Elementy geometrii analitycznejimif.utp.edu.pl/nowickam/Wyniki/geometria_analitycznapts.pdf ·...

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Elementy geometrii analitycznej

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczyim. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

2014

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Równanie płaszczyzny

Niech π będzie płaszczyzną, ~a = [A,B,C ] 6= ~0 wektoremprostopadłym do π oraz X0 = (x0, y0, z0) punktem płaszczyzny π.Punkt X = (x , y , z) leży na płaszczyźnie π wtedy i tylko wtedy, gdywektory ~a i

−−→X0X = [x − x0, y − y0, z − z0] są prostopadłe, czyli gdy

~a ◦−−→X0X = 0,

zatemA(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.

Oznaczając D = −Ax0 − By0 − Cz0 otrzymujemy równanie ogólnepłaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Przykład

Problem

Podaj równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora [4,−1, 0] iprzechodzącej przez punkt Q = (2, 1,−5).

Rozwiązanie

Równanie szukanej płaszczyzny będzie miało postać

4x − y + D = 0.

Stałą D wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu Q dorównania:

4 · 2− 1 · 1 + D = 0 skąd D = −7.

Ostatecznie równanie płaszczyzny jest postaci

4x − y − 7 = 0.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Przykład

Problem

Podaj równanie płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzn2x − y + z + 1 = 0 i y − z = 0 i przechodzącej przez punktQ = (0, 1, 0).

RozwiązanieRównanie szukanej płaszczyzny wyznaczymy, jeżeli znajdziemy wektorprostopadły do szukanej płaszczyzny. Ponieważ wektory [2,−1, 1] i [0, 1,−1] sąprostopadłe do danych płaszczyzn, ich iloczyn wektorowy będzie leżał w obudanych płaszczyznach, a więc na prostej, która jest ich przecięciem. Płaszczyznaprostopadła do tej prostej będzie zatem prostopadła do obu danych płaszczyzn.Wyznaczmy ten iloczyn:

[2,−1, 1]× [0, 1,−1] =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 −1 10 1 −1

∣∣∣∣∣∣ = [0, 2, 2]

Równanie szukanej płaszczyzny to y + z + D = 0. Stałą D = −1 wyznaczamytak jak w poprzednim zadaniu. Ostatecznie y + z − 1 = 0

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Równanie odcinkowe płaszczyzny

Jeżeli wiemy, że płaszczyzna przecina osie układu współrzędnych wpunktach (a, 0, 0), (0, b, 0) i (0, 0, c) (a, b, c 6= 0), to jej równaniemożna zapisać w postaci odcinkowej

x

a+

y

b+

z

c= 1.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Przykład

Problem

Podaj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punktQ = (−3, 1, 6) odcinającej na dodatnich półosiach układuwspółrzędnych odcinki równej długości.

RozwiązanieRówna długość odcinków oznacza, że w równaniu odcinkowym szukanejpłaszczyzny a = b = c > 0. Wstawiając współrzędne punktu Q do równaniaxa+ y

a+ z

a= 1 otrzymujemy

−3a+1a+6a= 1, skąd a = 4

Równaniem szukanej płaszczyzny jest zatem x4 +

y4 +

z4 = 1, lub w postaci

ogólnej x + y + z − 4 = 0.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Kąt między płaszczyznami

Kąt między płaszczyznami to kąt między wektorami do nichprostopadłymi. Jeżeli zatem płaszczyzny dane są równaniami

π1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

π2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0,

to

cos �(π1, π2) =A1A2 + B1B2 + C1C2√

A21 + B21 + C 21

√A22 + B22 + C 22

.

Płaszczyzny π1 i π2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Dwie płaszczyzny A1x + B1y + C1z + D1 = 0 iA2x + B2y + C2z + D2 = 0 sa zatem równoległe wtedy i tylkowtedy gdy równoległe są wektory [A1,B1,C1] i [A2,B2,C2], czyligdy trójki liczb (A1,B1,C1) i (A2,B2,C2) sa proporcjonalne.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu X0 = (x0, y0, z0) od płaszczyznyπ : Ax + By + Cz + D = 0 obliczamy korzystając ze wzoru

d(X0, π) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√

A2 + B2 + C 2.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Odległość między dwiema równoległymi płaszczyznami

Odległość między płaszczyznami π1 : Ax + By + Cz + D1 = 0 iπ2 : Ax + By + Cz + D2 = 0 wynosi

d(π1, π2) =|D1 − D2|√A2 + B2 + C 2

.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Równanie wektorowe płaszczyzny

Jeżeli −→v0 ,−→v1 i −→v2 są ustalonymi wektorami, a λ1, λ2 są liczbamirzeczywistymi, przy czym wektory −→v1 i −→v2 nie są równoległe, tokońce wektora

−→v = −→v0 + λ1−→v1 + λ2

−→v2opisują płaszczyznę. To równanie nazywamy równaniemwektorowym płaszczyzny.Wektory −→v1 i −→v2 ’rozpinają’ płaszczyznę przechodzącą przezpoczątek układu współrzędnych. Jej elementami są punkty postaciλ1−→v1 + λ2

−→v2 . Dodanie wektora −→v0 powoduje równoległeprzesunięcie tej płaszczyzny tak, że początek układu pokryje się zkońcem tego wektora.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Równanie parametryczne płaszczyzny

Płaszczyzna, która przechodzi przez punkt X0 = (x0, y0, z0) i jestrównoległa do nierównoległych wektorów [a1, b1, c1] i [a2, b2, c2]jest opisana następującymi równaniami:

x = x0 + λ1a1 + λ2a2

y = y0 + λ1b1 + λ2b2

z = z0 + λ1c1 + λ2c2

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Równanie prostej

Niech dana będzie prosta przechodzącaprzez punkt X0(x0, y0, z0) i równoległado niezerowego wektora ~n = [a, b, c].Punkt X (x , y , z) leży na prostej wtedy itylko wtedy, gdy wektory ~n oraz−−→X0X = [x − x0, y − y0, z − z0] sąrównoległe, czyli gdy zachodzi warunek

x − x0a

=y − y0

b=

z − z0c

.

To równanie nazywa sie ogólnymrównaniem prostej.

~n = [a, b, c]

X (x , y , z)

X0(x0, y0, z0)

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Równanie krawędziowe prostej

Rozważmy dwie płaszczyzny

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0,

gdzie R

([A1 B1 C1A2 B2 C2

])= 2.

Częścią wspólną tych płaszczyzn jest prosta{A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Powyższe równanie jest równaniem krawędziowym prostej.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Przykład I

Problem

Napisz równanie prostej, ktora jest częścią wspólną płaszczyznπ1 : 2x − 2y + z − 1 = 0 i π2 : x − y − 4z + 4 = 0

Musimy znaleźć wektor, który jest równoległy do obu płaszczyznoraz punkt na ich przecięciu.Pierwsza część zadania jest prosta:

−→v1 = [2,−2, 1]⊥π1, −→v2 = [1,−1,−4]⊥π2 ⇒ −→v1 ×−→v2 ‖ π1 ∩ π2

Łatwo obliczamy, że −→v1 ×−→v2 = [9,−9, 0].Aby wyznaczyć punkt leżący na przecięciu płaszczyznrozwiazujemy układ równań{

2x − 2y + z = 1x − y − 4z = −4

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Przykład II

Niezerowym minorem stopnia 2 jest minor odpowiadającyzmiennym x i z , więc kładąc y = α otrzymujemy{

2x + z = 1 + 2αx − 4z = −4 + α

skąd (x , y , z) = (α, α, 1)

Biorąc np. α = 1 otrzymujemy punkt (1, 1, 1) leżący na przecięciuprostych. Zatem równaniem szukanej prostej jest np.

x − 19

=y − 1−9

=z − 1

0.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Równanie wektorowe prostej

Jeżeli −→v0 jest dowolnym wektorem, a −→v1 wektorem niezerowym, torównanie

−→v = −→v0 + λ−→v1 , λ ∈ R

opisuje prostą w przestrzeni. Wektor −→v1 jest wektorem do niejrównoległym, zaś wektor −→v0 opisuje przesunięcie względempoczątku układu współrzędnych.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Równanie wektorowe prostej cd.

x

y

z

λ−→v1−→v1

−→v0

−→v0 +λ−→v1

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Równanie parametryczne prostej

Dla dowolnych x0, y0, z0 oraz a, b, c niebędących jednocześniezerem układ

x = x0 + λa

y = y0 + λb , λ ∈ Rz = z0 + λc

przedstawia równanie parametryczne prostej.Punkt (x0, y0, z0) odgrywa role wektora −→v0 a [a, b, c] = −→v1 wpoprzedniej definicji.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Przykład

Problem

Napisać równania prostej przechodzącej przez punkty K (0,−2, 1) iL(4, 2, 0).

Wektorem równoległym do szukanej prostej jest wektor−→KL = [4, 4,−1], a prosta przechodzi np. przez punkt K , więc jejrównanie ogólne to

x

4=

y + 24

=z − 1−1

.

Równanie wektorowe to

−→v = [0,−2, 1] + λ[4, 4,−1]

a równanie parametryczne to

x = 4λ, y = −2 + 4λ, z = 1− λ

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Krzywe drugiego stopnia

Krzywa drugiego stopnia na płaszczyźnie, to krzywa wyrażająca sięnastępującym równaniem

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

gdzie a, b, c , d , e, f ∈ R oraz przynajmniej jeden zewspółczynników a, b, c musi być różny od zera.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Krzywe drugiego stopnia

Każdą krzywą stopnia drugiego można za pomocą przesunięcia iobrotu przekształcić tak, aby miała ona jedno z równań:

1 x2

a2+ y2

b2= 1 (elipsa);

2 x2

a2− y2

b2= 1 (hiperbola);

3 x2 = 2py (parabola);

4 x2

a2+ y2

b2= −1 (zbiór pusty);

5 x2

a2+ y2

b2= 0 (punkt);

6 x2

a2− y2

b2= 0 (dwie proste przecinające się);

7 x2

a2= 1 (dwie proste równoległe);

8 x2

a2= 0 (jedna prosta);

9 x2

a2= −1 (zbiór pusty).

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Powierzchnie drugiego stopnia

Powierzchnią drugiego stopnia nazywamy zbiór punktówprzestrzeni trójwymiarowej, które spełniają równanie

ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0, (1)

gdzie a, b, c , d , e, f , g , h, i , j ∈ R oraz przynajmniej jeden zewspółczynników a, b, c , d , e, f musi być różny od zera.

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Powierzchnie drugiego stopnia

Ogólne równanie drugiego stopnia (1) daje się sprowadzićprzekształceniami liniowymi do jednej z kilkunastu postaciprzedstawionych na kolejnych slajdach:

Rysunki z http://www.pg.gda.pl/pracownicy/anita.tlalka/powierzchnie.pdf

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Elipsoida trójosiowa

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Walec eliptyczny

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Stożek eliptyczny

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Paraboloida eliptyczna

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Walec paraboliczny

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Paraboloida hiperboliczna

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Walec hiperboliczny

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Hiperboloida jednopowłokowa

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Hiperbolioida dwupowłokowa

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Pozostałe zdegenerowane powierzchnie drugiego stopnia

Przecinające się płaszczyzny

x2

a2− y2

b2= 0

Dwie płaszczyzny równoległe

x2

a2= 1

Płaszczyzna

x2

a2= 0

Prosta

x2

a2+

y2

b2= 0

Punkt

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 0

Zbiór pusty

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= −1