View
9
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Kinematika
1. Zakon pravolinijskog kretanja Da bismo poznavali polozaj tacke na njenoj putanji u svakom
trenutku vremena potrebno je da znamo zavisnost: X=Ft- Ovajednacina predstavlja zakon pravolinijskog kretanja.
Ox- koordinatna osa,M- tacka koja se krece, prolazi put x i zauzima polozaje M1; M2…
X- predstavlja polozaj tacke, a ne i predjeni put,
Pređeni put: Ako tačka ide on 0 do M1 pa se vrati u M jednak je
2. Brzina i ubrzanje pri pravolinijskom
kretanju
Brzina (υ) tačke u trenutku vremena t je veličina kojoj teži
srednja brzina kada vremenski interval teži nuli.
*Srednja brzina tačke - vektor srednje brzine ima pravac ose
x i usmeren je usmeru kretanja od tačke M ka tački M1.
Δt = t1-t
ΔX = X1-X
V = lim ΔX/Δt
V = dx/dt [m/s]
Ubrzanje tačke je veličina koja karakteriše promenu brzine
tačke.
*Vektor brzine i ubrzanja imaju isti pravac (smer je različit ako se
radi o usporenom kretanju), dok pređeni put i pomeraj imaju
istu brojčanu vrednost.
Prema formuli brojčana vrednost ubrzanja u datom trenutku
vremena jednaka je prvom izvodu brzine ili drugom izvodu
koordinate X po vremenu t.
Za definisanje krivoliniskog kretanja tačke,moze se primeniti
jedna od tri metode:
a) Vektorska,
b) Analitička( koordinatna) i
c) Prirodna.
3. Vektorski način definisanja
krivolinijskog kretanja
Ova jednačina omogućava da se u
svakom trentku t konstruiše
odgovarajući vektor i da se na
taj način odredi položaj pokretne
tačke.
Vektor brzine tačke
Brzinom tačke M u datom trenutku vremena t
naziva se vektorska veličina , kojoj teži
srednja brzina kada vremenski interval Δt teži
nuli.
Vektor brzine tačke u svakom trenutku vremena pada u pravcu
tangente na putanju, i usmeren je u smeru kretanja.
Vektor ubrzanja tačke
Ubrzanjem tačke u datom trenutku t naziva se vektorska veličina kojoj teži vektor
srednjeg ubrzanja kada vremenski interval Δt teži nuli.
Vektor ubrzanja tačke jednak je prvom izvodu vektora brzine ili drugom izvodu
vektorapoložaja tačke po vremenu.
4. Analitički način definisanja
krivolinijskog kretanja
Projekcije vektora u
Dekartovom pravolinijskom sistemu su x(t), y(t), z(t).
Skalarne jedinice su u tom slučaju:
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
Ove jednačine su parametarske jednačine kretanja , a
eliminacijom parametra t iz jednačina dobija se linija putanje.
Vektor ubrzanja tačke se određuje izračunavanjem izvoda po
vremenu vektora položaja:
Pošto su jedinični vektori sledi da je izraz za vektor
brzine u ravni:
Za vektor brzine u prostor važi:
Određivanje vektora ubrzanja se određuje na sličan način pri
čemu je:
Ubrzanje se određuje na osnovu izvoda brzine:
Za prostor važi:
5. Prirodni način definisanja kretanja Pri kretanju tačke M, menja se
rastojanje tokom vremena. Da bi smo poznavali položaj tačke u svakom trenutku na putanji potrebno je da znamo zavisnost s = f(t) – ova jednačina izražava zakon kretanja tačke M po putanji.
Da bi smo odredili kretanjetačke prirodnim putem potrebno je da znamo:
1) putanju tačke;
2) početak koordinatnog sistema;
3) zakon kretanja tačke duž putanje u obliku s=f(t) gde rastojanje s= određuje krivolinijsku koordinatu putanje.
Za Δt = t1 - t tačka pređe put
od M do M1 tj. Δs =
s1 – s.
Na osnovu toga brojčana
vrednost brzine tačke u
datom trenutku jednaka je
prvom izvodu pređenog puta tačke po vremenu.
6. Translatorno kretanje
Kretanje krutog tela naziva se translatorno, ako se svaka
prava ili ravan provučena u tom telu pomera zajedno sanjim, tako da uvek ostane samo sebi paralelna (ovo
kretanje ne treba mešati sa pravolinijskim).
Pri ovom kretanju putanje tačke mogu da budu ma kakvekrive linije tj. translacija može da bude kako pravolinijska
tako i krivolinijska.
Pri translatornom kretanju sve tačke tela opisuju istuputanju i imaju istu brzinu i ubrzanje u svakom trenutku
vremena i po intenzitetu i po pravcu i po smeru.
Za određivanje brzine tačaka A i B
potrebno je diferencirati obe
strane jednačine po vremenu:
Međutim izvod const vektora
= 0, pa je iz jednačine
diferenciranjem obe strane
jednačine po vremenu dobijamo:
Kod translatornog kretanja brzina i ubrzanje tačaka imaju isti intenzitet, smer i
pravac.
U ovom slučaju vektor je ostao konstantan i po intenzitetu i po pravcu i po
smeru prilikom pomeranja.
7. Obrtno kretanje krutog tela Obrtnim kretanjem naziva se takvo kretanje krutog tela pri kome
bilo koje dve tacke koje pripadaju telu(ili su sa njim čvrsto vezane)
ostaju za sve vreme nepomične (sa slike prava AB koja prolazi kroz
nepomicne tacke A i B naziva se obrtna osa).
I – ravan koja je nepomična
II – ravankoja je čvrsto vezana za
kruto telo
φ - ugao obrtanja tela (ugao
obrtanja)
Φ= f(t) – zakon obrtnog kretanja
tela
Osnovne kinematske karakteristike obrtnog kretanja krutog tela su ugaona brzina i ugaono ubrzanje.
Ako se za vremenski interval Δt=t1-t, telo okrene za ugao Δφ=φ1 – φ, onda je srednja ugaona brzina jednaka ωsr = Δφ/Δt.
Ugaonom brzinom tela u trenutku t naziva se veličina kojoj teži srednja ugaona brzina ωsr kada vremenski interval Δt teži 0.
Na osnovu toga ugaona brzina u datom trenutku vremena brojčano je jednaka prvom izvodu obrtnog ugla po vremenu.
(jer je radijan veličina bez dimenzija)
Ugaono ubrzanje karakteriše promenu ugaone brzine
obrtanja tela u toku vremena. Ako je Δt = t1 – t i Δω
=ω1 – ω onda je srednje ugaono ubrzanje:
Na osnovu prethodnog:
Ugaono ubrzanje tela u datom trenutku vremena
brojčano je jednako prvom izvodu ugaone brzine ili
pak drugom izvodu obrtnog ugla tela po vremenu.
Dimenzija ugaonog ubrzanja
Kod obrtnog kretanja imamo:
a) Ubrzano kretanje: vektor brzine i ubrzanja imaju
isti smer i pravac.
b) Usporeno kretanje: vektor brzine i ubrzanja imaju
isti pravac a suprotan smer.
8. Ravno kretanje krutog tela, tazlaganje
kretanja na translatorno i obrtno
Kretanje krutog tela naziva se ravnim ako se sve
njegove tačke kreću parlelno prema nekoj nepomičnoj
ravni, odnosno ako su brzine svih tačaka paralelne
nekoj nepomičnoj ravni π.
Pri ravnom kretanju sve tačke tela koje leže na pravoj
MM’, upravnoj na ravan π kreću se na isti način.
Da bi smo bili u stanju da odredimo položaj tela u
prostoru u bilo kom trenutku vremena potrebno je da
znamo obe ove slike.
xa = f1 (t) ; ya = f2 (t) ; = f3 (t) – ovo su jednačine
kretanja krutog tela.
Razmotrimo dva
uzastopna položaja I i II
koje zauzima presek S
pokretnog tela u
trenutcima t1 i t2.
Translatorno kretanje:
A1 u A2 i B1 u B1’ – duž
A1B1 se pomera na
A2B1’.
Obrtno kretanje:
pomeranje tačke B1’ u B2
za ugao .
- brzina i ubrzanje za translatorno
kretanje.
– ugaona brzina i ugaono ubrzanje za obrtno
kretanje.
Sa slike vidimo da je A1B1||A2B1’||B2A1’ ; Δ 1 =Δ 2.
9. Odredjivanje brzina tačaka tela
Ravno kretanje krutog telasastoji se iz translatornog
dela kretanja pri čemu se sve tačke kreću brzinom
i iz obrtnog dela kretanja oko tog polja
10. Odredjivanje ubrzanja tačaka tela
Ubrzanje bilo koje tačke M pri ravnom kretanju sastoji se iz
ubrzanja koje ta tačka ima pri translatornom i pri obrtnom
kretanju posmatranog tela.
Položaj tačke M prema koordinatnom sistemu određen je
vektorom položaja.
Prema tome definiciju ubrzanja tačke M intenzitet i pravac
ubrzanja nalazimo konstruisanjem odgovarajućeg
paralelograma.
11. Plan brzina Planom brzina naziva se dijagram na kome su od neke
tačke naneti vektori brzina pojedinih tačaka tela.
Neka su - brzine tačaka A, B, i C.
Iz trougla Oab se vidi da je :
Prema ovome: odsečci koji spajaju krajeve vektora brzina u planu brzina upravni su na odsečke koji spajaju odgovarajuće tačke tela i po intenzitetu proporcionalni su tim odsečcima, figure označene u planu brzina i u preseku (S) tela istim slovima biće tom pilikom slične i okrenute jedna u odnosu na drugu za 90⁰.
12. Plan ubrzanja Ubrzanje bilo koje tačke M tela sastoji se iz ubrzanja koje
ta tačka ima pri translatornom i pri obrtnom kretanju
posmatranog tela.
Vektor je upravan na AM i ima smer
obrtanja ako je obrtanje ubrzano, odnosno ima
smer suprotan obrtanju ako je obrtanje usporeno.
Vektor usmeren je uvek od tačke M ka
polju pa dobijamo:
Ubrzanje bilo koje tačke tela u datom trenutku vremena može da se odredi ako su poznati:
1) vektori brzine i ubrzanja i neke tačke A tela u tom trenutku
2)putanje neke druge tačke B tela.
13. Složeno kretanje tačke, apsolutno,
prenosno I relativno kretanje
Složeno kretanje podrazumeva kretanje tela u odnosu na dva
koordinatna sistema (pri čemu jedan stoji a drugi se kreće)
(primer: kretanje kugle po brodu koji se kreće nepokretni
sistem je obala a pokretni brod).
1) Kretanje koje vrši tačka M
u odnosu na pokretni
koordinatni sistem zvaćemo
relativno kretanje.
Putanja AB koju opisuje tačka
M pri svom relativnom
kretanju zove se relativna
putanja.
2)Kretanje koje vrši pokretni koordinanti sistem Oxyz, i
zajedno sa njim čvrsto vezane pojedine tačke prostora, u
odnosu na nepokretni koordinatni sistem O1x1y1z1 za
tačku M je prenosno kretanje. Brzina tačke koja je čvrsto
vezana za pokretni koordinatni sistem Oxyz i sa kojom se
u datom trenutku poklapa tačka M zove se prenosna
brzina tačke M u tom trenutku i označava se sa .
3) Kretanje koje vrši tačka u odnosu na nepokretni
koordinatni sistem O1x1y1z1 zove se apsolutno ili
složeno kretanje. Putanja CD tog kretanja zove se
apsolutna putanja.
, - Apsolutna brzina i apsolutno ubrzanje.
Za primer kugle na brodu:
Kretanje kugle u odnosu na palubu broda je
relativno, kretanje broda u odnosu na obalu
predstavlja prenosno kretanje kugle, kretanje kugle
u odnosu na obalu predstavlja apsolutno kretanje.
14. Slaganje brzina
Tačka M se kreće duž relativne putanje
AB, Δt = t1 – t put MM’.
Putanja AB kreće se zajedno sa
svojim koordinatnim sistemom i zauzima položaj A1M1.
Pravci brzina se poklapaju sa tangentama na odgovarajuće putanje.
Na osnovu slike intenzitet
apsolutne brzine:
15. Slaganje ubrzanja, Koriolisovo
ubrzanje (teorema)
- relativno ubrzanje pri relativnom
kretanju
Prenosna brzina dobija priraštaj i pri relativnom
i pri prenosnom kretanju usled čega je:
Tačka M se kreće ubrzano duž
prave Ox koja se obrće u ravni
Ox1y1, oko tačke O.
MM’- relativno pomeranje tačke
M
MM’’ – prenosno pomeranje
tačke M
Apsolutno ubrzanje tačke:
Pri složenom kretanju:
1) Slučaj translatornog i prenosnog kretanja
Slika pokazuje kretanje koordinatnog sistema i prave AB
zajedno sa njim.
2) Pri relativnom pomeranju tačke iz M u M’ vektor
se ne menja pa je
3) Slučaj kada prenosno kretanje nije
translatorno: ovde su i -
različite od 0. Uvodimo oznaku:
- predstavlja obrtno ili Koriolisovo
ubrzanje tačke pa je:
Korisolova teorema Ako prenosno kretanje nije translatorno onda je
apsolutno ubrzanje tačke jednako geometrijskom zbirutri ubrzanja :
1) relativnog – koje karakteriše promena relativnebrzine pri relativnom kretanju;
2) prenosnog – koje karakteriše promena prenosnebrzine pri prenosnom kretanju i
3) Koriolisovog – koje karakteriše promenu relativnebrzine pri prenosnom kretanju i prenosne brzine prirelativnom kretanju.
Pravac i smer vektora Koriolisovog ubrzanjanajjednostavnije je odrediti pravilom desne ruke.
16. Cilindrični zupčasti prenosnici
Obicnim prenosnikom naziva se prenosnik kod koga su ose
svih medjusobom ozubljenih zupcanika nepomicne.
Recommended