View
78
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI. INTERPOLASI. Pendahuluan. Engineer bekerja dengan sejumlah data diskrit ( biasanya disajikan dalam bentuk tabel ) yang diperoleh dari hasil pengamatan lapangan atau laboratorium . Contoh : Masalah yang muncul : - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI•INTERPOLASI
Pendahuluan• Engineer bekerja dengan sejumlah data diskrit (biasanya
disajikan dalam bentuk tabel) yang diperoleh dari hasil pengamatan lapangan atau laboratorium.
• Contoh:
– Masalah yang muncul :• ingin mengetahui waktu patahan y jika diberi tegangan x sebesar 12
kg/mm2 pada baja – Solusi: mencari fungsi yang dengan mencocokkan titik-titik data
dalam tabel ( pencocokan kurva)
Tegangan yg diberikan,x,kg/mm2 5 10 15 20 25 30 35 40
Waktu patah, y, jam 40 30 25 40 18 20 22 15
Pendahuluan• Pencocokan kurva untuk
– mencari nilai fungsi– menghitung nilai turunan
• Contoh:– Diketahui fungsi – Hitung turunan fungsi di atas jika x = a f’(a) = ?– SULIT???
• Pendekatan dilakukan dengan menyederhanakan fungsi f(x) menjadi polinom pn(x) yang berderajat ≤ n
5
22/1
21)42()(
x
xxInxf
nnn
n
xaxaxaxaaxp
inihaldalamxpxf
...)(
:)()(
33
2210
Interpolasi
• Jika data memiliki ketelitian tinggi, kurva dibuat melalui setiap titik menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi
Interpolasi Linier• adalah interpolasi dua buah titik dengan
sebuah garis lurus– misal titik (x0, y0) dan (x1, y1)
• Polinom yg terbentuk persamaan garis lurus )(
)()()( 0
01
0101 xx
xxyyyxp
y
x
(x0,y0)
(x1,y1)
Contoh :
Taksirlah logaritma natural dari 2 (ln 2) dengan memakai interpolasi linear antara ln 1 = 0 dan ln 6 = 1.7919595, dimana nilai sejati ln 2 = 0.69314718.
Penyelesaian :
35835190.0)12(16
07917595.10)2(1
p
%3.48%100 0.69314718
35835190.0- 0.69314718 xerror
Interpolasi Linier
Interpolasi Kuadratik• Misal dipergunakan tiga titik data (x0,y0), (x!,y1), (x2,y2)• Polinom yg menginterpolasi polinom kuadrat
p2(x) = a0 + a1x + a2x2 …………(1)• Polinom p2(x) ditentukan dengan:
– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0
2 = y0 a0 + a1x1 + a2x1
2 = y1 a0 + a1x2 + a2x2
2 = y2 – hitung a0,a1,a2 dari sistem persamaan di atas dengan
metode eliminasi Gauss
Interpolasi Kuadratik• Polinom p2(x) ditentukan dengan:
– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0
2 = y0 a0 + a1x1 + a2x1
2 = y1 a0 + a1x2 + a2x2
2 = y2 – hitung a0,a1,a2 dari sistem persamaan di atas dengan
metode eliminasi Gauss– Substitusikan denga persamaan p2(x)
Interpolasi Kuadratik• Contoh:
Diberikan titik In(8,0)=2,0794, In(9,0)=2,1972, dan In(9,5)=2,2513. Tentukan nilai In(9,2)!
• PENYELESAIAN– SPL yang terbentuk:
a0 + 8,0a0 + 64,00a2 = 2,0794 a0 + 9,0a1 + 81,00a2 = 2,1972 a0 + 9,5a1 + 90,25a2 = 2,2513
– Eliminasi Gauss
0048,075,0001178,000,170,100794,200,640,81
5,11719,025,265,101178,000,170,100794,200,640,81
2513,225,905,911972,200,810,910794,200,640,81
2313
12
RRRRRR
Interpolasi Kuadratik• PENYELESAIAN
– Eliminasi Gauss
– Diperoleh:• 0,57a2 = -0,0048 a2 = -0,0064• 1,0a1 + 17,00a1 = 0,1178
1,0a1 + 17,00(-0,0064) = 0,1178 a1 = 0,2266• a0 + 8,0a1 + 64,00a2 = 2,0794
a0 + 8,0(0,2266) + 64,00(-0,0064) = 2,0794 a0 = 0,6762– Substitusi ke persamaan polinom
• p2(x) = 0,6762 + 0,2266x1 – 0,0064x2
– sehingga p2(9,2) = 0,6762 + 0,2266(9,2) – 0,0064(9,2)2
= 2,2192
0048,075,0001178,000,170,100794,200,640,81
Interpolasi Kubik• Misal dipergunakan empat titik data (x0,y0), (x!,y1), (x2,y2), dan
(x3,y3)• Polinom yg menginterpolasi polinom kuadrat
p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 …………(1)• Polinom p2(x) ditentukan dengan:
– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0
2 + a3x03 = y0
a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1
3 = y1 a0 + a1x2 + a2x2
2 + a3x23 = y2
a0 + a1x3 + a2x33 + a3x3
3 = y3 – hitung a0,a1,a2,a3 dari sistem persamaan di atas dengan
metode eliminasi Gauss
Interpolasi Kubik• Polinom p3(x) ditentukan dengan:
– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0
2 + a3x03 = y0
a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1
3 = y1 a0 + a1x2 + a2x2
2 + a3x23 = y2
a0 + a1x3 + a2x33 + a3x3
3 = y3 – hitung a0,a1,a2,a3 dari sistem persamaan di atas dengan
metode eliminasi Gauss– Substitusikan denga persamaan p3(x)
• Dengan cara yang sama, bisa dibuat polinom interpolasi berderajat n untuk n yang lebih tinggi pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn
• Polinom p2(x) ditentukan dengan:– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan
a0 + a1x0 + a2x02 + a3x0
3 + … +anx0n = y0
a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1
3 + … +anx1n = y1
a0 + a1x2 + a2x22 + a3x2
3 + … +anx2n = y2
a0 + a1x3 + a2x32 + a3x3
3 + … +anx3n = y3
…. …. … a0 + a1xn + a2xn
2 + a3xn3 + … +anxn
n = y3 – hitung a0,a1,a2,a3,…,an dari sistem persamaan di atas dengan
metode eliminasi Gauss– Substitusi denga persamaan pn(x)
Polinom Lagrange
• Interpolasi ini digunakan untuk mencari dependen variable y = f(x) pada intermediate value diantara x yang diberikan
Polinom Newton
Recommended