09-Oct-15

1

OSNOVNE POSTAVKE KVANTNE TEORIJE

Kretanje makroskopskih tela opisuje klasična mehanika: Tela se kreću po određenoj putanji. U svakom trenutku je poznata tačna pozicija tela i njegov moment, p =m v

Pri bilo kojoj vrsti kretanja telo može imati bilo koju energiju

Talasi i čestice su dva potpuno različita koncepta

Pojave u svetu elementarnih čestica, atoma i molekula klasična fizika ne može da objasni –razvoj kvantne mehanike

Osnovna ideja kvantnemehanike:čestica se ne kreće po tačno definisanoj putanji, već se širi u prostoru kao talas(u nekim oblastima u prostoru verovatnoća nalaženja čestice je veća, a u drugim manja)

Talasna funkcija i Šredingerova jednačina Svakoj čestici koja se kreće linearnim momentom p

pridružuje se talas talasne dužine  (talas materije):

ph (de Broljeva jednačina)

Talasna funkcija,  (psi) ‐matematički opis ideje da se čestica širi u prostoru kao talas

Ne zna se precizno putanja čestice, već samo verovatnoća nalaženja u nekom delu prostora. 

Jednačina pomoću koje se može izračunati talasna funkcija:

Važi za česticu mase m koja se kreće u jednoj dimenziji i ima ukupnu energiju E , dok je V njena potencijalna energija koja zavisi od pozicije x

Šredingerova jednačina

Rešenje Šredingerove jednačine – talasna funkcija

Šredingerova jednačina – diferencijalna jednačina drugog reda

09-Oct-15

2

Diferencijalne jednačine imaju beskonačni broj matematički prihvatljivih rešenja, ali samo neka imaju fizičkog smisla za dati sistem

Primer: talasna funkcija čestice koja se kreće između dve neprobojne barijere:

Da bi se izdvojila rešenja koja imaju fizičkog smisla, pri rešavanju jednačine se postavljaju granični uslovi

Makroskopski sistemi ‐ razlike između dozvoljenih energija su toliko male da su praktično sve energije dozvoljene

Klasična mehanika je poseban slučaj opštevažeće kvantne mehanike

Bornova interpretacija talasne funkcije

Talasna funkcija nema direktno fizičko značenjeFizički smisao talasne funkcije (Maks Born): verovatnoća nalaženja čestice u malom  delu prostora zapremine V je srazmerna 2 V2 je gustina verovatnoće

p ‐ neodređenost linearnog momentax ‐ neodređenost položaja

Princip neodređenosti Ako se čestica širi u prostoru kao talas, ona se 

može naći bilo gde u tom prostoru 2 daje samo verovatnoću da se čestica nađe u 

određenoj tački prostora Hajzenbergov princip neodređenosti: nemoguće je 

istovremeno tačno znati moment i poziciju čestice

2 xp

Što preciznije znamo moment čestice, manje precizno znamo njen položaj. 

Ako tačno znamo položaj čestice, ne znamo ništa o njenom momentu.

09-Oct-15

3

Primeri primene kvantne mehanike

Tri osnovna tipa kretanja: 

• translatorno• rotaciono• vibraciono

se mogu izvesti direktno iz de Broljeve jednačine}

- je rešenje Šredingerove jednačine

Kada se zna , može se izvesti jednačina za energiju čestice

Translatorno kretanje u jednoj dimenziji –model čestice u kutiji 

Čestica se kreće između dva beskonačno visoka zida na rastojanju L

Potencijalna energija čestice je nula između x = 0 i x = L, a postaje beskonačna čim čestica dodirne bilo koji zid

Analogno kretanju kuglice po žici sa čijim krajevima se nalaze graničnici

Dozvoljene su samo one koje se tačno uklapaju u dimenziju kutije

je sinusni talas:...,3,2,1sin2sinn

n

Lxnx

Čestica unutar kutije ima samo kinetičku energiju:

Razlika između uzastopnih dozvoljenih energetskih nivoa:

Što je dužina kutije veća, razlika u energijama između nivoa je manja

Što je masa čestice veća, razlika u energijama između nivoa je manja

Principi kvantne mehanike su opštevažeći

09-Oct-15

4

Sa povećanjem n razlika između uzastopnih energetskih nivoa raste

Nulta energija:

2

2

8)12(

LmhnE

2

21

8 LmhE

Tuneliranje

Klasična fizika: čestica koja pri kretanju naiđe na barijeru može da je preskoči samo ako je njena kinetička energija veća ili jednaka potencijalnoj energiji vrha barijere

Kvantnamehanika: svakoj čestici u mikrosvetu pridružena je  čija vrednost ne pada na nulu čim naiđe na barijeru, već eksponencijalno opada unutar barijere ‐ čestica može da se nađe sa druge strane barijere

Verovatnoća tuneliranja je utoliko veća ukoliko je barijera uža, a masa  čestice manja

Tuneliranje je važno za elektrone, manje važno za protone, a od malog značaja za teže čestice

Skenirajuća tunelirajuća mikroskopija

Slika površine visoko orijentisanog pirolitičkog 

grafita (HOPG, engl. highly oriented pyrolytic graphite)

09-Oct-15

5

Rotaciono kretanjeTranslatorno kretanje ‐ linearni moment, p p = m vRotaciono kretanje ‐ ugaoni moment, J J = p r

Dozvoljeni energetski nivoi:

Dozvoljena je samo ona  koja se ponavlja na identičan način pri svakom novom krugu 

Ciklični granični uslov: n = 2  r

...,2,1,02

nnr

Više od jednog stanja sistema sa istom energijom ‐ degeneracija

Vibraciono kretanje: harmonijski oscilatorModel: čestica se kreće napred i nazad u odnosu na ravnotežni položaj pod dejstvom sile koja je srazmerna otklonu od ravnotežnog položaja

xVFdd

dV = – Fdx

xV

xxkV00

d)(d 221 xkV

09-Oct-15

6

Potencijalna energija harmonijskog oscilatora

Značaj modela harmonijskog oscilatora za hemiju: dobro opisuje vibraciono kretanje atoma duž hemijske veze u molekulu

221 xkV

se dobija rešavanjem Šredingerove jednačine

Granični uslov: potencijalna energija zavisi parabolično od x

Dozvoljene energije:

Energetski nivoi harmonijskog oscilatora

EEE 1

hE

hhE

21

211

ekvidistantni energetski nivoi

hE

21