View
101
Download
3
Category
Tags:
Preview:
Citation preview
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA
“CALCULO DEL PERFIL DE TEMPERATURA Y FLUJO DE CALOR
EN UNA ALETA TRIANGULAR – EJERCICIOS”
CURSO:TRANSFERENCIA DE CALOR
PROFESOR:
ELI GUAYAN
ALUMNO:
VEGA LUCAS, CARLOS
2014
INDICE
I.-FUNDAMENTO TEORICO
II.- DEDUCCIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURA Y FLUJO DE CALOR EN UNA ALETA TRIANGULAR
2.1 ESQUEMA
Sea:
2.2 HIPOTESIS DE TRABAJO
Conducción unidimensional en la dirección x. Régimen estable. Propiedades físicas constantes. No hay fuentes de calor y tampoco se consideran los efectos de la radiación(es
decir es un cuerpo gris). Considerar w>>t.
2.3 ANALISIS
De la ecuación diferencial de la aleta, tenemos:
d2Tdx2
+
1A (x)
∗dA ( x )
dx∗dT
dx−hP ( x )KA ( x )
∗(T x−T ∞ )=0 …. (1)
Dónde:
Área genérica variable:
A ( x )=w∗t
Como el valor de “t” varia al variar “x”, de la figura siguiente, por semejanza calculamos el valor de “t” en función de “x”:
tbL= tx
t=tbLx
Entonces:
A ( x )=w∗t bL
x …(α ¿
Perímetro genérico:
P ( x )=2w+2 t
Pero por hipótesis: w>>entonces:
P(x )≅ 2w …(β)
Reemplazando las ecuaciones (α ¿ y (β) en ecuación (1), se tiene:
d2Tdx2
+
1w∗tbLx
∗d
dx
(w∗tbL
x)∗dT
dx− h∗2w
Kw∗tbLx∗(T x−T ∞ )=0
d2Tdx2
+
1w∗t bL
x
∗w∗t b
L∗dT
dx− h∗2w
Kw∗t bL
x
∗(T x−T ∞ )=0
d2Tdx2
−
1x∗dT
dx−
2h∗LK t b
∗1
x∗(T x−T ∞ )=0…(2)
Sea el cambio de variable:
θ ( x )=T ( x )−T ∞
Dónde:
ddxθ(x)=
ddxT (x)…(δ )
Y además:
m2=2 h∗Lk∗t b
…(γ )
Reemplazando las ecuaciones (δ ) y (γ ) en la ecuación (2), se tiene:
d2θ
dx2+
1x∗dθ
dx−2m2∗1x
∗θ=0…(3)
Multiplicando por x2:
x2d2θdx2
+ x∗dθdx
−m2∗x∗θ=0…(4)
Haciendo un cambio de variable para dar la forma de la función de Bessel:
Haciendo:
u=√x , entoncesu2=x…¿
Dónde:
dx=2udu , entonces dudx
= 12u…¿
De la regla de la cadena:
dθdx
=
dθdu
∗du
dx=12udθdx…(¿)
d2θ
dx2= ddx ( dθdx )= d
du
( dθdx )∗dudx
…¿
Reemplazando las ecuaciones ¿ y (¿) en ¿, se tiene:
d2θdx2
= ddu ( 12u dθdx )∗( 1
2u)
d2θdx2
=(−12u2 dθdx + 12ud2θdu2 )∗( 1
2u)
d2θdx2
= −14u3
dθdx
+ 14u2
d2θdu2
….(¿∗¿)
Reemplazando las ecuaciones ¿ ,(¿) y (¿∗¿) en ecuación (4), tenemos:
u4(−14u3
dθdx
+ 14u2
d2θdu2
)+ u2∗12u
dθdx
−m2∗u2∗θ=0
(−u4dθdx
+ u2
4d2θdu2
)+ u2∗12u
dθdx
−m2∗u2∗θ=0
u2
4d2θdu2
+u2dθdx
−−u4dθdx
−m2∗u2∗θ=0
Multiplicando por 4, tenemos:
u2d2θdu2
+2u dθdx
−u dθdx
−4m2∗u2∗θ=0
u2d2θdu2
+u dθdx
−4m2u2∗θ=0
Agrupando:
u2d2θdu2
+u dθdx
−(2m)2u2∗θ=0
Denominando:
δ=2m
Tenemos:
u2d2θdu2
+u dθdx
−δ 2u2∗θ=0… (5)
“ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BASSEL MODIFICADA”
La solución está dada por:
θ=C1 I0 (δu )+C2K0(δu)
θ=C1 I0 (2m√ x )+C2K0 (2m√x )…(6)
Dónde:
I 0: Función de Bessel modificada de orden cero y de primera especie.
K0 : Función de Bessel modificada de orden cero y de segunda especie.
CONDICIONES DE FRONTERA:
a) Para x=0, la temperatura tiene que ser finita y como la función de Bassel modificada
de segunda clase y de orden K0 tiende al infinito cuando el argumento tiende a cero,
la constante C2 debe ser idénticamente igual a cero.
Por tanto reemplazando en la ecuación (6), se tiene:
θ=C1 I0 (2m√ x )… (7)
b) Para x=L, se tiene:θ (L )=T (x )−T∞
Por tanto, reemplazando en ecuación (6):
θ (L )=C1 I 0 (2m√ x )
C1=θ (L )
I 0 (2m√ L )…(8)
Finalmente reemplazando las ecuaciones (7) y (8) en ecuación (6), tenemos:
θ(x)=θ (L )
I 0 (2m√ L )I 0 (2m√ x )
θ(x)
θ(L)
=I 0 (2m√ x )I 0 (2m√ L )
PERFIL DE TEMPERATURA DE
LA ALETA TRIANGULAR
Recommended