Diskretna Matematika 2013 1 Kolokvij

1

DISKRETNA MATEMATIKA

1. kolokvij – Skupovi, matemati čka logika, binarne relacije

1. Neka je zadana funkcija �� →f: , takva da je za svako �∈x , ( ) 23 2 += xxf . Neka je

{ }5,2,1,0,1−=A . Odredite jednu particiju skupa ( )( ) ( )AfAff 11 −− × .

2. Neka je ( )

=∧=∈= ∑

∞

=110321 30x:

kkxxx.xxS K� . Ispitajte je li skup S konačan. Je li

prebrojiv? Obrazložite.

3. Odredite disjunktivnu normalnu formu formule: ( )[ ] ( )qprqp ∧¬⇒¬∨¬⇒ .

4. Nađite jednu interpretaciju formule ( ) ( )[ ]xyPyxPyx ,, ¬∧∃∀ . Je li ta formula ispunjiva? Je li valjana? Obrazložite.

5. Neka je zadana funkcija �� →s: , takva da je za svako �∈x , ( ) =xs zbroj znamenaka broja x zapisanog u dekadskom zapisu. Na skupu � definiramo relaciju ρ , tako da vrijedi

�∈∀x,y , ( ) ( )ysxsyx =⇔ρ . Ispitajte je li relacija ρ refleksivna, simetrična, antisimetrična, tranzitivna. Ako je ρ relacija ekvivalencije, odredite sve troznamenkaste prirodne brojeve

koji su elementi skupa [ ]12000 . Ako je ρ relacija parcijalnog uređaja, provjerite je li relacija dobrog uređaja.

6. Neka su A i B neprazni skupovi, neka je BAf →: funkcija i neka je na skupu B zadana relacija parcijalnog uređaja σ . Na skupu A definiramo relaciju ρ , tako da vrijedi

Ax,y ∈∀ , ( ) ( )yfxfyx σρ ⇔ . Ispitajte je li ρ relacija parcijalnog uređaja. Rezultati: Na idućim vježbama, u petak.

2

3