Divisibilidad en N - Múltiplos y Divisores

Divisibilidad en N - Mdulo I

La divisibilidad entre nmeros aparece frecuentemente, en muchos y variados problemas de la vida cotidiana. Algunos problemas para entrar en el tema.

1) En un estante hay menos de 1000 libros, todos del mismo tamao. La bibliotecaria nos dice que se pueden empaquetar, sin que sobre ningn libro, por docenas, en paquetes de 28, o en paquetes de 49. Cuntos libros hay exactamente?

2) La edad de la maestra tiene la particularidad de que, al dividirse entre 2, 3, 4, 6 y 8, siempre da resto 1. Pero al dividirse entre 5, da resto 0. Cuntos aos tiene la maestra?

3) Un herrero, quiere cortar una plancha de acero, de 10 dm de largo y 6 dm de ancho, en cuadrados lo ms grandes posibles y cuyo lado sea un nmero natural de decmetros. Cul debe ser la longitud del lado?

4) Para pensar .LAS EDADES DE LAS HIJAS

Un encuestador llama a una casa donde es atendido por una mujer: - Cuntos hijos tiene? - Tres hijas, -dice la seora-.- De qu edades? - El producto de las edades es 36 y la suma es igual al nmero de esta casa. El encuestador se va, pero al rato vuelve y le dice a la seora que necesita ms informacin para deducir las edades de sus hijas. La seora piensa un momento y le dice: - Tiene razn, la mayor toca el piano.Qu edades tienen las hijas?

La solucin de estos problemas requiere conocimientos previos de mltiplos y divisores. En este curso abordaremos el tema en el conjunto de los nmeros naturales.

Divisores y mltiplos en NDefinicin: Divisor de un nmero natural

Sean bN, aN*. a es divisor de b k, kN, tal que: b = k.aAnotamos a/b Es lo mismo decir: b es divisible por a; b es mltiplo de a ( b =a

) o a divide a bPor ejemplo:2/16 porque 8, 8N, tal que: 16 = 8.220 =5

porque 20 = 4.51/a porque a = a.1m0, m/0 porque 0 = 0.ma/a porque a = 1.aConcluimos:

1 divide a todo nmero natural. 0 no es divisor de ningn natural. 0 es mltiplo de todo natural. Todo nmero natural no nulo, es divisor de s mismo.

Adems se cumple la propiedad transitiva, es decir:Con aN*, bN*, si a/b y b/c a/c

Ejemplo:Probar que la suma de dos nmeros pares, es par.Recordando que los nmeros pares son mltiplos de 2, entonces dos nmeros pares, b y c pueden expresarse as:b = 2.m ; mNc = 2.n ; nN

Tenemos entonces que b + c = 2.m + 2.n = 2. ({N

m n

+ ) b+c = 2

Algunas propiedades:

1) Si un nmero es divisor de dos naturales, tambin es divisor de su suma/ /

/( )0

d a d bd a b

d

+

Demostracin:d/a k, kN, tal que: a = k.dd/b p, pN, tal que: b = p.dSumando miembro a miembro: (a+b)=dk+dpAplicando propiedad distributiva: (a+b)=d(k+p)Como adems (k+p)N, concluimos finalmente que d/(a+b)

2) / /

/( )0 ;

d a d bd a b

d a b

Demostracin: ..

.....................................................................................................................

....................................................................................................................

....................................................................................................................

3) Si un nmero es divisor de otro nmero natural, tambin es divisor de todos

sus mltiplos. /

/ . ; 0

d ad m a m N

d

Demostracin:d/a k, kN, tal que: a = k.dMultiplicando por m ambos miembros obtenemos: m.a=(m.k).dComo adems (m.k)N, concluimos que d/m.a.

Otro ejemplo:a) Probar que el nmero natural N= abba es mltiplo de 11.

La notacin anterior la utilizamos para indicar la posicin que ocupa cada cifra en el nmero N de 4 cifras. Por lo tanto se cumple: N = 1000a+100b+10b+a = 1001a+110bObservando que: 1001 = 11.91 y 110=11.10Podemos escribir que: N = 11.91.a + 11.10.b = 11(91.a +10.b)Como (91a +10b)N, concluimos que 11/N lo mismo que decir: N = 11

b) Hallar el nmero N = abba sabiendo adems que: N 0bb =2002 y a + b = 5

Planteamos: abba 0bb =2002 (1000a+100b+10b+a) (100b+10b) = 2002Efectuando operaciones: 1000a + a = 2002 1001a = 2002 a = 2Como a + b = 5 b = 3El nmero N = 2332

Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Si es falsa, muestra un contraejemplo, si es verdadera, justifcalo.

Divisin Entera

Presentaremos el tema, proponiendo un juego, interesante y que tiene que ver con este tema. Para ganar este juego, no se requiere suerte, sino ingenio. Adems, jugando bien, siempre se puede ganar.El juego es entre dos personas, quien comienza dice un nmero del 1 al 10, la otra persona piensa un nmero del 1 al 10 y se lo suma. El juego se desarrolla de esta forma, hasta que uno llega a 50. Esa persona es la que gana.Ejemplo:

Matas dice: 9Bruno piensa 8 y dice 17 (9+8)Matas piensa 10 y dice 27 (17+10)Bruno piensa 6 y dice 33 (27+6)Matas piensa 10 y dice 43 (33+10)Bruno piensa 7, dice 50 (43+7) y gana!!!!!

La propuesta es que pienses una estrategia ganadora para el jugador que comienza este juego. En el caso del ejemplo, una estrategia ganadora para Matas.

Ejemplos:Determinar cociente y resto en cada caso:

1) 43 5... ...

q=8 r=3 porque: 43=5.8+3 y 3

Ejemplos:Completemos de todas las formas posibles los esquemas de divisin que siguen:

a) 582

bq

58=b.q + 2 y 2

B) a br q

y kN* . ..a k b kr k q

Como a = b,q + r, entonces a.k = (b.q + r).kAplicando distributiva

a.k = (b.q).k + r.kAplicando conmutativa y asociativa

a.k = (b.k).q + r.kAdems r