Integral Permukaan

Kelompok 4Present by :~ Anisa Bella F.~ AzicoSudhagama~ Clara Desi P.~ Ni’matullah T.~ Rizal Afif

Integral permukaan Diberikan permukaan G yang dinyatakan oleh

persamaan z = f(x,y) dengan (x,y) di , f mempunyaiturunan parsial pertama yang kontinu dang(x,y,f(x,y)) kontinu pada R. Integral permukaan darig atas G didefinisikan dengan

dengan adalah luas bagian Gi

Misalkan g(x,y,z) terdefinisi pada permukaan G

Pembuktian integral permukaan

Latihan1. Dengan menggunakan integral

permukaan, hitunglah:a)

Dengan G adalah bagian bidang2x-y+z=3 yang berada diatas segitiga R seperti gambar dibawah ini:

y(1,1)

Rx

(1,0)

PenyelesaianDalam kasus ini, z=3+y-2x=f(x,y), = -2, =1, dang(x,y,z)=xy+3+y-2x. Jadi,

b)

Dengan G adalah bagian dari kerucutDiantara bidang z=1 dan z=4

Penyelesaian:Kita dapat menuliskanSehingga diperoleh:

Sehingga

Setelah mengubahnya menjadi koordinat kutub, hasilnya adalah

FLUKS

Fluks Medan Vektor yang melaluiPermukaan Kita perlu membatasi jenis-jenis permukaan yang

akan kita gunakan Kebanyakan permukaan yang muncul dalam praktik

mempunyai dua sisi Sehingga akan masuk akal ketika membicarakan

fluida yang mengalir melalui permukaan tersebut darisatu sisi ke sisi lainnya seolah-olah permukaan iniadalah suatu layar

Kita juga mengandaikan permukaan ini licin, yang berarti mempunyai normal satuan yang berubah-ubahsecara kontinu

Misalkan G adalah permukaan bersisi dua yang licinsemacam ini, dan asumsikan G dicelupkan ke dalamfluida dengan medan kecepatan kontinu . Jika ΔS adalah luas dari potongan kecil G, maka tersebuthampir konstan, dan volume ΔV dari fluida yang menyeberangi potongan ini pada arah normal satuanadalah

Kita dapat menyimpulkan bahwaFluks yang menyeberangi G =

Teorema BMisalkan G adalah permukaan mulus bersisi dua yang

dibentuk oleh z=f(x,y), dimana (x,y) ada di dalam R, dan misalkan melambangkan normal satuan ke arahatas pada G. Jika f mempunyai turunan parsial ordepertama kontinu dan adalah medanvektor kontinu, maka fluks menyeberangi G dapatdinyatakan dengan

Latihan(2)1. Pembuktian Teorema FluksJika kita menuliskan H(x,y,z) = z-f(x,y) maka kita

memperoleh

Berdasarkan Teorema A

2. Hitung fluks untuk medan vektoryang melintasi bagian G dari

paraboloid yang terletak diatasbidang xy dengan mengambil berupa vektor normal ke atas

Penyelesaian

3. Hitung denganDan G bagian bidang 2x+2y+z=6 yang terletak di

kuadran pertama dari vektor normal satuan tegaklurus G

Jawaban :

z = 6 – 2x – 2y f(x) = -2 , f(y) = -2 - Mfx –Mfy + f(x,y) = 2x + 2y + 6 -2x – 2y = 6

= =

=

=