Fractais II José Garcia Vivas Miranda. 2º Dia Perfis Fractais; Simulação; Caracterização. ...

FractaisII

José Garcia Vivas Miranda

2º Dia

Perfis Fractais;

Simulação;

Caracterização.

Superfícies Fractais;

Isotropia;

Homogeneidade.

Sistemas dinâmicos;

Autômatas;

Jogo da Vida.

Perfis fractais

Autosimilaridade

Autoafinidade

Conceitos

Perfis fractais

BM

FBM

Weirstrass

Modelos de crescimento

SIMULAÇÃO

Perfis fractaisSIMULAÇÃO

BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)

Origem do pólen

Exemplo do bêbado

0 500 1000 1500 2000

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8a

t

0 500 1000 1500 2000-20

-15

-10

-5

0

5

10

b

Xt

2/1)( ttDesvio

Autoafinidade

O movimento Browniano(modelo de Wiener )

e F

Fp

4

2

4

1),(

Fdp 2),(22

n

iitX

1

)(

0 500 1000 1500 2000

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8a

t

0 500 1000 1500 2000-20

-15

-10

-5

0

5

10

b

X

t

Autoafinidade

O movimento Browniano

t

X

t t+ t+2

X(t+2)

X(t)

’’

’X(t+)

),''(),'(),'';'( ppp

e F

Fppdp

24

2

24

1),'(),'(')2,(

e Fb

Fbbp

4

2

4

1),(

Autoafinidade

O movimento Browniano

bhcomFh 22

FhtXhtX 2)()( 2

FhtXhtX 2)()( 2

2)()(2

1)( tXhtXh

hh )(

Perfis fractaisSIMULAÇÃO

BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)

Probabilidade e o MB

eventosdetotalNopossíveiseventosdeNo

eventoumdeadeprobabilidpossíveiseventosdeNoP

.

1.

.

36 possibilidades

A probabilidade de obtermos uma face de um dado (ou seja um evento) é de 1/6.Se considerarmos a possibilidade de duas faces serem possíveis (ex. 5 ou 6) a probabilidade será de 2 x (1/6) = 1/3.Em duas jogadas consecutivas, sendo cada jogada um evento independente as possibilidades serão:

1ª Jogada

2ª Jogada

1 1

1 2

1 3

1 4

... ...

6 5

6 6

Para que o evento (1,4) ocorra, a probabilidade será de 1/36, ou seja, o produto das probabilidades de cada evento independente 1/6 x 1/6 = 1/36.Qual a probabilidade de obtermos a face 4 na primeira jogada e a face 5 ou 6 na segunda?R.: 1/6 x 2 x 1/6 = 2/36

Perfis fractaisSIMULAÇÃO

BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)

Probabilidade e o MB

f(m)

m

1º caminho 2º caminho 3º caminho

21

21

)...(.)...( NN

vezesNvezesN

qpqqqqqppppp

!!

!

21 NN

N

21

!!

!),(

2121

NNN qp

NN

NNNP

o número de caminhos possíveis após N passos sendo N1 para esquerda e N2 para direita será

a probabilidade de uma seqüência de N passos, com N1 à esquerda e N2 à direita será

a probabilidade associada a um grupo de passos N1, N2 será dada por

Perfis fractaisSIMULAÇÃO

BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)

Probabilidade e o MB

22

!2

!2

!)(

mNmN

N qpmNmN

NmP

a probabilidade associada a um grupo de passos N1, N2 será dada por

tm 21

2

Perfis fractaisSIMULAÇÃO

BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)

Programa para simulação#include <stdlib.h>#include <stdio.h>void help();void main(int argc, char **argv){

int i,fim,eve,t;double brw=0.0,passo,mmax;if(argc!=3) { help(); exit(0); }fim=atoi(argv[1]);eve=atoi(argv[2]);mmax=32767.0;for(i=1;i<=fim;i++){

passo=0.0;for(t=1;t<=eve;t++)passo+=((double)rand()/mmax);printf("%d %f \n",i,brw+=(passo/eve-0.5));

}}void help(){ fprintf(stderr,"usage: wngA {No.de linhas} {No.de eventos}\n");}

Perfis fractaisSIMULAÇÃO

FBM

Movimento Browniano Fracionário

(Fractional Brownian Motion)

600 602 604 606 608 610-100

0100200300400

Time

H=

0,9

-15-10-505

10

H=

0,5

-2-10123

H=

0,1

HttDesvio )(

D = 2-H

Conceito de persistência.

Perfis fractaisSIMULAÇÃO

FBM

Algoritmo “midpoint displacement”

n

nnHH xbbxf )]cos(1[)(

)()( xfbbxf HH

A função de Weirstrass

Perfis fractaisSIMULAÇÃO

/* melhor resultados com um SH=0.60 */#include <math.h>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>double b,h,soma,f,arg;double x,i,SH,passo;unsigned long np;int n;double mincx,mincy,maxt;void help(void);void main(int argc, char **argv){

if(argc!=4){ help(); exit(0);}np=(unsigned long) atoi(argv[1]);SH=(double) atof(argv[3]);passo=0.01/(double)(np);b=2.1;h=atof(argv[2]);for (x=SH;x<=(SH+((np+1)*passo));x+=passo) {

soma=0.0; for (n=-30;n<=30;n++){

arg=(pow(b,n)*x)*0.01745;f=(1.00-cos(arg))/pow(b,(double)(n)*h);soma=soma+f;}

printf("%le %le\n",x,soma);}}void help(){ fprintf(stderr,"usage: wei {No.Points} { H } {Shift}\n");}

Weirstrass:código

Perfis fractaisSIMULAÇÃO

SOS SOS com difusão DLA

Modelos de Crescimento

Perfis fractaisSIMULAÇÃO

Modelos

TÓPICOS

Perfis Fractais;

Simulação;

Caracterização.

Superfícies Fractais;

Isotropia;

Homogeneidade.

Sistemas dinâmicos;

Autômatas;

Jogo da Vida.

Perfis fractaisCARACTERIZAÇÃO

Alguns métodos de cálculo dos índices fractais (para perfis)

• Variação

• Semivariograma

• RMS

• DFA

•R/S

• Tortuosidade

• FFT

Métodos variacionais

0 20 40 60 80 100 120 140100

120

140

160

180

r

max-min

Alt

ura

Z i (m

m)

Distancia i (mm)

xxxL

rAi

ii )min()max(1

)(

HrrA ~)(

Método da variação máximo-mínimoDubuc et al (1989)

Perfis fractais

Método RMSMoreira at al (1993)

0 20 40 60 80 100 120 140100

120

140

160

180

h

Zh

Altu

ra Z

i (m

m)

Distancia i (mm)

hN

u hi

hihh

ZxZmN

hW1

2

12_____

)(11

)(

HhLhW )(___

Perfis fractais

Método DFAMoreira at al (1994)

hN

u hihii

hh

xfxZmN

hW1

2

1

2___

)()(11

)(

HhhW ~)(___

0 20 40 60 80 100 120 140100

120

140

160

180

r

f(x)

Alt

ura

Z i (m

m)

Distancia i (mm)

Perfis fractais

Perfis fractais

2)(

)()(

)( hi

hn

=1i

Z-xZhn 2

1 = h

222)( hl h

Método do Semivariograma.Armstrong (1986)

Onde l Crossover Length

Perfis fractais

0.01 0.1 1 10 1000.01

0.1

1

10

100

BmH=0.5

MG

fBmH=0.4

fBmH=0.6

Completamente aleatorio

Longitud de escala, h

Sem

ivar

ianz

a, (

h)

Semivariogramas típicos

H Persistência

0.01 0.1 1 10 100

0.01

0.1

1

10

100

l =30

l =3

l =0.3

H=0.7

Longitud de escala, h

Sem

ivar

ianz

a, (

h)

0.01 0.1 1 10 100

0.01

0.1

1

10

100

= (1.3)2

l =1.3

H=0.1

H=0.9

H=0.5

Longitud de escala, h

Sem

ivar

ianz

a, (

h)

De forma que:

HRelação entre escalas

l Escala característica.

( sem l é como um mapa sem a legenda de escala)

Perfis fractais

Prática

Perfis fractais

Cálculo de D para um perfil fractal simulado via Weirstrass

- RMS

- Semivariograma

TÓPICOS

Perfis Fractais;

Simulação;

Caracterização.

Superfícies Fractais;

Isotropia;

Homogeneidade.

Sistemas dinâmicos;

Autômatas;

Jogo da Vida.

050

100

150

200

250 0

50

100

150

200

250

60

80

100

120

140

160

180

200 DT= 2,9

Superfícies:

FBM.

Modelos de crescimento

050

100

150

200

250 0

50

100

150

200

250

94

96

98

100

102

104

106

108

110

DT= 2,5

050

100

150

200

250 0

50

100

150

200

250

98

99

100

101

DT= 2,1

Superfícies fractais

Superfícies fractais

Isotropia:

Rosa de Hurst

0 200 400 600 800 1000 12000

200

400

600

800

1000

1200

Lineal

Altura (mm)

220.0

0.00

Eje x

Eje

y

0 200 400 600 800 1000 12000

200

400

600

800

1000

1200

Currence

Altura (mm)

160.0

0.00

Eje x

Eje

y

2

3

0

30

60

90

120

150

180

210

240270

300

330

2

3

Tipo de filtrado lineal Currence

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

50

100

150

200

250

300

350

400

Eje x

Eje

y

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.00

100

200

300

v =30

Num

. de

vent

anas

Dimensión Fractal

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

50

100

150

200

250

300

350

400

Dimensión Fractal 2.90 2.80 2.70 2.60 2.50 2.40 2.30 2.20 2.10 2.00

Exemplo para uma superfície simulada

Superfícies fractais

Homogeneidade:

TÓPICOS

Perfis Fractais;

Simulação;

Caracterização.

Superfícies Fractais;

Isotropia;

Homogeneidade.

Sistemas dinâmicos;

Autômatas;

Jogo da Vida.

Valores atuais : 000 001 010 011 100 101 110 111

Valores futuros: 0 1 0 1 1 0 1 0

Sistemas Dinâmicos

Autômatas

Autômatas

Sistemas Dinâmicos

Jogo da Vida

1 vizinho morre de solidão;

4, ou mais, vizinhos morre de superlotação;

3 vizinhos nasce;

Qualquer outra configuração se mantém.

Raio de vizinhança.Jogo da Vida

Dever de casa

Sistemas Dinâmicos

Buscar uma série temporal e calcular D para ela!