon este ‘argumento". Daremos una demostración rigurosa de este hechomás adelante en el curso.

52


2.4. La ecuación de Laplace

2.4.1. Derivación usando estados estacionarios

Consideramos por un momento la EDO

yt “ yp1´ yq, yp0q “ 0,5.

Queremos calcularlımtÑ8

yptq.

Podríamos calcular la solución explícitamente, sin embargo para saber ellímite de la solución no nos hace falta. Lo que hacemos es resolver

0 “ yp1´ yq.

Así encontramos que los estados estacionarios son

y˚ “ 0, y˚ “ 1 (las soluciones de 0 “ yp1´ yq).

Además, es fácil ver que yt ą 0 si 0 ă y ă 1, por lo que el estado estaciona-rio estable es y˚.Podemos hacernos la misma pregunta en el caso de una EDP. Así, podemosconsiderar la ecuación del calor (2.16) y sus estados estacionarios. Comoson estados estacionarios no dependen del tiempo, es decir,

u˚t “ 0.

Sin embargo, pueden depender del espacio. Por lo tanto, los estados esta-cionarios de la ecuación del calor satisfacen la ecuación de Laplace Cuando la incógnita u˚

depende de variasvariables espaciales, laecuación de Laplace tomala forma

´∆u “ 0.

(2.20) 0 “ u˚xxpxq.

2.4.2. Derivación usando la curvatura

Consideremos la curva dada como el grafo de fpxq:

Γ “ tpx, fpxqqu .

Sabemos que

τ “p1, fxpxqq

a

1` pfxpxqq2,

es un vector tangente de norma 1. Por lo tanto

τ ¨ τ “ 1

y, derivando en x obtenemos

τx ¨ τ “ 0

53


Es decir, que τx tiene que ser un vector normal a la curva. Definimos elvector normal (con norma 1) como

n “τx|τx|

.

Además, podemos usarlo para medir la curvatura de la curva. Para ellodefinimos la curvatura

κpxq “τx ¨ n

a

1` pfxpxqq2“

|fxxpxq|

p1` pfxpxqq2q32.

Por lo tanto la curvatura (con signo indicando hacia dónde nos curvamosconforme recorremos las curva) se define como

κpxq “fxxpxq

p1` pfxpxqq2q32.

Vemos entonces que si queremos, dada una función cpxq, construir un grafocuya curvatura sea cpxq tenemos que resolver el problema

fxxpxq

p1` pfxpxqq2q32“ cpxq,

y, si asumimos que la función tiene derivada pequeña (y esto no imponeque la segunda derivada sea pequeña), llegamos a la ecuacion de Laplaceno homogénea (también llamada ecuación de Poisson)

(2.21) fxxpxq “ cpxq.

De la misma manera, la curvatura (media) para una superficie dada comoel grafo de una función

S “ tpx, y, fpx, yqqu ,

viene dada por

H “1

2

´

1` pfxq2¯

fyy ´ 2fxfyfxy `´

1` pfyq2¯

fxx´

1` pfxq2` pfyq

2¯32

.

Por lo tanto, si prescribimos la curvatura media de una superficie y despre-ciamos los términos no-lineales llegamos a

(2.22) ∆fpx, yq “ fxxpx, yq ` fyypx, yq “ cpx, yq.

54


2.4.3. No unicidad de soluciones

Consideremos por un momento la ecuación de Laplace (2.20). Es claro quecualquier función lineal

upxq “ ax` b,

será solución de la ecuación. Observamos que la única solución con energía

E “

ż

Rpupxqq2dx ă 8

es u ” 0. Este (y otros) tipos de condiciones son necesarias muchas vecespara distinguir las soluciones físicas (que representan la realidad) de otrassoluciones. Por ejemplo, antes dijimos que la ecuación del calor tenía unasolución única... y eso es correcto en el conjunto de funciones físicas quecumplen E ptq ă 8.

2.5. Clasificación y reducción a la forma canónicade EDP de segundo orden

En esta sección vamos a considerar un operador diferencial de segundoorden general de la forma

Lrus “ Auxxpx, yq `Buxypx, yq ` Cuyypx, yq `Duxpx, yq ` Euypx, yq “ f.

Con A,B,C,D,E P R y mınt|A|, |B|, |C|u ą 0. Lo primero que observamoses que si

A “ ´1, E “ 1, B “ C “ D “ 0, la ecuación anterior se reduce a laecuación del calor,

A “ ´1, C “ 1, B “ D “ E “ 0, la ecuación anterior se reduce a laecuación de ondas,

A “ 1, C “ 1, B “ D “ E “ 0, la ecuación anterior se reduce a laecuación de Laplace.

Sin embargo, salvo esos casos particulares la ecuación Lrus “ f parecemuy distinta a todas las ecuaciones vistas anteriormente. En esta secciónvamos a ver cómo se clasifican las ecuaciones generales de segundo ordenen tres familias principales: las similares a la ecuación del calor, las similaresa la ecuación de ondas y las similares a la ecuación de Laplace.Recordemos la clasificación de las curvas cuadráticas (secciones cónicas)

Ax2 `By2 ` Cxy `Dx` Ey “ f.

55


La parte principal de estas curvas está contenida en la matriz

M “

ˆ

A B2B2 C

˙

.

De hecho, los términos de mayor orden se pueden escribir como

px, yqMˆ

xy

˙

“ 0.

De los cursos básicos donde se estudia geometría euclídea sabemos quelas cónicas se clasifican en base al determinante de la matriz M

det “B2

4ÁC.

Concretamente, la curva considerada será una

parábola si B2 ´ 4AC “ 0 (por ejemplo, A “ ´1, E “ 1, B “ C “

D “ 0),

hipérbole si B2 ´ 4AC ą 0 (por ejemplo, A “ ´1, C “ 1, B “ D “

E “ 0),

elípse si B2 ´ 4AC ă 0 (por ejemplo, A “ 1, C “ 1, B “ D “ E “ 0).

Así, por analogía con las curvas cuadráticas anteriores, las tres familias deEDPs son

parabólicas si B2 ´ 4AC “ 0 (la ecuación del calor A “ ´1, E “ 1,B “ C “ D “ 0),

hiperbólicas si B2 ´ 4AC ą 0 (la ecuación de ondas A “ ´1, C “ 1,B “ D “ E “ 0),

elípticas si B2 ´ 4AC ă 0 (la ecuación de Laplace A “ 1, C “ 1,B “ D “ E “ 0).

EJEMPLO 13 (Parcial 2, curso 2018-2019). Clasifica la siguiente EDP enfunción de si es elíptica, hiperbólica o parabólica

utt ` ut “ ux

Solución. No debemos dejar que el nombre de las variables nos confunda.Si viésemos la ecuación

vt “ vxx ` vx

tendríamos claro que es una ecuación parabólica. Pues ahora basta concopiar el razonamiento para u y observar que

A “ B “ 0, C “ D “ E “ 1.

56


2.6. Conclusiones

Algunos de los puntos más importantes de lo visto anteriormente son:Para ecuaciones de transporte:

Apx, t, upx, tqqutpx, tq `Bpx, t, upx, tqquxpx, tq “ Cpx, t, upx, tqq

Resolución por el método de las características.

Tienen velocidad finita de propagación.

Se trata de ecuaciones de tipo ondas.

Para la ecuación de ondas:

uttpx, tq “ uxxpx, tq

Resolución por el método de las características.

Tienen velocidad finita de propagación.

Conserva la energía

E ptq “

ż

Rutpx, tq

2 ` uxpx, tq2dx,

y, en la clase de funciones con energía finita, la solución es única.

Muchos de estos puntos se extienden a ecuaciones hiperbólicas (de tipoondas) más generales

uttp~x, tq “ÿ

ai,juxixj p~x, tq.

Para la ecuación del calor:

utpx, tq “ uxxpx, tq

Método del scaling

Tienen velocidad infinita de propagación.

Disipa la energía

E ptq “

ż

Rupx, tq2

y, en la clase de funciones con energía finita, la solución es única.

De nuevo, muchos de estos puntos se extienden a ecuaciones parabólicas(de tipo calor) más generales

utp~x, tq “ÿ

ai,juxixj p~x, tq.

Para la ecuación de Laplace (o Poisson):

uxxpxq “ fpxq

57


La solución no depende del tiempo, por lo que se puede pensar comosoluciones estacionarias de ecuaciones de tipo ondas o calor,

Es obvio que no hay unicidad de soluciones si no se impone algún tipode condición (como puede ser buscar funciones con energía finita).

De nuevo, muchos de estos puntos se extienden a ecuaciones elípticas (detipo Laplace) más generales

ÿ

ai,juxixj p~xq “ fp~xq.

Remarcamos que la falta de unicidad de soluciones, aunque lo hemos vistousando la ecuación de Laplace como ejemplo, también para otras EDPcomo la ecuación del calor. Dicho de otra manera, la unicidad de solucionesdepende de la clase de funciones donde se mira. En concreto, si algún tipode energía no es finita, la unicidad de solución no suele darse.

58

Capítulo 3

Problemas de valores defrontera

Vamos a considerar de nuevo el movimiento de una cuerda vibrante. Condicho problema físico en mente estudiamos la ecuación de ondas. Sinembargo, en el capítulo anterior tratamos el problema de valores iniciales,es decir, donde la cuerda se asumía de longitud infinita. Obviamente, dichahipótesis está muy lejos de ser razonable. Así llegamos a considerar cuerdasde longitud finita, lo que da lugar a extremos.Por ejemplo, si consideramos una cuerda cuyos extremos (localizados enx “ 0 y x “ π) están fijos, cuya posición inicial viene dada por fpxq y cuyavelocidad inicial es idénticamente cero tenemos que considerar el problemade valores de frontera siguiente

utt “ c2uxx, px, tq P p0, πq ˆ p0, T q(3.1a)u “ f, px, tq P p0, πq ˆ t0u(3.1b)ut “ g, px, tq P p0, πq ˆ t0u(3.1c)

up0, tq “ 0, t P p0, T q(3.1d)upπ, tq “ 0 t P p0, T q.(3.1e)

Uno podría en principio intentar usar la fórmula de D’Alembert vista en elcapítulo anterior. Por ejemplo, si g “ 0 basta con considerar el problema devalores iniciales con

upx, 0q “ f ,

donde f es una extensión impar 2π periódica de f .Sin embargo, vamos a optar por una aproximación más sistemática y, por lotanto, aplicable de manera más fácil a distintos problemas. La idea básicaes usar el principio de superposición para escribir la solución como unasuma de ondas sencillas (de tipo seno y coseno). Para ello observamos que

unpx, tq “ cospntq sinpnxq

es solución para todo número natural n para el caso c “ 1.

59


3.1. La ecuación de ondas

3.1.1. Extremos fijosCuando la incógnita debetener cierto valor fijo en la

frontera se dice que elproblema tiene

condiciones de bordeDirichlet. Si además el

valor es 0, se dicenhomogéneas.

Supongamos que queremos estudiar el movimiento de una cuerda cuyosextremos estan fijos a altura determinada (esta altura en nuestras coorde-nadas favoritas se asume que vale 0). Llegamos al problema (3.1) con c “ 1y velocidad inicial arbitraria

utt “ uxx, px, tq P p0, Lq ˆ p0, T q(3.2a)u “ f, px, tq P p0, Lq ˆ t0u(3.2b)ut “ g, px, tq P p0, Lq ˆ t0u(3.2c)

up0, tq “ 0, t P p0, T q(3.2d)upL, tq “ 0 t P p0, T q,(3.2e)

donde L es fijo (pero arbitrario).

EJEMPLO 14. Resuelve (3.2)

Solución. Queremos usar esa idea de que las funciones de tipo

unpx, tq “ cospntq sinpnxq

resuelven el problema con L “ π. Así buscamos una solución de variablesseparadas con la forma

upx, tq “ XpxqT ptq.

Usando este ansatz llegamos a que X y T no pueden ser arbitrarias sinoque deben satisfacer

TttptqXpxq “ T ptqXxxpxq,

de dondeTttptq

T ptq“Xxxpxq

Xpxq.

Puesto que tenemos dos funciones de dos variables distintas que tomanel mismo valor, dicho valor debe ser constante, digamos ´λ. Fijémonos demomento en la EDO correspondiente a la variable espacial x:

Xxx “ ´λX x P p0, Lq(3.3a)Xp0q “ 0,(3.3b)XpLq “ 0.(3.3c)

Este es un problema de valores de frontera de los del capítulo ??. Vamos adistinguir tres casos en función del valor de λ. Si λ “ 0 llegamos a que

Xxx “ 0,

60


de dondeXpxq “ c1x` c2,

que no cumple las condiciones de frontera (3.2d,e). Observamos que, encuanto que EDO de segundo orden lineal con coeficientes constantes,podemos buscar soluciones de la forma

exθ.

Así vemos queθ2 “ ´λ,

y nos queda la solución

Xpxq “ C1exθ` ` C2e

xθ´ .

Si λ ă 0 llegamos a θ˘ “ ˘?´λ P R. Estas soluciones llevan a una solución

general del problema que es combinación lineal de exponenciales realesque tampoco cumplen (3.2d,e) salvo en el caso de C1 “ C2 “ 0. Si λ ą 0nos queda θ˘ “ ˘i

?λ P C. Usando la fórmula de Euler

eiζ “ cospζq ` i sinpζq,

llegamos a

Xpxq “ C1exθ` ` C2e

xθ´

“ C1pcosp?λxq ` i sinp

?λxqq ` C2pcosp

?λxq ´ i sinp

?λxqq.

Como queremos soluciones reales de este problema de valores de fronteratenemos que imponer que las constantes (complejas) Ci sean conjugadas

C1 “a` bi

2, C2 “ C1 “

a´ bi

2.

Por lo tanto

Xpxq “ a cosp?λxq ´ b sinp

?λxq.

Si ahora imponemos que X satisfaga las condiciones de borde llegamos aque

Xp0q “ 0 ñ a “ 0,

XpLq “ 0 ñ b “ 0 o sinp?λLq “ 0.

La opcion b “ 0 no es útil porque impondría upt, xq “ 0 y esa función nocumple los datos iniciales (3.2b,c). Por lo tanto se necesita

?λ “

nπ

Lpara n P N

61


y concluímos

Xnpxq “ Cn sinńπ

Lx¯

.(3.4)

Ahora pasamos a estudiar el problema para la variable temporal

Ttt “ ń2π2

L2T.(3.5)

De nuevo las soluciones de este problema tiene forma de senos y cosenos:

T ptq “ an cosńπ

Lt¯

` bn sinńπ

Lt¯

.(3.6)

Usando que el problema (3.2) es lineal, podemos usar el principio de super-posición y concluir que

upt, xq “8ÿ

n“1

TnptqXnpxq

“

8ÿ

n“1

´

An cosńπ

Lt¯

`Bn sinńπ

Lt¯¯

sinńπ

Lx¯

,(3.7)

resuelve (3.2a,d,e). Para resolver (3.2b,c) necesitamos

fpxq “8ÿ

n“1

An sinńπ

Lx¯

,(3.8)

gpxq “8ÿ

n“1

Bnnπ

Lsin

ńπ

Lx¯

.(3.9)

Cuando una función f admite un desarrollo en serie de la forma anterior(llamadas series de Fourier) lo veremos más adelante. Por el momentoasumiremos que las funciones f y g tienen dicha expresión.Cuando es la derivada

espacial de la incógnita laque debe tener cierto

valor fijo en la frontera sedice que el problematiene condiciones de

borde Neumann

3.1.2. Extremos libres

Supongamos ahora que queremos estudar el movimiento de una cuerdacuyos extremos están libres. Como en los extremos no actúa ninguna fuerzaneta llegamos al problema


uxp0, tq “ 0, t P p0, T q(3.10d)uxpL, tq “ 0 t P p0, T q,(3.10e)

donde hemos usado la expresión de la fuerza obtenida en el capítulo 2.

62



Solución. Buscamos soluciones en forma de variables separadas

upt, xq “ XpxqT ptq.

Siguiendo los pasos anteriores llegamos al problema

Xxx “ ´λX x P p0, Lq(3.11a)Xxp0q “ 0,(3.11b)XxpLq “ 0.(3.11c)

De nuevo, separamos en 3 casos distintos según el signo de λ. El casoλ “ 0 ahora tiene como solución

X0pxq “ 1.

El caso λ ă 0 se descarta con el argumento del ejemplo 14 anterior y llega-mos a que el caso más interesante (el que no da soluciones idénticamentecero) es

?λ “

nπ

Lpara n P N

Xnpxq “ Cn cosńπ

Lx¯

.(3.12)

Usando que

1 “ cos

ˆ

0π

Lx

˙

,

observamos que (3.12) se puede extender para cubrir también el caso λ “ 0anteriormente. El caso λ “ 0 aparece en este ejemplo (y no aparece enel ejemplo 14) debido a las condiciones de frontera. De la misma manera,encontramos el problema (3.5) para la función de la variable temporal. Paralos λ ą 0 la solución de dicho problema viene dada por (3.6). En el casoλ “ 0 (y tenemos que considerar este nuevo caso λ “ 0 debido a lascondiciones de frontera), nos queda que

Ttt “ 0,

de dondeT0ptq “ A0 `B0t.

Así obtenemos que

upt, xq “8ÿ

n“0

TnptqXnpxq

“

8ÿ

n“1

´

An cosńπ

Lt¯

`Bn sinńπ

Lt¯¯

cosńπ

Lx¯

À0 `B0t,(3.13)

63


resuelve (3.10a,d,e). Para los datos iniciales (3.10b,c) necesitamos

fpxq “8ÿ

n“0

An cosńπ

Lx¯

,

gpxq “8ÿ

n“0

Bnnπ

Lcos

ńπ

Lx¯

.

De nuevo simplemente asumimos que disponemos de dicha expansión delas funciones f y g en serie de Fourier de cosenos.

3.1.3. Otras condiciones de frontera

No es difícil imaginarse problemas físicos con otras condiciones de frontera.Así, si uno considera una cuerda vibrante que tenga un extremo fijo y otroextremo libre llega al problema


up0, tq “ 0, t P p0, T q(3.14d)uxpL, tq “ 0 t P p0, T q.(3.14e)

Por supuesto, uno puede considerar el caso donde el extremo fijo no estáanclado a una altura determinada sino que está anclado a un objeto móvilcuya altura es una función del tiempo (digamos hptq). De esta manera unoformula


up0, tq “ hptq, t P p0, T q(3.15d)uxpL, tq “ 0 t P p0, T q,(3.15e)

y así podriamos seguir...

3.2. La ecuación del calor

3.2.1. Extremos con temperatura fija

Consideremos ahora cómo se difunde el calor en un alambre de longitudfija L cuyos extremos se encuentran a temperatura constante cero. De

64


esta manera uno llega al siguiente problema de valores de frontera para laecuación del calor

ut “ uxx, px, tq P p0, Lq ˆ p0, T q(3.16a)u “ f, px, tq P p0, Lq ˆ t0u(3.16b)

up0, tq “ 0, t P p0, T q(3.16c)upL, tq “ 0 t P p0, T q.(3.16d)


Solución. De nuevo buscamos una solución de variables separadas con laforma

upx, tq “ XpxqT ptq.

Entonces se debe tener que

TtptqXpxq “ T ptqXxxpxq,

de dondeTtptq

T ptq“Xxxpxq

Xpxq.

Puesto que tenemos dos funciones de dos variables distintas que tomanel mismo valor, dicho valor debe ser constante, digamos ´λ. Fijémonos demomento en la EDO correspondiente a la variable espacial x:

Xxx “ ´λX x P p0, Lq(3.17a)Xp0q “ 0,(3.17b)XpLq “ 0.(3.17c)

De manera análoga a como lo hicimos para la ecuación de ondas llegamosa (3.4)

Xnpxq “ Cn sinńπ

Lx¯

.

Ahora pasamos a estudiar el problema para la variable temporal

Tt “ ń2π2

L2T.(3.18)

Ahora, en lugar de tener soluciones en forma de senos y cosenos tenemossoluciones de tipo exponencial

T ptq “ aneń2π2

L2 t.(3.19)

65


Usando que el problema (3.16) es lineal, podemos usar el principio desuperposición y concluir que

upt, xq “8ÿ

n“1

TnptqXnpxq(3.20)

“

8ÿ

n“1

Aneń2π2

L2 t sinńπ

Lx¯

,(3.21)

resuelve (3.16a,c,d). Para resolver (3.16b) necesitamos

fpxq “8ÿ

n“1

An sinńπ

Lx¯

.

3.2.2. Extremos aislados

Ahora queremos estudiar cómo se difunde el calor en un alambre de longitudfija L cuyos extremos están recubiertos de aislante. De esta manera unollega al siguiente problema de valores de frontera para la ecuación del calor

ut “ uxx, px, tq P p0, Lq ˆ p0, T q(3.22a)u “ f, px, tq P p0, Lq ˆ t0u(3.22b)

uxp0, tq “ 0, t P p0, T q(3.22c)uxpL, tq “ 0 t P p0, T q.(3.22d)



upt, xq “ XpxqT ptq.



De nuevo, separamos en 3 casos distintos según el signo de λ. El casoλ “ 0 nos da

X0pxq “ c1x` c2 ¨ 1,

y, usando las condiciones de borde, c1 “ 0 y c2 es arbitraria. El caso λ ă 0da lugar a exponenciales reales que llevan a la función idénticamente cero

66


al usar las condiciones de borde. Así que llegamos a que el caso importantees

?λ “

nπ

Lpara n P N,

y

Xnpxq “ Cn cosńπ

Lx¯

,

donde, de nuevo, entendemos que

X0pxq “ C0 ¨ 1 “ C0 cos

ˆ

0π

Lx

˙

.

De la misma manera, encontramos el problema (3.18) para la función de lavariable temporal. Para los λ ą 0, la solución de dicho problema viene dadapor (3.19). Para el caso λ “ 0 concluímos que

Tt “ 0,

de donde T0 es una constante. Finalmente obtenemos que

upt, xq “8ÿ

n“0

TnptqXnpxq(3.24)

“ A0 `

8ÿ

n“1

Aneń2π2

L2 t cosńπ

Lx¯

,(3.25)

resuelve (3.22a,c,d). Para el dato inicial (3.22b) necesitamos

fpxq “8ÿ

n“0

An cosńπ

Lx¯

.

3.2.3. Otras condiciones de frontera

De nuevo, uno puede imaginar otros casos donde las condiciones de fronte-ra fuesen distintas. Por ejemplo, con un extremo siendo calentado de unamanera dada por la función hptq mientras que el otro extremo está aislado,etc.

67


3.3. La ecuación de Laplace

3.3.1. Condición de borde Dirichlet

Consideramos el problema dado por

uxx ` uyy “ 0, px, yq P p0, Lq ˆ p0, Lq(3.26a)upx, 0q “ f, x P p0, Lq(3.26b)upx, Lq “ g, x P p0, Lq(3.26c)up0, yq “ 0, y P p0, Lq(3.26d)upL, yq “ 0 y P p0, Lq.(3.26e)



upx, yq “ XpxqY pyq.

Así obtenemosXxxY `XYyy “ 0,

de dondeXxx

X“ ´

YyyY“ ´λ.


Xxx “ ´λX x P p0, Lq(3.27a)Xp0q “ 0,(3.27b)XpLq “ 0,(3.27c)

donde hemos usado que

up0, yq “ Xp0qY pyq “ 0, upL, yq “ XpLqY pyq “ 0.

Ahora separamos en 3 casos en función del signo de λ. Si λ “ 0 llegamos a

Xpxq “ ax` b

y las condiciones de borde fuerzan

Xpxq “ 0.

Si λ ă 0 obtenemos

Xpxq “ c1e?´λx ` c2e

´?´λx.

68


Como son exponenciales reales las condiciones de frontera vuelven a forzarque Xpxq sea idénticamente cero. Por lo tanto nos queda el caso λ ą 0 y,usando las condiciones de borde, llegamos a

Xnpxq “ cn sin´

xnπ

L

¯

.

La ecuación para Y es

Yyy “n2π2

L2Y,

de dondeYnpyq “ ane

ynπL ` bneýnπL.

Por lo tanto,

upx, yq “8ÿ

n“1

sin´

xnπ

L

¯´

An sinh´

ynπ

L

¯

`Bn cosh´

ynπ

L

¯¯

.

Sólo querdaría imponer las condiciones de borde en y y usar las series deFourier de f y g para concluir la solución.

3.3.2. Condición de borde Neumann

Ahora consideramos el problema

uxx ` uyy “ 0, px, yq P p0, Lq ˆ p0, Lq(3.28a)upx, 0q “ f, x P p0, Lq(3.28b)upx, Lq “ g, x P p0, Lq(3.28c)uxp0, yq “ 0, y P p0, Lq(3.28d)uxpL, yq “ 0 y P p0, Lq.(3.28e)



upt, xq “ XpxqY pyq.



Ahora separamos en 3 casos en función del signo de λ. Si λ “ 0 llegamos a

Xpxq “ C.

69


Si λ ă 0 la única solución que obtenemos es la idénticamente cero. Por lotanto nos queda el caso λ ą 0 y, usando las condiciones de borde, llegamosa

Xnpxq “ cn cos´

xnπ

L

¯

.

La ecuación para Y es

Yyy “n2π2

L2Y,

de dondeYnpyq “ ane

ynπL ` bneýnπL

si λ ‰ 0 yY0 “ a0y ` b0

si λ “ 0. Por lo tanto,

upx, yq “8ÿ

n“1

cos´

xnπ

L

¯´

An sinh´

ynπ

L

¯

`Bn cosh´

ynπ

L

¯¯

À0y `B0.

De nuevo quedaría imponer las condiciones de borde en y y usar las seriesde Fourier de f y g para concluir la solución.

3.4. Separación de variables para ecuaciones conderivadas cruzadas

EJEMPLO 20 (De [11]). Separa variables en

uxx ` uxy ` ux “ 0, px, yq P p0, Lq ˆ p0, Lq

Solución. Buscamos una solución


Llegamos aXxxY `XxYy `XxY “ 0.

Dividiendo por XY llegamos a

Xxx

X`Xx

X

YyY`Xx

X“ 0.

Si operamos llegamos a

X

Xx

ˆ

Xxx

X`Xx

X

˙

“ ÝyY.

Finalmente,Xxx

Xx` 1 “ ´

YyY.

70


Usando los argumentos vistos anteriormente obtenemos las siguientesEDOs

Yy “ λY,

yXxx `Xx “ ´λXx.

Observamos que, al tener la dependencia en x separada de la dependenciaen y podríamos (si nos hubiesen dado condiciones de borde) resolver lasEDOs anteriores para encontrar una solución general. Este ejemplo muestraque a veces se puede aplicar separación de variables a ecuaciones conderivadas cruzadas.

EJEMPLO 21. Separa variables en

uxx ` 2uxy ` uyy “ 0, px, yq P p0, Lq ˆ p0, Lq

Solución. Buscamos una solución


Llegamos aXxxY ` 2XxYy `XYyy “ 0.

Dividiendo por XY llegamos a

Xxx

X` 2

Xx

X

YyY`YyyY“ 0.

Observamos que, al no tener la dependencia en x separada de la depen-dencia en y no podemos escribir las EDOs que nos llevarían a la solucióngeneral. Este ejemplo muestra que a veces no se puede aplicar separaciónde variables a ecuaciones con derivadas cruzadas. Aquí podríamos intentarsolucionar el problema notando que la ecuación se puede escribir como

pBx ` Byq2u “ pB2

x ` 2BxBy ` B2yqu “ 0.

3.5. Conclusiones

Hemos visto que el principio de superposición unido a buscar solucionesen forma de variables separadas daba lugar a soluciones explícitas deciertas EDPs lineales. Dichas soluciones explícitas tenían la forma de Al basarse en el principio

de superposición, elmétodo de separación devariables no funciona paraEDPs no lineales.

serie de funciones (senos y cosenos o, más generalmente, exponencialescomplejas). Por supuesto el tipo de funciones que aparecían en la seriedependía de las condiciones de borde. Los coeficientes de esas series,llamadas series de Fourier, dependen de los datos iniciales (y, en ocasiones,también de los datos de frontera. Las series de Fourier dan lugar al siguientecapítulo del curso.

71

Capítulo 4

Series de Fourier

4.1. Revisitando la ecuación de ondas

En las secciones anteriores hemos escrito, al menos formalmente, solucio-nes explícitas de determinadas ecuaciones en derivadas parciales lineales.Decimos al menos formalmente porque en principio no está claro comoseleccionar los coeficientes An y Bn que aparecen en las series anteriores.Dichos coeficientes deben depender de los datos iniciales ya que es esainformación la única que aún no hemos usado (ver (3.8) y (3.9)).En esta sección vamos a tratar de motivar cuál es la forma correcta quedeben detener los An para el caso de la ecuación de ondas (3.2) cuyavelocidad inicial sea idénticamente g “ 0 en (3.2c).Además de cómo escribir exactamente los coeficientes, hay otras preguntasrelativas a las soluciones en forma de serie de Fourier igualmente importan-tes como por ejemplo

1. ¿cómo de regular es una serie de Fourier?

2. ¿tiene una serie de Fourier dos derivadas continuas?

Esta segunda pregunta, lejos de ser una cuestión puramente matemática,entronca con el concepto mismo de solución. En efecto, ya que si upx, tqen (3.7) no tuviese dos derivadas (tanto en t como en x), el sentido de sersolución de (3.2a) está lejos de ser el obvio...A principios del capítulo 2 habíamos considerado el caso de N ` 2 muellesunidos entre sí. Cuando el número de muelles tendía a infinito recupe-rábamos la ecuación de ondas (2.7). Por el problema físico considerado,se asumía que los bordes de la cuerda estaban fijos (como en (3.2)). Siescribimos

up`qptq “ up`δx, tq

73


para el desplazamiento de la masa n-ésima del equilibrio, habíamos vistoque el sistema de EDOs venia dado por

upnqtt “ α2pupn`1q ´ 2upnq ` upn´1qq para 1 ď n ď N,

donde

α “k

m

era un parámetro físico (comparar con (2.8)). El hecho de que el primer y elúltimo peso estuviesen fijos implicaba que

up0q “ upN`1q “ 0.

Euler resolvió el sistema anterior obteniendo

upnqptq “Nÿ

`“1

2

N ` 1

Nÿ

j“1

upjq0 sin

ˆ

j`π

N ` 1

˙

sin

ˆ

n`π

N ` 1

˙

cos

ˆ

2α sin

ˆ

`π

2N ` 2

˙

t

˙

,

dondeupnqp0q “ u

pnq0 .

Si bien Euler fue el primero en obtener la solución explícita del sistemaanterior [4], fue Lagrange el primero en intentar calcular el límite cuando elnúmero de masas móviles N tiene a infinito. En este límite, y siendo L lalongitud de la cuerda,

x “nL

N ` 1,

mientras que

dx “L

N ` 1.

Lagrange, basándose en análisis dimensional, conjeturó que

2α sin

ˆ

`π

2N ` 2

˙

Ñ`π

L.

Usando que, al menos formalmente,

lımNÑ8

Nÿ

j“1

L

N ` 1upkq0 sin

ˆ

j`π

N ` 1

˙

“

ż L

0upz, 0q sin

ˆ

z`π

L

˙

dz,

se llega a

(4.1) upx, tq “8ÿ

`“1

2

L

ż L

0upz, 0q sin

ˆ

z`π

L

˙

dz sin

ˆ

x`π

L

˙

cos

ˆ

`π

Lt

˙

.

74


En esta fórmula ya se intuye la solución de la ecuación de ondas (3.7).Efectivamente, si tomamos el caso de g ” 0 (y por lo tanto B` “ 0) bastacon tomar

A` “2

L

ż L

0upz, 0q sin

ˆ

z`π

L

˙

dz,

para obtener que (3.7) es idéntica a (4.1).Es conveniente hacer notar que en el capítulo 2 habíamos escrito el sistemade EDOs para los muelles y, sin resolverlo, después pasábamos al límitepara obtener la ecuación de ondas. Sin embargo ahora primero resolvemosel sistema de EDOs y luego tomamos el límite para, en vez de obtener laecuación de ondas, conseguir directamente su solución.

4.2. Series de Fourier exponenciales en r´L,Ls

4.2.1. Los coeficientes de la serie de Fourier y el espacio L2

Como ϕk toma valorescomplejos, esta teoríasirve también parafunciones que tomenvalores complejos.

Sea L ą 0 un parámetro arbitrario. Consideramos el intervalo r´L,Ls y lasfunciones

ϕkpxq “1?

2LeiπLxk.

En esta sección (y en las siguientes) vamos a considerar funciones 2L´periódicas:es decir, funciones tales que

upxq “ upx` 2Lq @x.

Aunque hasta ahora hemos visto desarrollos en forma de series trigono- Observamos que eldesarrollo anterior separece a (4.1) si usamosla fórmula de Euler

eiθ “ cospθq ` i sinpθq.

métricas (de senos y cosenos), las principales ideas de los desarrollos enseries de Fourier ya están presentes en el caso de desarrollos en series deexponenciales complejas (de hecho, ambos desarrollos son esencialmenteequivalentes). Como usando exponenciales las identidades son un pocomás sencillas, vamos a tratar primero este caso y luego pasaremos al casode series trigonométricas.Queremos ver cómo construir y bajo qué condiciones vamos a tener undesarrollo de la forma

upxq “8ÿ

`“´8

u`ϕ`pxq.

Vamos a olvidarnos por el momento del caso de desarrollos en serie defunciones y a centrarnos en el caso, ya conocido, del álgebra lineal en RN .En dicho espacio (de dimensión finita N ) tenemos combinaciones linealesde la forma

~v “Nÿ

`“1

c` ~ϕ`,

75


donde ~ϕ` forman una base ortonormal del espacio. Usando que ~ϕ` for-man una base ortonormal y escribiendo x~v, ~ϕny para el producto escalar,obtenemos

x~v, ~ϕny “ cn.

Por lo tanto,

~v “Nÿ

`“1

x~v, ~ϕ`y ~ϕ`,

Esta es la idea que queremos desarrollar en el caso de funciones. Esteejemplo motiva la definición del siguiente espacio (vectorial) de funciones:Esta definición no es del

todo exacta, pero servirápara el nivel de este curso.

(4.2) L2pr´L,Lsq “

"

upxq tales queż L

´L|upxq|2dx ă 8

*

.

A este espacio vectorial lo podemos dotar del producto interno

xfpxq, gpxqy “

ż L

´Lfpxqgpxqdx,

y de la norma

fL2 “a

xfpxq, fpxqy “

ˆż L

´L|fpxq|2dx

˙0,5

.

Nos damos cuenta entonces de que las funciones continuas están conteni-das en este espacio

Cpr´L,Lsq Ă L2pr´L,Lsq,

pero además tenemos funciones discontinuas, como por ejemplo

upxq “

"

1 si x ą 0´1 si x ď 0

,

o incluso funciones con algún tipo de singularidad como

upxq “1

4a

|x|.

76


Lo primero es observar que, si n ‰ k,

xϕn, ϕky “

ż L

´Lϕnpxqϕkpxqdx

“

ż L

´Lϕnpxqϕ´kpxqdx

“1

2L

ż L

´LeiπLxneí

πLxkdx

“1

2L

ż L

´LeiπLxpn´kqdx

“1

2L

1

i πLpn´ kqeiπLxpn´kq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

L

´L

“1

2L

1

i πLpn´ kq

´

cos´π

Lxpn´ kq

¯

` i sin´π

Lxpn´ kq

¯¯

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

L

´L

“ 0,

mientras que

xϕn, ϕny “

ż L

´Lϕnpxqϕnpxqdx

“

ż L

´Lϕnpxqϕńpxqdx

“1

2L

ż L

´L1dx

“ 1.

Así, las funciones ϕkpxq son ortonormales (con respecto al producto internoque hemos definido) [3].

Por lo tanto, dada una función upxq podemos tratar de definir

u` “ xu, ϕ`y

“

ż L

´Lupxqϕ`pxqdx

“

ż L

´Lupxqϕ´`pxqdx,

77


y entonces

upxq “8ÿ

`“´8

u`ϕ`pxq

“

8ÿ

`“´8

xu, ϕ`yϕ`pxq

“

8ÿ

`“´8

1?

2L

ż L

´Lupzqeí

πLz`dzϕ`pxq

“

8ÿ

`“´8

1

2L

ˆż L

´Lupzqeí

πLz`dz

˙

eiπLx`.(4.3)

Llegados a este punto y teniendo en cuenta la fórmula de Euler paraexponenciales complejas, deberíamos comparar esta última fórmula con(4.1).En un cierto sentido que especificaremos más adelante, podemos pen-sar que para calcular la serie de Fourier de una función lo que hacemoses realizar muchos tests o mediciones de qué hace esa función cuandola multiplicamos contra distintas exponenciales complejas e integramos.Siguiendo esta analogía se tiene que integrar contra las distintas exponen-ciales complejas, es decir, calcular los coeficientes de Fourier, sería, dealguna manera, realizar mediciones, de manera que si sabemos todas estasmediciones conocemos la función.Hemos obtenido así una expresión de la función u como serie de exponen-ciales complejas. Sin embargo hay varias dudas razonables:

1. ¿cuándo converge la serie (4.3)? Cada vez que uno escribe unasuma infinita tiene que preguntarse si dicha suma tiene, para empezar,sentido.

2. ¿qué funciones u se pueden desarrollar como serie de exponencialescomplejas? Una manera de llegar a hacerse esta pregunta parte delhecho de que las funciones ϕn son regulares. Por lo tanto, una sumafinita de ellas será igualmente regular. Así, uno podría pensar que(4.3) sólo tendría sentido para funciones infinitamente regulares o, porel contrario, que el hecho de que la suma en (4.3) sea infinita estropeala regularidad de u.

3. ¿qué significado preciso tiene el signo “ en (4.3)? De otra manera,¿es verdad que, para cualquier x0 P r´L,Ls se tiene

upx0q “

8ÿ

`“´8

1

2L

ˆż L

´Lupzqeí

πLz`dz

˙

eiπLx0`.?

Por supuesto, esta pregunta esta relacionada con la anterior.

78


4.2.2. La suma parcial de la serie de Fourier

Definimos la suma parcial

(4.4) SNupxq “Nÿ

`“Ń

u`ϕ`pxq “Nÿ

`“Ń

1

2L

ˆż L

´Lupzqeí

πLz`dz

˙

eiπLx`.

Estamos interesados en ver cuándo y en qué sentido la suma parcial (4.4)converge.Nuestra intención ahora es sumar la suma parcial (4.4) de manera que alfinal quede un operador integral de tipo convolución. Para eso tenemos elsiguiente lema: La función DN recibe el

nombre de Núcleo deDirichlet.LEMA 3. Tenemos que

(4.5) SNupxq “

ż L

´LupzqDN px´ zqdz,

con

DN pzq “1

2L

sin``

N ` 12

˘

πLz

˘

sin`

πLz2

˘ .

Demostración. La prueba se basa en la fórmula de la suma parcial de laserie geométrica. Gracias a (4.4) tenemos que

SNupxq “Nÿ

`“Ń

1

2L

ˆż L

´Lupzqeí

πLz`dz

˙

eiπLx`

“1

2L

ż L

´Lupzq

Nÿ

`“Ń

eíπLzèi

πLx`dz

“1

2L

ż L

´Lupzq

Nÿ

`“Ń

eiπLpx´zq`dz

“1

2L

ż L

´Lupzq

Nÿ

`“Ń

´

eiπLpx´zq

¯`dz

“1

2L

ż L

´Lupzqeí

πLpx´zqN

Nÿ

`“Ń

eiπLpx´zqN

´

eiπLpx´zq

¯`dz

“1

2L

ż L

´Lupzqeí

πLpx´zqN

Nÿ

`“Ń

´

eiπLpx´zq

¯N``dz

“1

2L

ż L

´Lupzqeí

πLpx´zqN

2Nÿ

n“0

´

eiπLpx´zq

¯ndz.

79


Ahora usamos quekÿ

j“0

rj “1´ rk`1

1´ r,

para obtener

DN px´ zq “1

2Leí

πLpx´zqN

˜

1´ ep2N`1qi πLpx´zq

1´ eiπLpx´zq

¸

.

Observamos que

1´ rk`1

1´ r“r´12

r´12

1´ rk`1

1´ r“r´12 ´ rk`12

r´12 ´ r12.

Por lo tanto, llegamos a que

DN px´ zq “1

2Leí

πLpx´zqN

˜

1´ ep2N`1qi πLpx´zq

1´ eiπLpx´zq

¸

“1

2L

e´pN`12qi πLpx´zq ´ epN`12qi π

Lpx´zq

eíπLpx´zq2 ´ ei

πLpx´zq2

“1

2L

sin``

N ` 12

˘

πLpx´ zq

˘

sin`

πLx´z

2

˘ .

Por lo tanto, para estudiar la convergencia de las series de Fourier basta conestudiar las propiedades del núcleo de Dirichlet. El siguiente lema recogealgunas propiedades básicas y, a la vez, útiles:

LEMA 4. Se tiene que

(4.6)ż L

´LDN pzqdz “ 1.

Como además DN pzq es par, se tiene que

(4.7)ż L

0DN pzqdz “

ż 0

´LDN pzqdz “

1

2.

Demostración. Observamos queNÿ

n“Ń

einπLz “ 1`

Nÿ

n“1

2 cos´

nπ

Lz¯

.

Entonces llegamos a que

DN pxq “1

2L`

Nÿ

n“1

1

Lcos

´

nπ

Lz¯

,

y se concluye el resultado.

80


Ahora consideramos

IN “

ż L

´L|upxq ´ SNupxq|

2 dx.

Trivialmente se tiene La integral IN aparececuando uno considera laaproximación de unafunción u como sumafinita de ϕ` de tal maneraque se tenga menor errorcuadrático medio. Esdecir, es una especie demínimos cuadrados.

0 ď IN .

Observamos que

SNu2L2 “

Nÿ

`“Ń

|u`|2,

ż L

´LSNupxqupxq “

ż L

´L

Nÿ

`“Ń

u`ϕ`pxqupxqdx

“

Nÿ

`“Ń

u`

ż L

´Lϕ`pxqupxqdx

“

Nÿ

`“Ń

uù`

“

Nÿ

`“Ń

|u`|2,

ż L

´LSNupxqupxq “

Nÿ

`“Ń

|u`|2.

Además, desarrollando obtenemos

IN “

ż L

´Lpupxq ´ SNupxqq

´

upxq ´ SNupxq¯

dx

“

ż L

´L|upxq|2 ´ SNupxqupxq ´ SNupxqupxq ` |SNupxq|

2dx

“

ż L

´L|upxq|2dx´ 2

Nÿ

`“Ń

|u`|2 `

Nÿ

`“Ń

|u`|2

“ upxq2L2 ´

Nÿ

`“Ń

|u`|2.

Por lo tanto, usando que IN ě 0 obtenemos

(4.8)Nÿ

`“Ń

|u`|2 ď upxq2L2 ,

81


y, tomando el límite N Ñ8, concluímos la desigualdad de Bessel

(4.9)8ÿ

`“´8

|u`|2 ď upxq2L2 .

Esto responde a la primera pregunta: la serie converge aunque no está deltodo claro a qué (al menos en sentido de ser una función en el espacioL2). De hecho, la desigualdad de Bessel sigue siendo cierta en casos másgenerales:

LEMA 5 (Desigualdad de Bessel). Sea φn una familia ortonormal de funcio-nes definidas en el intervalo ra, a` 2Ls para ciertos a y L en R, i.e.

ż a`2L

aφnpxqφ`pxqdx “ δn` ,

y sea

upxq “8ÿ

n“0

cnφnpxq.

Entonces8ÿ

n“0

|cn|2 ď u2L2pra,a`2Lsq,

y, como consecuencia,

cn “

ż a`2L

aupxqφnpxqdxÑ 0.

Demostración. La prueba es idéntica a la del caso φn “ ϕn.

El lema 3 nos permite escribir

upxq ´ SNupxq “ upxq ´

ż L

´LupzqDN px´ zqdz

“ upxq `

ż x´L

x`Lupx´ yqDN pyqdy

“ upxq ´

ż L

´Lupx´ zqDN pzqdz,

ya que para una función periódicaż a`L

a´Lfpxqdx “

ż L

´Lfpxqdx @ a ě 0.

Usando ahora el lema 4, obtenemos que

upxq “ upxq

ż L

´LDN pzqdz,

82


y entonces

(4.10) upxq ´ SNupxq “

ż L

´Lpupxq ´ upx´ zqqDN pzqdz.

Por lo tanto, para probar la convergencia de las series de Fourier tenemosque estudiar las propiedades de la integral

ż L

´Lpupxq ´ upx´ zqqDN pzqdz.

4.2.3. Varias nociones de convergencia

En general, los espacios de funciones tienen dimensión infinita. Eso haceque que sus propiedades sean muy distintas a las de los espacios vectoria-les de tipo RN . Veamos un ejemplo. Sabemos que si tenemos una sucesiónacotada ~vn Ă RN siempre podemos extraer al menos una subsucesión quesea convergente. Esto no ocurre en espacios de funciones en general. Porejemplo podemos considerar la siguiente sucesión de funciones

vnpxq “

"

1´ n|x| si 0 ď |x| ď 1n0 si 1n ă |x|

.

Observamos que vn son todas funciones continuas. Se tiene que

vnp0q “ 1 @n ‰ 0,

mientras quevnpxq Ñ 0 @x ą 0.

Por lo tanto, toda subsucesión converge a

v8pxq “

"

1 si x “ 00 si 0 ă x

.

De manera que no podemos elegir una subsucesión que tenga un límitecontinuo. Es decir, nuestra sucesión de funciones continuas cuya normaesta uniformemente acotada no tiene subsucesiones convergentes. Parasolucionar este y otros problemas sobre convergencia en espacios defunciones hay dos opciones. La primera opción es definir un nuevo conceptode integral, llamada integral de Lebesgue, pero eso escapa al contenidode este curso. La segunda es imponer condiciones extras de regularidadsobre las funciones que consideremos. En cualquier caso debemos ser muyprecisos con varias nociones de convergencia:

DEFINICIÓN 1. Dadas una sucesión unpxq y una función upxq definidas enun intervalo I,

83


un converge puntualmente a u si

lımnÑ8

unpxq “ upxq @x P I

un converge uniformemente a u si

lımnÑ8

un ´ uCpIq “ lımnÑ8

maxxPI

|unpxq ´ upxq| “ 0,

un converge en sentido L2 a u si

lımnÑ8

un ´ uL2pIq “ 0.

Así, volviendo an ejemplo anterior vemos que vn converge en sentido L2

a la función idénticamente cero mientras que converge puntualmente a lafunción v8.

4.2.4. Teoremas de convergencia para las series de FourierQue alguna propiedad se

verifique en casi todopunto quiere decir que se

verifica salvo en unconjunto de longitud cero.

El problema de la convergencia de las series de Fourier es un problemaclásico que ha sido estudiado por multitud de matemáticos en la historia.Como cualquier tema de investigación candente no ha estado ausentede cierta polémica. Así durante el siglo XVIII y principios de XIX se creíaque, dada una función continua cualquiera, la serie de Fourier de dichafunción convergía puntualmente a dicha función. Es a finales del siglo XIXcuando du Bois-Reymond construye una función continua cuya serie deFourier diverge en un punto. Finalmente, en 1966, Carleson [2] probó laconvergencia puntual para casi todo punto.Antes de comenzar con los teoremas de convergencia de series de Fourier,necesitamos un lema previo:El lema de

Riemann-Lebesgue sepuede probar con muchas

menos hipótesis en lafunción f .

LEMA 6 (Lema de Riemann-Lebesgue). Sea f P C1pr´L,Lsq una funciónperiódica. Entonces se tiene que

lımNÑ8

ż L

´Lfpzq sin

ˆˆ

N `1

2

˙

π

Lz

˙

dz “ 0.

Demostración. Vamos a integrar por partes. Tenemos que

I “

ż L

´Lfpzq sin

ˆˆ

N `1

2

˙

π

Lz

˙

dz

“

ż L

´LfpzqBz

˜

´ cos``

N ` 12

˘

πLz

˘

`

N ` 12

˘

πL

¸

dz

“

ż L

´LBzfpzq

cos``

N ` 12

˘

πLz

˘

`

N ` 12

˘

πL

dz

`

˜

´fpzq cos``

N ` 12

˘

πLz

˘

`

N ` 12

˘

πL

¸

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“L

z“´L

.

84


Usando la periodicidad llegamos a que

|I| ď

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż L

´LBzfpzq

cos``

N ` 12

˘

πLz

˘

`

N ` 12

˘

πL

dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď2L2

πpN ` 1qfC1 .

Por lo tanto, tomando el límite,

lımNÑ8

ż L

´Lfpzq sin

ˆˆ

N `1

2

˙

π

Lz

˙

dz “ 0.

Equipados con las tres nociones de convergencia de la definición 1, laexpresión de la diferencia entre u y la suma parcial de la serie de FourierSNu (4.10) y el Lema de Riemann-Lebesgue 6 ya podemos enunciar lossiguientes teoremas que estudian la convergencia de las series de Fourier.Comencemos por los teoremas que aseguran convergencia puntual:

TEOREMA 7. Sea upxq P C2pp´L,Lqq una función periódica. Entonces laserie de Fourier converge uniformemente a u. Es decir, De la prueba sale que

basta con que la funciónu tenga segunda derivadaintegrable. En cualquiercaso, puesto que nuestraversión deRiemann-Lebesgue erabarata, no podemosesperar probar unteorema muy fino conella.

lımNÑ8

SNu´ uCpIq “ 0.

En particular, tenemos que

lımNÑ8

SNupxq “ upxq, @x P r´L,Ls.

Demostración. Tenemos que ver si

upxq ´ SNupxq

converge a cero. Para eso tenemos que ver que

IN “

ż L

´Lpupxq ´ upx´ zqqDN pzqdz

converge a cero. Lo primero es observar que el núcleo de Dirichlet es unafunción par, por lo que

ż L

´LBxupxqzDN pzqdz “ 0.

Por lo tanto

IN “

ż L

´Lpupxq ´ upx´ zqqDN pzqdz ´

ż L

´LBxupxqzDN pzqdz,

85


de donde

IN “1

2L

ż L

´L

upxq ´ upx´ zq

sin`

πLz2

˘ sin

ˆˆ

N `1

2

˙

π

Lz

˙

dz

´

ż L

´L

Bxupxqz

sin`

πLz2

˘ sin

ˆˆ

N `1

2

˙

π

Lz

˙

dz

“1

2L

ż L

´L

upxq ´ upx´ zq ´ Bxupxqz

sin`

πLz2

˘ sin

ˆˆ

N `1

2

˙

π

Lz

˙

dz.

Definiendo

f pxqpzq “upxq ´ upx´ zq ´ Bxupxqz

2L sin`

πLz2

˘

observamos que basta con aplicar el Lema de Riemann-Lebesgue a laintegral anterior. Para ello es suficiente con comprobar que la funciónf pxqpzq P C1pr´L,Lsq (como función de z y para cualquier x). Dadas lashipótesis sobre la función u eso es fácil (basta con aplicar el teorema deTaylor a u y notar que el seno del denominador solo se anula en z “ 0).

El teorema anterior es fácil de probar, pero no es muy útil porque imponemuchas hipótesis a la función u. Una versión más general es

TEOREMA 8. Sea upxq una función continua a trozos cuya derivada uxpxqtambién es continua a trozos. Entonces se verifica que

lımNÑ8

SNupxq “upx`q ` upx´q

2,

donde x` y x´ denotan los límites laterales. Es decir, la serie de Fourierconverge puntualmente a la media de los límites laterales.

Demostración. Vamos a hacer un argumento distinto al anterior (aunque elargumento anterior se puede afinar hasta cubrir también este caso. Ahoranos vamos a apoyar en la desigualdad de Bessel (Lema 5) para obtener elmismo resultado que nos daba el Lema de Riemann-Lebesgue (Lema 6).Fijamos x P r´L,Ls. Usando las ideas anteriores y los lemas 3 y 4 tenemosque

upx`q ` upx´q

2“ upx`q

ż 0

´LDN pzqdz ` upx´q

ż L

0DN pzqdz.

86


Por lo tanto,

IN “upx`q ` upx´q

2´ SNupxq

“

ż 0

´Lpupx`q ´ upx´ zqqDN pzqdz

`

ż L

0pupx´q ´ upx´ zqqDN pzqdz

“

ż L

0

upx´q ´ upx´ zq

sin`

πLz2

˘

sin``

N ` 12

˘

πLz

˘

2Ldz

`

ż 0

´L

upx`q ´ upx´ zq

sin`

πLz2

˘

sin``

N ` 12

˘

πLz

˘

2Ldz.

Ahora observamos que

φN pzq “sin

``

N ` 12

˘

πLz

˘

2L,

satisfacenż L

0φnpzqφ`pzqdz “

1

8Lδn` ,

donde δn` es la Delta de Kronecker que vale 1 si n “ ` y 0 si no. Por lo tanto,para concluir que

ż 0

´L

upx`q ´ upx´ zq

sin`

πLz2

˘

sin``

N ` 12

˘

πLz

˘

2Ldz Ñ 0,

yż L

0

upx´q ´ upx´ zq

sin`

πLz2

˘

sin``

N ` 12

˘

πLz

˘

2Ldz Ñ 0,

usando el Lema 5 basta con comprobar que las funciones En un cierto sentido, loque estamos haciendo esdar una nueva prueba delLema deRiemann-Lebesgueanterior (Lema 6).

upx´q ´ upx´ zq

sin`

πLz2

˘

yupx`q ´ upx´ zq

sin`

πLz2

˘

están en L2pr0, Lsq y L2pr0,´Lsq, respectivamente. Como u es derivablea trozos con derivada continua a trozos se tiene que las funciones ante-riores son continuas a trozos, por lo que pertenecen a los espacios L2

mencionados anteriormente y podemos concluir el resultado.

Vamos a concluir con un teorema que, si bien no asegura convergenciapuntual, se puede aplicar a muchas funciones:

87


TEOREMA 9. Sea upxq P L2pr´L,Lsq una función periódica. Entonces laserie de Fourier converge en sentido L2 a u. Es decir,

lımNÑ8

SNu´ uL2pr´L,Lsq “ 0.

Además, en este caso la Desigualdad de Bessel es una igualdad:

8ÿ

n“´8

|un|2 “ u2L2 .

EJEMPLO 22. Calcula la serie de Fourier exponencial de la función 1´periódica

upxq “ x x P r0, 1s.

Solución. Como la función es 1-periódica, tenemos que L “ 0,5 (y 2L “ 1).Vamos a calcular el desarrollo

upxq “8ÿ

n“´8

cneinx2π.

Calculamos los coeficientes como

c0 “

ż 1

0x dx “

1

2,

cn “

ż 1

0xe´2πinx dx “

1

2πin.

Entonces

(4.11) upxq “1

2`

ÿ

n‰0

einx2π

2πin.

EJEMPLO 23. Decide razonadamente el límite puntual de las serie delejercicio anterior. ¿Converge uniformemente la serie de Fourier anterior?

Solución. La función x como función 1-periódica no es continua (es discon-tinua en 0 y en 1). Sin embargo si que es continua con derivada continua atrozos, por lo que podemos aplicar el teorema 8 para concluir que

lımNÑ8

SNupxq “ x @x ‰ 0, 1,

y

lımNÑ8

SNupxq “1

2si x “ 0, 1.

88


Esto se intuía en (4.11), ya que, de poder sumarse la serie

ÿ

n‰0

1

2πin,

dicha serie debería sumar 0. Como no tenemos convergencia puntual entodo punto, tampoco podremos tener convergencia uniforme en r0, 1s. Loque si podremos asegurar gracias al teorema 9 es que SNu converge a xen sentido L2.

EJEMPLO 24 (Convocatoria extraordinaria 2018-2019). Calcula la serie deFourier de exponenciales complejas de la función

fpxq “

"

1 si 0 ď x ď π´1 si ´ π ď x ă 0

.

Decide razonadamente el límite puntual de la N´ésima suma parcial de laserie de Fourier que has calculado.

Solución. Debemos calcular las siguientes integrales

fn “

ż π

´πfpxqeínx

dx?

2π

“

ż π

0eínx

dx?

2π´

ż 0

´πeínx

dx?

2π

“eínx

ín?

2π

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

éínx

ín?

2π

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

´π

“eínπ

ín?

2π`

1

in?

2π´

ˆ

1

ín?

2π`

einπ

in?

2π

˙

“2

in?

2πéínπ ` einπ

in?

2π.

Dado que la función f es continua con derivada continua a trozos, usandoel teorema 8, podemos asegurar que la serie

SNfpxq “Nÿ

n“Ń

fneinx?

2π,

converge puntualmente a f en todo punto x0 ‰ 0,˘π que son los puntos dediscontinuidad. En estos puntos además se tiene que

lımNÑ8

SNfp0q “ lımNÑ8

SNfpπq “ lımNÑ8

SNfp´πq “ 0.

89


EJEMPLO 25 (Fenómeno de Gibbs). Calcula

lımNÑ8

SNfp0q

ylımNÑ8

SNf´ π

N

¯

Solución. Ya sabemos, gracias al teorema 8, que

lımNÑ8

SNfp0q “ 0,

pero además podemos verlo ya que

lımNÑ8

SNfp0q “ lımNÑ8

Nÿ

n“Ń

fn?

2π“ lım

NÑ8

Nÿ

n“Ń

2

in2πéínπ ` einπ

in2π“ 0.

Observamos que, usando la fórmula de Euler

2

in?

2πéínπ ` einπ

in?

2π“

2

in?

2π´

2 cospnπq

in?

2π“

2

in?

2π´

2p´1qn

in?

2π,

y por lo tanto

fn “4

in?

2πsi n es impar

yfn “ 0 si n es par.

Además

fneinx ` fńe

ínx “4

in?

2πpeinx ´ eínxq “

8

n?

2πsinpnxq.

Por lo tanto

SNfpxq “ 4Nÿ

n“1

sinpnxq

πn.

Si ahora denotamossincpyq “

sinpπyq

πy,

tenemos que

SNf´ π

N

¯

“4

N

Nÿ

n“1

sin`

n πN

˘

πnN

“4

N

Nÿ

n“1

sinc´ n

N

¯

.

Observamos que1

N

Nÿ

n“1

sinc´ n

N

¯

90


es la suma de Riemann de la función sinc en el intervalo p0, 1q. Así

lımNÑ8

1

N

Nÿ

n“1

sinc´ n

N

¯

“

ż 1

0sincpyqdy ą 0,5.

Vemos así que

lımNÑ8

SNf´ π

N

¯

“ 4

ż 1

0sincpyqdy ‰ 0.

Este fenómeno se conoce como fenómeno de Gibbs y evidencia que laconvergencia no es uniforme sino meramente puntual.

4.2.5. Propiedades de las series de Fourier

En esta sección vamos a ver algunas de las propiedades más básicas delas series de Fourier.

TEOREMA 10. Sean u y v dos funciones regulares y 2L´periódicas conseries de Fourier dadas por

upxq “8ÿ

n“´8

uneiπLxn

?2L

vpxq “8ÿ

n“´8

vneiπLxn

?2L

.

Entonces

Si wpxq “ c1upxq ` c2vpxq se tiene que

wpxq “8ÿ

n“´8

wneiπLxn

?2L

,

conwn “ c1un ` c2vn

Si wpxq “ Bxupxq entonces

wpxq “8ÿ

n“´8

iπ

Lnun

eiπLxn

?2L

,

es decir,wn “ i

π

Lnun.

Más generalmente, si wpxq “ Bkxupxq, entonces

wn “´

iπ

Ln¯kun.

91


Si wpxq “ upxqvpxq entonces

wpxq “8ÿ

n“´8

wneiπLxn

?2L

,

conwn “

1?

2L

ÿ

`“´8

u`vn´`.

(Teorema de Parseval/Plancherel)ż L

´LupxqĚvpxqdx “

8ÿ

n“´8

unsvn

4.3. Series de Fourier trigonométricas en r´L,Ls

Habíamos visto, al menos formalmente, que una función u podía expre-sarse como (4.3). Esta expresión sirve tanto para funciones que tomanvalores complejos pero también se puede usar para funciones con valorespuramente reales. En este caso, usando la fórmula de Euler

(4.12) eiz “ cospzq ` i sinpzq,

se tiene que

upxq “8ÿ

`“´8

1

2L

ˆż L

´Lupzqeí

πLz`dz

˙

eiπLx`

“

8ÿ

`“´8

1

2L

ˆż L

´Lupzqeí

πLz`dz

˙

”

cos´π

Lx`¯

` i sin´π

Lx`¯ı

.

Por lo tanto, emparejando los términos ` y ´` llegamos a

upxq “

şL´L upzqdz

2L`

8ÿ

`“1

1

2L

ˆż L

´Lupzq

”

eíπLz` ` ei

πLz`ı

dz

˙

cos´π

Lx`¯

` i8ÿ

`“1

1

2L

ˆż L

´Lupzq

”

eíπLz` ´ ei

πLz`ı

dz

˙

sin´π

Lx`¯

“

şL´L upzqdz

2L`

8ÿ

`“1

1

L

ˆż L

´Lupzq cos

´π

Lz`¯

dz

˙

cos´π

Lx`¯

`

8ÿ

`“1

1

L

ˆż L

´Lupzq sin

´π

Lz`¯

dz

˙

sin´π

Lx`¯

“ b0 `8ÿ

`“1

b` cos´π

Lx`¯

`

8ÿ

`“1

a` sin´π

Lx`¯

,

92


con(4.13)

a` “1

L

ˆż L

´Lupzq sin

´π

Lz`¯

dz

˙

, b` “1

L

ˆż L

´Lupzq cos

´π

Lz`¯

dz

˙

, ` ě 1

y

a0 “ 0, b0 “1

2L

ż L

´Lupzqdz.

De las fórmulas anteriores se ve la expansión en serie de Fourier exponen-cial (4.3) de una función 2L´periódica u es equivalente a una expansión ensenos y cosenos. Además usando la forma de senos y cosenos se ve quelos coeficientes son reales si la función u toma valores reales y complejossi la función u toma valores complejos.

EJEMPLO 26. Calcula la serie de Fourier trigonométrica de la función sgn

sgnpxq “"

1 si 0 ď x ă 1´1 si ´ 1 ď x ă 0

.

Solución. Como la función es 2-periódica, tenemos que L “ 1. Vamos acalcular el desarrollo

sgnpxq “8ÿ

n“0

an sinpnπxq ` bn cospnπxq.

Observamos que, por la simetría de sgn se tendrá

bn “ 0.

Por lo tanto falta calcular an. Usando las fórmulas (4.13) se tiene que

an “

ż 1

´1sgnpxq sinpnπxqdx “

2 p1´ p´1qnq

nπ.

Entonces

(4.14) sgnpxq “8ÿ

n“1

2 p1´ p´1qnq

nπsinpnπxq.

EJEMPLO 27. Decide razonadamente el límite puntual de las serie delejercicio anterior. Converge uniformemente la serie de Fourier anterior?

Solución. La función sgn no es continua (es discontinua en 0 y en ˘1) perosi es continua con derivada continua a trozos. Entonces se puede aplicar elteorema 8 para concluir que

lımNÑ8

SN sgnpxq “ sgnpxq @x ‰ 0,˘1,

93


ylımNÑ8

SN sgnpxq “ 0 si x “ 0,˘1.

De la misma manera, invocando el teorema 9, podemos asegurar la conver-gencia en sentido L2 de la serie de Fourier.

EJEMPLO 28. Calcula la serie de Fourier trigonométrica de la función |x|en r´1, 1s.

Solución. Por la simetría de la función |x|, su serie de Fourier solo contendrácosenos. Es decir, será algo como

|x| “ b0 `8ÿ

n“1

bn cospnπxq.

Además, en un cierto sentido que concretaremos más tarde, se tiene que

(4.15)d|x|

dx“ sgnpxq “

"

1 si 0 ď x ă 1´1 si ´ 1 ď x ă 0

.

De momento, nos va a bastar con comprobar la igualdad anterior en lospuntos x ‰ 0,˘1, que es donde la función |x| es derivable. En un ejemploanterior (ver (4.14)) obtuvimos

sgnpxq “8ÿ

n“1

2 p1´ p´1qnq

nπsinpnπxq.

Tenemos que

d|x|

dx“

8ÿ

n“1

pńπbnq sinpnπxq “8ÿ

n“1

2 p1´ p´1qnq

nπsinpnπxq “ sgnpxq.

Por lo tantobn “ ´

2 p1´ p´1qnq

n2π2

y

|x| “1

2`

8ÿ

n“1

´2 p1´ p´1qnq

n2π2cospnπxq.

4.4. Series de Fourier trigonométricas en r0, Ls

En la sección anterior hemos estudiado series de Fourier exponencialesy sus propiedades para el caso de funciones 2L´periódicas que tomanvalores (posiblemente) complejos. También hemos visto que dicho desarrollo

94


era equivalente a un desarrollo en senos y cosenos. Sin embargo, lo ciertoes que en los ejemplos anteriores de separación de variables, la solucióngeneral de la EDP quedaba en forma de serie de senos o de cosenos y lasfunciones tomaban siempre valores reales. Obviamente, ambos desarrollosestán relacionados vía la fórmula de Euler (4.12).por lo que podemos intentar desarrollar la teoría para series de Fouriertrigonométricas (series de senos y/o cosenos) apoyándonos en lo que yasabemos de series de Fourier exponenciales. Para ello vamos a recordaruna definición:

Un ejemplo de función pares el coseno mientras queun ejemplo de funciónimpar es el seno.

DEFINICIÓN 2. Sea upxq una función definida en r´L,Ls.

Decimos que u es una función par si

upxq “ up´xq.

Decimos que u es una función impar si

upxq “ úp´xq.

Observamos que una función impar siempre cumple

up0q “ úp´0q “ úp0q

por lo queup0q “ 0.

Por otro lado, una función par cumple

uphq “ up´hq,

por lo queuphq ´ up´hq

h“ 0

y obtenemos queuxp0q “ 0.

Estas dos propiedades (heredadas de la paridad o imparidad de la función)nos van a servir para relacionar las condiciones de frontera con la simetría.

Condiciones de frontera Dirichlet homogéneas: serie de senos

Si considaderamos una EDP con condiciones de frontera Dirichlet homogé-neas en el intervalo r0, Ls, es decir, si

up0q “ upLq “ 0,

95


entonces podemos definirupxq

como la extensión impar de upxq. En otras palabras,

upxq “ upxq si 0 ď x ď L

yupxq “ úp´xq si ´ L ď x ď 0.

Esta función u es continua si u es continua. Así obtenemos una funciónperiódica u. Esta función admite una serie de Fourier exponencial de laforma

upxq “8ÿ

`“´8

ûèiπLx`

?2L

,

conû` “

1?

2L

ż L

´Lupzqeí

πLz`dz.

Observamos que, gracias a la fórmula de Euler, se tiene que

upxq “8ÿ

`“´8

û`cos

`

πLx`

˘

` i sin`

πLx`

˘

?2L

.

Si ahora agrupamos términos

upxq “8ÿ

`“1

´

û` ` û´`

¯

cos`

πLx`

˘

` i´

û` ´ û´`

¯

sin`

πLx`

˘

?2L

`û0?

2L.

Como upzq es impar se tiene que

1?

2L

ż L

´Lupzq cos

´π

Lz`¯

dz “ 0,

por lo que los coeficientes anteriores realmente son

û` “í?

2L

ż L

´Lupzq sin

´π

Lz`¯

dz.

Entonces observamos que

û` ` û´` “ 0,

û0 “ 0,

y

i´

û` ´ û´`

¯

“

?2

?L

ż L

´Lupzq sin

´π

Lz`¯

dz “2?

2?L

ż L

0upzq sin

´π

Lz`¯

dz,

96


donde hemos usado que u es la extensión impar de u. Si ahora escribimosel desarrollo anterior obtenemos

upxq “8ÿ

`“0

ˆ

2?

2?L

ż L

0upzq sin

´π

Lz`¯

dz

˙

sin`

πLx`

˘

?2L

.

Simplificando2?

2?L

1?

2L“

2

L,

en la expresión anterior llegamos a la expansión en senos (4.1) (con t “ 0).Es decir, una expansión en senos para la función u se puede ver como elresultado de una expansión en exponenciales complejas para la extensiónimpar de la función u.

Condiciones de frontera Neumann homogéneas: serie de cosenos

Si considaderamos una EDP con condiciones de frontera Neumann homo-géneas en el intervalo r0, Ls, es decir, si

uxp0q “ uxpLq “ 0,

entonces podemos definirupxq

como la extensión par de upxq. En otras palabras,

upxq “ upxq si 0 ď x ď L

yupxq “ up´xq si ´ L ď x ď 0.

Esta función u es continua si u es continua. Así obtenemos una funciónperiódica u. De manera análoga al caso estudiado en la sección anterior,esta función u admite una serie de Fourier exponencial de la forma

upxq “8ÿ

`“´8

ûèiπLx`

?2L

,

conû` “

1?

2L

ż L

´Lupzqeí

πLz`dz.

De nuevo, gracias a la fórmula de Euler, podemos agrupar términos y llegara

upxq “8ÿ

`“1

`

û` ` û´`˘

cos`

πLx`

˘

` i`

û` ´ û´`˘

sin`

πLx`

˘

?2L

`û0?

2L.

97


Como upzq es par se tiene que

1?

2L

ż L

´Lupzq sin

´π

Lz`¯

dz “ 0.

Esta cancelación hace que los coeficientes anteriores se simplifiquen ysean

û` “1?

2L

ż L

´Lupzq cos

´π

Lz`¯

dz.

Ahora notamos queû` ´ û´` “ 0,

y, si ` ‰ 0

û` ` û´` “2?

2L

ż L

´Lupzq cos

´π

Lz`¯

dz “2?

2?L

ż L

0upzq cos

´π

Lz`¯

dz,

gracias a que u es la extensión par de u. En el caso en el que ` “ 0 se tiene

û0 “

?2

?L

ż L

0upzqdz

Por lo tanto llegamos a que

upxq “8ÿ

`“1

ˆ

2

L

ż L

0upzq cos

´π

Lz`¯

dz

˙

cos´π

Lx`¯

`1

L

ż L

0upzqdz.

en la expresión anterior llegamos a la expansión en cosenos. Es decir, unaexpansión en cosenos para la función u se puede ver como el resultadode una expansión en exponenciales complejas para la extensión par de lafunción u.

Algunas consecuencias

1. Dada una función u definida en r´L,Ls podemos hacer una expansiónen exponenciales complejas (análogamente, una expansión en senosy cosenos).

2. Dada una función u definida en r0, Ls podemos hacer una expansiónen senos o cosenos (ambas son correctas y se reducen a la expansiónen serie de Fourier exponencial para la extensión par o impar).

3. Debido a las condiciones de frontera de una determinada EDP, apare-cen de manera natural las extensiones pares (condiciones de fronteraNeumann) o impares (condiciones de frontera Dirichlet), por lo queobtenemos la solución general como serie de senos o de cosenos.

4. Puesto que podemos ver las series de Fourier trigonométricas comocasos particulares de series de Fourier exponenciales, los teoremasvistos para series de Fourier exponenciales se siguen aplicando alcaso de series de senos y cosenos.

98


4.5. Más ejercicios resueltos

4.5.1. Soluciones particulares de las EDP anteriores

EJEMPLO 29 (Continuación del ejemplo 14). Encuentra la solución particu-lar de (3.2).

Solución. Habíamos llegado a la solución general (3.7)

upt, xq “8ÿ

n“1

´

An cosńπ

Lt¯

`Bn sinńπ

Lt¯¯

sinńπ

Lx¯

.

Así sólo faltaba encontrar los An y Bn. Dados los datos iniciales (3.8) y (3.9)sabemos que

An “2

L

ż L

0fpzq sin

´π

Lzn

¯

dz

Bnnπ

L“

2

L

ż L

0gpzq sin

´π

Lzn

¯

dz.

Asumiendo que f, g tienen suficientes derivadas (digamos 4, aunque nohacen falta tantas), la solución particular escrita como serie de Fourierconverge a una función regular que resuelve la ecuación de ondas (3.2).

EJEMPLO 30 (Continuación del ejemplo 15). Encuentra la solución particu-lar de (3.10).

Solución. Habíamos obtenido la solución (3.13)

upt, xq “8ÿ

n“1

´

An cosńπ

Lt¯

`Bn sinńπ

Lt¯¯

cosńπ

Lx¯

À0 `B0t.

Ahora basta con

fpxq “8ÿ

n“0

An cosńπ

Lx¯

,

gpxq “8ÿ

n“0

Bnnπ

Lcos

ńπ

Lx¯

.

Es decir, necesitamos tomar

An “2

L

ż L

0fpzq cos

´π

Lzn

¯

dz

Bnnπ

L“

2

L

ż L

0gpzq cos

´π

Lzn

¯

dz, si n ě 1

B0 “1

L

ż L

0gpzqdz, si n “ 0.

99


EJEMPLO 31 (Continuación del ejemplo 16). Encuentra la solución particu-lar de (3.16)

Solución. Habíamos obtenido la solución general (3.20)

upt, xq “8ÿ

n“1

Aneń2π2

L2 t sinńπ

Lx¯

,

y visto que necesitábamos

fpxq “8ÿ

n“1

An sinńπ

Lx¯

.

Por lo tanto, basta con definir

An “2

L

ż L

0fpzq sin

´π

Lzn

¯

dz.

EJEMPLO 32 (Continuación del ejemplo 17). Encuentra la solución particu-lar de (3.22)

Solución. La solución general venía dada por (3.24)

upt, xq “ A0 `

8ÿ

n“1

Aneń2π2

L2 t cosńπ

Lx¯

,

por lo que es necesario que

fpxq “ A0 `

8ÿ

n“1

An cosńπ

Lx¯

.

Por lo tanto, basta con definir

An “2

L

ż L

0fpzq cos

´π

Lzn

¯

dz si n ě 1.

y

A0 “1

L

ż L

0fpzqdz

100


4.5.2. Forma de D’Alembert de la solución (3.7)

En el capítulo 2 habíamos visto que la solución del problema de valoresiniciales para la ecuación de ondas unidimensional (es decir, cuando eldominio espacial es toda la recta real) se escribe como la superposición dedos ondas: una onda viajando hacia la derecha y otra onda viajando haciala izquierda.Más tarde, en el capítulo (3) habíamos considerado el problema de valoresde frontera para la ecuación de ondas unidimensional. Concretamente, parael caso de condiciones de borde Dirichlet homogéneas habíamos llegado a(3.7):

upt, xq “8ÿ

n“1

´

An cosńπ

Lt¯

`Bn sinńπ

Lt¯¯

sinńπ

Lx¯

,

con

An “2

L

ż L

0fpxq sin

ńπ

Lx¯

dx,

Bn “L

nπ

2

L

ż L

0gpxq sin

´π

Lxn

¯

dx.

Es decir, que los datos iniciales son

upx, 0q “ fpxq “8ÿ

n“1

An sinńπ

Lx¯

,

utpx, 0q “ gpxq “8ÿ

n“1

Bnnπ

Lsin

ńπ

Lx¯

,

Por lo tanto, se ve que la solución (3.7) es una superposición de senosy cosenos, pero no está claro que sea una superposición de ondas, unaviajando hacia la izquierda y otra hacia la derecha.

EJEMPLO 33 (Forma de D’Alembert de la solución (3.7)). Demuestra que(3.7) es en realidad una superposición de dos ondas viajando en direccionesopuestas.

Reorganizar los términosde una serie es unproceso delicado. Paraque se pueda hacer sinalterar el resultado de lasuma la serie tiene queser absolutamenteconvergente.

Solución. Comenzamos notando que

cospαq sinpβq “1

2psinpα` βq ´ sinpα´ βqq ,

sinpαq sinpβq “1

2pcospα´ βq ´ cospα` βqq .

101


Por lo tanto, reorganizando los términos de (3.7) llegamos a

upt, xq “1

2

8ÿ

n“1

An

´

sinńπ

Lpx` tq

¯

` sinńπ

Lpx´ tq

¯¯

`1

2

8ÿ

n“1

Bn

´

cosńπ

Lpx´ tq

¯

´ cosńπ

Lpx` tq

¯¯

“fpx` tq ` fpx´ tq

2

`1

2

8ÿ

n“1

Bn

´

cosńπ

Lpx´ tq

¯

´ cosńπ

Lpx` tq

¯¯

.

Por las propiedades de la serie de Fourier (Teorema 10) sabemos que Bnson los coeficientes de la primitiva de g. Es decir, son los coeficientes de Htal que H 1 “ g. Concretamente, si escribimos

Hpx, tq “1

2

8ÿ

n“1

Bn

´

cosńπ

Lpx´ tq

¯

´ cosńπ

Lpx` tq

¯¯

,

entonces tenemos que

Htpx, tq “1

2

8ÿ

n“1

Bnnπ

L

´

sinńπ

Lpx´ tq

¯

` sinńπ

Lpx` tq

¯¯

,

por lo que, efectivamente,

Htpx, tq “1

2gpx` tq `

1

2gpx´ tq.

De manera equivalente, integrando la expresión anterior,

H “1

2

ż x`t

x´tgpsqds.

Entonces se tiene que

upt, xq “fpx` tq ` fpx´ tq

2`

1

2

ż x`t

x´tgpsqds,

y concluímos que (3.7) es, de nuevo, una superposición de dos ondasviajando en direcciones opuestas.

4.5.3. El problema isoperimétrico

Pigmalión, rey de la ciudad de Tiro, codiciaba los tesoros deun rico sacerdote llamado Siqueo. Para conseguirlos, obliga a

102


su hermana Dido a casarse con Siqueo para poder averiguarasí el paradero del dinero. Dido consiguió la información sobreel escondite pero en lugar decírselo a su hermano Pigmalión,desenterró el tesoro y, junto a varios amigos de Siqueo, huyóen un barco. Tras surcar el Mediterráneo durante cierto tiempo,Dido llega a Túnez, a las tierras de cierta tribu. Allí pide al jefede la tribu un trozo de tierra para fundar una ciudad donde vivir(más tarde la ciudad sería conocida como Cartago). El jefe dela tribu, con cierta mofa, accede a darle tanta tierra como ellapudiese abarcar con una piel de toro. Dido acepta y corta la pielde toro en tiras muy finas que ata todas juntas formando unalarga cuerda de longitud L.

Así las cosas el problema es

EJEMPLO 34 (El problema isoperimétrico). Hallar la forma geométrica conmayor área que queda encerrada por un perímetro de longitud dada L.

Solución. La curva (cerrada) que encierra el recinto Ω la describimos como

Γpsq “ pxpsq, ypsqq

donde 0 ď s ď L es el parámetro de longitud de arco. Es decir, se tiene que

|Γs| “ 1.

Introducimos el parámetro

t “2πs

L.

Entonces se tiene quex2s ` y

2s “ 1

y

x2t ` y

2t “

L2

4π2.

El teorema de Green nos dice que

Área “ż

Ω

BQ

Bx´BP

Bydxdy “

ż

ΓPdx`Qdy,

conBQ

Bx´BP

By“ 1.

TomandoQ “ x, P “ 0.

llegamos a

Área “ż

Γxdy “

ż 2π

0xytdt

103


Podemos escribir x e y usando sus respectivas series de Fourier:

xptq “8ÿ

n“0

an sinpntq ` bn cospntq,

yptq “8ÿ

n“0

cn sinpntq ` dn cospntq.

Podemos calcular

xtptq “8ÿ

n“1

nan cospntq ´ nbn sinpntq.

ytptq “8ÿ

n“1

ncn cospntq ´ ndn sinpntq.

Es fácil ver queż 2π

0sinpntq sinpmtqdt “ πδnm,

ż 2π

0sinpntq cospmtqdt “ 0,

ż 2π

0cospntq cospmtqdt “ πδnm,

por lo que

Área “ż 2π

0xytdt

“

8ÿ

n“1

n

ˆ

bncn

ż 2π

0cos2pntqdt´ andn

ż 2π

0sin2pntqdt

˙

“ π8ÿ

n“1

n pbncn ´ andnq .

De la misma manera, tenemos que

2π

ˆ

L

2π

˙2

“

ż 2π

0x2t ` y

2t dt

“ π8ÿ

n“1

n2`

a2n ` b

2n ` c

2n ` d

2n

˘

.

Definimos la cantidadC “ L2 ´ 4πÁrea.

104


Usando las expresiones anteriores llegamos a que

C “ 2π2

˜

8ÿ

n“1

n2`

a2n ` b

2n ` c

2n ` d

2n

˘

´ 28ÿ

n“1

n pbncn ´ andnq

¸

.

Podemos agrupar términos

n2`

a2n ` b

2n ` c

2n ` d

2n

˘

´2n pbncn ´ andnq “ pnan´dnq2`pnbn`cnq

2`pn2´1qpc2n`d

2nq,

de donde concluímos que

C “ 2π28ÿ

n“1

pnan ´ dnq2 ` pnbn ` cnq

2 ` pn2 ´ 1qpc2n ` d

2nq ě 0.

De manera equivalente, todas las curvas cerradas suaves (a trozos) satisfa-cen la desigualdad

L2 ě 4πÁrea.

Si queremos conseguir el área máxima necesitamos llegar a la igualdad. Laigualdad se consigue si todos los sumando de la serie anterior son cero.Entonces se tiene que

n “ 1, b1 ` c1 “ 0, a1 ´ d1 “ 0,

o bien

n ‰ 1, bn “ cn “ an “ dn “ 0.

Por lo tanto, para tener área máxima necesitamos

xptq “ b0 ` a1 sinptq ` b1 cosptq,

yptq “ d0 ´ b1 sinptq ` a1 cosptq,

donde a1, b1 dependen de L puesto que todavía se tienen que satisfacer lasecuaciones anteriores. Estas curvas son círculos. Por ejemplo, para L “ 2π,tomando b0 “ d0 “ a1 “ 0, b1 “ 1 llegamos a

Γptq “ pcosptq,´ sinptqq ,

que es un círculo de radio 1. Parece claro que el análisis armónico, que esla rama de las matemáticas que estudia (entre otras cosas), las series deFourier, es útil hasta para fundar una ciudad en el Mediterráneo.

105


4.5.4. El problema de Basilea

El problema de Basilea, que debe su nombre a la ciudad natal de Euler yde la familia Bernoulli, consiste en hallar la suma de

(4.16)8ÿ

n“1

1

n2.

Esta suma aparece por primera vez en un libro escrito en 1650 por Pie-tro Mengoli llamado Novae quadraturae arithmeticae. Asumiendo que laserie converge, John Wallis da la aproximación 1.645. La convergencia lademostraría más tarde Jacob Bernoulli al obtener la estimación

8ÿ

n“1

1

n2ă 2

8ÿ

n“1

1

n2 ` n“ 2

8ÿ

n“1

ˆ

1

n´

1

n` 1

˙

“ 2.

Después de estos trabajos no hay ningún paso hacia el cálculo de

8ÿ

n“1

1

n2,

salvo nuevas y mejores aproximaciones de la suma (4.16): Goldbach en1729 acota la solución entre 1.664 y 1.665 y Stirling en 1730 da una aproxi-mación con 9 cifras decimales correctas.Obtener aproximaciones

no es tan fácil comopodría parecer, por ser

esta serie deconvergencia muy lenta.

Si sumamos cientérminos conseguimos la

aproximación1.63498390018489,

correcta en la primeracifra únicamente.

El primer trabajo de Euler sobre la serie es su artículo [6]. En el da unamanera de aproximar el valor de manera rápida. Concretamente Eulerprueba que

8ÿ

n“1

1

n2“ log2p2q `

8ÿ

k“1

1

k22k´1.

Después de este artículo, Euler publicó varios trabajos más [7] (algunos deellos no completamente correctos...).

EJEMPLO 35 (El problema de Basilea). Calcula la suma de la serie

8ÿ

n“1

1

n2.

Solución. Se tiene que

u2L2 “

ż 1

0x2dx “

1

3.

entonces, por el teorema de Parseval/Plancherel y la expresión (4.11),

u2L2 “

8ÿ

n“´8

|cn|2,

106


de donde1

3“

1

4`

8ÿ

n“´8n‰0

1

4π2n2,

es decir1

12“

2

4π2

8ÿ

n“1

1

n2,

y operando8ÿ

n“1

1

n2“π2

6.

4.6. Series de Fourier en términos de los polinomiosde Legendre

En estas últimas secciones vamos a usar otra base de funciones ϕnpxq parahacer combinaciones lineales y desarrollar otras funciones. La teoría es, almenos hasta cierto punto, similar a la que ya hemos visto en el caso máspopular de las funciones exponenciales complejas y trigonométricas, porlo que no haremos ninguna demostración y nos limitaremos a enunciar losresultados más útiles (se pueden encontrar más detalles en [3, 11]).Fijemos n P N y consideremos la EDO

(4.17) p1´ x2quxxpxq ´ 2xuxpxq ` npn` 1qupxq “ 0.

Esta ecuación se conoce como ecuación de Legendre de orden n. Asocia-das a esta EDO aparecen los polinomios de Legendre de grado n

Pnpxq “1

2nn!

dn

dxnpx2 ´ 1qn.(4.18)

Estos polinomios son solución de la ecuación de Legendre de orden n yde ahí su nombre. Estos polinomios son ortogonales entre si cuando seconsideran en el intervalo r´1, 1s. En concreto verifican

ż 1

´1PnpxqPmpxqdx “

2

2n` 1δnm.

Por lo tanto, podemos aplicar la mayor parte de nuestros argumentos ante-riores para el caso de las exponenciales complejas. Así se tiene que

TEOREMA 11. Sea upxq una función C1r´1, 1s a trozos y definamos

SNupxq “Nÿ

n“0

cnPnpxqb

22n`1

107


con

cn “

ż 1

´1upxq

Pnpxqb

22n`1

dx

Entonces se verifica que

lımNÑ8


2,

donde x` y x´ denotan los límites laterales. Es decir, la serie de Fourier entérminos de los polinomios ortogonales de Legendre converge puntualmentea la media de los límites laterales.

TEOREMA 12. Sea upxq una función L2r´1, 1s y definamos

SNupxq “Nÿ

n“0

cnPnpxqb

22n`1

con

cn “

ż 1

´1upxq

Pnpxqb

22n`1

dx


lımNÑ8

SNu´ uL2pr´1,1sq “ 0.

Es decir, la serie de Fourier en términos de los polinomios ortogonales deLegendre converge en sentido L2.

Los desarrollos en serie de polinomios de Legendre se pueden ver comoun híbrido entre las series de potencias obtenidas haciendo el desarrollode Taylor y las series de Fourier exponenciales (que tienen propiedadessimilares).

4.7. Series de Fourier en términos de las funcionesde Bessel

Fijemos ahora α P R, α ě 0 y consideremos la EDO

(4.19) x2uxxpxq ` xuxpxq ` px2 ´ α2qupxq “ 0, α ě 0.

Esta ecuación se conoce como ecuación de Bessel. Asociadas a esta EDOLa función Γpzq se definecomo

Γpzq “

ż 8

0

tz´1e´t dt.

aparecen las funciones

J˘αptq “8ÿ

k“0

p´1qk

k!Γpk ˘ α` 1q

ˆ

t

2

˙2k˘α

,(4.20)

108


que se conocen como funciones de Bessel de primera clase y orden ˘α yla función

Ynptq “ lımαÑn

cospαπqJαptq ´ J´αptq

sinpαπq(4.21)

que se conoce como función de Bessel de segunda clase y orden n. Estasfunciones verifican muchísimas propiedades (ver [3, 11]). Nosotros vamos acentrarnos sólo en que estas funciones tienen infinitos ceros en el semiejereal positivo y en que, si µn y µm son ceros de la función de Bessel Jkpxq,es decir

Jkpµnq “ 0,

entonces estas funciones cumplen la siguiente condición de ortogonalidadż 1

0JkpµnxqJkpµmxqxdx “

ˆż 1

0|Jkpµnxq|

2 xdx

˙

δnm, @ k P N fijo.

Una vez que se tiene esa condición de ortogonalidad, uno puede probar lossiguientes teoremas:

TEOREMA 13. Fijemos k P N y sea upxq una función C1r0, 1s a trozos ydefinamos

SNupxq “Nÿ

n“1

cnJkpµnxq

´

ş10 |Jkpµnxq|

2 xdx¯12

con

cn “

ż 1

0upxq

Jkpµnxq´

ş10 |Jkpµnxq|

2 xdx¯12

xdx


lımNÑ8


2,

donde x` y x´ denotan los límites laterales. Es decir, la serie de Fourieren términos de las funciones de Bessel converge puntualmente a la mediade los límites laterales.

TEOREMA 14. Fijemos k P N y sea upxq una función tal queż 1

0|upxq|2 xdx ă 8,

y definamos

SNupxq “Nÿ

n“1

cnJkpµnxq

´

ş10 |Jkpµnxq|

2 xdx¯12

109


con

cn “

ż 1

0upxq

Jkpµnxq´

ş10 |Jkpµnxq|

2 xdx¯12

xdx


lımNÑ8

ż 1

0pSNupxq ´ upxqq

2 xdx “ 0.

4.8. Conclusiones

En este capítulo hemos visto que toda función L2pr´L,Lsq se puede desa-rrollar como serie de Fourier en términos de exponenciales complejas (o,equivalentemente, de senos y cosenos). Además, cuando la función (ade-más de ser L2pr´L,Lsq) es C1 a trozos se tiene que la serie de Fourieren términos de exponenciales complejas converge puntualmente al valormedio de los límites laterales de la función mientras que si la función esC2pr´L,Lsq la serie de Fourier en términos de exponenciales complejasconverge uniformemente (es decir, en C0pr´L,Lsq) a la función.También hemos visto que las expansiones en senos en el intervalo r0, Ls sepodían ver como desarrollos en serie de Fourier exponencial de extensionesimpares al intervalo r´L,Ls. De la misma manera, las expansiones encosenos en el intervalo r0, Ls se pueden entender como desarrollos en seriede Fourier exponencial de extensiones pares al intervalo r´L,Ls.Después hemos definido las funciones de Bessel y los polinomios ortogona-les de Legendre y los hemos usado como base para desarrollar funcionesupxq. Para estos desarrollos hemos enunciado dos teoremas sobre la con-vergencia de las series. Estos teoremas son análogos a los de las series deFourier en términos de exponenciales complejas.Finalmente recopilamos (en una lista no exhaustiva!) algunas identidadesde las que hemos visto en el capítulo:

Si u P L2pr´L,Lsq

upxq “8ÿ

`“´8

uèiπLx`

?2L

con

u` “

ż L

´Lupzq

eíπLz`

?2L

dz.

Si u P L2pr´L,Lsq

upxq “ b0 `8ÿ

`“1

b` cos´π

Lx`¯

`

8ÿ

`“1

a` sin´π

Lx`¯

110


con

a` “1

L

ˆż L

´Lupzq sin

´π

Lz`¯

dz

˙

, b` “1

L

ˆż L

´Lupzq cos

´π

Lz`¯

dz

˙

, ` ě 1,

a0 “ 0, b0 “1

2L

ż L

´Lupzqdz.

Si u P L2pr0, Lsq (extensión impar a r´L,Ls)

upxq “8ÿ

`“0

Ansin

`

πLx`

˘

a

L2.

con

An “

ż L

0upzq

sin`

πLz`

˘

a

L2dz.

Si u P L2pr0, Lsq (extensión par a r´L,Ls)

upxq “8ÿ

`“0

Bncos

`

πLx`

˘

a

L2.

con

Bn “

ż L

0upzq

cos`

πLz`

˘

a

L2dz.

Si wpxq “ Bkxupxq, entonces

wpxq “8ÿ

n“´8

wneiπLxn

?2L

conwn “

´

iπ

Ln¯kun.


wpxq “8ÿ

n“´8

wneiπLxn

?2L

,

conwn “

1?

2L

ÿ

`“´8

u`vn´`.

(Teorema de Parseval/Plancherel)ż L

´LupxqĚvpxqdx “

8ÿ

n“´8

unsvn.

111


(Desigualdad de Bessel) Si φn es una familia ortonormal de funcionesdefinidas en el intervalo r´L,Ls y

upxq “8ÿ

n“0

cnφnpxq.

Entonces8ÿ

n“0

|cn|2 ď u2L2pr´L,Lsq.

112

Capítulo 5

Transformadas integrales ydistribuciones

5.1. La transformada de Fourier

En el capítulo anterior habíamos visto que las funciones 2L´periódicas enel espacio L2pr´L,Lsq se podían escribir usando (4.3):

upxq “8ÿ

`“´8

1

2L

ˆż L

´Lupzqeí

πLz`dz

˙

eiπLx`.

Ahora nos gustaría considerar períodos cada vez mayores. De hecho, nosgustaría considerar L “ 8 porque entonces no estamos imponiendo ningúnrequisito de periodicidad la función upxq.Definamos

ξ “π

L`.

Consecuentemente,dξ “

π

L.

Así la fórmula anterior queda

upxq “1

2π

8ÿ

`“´8

π

L

ˆż L

´Lupzqeí

πLz`dz

˙

eiπLx`

“1

2π

8ÿ

`“´8

ˆż L

´Lupzqeíξzdz

˙

eiξxdξ.

Si ahora hacemos LÑ8 de manera que

dξ Ñ 0,

113


la suma anterior es una suma de Riemann y el límite viene dado por laintegral

upxq “1

2π

ż 8

´8

ż 8

´8

upzqeíξzdzeiξxdξ.(5.1)

Esta igualdad motiva las siguientes definiciones:

DEFINICIÓN 3. Definimos la transformada de Fourier de la función upxqcomo

(5.2) upξqdef“

1?

2π

ż 8

´8

upxqeíξxdx,

para los valores de ξ P R tales que la integral anterior exista.No hay una única

definición de latransformada de Fourier.

Por ejemplo, otrasdefiniciones son

upξq “1

2π

ż 8

´8

upxqeíξxdx,

upξq “

ż 8

´8

upxqeí2πξxdx,

upξq “1

2π

ż 8

´8

upxqeiξxdx,

upξq “

ż 8

´8

upxqei2πξxdx.

DEFINICIÓN 4. Definimos la transformada de Fourier inversa de la funciónvpξq como

(5.3) vpxqdef“

1?

2π

ż 8

´8

vpξqeiξxdξ.

Es decir, la transformada de Fourier de una función u, si existe, es otrafunción u. Observamos entonces que la igualdad anterior se reduce a

u “ qu.

Esta igualdad la hemos obtenido formalmente, es decir, sin ser del todoprecisos en los argumentos. De hecho, esta igualdad para darse requiereque la función u sea al menos C1 a trozos y continua. Esto puede intuir-se simplemente comparando con el Teorema 8. Como este es un cursointroductorio vamos a dejar de lado la mayor cantidad de cuestiones técni-cas que podrían de otra manera ocultar las principales ideas detrás de latransformada de Fourier.

EJEMPLO 36. Se define la función

fpxq “ 1r´1,1s “

"

1 si |x| ă 10 si |x| ě 1

Calcula la transformada de Fourier de f .

Solución. Lo primero es observar que la función f es par, por lo que laidentidad de Euler nos da que la transformada de Fourier de f viene dada

114


por

fpξq “1?

2π

ż 8

´8

fpzqeíξzdz

“1?

2π

ż 8

´8

fpzq cospξzqdz

“2?

2π

ż 1

0cospξzqdz

“2?

2π

sinpξq

ξ.


fpxq “ 1r´1,1s “

"

1 si |x| ă 10 si |x| ě 1

Escribe dicha función como una integral.

Solución. La identidadu “ qu.

nos permite escribir u como una integral que involucra a la propia u. Obser-vamos que fpξq es una función par, por lo tanto, usando la fórmula para latransformada de Fourier inversa tenemos que

fpxq “1?

2π

ż 8

´8

fpξqeiξxdξ

“1?

2π

ż 8

´8

fpξq cospξxqdξ

“1

π

ż 8

´8

ż 1

0cospξzq cospξxqdzdξ

“2

π

ż 8

0

ż 1

0cospξzq cospξxqdzdξ

“2

π

ż 8

0

sinpξq cospξxq

ξdξ


fpxq “1

2e´|x|

Calcula la transformada de Fourier de la función anterior.

115


Solución.

fpξq “1?

2π

„

1

2

ż 0

´8

exeíxξdx`1

2

ż 8

0e´xeíxξdx

“1?

2π

„

1

2

ż 0

´8

exp1íξqdx`1

2

ż 8

0e´xp1ìξqdx

“1?

2π

1

1` ξ2.(5.4)

Es importante notar que no siempre se puede definir la transformada deFourier (o la transformada de Fourier inversa) de una función.

EJEMPLO 39. Intenta calcular la transformada de Fourier de la función

fpxq “ 1.

Solución. Observamos queż 8

´8

fpxqeíx0dx “

ż 8

´8

1dx “ 8,

por lo que, de existir, fp0q no está definido. Además,ż 8

´8

fpxqeíxξdx “ lımrÑ8

ż r

´r1eíxξdx,

y dicho límite tampoco existe.

Como hemos visto no siempre se puede calcular la transformada de Fou-rier (al menos en el sentido de ser una función clásica). Sin embargo, essuficiente que una función f sea integrable, es decir,

ż

R|fpxq|dx ă 8,

para que exista fpξq. Además se tiene que

|fpξq| ď

ż

R|fpxq|dx @ ξ.

Se tienen las siguientes propiedades (análogas a las propiedades de lasseries de Fourier)

TEOREMA 15. Sean u y v dos funciones regulares e integrables con trans-formadas de Fourier dadas por

upξq “1?

2π

ż 8

´8

upxqeíξxdx

vpξq “1?

2π

ż 8

´8

vpxqeíξxdx.

Entonces

116


Si wpxq “ c1upxq ` c2vpxq se tiene que

wpξq “ c1upξq ` c2vpξq,

Si wpxq “ Bxupxq entonces

wpξq “ iξupξq.

Más generalmente, si wpxq “ Bkxupxq, entonces

wpξq “ piξqk upξq.

De la misma manera, si wpxq “ xupxq entonces

wpξq “ iuξpξq.

En general, si wpxq “ xkupxq, entonces

wpξq “ ikdkupξq

dξk.


wpξq “1?

2πu ˚ v “

1?

2π

ż

Rupηqvpξ ´ ηqdη,

donde u ˚ v se conoce como la convolución de u y v.

Si wpxq “ u ˚ v entonces

wpξq “?

2πupξqvpξq.

(Teorema de Parseval/Plancherel)ż

RupxqĚvpxqdx “

ż

Rupξqsvpξqdξ.

Así vemos una característica importantísima de la transformada de Fou-rier: permite intercambiar derivadas por multiplicadores iξ y productos porconvoluciones. Estas propiedades son múy útiles. Veamos unos ejemplos:


fpxq “ eáx2

Calcula la transformada de Fourier de la función anterior.

117


Solución. Se tiene que fpxq satisface

fxpxq “ ´2axfpxq.

Y entoncespfx ` 2axfpxq “ 0.

Aplicando las propiedades anteriores,

iξ pfpξq ` 2aifξpξq “ 0

Así obtenemos la EDOfξpξq “ ´

ξ

2apfpξq.

Si la resolvemos llegamos a

fpξq “ fp0qe´ξ2

4a .

Además, se tiene que

fp0q “1?

2π

ż

Reáx

2dx “

1?

2a,

por lo que

(5.5) fpξq “1?

2ae´

ξ2

4a .

Este ejemplo muestra una propiedad muy importante de la transformadade Fourier: Si una función decae "muy rápido", su transformada de Fourierdecae "muy lento". Para verlo basta con tomar dos valores de a distin-tos en el ejemplo anterior y comparar. Esto se conoce como principio deincertidumbre.

EJEMPLO 41 (Examen final curso 2018-2019). Usando la transformada deFourier, se define el operador

xOupξq “ mpξqupξq,

donde mpξq : RÑ C es una función acotada, i.e. |mpξq| ď C. Dada u P L2,demuestra que el operador O esta bien definido y Ou P L2, es decir, que

O : L2 Ñ L2.

Solución. Basta usar el teorema de Plancherel para obtener que

OuL2 “ xOuL2 “ muL2 ď CuL2 .

118


5.2. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales yel principio de Duhamel

El siguiente ejemplo muestra cómo la transformada de Fourier puede per-mitirnos resolver ecuaciones diferenciales al transformar derivadas Bnx enmultiplicadores piξqn. Esto nos permite transformar una EDO en una ecua-ción algebraica o incluso una EDP en una EDO.

EJEMPLO 42. Dada la función regular fpxq, se considera la EDO

upxq ´ uxxpxq “ fpxq, ´8 ă x ă 8.

Resuelve esta EDO.

Solución. Asumiendo que dicha solución efectivamente existe y es regularpodemos tomar la transformada de Fourier de la EDO y así obtener

upξq ` ξ2upξq “ fpξq,

donde hemos usado que

ýuxx “ ´piξq2upξq.

Por lo tanto,

upξq “fpξq

1` ξ2.

Usando las propiedades anteriores y definiendo

pGpξq “1?

2π

1

1` ξ2,

obtenemos

upxq “

ż

RfpyqGpx´ yqdy.

Además, usando (5.4), sabemos que

Gpxq “1

2e´|x|,

por lo que

upxq “

ż

Rfpyq

e´|xý|

2dy.

Las ideas anteriores también nos permiten pasar de una EDP a una EDO:

119


EJEMPLO 43. Dada la función regular fpxq, se considera la EDO

úxxpx, yq ´ uyypx, yq “ 0, ´8 ă x ă 8, y ă 0,

con dato de borde Dirichlet

upx, 0q “ fpxq.

Resuelve esta EDP.

Solución. Tomamos la transformada de Fourier en x y obtenemos que uverifica

ξ2upξ, yq ´ uyypξ, yq “ 0,

con dato inicialupξ, 0q “ fpξq.

Si bien tenemos una función que depende de dos variables no tenemos unaEDP puesto que sólo aparecen derivadas en y. Es decir, podemos pensarel problema anterior como una EDO para cada k. Podemos resolver la EDOanterior y obtenemos que

upξ, yq “ C1e|ξ|y ` C2e

´|ξ|y.

Como y ă 0, si queremos una función con límite finito para y Ñ ´8

necesitamos que C2 “ 0. Entonces se tiene que

upξ, yq “ fpξqe|ξ|y.

Ahora bastaría con tomar la transformada de Fourier inversa y usar suspropiedades para obtener explícitamente la solución. Dicha solución vendrádada como la convolución con un cierto núcleo P conocido como núcleode Poisson.

Por supuesto, el mismo método se puede utilizar en problemas que depen-den del tiempo:

EJEMPLO 44. Dada la función regular e integrable fpxq, se considera elproblema de valores iniciales

utpx, tq ´ uxxpx, tq “ 0, ´8 ă x ă 8,

upx, 0q “ fpxq.

Resuelve este problema para la ecuación del calor.

120


Solución. Tomando la transformada de Fourier y usando sus propiedadesllegamos a que, si u es una solución de la ecuación del calor anterior, sutransformada de Fourier resuelve

utpξ, tq “ ´|ξ|2upξ, tq

upξ, 0q “ fpξq.

De nuevo, tenemos una función que depende de dos variables pero notenemos una EDP puesto que sólo aparecen derivadas en t. Por lo tantopodemos pensar el problema anterior como una EDO para cada k. Así, siresolvemos la EDO anterior, llegamos a La función H se conoce

como propagador porquepropaga los datosiniciales, es decir, lostoma (a tiempo t “ 0) ylos mueve (a tiempost ą 0). Los propagadoresson funciones asociadasa la ecuación diferencial ysu forma depende decómo se relacionan lasderivadas temporales conlas espaciales.

upξ, tq “ fpξqe´t|ξ|2.

Gracias a la fórmula (5.5) (con 4a “ t´1) obtenemos que

Hpx, tq “1?

2te´

x2

4t

cumpleHpξ, tq “ e´t|ξ|

2

Si ahora usamos las propiedades de la transformada de Fourier (que cambiaproductos en el espacio de Fourier por convoluciones en el espacio físico)junto con la expresión anterior llegamos a

upx, tq “1

?4πt

ż

Rfpyqe´

pxýq2

4t dy.

Observamos que la función H ya nos salió cuando resolvíamos la ecuacióndel calor en el capítulo 2.

El principio de Duhamel trata de explotar esta técnica para encontrar solu-ciones de problemas forzados, es decir, donde el lado de la derecha de laecuación no se anula.

EJEMPLO 45. Dadas las funciones regulares e integrables fpxq y F px, tq,se considera el problema de valores iniciales

utpx, tq ´ uxxpx, tq “ F px, tq, ´8 ă x ă 8,

upx, 0q “ fpxq.


121


Solución. Tomando la transformada de Fourier y usando las propiedadesllegamos a que, si u es una solución de la ecuación del calor anterior, sutransformada de Fourier resuelve

utpξ, tq “ ´|ξ|2upξ, tq ` F pξ, tq

upξ, 0q “ fpξq.

Vista como una familia de EDOs (indexada en la variable ξ), es una EDOlineal de primer orden que se puede resolver con el método del factorintegrante. Así obtenemos

´

etξ2upξ, tq

¯

t“ etξ

2F pξ, tq,

de donde, integrando y reagrupando términos se llega a

upξ, tq “ e´tξ2fpξq ` e´tξ

2

ż t

0esξ

2F pξ, sqds.

De manera equivalente,

upξ, tq “ e´tξ2fpξq `

ż t

0e´pt´sqξ

2F pξ, sqds.

Ahora podemos volver a aplicar las propiedades anteriores para obtener

upx, tq “1

?4πt

ż

Rfpyqe´

pxýq2

4t dy `

ż t

0

1a

4πpt´ sq

ż

RF py, sqe

´pxýq2

4pt´sq dyds.

En un cierto sentido, la idea detrás del principio de Duhamel es que elproblema forzado (es decir, con F ‰ 0) se puede pensar como un problemade valores iniciales homogeneo (con F “ 0) empezando con un nuevo datoinicial cada en t. Entonces, por el principio de superposición, las diferentessoluciones particulares se combinarían para dar una solución del problemaforzado. En otras palabras, si uno es capaz de resolver el problema conF “ 0 también es capaz de resolver el problema inhomogeneo para F ‰ 0.La misma técnica funciona también para la ecuación de ondas:

EJEMPLO 46. Dadas las funciones regulares e integrables fpxq, gpxq yF px, tq, se considera el problema de valores iniciales

uttpx, tq ´ uxxpx, tq “ F px, tq, ´8 ă x ă 8,

upx, 0q “ fpxq, utpx, 0q “ gpxq.

Resuelve este problema para la ecuación del ondas.

122


Solución. Tomando la transformada de Fourier y usando las propiedadesllegamos a que, si u es una solución de la ecuación de ondas anterior, sutransformada de Fourier resuelve

uttpξ, tq “ ´|ξ|2upξ, tq ` F pξ, tq

upξ, 0q “ fpξq, utpξ, 0q “ gpξq.

Vista como una familia de EDOs (indexada en la variable ξ), es una EDOlineal de segundo orden que se puede resolver con el método del variaciónde los parámetros. Así llegamos a que la solución viene dada por

upξ, tq “ C1 cosp|ξ|tq ` C2 sinp|ξ|tq

`

ż t

0´ cosp|ξ|tq

sinp|ξ|sqF pξ, sq

|ξ|` sinp|ξ|tq

cosp|ξ|sqF pξ, sq

|ξ|ds

o, si simplificamos y calculamos el valor de las constantes,

upξ, tq “ fpξq cosp|ξ|tq `gpξq

|ξ|sinp|ξ|tq `

ż t

0

sinp|ξ|pt´ sqqF pξ, sq

|ξ|ds

Por supuesto, usando las ideas de D’Alembert también podemos llegar aque la solución del problema no-homogéneo en el espacio físico es

upx, tq “fpx` ctq

2`fpx´ ctq

2`

1

2c

ż x`ct

xćtgpsqds`

1

2

ż t

0

ż x`pt´sq

x´pt´sqF pz, sqdzds.

Finalmente vamos a hacer un ejemplo donde resolvemos un problema decontorno para la ecuación del calor no-homogénea:

EJEMPLO 47. Dadas las funciones regulares e integrables fpxq y F px, tq,se considera el problema de valores iniciales

utpx, tq ´ uxxpx, tq “ F px, tq, 0 ă x ă π,

up0, tq “ upπ, tq “ 0,

upx, 0q “ fpxq.


Solución. Sabemos que, dadas esas condiciones de borde, la función u sepuede desarrollar como

upx, tq “8ÿ

n“1

unptq sinpnxq.

123


Las funciones f y F por su parte cumplen que

fpx, tq “8ÿ

n“1

fnptq sinpnxq.

F px, tq “8ÿ

n“1

Fnptq sinpnxq.

Asumiendo suficiente regularidad para la función u se tiene

utpx, tq “8ÿ

n“1

Btunptq sinpnxq,

uxxpx, tq “ ´8ÿ

n“1

n2unptq sinpnxq.

Por lo tanto, usando la ecuación se debe satisfacer que

8ÿ

n“1

Btunptq sinpnxq `8ÿ

n“1

n2unptq sinpnxq “8ÿ

n“1

Fnptq sinpnxq.

Multiplicando por sinpmxq, integrando y usando la ortogonalidad de lasfunciones sinpnxq se tiene que cada coeficiente an debe satisfacer la EDO

dunptq

dt“ ń2unptq ` Fnptq,

con dato inicial

unp0q “ fn.

De nuevo, esta EDO se puede resolver usando el método del factor inte-grante para llegar a

unptq “ e´tn2fn ` e

´tn2

ż t

0esn

2Fnpsqds.

Equipados con la expresión para los coeficientes concluímos que

upx, tq “8ÿ

n“1

e´tn2fn sinpnxq `

8ÿ

n“1

ż t

0e´pt´sqn

2Fnpsq sinpnxq.

124


5.3. Transformada de Laplace

En las secciones anteriores hemos estado estudiando y viendo aplicacionesde la transformada de Fourier. Así hemos visto que la transformada deFourier para una función con valores reales general (es decir, sin asumirsimetrías) toma valores complejos. Además, para poder hablar de transfor-mada de Fourier de una función

fpξq “1?

2π

ż 8

´8

fpxqeíξxdx,

necesitábamos conocer la función f en toda la recta real para poder calcularla integral anterior.Así podemos preguntarnos si podemos definir una transformada integral queno tenga esas características. Así definimos la transformada de Laplace:

DEFINICIÓN 5. Definimos la transformada de Laplace de la función uptqcomo

(5.6) L ruspsqdef“

ż 8

0uptqe´stdt,

para los valores de s tales que la integral anterior sea finita.

Si bien se puede definir la transformada inversa de Laplace no lo haremosaquí. Observamos que, dada u, basta con que |uptq| ď Ceαt para poderdefinir la transformada de Laplace en algún rango de s. Concretamente

TEOREMA 16. Sea f : r0,8q Ñ R una función continua a trozos tal queexisten α ą 0 y C de manera que

|fptq| ď Ceαt.

Entonces existe la transformada de Laplace de u

L ruspsq

para todo s ą α.

Demostración. Basta con observar que se tiene la desigualdadˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż 8

0uptqe´stdt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

ż 8

0Ceαte´stdt ď

C

s´ α.

EJEMPLO 48. Calcula la transformada de Laplace de

fptq “ 1, t ě 0.

125


Solución. Se tiene que, para s ą 0,

L rf spsq “

ż 8

0e´stdt “

e´st

´s

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

8

0

“1

s.

De la misma manera, si s ď 0 la transformada de Laplace no se puededefinir.


fptq “ t, t ě 0.

Solución. Se tiene que, para s ą 0,

L rf spsq “

ż 8

0te´stdt “ t

e´st

´s

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

8

0

`

ż t

0

e´st

sdt “

1

s2,

donde hemos integrado por partes. Igual que ocurría en el ejemplo anterior,si s ď 0 la transformada de Laplace no se puede definir.


fptq “ ect, t ě 0.

Solución. Se tiene que

L rf spsq “

ż 8

0ecte´stdt “

ż 8

0epc´sqtdt “

epc´sqt

c´ s

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

8

0

“ ´1

c´ s,

donde hemos asumido s ą c.

De manera similar a como pasaba con la transformada de Fourier, la trans-formada de Laplace cumple diversas propiedades:

TEOREMA 17. Sean u y v dos funciones regulares e integrables con trans-formadas de Laplace dadas por

L ruspsq “

ż 8

0uptqe´tsdt

L ruspsq “

ż 8

0vptqe´tsdt.

Entonces

Si wptq “ c1uptq ` c2vptq se tiene que

L rwspsq “ c1L ruspsq ` c2L rvspsq,

126


Si wptq “ Btuptq entonces

L rwspsq “ sL ruspsq ´ up0q.

De la misma manera, si wptq “ tuptq entonces

L rwspsq “ ´pL ruspsqqs.

Si u y v se anulan para t ă 0 y se define wptq “ uptq ˚ vptq, es decir,

wptq “

ż

Rupηqvpt´ ηqdη “

ż t

0upηqvpt´ ηqdη

entoncesL rwspsq “ L ruspsqL rvspsq

Así vemos que la transformada de Laplace también permite intercambiarderivadas por multiplicadores (si bien la manera concreta de intercambiares diferente al involucrar up0q) y productos por convoluciones.Las propiedades anteriores nos permiten usar la transformada de Laplacepara resolver problemas de valores iniciales para ecuaciones diferencialesordinarias, ya que nos transforma EDOs en ecuaciones algebraicas y ade-más, el hecho de que la integral esté definida en la semirecta real (en lugarde la recta real como es el caso de la transformada de Fourier), la haceparticularmente útil para tratar problemas donde aparezca el tiempo (quetípicamente tiene sentido para valores positivos):

EJEMPLO 51. Resuelveutptq ` uptq “ 1

con dato inicialup0q “ 2.

Solución. Tomando la transformada de Laplace llegamos a que

L rutspsq `L ruspsq “ L r1spsq.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos que la EDO anterior esequivalente a

sL ruspsq ´ up0q `L ruspsq “1

s,

y por lo tanto

L ruspsq “1

sp1` sq`

2

1` s“

1

s´

1

1` s`

2

1` s.

Usando las transformadas de Laplace de los ejemplos anteriores obtenemosque

uptq “ e´t ` 1.

127


5.4. Funciones ideales o distribucionesEl término función ideal

se usa para recalcar quesi bien el comportamiento

de estos objetos seasemeja al de las

funciones de toda la vida(por ejemplo, se puede

definir algún cierto sentidode integral), lo cierto es

que no son funciones. Eltérmino distribución viene

de que se puedenentender algunas de

estas funciones ideales(por ejemplo la δ de Dirac)

como distribuciones demasa.

Para motivar el concepto de las funciones ideales (también conocidascomo distribuciones) vamos a repasar la construcción de los números ya centrarnos en el caso paradigmático de la δ de Dirac. La δ de Diracdefinida anteriormente es, casi seguro, la función ideal más conocida y muyposiblemente cualquier estudiante de física haya oído hablar de ella conanterioridad. El estudiante interesado en una aproximación completamenterigurosa desde el punto de vista matemático (a la vez que breve) a lasdistribuciones puede leer [3].Para motivar un poco el concepto de distribución o función generalizadavamos a tratar brevemente la historia del concepto de número. A lo largode la historia el concepto de número ha ido cambiando. Así uno tiene losnúmeros naturales, N “ t0, 1, 2, etcu, que sirven para sumar o multiplicar.Si uno quiere restar entonces tiene que ampliar su concepto de númeropara considerar los enteros, Z “ t0, 1,´1, 2,´2, etcu. Para dividir uno debedefinir los números racionales Q “ t0, 1,´1, 2,´2, 12,´12, etcu. Hastaahora hemos definido los números en base a las distintas operaciones quequeríamos hacer con ellos. Equipados con estas operaciones podemosplantearnos el problema de resolver ecuaciones algebraicas del estilo de

x2 ´ 2 “ 0.

Entonces descubrimos que esta ecuación, que tiene como solución ˘?

2nos lleva a unos números que no son los anteriores: son los númerosirracionales, es decir, aquellos que no son cocientes de números enteros(es decir, los que no son números racionales). Sabemos que la unión delos números irracionales y los racionales nos da el conjunto de los númerosreales, R. Sin embargo, si bien la definición de los números naturales,enteros y racionales forma parte del software primario del ser humano, elconcepto de número real es, de alguna manera, extraño. Hemos dicho que?

2 es irracional, pero lo cierto es que no hemos dicho qué es un númeroirracional, hemos dicho qué NO es un número irracional. Decir lo que no esalgo será útil, pero no es una definición propiamente dicha. Volvamos a

?2.

Sabemos que?

2 “ 1,414213...

Así podemos definir?

2 de la siguiente manera. Consideramos la sucesiónan P Q dada por

a1 “ 1,

a2 “14

10,

a3 “141

100,

128


a4 “1414

1000,

a5 “14142

10000,

etc. Esta sucesión de números racionales converge a?

2. Podemos asídefinir

?2 como su límite. Por supuesto, lo mismo puede hacerse con otros

números irracionales. Es decir, podemos definir los números irracionalescomo límites de sucesiónes de números racionales. Lo cierto es que sepuede argumentar que hay ciertos problemas con la definición de númeroirracional tal cual la hemos escrito anteriormente. Por ejemplo [13],

The problem with this approach is that the limit, if irrational, doesnot logically exist until the irrational numbers have been defined.Georg Cantor suggests that this error went unnoticed because itdid not lead to inconsistencies with the usual properties of thereal numbers, as understood at the time.

El estudiante interesado puede seguir leyendo en [14]. Definir objetos comolímites es algo que hemoshecho en multitud deocasiones antes.

Usando las ideas anteriores, podemos entender los números irracionalescomo una especie de números ideales obtenidos como límites de sucesio-nes.Vamos a comenzar motivando la definición de la δ de Dirac. La δ de Dirac esposiblemente la función ideal más popular. Vaya por delante el aviso de quelas distribuciones son objetos matemáticos delicados, por lo que su estudioen profundidad es complicado. Aquí (de la misma manera que venimos ha-ciendo todo el curso), vamos a seguir evitando los tecnicismos matemáticosy a centrarnos en las principales ideas detrás de los conceptos estudiados.Volvamos por un momento a la fórmula (5.1). Al menos formalmente sepuede escribir que

upxq “

ż 8

´8

upzq

ˆż 8

´8

1

2πeíξpx´zqdξ

˙

dz.

Es decir, si definimos (de momento esta definición es formal) la δ de Dirac Habíamos visto que unfuncional era unaaplicación que mandabafunciones en undeterminado espacio anúmeros reales.

como

δpyq “

ż 8

´8

1

2πeíξydξ,

observamos que la igualdad anterior en el caso x “ 0, se reduce a

(5.7) up0q “

ż 8

´8

upzq

ˆż 8

´8

1

2πeiξzdξ

˙

dz “

ż 8

´8

upzqδpzqdz.

Es decir, la δ de Dirac hace que integrar sea evaluar . Como la integral queconocemos (para funciones standard) viene de una suma de Riemmann,integrar es, en un cierto sentido, equivalente a promediar y sabemos que

129


promediar (salvo casos triviales) nunca devuelve los valores originalesexactos. Esto sugiere que como función standard la δ de Dirac no puedeexistir. Esto mismo lo podíamos haber intuído sin más que notar que lafórmula anterior se reduce a

δpyq “z1?

2πpyq,

y ya vimos que como función standard, 1 no existe. Sin embargo, siempreque podamos evaluar una función eun determinado punto podemos definirla δ de Dirac. Es decir, dada una función continua u, la acción de la δ deDirac sobre esta función consiste en retornar su valor en z “ 0. De maneraaún más precisa tenemos la siguiente definición:

DEFINICIÓN 6. La δ de Dirac es un funcional

δrus : CpRq Ñ R

tal que para cada función continua u P CpRq se tiene que

δrusdef“ up0q.

La acción de este funcional puede entenderse como

δrusdef“

ż 8

´8

upzqδpzqdz.

Así podemos pensar que nos interesa saber cómo actúa la δ de Dirac sobrelas funciones, más que definir una fórmula para ella. En este sentido integrares, de alguna manera, el análogo de realizar diferentes mediciones. Así,vamos a usar la idea de ver qué hace una determinada distribución al actuarpor medio de una integral sobre distintas funciones regulares como mediopara conocer dicha distribución.Habíamos dicho que los irracionales nos aparecían como números en uncierto sentido idealizados obtenidos como límites de números racionalesbien conocidos. Ahora vamos a ver que la δ de Dirac (y más generalmenteotras distribuciones) se pueden definir como límites de funciones clásicas.Para dar la definición vía un límite mencionada anteriormente definimos lasucesión de funciones salto

gnpzq “

"

0 si z P r´1n, 1nscn2 si z P r´1n, 1ns

Estas funciones intentan reflejar el efecto de un impulso cada vez mayoren una zona cada vez más localizada. Observamos que, para upzq ” 1 setiene que

1 “ up0q “

ż 8

´8

upzqgnpzqdz.

130


Es decir, al menos para ciertas funciones gn cumple que integrar seaevaluar. Sin embargo, es fácil ver que eso no es ni mucho menos general.Veamos que, efectivamente, la acción de estas gn (por medio de una integral)nos permite definir la δ de Dirac de manera rigurosa. Es decir, vamos aconsiderar los funcionales

Fgnrus : CpRq Ñ R

Fgnrus “

ż 8

´8

upzqgnpzqdz

y a estudiar su límite:

TEOREMA 18. Sea gn la familia definida anteriormente y sea u P CpRq unafunción dada. Entonces se tiene que

up0q “ lımnÑ8

Fgnrus “ lımnÑ8

ż 8

´8

upzqgnpzqdz.

Demostración. Tenemos que

Fgnrus “

ż 8

´8

upzqgnpzqdz

“n

2

ż 1n

´ 1n

upzqdz

“1

2

ż 1

´1u´ s

n

¯

ds,

donde hemos usado el cambio de variables

s “ nz.

Ahora podemos convencernos fácilmente de que

lımnÑ8

Fgnrus “ lımnÑ8

1

2

ż 1

´1u´ s

n

¯

ds “up0q

2

ż 1

´11ds “ up0q.

Observamos que ya nos habían salido más veces antes expresiones muycercanas o directamente equivalentes sin que lo notásemos. Por ejemplo,usando (4.5) para calcular la N´ésima suma parcial de la serie de Fourierde u obteníamos

SNup0q “

ż L

´LupzqDN p´zqdz,

131


y nos preguntábamos cuándo la serie de Fourier convergía puntualmente,es decir, cuándo se tenía que

up0q “ lımNÑ8

ż L

´LupzqDN p´zqdz.

Por otro lado, habíamos visto también el propagador de la ecuación delcalor

Hpx, tq “

`

e´ξ2t˘

“1?

2te´

x2

4t .

En el espacio físico (en el mundo de las variables x, t) no es tan sencillo verque la acción de Hpx, tq cuando tÑ 0 nos permita definir la δ de Dirac, sinembargo, en el espacio de Fourier es sencillo porque se reduce a

1 “ lımtÑ0

e´ξ2t,

por lo que, usando el carácter real de las funciones junto con el teorema dePlancherel (teorema 15) tenemos que

ż

RupxqHpx, tqdx “

ż

RupξqHpξ, tqdξ,

y por lo tanto

lımtÑ0

ż

RupxqHpx, tqdx “ lım

tÑ0

ż

Rupξqe´ξ

2tdξ “

ż

Rupξqdξ.

Usando la definición de la transformada de Fourier se llega a

1?

2πlımtÑ0

ż

RupxqHpx, tqdx “

1

2π

ż

R

ż

Rupzqeíξzdzdξ,

donde reconocemos (5.7) y por lo tanto la δ de Dirac.

EJEMPLO 52. Sea upxq “ x. Calcula

δrus

Solución. Se tiene que u P C por lo que tiene sentido hablar de up0q. Asísabemos que

δrus “ up0q “ 0.

132


Vamos a comprobarlo. Tenemos que

Fgnrus “

ż 8

´8

upzqgnpzqdz

“

ż 8

´8

zgnpzqdz

“n

2

ż 1n

´ 1n

zdz

“1

2

ż 1

´1

s

nds

“1

n

s2

4

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1

.

Y así obtenemos que el límite es cero.

De momento hemos visto cómo definir (como límite de funciones clásicas) laδ de Dirac. Por supuesto, otras distribuciones se pueden definir de manerasimilar. Esto es análogo a cuando definíamos

?2 como límite y ampliábamos

así el conjunto de números admisibles a un cuerpo estrictamente mayorque los racionales. De la misma manera que queríamos mantener lasoperaciones y sus propiedades (válidas para números racionales) al manejarnúmeros irracionales, queremos poder manejar distribuciones de la maneramás similar posible a lo que hacemos con las funciones clásicas. El siguienteejemplo muestra que esto puede hacerse:

EJEMPLO 53 (Composición). Sea α2 ą 0. Demuestra

δpz2 ´ α2q “1

2

δpz ´ αq ` δpz ` αq

|α|

Solución. Las funciones ideales o distribuciones deben generalizar el con-cepto de función, por lo que las integrales deben poderse manejar de la

133


manera usual. Se tiene queż

Rupzqδpz2 ´ α2qdz “

ż 0

´8

upzqδpz2 ´ α2qdz `

ż 8

0upzqδpz2 ´ α2qdz

“ ´

ż 0

8

up´?sqδps´ α2q

ds

2?s`

ż 8

0up?sqδps´ α2q

ds

2?s

“

ż 8

´α2

upá

y ` α2qδpyqdy

2a

y ` α2

`

ż 8

´α2

upa

y ` α2qδpyqdy

2a

y ` α2

“up´

?α2q

2?α2

ùp?α2q

2?α2

“up´|α|q

2|α|ùp|α|q

2|α|.

De donde se concluye que la acción de δpz2 ´ α2q es la misma que la de12δpz´αq`δpz`αq

|α| y por lo tanto deben ser iguales.

De la definición vista anteriormente podemos extraer la noción de integralde la δ de Dirac:

ż 8

´8

δpzqdz “

ż 8

´8

1δpzqdz “ 1.

Ahora queremos extender el concepto de derivada para poder dar sentido aderivada de una distribución. Desde hace tiempo sabemos que una funciónderivable (en sentido clásico) es continua, siendo el recíproco falso. Esdecir, la derivada clásica de una función continua arbitraria no tiene por quéexistir, basta considerar el ejemplo dado por upxq “ |x|. Vamos a comenzarDe hecho, esta idea de

medición de una funciónaparece también en el

hecho de que a lasfunciones en el conjuntoC8c se las conoce como

funciones test.

definiendo el conjunto

C8c “ tφ P C8 tales que φ “ 0@x P Kc donde K es un conjunto compactou

Estas funciones son todo lo regulares que se quiera y además son ceropara todo punto fuera de un conjunto compacto (es decir, de un conjuntocerrado y acotado). Un ejemplo de una de tales funciones es

φpzq “

#

0 si z P r´1, 1sc

e´ 1

1´x2 si z P r´1, 1s.

Queremos ahora usar la idea de que integrar contra distintas ϕ es realizarmediciones, de manera que si sabemos todas estas mediciones sabemosqué hace la función. Sea ahora ϕpxq P C8c y consideremos u P C1pRq.Entonces, integrando por partes, se tiene que

ż

Ruxpxqϕpxqdx “ ´

ż

Rupxqϕxpxqdx.

134


Es decir, podemos ver cuál es la acción de ux en ϕ sin más que ver cuál esla acción de u en ´ϕx. Esto permite definir un concepto generalizado dederivada

DEFINICIÓN 7. La función v es la derivada débil de u si cumple queż

Rvpxqϕpxqdx “ ´

ż

Rupxqϕxpxqdx, @ϕ P C

8c .

El hecho de que la igualdad anterior se satisfaga para toda ϕ P C8c escrucial porque representa el hecho de que v se comporta como la derivadade u (si es que dicha derivada existiese) para toda función ϕ que nos sirvade test. La igualdad anterior permite definir la derivada débil para funcionesque sean solo integrables, si bien la derivada débil en principio puede seruna función generalizada. De la misma manera, la definición anterior puedeampliarse hasta cubrir a las funciones ideales. Veamos unos ejemplos deesto.

EJEMPLO 54 (La derivada débil coincide con la clásica si ésta existe). Cal-cula la derivada débil de upxq “ x.

Solución. Sea ϕ una función test arbitraria. Entonces, integrando por partes,tenemos que

´

ż

Rupxqϕxpxqdx “ ´

ż

Rxϕxpxqdx “

ż

Rϕpxqdx,

por lo que vpxq “ 1 es la derivada débil de upxq “ x.

EJEMPLO 55 (La derivada débil de funciones no derivables). Calcula laderivada débil de upxq “ |x|.

Solución. La derivada de upxq ya nos salió anteriormente (ver (4.15)). Seaϕ una función test arbitraria. Entonces tenemos que

´

ż

Rupxqϕxpxqdx “ ´

ż 0

´8

´xϕxpxqdx´

ż 8

0xϕxpxqdx.

De nuevo debemos integrar por partes. Obtenemosż 0

´8

xϕxpxqdx “ 0ϕp0q ´

ż 0

´8

1ϕpxqdx “ ´

ż 0

´8

1ϕpxqdx

´

ż 8

0xϕxpxqdx “ 0ϕp0q `

ż 8

01ϕpxqdx “

ż 8

01ϕpxqdx.

Por lo tanto

vpxq “

"

1 si x P p0,8q´1 si x P p´8, 1q

,

es la derivada débil de |x|.

135


EJEMPLO 56 (Derivada débil de funciones discontinuas). Calcula la segun-da derivada débil de upxq “ |x|.

Solución. La primera derivada débil ya la hemos calculado, así que bas-ta con calcular la derivada débil de la función vpxq del ejemplo anterior.Tenemos que

´

ż

Rvpxqϕxpxqdx “ ´

ż 0

´8

´1ϕxpxqdx´

ż 8

01ϕxpxqdx,

para toda función test. Estas integrales podemos calcularlas explícitamentesin más que usar el teorema fundamental del cálculo, llegando a

ż 0

´8

1ϕxpxqdx “ ϕp0q,

´

ż 8

01ϕxpxqdx “ ϕp0q.

Por lo tanto, si escribimos w para la derivada débil de vpxq tenemos que

´

ż

Rvpxqϕxpxqdx “ 2ϕp0q.

Como sabemos que

ϕp0q “

ż

Rϕpxqδpxqdx,

la igualdad anterior nos dice que

wpxq “ 2δpxq.

De la misma manera que podemos calcular derivadas débiles de funciones(eso si, estas derivadas débiles pueden ser funciones idealizadas y nofunciones en el sentido clásico), podemos calcular derivadas débiles defunciones idealizadas:

EJEMPLO 57 (Derivada débil de la δ). Calcula la derivada débil de δpxq.

Solución. Sin más que aplicar la definición llegamos aż

Rδxpxqϕpxqdx “ ´

ż

Rδpxqϕxpxqdx “ ´ϕxp0q.

136


5.5. Conclusiones

En este capítulo hemos definido la transformada de Fourier, que es unatransformada básica en multitud de aplicaciones pero también en mate-máticas más abstractas. Igualmente definimos la transformada inversa deFourier y vimos propiedades de ambas, entre ellas las más importantespara nosotros en este curso:

1. Derivadas en multiplicadores:

yBkxupξq “ piξqk upξq.

Esto se probaba sin más que integrar por partes. Y viceversa, i.e.

yxkupξq “ ikdkupξq

dξk,

y la prueba de este hecho se obtenía sin más que derivar la expresiónintegral.

2. Productos en convoluciones:

xuvpξq “1?

2πu ˚ v “

1?

2π

ż

Rupηqvpξ ´ ηqdη,

Y viceversa, i.e.zu ˚ vpξq “

?2πupξqvpξq.

3. Teorema de Parseval/Plancherelż

RupxqĚvpxqdx “

ż

Rupξqsvpξqdξ.

También vimos cómo aplicar la transformada de Fourier para resolver pro-blemas no-homogéneos (es lo que se conoce como principio de Duhamelpara problemas de evolución). De hecho, conseguimos aplicar las mismasideas también a problemas donde el dominio era acotado, por lo que en veztransformada de Fourier lo hicimos para series de Fourier. El principio deDuhamel nos llevó a introducir el concepto de propagador de la ecuacióndel calor y de ondas. Tras esto definimos la transformada de Laplace yvimos cómo se podía aplicar a la resolución de EDOs así como algunaspropiedades. Finalmente, introdujimos las distribuciones (también conocidascomo funciones ideales) y la noción de derivada débil. Más concretamentevimos diversas propiedades de la δ de Dirac así como de la derivada débil,entre ellas que

1. Si una función es derivable en sentido clásico, entonces la derivadadébil coincide con la derivada clásica. Es decir, la derivada débilgeneraliza la derivada clásica.

137


2. Hay funciones que no son derivables que tienen otra función comoderivada débil (p.e. |x|).

3. Podemos definir la derivada débil de una función ideal. La consecuen-cia es que podemos definir derivadas de objetos muy singulares.

138

Índice alfabético

Acción, 23Aproximación de mínimos cuadrados,

81

Cálculo de variaciones, 22Caminos aleatorios, 46Clasificación EDPs, 55Concepto de solución, 73Condición de frontera Dirichlet, 95Condición de frontera Neumann, 97Condiciones de borde Dirichlet, 60,

64, 68Condiciones de borde Neumann, 62,

66, 69Conservación de la energía, 42Conservación del momento, 37Convergencia L2, 83Convergencia en espacios de funcio-

nes, 83Convergencia puntual, 83Convergencia series de Fouier, L2,

108, 109Convergencia series de Fourier, L2,

82, 87Convergencia series de Fourier, pun-

tual, 86, 108, 109Convergencia series de Fourier, uni-

forme, 85Convergencia uniforme, 83Curvatura, 53

Delta de Dirac, 128, 130Delta de Kronecker, 87Derivada débil, 134, 135Desigualdad de Bessel, 82, 88Disipación de la energía, 50

Distribuciones, 128

Ecuación de Burgers, 35Ecuación de la cuerda vibrante, 36,

59Ecuación de ondas, 36, 59, 60, 73Ecuación de transporte, 27, 40, 44Ecuación del calor, 46, 64Ecuación del Laplace, 68Ecuación lineal, 27Ecuación no lineal, 31Ecuaciones elípticas, 55Ecuaciones hiperbólicas, 55Ecuaciones parabólicas, 55Energía cinética, 23, 24Energía potencial, 23, 24Espacio L2, 76Estados estacionarios, EDOs, 53Estados estacionarios, EDPs, 53

Fórmula de Euler, 61, 90Fenómeno de Gibbs, 89Forma integral de una EDO, 17Función de Bessel de primera clase,

108Función de Bessel de segunda clase,

108Función Gamma, 108Función impar, 95Función par, 95Funcional, 21, 25, 130Funcional de Lyapunov, 50Funciones test, 134

Hamiltoniano, 23, 42

Iteración de Picard, 17, 25

139


Lagrangiano, 23Lema de Riemann-Lebesgue, 84Ley de Fick, 47Ley de Fourier, 47Ley de Hooke, 38

Método de las características, 31Movimiento bronwniano, 46

Núcleo de Dirichlet, 79Núcleo de Poisson, 120No unicidad, Laplace, 55

Oscilador armónico, 12, 21

Polinomio de Taylor, 28, 39Polinomios de Legendre, 107Principio de Duhamel, 121Principio de incertidumbre, 118Principio de superposición, 27, 41,

44, 51, 59, 60, 62, 65, 66,68, 69, 71

Probabilidad, 47Problema de Basilea, 106Problema de valores de frontera, ca-

lor, 64Problema de valores de frontera, EDOs,

20, 26Problema de valores de frontera, EDPs,

59Problema de valores de frontera, La-

place, 68, 69Problema de valores de frontera, on-

das, 60, 62Problema de valores iniciales, EDOs,

12Problema de valores iniciales, EDPs,

29, 40, 48Problema isoperimétrico, 102Problemas de Hilbert, 38Propagador, 120

Scaling, 48Separación de variables, 65, 66Separación de variables, calor, 64

Separación de variables, Laplace, 68Separación de variables, ondas, 60,

62Seperación de variables, 68, 69Serie de Fourier, 73Serie de Fourier, cosenos, 64, 67, 70Serie de Fourier, exponenciales, 75Serie de Fourier, senos, 62, 66, 69,

90Series de Fourier, cosenos, 97Series de Fourier, funciones de Bes-

sel, 108Series de Fourier, polinomios de Le-

gendre, 107Series de Fourier, propiedades, 91Series de Fourier, senos, 95Series de Fourier, senos y cosenos,

92Sucesión de Cauchy, 15Suma de Riemann, 91, 114

Teorema de Parseval, 92Teorema de Picard, 13Teorema de Plancherel, 92Teorema del punto fijo de Banach,

15, 17, 18Transformada de Fourier, 113, 114Transformada de Fourier, propieda-

des, 116Transformada de Laplace, 125Transformada de Laplace, propieda-

des, 126Transformada inversa de Fourier, 114

Unicidad de soluciones, calor, 50Unicidad de soluciones, ondas, 43

Velocidad finita de propagación, on-das, 42

Velocidad finita de propagación, trans-porte, 30

Velocidad infinita de propagación, 52

140

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Documents

Métodos Matemáticos 2 - unican.es...ondas, ecuación del calor, ecuación de Schrödinger y ecuación de Laplace, respectivamente. Este tipo de problemas es ubicuo en física, biología,