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FractaisII
José Garcia Vivas Miranda
2º Dia
Perfis Fractais;
Simulação;
Caracterização.
Superfícies Fractais;
Isotropia;
Homogeneidade.
Sistemas dinâmicos;
Autômatas;
Jogo da Vida.
Perfis fractais
Autosimilaridade
Autoafinidade
Conceitos
Perfis fractais
BM
FBM
Weirstrass
Modelos de crescimento
SIMULAÇÃO
Perfis fractaisSIMULAÇÃO
BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)
Origem do pólen
Exemplo do bêbado
0 500 1000 1500 2000
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8a
t
0 500 1000 1500 2000-20
-15
-10
-5
0
5
10
b
Xt
2/1)( ttDesvio
Autoafinidade
O movimento Browniano(modelo de Wiener )
e F
Fp
4
2
4
1),(
Fdp 2),(22
n
iitX
1
)(
0 500 1000 1500 2000
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8a
t
0 500 1000 1500 2000-20
-15
-10
-5
0
5
10
b
X
t
Autoafinidade
O movimento Browniano
t
X
t t+ t+2
X(t+2)
X(t)
’’
’X(t+)
),''(),'(),'';'( ppp
e F
Fppdp
24
2
24
1),'(),'(')2,(
e Fb
Fbbp
4
2
4
1),(
Autoafinidade
O movimento Browniano
bhcomFh 22
FhtXhtX 2)()( 2
FhtXhtX 2)()( 2
2)()(2
1)( tXhtXh
hh )(
Perfis fractaisSIMULAÇÃO
BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)
Probabilidade e o MB
eventosdetotalNopossíveiseventosdeNo
eventoumdeadeprobabilidpossíveiseventosdeNoP
.
1.
.
36 possibilidades
A probabilidade de obtermos uma face de um dado (ou seja um evento) é de 1/6.Se considerarmos a possibilidade de duas faces serem possíveis (ex. 5 ou 6) a probabilidade será de 2 x (1/6) = 1/3.Em duas jogadas consecutivas, sendo cada jogada um evento independente as possibilidades serão:
1ª Jogada
2ª Jogada
1 1
1 2
1 3
1 4
... ...
6 5
6 6
Para que o evento (1,4) ocorra, a probabilidade será de 1/36, ou seja, o produto das probabilidades de cada evento independente 1/6 x 1/6 = 1/36.Qual a probabilidade de obtermos a face 4 na primeira jogada e a face 5 ou 6 na segunda?R.: 1/6 x 2 x 1/6 = 2/36
Perfis fractaisSIMULAÇÃO
BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)
Probabilidade e o MB
f(m)
m
1º caminho 2º caminho 3º caminho
21
21
)...(.)...( NN
vezesNvezesN
qpqqqqqppppp
!!
!
21 NN
N
21
!!
!),(
2121
NNN qp
NN
NNNP
o número de caminhos possíveis após N passos sendo N1 para esquerda e N2 para direita será
a probabilidade de uma seqüência de N passos, com N1 à esquerda e N2 à direita será
a probabilidade associada a um grupo de passos N1, N2 será dada por
Perfis fractaisSIMULAÇÃO
BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)
Probabilidade e o MB
22
!2
!2
!)(
mNmN
N qpmNmN
NmP
a probabilidade associada a um grupo de passos N1, N2 será dada por
tm 21
2
Perfis fractaisSIMULAÇÃO
BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)
Programa para simulação#include <stdlib.h>#include <stdio.h>void help();void main(int argc, char **argv){
int i,fim,eve,t;double brw=0.0,passo,mmax;if(argc!=3) { help(); exit(0); }fim=atoi(argv[1]);eve=atoi(argv[2]);mmax=32767.0;for(i=1;i<=fim;i++){
passo=0.0;for(t=1;t<=eve;t++)passo+=((double)rand()/mmax);printf("%d %f \n",i,brw+=(passo/eve-0.5));
}}void help(){ fprintf(stderr,"usage: wngA {No.de linhas} {No.de eventos}\n");}
Perfis fractaisSIMULAÇÃO
FBM
Movimento Browniano Fracionário
(Fractional Brownian Motion)
600 602 604 606 608 610-100
0100200300400
Time
H=
0,9
-15-10-505
10
H=
0,5
-2-10123
H=
0,1
HttDesvio )(
D = 2-H
Conceito de persistência.
Perfis fractaisSIMULAÇÃO
FBM
Algoritmo “midpoint displacement”
n
nnHH xbbxf )]cos(1[)(
)()( xfbbxf HH
A função de Weirstrass
Perfis fractaisSIMULAÇÃO
/* melhor resultados com um SH=0.60 */#include <math.h>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>double b,h,soma,f,arg;double x,i,SH,passo;unsigned long np;int n;double mincx,mincy,maxt;void help(void);void main(int argc, char **argv){
if(argc!=4){ help(); exit(0);}np=(unsigned long) atoi(argv[1]);SH=(double) atof(argv[3]);passo=0.01/(double)(np);b=2.1;h=atof(argv[2]);for (x=SH;x<=(SH+((np+1)*passo));x+=passo) {
soma=0.0; for (n=-30;n<=30;n++){
arg=(pow(b,n)*x)*0.01745;f=(1.00-cos(arg))/pow(b,(double)(n)*h);soma=soma+f;}
printf("%le %le\n",x,soma);}}void help(){ fprintf(stderr,"usage: wei {No.Points} { H } {Shift}\n");}
Weirstrass:código
Perfis fractaisSIMULAÇÃO
SOS SOS com difusão DLA
Modelos de Crescimento
Perfis fractaisSIMULAÇÃO
Modelos
TÓPICOS
Perfis Fractais;
Simulação;
Caracterização.
Superfícies Fractais;
Isotropia;
Homogeneidade.
Sistemas dinâmicos;
Autômatas;
Jogo da Vida.
Perfis fractaisCARACTERIZAÇÃO
Alguns métodos de cálculo dos índices fractais (para perfis)
• Variação
• Semivariograma
• RMS
• DFA
•R/S
• Tortuosidade
• FFT
Métodos variacionais
0 20 40 60 80 100 120 140100
120
140
160
180
r
max-min
Alt
ura
Z i (m
m)
Distancia i (mm)
xxxL
rAi
ii )min()max(1
)(
HrrA ~)(
Método da variação máximo-mínimoDubuc et al (1989)
Perfis fractais
Método RMSMoreira at al (1993)
0 20 40 60 80 100 120 140100
120
140
160
180
h
Zh
Altu
ra Z
i (m
m)
Distancia i (mm)
hN
u hi
hihh
ZxZmN
hW1
2
12_____
)(11
)(
HhLhW )(___
Perfis fractais
Método DFAMoreira at al (1994)
hN
u hihii
hh
xfxZmN
hW1
2
1
2___
)()(11
)(
HhhW ~)(___
0 20 40 60 80 100 120 140100
120
140
160
180
r
f(x)
Alt
ura
Z i (m
m)
Distancia i (mm)
Perfis fractais
Perfis fractais
2)(
)()(
)( hi
hn
=1i
Z-xZhn 2
1 = h
222)( hl h
Método do Semivariograma.Armstrong (1986)
Onde l Crossover Length
Perfis fractais
0.01 0.1 1 10 1000.01
0.1
1
10
100
BmH=0.5
MG
fBmH=0.4
fBmH=0.6
Completamente aleatorio
Longitud de escala, h
Sem
ivar
ianz
a, (
h)
Semivariogramas típicos
H Persistência
0.01 0.1 1 10 100
0.01
0.1
1
10
100
l =30
l =3
l =0.3
H=0.7
Longitud de escala, h
Sem
ivar
ianz
a, (
h)
0.01 0.1 1 10 100
0.01
0.1
1
10
100
= (1.3)2
l =1.3
H=0.1
H=0.9
H=0.5
Longitud de escala, h
Sem
ivar
ianz
a, (
h)
De forma que:
HRelação entre escalas
l Escala característica.
( sem l é como um mapa sem a legenda de escala)
Perfis fractais
Prática
Perfis fractais
Cálculo de D para um perfil fractal simulado via Weirstrass
- RMS
- Semivariograma
TÓPICOS
Perfis Fractais;
Simulação;
Caracterização.
Superfícies Fractais;
Isotropia;
Homogeneidade.
Sistemas dinâmicos;
Autômatas;
Jogo da Vida.
050
100
150
200
250 0
50
100
150
200
250
60
80
100
120
140
160
180
200 DT= 2,9
Superfícies:
FBM.
Modelos de crescimento
050
100
150
200
250 0
50
100
150
200
250
94
96
98
100
102
104
106
108
110
DT= 2,5
050
100
150
200
250 0
50
100
150
200
250
98
99
100
101
DT= 2,1
Superfícies fractais
Superfícies fractais
Isotropia:
Rosa de Hurst
0 200 400 600 800 1000 12000
200
400
600
800
1000
1200
Lineal
Altura (mm)
220.0
0.00
Eje x
Eje
y
0 200 400 600 800 1000 12000
200
400
600
800
1000
1200
Currence
Altura (mm)
160.0
0.00
Eje x
Eje
y
2
3
0
30
60
90
120
150
180
210
240270
300
330
2
3
Tipo de filtrado lineal Currence
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
50
100
150
200
250
300
350
400
Eje x
Eje
y
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.00
100
200
300
v =30
Num
. de
vent
anas
Dimensión Fractal
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
50
100
150
200
250
300
350
400
Dimensión Fractal 2.90 2.80 2.70 2.60 2.50 2.40 2.30 2.20 2.10 2.00
Exemplo para uma superfície simulada
Superfícies fractais
Homogeneidade:
TÓPICOS
Perfis Fractais;
Simulação;
Caracterização.
Superfícies Fractais;
Isotropia;
Homogeneidade.
Sistemas dinâmicos;
Autômatas;
Jogo da Vida.
Valores atuais : 000 001 010 011 100 101 110 111
Valores futuros: 0 1 0 1 1 0 1 0
Sistemas Dinâmicos
Autômatas
Autômatas
Sistemas Dinâmicos
Jogo da Vida
1 vizinho morre de solidão;
4, ou mais, vizinhos morre de superlotação;
3 vizinhos nasce;
Qualquer outra configuração se mantém.
Raio de vizinhança.Jogo da Vida
Dever de casa
Sistemas Dinâmicos
Buscar uma série temporal e calcular D para ela!