View
16
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Inženjerska grafikageometrijskih oblika
(4. predavanje, tema 1)
Prva godina studijaMašinskog fakulteta u Nišu
Predavač:
Dr Predrag Rajković
Maj 7, 2007 Lekcija 9
OBJEKTISLOBODNE FORME(FREE-FORM OBJECTS)
OBJEKTI SLOBODNE FORME(FREE-FORM OBJECTS)
•Ovo su krive, površi i tela čiji analitički oblik nije unapred poznat. U zavisnosti od postavljenih zahteva, nekada se može odrediti tačan izraz.Češće se mora potražiti približno,
numeričko rešenje problema.
KRIVE SLOBODNE FORME(CURVE - FREE-FORM)
1. Control Points - krive na osnovu kontrolnih tačaka (Bezierove krive)2. Interpolating Points –interpolacione krive3. Sketch – krive crtane slobodnom rukom
INTERPOLACIONA KRIVA(INTERPOLATE POINTS)
Interpolaciona kriva je kriva koja
prolazi kroz unapred zadate tačke.
Ove tačke se nazivaju čvorovima.
Jednačinu interpolacione krive tražimo
u obliku interpolacionog polinoma
INTERPOLACIONA KRIVA U RAVNI
)n,,1,0k(y)x(P kkn
Interpolaciona kriva u ravni je kriva koja
prolazi čvorove
)Nn()y,x(,),y,x(),y,x( nn1100
Njena jednačina se formira na osnovu
uslova
INTERPOLACIONA KRIVA U RAVNI
1
01
00
10
11 )( y
xx
xxy
xx
xxxP
Pravolinijska interpolacija
),(),( 111000 yxMyxM
INTERPOLACIONA KRIVA U RAVNI
Parabolična interpolacija
2
1202
101
2101
200
2010
212
))((
))((
))((
))((
))((
))(()( y
xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxxP
),(),(),( 222111000 yxMyxMyxM
LAGRANGEOVA INTERPOLACIJA
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
n
ki0i ik
i
kk
n
0k
kn
kkn
xx
xx)x(Ljegde),x(Ly)x(P
)n,,1,0k(y)x(P
GLOBALNO SVOJSTVOLAGRANGEOVE INTERPOLACIJE
Lagrangeova interpolaciona kriva ima
globalnu kontrolu oblika krive, tj.
male promene u izabranim tačkama dovode
do promena u obliku cele krive.
U ekstremnim slučajevima, promene oblika
krive mogu biti neočekivano velike.
GLOBALNO SVOJSTVOLAGRANGEOVE INTERPOLACIJE
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
Primer. Rungeova kriva ima osobinu da,
suprotno očekivanjima, povećanje broja
čvorova dovodi do sve veće greške
interpolacione krive.
21
1)(
xxf
RED POVEZANOSTI KRIVIH
0. red 1. red 2. red
Splajn (Spline)
•Splajn je složena interpolaciona kriva
sastavljena od delova od kojih je svaki za sebe
polinomna interpolaciona kriva pri čemu u
čvorovima nadovezivanja imaju određenu
glatkost.
• Splajn ima lokalnu kontrolu oblika krive, tj.
male promene u izabranim tačkama dovode do
malih promena u obliku krive.
Splajn ima lokalnu kontrolu oblika krive, tj.
male promene u izabranim tačkama dovode do
malih promena u obliku krive.
Splajn (Spline)
Termin “splajn” je prvi put zvanično upotrebljen 1752., a
označavao je drven savitljiv štap koji je korišćen u 17.
veku za crtanje glatkih krivih u brodogradnji. Kako nije bilo
preciznih crteža trupa broda, on se dobijao variranjem
rebra duž kobilice broda, pa se za ove krive korisitio
splajn. Ovo je rana varijanta današnjih površi tenzorskog
proizvoda.
Vrste splajnova
•Linearni splajn čine duži koje spajaju
zadate čvorove.
•Nije sačuvana glatkost u čvornim
tačkama
Vrste splajnova
• Kvadratni (parabolični) splajn čine
delovi parabola spojeni tako da imaju
istu tangentu u dodrinom čvoru.
• Krivina nije ista u tim čvorovima
Kubni splajn
Kubni splajn čine delovi kubne krive, čiji
delovi u čvorovima imaju istu tangentu i
krivinu.
Kubni splajnFunkcija S3(x) je kubni splajn za funkciju f(x) na
mreži čvorova Dn : a=x0 <x1<…<xn=b ako je:
(1) S3(xi)= f(xi) za svako i = 0,1,…,n.
(2) S3(x) polinom trećeg stepena
S3,i(x)=aix3+ bix
2 +cix+di na svakom segmentu [xi,xi+1];
(3) S3(x) je neprekidna zajedno sa svojim izvodima prvog
i drugog reda na celom segmentu [a,b]
S’3(xi)= mi , S’’
3(xi)= Mi , za svako i = 0,1,…,n.
(4) S’3(a)= S’
3(b) , S’’3(a)= S’’
3(b) (uslovi periodičnosti)
Problem se svodi na rešavanje sistema
linearnih algebarskih jednačina.
Splajn (Spline)
• Otvoreni Zatvoreni
UPOTREBA INTERPOLACIONE KRIVE
Primer. Nacrtati interpolacionu krivu kroz tačke A(0,12,0)B(5,11,0)C(10,8,0)D(15,4,0)E(22,0,0).Nacrtati površ (šešir) koja nastaje rotacijom ove krive oko z-ose.
Primenom Surrface-Revolve nacrtati šešir na slici
INTERPOLACIONE KRIVEU PROSTORU
Ove dve krive ne leže na omotaču kao što se očekuje
Interpolaciona kriva na površi
1. Nacrtati površ2. Krivu na površi crtamo pomoćuCurve > Free-form > Interpolate on Surface
Otvorena Zatvorena
UPOTREBA INTERPOLACIONE KRIVE
Za crtanje većeg broja duži primeniti
Transform-Array-Along curve
Za crtanje površi primeniti
Rail Revolve.
UPOTREBA INTERPOLACIONE KRIVE
1. Nacrtati interpolacaionu krivu2. Primeniti rotaciju Surface-Revolve
BEZIEROVE KRIVE
To je kriva formirana na osnovu kontrolnih tačakaCurves-FreeForm-Control Points
Pierre Bezier (1910-1999)• P. Bezier je bio inženjer u francuskoj fabrici
automobila Renault od 1933 do 1975 i profesorna Conservatoire national des arts et métiers (CNAM) od 1968 to 1979.
Uveo je novi tip krivih, koje sada nose njegovo ime i koje su deo familije krivih "free-form curves" unutar CAD/CAM sistema koji je stvorio 1968.
BEZIEROVE KRIVEVektori kontrolnih tačaka i blendirajuće funkcije zadovoljavaju sledeće uslove:
(1) kriva prolazi kroz početnu i krajnju kontrolnu tačku;
(2) tangente u početnoj tački i krajnjoj tačka su pravca
)1()(),0()1( npnppp
BEZIEROVE KRIVE
(4) blendirajuće funkcije (tj. funkcije koje stoje uz vektore položaja kontrolnih tačaka) moraju biti simetrične u odnosu na t i 1-t. Ovo znači da posmatranje niza tačaka u obrnutom redu ne dovodi do promena oblika krive.
(3) R - ti izvod u jednoj od krajnjih tačaka mora biti odreĎen pomoću r susednih temena
BEZIEROVE KRIVE(Control Points)
• Bezierova kriva je kriva data
parametarskom funkcijom u kojoj
učestvuju vektori kojima su zadate
kontrolne tačke
i blendirajuće funkcije
)1,0(t),t(fp)t(p k
n
0k
k
kp
)t(f k
BEZIEROVE KRIVE(Control Points)
• Jednačine Bezierovih krivih glase
)1,0(
,)1()()(0
,
0
t
ttk
nptBptp
knkn
k
knk
n
k
k
• Osnovni Bernsteinovi polinomi su
knk
n,k )t1(tk
n)t(B
BEZIEROVE KRIVE(Control Points)
• Bezierova kriva kroz 3 tačke
• Bezierova kriva kroz 4 tačke
3
2
1
0
23
0001
0033
1363
1331
1
p
p
p
p
ttt
z
y
x
2
2
10
2)1(2)1()( ptpttpttp
PODELA BEZIEROVE KRIVE
PODELA BEZIEROVE KRIVE –DE CASTELJOV ALGORITAM
LOKALNO SVOJSTVO BEZIEROVE KRIVEBezierova kriva ima lokalnu kontrolu oblika krive, tj.
male promene u izabranim tačkama dovode do malih
promena u obliku krive.
DEFORMACIJA POMERANJEM KONTROLNIH TAČAKA
Edit-Control points-Control points on (F10)
1.Obeležiti objekt i pritisnuti Enter.
2.Izabrati kontrolnu tačku i razvući objekt.
3. Isključiti pomoću Control points off (F11)
Recommended