EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE PRIME CONSIDERAZIONI

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

ORDINARIE PRIME

CONSIDERAZIONI .

Generalità sulle equazioni Generalità sulle equazioni differenziali. differenziali.

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Alcuni tipi d’equazioni del Alcuni tipi d’equazioni del prim’ordine.prim’ordine.

GENERALITÀ SULLE GENERALITÀ SULLE EQUAZIONI EQUAZIONI

DIFFERENZIALIDIFFERENZIALI

Molti problemi di tipo Molti problemi di tipo fisico-tecnico o geometrico,fisico-tecnico o geometrico,conducono a considerareconducono a considerareequazioni nelle quali equazioni nelle quali intervengono come incogniteintervengono come incognitei valori di una funzione i valori di una funzione y(x)y(x) e edelle sue derivate delle sue derivate y’, y’’,..y’, y’’,..

Abbondano gli esempiAbbondano gli esempi

1) Equazione d’un semplice circuito 1) Equazione d’un semplice circuito elettrico in serieelettrico in serie

V(t)= R i(t) + L di/dt

Qui la funzione incognita è Qui la funzione incognita è i(t)..

2) Traiettoria di un galleggiante 2) Traiettoria di un galleggiante che si muove nella corrente di un che si muove nella corrente di un fiume.fiume.

In ogni punto di un insieme aperto In ogni punto di un insieme aperto A R2 che rappresenta la superficieche rappresenta la superficiedi un tratto del fiume è assegnatadi un tratto del fiume è assegnatauna direzione di moto (un campouna direzione di moto (un campodi direzioni). di direzioni).

y’(x) = f(x,y)

Si cerca la traiettoria del Si cerca la traiettoria del galleggiante che, partendo da unagalleggiante che, partendo da unaposizione iniziale posizione iniziale (x0,y0) si muove in si muove in modo che il suo moto sia sempremodo che il suo moto sia sempretangente alla corrente.tangente alla corrente.

y’(x) = f(x,y)

y(x0) = y0

x0

y0

3) Data una famiglia di curve piane 3) Data una famiglia di curve piane dipendenti da un parametro dipendenti da un parametro f(x,y;c)=0, , trovare l’equazione differenziale trovare l’equazione differenziale della famiglia.della famiglia.

Si ottiene, in condizioni favorevoli,Si ottiene, in condizioni favorevoli,eliminando la costante eliminando la costante cc dalle dalle equazioniequazioni

f(x,y;c) = 0fx(x,y;c) + fy(x,y;c) y’ = 0

Per esempio, la famiglia delle Per esempio, la famiglia delle circonferenze con centro sull’assecirconferenze con centro sull’assexx e passanti per l’origine: e passanti per l’origine:

(x-a)2 + y2 = a2

ha equazione differenzialeha equazione differenziale

y2 - x2 - 2 xyy’ = 0.

Data Data f : A Rn+2 R, A aperto,un’equazione del tipo:

f(x,y,y’,…,y(n)) = 0

si dice un’equazione differenziale d’ordine n se fdipende effettivamente da y(n).

L’equazione si dice di formanormale se è risolta nella derivata d’ordine massimo:

y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-

1)) Una funzione y(x) che sia n volte derivabile e che sostituita nell’equazione differenziale la soddisfi identicamente si dice una soluzioneo integrale dell’equazione.

Un problema tipico che si poneper equazioni differenziali delprim’ordine o per sistemi d’equazioni del prim’ordine è ilProblema di Cauchy o ai valoriiniziali:

y’(x) = f(x,y(x))

y(x0) = y0

trovare y(x) definita su un intervallo I, con x0 I, tale che

(1)

Vale in proposito il seguente

TeoremaSe f : A R2 R è continua, allora

esistono h >0 e y : ] x0 - h,x0 + h[

soluzione del problema. Se fy : A R2 R

esiste ed è continua, allora

la soluzione è unica.

Ci occuperemo ora della soluzione di alcuni tipi particolari d’equazioni del prim’ordine.

ALCUNI TIPI ALCUNI TIPI PARTICOLARI PARTICOLARI D’EQUAZIONI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALIDIFFERENZIALI

DEL PRIM’ORDINEDEL PRIM’ORDINE

Equazioni a Equazioni a variabili separabilivariabili separabili..

Sono le equazioni del tipoSono le equazioni del tipo

con con g(x) definita e continua su undefinita e continua su unintervallo intervallo II di di RR e e h(y) di classe di classe C1(J) su JJ intervallo di di RR. (A = I J)

Sotto queste condizioni il problema di Cauchy ha una e una sola soluzione locale

y’ = g(x) h(y) [ = f(x,y)]

(2)

Se h(y0) = 0, allora y(x) y0, cioè la soluzione è la funzione costante.

Se h(y0) ≠ 0, allora la soluzione non s’annulla in alcun punto.. (perché?)

Dividendo la (2) per h(y) ≠ 0, si trova

y’(x)/ h(y(x)) = g(x)

e quindi.. (calcoli a parte)

Esempio:

y’ = y2

y(x) = ____________y0

1 + y0(x0- x)

È interessante notare che la soluzione non è definita su tuttoR, benché f(x,y)sia definita in R2.

Equazioni Equazioni omogeneeomogenee..

Sono le equazioni del tipoSono le equazioni del tipo

(3) y’ = f(y(x)/x)

Prendendo come nuova funzionePrendendo come nuova funzioneincognitaincognita

u(x) = y(x)/x

L’equazione L’equazione (3) si trasforma nella si trasforma nellaseguenteseguente

u’(x) = (f(u(x))-u(x))/x

che è a variabili separabili.che è a variabili separabili.

Esempio 1:Esempio 1:y

y’ = ______x+y

Esempio 2:Esempio 2: y’ = (y/x) + tg(y/x)