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Esercitazione finale fondazioni
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Politecnico di Torino
Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
- FONDAZIONI -
Ing. Marta CASTELLI
Tel. 011 090 4903
Email. marta.castelli@polito.itRicevimento: su appuntamento
Politecnico di Torino
Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Esercitazione 1
Calcolo tensioni indotte dai carichi
Calcolo cedimenti
Verifica SLE fondazioni superficiali
2
3
Calcolo tensioni indotte da un carico
Calcolo tensioni indotte da un carico
� Al fine di calcolare le tensioni indotte in un terreno da un carico applicato in superficie si ricorre alla Teoria dell’Elasticità
� Il terreno viene cioè assimilato ad un mezzo omogeneo ed isotropo a comportamento elastico lineare (legge costitutiva)
� Il problema viene risolto impostando un sistema di equazioni differenziali che, con le opportune condizioni iniziali ed al contorno, fornisce in ogni punto del mezzo: o 6 componenti del tensore degli sforzi (⇒ tensioni indotte)
o 6 componenti del tensore delle deformazioni
o 3 componenti del vettore spostamento (⇒ cedimenti)
� È possibile ottenere una soluzione in forma chiusa a partire dal Problema di Boussinesq (1885):
o calcolo dello stato di sforzo e deformazione prodotto da una forza concentrata applicata sulla frontiera di un semispazio elastico
4
Calcolo tensioni indotte da un carico
� Problema di Boussinesq (1885):
soluzione in termini di stato di sforzo indotto
(in coordinate cilindriche a causa della simmetria assiale)
NB solo σz e τrz sono indipendenti dalle proprietà del mezzo 5
Calcolo tensioni indotte da un carico
( ) ( )
+ν−
ν+=
2
2
R
z12
πRE2
1Pw
( ) ( )
+
ν−−
ν+=
zR
r21
R
rz
πRE2
1Pu
2
� Problema di Boussinesq (1885):
soluzione in termini di spostamenti indotti
(in coordinate cilindriche a causa della simmetria assiale)
6
Calcolo tensioni indotte da un carico
Partendo dalla soluzione di Boussinesq, con il principio disovrapposizione degli effetti si ottengono di effetti prodotti da uncarico distribuito:
� Carico uniforme su area circolare
� Carico uniforme su area rettangolare/quadrata
� Carico uniforme nastriforme
� Carico triangolare nastriforme
� Combinazioni di carichi nastriformi triangolari ed uniformi
Aree di carico flessibili
7
Carico uniforme su area circolare
∆σz prodotta all’interno di un semispazio elastico da un carico uniforme applicato su un’area
circolare di raggio a
A B
Punto A (r = 0)
(asse baricentrico)
Punto B (r ≠ 0)
(generico)∆σz= q⋅fz(a, z, r)
(Simmetria assiale ⇒⇒⇒⇒ coordinate cilindriche)
8
Carico uniforme su area circolare
9
Carico uniforme su area circolare0
1
2
3
4
0 1 2 3
xa
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.15
0.100.05
z
q
q
za
(Lambe & Withman, 1969)
Bulbo delle tensioni
� Luogo dei punti a ∆��� = cost
� Il bulbo ∆��� = 0,1
Solitamente identifica il volume di terreno influenzato dal carico, a cui riferire per esempio le indagini sperimentali ed il calcolo dei cedimenti
10
Carico uniforme su area circolare
Esempio
q = 150 kPa
a = 2m
z(A,B) = 3m
r(A) = 0
r(B) = 3m
Calcolare lo sforzo ∆σz indotto nei punti A e B dal carico q, uniformemente distribuito sull’area circolare rappresentata in figura
z
r
a
A B
A B
z(A,B)
r(B)
q
Dati del
problema
11
Carico uniforme su area circolare
Esempio
1) soluzione analitica (r = 0)
2) soluzione da abaco r/a = 0z/a = 3/2 = 1,5
Punto A (asse baricentrico)
∆σ q 1 � 1 �⁄ � � 1 � ��
∆σ 150 1 � �� �⁄ ��� � ��
= 150⋅0,42 = 63 kPa
12
z/a = 1,5
r/a = 0
∆σ∆σ∆σ∆σz/q = 0,45
Soluzione da abaco
Punto A
(asse baricentrico)
13
14
Carico uniforme su area circolare
Esempio
1) soluzione analitica (r = 0)
2) soluzione da abaco r/a = 0z/a = 3/2 = 1,5
Punto A (asse baricentrico)
Punto B (generico)
2) soluzione da abaco r/a = 3/2 = 1,5z/a = 3/2 = 1,5
1) No soluzione analitica
∆σ q 1 � 1 �⁄ � � 1 � ��
∆σ 150 1 � �� �⁄ ��� � ��
= 150⋅0,42 = 63 kPa
∆σ� ≅ 0,45∆σ ≅ 67,5 kPa
z/a = 1,5
r/a = 1,5∆σ∆σ∆σ∆σz/q ≅≅≅≅ 0,14
Soluzione da abaco
Punto B
(generico)
15
Carico uniforme su area circolare
Esempio
1) soluzione analitica (r = 0) ∆σ q 1 � 1 �⁄ � � 1 � ��
∆σ 150 1 � �� �⁄ ��� � ��
= 150⋅0,42 = 63 kPa
2) soluzione da abaco r/a = 0z/a = 3/2 = 1,5
∆σ� ≅ 0,45∆σ ≅ 67,5 kPa
Punto A (asse baricentrico)
Punto B (generico)
2) soluzione da abaco r/a = 3/2 = 1,5z/a = 3/2 = 1,5
∆!�� ≅0,14
∆σ ≅ 21kPa
1) No soluzione analitica
16
Carico uniforme su area rettangolare
Incremento di tensione verticale ∆σal di sotto di uno spigolo
z
r
A
Az(A)
q
mznz
I= ��'
�()∙ (��)���(��)����(�)� ∙ (��)���
(��)��� � +,-� �()∙ (��)���(��)���-(�)�
Tramite la sovrapposizione degli effetti è possibile calcolare la tensione indotta lungo una qualsiasi altra verticale
∆./qqqq⋅⋅⋅⋅IIII((((m,nm,nm,nm,n))))
17
Area rettangolarediagramma di Newmark
1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10
61.5 2.52 3 4 5 87 9 10
0.10
0.15
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.60.1 0.15 0.250.2 0.3 0.4 0.5 0.80.7 0.9 1 1.5 2 2.5 3 4 5 106 7 8 9
m no
m no
n
m
o
1.5
1
2
2.5
3
4
6
5
7
10
8
9
n
m
o
0.200.190.18
0.170.16
0.150.14
0.130.12
0.110.10
0.090.08
0.070.06
0.050.04
0.030.0240.0200.0150.011
0.0100.012
0.0060.007
0.0080.009
0.24
9
0.2
470.2
45
0.2
40
0.2
350
.23
0.2
2
0.2
1
0.2
0
0.19
z
mz
nz
A
z = q f. (m n, )
coefficiente IIII
18
Carico uniforme su area rettangolare
Esempio 1
z
r
L = 4m
C
A
CAz(A,C) = 2 m
q = 117 kPa
B = 3mCalcolare lo sforzo ∆σz indotto nei punti A e C dal carico q, uniformemente distribuito sull’area rettangolare di lati B ed L rappresentata in figura
q = 117 kPa
B = 3m
L = 4m
z(A,C) = 2m
Dati del
problemaPunto A: sotto lo spigolo
Punto C: sotto il baricentro
19
Definendo:m = B/zn = L/z If(m,n)
Punto A (spigolo)m = 3/2 = 1,5n = 4/2 = 2 I = f(m,n) = ?
Carico uniforme su area rettangolare
Esempio 1
⇒⇒⇒⇒ diagramma di Newmark (∗∗∗∗)
z
r
L = 4m
A
Az(A,C) = 2 m
q = 117 kPa
B = 3m
20
(∗∗∗∗) area rettangolare diagramma di Newmark
1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10
61.5 2.52 3 4 5 87 9 10
0.10
0.15
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.60.1 0.15 0.250.2 0.3 0.4 0.5 0.80.7 0.9 1 1.5 2 2.5 3 4 5 106 7 8 9
m no
m no
n
m
o
1.5
1
2
2.5
3
4
6
5
7
10
8
9
n
m
o
0.200.190.18
0.170.16
0.150.14
0.130.12
0.110.10
0.090.08
0.070.06
0.050.04
0.030.0240.0200.0150.011
0.0100.012
0.0060.007
0.0080.009
0.24
9
0.2
470.2
45
0.2
40
0.2
350
.23
0.2
2
0.2
1
0.2
0
0.19
z
mz
nz
A
z = q f. (m n, )
coefficiente IIII
m = 1,5
n = 2
IIII ≅≅≅≅ 0,223
punto A
21
22
Definendo:
Carico uniforme su area rettangolare
Esempio 1
m = B/zn = L/z If(m,n)
Punto A (spigolo)m = 3/2 = 1,5n = 4/2 = 2 I = f(m,n) = 0,223
(da diagramma di Newmark)
z
r
L = 4m
A
Az(A,C) = 2 m
q = 117 kPa
B = 3m
∆σ = q⋅I = 117 ⋅0,223 ≅ 26 kPa
Carico uniforme su area rettangolare
Esempio 1
m = B/z= 1,5/2 = 0,75n = L/z= 2/2 = 1 I = f(m,n) = ?
z
r
L = 2m
C
Cz(A,C) = 2 m
q = 117 kPa
B = 1,5m1
2
4
3
23
Punto C (baricentro)
1. Ricerca delle aree di carico di cui il punto C sia uno spigolo
2. Determinazione del coefficiente I per ciascuna
3. Calcolo ∆σ per ciascuna
4. Sovrapposizione degli effetti
⇒⇒⇒⇒ diagramma di Newmark (∗∗∗∗)
(∗∗∗∗) area rettangolare diagramma di Newmark
1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10
61.5 2.52 3 4 5 87 9 10
0.10
0.15
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.60.1 0.15 0.250.2 0.3 0.4 0.5 0.80.7 0.9 1 1.5 2 2.5 3 4 5 106 7 8 9
m no
m no
n
m
o
1.5
1
2
2.5
3
4
6
5
7
10
8
9
n
m
o
0.200.190.18
0.170.16
0.150.14
0.130.12
0.110.10
0.090.08
0.070.06
0.050.04
0.030.0240.0200.0150.011
0.0100.012
0.0060.007
0.0080.009
0.24
9
0.2
470.2
45
0.2
40
0.2
350
.23
0.2
2
0.2
1
0.2
0
0.19
z
mz
nz
A
z = q f. (m n, )
n = 1
IIII ≅≅≅≅ 0,153
m = 0,75
punto C
24
25
Carico uniforme su area rettangolare
Esempio 1
m = B/z= 1,5/2 = 0,75n = L/z= 2/2 = 1 I = f(m,n) = 0,153
(da diagramma di Newmark)
z
r
L = 2m
C
Cz(A,C) = 2 m
q = 117 kPa
B = 1,5m1
2
4
3(∗∗∗∗)
Punto C (baricentro)
1. Ricerca delle aree di carico di cui il punto C sia uno spigolo
2. Determinazione del coefficiente I per ciascuna
3. Calcolo ∆σ per ciascuna
4. Sovrapposizione degli effetti
∆σ(�) = q⋅I = 117 ⋅0,153
≅ 17,90 kPa
∆σ(454) = 4 ⋅ ∆σ(�) = 4 ⋅17,90
≅ 71,60 kPa
Carico uniforme su area rettangolare
Esempio 2
Calcolare lo sforzo ∆σz indotto nel punto D dal carico q, uniformemente distribuito sull’area rettangolare di lati B ed L rappresentata in figura
q = 117 kPa
B = 3m
L = 4m
z(D) = 2m
x(D) = 3m
y(D) = 3m
Dati del
problema
Punto D: al di fuori dell’area di carico
z
x
L = 4m
D
Dz(D) = 2 m
q = 117 kPa
B = 3mx
y
xD= 3 m
yD= 3 m
26
4m
D
3mx
y
1,5m
1m
1
23
4
5
6
7
8
D
D
-D
-D
�D
Carico uniforme su area rettangolare
Esempio
27
Punto D
(al di fuori dell’area di carico)
1. Ricerca delle aree di carico di cui il punto D sia uno spigolo
2. Determinazione del coefficiente I per ciascuna
3. Calcolo ∆σ per ciascuna
4. Sovrapposizione degli effetti
∆σ(454) ∆σ(78�9) = ∆σ :��� - ∆σ(:�8;) - ∆σ(:<9�) � ∆σ(:<7;)
m = B/zn = L/zI = f(m,n)
da diagramma di Newmark
∆σz = q⋅I4m
D
3mx
y
1,5m
1m
1
23
4
5
6
7
8
area B
(m)
L
(m)
m
(-)
n
(-)
IIII(-) (kPa)
D123 4,5 5 2,25 2,5 0,238 27,846
D164 1,5 5 0,75 2,5 0,180 21,06
D573 4,5 1 2,25 0,5 0,135 15,795
D584 1,5 1 0,75 0,5 0,105 12,285
∆σ ( ) = ∆σ (8627) = 27,846 - 21,06 - 15,795+12,285 = 3,276 kPa
Carico uniforme su area rettangolare
Esempio 2
z = 2m
q = 117kPa
28
Carico uniforme nastriforme
Deformazione piana
⇒⇒⇒⇒ coordinate cartesiane
Stato di sforzo indotto in un punto
z
y
b (L → ∞)
σσσσy
q
σσσσz
ττττyz
ττττzy
ββββ’
αααα
σσσσ1
ββββ
ββββ = αααα/2 + ββββ’
Bisettrice angolo α
NB dopo l’applicazione del carico le tensioni principali saranno ruotate!
(Angolo α espresso in radianti)
29
∆σ= ∆σ>qπ α � sin α cos 2β
∆σF ∆σGqπ α � sin α cos 2β
∆τ=Fqπ sin α sin 2β
Carico uniforme nastriforme
Tensioni principali indotte
z
y
b (L → ∞)
σσσσy
q
σσσσz
ττττyz
ττττzy
αααα
σσσσ1
Bisettrice angolo α
Direzioni principali indotte
σσσσ3
σ1 ⇒ direzione della bisettrice dell’angolo α
σ3 ⇒ direzione ortogonale
ββββ
30
∆σ�qπ α � sin α
∆σ�qπ α � sin α
Carico uniforme nastriforme
Lungo l’asse baricentrico
(β’ = α/2; β = 0)
z
y
b (L → ∞)
σσσσ3
q
σσσσ1
αααα/2 = ββββ’
Bisettrice angolo α
Solo in questo caso le tensioni verticale σv ed orizzontale σh
restano tensioni principali dopo l’applicazione del carico
31
∆σ= ∆σ> ∆σ� qπ α � sin α
∆σF ∆σG ∆σ� qπ α � sin α
∆τ=F 0
Carico uniforme nastriforme
z
y
b (L → ∞)
q
αααα
σσσσ1A
σσσσ3A
αααα
σσσσ1B
σσσσ3B
αααα
σσσσ3C
σσσσ1C
A
B
C
Nei punti che giacciono su una circonferenza che passa per i bordi dell’area di carico (α = cost), le tensioni principali indotte hanno la stessa entità e diversa direzione
32
∆σ�I ∆σ�J ∆σ�Kqπ α � sin α
∆σ�I ∆σ�J ∆σ�Kqπ α � sin α
Carico distribuito nastriforme
Esempio
1. Calcolare nei punti indicati:
� le tensioni geostatiche
� le tensioni indotte dall’area di carico nastriforme
2. Rappresentare gli stress-path relativi al seguente percorso di carico
z
y
B= 30m (L → ∞)
q = 180 kPa
A 5mB 10m
C 20m
D 30m
E 50m
F 75m
G 100m
γ = 20kN/m3
K0 = 0,40
No falda
1 t
q
0 2Breve
termineLungo
termine 33
Carico uniforme nastriforme
Esempio� Tensioni geostatiche
σv0 = σ10 = γ⋅z
u0 = 0
σ’v0 = σ’10 = σv0
σ’h0 = σ’30 = K0⋅σ’v0
u0 = 0
σh0 = σ30 = σ’h0
t0= (σv0 - σh0)/2= t’0
s0= (σv0 + σh0)/2= s’0punto z (m)σσσσv0 = σσσσ10
(kPa)
σσσσh0 = σσσσ30
(kPa)
to
(kPa)
s’0
(kPa)
A 5 100 40 30 70
B 10 200 80 60 140
C 20 400 160 120 280
D 30 600 240 180 420
E 50 1000 400 300 700
F 75 1500 600 450 1050
G 100 2000 800 600 1400
verticali orizzontali
34
Carico uniforme nastriforme
Esempio
0
100
200
300
400
500
600
700
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
t (k
Pa
)
s, s’ (kPa)
I punti (t0, s’0) giacciono sulla retta K0
ββββ ≅≅≅≅ 23°
� Tensioni geostatiche
35
tanβ 1 � KO1 � KO
0,61,4 0,43
Carico uniforme nastriforme
Esempio� Variazione dello stato tensionale per effetto del carico applicato
Sforzi indotti (asse baricentrico)
Stato tensionale finale
σv1 = σ’v1 = σv0 + ∆σv
σh1 = σ’h1 = σh0 + ∆σh
z
y
b (L → ∞)
σσσσh1
q
σσσσv1
αααα/2
t1= (σv1 - σh1)/2= t’1
s1= (σv1 + σh1)/2= s’1
1 t
q
0 2Breve
termineLungo
termine
1- Breve termine
2- Lungo termine
σv2 = σ’v2 = σv1
σh2 = σ’h2 = σh1
t2 = t’2 = t1
s2 = s’2 = s136
∆σ> ∆σ’v ∆σ�
qπ α � sin α
∆σG ∆σ’h ∆σ�
qπ α � sin α
Carico uniforme nastriforme
Esempio� Variazione dello stato tensionale per effetto del carico applicato
punto
z
(m)
σσσσv0
(kPa)
σσσσh0
(kPa)
αααα(°)
αααα(rad)
∆σ∆σ∆σ∆σv
(kPa)
∆σ∆σ∆σ∆σh
(kPa)
σσσσv1
(kPa)
σσσσh1
(kPa)
t1 = t2
(kPa)
s’1 = s’2
(kPa)
A 5 100 40 143,13 2,4981 177,51 108,75 277,51 148,75 64,38 213,13
B 10 200 80 112,62 1,9656 165,51 59,73 365,51 139,73 112,89 252,62
C 20 400 160 73,74 1,2870 128,74 18,74 528,74 178,74 175,00 353,74
D 30 600 240 53,13 0,9273 98,97 7,29 698,97 247,29 225,84 473,13
E 50 1000 400 33,40 0,5829 64,94 1,86 1064,94 401,86 331,54 733,40
F 75 1500 600 22,62 0,3948 44,66 0,58 1544,66 600,58 472,04 1072,62
G 100 2000 800 17,06 0,2978 33,87 0,25 2033,87 800,25 616,81 1417,06
z
b/2
α/2
(a) (b)
(a)
(b)37
tan Q2 R 2��
Q ° 2 ∙ tan-� R2�
Q T U 2V ∙ Q(°)360
Carico uniforme nastriforme
Esempio� stress path (percorso 0-1-2)
0
100
200
300
400
500
600
700
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
t (k
Pa
)
s, s’ (kPa)
stress-path
0 (geostatico)
1 (breve termine) = 2 (lungo termine)
38
�Osservazioni
o Un carico nastriforme non altera le direzioni principali sotto l’asse baricentrico (∆τhv = 0)
o Al di fuori dell’asse baricentrico ∆τhv≠ 0 per cui le direzioni principali non coincidono più con gli assi verticale ed orizzontale
o Un carico nastriforme altera le condizioni K0
o L’influenza del carico diminuisce con la profondità
Carico uniforme nastriforme
Esempio
39
Calcolo tensioni indotte da un carico
Limiti dell’approccio elastico� Le soluzioni derivate dal problema di Boussinesq comportano forti
semplificazioni, legate a:o assunzione di mezzo omogeneo ed isotropoo Assunzione di una legge costitutiva elastica lineareo Scelta dei parametri di deformabilità (E, υ)
� In realtà il comportamento del terreno è molto più complesso ed è affetto da anisotropie (stratificazioni), eterogeneità, non linearità
� Per questo motivo risulta affidabile solo la stima della componente
verticale dello sforzo indotto (∆��), indipendente dalle proprietà del mezzo
� Nel caso di terreno stratificato inoltre, la soluzione di Boussinesqsottostima la riduzione della tensione verticale con la profondità quando lo strato superiore è molto meno deformabile di quello inferiore (Estrato
superiore >> Estrato inferiore )
40
41
Fondazioni superficiali:
Calcolo cedimenti
Verifica SLE
Stima dei cedimenti di fondazioni superficiali
� I cedimenti delle fondazioni superficiali sono rappresentati dagli spostamenti verticali del piano di posa dovuti ai carichi trasmessi dalla fondazione
� Essi rappresentano l’integrale delle deformazioni verticali del terreno sottostante la fondazione, effetto di:o distorsione del terreno
o compressione del terreno (riduzione di e0)
o rottura e/o deformazioni dei grani
� La stima dei cedimenti attesi viene condotta per valutarne l’ammissibilità in condizioni di esercizio della struttura (Stato
limite di Esercizio, SLE), cioè per carichi inferiori a quelli che producono la rottura nel terreno (piccole deformazioni)
Teoria dell’elasticità42
Stima dei cedimenti di fondazioni superficiali
� Per il calcolo del cedimento di progetto è necessario: o conoscere lo stato tensionale iniziale nel sottosuolo
o calcolare l’incremento delle tensioni prodotto dalla realizzazione dell’opera
o definire il legame fra incrementi di tensione e incrementi di deformazione (legge costitutiva)
o calcolare ed integrare e deformazioni per determinare le aliquote del cedimento
o definire il decorso nel tempo
� Il cedimento ammissibile è definito in funzione dei requisiti dell’opera
Valore di progetto dell’effetto dell’azione
(cedimento di progetto)
Valore limite dell’effetto dell’azione
(cedimento ammissibile)
Verifica SLE:
Ed ≤≤≤≤ Cd
43
Stima dei cedimenti di fondazioni superficiali
� I già discussi limiti dell’approccio elastico rendono le soluzioni derivate dalla teoria dell’elasticità idonee unicamente alla previsione dell’incremento delle tensioni prodotto dalla realizzazione dell’opera
� La dipendenza delle componenti di spostamento elastico dai parametri di deformabilità fa si che sia necessario ricorrere a prove sperimentali per avere una stima dei cedimenti affidabile
� Si fa riferimento in particolare a:
o prove di laboratorio per terreni a grana fine
o prove in sito per terreni a grana grossa
44
Stima dei cedimenti di fondazioni superficiali
terreni a grana fine
t
q
t
S
Si
Sc
Ss
t0 <t < tD Condizioni non drenate
t < t100 Consolidazione
t > t100 Condizioni drenate
Cedimento totale ⇒⇒⇒⇒ Stot=Si+Sc+Ss
Si = cedimento immediato
(distorsioni a volume costante)
Sc = cedimento di consolidazione
(dissipazione ∆u)
Ss = cedimento secondario
(deformazioni viscose)
t100tDt0
Per i carichi dell’ing. Civile i terreni a grana fine si trovano inizialmente in condizioni non drenate (volume costante)
45
Stima dei cedimenti di fondazioni superficiali
terreni a grana fine
L’importanza relativa delle tre componenti dipende da:
o Tipo di terreno
o Entità e velocità di applicazione dei carichi
o Geometria del problema
Dall’analisi di strutture in vera grandezza:
Argille tenere (NC)
Argille consistenti (SC)
Sc = Sed
Si= 0,1 ScStot = Sc + 0,1Sc = 1,1 Sc
Stot = Sed
Si= 1/3÷2/3 Stot
Sed = cedimento edometrico (consolidazione monodimensionale)
Prova edometrica 46
Stima dei cedimenti di fondazioni superficiali
terreni a grana grossolana
Per i carichi dell’ing. Civile i terreni a grana grossolana si trovano sempre in condizioni drenate
Stot=Si+Ss
t
q
t
S
Si
Ss
tD=t100t0
tD = t100 ⇒⇒⇒⇒ Si = Sc
A causa dell’impossibilità di prelevare campioni indisturbati i metodi di
calcolo sono basati prevalentemente sull’interpretazione di prove in sito
47
Stima dei cedimenti di fondazioni superficiali
Metodi di calcolo
Terreni a grana grossolana:
Terreni a grana fine:
Correlazioni con prove penetrometriche:
1. Metodo di Burland e Burbidge (1985) ⇒ prove SPT
2. Metodo di Schmertmann (1978) ⇒ prove CPT
Metodo di Terzaghi (1943) ⇒ prova edometrica(consolidazione monodimensionale)
48
Terreni a grana fine
Passi del calcolo dei cedimenti
a) Ricostruzione stratigrafica• Sondaggi con prelievo di carote
• Campioni di laboratorio per prove di classificazione
• Prove penetrometriche
b) Condizioni di falda• Piezometri
c) Ricostruzione della storia tensionale (σσσσ’p)• Prova edometrica
d) Definizione dei parametri meccanici (compressibilità)• Prova edometrica
e) Calcolo degli sforzi indotti dalla struttura (∆σ∆σ∆σ∆σv)• Teoria dell’elasticità (Boussinesq)
f) Calcolo dei cedimenti• Metodo edometrico (cedimento di consolidazione monodimensionale)
Operazioni
preliminari
comuni a
tutti i
problemi di
geotecnica
Metodo di
Terzaghi
49
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Esempio
Stimare il cedimento di consolidazione della torre di
Pisa considerando:
� Peso della Torre W = 141.75 MN
� Raggio R = 9.78 m
� Approfondimento medio del piano di posa rispetto al piano campagna D = 3 m
� γ = 18 kN/m3
50
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Semplificazioni del problema
� Carico uniformemente distribuito
o fondazione flessibile
o no inclinazione della torre
� Cedimento uniforme
o calcolo sotto il centro della fondazione
51
-7.40
-37
Quota media del
piano di fondazione
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Ricostruzione Stratigrafica
52
Calcolo del cedimento in
terreni a grana fine
Prove CPT
Contribuiscono alla definizione della stratigrafia e consentono di
suddividere lo strato compressibile in porzioni omogenee ∆H (a
resistenza qc costante)
53
Calcolo del cedimento
in terreni a grana fine
Livelli piezometricix
y
z
x) u0 = 1,80⋅9,81 = 17,65 kPa
3.3 m
y) u0 = 9,2 ⋅9,81 =90,25 kPa
z) u0 = 35,5⋅9,81 = 348,25 kPa
Sono presenti due acquiferi indipendenti (complessi A e C)
Moto di filtrazione (verso il basso) nel complesso B argilloso
Pressioni interstiziali
Per la determinazione di u0 nel complesso B è possibile assumere una variazione lineare tra i punti b e c 54
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi
1. Suddivisione del deposito in strati omogenei di spessore iniziale Hi
2. Nella mezzeria di ogni stratoa) Calcolo stato tensionale iniziale (σ’v0)
b) Definizione di σ’p e dei parametri di compressibilità (da prove edometriche)
c) Calcolo incremento di sforzo ∆σv indotto dall’applicazione del carico netto, considerato uniforme (fondazione flessibile):
qN = q - γD
d) Calcolo stato tensionale finale (σ’vf = σ’v0 + ∆σ’v)
3. Calcolo del cedimento di ogni strato Sed = ∆∆∆∆Hi
4. Calcolo del cedimento totale Stot = ∆∆∆∆Htot = ΣΣΣΣ(∆∆∆∆Hi)
55
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi
strato z zmed H0
[m] [m] [m]
A1 0.00-5.40 2,70 5,40
A2 5.40-7.40 6,40 2,00
B1 7.40-10.90 9,15 3,50
B2 10.90-12.90 11,90 2,00
B3 12.90-17.80 15,35 4,90
B4 17.80-19.00 18,40 1,20
B5 19.00-22.00 20,50 3,00
B6 22.00-24.40 23,20 2,40
B7 24.40-29.00 26,70 4,60
B8 29.00-30.40 29,70 1,40
B9 30.40-34.40 32,40 4,00
B10 34.40-37.00 35,70 2,60
Complesso A
limi sabbiosi e argillosi
Complesso B
argille con livelli sabbiosi
Profondità
media
Spessore dello
strato1. Suddivisione in strati omogenei
56
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi
-7.40
-37
No calcolo del cedimento edometrico
Quota media del piano di fondazione
57
1. Suddivisione in strati omogenei
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi
strato zmed H0 u0 σσσσ'v0
[m] [m] [kPa] [kPa]
A1 2,70 5,40 44,14 59,8
A2 6,40 2,00 80,44 91,5
B1 9,15 3,50 105,50 114,2
B2 11,90 2,00 129,47 137,4
B3 15,35 4,90 159,55 165,3
B4 18,40 1,20 186,13 190,8
B5 20,50 3,00 204,44 213,5
B6 23,20 2,40 227,97 241,4
B7 26,70 4,60 258,48 274,5
B8 29,70 1,40 284,63 302,3
B9 32,40 4,00 308,16 329,4
B10 35,70 2,60 336,93 363,3
2.a stato tensionale iniziale (σσσσ’v0) nella mezzeria di ogni strato
Sulla base di:
� peso di volume del materiale (γ = 18kN/m3)
� ricostruzione dei livelli piezometrici (u0)
58
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi
2.b Definizione di σσσσ’p al centro di ogni strato
σσσσ’p1. individuo il punto A di max
curvatura
2. traccio la tangente alla curva nel punto A (retta t)
3. traccio la retta orizzontale (retta o)
4. traccio la bisettrice dell’angolo individuato da t ed o (retta b)
5. prolungo il tratto di compressione fino ad intersecare la retta b
6. l’intersezione ottenuta individua il valore di σ’p
Prova Edometrica ⇒⇒⇒⇒ Costruzione di Casagrande
A
59
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi
2.b Definizione dei parametri di
compressibilità al centro di ogni strato
Rapporto di Ricompressione
( )
vA
vB
AB
v
v
'
'log
100
'logRR
σ
σ
ε−ε=
σ∆
ε∆=
( )
vA
vB
AB
vr
'
'log
ee
'log
eC
σ
σ
−−=
σ∆
∆−=Indice di
Ricompressione
Rapporto di Compressione
( )
vC
vD
CD
v
v
'
'log
100
'logCR
σ
σ
ε−ε=
σ∆
ε∆=
( )
vC
vD
CD
vc
'
'log
ee
'log
eC
σ
σ
−−=
σ∆
∆−=Indice di
Compressione
piano εv – (log)σ’v
piano e – (log)σ’v
( )
AB
C
D
CR = Cc/(1+e0)
RR = Cr/(1+e0)
Prova Edometrica
60
Dalla teoria dell’elasticità (area di carico circolare)
qN = carico netto = q - γD
R = raggio della fondazione
zmed = profondità di calcolo (mezzeria della strato Hi)
Si suppone che il carico della torre sia uniformemente distribuito sulla sezione circolare
2.c Calcolo del carico indotto al centro di ogni strato Hi
∆WX �Y ∙ 1 � 11 � Z
�([\
�
� ��
� ]V ∙ Z�
141,75 ∙ 10�V ∙ 9,78� 472`a
�Y 472 � 18 ∙ 3 418`a
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi
61
Hi = altezza dello strato
σ
σ⋅+
σ
σ⋅⋅=∆=
ip
vfii
i0v
ip
iiiied '
'logCR
'
'logRRHHS
σ’vf = σ’v0+∆σv
RR, CR (Cr, Cc) = parametri di compressibilità
3. Calcolo del cedimento edometrico di ogni strato Hi
σ
σ⋅+
σ
σ⋅⋅
+=∆=
pi
vfici
i0v
piri
i0ied '
'logC
'
'logC
e1
HHS ii
e0i = indice dei vuoti iniziale
oppure
a)
b)
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi
62
σ−σ+
σ−σ⋅=
2
pvf
1
0vpiied M
''
M
''HSc)
σ−σ+=
2
''MMM
pvf12
M1
σσσσ’p
M
σσσσ’v
1
M
σσσσ’v0 σσσσ’vf
M2
// //M = modulo edometrico = ∆σ’v/∆εv
3. Calcolo del cedimento edometrico di ogni strato Hi
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi
63
2. Correlazione M/qc – OCR
(Jamiolkowski et al., 1988)
1. Stima densità relativa
(Lancellotta, 1983)
−
⋅= 1
pσ'
qlog68D
av0
cR
OCR = 1
In presenza di livelli sabbiosi
σ−σ⋅=
M
''HS i0vivf
ied
3. Calcolo del cedimento edometrico di ogni strato Hi
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi
64
strato z zmed H0 u0 σσσσ'v0 σσσσ'p ∆σ∆σ∆σ∆σ'v σσσσ'vf e0 cr cc M Sed
[m] [m] [m] [kPa] [kPa] [kPa] [kPa] [kPa] - - - [kPa] [cm]
A1 0.00-5.40 2,70 5,40 44,14 59,8 195 409,9 469,7 0,84 0,032 0,320 40,67
A2 5.40-7.40 6,40 2,00 80,44 91,5 187 349,1 440,6 16000 3,17
B1 7.40-10.90 9,15 3,50 105,50 114,2 195 284,5 398,7 1,68 0,156 0,790 36,78
B2 10.90-12.90 11,90 2,00 129,47 137,4 200 225,1 362,5 1,51 0,043 0,610 13,14
B3 12.90-17.80 15,35 4,90 159,55 165,3 205 167,2 332,4 1,42 0,160 0,720 33,64
B4 17.80-19.00 18,40 1,20 186,13 190,8 358 130,1 320,9 0,60 0,062 0,200 0,56
B5 19.00-22.00 20,50 3,00 204,44 213,5 686 110,6 324,1 0,80 0,041 0,360 1,24
B6 22.00-24.40 23,20 2,40 227,97 241,4 250 90,9 332,3 60000 0,33
B7 24.40-29.00 26,70 4,60 258,48 274,5 350 71,9 346,4 1,24 0,070 0,600 1,45
B8 29.00-30.40 29,70 1,40 284,63 302,3 315 59,8 362,1 0,90 0,080 0,450 2,11
B9 30.40-34.40 32,40 4,00 308,16 329,4 440 51,2 380,6 0,78 0,070 0,290 0,99
B10 34.40-37.00 35,70 2,60 336,93 363,3 378 43,0 406,3 0,80 0,080 0,350 1,78
Stot = ΣΣΣΣSed =135,86 cm
Calcolo del cedimento in terreni a grana fine
Metodo di Terzaghi4. Calcolo del cedimento totale
65
Decorso dei cedimenti nel tempo
terreni a grana fine
� Il processo di consolidazione può essere molto lento in relazione alla conducibilità idraulica del terreno a grana fine considerato
� Grazie alla formulazione matematica del processo (teoria della
consolidazione) è possibile calcolare:
o la distribuzione nello spazio e nel tempo della sovrapressione interstiziale
o la durata totale del processo (t100)
o il valore del cedimento raggiunto in un determinato istante
cedimenti differiti nel tempo
Equazione di consolidazione
monodimensionale
Cv = coefficiente di consolidazione = fz Risposta globale del mezzo poroso
conducibilità idraulica del mezzo compressibilità della fase solida peso di volume del fluido
66
bc
b+ dXb�cb��
Decorso dei cedimenti nel tempo
terreni a grana fine
Esempio
Le soluzioni dell’equazione di consolidazione si ottengono definendo:
o Condizioni al contorno (vincoli per il flusso: frontiere permeabili/impermeabili)
o Condizioni iniziali (distribuzione iniziale delle sovrapressioni interstiziali: isocrona iniziale)
25 m
Sabbia fine
Argilla limosa
Ghiaia e sabbia
q
Frontiere permeabili
(∆∆∆∆u=0)
isocrona iniziale:
∆∆∆∆u0 = costante
t95 (≅ t100) = 5,21⋅108 (s) = 16,5 anni ⇒ 95% Stot (95 cm)
t50 = 10,21 ⋅107 (s) = 3,24 anni ⇒ 50% Stot (50 cm)
t30 = 3,68 ⋅107 (s) = 1,17 anni ⇒ 30% Stot (30 cm)
Stot= 1 m
Cedimento totale di consolidazione 67
Cedimento secondario
terreni a grana fine
� Il cedimento secondario è dovuto ad un comportamento deformativo di natura viscosa (creep) che si manifesta sotto tensioni efficaci costanti (dopo la fase di consolidazione)
� Il fenomeno è anche definito in Meccanica delle Terre come consolidazione (o compressione) secondaria
� Può assumere particolare rilevanza nei terreni organici
� Può essere calcolato con riferimento ad un istante di tempo t>t100 usando l’espressione:
H0 = altezza iniziale dello strato compressibile
Cα = coefficiente di consolidazione secondaria
t100 = tempo di fine consolidazione primaria
68
ef gO ∙ hi∙ jk, 44lmm
Cedimento secondario
terreni a grana fine
� Il coefficiente Cα si ricava come pendenza della curva di consolidazione ottenuta dalla prova edometrica, nel tratto t > t100 (B-D)
Consolidazione primaria Consolidazione secondaria
� In mancanza di misure dirette è possibile ricorrere ad una stima empirica in funzione dell’indice di compressione primaria Cc
Tipo di
materialeCαααα/Cc
Argilla tenera
organica0,05 ± 0,01
Argilla tenera
inorganica0,04 ± 0,01
sabbia 0,015 0,03
Cαααα
1
Mesri & Choi, 1985
69
Stima dei cedimenti di fondazioni superficiali
Metodi di calcolo
Terreni a grana grossolana:
Terreni a grana fine:
Correlazioni con prove penetrometriche:
1. Metodo di Burland e Burbidge (1985) ⇒ prove SPT
2. Metodo di Schmertmann (1978) ⇒ prove CPT
Metodo di Terzaghi (1943) ⇒ prova edometrica(consolidazione monodimensionale)
70
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)
S [mm]q’, σσσσ’v0 [kPa]B [m]
fs = fattore di forma
fH= fattore di spessore del deposito
ft = fattore tempo (viscosità)
q’ = carico applicato (uniformemente distribuito)
zi = profondità di influenza
Ic = Indice di compressibilità = fz[NSPT-medio (NAV)]
σσσσ’v0Carico uniformemente distribuito
Fondazione approfonditaSabbia NC
71
e nf ∙ no ∙ n4 ∙ �p � 23W′XO ∙ �r ∙ st
Profondità zi (al di sotto del piano di posa) dove si ha un cedimento pari al 25% di quello superficiale (Sz ≅ 25% Ssup).
Sulla base della Teoria dell’Elasticità e sotto l’ipotesi che il terreno abbia una rigidezza crescente con la profondità si assume:
zi = B0,7
1
10
100
1 10 100
z i(m
)
B (m)
B
zi = B0,7
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)
Profondità di influenza
72
Sulla base dello studio statistico di casi reali:
Valore medio per sabbia NC :
Per sabbia SC si assume compressibilità:
Ic = fz[NSPT-medio (NAV)]
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)
Indice di compressibilità Ic
73
Iu 1,7
NIw�,;
st3
z = zi = B0.7
se NSPT cresce o è costante con la profondità
z = 2B se NSPT decresce con la profondità
B0.7
2B
Nav è la media aritmetica del numero di colpi NSPT misurato nell’ambito di una
profondità z:
B
NAV NAV
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)
Calcolo di NAV
74
NSPT è generalmente il valore che si ottiene dalla prova SPT (non normalizzato rispetto allo stato tensionale)
E’ possibile adottare le seguenti correzioni:
NB
NSPTc = 15 + 0,5(NSPT – 15) In sabbie fini o limose sotto falda con NSPT > 15(Terzaghi e Peck, 1948)
NSPTc = 1,25⋅NSPTIn ghiaie
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)
Calcolo di NAV
75
Per una fondazione rettangolare ( B ≤ L)
B e L sono le dimensioni reali della fondazione (no riduzione della base per carichi eccentrici)
NB
Per una fondazione nastriforme (B << L)
(valore limite)
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)
Fattore di forma
76
fx 1,25 ∙ L
BLB � 0,25
�
{ 1
nf 1,56
Nel caso in cui lo strato compressibile abbia spessore H < Zi
H
zi
NAV
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)
Fattore di spessore del deposito
77
f| Hz~ 2 � H
z~ � 1
Anche le sabbie presentano deformazioni viscose e quindi cedimenti differiti nel tempo. Per tenerne conto si considera un fattore correttivo per t > 3 anni
dalla fine della costruzioneR3 = aliquota di cedimento nei
primi 3 anni
t [anni]
ft = 1,5 (carichi statici, strutture ordinarie)
ft = 2,5 (carichi ciclici, strutture speciali)
Carichi statici Carichi ciclici
R3 0.3 0.7
R 0.2 0.8
Per t = 30 anni
In funzione delle condizioni di carico
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)
Fattore tempo
78
f� 1 � R� � R ∙ log t3 � 1
� Sabbia omogenea: γ = 19 kN/m3
� Dimensioni 22 x 40 m2
� Piano di posa a 5 m dal P.C.
� Cedimento ammissibile: Sd = 50 mm
� Azioni di calcolo (statiche):
L = 40 m
D = 5 m
B = 22 m
y
x
Nd
Mx,d
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)
Esempio: platea di fondazione rettangolare
Nd = 154 MN
Mx,d = 170 MN⋅m
My,d = 58 MN ⋅m
79
1.Calcolare il cedimento:
2. Eseguire la verifica SLE della fondazione
a) immediatob) dopo 50 anni
Prova SPT:
NSPT crescente con la profondità
Profondità di influenza
Valore medio NSPT
D = 5 m
zi = 9 m
zm = 9.5 m
NAV = 27
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)Esempio: platea di fondazione rettangolare
Zi = B0,7 =220,7 ≅ 9 m
NAV = 27 colpi/piede
80
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)Esempio: platea di fondazione rettangolare
Carico trasmesso dalla fondazione
non si tiene conto dell’eccentricità
Tensione verticale sul piano di posa
Coefficiente di compressibilità (sabbia NC)
81
qp ��J∙�
�<;.OOO ��∙;O 175 ���� kPa
σ′>O γ ∙ z 19 ∙ 5 95kPa
Iu 1,7
NIw�,; 1,727�,; 0,01695
Fattore di forma (rettangolare)
Fattore di spessore del deposito
H > ZI ⇒ fH =1
Fattore tempo (evoluzione temporale del cedimento)
⇒ Calcolo a tempo t = 0 (fine costruzione)⇒ Calcolo a tempo t = 50 anni (lungo termine)
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)Esempio: platea di fondazione rettangolare
82
fx 1,25 ∙ L
BLB � 0,25
�
1,25 ∙ 40
224022 � 0,25
�
1,21 { 1
1.a Cedimento a fine costruzione (t = 0)
(ft = fH = 1)
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Burland e Barbidge (1985)Esempio: platea di fondazione rettangolare
83
er nf ∙ �p � 23W′XO ∙ �r ∙ st
er 1,21 ∙ 175 � 23 ∙ 95 ∙ 22O,9 ∙ 0,01695 19,93��
Calcolo del cedimento in terreni a grana
grossolana Metodo di Burland e Barbidge (1985)Esempio: platea di fondazione rettangolare
1.b Cedimento a lungo termine (t = 50 anni)
2. Verifica SLE della fondazione: soddisfatta!
84
f� 1 � R� � R ∙ log t3 1 � 0,3 � 0,2 ∙ log 503 1,54 � 1
e<O n4 ∙ nf ∙ �p � 23W′XO ∙ �r ∙ st
e<O n4 ∙ er 1,54 ∙ 19,93 30,70��
E� S<O ≅ 31mm � C\ S� 50mmCedimento di progetto Cedimento ammissibile
∆q’ = q’- σ’v0(fond) (carico netto sul piano di fondazione)
Iz = coefficiente di influenza (Teoria dell’Elasticità)
E’ = modulo di deformabilità:
E’ = 2,5⋅⋅⋅⋅qc area quadrata o circolare (condizioni assialsimmetriche)
E’ = 3,5⋅⋅⋅⋅qc area nastriforme (condizioni di def. piana)
∆zi = spessore dello strato i-esimo
Coefficienti correttivi:
⇒⇒⇒⇒ Profondità del piano di posa
⇒⇒⇒⇒ Deformazioni differite nel tempo (per tenere conto della componente viscosa)
S C� ∙ C� ∙ ∆q′ ∙�I=E′ ∙ ∆z~
�
�
C� 1 � 0,5 ∙ σ′>O∆q′
C� 1 � 0,2 ∙ log t0,1
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Schmertmann (1978)
85
Determinazione del Coefficiente di Influenza Iz
Iz varia con la profondità in fz di:
o geometria della fondazione o pressione applicata q’
Profondità significativa per il cedimento:
H =4B fondazione nastriforme (L/B≥10)
H =2B fondazione quadrata o circolare (L/B = 1)
z = B/2
(L/B=1)
z = B
(L/B ≥10)
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Schmertmann (1978)
I=-��� 0,5 � 0,1 ∙ ∆q′σ′>~
O,<
86
Procedura di calcolo
� Suddivisione della profondità significativa H in una serie di strati ∆z nell’ambito dei quali si possano ritenere costanti Iz ed E’
� Calcolo per ogni strato di ∆∆∆∆zi, Izi, E’i (dalla prova CPT)
� Calcolo della sommatoria
� Calcolo dei coefficienti correttivi:
o C1: approfondimento del piano di posa o C2: tempo (componente viscosa)
� Calcolo di Stot:
o t = 0 ⇒ cedimento immediatoo t > 0 ⇒ cedimento immediato + secondario (t in anni)
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Schmertmann (1978)
� I=E′ ∙ ∆z~
�
�
87
Esempio: piastra in cls con 4 pilastri metallici
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Schmertmann (1978)
5 m
5 m
4 m
4 m
Combinazione N1 (kN) N2 (kN) N3 (kN) N4 (kN)
1 1200 1250 850 850
2 1050 900 1000 950
3 1100 1420 1300 780
1 2
34 5 m
4 m
N1, N4 N2, N3
2 m
Carichi sui pilastri
Utilizzando il metodo di Schmertmann, calcolare il cedimento:1) immediato2) dopo 50 anni
γt = 19 kN/m3
88
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Schmertmann (1978)
Prova penetrometrica statica
(CPT)
Esempio: piastra in cls con 4 pilastri metallici
Piano campagna
Piano di fondazione
89
� Combinazione che fornisce il carico maggiore: COMBINAZIONE 3Ntot = N1 + N2 + N3 + N4 = 1100 + 1420 + 1300 + 780 = 4600 kN
� Carico distribuito sull’area di fondazione
�p Y����� ;8OO
�< 184 kPa
� Spessore dello strato compressibile H = 2B = 10 m
� Alla quota di fondazione: σ’vo = γ⋅D = 19⋅2 = 38 kPa
� Pressione netta: ∆q’ = q’- σ’vo = 184 – 38 = 146 kPa
� A profondità zmax = D +B/2 = 2 +2,5 = 4,5 m: σ’vi = γ⋅(D+B/2) = 19⋅4,5 = 85,5 kPa
Esempio: piastra in cls con 4 pilastri metallici
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Schmertmann (1978)
I=-��� 0,5 � 0,1 ∙ ∆q′σ′>~
O,<
I=-��� 0,5 � 0,1 ∙ 14685,5
O,<
0,631
90
2 m
Piano campagna
Piano di fondazione0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Iz
4,5 mzmax
12 m
H = 10 m
0,631
Profondità significativa
Z = D+H
Variazione di Iz
con la
profondità
91
2 m
Piano campagna
Piano di fondazione0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Iz
12 m
0,631
Profondità significativa
Suddivisione dello
strato
compressibile in
porzioni a diversa
resistenza
e
determinazione di Iz
8 9,2 11 14 16 18
3,5
4
4,8
6,8
9,8
12
0,1 0,262 0,312 0,472 0,519 0,61
2,75
3,75
4,4
5,8
8,3
10,9
a
b
c
d
e
f
92
strato Intervallo
(m)
∆∆∆∆z
(m)
Zmed
(m)
Iz
(-)
qc
(MPa)
E’
(MPa)
Iz·∆∆∆∆z/E’
a 2 – 3,5 1,5 2,75 0,262 8 20 0,020
b 3,5 – 4 0,5 3,75 0,472 9,2 23 0,010
c 4 – 4,8 0,8 4,4 0,61 11 27,5 0,018
d 4,8 – 6,8 2 5,8 0,51 14 35 0,029
e 6,8 – 9,8 3 8,3 0,312 16 40 0,023
f 9,8 – 12 2,2 10,9 0,1 18 45 0,005
Σ= 0,105
E = 2,5⋅⋅⋅⋅qc area quadrata o circolare (condizioni assialsimmetriche)
S C� ∙ C� ∙ ∆q′ ∙�I=Ep ∙ ∆z~
�
�C� ∙ C� ∙ 146 ∙ 0,105
Esempio: piastra in cls con 4 pilastri metallici
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Schmertmann (1978)
93
Si = 0,87⋅⋅⋅⋅146 ⋅⋅⋅⋅ 0,105 = 13,34 mm
Cedimento immediato
S50 = 13,34 x 1,540 = 20,54 mm
Cedimento immediato + secondario
Coefficienti correttivi
t = 0 ⇒ C2 =1
t = 50 anni ⇒
Esempio: piastra in cls con 4 pilastri metallici
Calcolo del cedimento in terreni a grana grossolana
Metodo di Schmertmann (1978)
C� 1 � 0,5 ∙ !��m∆�� 1 � 0,5 ∙ �7
�;8 0,870
C� 1 � 0,2 ∙ log t0,1
C� 1 � 0,2 ∙ log 500,1 1,540
94
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