View
224
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
dfbdfgdf
Citation preview
09-Oct-15
1
OSNOVNE POSTAVKE KVANTNE TEORIJE
Kretanje makroskopskih tela opisuje klasična mehanika: Tela se kreću po određenoj putanji. U svakom trenutku je poznata tačna pozicija tela i njegov moment, p =m v
Pri bilo kojoj vrsti kretanja telo može imati bilo koju energiju
Talasi i čestice su dva potpuno različita koncepta
Pojave u svetu elementarnih čestica, atoma i molekula klasična fizika ne može da objasni –razvoj kvantne mehanike
Osnovna ideja kvantnemehanike:čestica se ne kreće po tačno definisanoj putanji, već se širi u prostoru kao talas(u nekim oblastima u prostoru verovatnoća nalaženja čestice je veća, a u drugim manja)
Talasna funkcija i Šredingerova jednačina Svakoj čestici koja se kreće linearnim momentom p
pridružuje se talas talasne dužine (talas materije):
ph (de Broljeva jednačina)
Talasna funkcija, (psi) ‐matematički opis ideje da se čestica širi u prostoru kao talas
Ne zna se precizno putanja čestice, već samo verovatnoća nalaženja u nekom delu prostora.
Jednačina pomoću koje se može izračunati talasna funkcija:
Važi za česticu mase m koja se kreće u jednoj dimenziji i ima ukupnu energiju E , dok je V njena potencijalna energija koja zavisi od pozicije x
Šredingerova jednačina
Rešenje Šredingerove jednačine – talasna funkcija
Šredingerova jednačina – diferencijalna jednačina drugog reda
09-Oct-15
2
Diferencijalne jednačine imaju beskonačni broj matematički prihvatljivih rešenja, ali samo neka imaju fizičkog smisla za dati sistem
Primer: talasna funkcija čestice koja se kreće između dve neprobojne barijere:
Da bi se izdvojila rešenja koja imaju fizičkog smisla, pri rešavanju jednačine se postavljaju granični uslovi
Makroskopski sistemi ‐ razlike između dozvoljenih energija su toliko male da su praktično sve energije dozvoljene
Klasična mehanika je poseban slučaj opštevažeće kvantne mehanike
Bornova interpretacija talasne funkcije
Talasna funkcija nema direktno fizičko značenjeFizički smisao talasne funkcije (Maks Born): verovatnoća nalaženja čestice u malom delu prostora zapremine V je srazmerna 2 V2 je gustina verovatnoće
p ‐ neodređenost linearnog momentax ‐ neodređenost položaja
Princip neodređenosti Ako se čestica širi u prostoru kao talas, ona se
može naći bilo gde u tom prostoru 2 daje samo verovatnoću da se čestica nađe u
određenoj tački prostora Hajzenbergov princip neodređenosti: nemoguće je
istovremeno tačno znati moment i poziciju čestice
2 xp
Što preciznije znamo moment čestice, manje precizno znamo njen položaj.
Ako tačno znamo položaj čestice, ne znamo ništa o njenom momentu.
09-Oct-15
3
Primeri primene kvantne mehanike
Tri osnovna tipa kretanja:
• translatorno• rotaciono• vibraciono
se mogu izvesti direktno iz de Broljeve jednačine}
- je rešenje Šredingerove jednačine
Kada se zna , može se izvesti jednačina za energiju čestice
Translatorno kretanje u jednoj dimenziji –model čestice u kutiji
Čestica se kreće između dva beskonačno visoka zida na rastojanju L
Potencijalna energija čestice je nula između x = 0 i x = L, a postaje beskonačna čim čestica dodirne bilo koji zid
Analogno kretanju kuglice po žici sa čijim krajevima se nalaze graničnici
Dozvoljene su samo one koje se tačno uklapaju u dimenziju kutije
je sinusni talas:...,3,2,1sin2sinn
n
Lxnx
Čestica unutar kutije ima samo kinetičku energiju:
Razlika između uzastopnih dozvoljenih energetskih nivoa:
Što je dužina kutije veća, razlika u energijama između nivoa je manja
Što je masa čestice veća, razlika u energijama između nivoa je manja
Principi kvantne mehanike su opštevažeći
09-Oct-15
4
Sa povećanjem n razlika između uzastopnih energetskih nivoa raste
Nulta energija:
2
2
8)12(
LmhnE
2
21
8 LmhE
Tuneliranje
Klasična fizika: čestica koja pri kretanju naiđe na barijeru može da je preskoči samo ako je njena kinetička energija veća ili jednaka potencijalnoj energiji vrha barijere
Kvantnamehanika: svakoj čestici u mikrosvetu pridružena je čija vrednost ne pada na nulu čim naiđe na barijeru, već eksponencijalno opada unutar barijere ‐ čestica može da se nađe sa druge strane barijere
Verovatnoća tuneliranja je utoliko veća ukoliko je barijera uža, a masa čestice manja
Tuneliranje je važno za elektrone, manje važno za protone, a od malog značaja za teže čestice
Skenirajuća tunelirajuća mikroskopija
Slika površine visoko orijentisanog pirolitičkog
grafita (HOPG, engl. highly oriented pyrolytic graphite)
09-Oct-15
5
Rotaciono kretanjeTranslatorno kretanje ‐ linearni moment, p p = m vRotaciono kretanje ‐ ugaoni moment, J J = p r
Dozvoljeni energetski nivoi:
Dozvoljena je samo ona koja se ponavlja na identičan način pri svakom novom krugu
Ciklični granični uslov: n = 2 r
...,2,1,02
nnr
Više od jednog stanja sistema sa istom energijom ‐ degeneracija
Vibraciono kretanje: harmonijski oscilatorModel: čestica se kreće napred i nazad u odnosu na ravnotežni položaj pod dejstvom sile koja je srazmerna otklonu od ravnotežnog položaja
xVFdd
dV = – Fdx
xV
xxkV00
d)(d 221 xkV
09-Oct-15
6
Potencijalna energija harmonijskog oscilatora
Značaj modela harmonijskog oscilatora za hemiju: dobro opisuje vibraciono kretanje atoma duž hemijske veze u molekulu
221 xkV
se dobija rešavanjem Šredingerove jednačine
Granični uslov: potencijalna energija zavisi parabolično od x
Dozvoljene energije:
Energetski nivoi harmonijskog oscilatora
EEE 1
hE
hhE
21
211
ekvidistantni energetski nivoi
hE
21
Recommended