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INTRODUZIONE ALLA
TEORIA
DELLA
PROBABILITÀ
ORIGINI DEL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ
Terzina del canto VI del Purgatorio di Dante («canto di Sordello»):Quando si parte il giuoco della zara
colui che perde si riman dolente
ripetendo le volte e tristo impara
1324
ORIGINI DEL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ
Terzina del canto VI del Purgatorio di Dante («canto di Sordello»):
Quando termina il gioco della zara,
colui che ha perso rimane triste e solo,
riprova invano i tiri ed impara suo malgrado
1324
Risposta di Galileo a un quesito postogli da alcuni giocatori, sempre sul gioco della zara
Non riuscivano a comprendere come mai ottenere 10 o 11 fosse più facile che fare 9 o 12
1640
Galileo Galilei
(1564-1642)
INTERESSE PER I GIOCHI D’AZZARDO
Il termine “ALEATORIO”
deriva dal latino
ALEA = DADO
“AZZARDO” deriva dall’arabo
ZAR =DADO
1654carteggio tra Pascal e Fermat
Il cavaliere De Méré, fanatico giocatore, pone alcuni quesiti a Pascal
Pierre de Fermat (1601-1665)
Blaise Pascal (1623-1662)
Jacques Bernoulli (1654-1705)
1700
Grandi passi ad opera di Bernoulli e De Moivre
Abraham De Moivre (1667-
1754)
1800
Laplace definisce i fondamenti del calcolo delle probabilità
1900
Il concetto di probabilità viene generalizzato.
De Finetti, Von Mises, Kolmogorov costruiscono la teoria della probabilità, a partire da diverse definizioni
ANZITUTTO…
QUALI SONO
“GLI OGGETTI?”
U = spazio degli eventi
Insieme dei
possibili esiti
di un “esperimento”ESEMPIO
ESPERIMENTO = LANCIO DI UN DADO
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
EVENTO = QUALUNQUE SOTTOINSIEME DI U
EVENTO ELEMENTARE = QUALUNQUE
SOTTOINSIEME DI U CONTENENTE UN SOLO
OGGETTO
U = EVENTO CERTO
Ø = EVENTO IMPOSSIBILE
DUE EVENTI SI DICONO INCOMPATIBILI
SE AB = Ø
MA ORA È VENUTO IL
MOMENTO DI CHIEDERSI…
COS’È LA PROBABILITÀ
DI UN EVENTO?
UNA PROVOCAZIONE:
“PROBABILITY DOES NOT EXIST”
Bruno De Finetti
DEFINIZIONI DI PROBABILITA’
•CLASSICA (Laplace)•SOGGETTIVA (De Finetti)•FREQUENTISTA (Von Mises)•ASSIOMATICA (Kolmogorov)
DEFINIZIONE CLASSICA
Probabilità = rapporto tra i casi favorevoli al
verificarsi dell’evento e i casi possibili
Pierre Simon de Laplace (1749-1827)
DEFINIZIONE SOGGETTIVA
Probabilità = quanto un soggetto coerente è
disposto a scommettere sul
verificarsi dell’evento
Bruno De Finetti (1906-1985)
DEFINIZIONE FREQUENTISTA
Probabilità =rapporto tra ilnumero di “successi” dell’evento
e il numero di “esperimenti”effettuati
Ludwig Edler Von Mises (1881-1973)
DEFINIZIONE ASSIOMATICA
Probabilità = un numero reale compreso tra zero e uno,
soddisfacente alcuni assiomi
Andreij Nikolaevicz Kolmogorov (1903-1987)
PER RAGIONI DI CARATTERE DIDATTICO,
UTILIZZEREMO UN MODELLO “IBRIDO” CHE
SI BASA PRINCIPALMENTE SULLA DEFINIZIONE
OGGETTIVA E SU QUELLA ASSIOMATICA
ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ
la probabilità di un evento E è un numero reale compreso tra 0 e 1
0 p(E) 1
La probabilità dell’evento certo è 1, inoltre, se un evento E ha probabilità 1, allora E è l’evento certo
p(E) = 1 E=U
Se A e B sono due eventi incompatibili, allora la
probabilità dell’evento unione è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi
AB= p(AB)=p(A)+p(B)
TEOREMI• p(Ø) = 0
• p(AC) = 1 - p(A)
• AB p(A) p(B)
• p(A - B) = p(A) - p(AB)
• p(AB) = p(A) + p(B) –p(AB)
PROBABILITÀ CONDIZIONATA
Dati due eventi A e B di uno stesso esperimento aleatorio, la probabilità CONDIZIONATA di A rispetto a B
P(A|B)
è la probabilità che si verifichi A supponendo di sapere che si è verificato B
PROBABILITÀ CONDIZIONATA
Se p(A|B) ≠ p(A) si dice che A e B sono DIPENDENTI
Se p(A|B) = p(A) si dice che A e B sono INDIPENDENTI
TEOREMI
TEOREMI
A1, A2, … An eventi tali cheA1A2 … An = U, AiAj = per ogni ijB evento dello stesso spazio U che si è verificato
TEOREMA DELLE PROBABILITÀ TOTALI
TEOREMIA1, A2, … An eventi tali cheA1A2 … An = U, AiAj = per ogni ijB evento dello stesso spazio U che si è verificato
FORMULA DI BAYES (“PROBABILITÀ DELLE CAUSE”)
TEOREMI
DISTRIBUZIONE BINOMIALE(SCHEMA DELLE “PROVE RIPETUTE” DI BERNOULLI)
A evento con p(A)=p, B evento contrario con p(B)=qL’ esperimento è ripetuto n volte nelle stesse condizioni.La probabilità che A si verifichi esattamente k volte è:
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