HTX Studieretningsprojekt 2014 -...

HTX Studieretningsprojekt 2014

Navn: Pernille Holm Klasse: 3my

Fag 1:

Fysik A Vejleder: Kaspar Kristensen

Fag 2: Teknikfaget Byggeri og Energi Vejleder: Ralph Jensen

Område: Broer og Calatrava.

Opgave: Redegør for de særlige karakteristika, som udtrykker sig i de broer, der er designet af Calatrava. Lav en arkitekturanalyse af Reiman Bridge, Milwaukee. Analyser vha. Newtons love, kræfterne i broen og vurder om der er tale om en hængebro eller en skråstagsbro. Du skal designe et forsøg hvor man kan undersøge kræfterne i en bro efter eget valg. Diskuter materialevalget set i forhold til den enkelte bros konstruktion og arkitektoniske udtryk. Inddrag bilaget i din diskussion. Bilag: http://ing.dk/galleri/30-meter-soelvnaal-skal-baere-odenses-nye-stibro-135048#0

Opgaven forventes at være på max 36000 tegn (med mellemrum, med 1½ linieafstand)

Jeg bekræfter hermed med min underskrift, at opgavebesvarelsen er udarbejdet af mig, og at jeg ikke har gjort brug af andres arbejder, uden at dette er angivet ved kildeangivelse og/eller citationstegn. ________________________ Elevens underskrift

Udleveret: Afleveres senest:

Torsdag den 4. december 2014 kl. 15.00 Fredag den 19. december 2014 kl. 08.00 1 eksemplarer på papir i underskrevet stand samt et elektronisk eksemplar1

1 Den elektroniske udgave skal afleveres på Lectio i en eksamensopgave som oprettes til formålet

!

!

CALATRAVA Statik i skråstagsbroer – SRP 2014 Erhvervsskolerne Aars Pernille Holm

!

Titelblad)*)SRP)

Broer%og%Calatrava%%

Pernille'Holm'!Sider'inkl.'forside,'bilag:!27!sider!

Tegn'med'mellemrum'i'alt:'42.712!tegn!

Tegn'med'mellemrum'afsnit'1:8:!32.603!tegn!

!

!

!

ABSTRACT!

The% following%report%concerns%around%statics% in%different%kinds%of%cable%bridges.% In%

the% report% the%head%architect% is%Santiago%Calatrava%and% the%main%bridge% is%Reiman%

Bridge,%Milwaukee,%from%witch%an%architectural%analysis%will%be%made.%The%problem%

statement% is% to%make%a%static%analysis%of% the%bridge%and%to%show% in%an%experiment%

how%equilibrium%is%reach%when%a%cableCstayed%bridge%is%live%loaded.%From%the%static%

analysis%there%will%be%discussed%whether%the%materials%used%for%the%bridge%tally%with%

the%aesthetic% look.%To%approach% the% results%and% to%answer% the%problem%statement%

there% will% be% used% both% a% comparative% and% inductive% method% depending% on% the%

question.% The% information% is% based% on% knowledge% from% textbooks% and% university%

records.% The% results% have% shown% that% equilibrium% is% reached%when% a% cableCstayed%

bridge%is%live%loaded%by%how%the%bridge%alters%the%normal%force%into%cable%forces%and%

through%the%pylon%to%the%anchor%bloc%and%foundation. %

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 2 af 25!

Indholdsfortegnelse)

1'INTRODUKTION'.....................................................................................................................................................'3!

2'CALATRAVAS'BROER'............................................................................................................................................'4!

3'ARKITEKTURANALYSE'AF'REIMAN'BRIDGE'.................................................................................................'6!

3.1'PROJEKTTYPE'..........................................................................................................................................................'6!

3.2'BYGNINGENS'EKSTERIØR'.........................................................................................................................................'6!

4'STYRKEFORHOLD'I'BROER'................................................................................................................................'9!

4.1'STATIK'.....................................................................................................................................................................'9!

4.2'HÆNGEBRO'............................................................................................................................................................'11!

4.3'SKRÅSTAGSBRO'.....................................................................................................................................................'12!

5'STYRKEFORHOLD'I'REIMAN'BRIDGE,'MILWAUKEE'................................................................................'13!

5.1'LIGEVÆGT'..............................................................................................................................................................'14!

6'FYSIKFORSØG'–'DEN'SKRÅ'PYLON'.................................................................................................................'15!

6.1'MÅLEDATA'.............................................................................................................................................................'15!

7'MATERIALEVALG'TIL'KONSTRUKTIONEN'..................................................................................................'17!

7.1'DÆKKET'.................................................................................................................................................................'17!

7.2'PYLON'....................................................................................................................................................................'17!

7.3'KABLERNE'..............................................................................................................................................................'18!

7.4'OVERORDNET'SAMMENLIGNING'...........................................................................................................................'19!

8'KONKLUSION'.........................................................................................................................................................'20!

CITEREDE'VÆRKER'................................................................................................................................................'20!

ILLUSTRATIONSLISTE'...........................................................................................................................................'22!

BILAG'1'–'FYSIK'FORSØG'......................................................................................................................................'23!

!

!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 3 af 25!

1)Introduktion))

”Quiet'people'have'the'loudest'minds”'(Hawking),!for!når!du!får!et!sanseindtryk!og!tager!dig!tid!

til!at!lukke!af!for!at!analysere!det,!flyver!tankerne!af!sted!og!munden!forbliver!lukket.!FormåJ

let!med!kunst!er!at!sætte!tankerne!i!selvsving!og!at! lade!hver!enkelt! individ!få!sin!egen!forJ

tolkning!af!mesterværket.!Har!du!en!spatial!intelligens!vil!dit!spørgsmål!til!mesterværket!ofte!

være!”hvorfor?”,!mens!den!logiske!og!matematiske!tænker!ofte!vil!tænke!”hvordan?”.!Her!er!

Santiago! Calatrava1!helt! unik.! Han! forstår! nemlig! at! kombinere! arkitektonisk! aspekter!med!

naturvidenskab!og!derigennem!fremstille!helt!unikke!og!komplekse!bygningsværker.!!

Den!spanskfødte!arkitekt!og!ingeniør!fik!sit!globale!gennembrud!med!renovering!

af!Milwaukee!Art!Museum,!der!slog!dørene!op!for! folket! i!2001.! Igennem!sin!bygning!stiller!

han!stor!forundrende!til!de,!der!betragter!bygningsværket.!Ved!at!anvende!fagene!Byggeri!og!

Energi!A!og!Fysik!A!ønsker!jeg!at!finde!svar!på!noget,!der!har!undret!mig!siden!mine!helt!unge!

dage.!Jeg!har!altid!været!fascineret!af!bygninger,!der!ikke!umiddelbart!er!placeret!solidt!på!et!

stærkt!fundament.!Det!”svævende”!sanseindtryk,!som!broer!giver!mig,!er!grund!for!min!store!

fascination!af!broer.!Ikke!nok!med!at!broer!forbinder!to!om!muligt!vidt!forskellige!områder,!er!

broer!også!et!symbol!på!magt.!I!al!kendt!tid,!har!der!været!en!intern!krig!mellem!lande!om!at!

nå!det!største!spændvidde,!og!krigen!fortsætter!blot! i! takt!med!den!større! indsigt! i!naturviJ

denskaben.!!

Ved!at!anvende!en!komparativ!metode2!vil!jeg!i!rapporten!lave!en!analyse!af!bygJ

ningsværket!Milwaukee!Art!Museum!med!særligt!fokus!på!brodelen!Reiman!Bridge.!Til!analyJ

sen!vil! jeg!anvende!sammenligninger!med!andre!af!Calatravas!broer,! for!derigennem!at!unJ

derstrege,!hvordan!han!kommer!til!kende!i!den!pågældende!bro.!På!baggrund!af!arkitekturJ

analysen!vil!jeg!undersøge,!hvordan!kraftforholdene!forholder!sig!i!en!skråstagsbro,!og!hvad!

der!adskiller!denne! fra!en!hængebro.! Jeg!vil!have! særligt! fokus!på!begrebet! ligevægt,!og!vil!

derved!opstille!et!forsøg,!hvor!jeg!induktivt!foretager!nogle!målinger!og!på!baggrund!af!dem!

undersøger,!hvorledes!det!praktiske!stemmer!overens!med!teorien.!Til!at!opsamle!min!viden!

og! sammenfatte! tre! forskellige! teorier,! vil! jeg! anvende! troværdige!kilder! som! lærebøger!og!

universitetsjournaler,!samt!beskrivelser!af!bygningsværket!fra!deres!egen!hjemmeside!og!udJ

talelser!fra!arkitekten!selv!gennem!interviews.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1!(Ali 2014)!2!(D. s. Redaktionen 2014)!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 4 af 25!

2)Calatravas)broer)

”Architecture'depends'on'the'human'members”!(Ali 2014, 3).!Sådan!beskriver!Calatrava!sin!inJ

spiration!til!sine!bygningsværker.!Oversat!betyder!citatet,!at!Calatrava!ser!mennesket!som!det!

største,!arkitektoniske!vidunder!af!alle.!Med!særligt!fokus!på!menneskelige!skeletter!konstruJ

erer!Calatrava!bygninger!til!hele!kloden.!Calatrava!mener!nemlig,!at!naturen!og!livets!opståen!

er!så!fantastisk!i!sig!selv,!at!det!er!derigennem!vi!bør!søge!vores!inspiration!for!at!få!de!mest!

konstruktive!og!solide!konstruktioner.!Denne!form!for!arkitektur!kaldes!i!fagsprog!bionic'ar6

chitecture.! Indenfor! genren! gør! man! brug! af! de! biologiske! opbygninger! for! derigennem! at!!

kunne!konstruere!virkningsJ!og!yndefulde!bygninger!i!én.!!

Netop!tanken!om!at!lave!virkningsfulde!konstruktioner,!der!på!samme!tid!virker!

lette!og!elegante,!er!et!kendetegn!ved!Calatravas!værker.!Han!er!meget!inspireret!af!himlens!

åbenhed!og! lys,! og! forsøger! at! efterkomme!denne! lethed! gennem!sin!brug! af! hvide! stålJ! og!

betonkonstruktioner,!der!trods!deres!størrelse!virker!vægtløse!og!elegante,!netop!på!grund!af!

hans!store!forståelse!for!materialers!styrker!og!sammensætning.! !Calatrava!har!en!stor!inteJ

resse!for!at!vise!sin!tekniske!kunnen.!I!hans!broer!ser!man!ofte!denne!kunnen!ved!de!skrå!pyJ

loner,!der!trods!deres!spinkle!konstruktion!formår!at!bære!en!hel!bro!ved!hjælp!af!wirer.!BroJ

ernes!svæven!virker!ofte!helt!urealistisk.!!!

På!figur!1a,!1b!og!1c!ses!nogle!af!Calatravas!mange!broer.!Gældende!for!alle!tre!

broer!er,!at!de!gør!brug!af! trækkræfter!gennem!wires.!Ved!at!anvende!wires!bliver!broerne!

åbne!at!se!på.!Calatrava!forsøger!altid!at! få!sine!bygningsværker!til!at!matche!ind!i!den!omJ

kringliggende!kultur.!På!Figur'1a'ses!Chords!Bridge!i!Jerusalem.!Broens!formål!er!at!virke!som!

en!del!af!byens!infrastruktur,!men!Calatrava!ser!broen!som!mere!end!det.!For!ham!er!broen!en!

forbindelse!mellem!byens!tre!religioner,!da!netop!ordet!”religion”!er!en!latinsk!betegnelse!for!!

'''' '' '

Figur'1a,'1b'og'1c'–'Dublin,'Jerusalem'

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 5 af 25!

at!”skabe!en!forbindelse”.!!Broen!har!flere!ting!til!fælles!med!Alamillo!Bridge!på!Figur'1b.!FælJ

les!for!de!to!broer!er,!at!de!har!en!skrå!pylon,!der!virker!som!modvægt!til!broens!egenvægt.!

Margaret!Hunt!Hill!Bridge,!Dallas,!på!Figur'1c!!er!noget!anderledes,!da!den!ikke!gør!brug!af!en!

skrå!pylon,!men!i!stedet!en!højbue,!der!krydser!broens!breddeakse.!!

Alle!broer!er!designet!i!hvidt!beton,!og!det!er!særligt!Alamillo!Broen,!der!minder!

om!et!dyr,!Svanen.!Det!er!ved!den!skrå!pylon,!hvorpå!wirerne!symmetrisk!er!fastspændt!på,!at!

Alamillo!Broen!ligner!sin!søster!Reiman!Bridge,!Milwaukee.!Brugen!af!stål,!bliver!ofte!anvendt!

af!neoJekspressionister3,!der!er!en!stilart,!som!fremsprang!i!1950J!og!60’erne.!I!stilarten!viser!

arkitekten!sine!følelser!for!omgivelserne!gennem!bygningsværket!og!organiske!strukturer!er!

ofte!anvendt,!men!under!denne!stilart!ønsker!Calatrava!at!skille!sig!ud.!Om!dette!siger!han:!”I'

try'to'create'bridges'which'have'a'straightforward'appearance.'I'like'to'be'of'the'20th'century,'

using'modern'materials'of'concrete'and'steel,'and'applying'modern'techniques'of'construction.”!

(Heyden 2012).!Det!er!særligt!disse!moderne!teknikker,!som!der!ønskes!undersøgt!i!den!resteJ

rende!rapport!med!særligt!fokus!på!den!skrå!pylon!ved!Reiman!Bridge,!Milwaukee!(se!Figur'

2)!.!!

!Figur'2'–'Reiman'Bridge,'Milwaukee'

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

3!(About.com 2014)!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 6 af 25!

3)Arkitekturanalyse)af)Reiman)Bridge)

3.1)Projekttype))

Reiman!Bridge!blev!en!del!af!Calatravas!store!arkitektoniske!vidunder,!ved!renoveringen!af!

Milwaukee!Art!Museum,! !Wisconsin,! USA,! i! 1994J2001.!Under! renoveringen! blev! den! store!

Quadracci!Pavillion4!tilføjet.!Med!sin!store!glasfacade!virker!denne!som!!strandpromenade!for!

byen,!for!hvilket!formålet!med!hele!renoveringen!drejede!sig!omkring.!Milwaukee!Art!MuseJ

um! fik! sin! placering! ved!havnefronten! i!Milwaukee,! da! foreningen! af! Layton!Art!Gallery! og!

Milwaukee!Art!Institute!fandt!sted!i!1957.!I!løbet!af!1970’erne!modtog!centeret!en!del!donatiJ

oner,!som!bidrog!til!åbningen!af! teater,!undervisningscenter!og!restaurant!på!stedet! i!1975.!

Undertiden!voksede!interessen!for!museet!i!takt!med,!at!det!fik!tilegnet!sig!flere!kunstværker,!

og!derfor!var!størrelsen!af!museet,!da!de!nåede!90’erne,!ikke!længere!tilstrækkeligt.!Det!medJ

førte!at!Santiago!Calatrava!vandt!konkurrencen!som!arkitekt!bag!den!store!renovering!til!en!

sum!af!$125!millioner!dollars! i!1994.!Det!var!vigtigt! for!bygherren!at!skabe!et!element,!der!

virkede! bemærkelsesværdigt! for! byen.! Den! enorme! bygning! på! 32.000! kvadratmeter,! som!

ligger!for!enden!af!Art!Museeum!Drive!med!front!mod!Lake!Michigan,!ændrede!ved!renoveJ

ringen!på!sin!facade!og!virker!i!dag!som!en!lysende!fakkel!for!folkene!på!søen.!Museet!er!forJ

bundet!af!en!71!meter!lang!fodgængerbro,!Reiman!Bridge,!der!krydser!Lincoln!Memorial!DriJ

ve! og! forbinder!midtbyen!med!museets! indgang! (se!Figur'2)! –! den! almindelige! amerikaner!

med!kunstens!verden.!!

3.2)Bygningens)eksteriør))

3.21)Quadracci)Pavillion))

Det!er!ikke!fodgængerbroen,!som!man!først!lægger!mærke!til,!når!man!ser!Milwaukee!Art!MuJ

seum.!Bygningens!særlig!blikfang!er!pavillonens!vinger,!Burke!Brise!Soleil,!der!dagligt!folder!

sig!ud,!når!museet!åbner!klokken!10:00,!og!folder!sig!sammen!igen,!når!museet!lukker!klokJ

ken!17:00.!Vingerne!virker!som!solskærm!for!den!store!glashal,!som!man!indtræder,!når!man!

følger!gangbroen! ind! i!museet.!Når!vingerne!er!udfoldede!har!de!en!vidde!på!66!meter5,!og!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

4!(Nichols, 2004)!5!(MAM, 2014)!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 7 af 25!

bygningen!forestiller!en!kæmpemæssig!måge6,!

der! tager! afsæt! på! havnefronten! på! vej! til! at!

flyve!ud!over!vandet.!For!Calatrava!er!det!ikke!

tilfældigt,!at!det!netop!er!den!store,!hvide!fugl,!

som!bygningen! er! inspireret! af.! Calatrava,! der!

selv!er!vokset!op!i!en!lille,!tæt!by,!har!altid!set!

stor!inspiration!i!fugle,!der!bare!kan!folde!sine!

vinger!ud!og!flyve!væk!–!ud!i!det!fri.!Den!befriJ

else! ønsker! han! også! at! symbolisere! med! sit!

mesterværk,! ligesom!det! for!ham!er!vigtigt! at! tilpasse! sin! arkitektur! til! kulturen.!Vingernes!

opadgående! retning! er!nemlig!også! et! symbol!på!den!amerikanske!optimisme!og! frihed.!På!

Figur'3'ses!den!samlede!bygning!med!solskærmen!ude.!Her!er!det!tydeligt!at!se!den!hvide!fugl,!

som!er!ved!at!lette!ud!over!vandet.!!

3.22)Reiman)Bridge)

På! Figur' 3! ! kan! man! bag! ”fuglen”! antyde! en!

lang,! hvid! pil,! der! peger! i! samme! retning! som!

fuglens! rygsøjle.! Dette! er! pylonen,! der! bærer!

fodgængerbroen,!Reiman!Bridge.!Broen!hæfter!

sammen!med!museet!ved!foden!af!pylonen!i!en!

boomerangJformet!stolpe.!Fra!pylonens!højreJside!udgår!9!kabler,!der!er!hæftet!fast!på!broJ

ens!midte,!og!derved!løfter!den!ellers!bagud!hældt!pylon,!der!hælder!i!en!vinkel!på!48,36!graJ

der! fra!vandret! ind!mod!museet.!For!at! stabilisere!pylonen!er!der!yderligere!18!kabler,!der!

løber!ned!og!hæfter! i!bommen!mellem!pylon!og!museum.!Ved!at!have!en!enkelt!pylon!i!den!

ene!ende!af!broen!fremstår!broen!asymmetrisk,!når!man!kigger!på!langs!af!den,!men!ser!man!i!

stedet!bygningsværket!bagfra,! fra!byens!centrum!af,! får!man!et!syn!som!på!Figur'4.'Her'kan!

man!tydeligt!se!symmetrien!langs!vingernes!rygsøjle!og!pylonen,!der!samtidig!giver!en!illusiJ

on!af!et!kors.!Undersøgelser!viser!nemlig,!at!omkring!90!procent7!af!alle!amerikanere!tror!på!

Gud,!dermed!kan!bygningsværket!også!være!et!religiøst!symbol.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

6!(Rosenfield, 2013)!7!(Redaktionen, 2009)!

Figur'3'–'Milwaukee'Art'Museum'at'night'

Figur'4'–'Milwaukee'Art'Museum'symmetri)

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 8 af 25!

Kigger!man!nærmere!på!broen,!er!der!nogle!typiske!kendetegn,!der!karakteriseJ

rer!Calatrava!som!arkitekt.!Først!og!fremmest!er!broen!–!ligesom!Calatravas!andre!værker!–!

udført!i!hvidt!beton!og!stål.!Broen!er!en!skråstagsbro,!ligesom!mange!af!Calatravas!andre!broJ

er.!For!en!skråstagsbro!er!det!gældende,!at!de!wirers,!der!er!med!til!at!bære!broens!egenvægt,!

er!hæftet!fast!på!pylonen.!På!Figur'5!ses!broens!detaljer!let.!Her!ses!hvordan!wirerne!er!hæftet!

fast!på!broens!midte!længeakslen!af!store,!hvide!beton!cylindere.!Derfra! løber!kablerne!op!i!

den!60Jmeter!lange!stålpylon.!Kablerne!er!forbundet!ud!fra!harpeJformen,!hvor!kablerne!hæfJ

ter!sig!på!langs!af!pylonens!ryg!i!stedet!for!over!dens!top.!Det!er!særligt!med!fokus!på!kablerJ

ne,!at!denne!bro!er!speciel!sammenlignet!med!andre!CalatravaJbroer.!!!

Normalvis!gør!Calatrava!brug!af!pylonen!som!en!modvægt!for!broens!egenvægt,!

for!at!sætte!systemet!!i!balance,!men!ved!denne!bro!er!pylonens!funktion!dels!at!medvirke!til!

at!flytte!kræfterne!fra!broen!ned!i!fundamentet!og!dels!at!virke!så!let!og!elegant!som!muligt!

for! ikke!at!stjæle!synet! fra!the!Burke!Brise!Soleil.! !Derfor!er!pylonen!i!sig!selv! ikke!designet!

bred!og!tung!nok!til!at!kunne!modsvare!broens!egenvægt,!hvilket!betyder,!at!det!nødvendigt!

at! have! kabler! på! den! modsatte! side! af! pylonen,! som! derved! kan! trække! broen! ned! mod!

bommen!og!skabe!balance.!Hele!funktionen!omkring!kablernes!trækevne,!og!hvorledes!kræfJ

terne!løber!i!den!konkrete!bro,!er!komplekst!at!forstå,!men!funktionen!er!tydelig.!Æstetisk!er!

broen!let!og!elegant!af!udtryk.!Den!stjæler!ikke!synet!fra!glaspavillonen!men!er!samtidig!med!

til! at! give! ”wauwJeffekten”! takket! være! Calatravas! måde! at! eksperimentere! med! fysikken!

igennem!sin!innovative!tankegang.!!

!Figur'5'–'Reiman'Bridge,'Milwaukee''

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 9 af 25!

4)Styrkeforhold)i)broer)

For!at!forstå,!hvorledes!pylonen!på!Reiman!Bridge!virker,!er!det!vigtigt!at!have!kendskab!til!

styrkeforholdene!i!broer!generelt.!!

4.1)Statik)

Begrebet! statik! betyder! egentlig! ”læren' som' legemer' i' ligevægt” (Madsen 2010, 7).! ! Som! beJ

kendt!påvirker! tyngdekraften! forskellige! legemer! forskelligt.!Det! skyldes,! at!definitionen!på!

en! tyngdekraft! er! F=m*g,! hvor! tyngdeaccelerationen,! g,! er! en! konstant,! der! varierer,! alt! afJ

hængig!af,!hvor!du!befinder!dig!på!kloden.! I!Danmark!har!denne!en!værdi!på!9,82!m/s2!.!Et!

legeme!kan!påvirke!et!andet!legeme,!når!det!tyngder!ned!på!det.!Her!er!der!tale!om,!at!det!udJ

fører!et!moment!på!den!anden!genstand.!Moment!er!defineret!som!produktet!af!det!påførte!

kraft!på!legeme!og!den!vinkelrette!afstand!til!omdrejningspunktet,!M=F*a.!Når!et!legeme!påJ

virker!et!andet!legeme!med!en!kraft,!vil!det!andet!legeme!påvirke!det!første!legeme!med!lige!

stor,!modsatrettet!kraft.!Dette!er!Newtons!3.!lov!om!aktion!og!reaktion.!Dette!er!vigtigt!at!beJ

mærke!i!forhold!til!broer,!da!både!broen!og!lasten!påvirker!hinanden,!hvilket!vil!bliver!forklaJ

ret!yderligere!senere.!!

! En!anden!vigtigt!pointe!i!forhold!til!broer!er!reglen!om!ligevægt.!Ligevægt!opstår!

når!summen!af!kræfter!der!påvirker!en!genstand!er!nul.!For!faste!konstruktioner!er!det!vigtigt!

at!være!i!ligevægt!hele!tiden.!Om!dette!lyder!Newtons!1.!Lov!”En'genstand,'der'ikke'er'påvirket'

af'en'resulterende'kraft,'vil,'hvis'den'ligger'stille'blive'ved'med'at'ligge'stille,'og'hvis'den'bevæger'

sig'med'en'given'hastighed,'vil'den'fortsætte'med'denne'hastighed” (Holck 2009, 285).!Derfor!er!

det!vigtigt!at!vide,!præcis!hvilke!kræfter!der!virker!på!en!bro,!så!broen!kan!blive!proportioneJ

ret!til!at!modvirke!denne!kraftpåvirkning.!Måden,!hvorpå!broer!flytter!deres!kraftpåvirkning!

fra! lasten,! er! forskellig! fra!brotype! til!brotype.! Som!allerede!nævnt!anvender!Calatrava!ofte!

kabler!i!sine!konstruktioner.!Der!findes!grundlæggende!to!typer!af!broer,!der!anvender!kabler!

–!hængebroer!og!skråstagsbroer.!Fælles!for!dem!er,!at!lastens!kraftpåvirkning!bliver!ført!genJ

nem!kabler!over!i!pylonen!og!ned!i!fundamentet.!Mens!andre!typer!af!broer!ofte!er!understøtJ

tede,!er!disse!broer!mere!lette!og!elegante!af!udtryk.!Det!betyder!også,!at!kablers!egenskaber!

er!grundlæggende!for!hængeJ!og!skråstagsbroernes!stabilitet.!!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 10 af 25!

4.11)Hookes)lov)

Kabler! bliver! i! hængeJ! og! skråstagsbroer!

udsat! for! store! trækkræfter,! derfor! er! det!

også!vigtigt,!at!kablerne!er!stærke!nok.!DerJ

til! anvendes! Hookes! lov,! som! siger! at!

spændingen! er! lig! produktet! af! elasticiJ

tetsmodulet! og! enhedsforlængelsen,!

! = ! ∗ !.! Trækket! er! det!man! kalder! norJmalspændingen! sigma,!! = !

! ,! mens! enJ

hedsforlængelsen!epsilon,!! = ∆!! .! !Begrebet! trækstyrke/elasticitetsmodul

8!(af! engelsk! tensile'

strength9),!E,!angiver!hvor!stor!en!spænding!et!materiale!kan!tåle!pr!udvidelse!uden!at!knækJ

ke!! = !! .!!Dette!er!en!koefficient!der!varierer!fra!materiale!til!materiale.!For!alle!typer!af!stål!

gælder!det!at!! = 0,21 ∗ 10!!"#.!På!Figur'6'ses!en!belastningskurve,!der!viser!tre!forskellige!steps.!Mellem!nul!og!1!er!elasticitets!området,!der!viser!hvor!meget!et!materiale!kan!udvide!

sig,!så!det!kan!vende!tilbage!til!samme!form!igen!efter!udvidelsen,!yield'strength.!Fasen!melJ

lem!1!og!2,!plasticitetsJfasen,!viser!hvor!meget!materialet!kan!udvide!sig,!uden!at!vende!tilbaJ

ge!til!samme!form!igen,!inden!det!knækker!i!punktet!2,!ultimate'strength.!!

For! broer,! der! gør! brug! af! kabler,! er! det! derfor! vigtigt! at! kende! til! denne!yield'

strength,! da!man!altid!ønsker,! at!broen!skal!vende! tilbage! til! samme!udgangspunkt! som! før!

belastningen.!Da!normalspændingen!er!angivet!i!forhold!til!tværsnitsareal,!er!det!altså!vigtigt!

at!kende!broens!max!last!og!egenvægt!–!dermed!tyngdekraften!på!broen,!for!at!man!kan!anJ

vende!præcis!den!minimale!mængde!af!stål!i!kablerne,!uden!at!kablerne!lader!sig!deformere.!

Hvor!meget!et!pågældende!kabel!skal!bære,!afhænger!er!broens!konstruktion!og!type,!derfor!

skal!styrkeforholdene!i!hængeJ!og!skråstagsbroer!undersøges.!!

!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

8!(Madsen, 2010, s. 219-220)!9(Denny, 2010, s. 20-22)!

Figur'6'–'Stress,'strain'curve,'belastningskurve''

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 11 af 25!

4.2)Hængebro)

Grundlæggende!består!en!hængebro!af!to!

eller!flere!pyloner,!hvorover!et!hovedkaJ

bel10!er!trukket!og!hæftet!fast!i!to!ankerJ

blokke.! Fra! hovedkablerne! løber! nogle!

lodrette!kabler!ned!i!dækket!af!broen.!!På!

Figur'7'ses!de!grundlæggende!principper!

i!en!hængebro.!!De!høje!master!i!midten!af!

billedet!er!de!såkaldte!pyloner,!og!de!store!klodser! i!hver!side!af!billedet!er!ankerblokkene.!

Tyngdekraften!virker!på!broens!egenvægt!og!trækker!broen!nedad.!Da!vi!har!lært,!at!summen!

af!kræfter!på!en!genstand!skal!være!nul,!når!genstanden!er!i!hvile,!må!der!således!virke!nogle!

kræfter! i!modsat! retning!end! tyngdekraften.!Disse!kræfter! løber! igennem!kablerne!op! i!hoJ

vedkablet,! som! fører! kraftpåvirkningen! dels! over! i! pylonerne! og! gennem!dem!ned! i! fundaJ

mentet!og!dels!langs!hovedkablet!ud!til!ankerblokkene.!Her!gøres!brug!af!trækkræfter(blå)!i!

wirerne!og! trykkræfter(rød)! i! pylonerne.!Overordnet! set! er!det! let! af! regne!på,! hvor!meget!

hver!enkelt!af!de!lodrette!kabler!skal!bære,!da!de!bærer!en!lige!stor!del!af!broen!hver.!Det!har!

mange!fordele,!blandt!andet!når!det!kommer!til!dynamisk!last11!af!en!sådan!bro,!hvilket!man!

ser!når!et!tungt!køretøj!passerer!broen.!Her!har!hængebroen!den!fleksibilitet,!at!hver!sektion!

tilpasser!sig!den!dynamiske!last,!og!gennem!hovedkablet!udligner!ballasten!sig!over!hele!broJ

en!pga.! kablernes! elasticitetsmodul.!Det!kan!dog!have! fatale! følger,! at! broen!er! så! fleksibel.!

Blandt!andet!kan!broen!pga.!vind!eller!last!sætter!sig!i!egenJsvingninger,!som!i!sidste!ende!kan!

betyde!kollaps.!!

! I!områder,!hvor!jordforholdene!er!dårlige!omkring!broens!endepunkter,!kan!det!

også!være!problematisk,!at!broen!må!støtte! i!begge!ender,! ligesom!at!ankerblokkene!mange!

steder!kan!være!svære!at!få!tilpasset!til!området.!I!sådanne!tilfælde!vælger!man!ofte!at!etableJ

re! en! skråstagsbro! i! stedet.! Dog! er! hængebroen! stadig! den! type! bro,! der! har! den! største!

spændvidde.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

10!(Mostech, 2012)!11!(Denny, 2010, s. 166-174)!

Figur'7'–'Suspension'bridge'='hængebro'

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 12 af 25!

4.3)Skråstagsbro)

Skråstagsbroer12!virker!ved!at!have!balance!omkring!

en!pylon.!Her!er!det!kun!nødvendigt!med!en!enkelt!

pylon,! da! kablerne! er! monteret! direkte! på! denne.!

Ved! en! skråstagsbro! er! der! som! sagt! ingen! ankerJ

blokke,!det!skyldes!at!broens!egenvægt!udelukkende!

bliver! ført! gennem!pylonen!ned! i! fundamentet.!Det!

bevirker! også,! at! broen! ikke! behøver! et! voldsomt!

landfæste,!da!der! ikke!er!nogen!eller!en!megen!lille!

horisontal! kraftpåvirkning.! Her! findes! således! kun!

trækkræfter! i! kablerne! og! trykkræfter! i! pylonen.!

Trækkræfterne!kan!deles!op!i!komposanter,!således!

at! den! lodrette! komposant! står! for! løftekræften! af!

broen(normalkraften!på! lasten),!mens!den!vandretJ

te!komposant!står! for!trykstyrken!på!kablet.!Her!er!

det! tydeligt! at! se,! at! løftekraften! bliver! størst,! når!

kablets!vinkel!med!vandret!er!størst.!Det!vil!dog!ogJ

så!kræve!en!højere!pylon.!!

I!og!med,!at!der! ikke!er!noget!hovedkabel,!bliver!skråstagsbroerne!meget!stive,!

og!det!er!svært!at!foretage!en!statisk!bestemmelse!af,!da!kablerne!ikke!står!for!vægten!af!en!

konkret!sektion!af!broen.!Når!broen!er!i!funktion,!kan!kablernes!trækstyrke!godt!svækkes!af!

vejrets!virkning.!Blandt!andet!kan!varmen!få!wirerne!til!at!udvide!sig.!Derfor!er!det!ikke!samJ

me!typer!af!kabler,!som!man!anvender!til!skråstagsbroer!og!hængebroer,!hvor!små!ændringer!

godt!kan!indfinde!sig!i!konstruktionen!gennem!tid!pga.!hovedkablet.!Til!mange!skråstagsbroer!

anvendes!kabler!af!typen!locked'coil'cables13.!Princippet!er,!at!man!har!en!kerne!af!runde!wiJ

res,! der! snor! på! sin! længdeakse! om! hinanden.! Rundt! om! kernen! er! der!mindst! to! lag! ”z”J

formede! kabler,! som! hæfter! godt! sammen! og! derved! får! en! pæn! overflade,! som! vand! ikke!

trækker! ind! i.! !Der! findes!mange!udgaver! af! skråstagsbroer.!Det! afhænger!både!af,! hvor!på!

pylonen!kablerne!hæfter,!og!hvilken!hældning!pylonen!har.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

12!(Denny, 2010, s. 163-166)!13!(Wood P.E. 2001)!

Figur'8'–'Cable:stayed'bridge='skråstagsbro'

Figur'9'–'Trækkræfter'og'komposanter'

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 13 af 25!

5)Styrkeforhold)i)Reiman)Bridge,)Milwaukee)

Netop!den!skråt!hældende!pylon!gør!Calatrava!brug!af!på!sin! fodgængerbro!Reiman!Bridge,!

Milwaukee.!Det!er!både!pga.!det!arkitektoniske!udtryk,!hvor!pylonen!løber!parallelt!med!”måJ

gens”!rygsøjle,!men!også!for!at!få!broen!til!at!virke!så!let,!

elegant! og! svævende! som!mulig.! På!Figur'10'ses! en! illuJ

stration!af!konstruktionen!med!museet!til!venstre!og!broJ

en! til! højre.! ! Her! ses! tydeligt,! hvor! tynd! pylonen! er,! det!

skyldes!blandt!andet,!at!den!ikke!virker!som!kontravægt!i!

sig!selv.! !Derfor!er!der!også!kabler!på!venstre!side!af!pyJ

lonen,!som!fører!broens!vægt!ned! i!ankerblokken.!Broen!

udfører! kun! en! ganske! lille! trykkraft! på! sit! landfæste! i!

højre! side,! så! for! at! forenkle! regneeksemplerne! sættes!

denne! til! nul,! og! der! regnes! udelukkende! med! broens!

moment! om! omdrejningspunktet! ved! pylonens! fod.! Til!

beregningerne!anvendes!tal!fra!Case'Study:'Milwaukee'Art'

Museum!(Nichols 2004)!(se!Facts!om!Reiman!Bridge).!!

Tyngdekraften!på!broen!(forudsat!at!tyngdeaccelerationen!er!som!i!DK):!!

!!"# = !!"# ∗ ! = 158,75!"# ∗ 9,82!!! = 1,557 ∗ 10!!!!

Tyngdekraften!på!broen!angriber!i!massemidtpunktet.!Moment!på!broen!er!da:!!

!!"# = !!"# ∗ ! = 1,557 ∗ 10!! ∗ 35,5! = 0,5525 ∗ 10!!"

!Figur'10–'Reiman'Bridge'–'sketch''

Facts'om'Reiman'Bridge'Bro:!!

Bredde:!16!feet!≈!4,88!m!

Længe:!231!feet!≈!71!m!!

Vægt:!350.000!pound!≈!158,75!ton!!

Mast:!!

Længde:!192!feet!≈!58,5!m!!

Hældning:!48°!!

Kabler:!!

Frontkabler:!9!stk!!

Bagkabler:!18!stk!

Længde!samlet:!3.500!feet!≈!1,07!km!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 14 af 25!

5.1)Ligevægt)

Tyngdekraften!påvirker!broen!i!negativ!omløbsretning!i!forhold!til!omdrejningspunktet,!hvilJ

ket!vil!medfører,!at!broens!egenvægt!vil!trække!pylonen!højre!om!omdrejningspunktet!og!ned!

mod!jorden!(igen!forudsat!at!broens!højre!side!hænger!frit!uden!understøtning).!Dermed!må!

det!moment,!som!tyngdekraften!udfører!på!den!samlede!konstruktion!skulle!udlignes!af!kræfJ

terne! i!positiv!opløbsretning,!da!vi! jo!ved,!at! summen!af!momenterne!skal!være!nul,!når!en!

konstruktion!er!i!ligevægt.!I!og!med!at!pylonens!egenvægt!er!ganske!lav,!kan!tyngdekraften!på!

denne!ikke!udligne!momentet!på!broen!som!en!kontravægt.!Derved!skal!der!andre!former!for!

kræfter!til,!som!kan!trække!hele!systemet!i!positiv!omløbsretning.!På!Figur'10'ses!disse!kræfJ

ter!som!eksempel!i!den!røde!pil,!der!løber!mod!ankerblokken.!Den!tunge!ankerblok!trækker!i!

wirerne,!der! igen!trækker! i!pylonen!og!derved!stabiliserer!broen.!Gennem!pylonen!løber!en!

mindre! kraft! ned! i! boomerangen! og! videre! ned! i! fundamentet,!men! primært! bliver! broens!

vægt!ført!gennem!wirerne!og!ned!i!ankerblokken.!!

! Det!kan!være!interessant!at!kigge!på,!hvor!stor!en!kraft!kablerne!yder!i!forhold!til!

hinanden,! således! at! broen! ikke! bliver! væsentlig! overproportioneret,! da! kablernes! spændJ

stighed!er! fundamental! for!skråstagsbroer.!Som!vi! så!under!emnet!skråstagsbroer,!har!kabJ

lerne!den!største!løftekraft,!når!hældningen!mellem!kabel!og!vandret!er!størst!mulig,!men!på!

illustrationen!af!Calatravas!Reiman!Bridge!(se!Figur'10)!kan!man!tydeligt!se,!at!kablerne!danJ

ner!en!meget! spids!vinkel!med!broen.!Dette!har!en! fordel;!pylonen!kan!hælde!det!mere,!og!

dermed!skal!der! ikke!så!mange!kablerne!på!pylonens!spidse!side!til!at!udligne!det!moment,!

der!trækker!pylonen!i!negativ!omløbsretning.!Man!kan!blandt!andet!se,!at!det!yderste!kabel!

nærmest!vender!lodret!ned!mod!ankerblokken.!Hvis!man!opdelte!denne!kraft!i!komposanter,!

vil!den!derfor!næsten!udelukkende!bestå!af!trækkræfter,!hvilket!er!praktisk.!!

! I!regneeksemplet!er!der!udelukkende!regnet!med!broens!egenvægt,!men!denne!

bliver!trods!alt!også!påvirket!af!en!last,!når!folk!passerer!broen.!Derfor!kan!det!være!interesJ

sant!at!kigge!på,!hvordan!de!pågældende!kabler!agerer,!når!der!er!en!ekstra!last!omkring!kabJ

lets!forankring!på!brodækket.!Hvordan!bibeholder!broen!sin!ligevægt,!når!der!bliver!påført!et!

arbejde!på!broen?!Teoretisk!er!det!svært!at!bestemme,!hvor!megen!kraft!hvert!enkelt!kabel!på!

Reiman!Bridge!skal!bære,!når!det!bliver!lastet,!da!skråstagsbroer!som!sagt!er!svære!at!foretaJ

ge!statiske!bestemmelser!af!og!i!praksis!sker!dette!også!via!computeranimationer,!men!man!

kan!dog!kigge!på,!hvordan!en! last! i! en!hvis!afstand! til! omdrejningspunktet!påvirker!broens!

kabler.!!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 15 af 25!

6)Fysikforsøg)–)Den)skrå)pylon)))

For!at!undersøge,!hvordan!broen!agerer!ved! last,! således!at!den!stadig!er! i! ligevægt,! er!der!

opstillet!et!fysisk!forsøg.!Forsøgsbeskrivelse,!opstilling,!måledata!og!fejlkilder!er!vedlagt!i!Bi6

lag'1.!I!forsøget!er!der!bygget!en!bro!med!skrå!pylon!og!wires!på!begge!sider!af!pylonen.!I!wiJ

rerne!er!der!bundet!en!kraftmåler,!der!måler,!hvor!meget!hver!snor!bliver!påvirket,!når!broen!

bliver!belastet!af!et!lod.!På!Figur'11!ses!en!illustration!af!opstillingen!med!mål.!2,!3!og!4!angiJ

ver!hvor!kraftmålerne!sidder,!henholdsvis!F2,!F3!og!F4.!Broen!er!opbygget,!så!der!er!to!kabler!

fra!hvert!punkt.!Det!skyldes,!at!broen!har!en!bredde!på!10!cm,!og!at!snorene!kun!kan!hæftes!

på!broens!yderste!punkt,!men!broen!skal!stadig!være!i!balance!i!forhold!til!”ankerblokken”,!så!

broen!ikke!tilter.!!

!Figur'11'–'Illustration'af'forsøgsopstilling'med'mål'og'vinkler.''

6.1)Måledata)

) ) ) ) ) F=m*g) M=F*r) Sum)af))

Masse)

(kg))

Radius%

(m)%

F2%

(N)%

F3%

(N)%

F4%

(N)%

Flod%

(N)%

Mlod%

(Nm)%

Enkeltkræfternes%

moment%%

0,1042) 0,51% 0,04% 0,66% 0,42% 1,023% 0,522% 0,526%

0,1354) 0,51% 0,05% 0,85% 0,58% 1,330% 0,678% 0,697%

0,2234) 0,51% 0,08% 1,25% 0,9% 2,194% 1,119% 1,048%

0,1042) 0,255% 0,04% 0,21% 0,28% 1,023% 0,261% 0,240%

0,1354) 0,255% 0,05% 0,26% 0,5% 1,330% 0,339% 0,374%

0,2234) 0,255% 0,08% 0,35% 0,75% 2,194% 0,559% 0,541%

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 16 af 25!

6.11)Behandling)af)måledata)og)analyse))

Når!broen!ikke!er!belastet!er!den!i!ligevægt,!da!snorene!på!bagsiden!af!pylonen!trækker!i!broJ

en!med!lige!så!stor!kraft,!som!tyngdekraften!påvirker!broen!med.!Når!broen!får!tilført!en!last!i!

afstanden!51!cm!fra!omdrejningspunktet,!vil!denne!også!blive!påvirket!af!tyngdekraften.!Det!

medfører,!at!lasten!udfører!et!moment!på!broen.!!

!!"# = !!"# ∗ !!Dette!moment!virker! i!negativ!omløbsretning,!altJ

så!med! uret,! men! da! systemet! stadig! skal! være! i!

ligevægt,! må! der! virke! en! kraft! i! positiv! omløbsJ

retning.! Det! gør! der! ved,! at! broen! virker!med! en!

normalkraft! på! loddet.! Denne! findes! vha.! TrigoJ

nometri!se!Figur'12.''

!! = !3 ∗ sin!(!)'For!F3!og!F4!kan!nu!bestemmes!to!normalkræfter.!

Summen!af!disses!moment!om!omdrejningspunktet!er!svarende!til!loddets!moment!på!systeJ

met.!!

F3!hæfter!ved!51!cm!i!vinklen!α=19,34°,!mens!F4!hæfter!ved!25,5!cm!i!vinklen!a=20,2°.!KræfJ

ternes!samlede!moment!om!omdrejningspunktet!er!da!(OBS!to!af!hver!slags!snor,!F3!og!F4).!!

!

! = 2 ∗ !3 ∗ sin ! ∗ 0,51! + 2 ∗ !4 ∗ sin ! ∗ 0,255!!

!

Derved!kan!man!udregne!de!samlede!momenter!i!alle!seks!forsøg!og!se,!at!det!ligger!tæt!op!af!

det!beregnede!moment!af!loddet.!!!

Yder!mere!viser!forsøget!også,!at!kablerne!på!venstre!side!af!kablet!ikke!trækker!

med!særlig!stor!kraft.!Det!skyldes!både,!at!snoren,!hvorpå!måleren!er!sat,!er!næsten!vandret!

(meget!lille!lodret!komposant!=!løft),!men!også!at!der!føres!en!del!af!kraften!ned!igennem!pyJ

lonen!ned!i!foden/hjulet.!!

På!baggrund!af!forsøget,!er!det!eftervist!at!princippet!med!en!enkelt,!skrå!pylon,!

der!bærer!en!hel!bro!gennem!kabler,!er!en!skråstagsbro,!hvilket!Reiman!Bridge!også!må!være.!

Her!er!det!desuden!vist,!hvorledes!en!sådan!bro!bibeholder!ligevægt,!ved!at!lade!kablerne!reJ

agere!på!tyngden!af!lasten!og!omdanner!normalkraften!til!snorkræfter.!!

Figur'12'–'Snorkraft,'normalkraft'og'komposant'

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 17 af 25!

7)Materialevalg)til)konstruktionen)

7.1)Dækket)

På! baggrund! af! den! statiske! forståelse! af! Reiman!Bridge! og! fysikforsøget,! der! har! eftervist,!

hvordan!kablerne!bliver!påvirket!af!en!kraft,!når!broen!bliver!lastet,!er!det!relevant!at!tage!et!

nærmere!kig!på!materialevalget!i!Reiman!Bridge.!!Som!sagt!består!broen!primært!af!hvidt!stål!

og!beton.!Selve!dækket!er!opbygget!som!en!femJsidet!stålcelle!af!typen!stressed'skin'construc6

tion14,'som!ofte!anvendes!i!flyvemaskiner.!I!typen!er!der!ingen!indre!bjælkedragere.!KonstrukJ

tionen!er!i!sig!selv!rørformet,!hvilket!gør,!at!kun!svagt!bliver!påvirket!af!belastninger!fra!vind,!

last!og!egenvægt.!Fordelene!ved!at!anvende!stålceller!til!det!armerede!beton,!er!at!man!opnår!

en!større!trækstyrke,!da!beton!i!sig!selv!jo!kun!virker!på!trykstyrke,!samtidig!med!at!man!forJ

hindrer!vinden!i!at!komme!ind!i!konstruktionen.!På!samme!måde!ønsker!man!med!Odenses!

nye!stibro15,!som!træder!i!brug!næste!år!(2015),!at!udføre!broens!dæk!i!stål.!Med!stål!kommer!

broen!til!at!virke!let!og!elegant,!og!samtidig!matcher!broen!ind!i!miljøet,!hvor!broen!skal!funJ

gere!som!en!forbindelse!mellem!byens!sydside!og!havnen!i!nord,!hen!over!et!stort!togbaneJ

område.!Der!står!ikke!angivet,!om!der!er!tale!om!rustfrit!stål!på!selve!brodækket,!hvilket!vil!

være!anbefalelsesværdigt!taget!i!betragtning!af!det!våde,!danske!vejr.!!

7.2)Pylon)

Dog!får!man!af!vide,!at!det,!der!skal!bære!den!sydlige!del!af!Odense!nye!stibro,!bliver!en!30!

meter!høj!rustfrit!stål!pylon,!der!er!formet!som!en!nål.!I!ordet!nål,!ligger!der!er!diameteren!på!

den!cirkulærer!jernstolpe!varierer!gennem!højderne.!Dette!er!også!tilfældet!på!den!skrå!pylon!

ved!Reiman!Bridge.!Denne!starter!med!en!diameter!på!55!cm,!og!har!på!sit!bredeste!punkt!ved!

det!midterste!kabel!(kabel!nr.!5!se!Figur'10)!en!bredde!på!99!cm.!Pylonen!spidser!ind!og!har!i!

toppen!kun!en!diameter!på!30!cm.!Det!arkitektoniske!omkring!disse!pyloner,!der!spidser!ind,!

ligger!primært!i,!at!pylonen!på!denne!måde!kommer!til!at!virke!som!et!pejlemærke,!der!viser!

vej.!Dette!er!både!formålet!i!Odense!og!Milwaukee,!hvor!pylonen!skal!vise!vejen!til!henholdsJ

vis!togJpavillonen!og!museet.!På!kunstmuseet!viser!pylonen!også!vej!for!mågen,!og!dermed!er!

pylonen!i!sig!selv!også!et!symbol!på!den!amerikanske!frihed.!Man!kan!diskutere,!hvor!fornufJ

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

14!(Nichols, 2004)!15!(Andersen, 2012)!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 18 af 25!

tigt!en!stor,!reflekterende!ståldrager!er!!i!en!trafikkeret!by!om!sommeren,!når!solen!kan!ramJ

me!ind!på!stolpen!og!udsende!lyskegler,!der!kan!blænde!bilisterne.!!

7.3)Kablerne)

Også!broen!i!Odense!gør!brug!af!kabler.!Her!

er!der!dog!kun!et!kabel,!der!er!hæftet!direkJ

te!på!broen,!da!broen! i!sit!materialevalg!af!

dækket! er! let.! Pylonen! er! er! lodret! og! forJ

bundet! til! forpladsen! gennem! to! kabler.!

Modsat!har!Reiman!Bridge!i!alt!27!kabler.!I!

forhold! til! fysikforsøget! så! vi,! at! kablerne!

ikke!skal!bære!lige!meget,!afhængig!af!hvor!

på!broen,!de!er!placeret!og!i!hvilken!vinkel.!

På! Figur' 13! ses! Odenses! stibro.! Her! kan!

man!se,!at!kablet,!der!er!hæftet!fast!på!broJ

en,!har!en!meget!stor!vinkel,!og!den!består!–!

som!vi! så!med! fysikforsøget!–!derfor!er!en!

meget!stor!trækkræft!i!det!enkelte!kabel.!Dette!er!grund!til,!at!broen!kan!nøjes!med!et!enkelt!

kabel!hæftet!på!broen,!mens!Reiman!Bridge!har!9!kabler!på!langs!af!broen.!!

Om!Reiman!Bridge!blev!det!tidligere!antaget,!at!broen!var!uden!understøtning!i!

sin!vestlige! side,!modsat!pylonen,!men! i!praksis! er!der!en! lille!understøtning.!Derfor!er!det!

længste! kabel! på! 107Jmeter! smallere! i! diameter! end! de! resterende! otte,! der! bærer! broens!

vægt!op!i!pylonen.!Disse!har!en!diameter!på!50!mm,!mens!alle!kablerne!på!bagsiden!af!pyloJ

nen!samt!det!længste!kabel!kun!har!en!diameter!på!35!mm.!Det!skyldes!på!sin!vis,!at!det!længJ

ste! kabel! er! så! tæt! ved! landfæstet,! at! det! ikke! kommer! til! at! bære! lige! så!meget,! netop! på!

grund! af! understøtningen.! Dette! vil! medføre,! at! kablet! vil! blive! for! tungt,! i! forhold! til! den!

spænding!der!kommer!i!kablet,!og!derved!vil!det!komme!til!at!hænge.!!

Dette!kan!forklares!med!Hookes!lov,!da!man!ved!at!elasticitetsmodulet!for!stål!er!en!konstant!

på!0,21!*!106!MPa.!!Elasticitetsmodulet!er!givet!ved!! = !! !

Ved!at!indsætte!formlerne!for!enhedsforlængelsen,!ε!og!normalspænding,!σ!fås!!

! = !! ∗

!∆!!

Figur'13'–'Odenses'stibro'

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 19 af 25!

Når!der!er!tale!om!samme!materiale!må!udtrykket!for!enhedsforlængelsen!være!

den!samme.!Forskellen!her!er!da,!at!A!=!tværsnitsarealet!bliver!mindre,!og!for!at!elasticitetsJ

modulet!skal!være!konstant,!må!F!=!kraften,! som!kablet!kan! løfte,!blive! tilsvarende!mindre.!

Altså!kan!kablet! ikke!bære!nær!så!meget,!når!tværsnitsarealet!bliver!formindsket,!men!man!

bibeholder!da!samme!normalspænding!for!kablet.!!

7.4)Overordnet)sammenligning)

! Samlet!set!gør!både!Reiman!Bridge!og!Odenses!Sølvnål!brug!af!nogenlunde!samJ

me!typer!af!materialer;!stålceller,!kabler,!hvidt!beton!og!en!pylon!af!stål.!Broerne!har!omtrent!

samme!spændvidde,!dog!adskiller!Odenses!sølvnål!sig!fra!alle!Calatravas!broer!ved!at!være!en!

kombination!af!en!skråstagsbro!og!en!bjælkebro,!og!pylonen!løfter!i!sig!selv!kun!broen!genJ

nem!et! kabel,! hvor!Calatrava! som!oftest! anvender! skråstagsbroer! af! harpetypen,! hvor! flere!

kabler!løber!næsten!parallelt!ind!på!pylonen.!!

Personligt! kan! jeg! rigtig! godt! lide! de! harpeformede! kabler,! som! Calatrava! gør!

brug!af!i!sin!bro!ved!Milwaukee!Art!Museum.!Jeg!er!dybt!fascineret!over!symmetrien,!der!for!

mig!giver!en!vis!ro!og!ensformighed,!ligesom!jeg!godt!kan!lide!brugen!af!hvidt!beton.!Jeg!syJ

nes,!at!kontrasten!mellem!den!hvide!bygning!i!Milwaukee!og!det!klare,!blå!vand!i!baggrunden!

giver!et!godt!helhedsindtryk,!og!jeg!kan!fuldstændig!se,!hvor!Calatrava!vil!hen!med!den!frihed.!

Når!Burke!Brise!Soleil!er!slået!ud!minder!det!mig!om,!at!ligge!på!græsset!en!varm!sommerdag!

og!kigge!op!på!fuglene,!der!svæver!rundt!med!deres!store!overblik,!ro!og!frihed.!!

!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 20 af 25!

8)Konklusion))

Den!samlede!vurdering!af!Reiman!Bridge!har!vist,!at!broen!er!en!skråstagsbro,!som!opnår!sin!

fulde! elegance! gennem! ligevægtsprincippet.! Broen! er! designet!med! det! formål! at! skabe! en!

kendetegn! for!Milwaukees! beboere,! der! symboliserer! den! amerikanske! frihed.! Broen! er! en!

forbindelse!mellem!den!enkelte!indbygger!i!Milwaukee!og!det!store!kunstmuseum!og!samtiJ

dig!en!bro!ind!i!tankernes!frie!verden.!Broens!lyse!og!elegante!ydre!hænger!sammen!med!den!

moderne!stilart,!som!Calatrava!ønsker!at!opnå!gennem!sit!brug!af!hvid!beton!og!stål.!!

I!broen!leger!han!med!de!sidst!nye!teknikker,!der!ved!hjælp!af!ganske!smalle!kabJ

ler,!placeret!i!den!rette!afstand!til!pylonen,!kan!bære!broens!samlede!vægt.!Når!broen!er!i!liJ

gevægt,!er!momenterne! i!broens!positiv!omløbsretning!numerisk! lige!så!store!som!momenJ

terne!i!negativ!omløbsretning.!Det!medfører!også,!at!broens!kabler,!må!skulle!reagere!på!en!

lasten.!Det!kan!ske,!da!broen!udfører!en!normalkraft!på!lasten!og!holder!denne!oppe.!NormalJ

kraften!kommer! fra!wirerne,! og! føres! gennem!pylonen!og!bagkablerne!ned! i! ankerblokken,!

som!er!den!grundlæggende!kontravægt!til!broen,!og!den!der!står!for!at!holde!konstruktionen!i!

balance.!!

!

!

)

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 21 af 25!

Citerede)værker)About.com.!Expressionism'and'Neo6expressionism'.!2014.!!

http://architecture.about.com/od/20thcenturytrends/ig/ModernJArchitecture/NeoJexpressionism.htm! (senest!

hentet!eller!vist!den!17.!december!2014).!

Ali,!Leonardo.!Santiago'Calatrava:'Architect'or'Engineer.!Prod.!Kent!School!of!Architecture.!Kent,!2014.!

Andersen,! Ulrik.! 30'meter' sølvnål' skal' bære'Odenses' nye' stibro.! 18.! december! 2012.! http://ing.dk/galleri/30J

meterJsoelvnaalJskalJbaereJodensesJnyeJstibroJ135048#2!(senest!hentet!eller!vist!den!17.!december!2014).!

Denny,!Mark.!Super'Structures.!Maryland:!The!Johns!Hopkins!University!Press,!2010.!

Hawking,! Stephen.! Stephen'Hawking,' quotes' .! http://www.goodreads.com/quotes/469784JquietJpeopleJhaveJ

theJloudestJminds!(senest!hentet!eller!vist!den!17.!december!2014).!

Heyden,!Katrine.!The'Bridges'of'Santiago'Calatrava.!6.! july!2012.!http://iecon.com/blog/?p=726!(senest!hentet!

eller!vist!den!11.!december!2014).!

Holck,!Per!m.fl.!Orbit'B'htx.!1.!udgave.!Århus:!Systime!,!2009.!

Madsen,!Preben.!Statik'og'styrkelære.!1.!udgave.!København:!Nyt!Teknisk!Forlag,!2010.!

MAM.!Architecture.!2014.!http://mam.org/info/details/quadracci.php!(senest!hentet!eller!vist!den!11.!december!

2014).!

Mostech.!Suspension'bridge'types'basic'information'and'tutorials.!2012.!!

http://www.civilengineeringdegrees.net/2012_09_01_archive.html! (senest! hentet! eller! vist! den! 15.! december!

2014).!

Nichols,!Prof.!Anne.!Example'Case'Study:'Milwaukee'Art'Museum.!2004.!

!http://www.solaripedia.com/files/979.pdf!(senest!hentet!eller!vist!den!11.!december!2014).!

Redaktionen,!Den!store!Danske.!Komparativ'metode.!7.!maj!2014.!!

http://www.denstoredanske.dk/Samfund,_jura_og_politik/Sociologi/Sociologisk_metodologi/komparativ_meto

de!(senest!hentet!eller!vist!den!17.!december!2014).!

Redaktionen,!Den!Store!Danske.!USA'(religion)'.!1.!juni!2009.!!

http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Religion_og_mystik/Angloamerikanske_kirkeforhold

/USA_%28Religion%29!(senest!hentet!eller!vist!den!17.!december!2014!).!

Rosenfield,!Karissa.!»How!Santiago!Calatrava!blurred!the! lines!between!architecture!and!engineering!to!make!

buildings!move.«!ArchDaily.com.!20.!januar!2013.!

Wood! P.E.,! Kevin! G.! Statement' in' steel.! marts! 2001.! http://msc.aisc.org/globalassets/modernJ

steel/archives/2001/03/2001v03_statement.pdf!(senest!hentet!eller!vist!den!17.!december!2014).!

!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 22 af 25!

Illustrationsliste)Figur!1a!–!Calatrava!Bridge,!Chords!Bridge,!Jerusalem!(9.!december!2014)!!

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/Jerusalem_Chords_Bridge_5.JPG!!

Figur!1b!–!Calatrava!Bridge,!Alamillo!Bridge,!Seville!!(9.december!2014)!

http://cdn.homesthetics.net/wpJcontent/uploads/2013/11/AJDifferentJDesignJAlamilloJBridgeJinJSevilleJbyJ

SantiagoJCalatravaJHomestheticsJ7.jpg!!

Figur!1c!–!Calatrava!Bridge,!Margaret!Hunt!Hill!Bridge,!Dallas!(9.!december!2014)!

http://www.evolo.us/wpJcontent/uploads/2012/02/santiagoJcalatravaJbridgeJ0.jpg!!

Figur!2!–!Reiman!Bridge,!Milwaukee!(11.!december!2014)!!

http://www.naturaltraveler.com/images/Article_Images/2011_December/BayView/TheMilwaukeeArtMuseum

sQuadracciPavilionisasculpturalpostmodernadditiondesignedbySantiagoCalatrava.Its217J

footsunscreenissupposedtofoldandunfoldtwicedailybuthasbeenoutofcommission.jpg!!

Figur!3!–!Milwaukee!Art!Museum!at!night!(11.!december!2014)!

http://www.travelwisconsin.com/uploads/medialibrary/78/786908e6J4379J4f5cJbb9bJa8ae3094c081J

milwaukeeJartJmuseum_twJlibrary_creditJtimJhursleyretouched2.jpg?preset=wysiwygJsmall!!

Figur!4!–!Milwaukee!Art!Museum!symmetri!(11.!december!2014)!!

http://www.december.com/places/mke/images/mamsol.jpg!!

Figur!5!–!Reiman!Bridge,!Milwaukee!(14.!december!2014)!!

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Milwaukee_Art_Museum_4_(Mulad).jpg!!

Figur!6!–!Stress!curve,!belastningskurve!(15.!december!2014)!!

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/15/StressStrainWEB.svg/1280pxJ

StressStrainWEB.svg.png!!

Figur!7!–!Suspension!Bridge!=!hængebro!(15.!december!2014)!!

http://www.pbs.org/wgbh/buildingbig/images/bridge/basics/suspensionbridge.gif!!

Figur!8!–!CableJstayed!bridge!=!skråstagsbro!(15.!december!2014)!!

http://s.hswstatic.com/gif/bridgeJcableJstay.gif!!

Figur!9!–!Trækkræfter!og!komposanter!(16.!december!2014)!!

http://outreach.phas.ubc.ca/phys420/p420_04/norman/physics_of_bridges.ppt!!

Figur!10!J!Reiman!Bridge,!sketch!(16.!december!2014)!

http://kitten.ace.nitech.ac.jp/ichilab/classes/design/file_2.pptx!!

Figur!13!–!Odenses!stibro!(18.!december!2014)!!

http://ing.dk/sites/ing/files/styles/w1140_gallery/public/images/72527.jpg?itok=OHiNLOyo!!

!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 23 af 25!

Bilag)1)–)Fysik)forsøg))

Den'skrå'pylon,'kabelkræfter'og'ligevægt'Materialer:!

Pasco!Brobygningssæt,!inkl.!load!celler,!!

Computerprogrammet!Pasco!til!måling!af!kræfter!på!det!forskellige!celler!

Lodder!af!forskellig!vægt!til!last,!samt!tungt!lod!til!”ankerblok”!

Snor!!

Formål:!

Formålet!med!forsøget!er!at!eftervise!teorien!om,!at!et!resultantmoment!er!lig!med!summen!

af!enkeltkræfternes!moment!om!samme!punkt,!når!en!konstruktion!er!i!ligevægt!.!

Teori:!

I!skråstagsbroer!spiller!kablerne!en!væsentlig!rolle,!da!det!er!igennem!disse!at!kræfterne!bliJ

ver! fordelt.!Det!er! interessant!at!kigge!på,!hvor! stor!en!kraft! et!

kabel!skal!bære,!afhængig!af!hvor!på!broen,!det!er!placeret!og!i!

hvilken!vinkel.!Da!man!ved,!at!trækkræfter!i!en!wire!kan!deles!op!

i! komposanter,! hvor! den! lodrette! står! for! løftekraften! og! den!

vandrette!står!for!trykkræften,!kan!man!ved!hjælp!af!trigonomeJ

tri!bestemme,!at!en!større!vinkel!medfører!en!større!løftekraft.!

!!"#$%å!"#! = sin ! ∗ ℎ!"#$#%&'#%.!Desuden!kan!man!her!se,!at!den!snorkraft!man!kan!aflæse!af!celJ

lerne! er! svarende! til! hypotenusen! (blå! pil! på! illustration).! Når! loddet! presser! broen! nedad!

pga.!tyngdekraften,!yder!broen!samtidig!en!normalkraft!af!samme!størrelse!på!loddet,!da!syJ

stemet!er!i!balance.!Normalkraften!kan!bestemmes!som!den!lodrette!komposant!(lilla).!!!

Forsøgsopstillingen:!

Broen! opbygges! af! brobygningssættet,! således! at! brodækket! er! omtrent! samme! længe! som!

pylonen,!der!er!hæftet!sammen!med!brobanen!i!omdrejningspunktet!i!en!vinkel!på!45!grader.!

I!omdrejningspunktet!er!der!sat!et!hjul,!der!symboliserer,!at!konstruktionen!kan!rotere,!hvis!

ikke!der!er!ligevægt!i!kræfterne,!der!virker!i!systemet.!På!denne!måde!svæver!den!højre!del!af!

brobanen!over!bordpladen,!når!broens!pylon!er!hæftet!til!en!tung!ankerblok,!der!kan!gøre!det!

op!for!broens!egenvægt.!!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 24 af 25!

!

!Forsøgsopstilling'1a'og'1b,'eget'materiale''

Fremgangsmåde!!

Når!opstillingen!er!stillet!op,!nulstilles!først!modtageren,!når!broen!er!i!ligevægt!uden!belastJ

ning.!Derefter!foretages!tre!forsøg!med!forskellige!last!i!radius!51!cm!til!omdrejningspunktet!

og!tre!forsøg!med!lasten!i!den!halve!arms!længde.!Under!forsøget!måles!kraftpåvirkningen!i!

den!lange!wire,!den!korte!wire!og!en!wire!på!bagsiden!af!pylonen.!!

!

!

Erhvervsskolerne!Aars!! ! Pernille!Holm!SRP!2014! ! 3.my!Broer!og!Calatrava! ! 19.!december!2014!

! Side 25 af 25!

Måledata!og!databehandling:!!

) ) ) ) ) F=m*g) M=F*r) Sum)af))

Masse)

(kg))

Radius%

(m)%

F2%

(N)%

F3%

(N)%

F4%

(N)%

Fmasse%

(N)%

Mmasse%

(Nm)%

Enkeltkræfternes%

moment%%

0,1042) 0,51% 0,04% 0,66% 0,42% 1,023% 0,522% 0,526%

0,1354) 0,51% 0,05% 0,85% 0,58% 1,330% 0,678% 0,697%

0,2234) 0,51% 0,08% 1,25% 0,9% 2,194% 1,119% 1,048%

0,1042) 0,255% 0,04% 0,21% 0,28% 1,023% 0,261% 0,240%

0,1354) 0,255% 0,05% 0,26% 0,5% 1,330% 0,339% 0,374%

0,2234) 0,255% 0,08% 0,35% 0,75% 2,194% 0,559% 0,541%

Når!man!umiddelbart!betragter! forsøgsresultaterne!ses,!at!F2,!der!viser!kræfterne!på!bagsiJ

den!af!pylonen,!er!af!samme!værdi,!når!broen!lastes!med!samme!vægt!uanset!placering!af!laJ

sten.!Dog!kan!man!også!se,!at!broen!lastes!mest!i!de!kabler!der!er!hæftet!fast!ved!lastens!anJ

grebssted!(se!F3!i!afstanden!0,51!cm,!er!større!end!F4!(afstanden!25,5!cm),!mens!F3!er!mindre!

end!F4,!når!lasten!er!placeret!omkring!F4s!fæstningssted!på!broen).!!

Summen!af!enkeltkræfterne!er!fundet!!

! = 2 ∗ !3 ∗ sin 19,34 ∗ 0,51!" + 2 ∗ !4 ∗ sin 20,2 ∗ 0,255!"!

Disse!skulle!gerne!være!tilsvarende!til!det!moment,!som!massen!yder!på!broen,!da!de!har!retJ

ning!opad!(broens!normalkraft!på!legemet).!

Usikkerheder!og!fejlkilder:!!

Der!er!en!stor!usikkerhed!i!og!med,!at!snorene!er!meget!løse,!hvilket!wires!på!en!konkret!bro!

ikke!er.!Dette!kunne!have!været!undgået!ved!at!anvende!plastikstykkerne!som!symbol!på!wiJ

rerne,!dog!ville!man!kun!kunne!undersøge!vinklerne!45!og!90!grader.!!

Load!cellens!egenvægt!er!også!påvirket!af! tyngdekraften,!og!derfor!tynges!snore!ned!af.!Det!

kan!tydeligt!ses!på!billedet!af!forsøgsopstillingen,!at!de!snore,!hvorpå!der!sidder!en!load!celle,!

ikke!er!lige!så!spændstige!som!de!andre!snore.!!

Konklusion!!

Med!forsøget!er!det!vist,!at!summen!af!enkeltkræfterne!der!løber!i!kablerne!om!omdrejningsJ

punktet!er!omtrent!samme!størrelse!som!lastens!moment!om!samme!punkt.!Desuden!er!det!

vist,!at!kablerne!bliver!belastet!mest,!des!tættere!lasten!er!på!kablets!forankring!på!dækket,!

dog!påvirker!lasten!også!de!andre!kabler.!!