Fungsi Konveks dan Konkaf

Fungsi Konveks dan Konkaf

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Fungsi konveks dan konkaf memegang peranan penting pada pemrograman non linier

• Pada fungsi tersebut solusi optimal yang unik dijamin keberadaannya

• Fungsi tersebut mempunyai daerah asal yang merupakan himpunan konveks

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Definisi Himpunan Konveks

• Himpunan R konveks jika x’, y” , maka z= c x’ + (1-c) x’’ , c [0, 1 ]

Himpunan titik titik di , di mana sembarang pasangan titik di dalam himpunan dihubungkan oleh garis yang seluruh titik pada garis tersebut juga di

x z y

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

(a) dan (b) himpunan konveks

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Sebuah fungsi f(x) konveks pada jika x’, x” : f(cx ‘+ (1-c) x”) < cf(x’) + (1-c)f(x”), c [0,1]

f(x’)

Y*= cf(x’) + (1-c)f(x”)

f(x”)

Y*

Y**Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”)

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

•Sebuah fungsi f(x) konveks pada jika x’, x” :

f(cx’+ (1-c) x”) ≥ cf(x’) + (1-c)f(x”), c [0,1]

f(x’)

f(x”)

Y*

Y**

Y*= cf(x’) + (1-c)f(x”)Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”)

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Fungsi Konveks/Konkaf sehubungan dengan

TEOREMA 1 Jika f(x) konveks pada maka lokaI minimum adalah global minimum, Jika f(x) konkaf pada maka lokaI maksimum adalah global maksimum.

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua

Teorema 2:• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x)

C1) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika:

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua

Teorema 2 (lanjut):• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x)

C1) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika:

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua

Teorema 3:• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x)

C2) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika:

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x) C2) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika:

Contoh: f(x) = ex dan f(x) = x2 adalah fungsi konveks

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

f(x) = adalahfungsikonkaf

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X Rn

Rn adalah himpunan konveks jikax’, x” z = cx’ +(1 - c)x” , c [0,1] di mana x’ = (x’1 ,…,x’n) dan x” = (x”1 ,…,x”")

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

TEOREMA: • f : R adalah fungsi konveks jika x, y

:– f(cx’ +(1 - c)x” ) ≤cf(x’ )+(1 - c)f(x”) , c [0,1] dan – f(y) > f(x) + (y-x)' f(x)

• f : R adalah fungsi konkaf jika x, y : – f(cx’ +(1 - c)x” ) ≥cf(x’ )+(1 - c)f(x”) , c [0,1] dan – f(y) ≤f(x) + (y-x)' f(x)

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X Rn

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• di mana:

Adalah vektor gradien yang elemennya adalah turunan pertama secara parsial terhadap masing-masing xi

Selain dari turunan pertama, sifat fungsi konveks dan konkaf dapat dianalisis dari turunan kedua fungsi - Matriks Hessian

Matriks Hessian suatu fungsi

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Matriks Hessian dari fungsi f(x1, x2,…, xn) adalah n x n matriks yang elemen ke ij nya adalah:

ji xxf

2

TEOREMA: • Jikabersifatpositif semi definitmaka f

adalahfungsikonveksdalam• Jikabersifatpositifdefinitmakaf

adalahfungsikonveksketatdalamDefinisi:• MatriksAberukurannxn adaiahmatrikspositif semi definitjika:

Q(x) = x’Ax>0 x 0• Bersifatpositifdefinitjika:

Q(x) = x’Ax>0 x 0

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

TEOREMA: • Jikabersifatnegatifsemi definitmaka f

adalahfungsikonkafdalam• Jikabersifatnegatifdefinitmakaf

adalahfungsikonkafketatdalamDefinisi:• MatriksAberukurannxn

adaiahmatriksnegatifsemi definitjika: Q(x) = - x’Ax>0 x 0

• Bersifatnagatifdefinitjika: Q(x) = - x’Ax>0 x 0

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Definisi: • Minor utama ke-i dari matriks n×n adalah determinan

dari matriks i×i yang diperoleh dari penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut

• Jika matriks berukuran n×n maka akan terdapat n minor utama

• Minor utama ke-1 adalah diagonal utama.

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh perhitungan minor utama suatu matriks

• Pada matriks berukuran 2×2 berikut• Dimiliki 2 minor utama

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Minor utama ke-1 adalah determinan dari matriks setelah penghapusan 2 – 1 =1 baris dan kolom (baris I & kolom I dan baris II & kolom II):

• Minor utama ke-2 adalah determinan dari penghapusan 2 – 2 = 0 baris dan kolom dari matriks tsb determinan dari matriks itu sendiri

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

det = (-2)(-4) – (-1)(-1) = 7

TEOREMA: • Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh minor

utama dari A bernilai >0 (non negatif)

• Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor utama dari A bemilai >0 (positif)

• Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n.

• Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh minor utama dari A bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat Konveks dan Konkaf Berdasarkan Sifat Matriks Hessian

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh penggunaan Matriks Hessian untuk Penentuan Sifat Konveks/Konkaf suatu fungsi

• Diberikan fungsi berikut:

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Matriks Hessian bagi fungsi tersebut adalah:

=

• Matriks Hessian tersebut mempunyai 2 minor utama

• Minor utama ke-1 adalah:

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Untuk x1≥0 maka minor utama ke-1:

• 2 >0 dan 6x1 ≥0

• Minor utama ke-2 adalah determinan dari:

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Yang bernilai 12x1 – 4

• Hanya akan bernilai ≥0 untuk x1 ≥ 1/3

• Fungsi pada contoh ini mempunyai matriks Hessian yang bersifat positif (semi) definit pada rentang x1 ≥ 1/3

• Fungsi bersifat konveks untuk x1 ≥ 1/3

Latihan

• Coba kerjakan hal yang sama untuk fungsi-fungsi berikut ini:

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc