if969 - Árvores AVL

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ÁrvoresAVL

CentrodeInformá-ca

UniversidadeFederaldePernambuco

SistemasdeInformação

ViniciusCardosoGarcia

vcg@cin.ufpe.br

©2011–ViniciusCardosoGarcia

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Introdução

• Pesquisasu-lizandoárvoresbináriasdebuscaaumentamodesempenhoemrelaçãoabuscaemlistasencadeadasouvetores.

• Noentanto,àmedidaemqueaárvorevaisendomodificada(atravésdeinserçõeseremoções),elapodeficardegenerada.

•  Árvoresbalanceadasvisammaximizarodesempenhodebuscasemárvoresbinárias

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2

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Problema

• Exemplo:50,20,39,42,40

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3

50

20

39

42

Aárvorebináriapodedegenerar

paraumaestruturapróximaaumalistaligada,eotempodeacessodeixadeserlogarítmico.

40

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Outropossívelproblema

• Exemplo:50,20,10

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5

50

20

Apósainserçãodoelemento10,aárvorebináriaperdea

propriedadeAVL.SOLUÇÃO:Rotação.

10

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RotaçãoSimplesàDireita

• Inserçãoàesquerdadeárvoredesbalanceadaàesquerda(bal=-1)

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PromoveroelementodomeioatravésdeumgironosenYdohorário.

50

20

10

20

10 50

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RotaçãoSimplesàEsquerda

• Inserçãoàdireitadeárvoredesbalanceadaàdireta(bal=+1)

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7

PromoveroelementodomeioatravésdeumgironosenYdoanY-horário.

50

20

10

10

20

50

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FatordeBalanceamento

• Ofatordebalanceamentodeumnóédadopeloseupesoemrelaçãoasuasubárvore.

•  Umnópodeterumfatorbalanceadode1,0,ou1.

•  Umnócomfatordebalanceamento2ou2éconsideradoumárvorenãoAVLerequerumbalanceamentoporrotaçãoouduplarotação.

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ÁrvoresAVL

• ÁrvoresAVLsãobalanceadas

•  UmaárvoreAVLéumaABPtalqueparacada

nóinternovdeT,asalturasdosfilhosdev

 podemdiferirdeno

máximo1.

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10

88

44

17 78

32 50

48 62

2

4

1

1

2

3

1

1

An example of an AVL tree where theheights are shown next to the nodes:

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ÁrvoresAVL:Exemplos

• UmexemplodeumaárvoreAVLcomaalturadecadanó

44

17 78

32 50 88

6248 0 0

1 0

2

3

1

0

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44

17 78

32 50 88

6248 0 0

0 0

1

1

1

0

Fatordebalanceamento

• GuardaadiferençadealturaentreSAEeSAD

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Exemplo:árvoreeseusfatores

1

0

01

10 10

0 0 0 0 0 0

0 0 0

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Inserções

1

0

01

10 10

0 0 0 0 0 0

0 0 0

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1

0

01

10 10

0 0 0 0 0 0

0 0 0

Possíveisinserções–Árv.Balanceada

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1

0

01

10 10

0 0 0 0 0 0

0 0 0

Possíveisinserções–Árv.Desbal.

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Inserçõesquetornamaárv.desbal.Apenasseonóinseridoforàesquerdadeumnócombalanceamento=1...

1

0

01

10 10

0 0 0 0 0 0

0 0 0

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Inserçõesquetornamaárv.desbal....ouàdireitadeumnócombalanceamento=1.

1

0

01

10 10

0 0 0 0 0 0

0 0 0

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Tratandoinserçõesquetornamaárvoredesbalanceada

• ExistemquatrocasosnosquaisaárvoreAVLtornasedesbalanceada:

 – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvoreeraiguala1:•  Caso1:OnóéinseridonaSAE

•  Caso2:OnóéinseridonaSAD

 – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore

eraiguala1:•  Caso3:OnóéinseridonaSAE

•  Caso4:OnóéinseridonaSAD

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Tratandoinserçõesquetornamaárvoredesbalanceada

• ExistemquatrocasosnosquaisaárvoreAVLtornasedesbalanceada:

 – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvoreeraiguala1:•  Caso1:OnóéinseridonaSAE

•  Caso2:OnóéinseridonaSAD

 – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore

eraiguala1:•  Caso3:OnóéinseridonaSAE

•  Caso4:OnóéinseridonaSAD

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Caso1:Raizcombal=1,nónaSAE

A1

B0

T3

alturan

T2alturan

T1alturan

?

Énecessáriaumarotaçãoàdireitaparabalancearaárvore...

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Caso1:Raizcombal=1,nónaSAE

A

B T3

alturan

T2

alturan

T1alturan

?

A

B

T3

alturanT2

alturan

T1

alturan

?

Rotaçãoàdireita

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Tratandoinserçõesquetornamaárvoredesbalanceada

•  ExistemquatrocasosnosquaisaárvoreAVLtornasedesbalanceada: – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore

eraiguala1:•  Caso1:OnóéinseridonaSAE

•  Caso2:OnóéinseridonaSAD

 – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore

eraiguala1:•  Caso3:OnóéinseridonaSAE

•  Caso4:OnóéinseridonaSAD

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Caso2:Raizcombal=1,nónaSAD

Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1.  Éfeitaumarotaçãoàesquerdana

subárvoreenraizadaemB.2.  Éfeitaumarotaçãoàdireitana

subárvoreenraizadaemA.

A1

B0

T3T2alturan1

T1

alturan

?

C 0

alturan1

T4

alturan

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Caso2:Raizcombal=1,nónaSAD

Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1.  Éfeitaumarotaçãoàesquerdana

subárvoreenraizadaemB.2.  Éfeitaumarotaçãoàdireitana

subárvoreenraizadaemA.

A

BT3

T2

alturan1

T1

alturan

?

C

alturan1

T4

alturan

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Caso2:Raizcombal=1,nónaSAD

Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1.  Éfeitaumarotaçãoàesquerdana

subárvoreenraizadaemB.2.  Éfeitaumarotaçãoàdireitana

subárvoreenraizadaemA.

A

BT3

T2

alturan1

T1

alturan

?

C

alturan1

T4

alturan

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Caso2:Raizcombal=1,nónaSAD

Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1.  Éfeitaumarotaçãoàesquerdana

subárvoreenraizadaemB.2.  Éfeitaumarotaçãoàdireitana

subárvoreenraizadaemA.AB

T3T2

alturan1

T1

alturan

?

C

alturan1T4

alturan

0

0 1

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Tratandoinserçõesquetornamaárvoredesbalanceada

• ExistemquatrocasosnosquaisaárvoreAVLtornasedesbalanceada:

 – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvoreeraiguala1:•  Caso1:OnóéinseridonaSAE

•  Caso2:OnóéinseridonaSAD

 – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore

eraiguala1:•  Caso3:OnóéinseridonaSAE

•  Caso4:OnóéinseridonaSAD

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Caso3:Raizcombal=-1,nónaSAE

Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1.  Éfeitaumarotaçãoàdireitana

subárvoreenraizadaemB.2.  Éfeitaumarotaçãoàesquerdana

subárvoreenraizadaemA.

A 1

B0

T2 T3 alturan1

T4

alturan

?

C0

alturan1

T1

alturan

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Caso3:Raizcombal=-1,nónaSAE

Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1.  Éfeitaumarotaçãoàdireitana

subárvoreenraizadaemB.2.  Éfeitaumarotaçãoàesquerdana

subárvoreenraizadaemA.

A 1

B0

T2 T3 alturan1

T4

alturan

?

C0

alturan1

T1

alturan

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Caso3:Raizcombal=-1,nónaSAE

Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1.  Éfeitaumarotaçãoàdireitana

subárvoreenraizadaemB.2.  Éfeitaumarotaçãoàesquerdana

subárvoreenraizadaemA.

A

BT2

T3

alturan1T4

alturan

?

C

alturan1

T1

alturan

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Caso3:Raizcombal=-1,nónaSAE

Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1.  Éfeitaumarotaçãoàdireitana

subárvoreenraizadaemB.2.  Éfeitaumarotaçãoàesquerdana

subárvoreenraizadaemA.

A

BT2

T3

alturan1

T4

alturan

?

C

alturan1

T1

alturan

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Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1.  Éfeitaumarotaçãoàdireitana

subárvoreenraizadaemB.2.  Éfeitaumarotaçãoàesquerdana

subárvoreenraizadaemA.AB

T3T2

alturan1

T1

alturan

?

C

alturan1T4

alturan

0

0 1

Caso3:Raizcombal=-1,nónaSAE

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Tratandoinserçõesquetornamaárvoredesbalanceada

•  ExistemquatrocasosnosquaisaárvoreAVLtornasedesbalanceada:

 – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvoreeraiguala1:•  Caso1:OnóéinseridonaSAE•  Caso2:OnóéinseridonaSAD

 – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore

eraiguala1:•  Caso3:OnóéinseridonaSAE

•  Caso4:OnóéinseridonaSAD

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Caso4:Raizcombal=-1,nónaSAD

A 1

B 0

T1

alturan

T2alturan

T3alturan

?

Énecessáriaumarotaçãoàesquerdaparabalancearaárvore...

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Caso4:Raizcombal=-1,nónaSAD

A

BT1

alturan

T2

alturan

T3alturan

?

A

B

T1

alturan

T2

alturan

T3

alturan

?

Rotaçãoàesquerda

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Implementação-Operações

•  Avlcriar(intchave);•  Avlinserir(Avla,intchave);•  voidimprimir(Avla);•  voidimprimirOrdemSimetrica(Avla);•  Avlremover(Avla,intchave);•  Avlbuscar(Avlraiz,intchave);•  AvlrotacaoDireita(Avlraiz);•  AvlrotacaoEsquerda(Avlraiz);•  AvlrotacaoEsquerdaDireita(Avlraiz);• 

AvlrotacaoDireitaEsquerda(Avlraiz);•  intfator(Avla);•  Avlbalancear(Avla);•  voidajustarAltura(Avla);

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AYvidadescomplementares

•  Leituradocapítulo12dolivrodoCormen

•  ImplementarosalgoritmosdeÁrvoreAVL

AlgoritmoseEstruturadeDados

Á AVL 39