Kalkulus

KALKULUS 1KELOMPOK 9

120401107

120401108

120401109

12040110

120401111

Bilangan Riil

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan 1/0 . Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representas idesimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan

Contoh-contoh bilangan Riil  :

BilanganRasionalAdalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.

Bil. AsliDalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama, definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.

Bil. CacahBilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif

Bil. PrimaDalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.

Bil. BulatBilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

 Bil. Komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

Bil. IrasionalDalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Contoh: Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi= 3,1415926535.... Atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

BILANGAN IMAJINERBilangan imajiner adalah bilangan

yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan komleks. Selain bagian dari bilangan kompleks, bilangan imajiner merupakan bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik: x² + 1 = 0 atau secara ekivalen x² = -1

FUNGSI LINIERFungsi Linier

Fungsi linier adalah fungsi yang paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai fungsi berderajad satu.

Bentuk umum persamaan linier adalah : Y = a + bX

a = intersep b =gradien/ kemiringan

Intersep a merupakan titik potong antara fungsi linier dengan sumbu y. Gradien b merupakan kemiringan fungsi linier terhadap sumbu x.

Jika b bernilai positif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan atasJika b bernilai negatif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawahJika b bernilai nol : digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x

CONTOH SOAL

Jika x > 0 , y > 0 , 2x + y < 6 dan x + 2y < 6 , maka fungsi f (x,y) = x + y mempunyai nilai maksimum ….

A. 6B. 5C. 4D. 3E. 2

3

6

63

Y

X

f (x,y) = x + y

f maks = 2+2 = 4

TRIGONOMETRITrigonometri (dari bahasa

Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen.

Contoh soal :

1) Jabarkanlah cos (4x+3y)!Jawab:cos (4x+3y) = cos 4x cos 3y – sin 4x sin 3y

2) Buktikan bahwa cos (90°- a) = sin a!Jawab :cos (90°-a) = cos 90° cos a + sin 90° sin a

= 0 . cos a + 1 . sin a = 0 + sin a

cos (90°-a) = sin a

Diketahui dan . Jika sudut A dan B

lancip,tentukan nilai cos (A-B)!

5

4cos A

5

3cos B

A B

4

5? = 3

5

3

? = 4

5

4sin

5

3sin

B

A

BaBABA sinsincoscos)cos( jawab:

5

4.5

3

5

3.5

4

25

24

FUNGSI KUADRATPersamaan kuadrat adalah suatu persamaan

polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah y= ax² + bx + c dengan a≠0. Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x² koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat : Memfaktorkan

untuk bentuk ax2 + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah bilangan yang jumlahnya b dan hasil kalinya c

Melengkapkan kuadrat sempurna

ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Misalnya x2 – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x2 – 2x + 1 = (x - 1)

Menggunakan rumus kuadrat

x1,2 = -b ± √ b2 – 4

2a

Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0

Penyelesaian : x2 + 4x – 12 = 0

a =1 b = 4 c = -12

x1,2 = - b ± √b2 – 4ac

2a

 <=> x1,2 = - 4 ± √42 – 4 x 1x (-12)

2 x 1

<=> x1,2 = - 4 ± √16 + 48

2

<=> x1,2 = - 4 ± √64

2

<=> x1,2 = - 4 ± 8

2

<=> x1,2 = - 4 + 8 atau x1,2 = - 4 - 8

2 2

<=> x1 = 2 atau x2 = -6

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

EKSPONENSIALPersamaan eksponen adalah persamaan yang peubahnya berfungsi

sebagai eksponen(pangkat) dari suatu bilangan berpangkat.

Contoh : (1). 2x+2= 8 (2). 3x+1=4x+1 (3).(x-3)x+2 = (x-3)4x-3

Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, yaiut sebagai

berikut :

1. af(x)= 14. af(x)= bf(x) 7. f(x)g(x)= h(x)g(x)

2. af(x)= ap 5. af(x)= bg(x) 8.f(x)g(x)= 1

3. af(x)= ag(x) 6. f(x)g(x)= f(x)h(x) 9.A.(af(x))2+B.(af(x)) + C = 0

Sifat-sifat lain yang perlu diingat sebagai dasar penyelesaian

persamaan eksponenadalah :

1. Jika am= an dan a≠0 , maka m = n.

2. Jika am= bm dengan a dan b bilangan positif dan a≠b≠1, maka m = 0

Contoh soal :

Tentukan himpunan peyelesaian dari persamaan

3x²+3x+4 = 9-x-1

Penyelesaian :

3x²+3x+4 = 9-x-1

3x²+3x+4 = (32)-x-1

3x²+3x+4 = 3-2x-2

x²+3x+4 = -2x-2

X²+5x+6 = 0

(x+2)(x+3) = 0

x = -2 atau x= -3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2,-3}

KOORDINAT POLAR Koordinat Polar (r,Ө) adalah koordinat dalam dimensi

dua yang dinyatakan dengan panjang r dan besar sudut Ө, ditulis (r, Ө).

x = r cos q

y = r cos q

r =

= q arctan

Contoh:

Ubahlah ke Koordinat Kartesius:Titik A ( 8,60°)

Jawab :

Titik A (8,60°) => x = r. cos q y = r. sin q

x = 8. cos 60° y = 8. sin 60°

x = 8. 0,5 y = 8. 0,5

x = 4 y = 4

jadi A (8,60°) A (4,4 )