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ÁrvoresAVL
CentrodeInformá-ca
UniversidadeFederaldePernambuco
SistemasdeInformação
ViniciusCardosoGarcia
©2011–ViniciusCardosoGarcia
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Introdução
• Pesquisasu-lizandoárvoresbináriasdebuscaaumentamodesempenhoemrelaçãoabuscaemlistasencadeadasouvetores.
• Noentanto,àmedidaemqueaárvorevaisendomodificada(atravésdeinserçõeseremoções),elapodeficardegenerada.
• Árvoresbalanceadasvisammaximizarodesempenhodebuscasemárvoresbinárias
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Problema
• Exemplo:50,20,39,42,40
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Aárvorebináriapodedegenerar
paraumaestruturapróximaaumalistaligada,eotempodeacessodeixadeserlogarítmico.
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Outropossívelproblema
• Exemplo:50,20,10
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Apósainserçãodoelemento10,aárvorebináriaperdea
propriedadeAVL.SOLUÇÃO:Rotação.
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RotaçãoSimplesàDireita
• Inserçãoàesquerdadeárvoredesbalanceadaàesquerda(bal=-1)
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PromoveroelementodomeioatravésdeumgironosenYdohorário.
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RotaçãoSimplesàEsquerda
• Inserçãoàdireitadeárvoredesbalanceadaàdireta(bal=+1)
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PromoveroelementodomeioatravésdeumgironosenYdoanY-horário.
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10
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50
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FatordeBalanceamento
• Ofatordebalanceamentodeumnóédadopeloseupesoemrelaçãoasuasubárvore.
• Umnópodeterumfatorbalanceadode1,0,ou1.
• Umnócomfatordebalanceamento2ou2éconsideradoumárvorenãoAVLerequerumbalanceamentoporrotaçãoouduplarotação.
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ÁrvoresAVL
• ÁrvoresAVLsãobalanceadas
• UmaárvoreAVLéumaABPtalqueparacada
nóinternovdeT,asalturasdosfilhosdev
podemdiferirdeno
máximo1.
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32 50
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1
An example of an AVL tree where theheights are shown next to the nodes:
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ÁrvoresAVL:Exemplos
• UmexemplodeumaárvoreAVLcomaalturadecadanó
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32 50 88
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Fatordebalanceamento
• GuardaadiferençadealturaentreSAEeSAD
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Exemplo:árvoreeseusfatores
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Inserções
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Possíveisinserções–Árv.Balanceada
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Possíveisinserções–Árv.Desbal.
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Inserçõesquetornamaárv.desbal.Apenasseonóinseridoforàesquerdadeumnócombalanceamento=1...
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Inserçõesquetornamaárv.desbal....ouàdireitadeumnócombalanceamento=1.
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Tratandoinserçõesquetornamaárvoredesbalanceada
• ExistemquatrocasosnosquaisaárvoreAVLtornasedesbalanceada:
– Quandoobalanceamentodaraizdasubárvoreeraiguala1:• Caso1:OnóéinseridonaSAE
• Caso2:OnóéinseridonaSAD
– Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore
eraiguala1:• Caso3:OnóéinseridonaSAE
• Caso4:OnóéinseridonaSAD
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Tratandoinserçõesquetornamaárvoredesbalanceada
• ExistemquatrocasosnosquaisaárvoreAVLtornasedesbalanceada:
– Quandoobalanceamentodaraizdasubárvoreeraiguala1:• Caso1:OnóéinseridonaSAE
• Caso2:OnóéinseridonaSAD
– Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore
eraiguala1:• Caso3:OnóéinseridonaSAE
• Caso4:OnóéinseridonaSAD
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Caso1:Raizcombal=1,nónaSAE
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alturan
T2alturan
T1alturan
?
Énecessáriaumarotaçãoàdireitaparabalancearaárvore...
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Caso1:Raizcombal=1,nónaSAE
A
B T3
alturan
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T1alturan
?
A
B
T3
alturanT2
alturan
T1
alturan
?
Rotaçãoàdireita
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Tratandoinserçõesquetornamaárvoredesbalanceada
• ExistemquatrocasosnosquaisaárvoreAVLtornasedesbalanceada: – Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore
eraiguala1:• Caso1:OnóéinseridonaSAE
• Caso2:OnóéinseridonaSAD
– Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore
eraiguala1:• Caso3:OnóéinseridonaSAE
• Caso4:OnóéinseridonaSAD
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Caso2:Raizcombal=1,nónaSAD
Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1. Éfeitaumarotaçãoàesquerdana
subárvoreenraizadaemB.2. Éfeitaumarotaçãoàdireitana
subárvoreenraizadaemA.
A1
B0
T3T2alturan1
T1
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Caso2:Raizcombal=1,nónaSAD
Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1. Éfeitaumarotaçãoàesquerdana
subárvoreenraizadaemB.2. Éfeitaumarotaçãoàdireitana
subárvoreenraizadaemA.
A
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T2
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Caso2:Raizcombal=1,nónaSAD
Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1. Éfeitaumarotaçãoàesquerdana
subárvoreenraizadaemB.2. Éfeitaumarotaçãoàdireitana
subárvoreenraizadaemA.
A
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Caso2:Raizcombal=1,nónaSAD
Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1. Éfeitaumarotaçãoàesquerdana
subárvoreenraizadaemB.2. Éfeitaumarotaçãoàdireitana
subárvoreenraizadaemA.AB
T3T2
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Tratandoinserçõesquetornamaárvoredesbalanceada
• ExistemquatrocasosnosquaisaárvoreAVLtornasedesbalanceada:
– Quandoobalanceamentodaraizdasubárvoreeraiguala1:• Caso1:OnóéinseridonaSAE
• Caso2:OnóéinseridonaSAD
– Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore
eraiguala1:• Caso3:OnóéinseridonaSAE
• Caso4:OnóéinseridonaSAD
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Caso3:Raizcombal=-1,nónaSAE
Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1. Éfeitaumarotaçãoàdireitana
subárvoreenraizadaemB.2. Éfeitaumarotaçãoàesquerdana
subárvoreenraizadaemA.
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Caso3:Raizcombal=-1,nónaSAE
Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1. Éfeitaumarotaçãoàdireitana
subárvoreenraizadaemB.2. Éfeitaumarotaçãoàesquerdana
subárvoreenraizadaemA.
A 1
B0
T2 T3 alturan1
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Caso3:Raizcombal=-1,nónaSAE
Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1. Éfeitaumarotaçãoàdireitana
subárvoreenraizadaemB.2. Éfeitaumarotaçãoàesquerdana
subárvoreenraizadaemA.
A
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T3
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Caso3:Raizcombal=-1,nónaSAE
Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1. Éfeitaumarotaçãoàdireitana
subárvoreenraizadaemB.2. Éfeitaumarotaçãoàesquerdana
subárvoreenraizadaemA.
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T4
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Nestecasoénecessáriaumaduplarotação:1. Éfeitaumarotaçãoàdireitana
subárvoreenraizadaemB.2. Éfeitaumarotaçãoàesquerdana
subárvoreenraizadaemA.AB
T3T2
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Caso3:Raizcombal=-1,nónaSAE
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Tratandoinserçõesquetornamaárvoredesbalanceada
• ExistemquatrocasosnosquaisaárvoreAVLtornasedesbalanceada:
– Quandoobalanceamentodaraizdasubárvoreeraiguala1:• Caso1:OnóéinseridonaSAE• Caso2:OnóéinseridonaSAD
– Quandoobalanceamentodaraizdasubárvore
eraiguala1:• Caso3:OnóéinseridonaSAE
• Caso4:OnóéinseridonaSAD
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Caso4:Raizcombal=-1,nónaSAD
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Énecessáriaumarotaçãoàesquerdaparabalancearaárvore...
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Caso4:Raizcombal=-1,nónaSAD
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Rotaçãoàesquerda
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Implementação-Operações
• Avlcriar(intchave);• Avlinserir(Avla,intchave);• voidimprimir(Avla);• voidimprimirOrdemSimetrica(Avla);• Avlremover(Avla,intchave);• Avlbuscar(Avlraiz,intchave);• AvlrotacaoDireita(Avlraiz);• AvlrotacaoEsquerda(Avlraiz);• AvlrotacaoEsquerdaDireita(Avlraiz);•
AvlrotacaoDireitaEsquerda(Avlraiz);• intfator(Avla);• Avlbalancear(Avla);• voidajustarAltura(Avla);
AlgoritmoseEstruturadeDados
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AYvidadescomplementares
• Leituradocapítulo12dolivrodoCormen
• ImplementarosalgoritmosdeÁrvoreAVL
AlgoritmoseEstruturadeDados
Á AVL 39
