Upload
vuthu
View
259
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENCOCOKAN KURVA
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
TIM DOSEN
KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT
12
Pendahuluan
Data yang berasal dari hasil pengamatan lapangan, pengukuran atau tabel yang diambil dari buku-bukuacuan.
Nilai antara, turunan, integral mudah dicari untuk
fungsi polinom
Fungsi sulit perlu disederhanakan menjadi fungsipolinom
)()( xpxf n
n
nn xaxaxaaxp ...)( 2
210
2 11/20/2017
Pendahuluan (Cont.)
Bantuan beberapa titik dicocokan dalam kurva pn(x).
Metode pencocokan titik dengan sebuah kurva ada 2 macam:
X
Y
X
Y
Regresi Interpolasi
3 11/20/2017
Regresi
Untuk data dengan berketelitian rendah
Kurva tidak perlu melewati semua titik yang tersedia
Kurva yang dibentuk merupakan kecenderungan darisekelompok data
Dipilih kurva yang memiliki selisih antara titik data dengankurva hampiran sekecil mungkin
Ketidaktelitian disebabkan oleh : kesalahan mengukur, ketidaktelitian alat ukur atau kelakuan sistem yang diukur.
4 11/20/2017
Regresi (Cont.)
Prinsip penting yang harus diketahui dalam pencocokankurva untuk data hasil pengukuran :
– Fungsi mengandung sesedikit mungkin parameter bebas
–Deviasi fungsi dengan titik data dibuat minimum
Manfaat Pencocokan Kurva untuk data hasil pengukuran :
– Bagi ahli sains/rekayasa : mengembangkan formula empirik untuk sistem yang diteliti
– Bagi ahli ekonomi : menentukan kurva kecenderunganekonomi untuk meramalkan kecenderungan yang akandatang
5 11/20/2017
Regresi Linier
Persamaan kurva : f(x) = a + bx dari titik-titik (xi,yi).
Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran yang mengandung galat, maka dapat ditulis :
g(xi) =yi + ei, i = 1,2,…,n
Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :
ri = yi – f(xi) = yi – (a + bxi)
6 11/20/2017
Regresi Linier (Cont.)
Total kuadrat deviasinya :
n
i
iii bxayrR1
22
Agar R minimum, maka haruslah :
dan 02
ii bxaya
R 02
iii bxayxb
R
Kedua persamaan dibagi -2, menjadi :
1 1 1 1
2
1 1 1
0 0
0 0
n n n n
i i i i
i i i i
n n n
i i i i i i i
i i i
y a bx y a bx
x y a bx x y ax bx
7 11/20/2017
Regresi Linier (Cont.)
Selanjutnya :
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
yxbxax
ybxa
11
2
1
111
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yxxbxa
yxbna
11
2
1
11
atau
Dalam bentuk persamaan matrik :
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yx
y
b
a
xx
xn
1
1
1
2
1
1
2
1 1 1 1
2
2
1 1
1 1 1
2
2
1 1
n n n n
i i i i i
i i i i
n n
i i
i i
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
x y x x y
a
n x x
n x y x y
b
n x x
Solusinya:
8 11/20/2017
Regresi Kuadratik
Persamaan kurva : f(x) = a + bx +cx2 dari titik-titik (xi,yi).
Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran yang mengandung galat, maka dapat ditulis :
g(xi) =yi + ei, i = 1,2,…,n
Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :
ri = yi – f(xi) = yi – (a + bxi+cxi2)
9 11/20/2017
Regresi Kuadratik (Cont.)
n
i
iiii cxbxayrR1
222 )(
0)(2 2
iii cxbxaya
R
Total kuadrat deviasinya :
Agar R minimum, maka haruslah :
22 ( ) 0i i i iR x y a bx cx
b
0)(2 22
iiii cxbxayxc
R
10 11/20/2017
Regresi Kuadratik (Cont.)
Ketiga persamaan dibagi -2, menjadi :
ii
ii
i
iii
iii
ii
iiiii
iiiii
iii
iiiiiiiii
iiiiiiiii
iiiiii
yx
yx
y
c
b
a
xxx
xxx
xxn
yxcxbxax
yxcxbxax
ycxbxa
cxbxaxyxcxbxayx
cxbxaxyxcxbxayx
cxbxaycxbxay
2432
32
2
2432
32
2
432222
322
22
)(
)(
)(
11 11/20/2017
Linearisasi
Regresi linier hanya cocok untuk data yang memilikihubungan linier antara variabel bebas dengan variabelterikatnya.
Penggambaran grafik dan pemeriksaan data secara visual untuk memastikan apakah berlaku suatu model linier
12 11/20/2017
Linearisasi PangkatSederhana
Mencocokkan data dengan fungsi y = Cxb
)ln()ln()ln( xbCy
Cxy b
bXaY
0659.1
7139.12
2522.62447.1
2447.17
b
a
Sistem persamaan linier :
Solusinya adalah : a = 1.8515, b = 0.1981
369366.68515.1 eeC a
Jadi kurva yang dipakai :
1981.0369366.6 xy
13 11/20/2017
Linearisasi FungsiEksponensial
Mencocokkan data dengan fungsi y = Cebx
bxCy
ebxCy
Cey bx
)ln()ln(
)ln()ln()ln(
bXaY
Sistem persamaan linier :
Solusinya adalah : a = ….., b =……..
Jadi kurva yang dipakai :
007.16
7139.12
416.1426.8
26.87
b
a
....... aa eeC
bxCey
14 11/20/2017
Interpolasi
(n+1) buah titik berbeda (x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn).
Menentukan polinom pn(x) yang menginterpolasi semuatitik-titik tersebut sedemikian rupa sehingga :
yi = pn(xi) untuk i=0,1,2,..,n
Selanjutnya p(x) dapat digunakan untuk menghitunghampiran y(x).
Jika x0<xk<xn, maka p(xk) disebut nilai interpolasi.
Jika xk<x0 atau xk>xn, maka p(xk) disebut nilai ekstrapolasi.
Interpolasi bermanfaat untuk mencari nilai hampiransebagai pengisi kaitan data yang hilang.
15 11/20/2017
Interpolasi Linier
Interpolasi dua buah titikdengan sebuah garislurus. Misal (x0,y0) dan(x1,y1).
Persamaan garis lurusyang terbentuk :
p1(x) = a0 + a1x
a0 dan a1 dicari dengancara berikut :
1101
0100
xaay
xaay
Dengan proses eliminasidan subtitusi didapatkan:
01
10010
01
011
xx
yxyxa
xx
yya
Setelah disubtitusi dalampersamaan dan dilakukansedikit otak-atik aljabardidapatkan :
)()(
)()( 0
01
0101 xx
xx
yyyxp
X
Y
(x0,y0)
(x1,y1)
16 11/20/2017
Interpolasi Kuadratik
dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilaia0,a1 dan a2.
2
2
22210
1
2
12110
0
2
02010
yxaxaa
yxaxaa
yxaxaa
➢ Interpolasi tiga buah titik dengan sebuahpersamaan polinom kuadrat. Misal (x0,y0), (x1,y1) dan (x2,y2).
➢ Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :p2(x) = a0 + a1x + a2x
2
➢ Persamaan dari 3 titik dengan a0, a1 dan a2
adalah sebagai berikut :
Y
X
(x0,y0)
(x1,y1)
(x2,y2)
17 11/20/2017
Interpolasi Kubik
Interpolasi empat buah titik dengan sebuah persamaanpolinom kubik. Misal (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3).
Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :
p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3
Persamaan dari 4 titik dengan a0, a1, a2 dan a3 adalahsebagai berikut :
3
3
33
2
32210
2
3
23
2
22210
1
3
13
2
12110
0
3
03
2
02010
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa
Dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilaia0,a1 dan a2.
Y
X
(x0,y0)
(x1,y1)
(x2,y2)
(x3,y3)
18 11/20/2017
Resume
Interpolasi linier, kuadratik, kubik dan seterusnya relatif kurangdisukai disebabkan persamaan yang diperoleh (terutama yang berderajat tinggi) akan berkondisi buruk.
19 11/20/2017
Interpolasi Lagrange
Nama diambil dari penemunya Joseph Louis Lagrange (Perancis)
Bentuk umum derajat <n untuk (n+1) titik berbeda :
))...()()...()((
))...()()...()((
)(
)()(
)(...)()()()(
1110
1110
0
1100
0
niiiiiii
nii
ji
jn
ijj
i
nn
n
i
iin
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xx
xxxL
xLyxLyxLyxLyxp
Contoh Kasus :Diberikan fungsi y = f(x) dengan 3 buah titik data dalam tabel berikut :
tentukan nilai f(3.5)!
X 1 4 6
Y 1.5709 1.5727 1.5751
20 11/20/2017
function Lagrange (x:real; n: integer): real;vari, j : integer;P, L : real;begin
P = 0;for i:=0 to n do
beginL :=1;for j:=0 to n doif i<>j thenL:=L*(x-x(j))/(x(i)-x(j));
endforP:=P+y(i)*L;
endfor;Lagrange :=P;
end.
Interpolasi Lagrange
Kurang disukai karena :Jumlah komputasi
yang dibutuhkanuntuk satu kali interpolasi besar.
Hasil komputasi padaderajat yang lebihrendah tidak bisadigunakan untukmenghitung derajatyang lebih tinggi.
21 11/20/2017
Interpolasi Newton
Bentuk umum :
(i) Rekurens :
pn(x) = pn-1(x)+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
(ii) Basis :
p0(x) = f(x0) = y0
],,...,,[
...
],,[
],[
)(
011
0122
011
00
xxxxfa
xxxfa
xxfa
xfa
nnn
0
02111011
],...,,[],...,,[],,...,,[
...
],[],[],,[
)()(],[
xx
xxxfxxxfxxxxf
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
n
nnnnnn
ki
kjji
kji
ji
ji
ji
Bentuk umum juga dapat ditulis :
],,...,,[))...()((
...],,[))((],[)()()(
011110
012100100
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
nnn
n
22 11/20/2017IKG2E3 KOMPUTASI NUMERIK
Tabel SelisihTerbagi Newton
i xi yi=f(xi) ST-1 ST-2 ST-3 …
0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0] …
1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1] …
2 x2 f(x2) f[x3,x2] …
3 x3 f(x3) …
… … …
ST : Selisih TerbagiContoh Kasus :Diberikan data pada tabel dibawah ini, taksirlah nilaifungsi di x = 2.5! Dengan polinom newton orde 4.
xi 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
f(xi) 1.0000 0.5403 -0.4161 -0.9900 -0.6536
23 11/20/2017
THANK YOU