Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

Preview:

Citation preview

0

�����������

����������������� ���

�������� �������� ���

RSA Cryptosystem

ElGamal Cryptosystem

Messey - Omura Cryptosystem

Knapsack Cryptosystem

Construction of Knapsack Cryptosystem

Quadratic Residue Cryptosystem

Hybrid Cryptosystem: Diffie - Hellman’s key Exchange

Digital Signatures A Classification of Digital Signature Schemes

Digital Signature Schemes with Appendix

Digital Signature Schemes with Message Recovery

RSA Signature Scheme

Feige– Fiat – Shamir Signature scheme

ElGamal Digital Signature Scheme

The Digital Signature Algorithm

The Schnorr Signature Scheme

The ElGamal Scheme with Message Recovery

Nyberg – Rueppel Digital Signature Scheme

Digital Signature with Additional Functionality

Multi-signature scheme

Group Signature

Threshold Signature Scheme

Undeniable Signature Scheme

Blind Signature Scheme

1

Proxy Signature Scheme

Directed Signature Scheme

Abstract of the Thesis

��� �� �������� ��� �

Introduction

A Directed Signature Scheme

Security of the Proposed Scheme

A Directed Signature with Threshold Verification

An Application to Threshold Cryptosystem

�� �� ��� � ��� �������� ��� �

Introduction

A Directed Delegated Signature Scheme

Security of the Proposed Scheme

Remarks

�� �� ����� ������������ ��� �

Introduction

Directed Threshold Signature Scheme

Security of the Proposed Scheme

Remarks

��� ������������ ��� � ������ �����

� �������

Introduction

Threshold Signature Scheme with

Threshold Verification

Security of the Proposed scheme

Remarks

2

�� �� ����� ������������������ ��� �

Introduction

Directed - Threshold Multi – Signature Scheme

Security of the Proposed Scheme

Remarks

�� �� ����� �����������������

��� � ���������

Introduction

Directed - Threshold Multi – Signature Scheme Without SDC

Security of the Proposed Scheme

Remarks

�� � � ���� ��� �� ����� �����

� ����������� ��� �

Introduction.

Generalized Directed - Threshold Multi - Signature Scheme

Security of the Proposed Scheme

Remarks.

��� ��

! � � �� �

�������

�����������������

� ��� ���

3

���������������� �����������

������������ ����������

A thesis submitted for the partial

fulfillment of the degree of

���������������������in

MATHEMATICS

by

�� �!�"#$���

�������������� ������

���%��# &'�����������������������

���������������������� ��

��� ��������� ���� �����

���������������� ������������������������������ ������������������������������ ������������������������������ ������������������

�������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� �������������

��������������������

4

������������������������������������������������������������������

����

��� ��������������������������

���������������������������������

����������������������������

����

����� ��������������������������� ��������������������������� ��������������������������� ��������������������������

�� ������������������������ ������������������������ ������������������������ ��������������������������

�����������������������������������������������������������������������������

5

** Declaration** �� ��� ������ ������� ��� ������ � �������� ����� ���� ����� ������� �� � �� ��� ������ ���

������������ �������������������� ���� ��������� ���� �� � ����� ����� ��� �������������� ���

� ��������������������������������������� ������������ � �����

�������������� ������������������������� � ���������� ������� ����

������������������������������������������������������������������������������������������������

� ����� � ������ ������ ��� ���� �� �� � �������

���������������������� � ����� ������������� ��� ���� �� ��� �������

������������������������������������������������ ������ !"##!!$�

����������������������%�� ���&�Balyanyamu@rediffmail.com

�� �

6

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Institute of Basic Science Dr. B.R. Ambedkar University

Khandari, Agra-282002

������������������������������������������������������������������������� !�"#$$%"&�

������������������ ����������� ����������������������������������������������������������'!�"#$"#"(��

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)���"* �������������� ��

� � � � � � � � � � � � **Certificate**

����� ��� ��� ������ �� �� ��� ������ ������� �A CRYPTOGRAPHIC

STUDY OF SOME DIGITAL SIGNATURE SCHEMES����������� ������������������������������ � ��� ��� ��� ���

�������������������������������� ����� ��� ���� ��������

���� ��� ������������������������������������������������

��� ����� ����� ������ � �� ���� ��������� ����� ��� � ���� ��� ���

��������� ���� ����� ������������� ������ ������� �������

����� ������ ������ ���� ��������������������� ��������������

������������� ��� ��� �� ��� ��� ���� ���� ��� ������ ������

�������������� ��������������������� ���� ���

��

���&�!'�( �)�!**+� ,� � �������-���

,� ���)����-������

Sunder Lal �������� ��!�"���������� ��!�"���������� ��!�"���������� ��!�"��

7

**Acknowledgment** I am grateful to my Supervisor Dr. Sunder Lal, Prof. & Head, Department of

Mathematics, Institute of Basic Science, Dr. B.R. Ambedkar University, Agra, who

spares his valuable time in guiding me for my research work. He encourages me always.

I am short in word to express his contribution to this thesis through criticism, suggestions

and discussions. My sincere thanks are to Dr. Sanjay Choudhary and Dr. Sanjeev

Sharma, both senior lectures in the Department of Mathematics, Institute of Basic

Science, Dr. B.R. Ambedkar University, Agra, for their kind suggestions.

I am deeply indebted to Dr. J.P. Arya, HOD, Department of Mathematics, D.A.V.

College Muzaffarnagar, who had laid the foundation of my M.Phil. degree and then

encouraged me for Ph.D. degree.

There is no word to express my feeling for my family members and relatives,

especially to my parent for their hidden cooperation and to my wife Chhaya for her

enthusiastic inspirations, round the clock cooperation and help me in many ways. Really,

it is not possible to express the love and affection to sweet and little daughter Aayushi

Raghuvanshi, who is the driver of my success, to make the path for my Ph.D. work.

I am thankful to all the faculty members and staff of Hindustan College of Science &

Technology, Farah – Mathura, Ravindra Kumar (T&P Officer), Jagadeesh. G. (Lecturer,

Computer Science), Sri Gopal Sharma, Sri Sarvesh B. Singh for their kind cooperation in

this electronic age, through computer, printer etc. I am also thankful to my research

colleagues Ms. Meeta Gurmukh, Mr. Atul Churvedi, Mr. Anil Agarwal and Mr. Amit K

Awasthi for their result oriented discussion.

At last but not the least, my sincere thanks to the writers of the books and the

research papers, which, I have consulted during the course of my research work.

�����

���&�!'�( �)�!**+����������������������� � ,� � �.�/�� ���������������

����

8

Chapter 0 Introduction

9

� ���&#���� �

#�� �������� #���$��%�����#�� �������� #���$��%�����#�� �������� #���$��%�����#�� �������� #���$��%������ ��� ��� � � �&� �%������� � � �&� ��%���� �� �� '�� �&���

%���(�������)$��������&�����������������*����

• � � ���� ��� ��������� ���� �������� ���������� �� ����� ��� � ���� ��� ��������� ���� �������� ���������� �� ����� ��� � ���� ��� ��������� ���� �������� ���������� �� ����� ��� � ���� ��� ��������� ���� �������� ���������� �� ����� ��������������������������� �������������������� ������������������������� �������������������� ������������������������� �������������������� ������������������������� �������������������� ����

• � ������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������������!������������ ��������������������!������������ ��������������������!������������ ��������������������!������������ ��������������� ������������� ������������� ������������� �����

• � � ���� ���� ��������� ������� �������� ����� ���� �������� ���� � ���� ���� ��������� ������� �������� ����� ���� �������� ���� � ���� ���� ��������� ������� �������� ����� ���� �������� ���� � ���� ���� ��������� ������� �������� ����� ���� �������� ������������������������������!������������ �������������� ���������������������������!������������ �������������� ���������������������������!������������ �������������� ���������������������������!������������ �������������� ��������

+�������������� �&������,��,�������������$%&�-�������.��%�������$����&�

���� (����%� � � �&� ������� -�&�-�� �� ,�������� ,��&� �������� ���/� ��� ���� ���

��������� �&� ������ ���� �� ��$��,���&�� -������ �� �� ���� �%���� �%� �--���%&� ���

������&��-���������%%%%��-�����-&����-�����-&����-�����-&����-�����-&����

Cryptography is the art or science of keeping

secrets secret. Cryptography is about secure

communication through insecure channels.

+&�%��%-��� ��%$�������������&��$�&�%��-�����-&��&����������&�������� ����

�����0������������%����1��-�������%�-&�������� ��&���&������-&�%�,��������

��� ���$������ +&� ����� %��-��������� ����� ��� 23#4+�5163#4+�5163#4+�5163#4+�516� ,��� ������&�� ���

7�%� ��� �&� 8�&� #��$��� ��#�� 9$��$�� #����� ��� %������ ,��&� $����� ��� � � �&�

������� %��-�����-&�%� ������� ��� ���� ��������� ������� ��� &��� 7������� "�

�-��%�� ����������� ��������1�� ���� ������ �&��$�&� �&���-&����+&�7���

,����� �����$�� ������ �� %��-��������� ��� ,&�%&� &� �-��%�� ������ ��� �$�����

����� �����,����-��-��#��-������������������:����������$��� ��� (�������� ���

;0;��� '�� ;0<��� 5��� ������ ������ �� %�-&�� ,&��� '�� ;8=8�� ������ �� >�����

��%���� �&� -�����-&���%� �$����$����� %�-&��� '�� ;?:��� 9 ������ ����-�� ��

%������� %��-������<�������� �%&�,��&��� ���������-&�����+&����,��������� �

�������

10

'��;=;?��@���,���&�������������%��,&�%&�,������������-����@&����������

;=<��������,����,������&�@&����������%@&����������%@&����������%@&����������%��'�����������-�����-&���%�%�-&��

$����� �,�� %��%����%� ,&���� 1������ ������ ��%&���� ��� � � ��-������� %����� � �

��%&�����&������$����$�����@�����@�������%��-������������� �������,&���,��&�

��������%����A�%���%�������-������������$����$�����$�������%�����$�$������-&����

� ��� �&� ������ @����� @���� �&����� ���� ��� %&����� �3�� ����� ���� B����

������C�������� ,������� �%����� ���� %�� ����������� ���� ��� ���� $���������

�����%�����%��-�����-&����$������&���������0������ ,����%�-�-��������--������

�&� -$��%� ������$�� ���� ������ �������� ��� �&� �$D%�� ,�� -$���&��� ������

������ �&�� ��� �&� ���%� -�-��� �� "���� E0<F� ��� �����(A���� %��-����������

#��$�� 3&������ -$���&�� &��� �,�� $��������� -�-��� ��$�� %���$��%������

�&����� '�� ;:0=�� �� G��&����%��� +&���� � � #���$��%������� G��&����%��� +&���� � � #���$��%������� G��&����%��� +&���� � � #���$��%������� G��&����%��� +&���� � � #���$��%������ E::F� ���� ��� ;:0:��

#���$��%������ +&���� � � 3%��� 3�����#���$��%������ +&���� � � 3%��� 3�����#���$��%������ +&���� � � 3%��� 3�����#���$��%������ +&���� � � 3%��� 3������ E;��F�� �--���� ��� �&� ���� 3�����

+%&��%���9�$������

�����;:0:����;:<?�� �&�%��-�����-&�%� ������$��,�����������$����%�� '���&���

���� �� �� ���� ����� � � %�����$����� �--���*� ������ H�&�I�� &�������� +&�+&�+&�+&�

#��������#��������#��������#��������� '�� ���� ���� %������� ���� �,� �%&��%��� ����� $�� ��� %�������� ��

��������� %��-��� &������� � � ,&��� &��� ���� ���� ��%�$����� ������� � �

����&���� �&��� �&� �3�� ��������� ������ %������� �%���� #������� �D���� ��

���������������������� ��&�$������� �-�-���,&��&�������������&���������

�����I�� �&�$�&��� �,��� � � %��-�����-&��� �� ���%��� � � �,� %��-�����-&�%� -�-���

��������,�������

"������������,&��&���������,������������� �%������ �������� �����%�� ���

�&��������%�������&����� ������-������� ���%��-�����-&�����'�G�@������5���������

��� 4�����,�� "��&��� B,� 4����� +&�� &� ���� �&� ����-���� � � ,&��� ,��� ���

%��� �&� �3�� ����� 1�%��-����� 3�������� ��13������� 1�%��-����� 3�������� ��13������� 1�%��-����� 3�������� ��13������� 1�%��-����� 3�������� ��13��� ��� �&� ����� ;:?���� ������

11

�%&��%����-���������&����$D%��������������&���%�����$��&���������-$��%�

��'�G����

'�� ;:?<�� @&�� ���� �� �� ���� G������ "�����@&�� ���� �� �� ���� G������ "�����@&�� ���� �� �� ���� G������ "�����@&�� ���� �� �� ���� G������ "������ -������ �&��� ���$�� -�-���

B,����%����� ��� #��-�����-&�B,����%����� ��� #��-�����-&�B,����%����� ��� #��-�����-&�B,����%����� ��� #��-�����-&�� E�0F�� +&��� -�-�� ������ �&� �%� � � %��-�����-&���

+&� ��$��� &��� �� �� �-%��%$���� ��%���� ��� �&� �$��� � � -�-�� ,������� ���

%��-�����-&��� �&� �$���� �������� &���� ���� �&� �$���� � ����� ���� -�-���

-$���&���

0.1. Classical Cryptosystems +&� %�����%��� ������ � %��-�����-&�� ��� -����%�*� �,��-����� ������3� ���� �%�������

,��&����%���$��%���-�������������&������������������,�����&������$��,&���,���

%���$��%����������������%��-�����-&�%����$���������&�-����%��-��������%�����%���%�����%���%�����%���%�����%���

%��-��������� �3������%� %��-���������%��-��������� �3������%� %��-���������%��-��������� �3������%� %��-���������%��-��������� �3������%� %��-����������� #�����%��� %��-��������� -������ �%$��

%���$��%������ �����-����� �$����'��%�����%������%��-����������&��%��-��������

%����%��%$����� �����&��%��-��������������%�������'�������%��-�����������&�

�%��-�������� �����%��-�������� ��� �&� �����+&�� %��-���������� ����� %�����

�%��� ��� %��-���������� ������ ��� %��-�����������%��� ��� %��-���������� ������ ��� %��-�����������%��� ��� %��-���������� ������ ��� %��-�����������%��� ��� %��-���������� ������ ��� %��-���������� ��� ��� ��� %��-���������� ��� ��� %��-���������� ��� ��� %��-���������� ��� ��� %��-����������

�)$����&����&�����������&��%���������������� ����&��%���%���$��%���

�%$�����+&��%$������ � �&� %�����%������%��-������������� ��� �&���/����$������

�&���������� �&���������%����%��-�������%��-�� �&������������ ���������&�

�����������%�����&�%���$��%��������������%����

#�����%���#��-��������%��������� ��&� ����,���*�

• ��-�����(���-�%���������� �����-������-�����(������

• ��%�-&��(���-�%�####������ ������-������%��-���(���#��

• ������-�%�H�H�H�H����,&�%&��%&�H�������������%��-������������&��1111HHHH�

�������%��-������������&������HHHH�����$%&��&�������HHHH��������1111HHHH�������������J�����J�����J�����J��/�/�/�/���∈����������

12

������������%�%��-����������������� ���������%��-���������,��&�$�� ���

� �����%-�����%�$���������%-�������$������������������%�-&���&������/�

&�,���� ,��&� �&��� ���������� �������%� %��-��������� ����� &��� �&� ����,����

-�����*��

• "�������������������������������������������� ����������#��"�������������������������������������������� ����������#��"�������������������������������������������� ����������#��"�������������������������������������������� ����������#��������������������������������������������#������������������������������������$��#������������������������������������$��#������������������������������������$��#������������������������������������$����

• ���������� ��������#������� ������������������������������� ��������#������� ������������������������������� ��������#������� ������������������������������� ��������#������� �������������������������������$�� ���������������������������������������������������$�� ���������������������������������������������������$�� ���������������������������������������������������$�� ������������������������������������������������������������������ �%������������������������������������������������������� �%������������������������������������������������������� �%������������������������������������������������������� �%����������������������������������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ����

• ���������������������������������������� ������������� ���� ���#��� �� ����� ���� ��������������������� ���� ���#��� �� ����� ���� ��������������������� ���� ���#��� �� ����� ���� ��������������������� ���� ���#��� �� ����� ���� ��������#�� ���������������������������������� ���������������������#�� ���������������������������������� ���������������������#�� ���������������������������������� ���������������������#�� ���������������������������������� ��������������������� ��� ����$� %�� ���������� �������������� ������ ������ ������ ��� ����$� %�� ���������� �������������� ������ ������ ������ ��� ����$� %�� ���������� �������������� ������ ������ ������ ��� ����$� %�� ���������� �������������� ������ ������ ������������� ������������������� ������������������� ������������������� ���������������������������$����������������$����������������$����������������$�&������������������&������������������&������������������&���������������������� ��� ������ � ����� ���� ��������� ���� ���� �#������ ������ ��� ������ � ����� ���� ��������� ���� ���� �#������ ������ ��� ������ � ����� ���� ��������� ���� ���� �#������ ������ ��� ������ � ����� ���� ��������� ���� ���� �#������ ���������������������!�����������������#������������#���������������������!�����������������#������������#���������������������!�����������������#������������#���������������������!�����������������#������������#������������$����������$����������$����������$����

• '��� ����������� ��� ���� ��(�� ��#���� ��� ����������'��� ����������� ��� ���� ��(�� ��#���� ��� ����������'��� ����������� ��� ���� ��(�� ��#���� ��� ����������'��� ����������� ��� ���� ��(�� ��#���� ��� ���������������������$�����������$�����������$�����������$�%���������������������������������%���������������������������������%���������������������������������%������������������������������������������������������������������������������������

13

���������������!������������������)���������������$�*����������������!������������������)���������������$�*����������������!������������������)���������������$�*����������������!������������������)���������������$�*�++++,-./�,-./�,-./�,-./����������� ����$���������� ����$���������� ����$���������� ����$� ��� ��� ���� ���� �� �� ���� ����� ��� ��� ���� ���� �� �� ���� ����� ��� ��� ���� ���� �� �� ���� ����� ��� ��� ���� ���� �� �� ���� ��������������� �� ���� ��!� ����������������� �� ���� ��!� ����������������� �� ���� ��!� ����������������� �� ���� ��!� ������ ��� &�� ��� ��� 0���� &�� ��� ��� 0���� &�� ��� ��� 0���� &�� ��� ��� 0� ���� ����� ����� ����� � 1111� ���� ���� ���� ������������������������$���������������������$���������������������$���������������������$��������

�������� ������ � ����������������������� ��

• 2�� ���� �������� �������������� ���� �������� ���������� #��2�� ���� �������� �������������� ���� �������� ���������� #��2�� ���� �������� �������������� ���� �������� ���������� #��2�� ���� �������� �������������� ���� �������� ���������� #��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#���3��������������������#���3��������������������#���3��������������������#���3�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$������������$������������$������������$�����

0.2. Public Key Cryptosystems H-���������,��&��������,�%���� �#�����%���#��-�������������������,������

�&�)$�������@&�� ������ ��@&�� ������ ��@&�� ������ ��@&�� ������ ������G������"������G������"������G������"������G������"������-��-�������;:?<�����,���-�� �

%��-��������,&�%&����%�������,�����-$��%����%��-��������-$��%����%��-��������-$��%����%��-��������-$��%����%��-��������E�H#FE�H#FE�H#FE�H#F��+&����������

� �-$��%����%��-�����-&������&��������-���������������&� ����� �%��-�����-&��

���� -������� ���,��� ��� ���� �&� ���� -������ � � ��� ���������� ���� ��������

������$�����

��-$��%����%��-�������������-����� � �������K1111HHHHL�����K����HHHHL��H�∈�����-�%�HHHH��� �

�������&����-��������������������� �����������

"

#

$

14

1111HHHH�*�*�*�*���������M�#�#�#�#���������HHHH�*�*�*�*�#�#�#�#�M���������

• �������H��1�1�1�1HHHH������������&�������� ��������HHHH���������

• �������H���������������%��-$��1�1�1�1HHHH����������������HHHH���������

• ��� ������� ����H����� �%&� ������ %��-$��� �������&��)$������� �������HHHH���� ���

%��-$������������� ������������� ����1111HHHH��

• �������H����������� ��������%��-$��������-�����1111HHHH����������������HHHH�������� ����H��

������������������ �������� ���

�%�$��� � �&��&����-��-����� �&��%��-��������1�1�1�1HHHH����� ��%&�$���%��������

-$��%� ,��&�$�� %��-��������� �&� �%$����� � � &��� -������ �%��-����� ��� ����HHHH�������� +&�

-$��%� ��� %��-�����-&�%� ������ ��� �&� ��� �-���� ����� �,�� -������ �� ������ � �

�%��-����� ����� ���������� ���� �� ������ � � �%��-����� ����� ���������� ��� �$%&� ��

,��� �&���� ����� ������� ���� ������� ��� ��� �� ����� ��� ���� �&� %����-�������

����� ��&���&���

�+&� ���&� -��-���� �$������� �&��� �&�� ��� �� ����� ,��� � � %��-$�����

%����-�������-������ ������������ ����������,&�����%�������������-��%�����,&���

��&���&��%��-���������%��-���������� �����������������

'���&���%��-����������&�������������������&��%�����������%$��%&������

1����$���������&�������&������-����� ��������-$��%���-$��%���-$��%���-$��%�������1H��� ����%��-���������

��-��������-��������-��������-����������H�� ����%��-������@��&��&�&�-�� �-�����������&�$���%��%$�����&���

-$��%����� '�� ��� %��-$����������� �� ����� ����%���� �&�-�����������$�����&���

-$��%� ���� ��� ����� ����%�� ��� ���� ��%����� �&��� �$%&� %��-��������� %�$���

15

�%�$�����(����5����,��&���� ���&��� �&����� ������$%%�� $�� ����C��������+&�

�3��3��3��3��%��-�������������&�1�7����1�7����1�7����1�7�����%��-�������������$%&�����C������������-$��%�

�������-$��%����������/��&�����&������������-$��%� ������������-&��������

.���&���&��&������ �&�-��������������-���%��/�������&��,������,���&���

5��$����,��$--��� �&���,�&�����-$��%���� %��-���������#������� �&�$�����

,�������������&���������������+&�-��%���,�������� ����,���

• ��������$-��&�-$��%����1H��� �����%��-����&������������1H�� ����J�#�

���������&�%��-���(��#�������

• ������������%��-���&�%��-���(��#�����%�&�(%�$���������,���&�����H���

"��������J��H���1H�����������

• B����&��$��� %����%�-&��1H�� ��������%�������%����%�����H�� ����1H���

����1H�������

�$��%�H��#��-��������&����&� ����,�������,���&�������������

• B���%������(%&�����������&�$����B���%������(%&�����������&�$����B���%������(%&�����������&�$����B���%������(%&�����������&�$��������

• 1����$���������������� ,1����$���������������� ,1����$���������������� ,1����$���������������� ,������������������������

• B,�$���%���D�����&�������,��&�$������$������&�����$����B,�$���%���D�����&�������,��&�$������$������&�����$����B,�$���%���D�����&�������,��&�$������$������&�����$����B,�$���%���D�����&�������,��&�$������$������&�����$�����

• �1�%��-����������%��-������1�%��-����������%��-������1�%��-����������%��-������1�%��-����������%��-������

• #���$��%������������%$��,��������&��-��%&������ ���-�-��#���$��%������������%$��,��������&��-��%&������ ���-�-��#���$��%������������%$��,��������&��-��%&������ ���-�-��#���$��%������������%$��,��������&��-��%&������ ���-�-���,&��&���,&��&���,&��&���,&��&������������������������������������

• ��������������$���%&�����������������$���%&�����������������$���%&�����������������$���%&�������

• B���-$��������B���-$��������B���-$��������B���-$������������

3���,��A���,��-$��%����%��-��������������%������,*�

RSA Cryptosystem

'��;:??���&��-�-��,&��,����������&�������������-%��%$����%�����$��������

�&� -$��%� ��� %��-�����-&�*� ������� ������� ���� 3&����� ���� 5������

������N �����$-��&�%&������� �-���$%������ $��A �����-$��%����%��-���������

,&�%&� ��� %����� ��� �3�� %��-��������� +&� -��%��� ������ ������ ����&�� �$�����

,&�%&� ������ -��-���� �--���%&��� ������� ����%��� �&�� ���� 3&����� �%�����

������ ���� � � �%&�� '�� ���� ;:??� �&�� ,�� �,����� ,��&� �$%%��N �&�� &���

���%�����&�,������-��-�%�� �%�����%����$����&����%�$�����������������&�

-������E�8F�O�

16

�3�� %��-�������� ��� ���� $-��� �&� �� �%$���� � � �%����C������ � � �,�� �����

-������'���&���%��-���������,����$���&����������%�����+&����%������

• 7�������,�������������%��-����-�����)���%&���$�&����&�������C��

• #��%$����������J�-�)�����φ�����J���-�P�;����)�P�;���

• ��������$������%������������������/�;�≤��≤��φ�����������φ�����J�;��

• #��-$�������&��$���-��%������������ ������φ�������1$%�������������&���

+&�-��������������&�-$��%��������&��%��-�������������&�-���������������&�

�%����������&��%��-��������� � �&�$������+&��%��-���������� ��������� �����

��--���� � ���� QRQ�� ��� ���� � ����� �� #� J� � ���� J� � e ���� ��� +&� �%��-�����

����� ����������������������J� �P;��#����J���# d �������

' ���$������%��-������������� ����&�$�������&�����&�$�������&� ����,���*�

• �-�������&�����������������������&���������E������P�;F�

• #��-$���#��J������������

• 3�����&�%�-&��(��#�����&�$������

• ���%������&�����������%��-$�����#����������$�����&����%�����������

ElGamal Cryptosystem

+�&�� 1�7����� E�=F� -��-���� �� %��-�������� ���� ��� �&� �� �%$���� � � �������

���%����������&����%����������&����%����������&����%����������&���+&����� �%$����� ����%����������&������--��%����������������&�

�������������$�����������&�������� ��%��-���������������$���������&���+��

��� $��&����������%���������$����������&�%��%-��� ����%����������&���3$--���

,� &��� �� ����� ���� Q)� ,��&� ���$-� �-������� � � �$���-��%������� @��&� �&� &�-� � �

�-�����)$�����&���������%���%��-$���(� ��������(��$%&�������J���(���������

∈�Q)��B�,��������������%��-$�����J���(� ��������(������$�� ���������������������

%������ ��������%��-$��(��"���&����$�(��������������&����%����������&��

� �������&����������(��-������$������Q;:�������J������&��,�%���%��-$����<��J�

?��,&�%&����)$������������������&����&����%����������&��� ���%����������&��� ���%����������&��� ���%����������&��� �?�����&�������&�������&�������&���������)$������)$������)$������)$���

������������<��$���������$%&������� �%$������%��-$���&��$���<���$�����������?�3�� �����

�����(��������%��-$������������� ���������%�����&���(�,��&��&����,����������

17

'�� �&� 1�7����� �%&�� �&�� ��� �� ������ ������� $-��� �� -���� -� ���� ���

���������1����$�������%���������������������/���S����S�-�P�;�����%��-$����

-$��%����$�β��J�� Ag α ������-��' �,�,�������������������������&�$������&��,�

%&���������������������������������&�-���� ����� � ��� ���B�,����%��&�$�����

���,�� � ���&� %��� �%���� �&��������� ���� �&���-�����+&�$����� ������ �&�

-�,������&� ����������� ��&�-���������&���������&��%���������� ��&�-����

�������&�-�����(���

Messey - Omura Cryptosystem

+&���%��-������������������������&��� �%$����� � ����������%��� �������&��������

�&�$����&��������$-�����-$��%�-����-��B�,��%&�$�����%&������,��-�������

�����������������$%&��&�������������-��J��;�

'�� %�������� ,��&� �3�� %��-��������� ��� �&��� ������ �&� $���� �-� ��&� �&�'�� %�������� ,��&� �3�� %��-��������� ��� �&��� ������ �&� $���� �-� ��&� �&�'�� %�������� ,��&� �3�� %��-��������� ��� �&��� ������ �&� $���� �-� ��&� �&�'�� %�������� ,��&� �3�� %��-��������� ��� �&��� ������ �&� $���� �-� ��&� �&�

�$�����%�����$�����%�����$�����%�����$�����%����-$���&�������&��� ��&��-$���&�������&��� ��&��-$���&�������&��� ��&��-$���&�������&��� ��&���B�,�%��������&����$���������,&�%&��&�

$�����������&�������������&�$������@����$���&������$����-�������&�

�������,&�%&���������&���-���

+&��������&���,�������� ����,�*�

• +&�$�����%��-$��� Aem �����-��������������&�$������

• +&� $��� �� %��-$��� �&� thBe � -�,�� � � �&� �$��� &� &��� �%���� ����

��$����&���$��� BAeem �����-�����&�$������

• B�,��&�$������--����&����$���������,&���&��%������������ ABA deem �

����-��+&����$����$�����$������ Bem ����-��+&�$�����������&�����$���

����&�$������

• +&�$������--������������&��%�����$���������������&�����������

��

Knapsack Cryptosystem

'�� ;:?=�� G���� ���� "������ E?;F� -��-���� �� -$��%� ��� %��-��������� ,&�%&� ���

����$-����&���A%�����H��-��%��-������7���������� �K���L�� ���-��������������

18

�������������>��� �������A�������������J���ε��−�;�ε��−��N N N N N ���ε;�ε�������,&��ε��∈�K��;L�

����&�������������� ����$%&��&����

�−

=

1

0

k

i

�����J���>��� ��$%&������(������

�� �-%���� %��� � � �&� H��-��%�� -����� ��� �&� �$-���%������� H��-��%��

-������ '�� �&��� �)$�%� �&� ����� �������� ��� ��%������� ������ &��� �&�'�� �&��� �)$�%� �&� ����� �������� ��� ��%������� ������ &��� �&�'�� �&��� �)$�%� �&� ����� �������� ��� ��%������� ������ &��� �&�'�� �&��� �)$�%� �&� ����� �������� ��� ��%������� ������ &��� �&�

�����������-��-�����&����%&��������������������-��-�����&����%&��������������������-��-�����&����%&��������������������-��-�����&����%&���������������&����&��$��� ������&���������������&����&��$��� ������&���������������&����&��$��� ������&���������������&����&��$��� ������&�����������+��

����� �&� �$-���%������� H��-��%�� -����� ��� �� ���� ���� ������ @� ����� �&�

����� ���� ��������� ,��&� �&� �������� $����� ,� ��� ��� �&� ����� ��� �&��� ��� ≤� >�� +&�

����,���� �������&�� ������ �&� H��-��%�� -����� ��� �� ����� �$-���%�������

�)$�%�� ��A�$-������������>*�

• 3��@�J�>�����D�J����

• 3��������,��&�εD�−;������%��������&����(�� �ε��%&���������&�ε��)$������C���

$�����,�����&� ��������%������������$%&��&�������≤��@��3��ε���J�;��

• �-��%�@����@−���������D�J���������@�T��������%�������-����

• ' �@�J������$���������' �@�T������������&�������������T�@���&���&��������

���$���������&������-������

Construction of Knapsack Cryptosystem

1�%&�$���%&������������������$-����%��������A�$-��K�����;����N ���A;��������������

,&�%&�����������&����−

=

1

0

k

i

��������������������-�������������S����S��������(��-���

,�%�$���%&�����������������)$�%�� ��U;�-�������������C�����J���;����N ��������

�&��� ���� %�������� �$��/� ��� ��� J� C��� � ��� J� � C�� U� ��A;� U� ��A�� UN �U� ��� � ��� �� J�

��;����N �����P�;/����������)$������C�� �U��−

=

1

0

k

i

�����+&�����%���%&��������������

-����������������S������������������&� �����������≥�����&������-����������� ���

�&�������%��-$����&��$���-��%������������ ���������J�����������%��-$���&�

�A�$-��K�,��L�� ������,���J��������������+&�$����-���&��$������������������

19

$��-$���&�� �&��A�$-��� �,���+&��%��-�������� ���H1� �J� K�,�� ��,;� �����,�A;L��+&�

�%��-�������������H����J�K������L��

3�����,&��,��������������-�����(���A�������������J��ε�A�;�ε�A��N ���ε;�ε���������

$���,��&��%�-&��������K�,��L��&�%��-$���#��J� ��������J���−

=

1

0

k

i

�,�����������������

�&��������+�������&���������&��%���� ������&������-�����������$�>�� �#�

�������3��%�#��≡��−

=

1

0

k

i

ε��,����≡��−

=

1

0

k

i

ε��������� ����,���&����>��J���−

=

1

0

k

i

�����"��,����

$����� �&� �%�� �&��� ��&� >� � S� � �� ���� �−

=

1

0

k

i

ε�� ��� � ≤� � �−

=

1

0

k

i

� ��� � S� � �� � ��� %������ �&�

%����$�%����$���������)$�������

Quadratic Residue Cryptosystem

+&���#��-��������,���-��-��������$����$������3&$�E<F����;:=<�+&�V$������%�

����$�� ���������������B�������-����&�����$�� ������B/�� �W�I������)$������%�

����$����$���B�����������&����&��(��������������,&�%&������W�I������������

,&���&��)$���� ��&����������%��%$�����$�������$���B��

+��(-������&�,�������� �V�#�� %������� �,��$����������3���� ��� �&� �%�-����

����3�����&������� ��&��������'��V�#���%&�$���W�I�%&������,�������-����-�

����)���$D%������&����&�����%����$������������0��+&���,��-�����%���

�&� �%��� ��� ���� �� J� -�)� �&� -$��%� ��� � � �&� $��� ��� +&� -$��%� ��� ��� ����

������������������,��&���������������������-��%������ ����,���

+&������3�%&���������)$����%�����$�����&�Q�X��+&�������$����%�����&�

���(�� ����&�������������,&�%&�,�����$�������%��-���&��������+&������

3����-�������-����������%&���������������������$������&�����$����$%&����

,������� ;�,&�� �&� -������ ��� ���� ���� ��� ,&�� �&� -������ ��� ����� +�� -��%��� 3�

,����� ��,�� �&� �--��-����� ��� ��� �%%������� ��� &��� ����� ����$� (��� ���� �&��

�)$�����&�������$��3��&��,�������,���&��(��%����-����������������)$����&�

��$����������$�������������������'���&����������-�$������������������-������

���-���$%��,&�%&�%����$���������������-�������%��-���&��������-���������

� �%�$�����&����&������������$���,��&��&����$�$���+&������ �%��%�� ��&����

20

���� -��� ��� �&��� �$%&� �� %�-&�� ��� �&� ����� ��� -��������� %��-��� �&����%���

�%$������

+&�����������%�-������%����������%�����&�-�����(���%�$�����,�����&�

�,�� �%������ ���J��-)��&�%���%��-$���,����������������$%&��&����-�U��)��J��;��

"�%���%��-$���&�����$�(��−�;�����������&��)$��������� ��&�����$�(�����&���&�

�)$��������� ��(���������������&���%������&�����$�(���.���%�-��� ��&��������

���,������������&�B�U�;������&� ���������$�(B����%��-$����&� ����,�������$��

����%�����&����(�������&���&�-�����(���

������������������������������������µ������J��������E�-��U��;��⁄�0�F�B�����-−;��

������������������������������������θ������J��������E�)��U��;��⁄�0�F�B�����)−;��

������������������������������������$������J����������(B�����-��µ�����-��

�������������������������������������������J����������(B�����)������)��

������������������������������������(�������J���������)$��U���-����������

Hybrid Cryptosystem: Diffie Hellman’s Key Exchange System

+&���-����������� �-$��%����%��-���������������,��@&�����&��������������

�������� ����%�����%���%��-������������������'������������������%����������� �

�&� �,�� ��-�� � � %��-���������� (-�������� �%&� ������ ����������� +&��� ��� �&�

$�������������� ���&�����%��-����������������� ������"������E�0F���

1��������������$������������%�%��-�������� ���%���$��%���������-$��%����

%��-�������� ��� $��� ����� ��� �&� (%&���� �&� �%��� � � ����� �%������ ��� �&�

�������%�%��-����������

'������� ��� ���� �&� �%�������� ��� �&�$����������$��� �%��-�� ��$������I��

-$��%� ����+&�� �&�$������%��-��� �&� �%���� ���$�,��&�&��� -������ ��� ����

����������+&���-��%�$��,�����-� %���/����&������������������������� ��&�$�����

����� �&� �%������ ��� �&�$������ �������� �&��� �&�� %��� %���$��%������������

�����%���-�������,����&�$�����&�$�������$-������������&���&������� ��&��

%&������������������������������&���&��� ������$%&�����������������&�$����

,�$���-����(�%�����&����������

#��������,��$������������,&��,��&��������$-������%����������,&��&���

������������$-����,���&��������-����-�������-���������������S�-����&�� �,&�%&�

21

�����-$��%��3�� ���������%�������&�$����%�$���$���&�����-��������+&�������

,�������� ����,�*�

• +&�$�����%&��������%�����������S�-�����%��-$��α�J���������-��"������

����&�$������

• +&�$�����%&��������%����������S�-�����%��-$��β�J��������-��"������

����&�$������

• +&�$�����%��-$�����J�β�������-�������%��-$�����J�α������-��

'���&���,������&��&�$���&��������$-�����%�������%���������+&���������

����%$�����������������%��� ���������%-�����+&�����%-�������,�������' �&�

��$%��W�I� ��������WI� �����&��&�%�$���%��-$����D$�������&�$����������������

"�,������������ ����������$%��&�����$���+&���������� ��&����%�-��-������ �

���%����������&���

�������,�&����������&����,���&������������� �-$��%����%��-�����-&������

%�����%��� %��-�����-&��������� �&��������������������� ������$�� ������ ��-�������

%��-�����-&�%� ������ ,&�%&� -������� �%�%�� ���� �$�&���%���� ��� �&� ��������

%���$��%�����������

0.3. Digital Signatures @�$���&���%���������$�����%������-��%��%� ����$�&���%����������,���������&�

,�����,&���$���%����������������������%���$��%�����%�����%������,����

����-��%����&��-��%�$�����$��%����%��-�����-&����H#�H#�H#�H#�����-��������%&�������

��� �$%&� -��%�$��� �&��$�&� �������� ������$�� �%&���� '�� ����� ��� ������&� �&�

�$�&���%����� � �&� �%�����%�������� ����������� ��� �����$��� �&� ������ �

�&�������,�$�����������$���������������������$���%&����33�������&���%��-��

�&��������$����� �%��-������������&��� �Thus, a� �������� ������$���%&��-�����

�&��$�&���%����� ��&����������,�������&��$�&���%����� ��&��������

��������������������$���%&���������������$���%&���������������$���%&���������������$���%&�� ������� � �&������ ��-�������%��-�����-&�%� ������ ���

�H#�H#�H#�H#������������������$���%$���������%�����������������$���&����&��������� ���

�&����������������&����&�&���,������������$���&��� �����%$��������-�-�����

��������������$���%&��%��������� ��&� ����,����*�

22

• ��������$������������������&���,&�%&��������&��� ���-���$%��������������

������$���

• ���������$����� �%�������������&���,&�%&��������&��� ������ ���������������

������$���

+&�%�$%������ ��%� ������&����,������������$������&����&���������������$����������������$����������������$����������������$��

�����������������,&�%&�����������%���%���,��&��&�������,��&����������������������������������,&�%&�����������%���%���,��&��&�������,��&����������������������������������,&�%&�����������%���%���,��&��&�������,��&����������������������������������,&�%&�����������%���%���,��&��&�������,��&�����������������

�������������������������,&�����&�&���,������������$����D���������&�������������,,&�����&�&���,������������$����D���������&�������������,,&�����&�&���,������������$����D���������&�������������,,&�����&�&���,������������$����D���������&�������������,����������������������������������������

�&� ����� #���)$������ ��� ��� %��� ����� �&� �������� ������$�� ,��&�$�� �������&� ����� #���)$������ ��� ��� %��� ����� �&� �������� ������$�� ,��&�$�� �������&� ����� #���)$������ ��� ��� %��� ����� �&� �������� ������$�� ,��&�$�� �������&� ����� #���)$������ ��� ��� %��� ����� �&� �������� ������$�� ,��&�$�� ������

�������������&����&���%$����&�����%&������������������&����&���%$����&�����%&������������������&����&���%$����&�����%&������������������&����&���%$����&�����%&������+&$����&���������������$��+&$����&���������������$��+&$����&���������������$��+&$����&���������������$��

��$����&����������� ��&���������%$������$����&����������� ��&���������%$������$����&����������� ��&���������%$������$����&����������� ��&���������%$�����������&���������������$��������������

����� �&�� �&� �--��%������ � � �&� -$��%� ��� ��� �&� ������ ������ ������ ������ ��

-�����(��� ,&�%&� ,���� �--��� ���� �������� +&��� -��-���� � � �&� �������� ������$��+&��� -��-���� � � �&� �������� ������$��+&��� -��-���� � � �&� �������� ������$��+&��� -��-���� � � �&� �������� ������$��

��-���� �&��� �&� ������$�� ��� ���� �$���� ���� $� ��������-���� �&��� �&� ������$�� ��� ���� �$���� ���� $� ��������-���� �&��� �&� ������$�� ��� ���� �$���� ���� $� ��������-���� �&��� �&� ������$�� ��� ���� �$���� ���� $� ������� B������ (%-�� �&�

������ %��� ����� �� ��%$����� "�%�� �&� �%�-���� ��� %�����%�� �&��� �&� ������

����������������&���%$�����+&���������������$����$����&��$�&���%����$�&���%����$�&���%����$�&���%����� �

�&������������������&���,��-��-���������$� ��������������$�&���%����$� ��������������$�&���%����$� ��������������$�&���%����$� ��������������$�&���%����������$���&�

������������AAAA��-$���������-$���������-$���������-$��������� ��&�������$���+&�������%����������������&���&��������������

�&��������

����������� ��� ��������������������� �

A Classification of Digital Signature Schemes

+&������,��%������� ���������������$���%&������������������$���%&���,��&���������������$���%&���,��&���������������$���%&���,��&���������������$���%&���,��&�

�--��--��--��--���(��(��(��(� �)$��� �&� ��������� ������ ��� ��-$�� ��� �&� ��� �%������ �������&�� ����

23

��������������$���%&���,��&��������%�������������)$����&����������������

�����-$������&���� �%�������������&���

� �� ��� ��� �� � � � � �� � � � � � �� ��� �� � � � � �� �

�������� ������$�� �%&��� ,��&� �--���(� ���� ��� %��-�����-&�%� &��&� $�%����� &��

�3���1�7���������3%&�����������$���%&������$%&���������������$���%&������

-���������,����� ��&�����������)$���� ����&���� �%�������������&���'���&��

������$���%&������$�����%���-���$%����������$���X�∈3�������� �������%�����

������$���-�%�� �������������∈G�������� �������%������������-�%���,&�%&�

%������������ ���������$������

1�%&�$�������%������%������3��� �����&����K�3������*��∈��L��"��3��������������

P������--���� ����G&����3�����%�������������������� ������������������������� �

������%������&����(�������� ����������G&�����&������� �&�����&*�G�M�G&�/�G&�

⊆ � � G3� �� �� ���� � ������ %������������� �-�%�� ��� %����� �&�&��&����$� �-�%��3��

� ������%����-���������--����>�� ����G&Y�3����K��$�� ���L��$%&��&�����

>����X���X��J���

��� =

otherwiseflase

smSiftrue kA

,

,)(, **,

��������X∈�G&����X∈�3/�&����X�J�&����� ����∈G��>�����&�-$��%����� ��&����������

����� %����� �� ��� �%������ ����� ��������� ���� ��� %�����$%��� �$%&� �&��� ��� ���� �

%��-$���,��&�$�����,����� ��&��%������3��� ��&���������

+���������&�������$����

• ����%���&����%������3���������������∈�������%��-$����X�J�&���������

�X�J�3�������X���"��&��������A,���&��&� $�%�������

• +&�-������X���������&�������$������&�����������������$�������

+����� ���&�������$���

• +&�$�������������&�-$��%����� ��&�$���������%��-$����X�J�&���������

$�J�>����X���X����

• +&�$������%%-����&�������$��� ����������� �$�J���$���

24

����� ��!" ������������� ���

�����#��!" ��������� �$ ��������������� ���

% ���&���

• �����&���������-��%����∈������3������&�$���� �%�������%��-$���

• �����&���� �%������-��%����>����&�$���� �%�������%��-$���

• '���&�$����%��-$������������� ����� �������$�����&������� ������������

��∈G������X�∈�3��$%&��&����

>����X���X��J���$��,&���X�J�&������

• +&���� P�,���&��&� $�%�����&� ��� ��-�%����� ��%��� ���� �� %���������P� ��

&��&� $�%������

� �� ��� ��� �� � � � � �� � � � � � �� ��� �� � � � � � � �� � � � � � � �

��������������$���,��&��������%�����&����&� ��$���&����&�������%����

�%����� �����&�������$������ ��+&���%&������$� $�� ����&��������������

25

-���������,����� ��&���������������)$���� ����&���� �%�������������&���+&�

�3������������B����P��$--������$%&���������������$���%&����

+���������&�������$����

• ����%���&����%������3���������������∈�������%��-$����X�J�Z���������

�X�J�3�������X���"��Z��������A�����--���� ����G����G3���

• +&��$����X�����&�������$������&����������,&�%&�������������������

�&�$�������

+����� ���&�������$����

• +&�$�������������&�-$��%����� ��&�$���������%��-$����X�J�>����X������

��� ����X�∈�GZ���&������� �Z���' ��X�∉ �GZ���&���D%���&�������$���

• �+&�$������%������&��������� �����X���%��-$�����Z�P�;���X����

�����'������������������ �(��"�� ���� �% ��) ���

% ���&���

• G���� �������� ������$�� �%&��� ,��&� ������ �%����� ��� �--���� ���

�������� ��� �(������&��,&�����������������$���%&���,��&��--���(����

�--��������������� ��������������&��

• +&� $�%�����Z����-$��%������,������Z�P�;�����������%��-$���

• ������������������$���%&��,��&��������%�����%����%��������������

��������������$���%&��,��&��--���(������-���&��&�����&�����������

�&������������&�&��&����$�

26

� � � �� � � �� �� � � � � �� � � � � �

+&� �3�� ������$�� �%&�� ,��� �&� ����� �������� ������$�� �%&�� ,��&� ������

�%������ �3�� �������� ������$�� �%&�� ��� ��� � � �&� ����� -��%��%��� ���� ��������

�%&��)$�� ��������� +&� ������ �-�%�� �������� �-�%�� ������$�� �-�%� ����

%�-&��(���-�%� ����&����%&����������Q��J� �K��;��N ��P�;L�,&����J�-�)� ����&�

-���$%��� ��,�����������%&���������-�����$�����

+������������������∈G���

• ����$�����%��-$����X�J�Z�������

• �--������&����%���������&�%��-$����X�J���X������������

• +&��$����X�����&�������$��� ��&�$����� ����&����������

+����� ���&�������$���X���������%�����&����������

• ����$������--�������&�-$��%������ ��&�$�����%��-$���

�X�J���X����������

• >�� ���&����X�∈�GZ/�� ������D%���&�������$����

• ���%������&���������J��Z�P�;���X����

� � �� � �� �� ���� � � � �� �� �� � � � � �� � � � � �

���A� ����A� 3&����� ������$�� �%&�� ��� �������� ������$�� �%&�� ,��&� �--���(��

+&����%&���)$���������P�,���&��&� $�%�����&*�K���;LX�M�K���;L��� ������� �(��

-������� ���������"�� � K���;L��������� �&����� ���A� ��������� ���A����&�����������

K���;LX��������&����� �������A��������� �������A����&���'���&���������$���%&���

• 1�%&�$�������%�����-�������������������������%�������������������D��∈�

Q�X��,&��D�J�;���N ��������J�-�)���

• ��%��-$����D��J��D�P�����������

• +&��A�$-����D�������&�-$��%���������&��A�$-�����D�������&��%������� ��&�

$������

+���������&�������$�� ���������������

27

• ����%�������������$����∈�Q�X�����%��-$���$�J�������������

• ��%��-$����J���D����J��&���[$�/��%&�D�∈K���;L��

• ��%��-$�����J���∏=

k

j

ej

js1

�������

• �I��������$�� ����&�����������������������

+����� ���&�������$�����������������$�����

• %��-$���,�J�����∏=

k

j

ej

jv1

�������

• %��-$����\�J�&���[$���• �%%-����&�������$��� ����������� ��J�\�

������&��3��������$���%&�������$��������$���&��������$�$����J�-�)��

'���&����%������������������$�����%����,�$����������������&�-�����-�����)�

�����&��%�������-$��%����� ����%&�$����

� �� � � � ��� �� ��� ��� �� � � � � �� � � � � �

'�� �$�$��� ;::;�� �&� �3�� B�������� '�����$�� � � 3�������� ���� +%&������� � �B'3+��

-��-��������������������$���������&����3����+&��3��&���%������ �3��������

'� ������������%������3����������'�3�;=<��%������&���������3�����$��3��������

��33����33�����&� �������������������$���%&���%����C�������������������3��

�������������� �1�7�����������$���%&���+����� $��&��� �����,��&�������%$����&�

1�7����� ������$�� �%&�1�7����� ������$�� �%&�1�7����� ������$�� �%&�1�7����� ������$�� �%&�� ���� �&�� �3��3��3��3�� ���� 3%&����� ������$�� �%&�3%&����� ������$�� �%&�3%&����� ������$�� �%&�3%&����� ������$�� �%&�� ��� ����

������������

+&�1�7�����������$���%&�������������$���%&��,��&��--���(��'���)$����

��&��&� $�%������&*�K���;LX�M�Q-��,&��-����������-�����'���&���������$���%&����

�%&�$�������%����

• ��������-�������$��$��-��

• ���$����������&���������� �Q-X����

• ��%��������� ����A,���&��&� $�%�����&/�

28

• ��������������� Ax ��;≤� Ax �≤�-P��������%��-$��� Ay �J� Αxg ������-���

"�� Ax �����&�-������������� Ay �����&�-$��%����� ��&�$������

+�������������������������� ��������������&���&�$�������

• ��%�������������%������������;≤���≤�-P����,��&�����-P�;��J�;�����

• %��-$�����J����������-�������P�;�����-P�;�����

• %��-$�����J���P�;K&�����P Ax ��L�����-P�;�����

• �I��������$�� ����&������������������������

+����� ���&�������$������������������$������

• ��� ����&���;≤���≤�-P;/�� ��������&���D%����&�������$���

• %��-$����;��J�� Ay ������������-��

• %��-$���&������������J���&���������-��

• �%%-����&�������$��� ����������� ��;�J������

� � � �� �� ��� ��� �� � � � � �� �� � � ��� � � � � � !�

�����&����������&���,�����&� ����,����-���������

;� -�J���-�������$�$���5�����������,&��8;��≤�5�≤�;��0�����5�����$���-��� �

<0��

�� )�J���;<������-������������� ��-�−;��

�� ��J�]�-A;��R)�����-��,&��]�∈�Q-X������������������ ������)����Q-X��

0� Ax ����������,��&���S� Ax �S�)��

8� Ay �J� Αxg ������-��

<� &��������,���&��&� $�%������

29

+&�������-���������-��)��&����������-$��%��+&�$��I��-$��%���������&�

-������������ Ay ����� Ax ���-%�������+��%�������������$�� �����������������

� ��������������&���&�$������

• ��%�������������������%��-$����A;�����)��

• %��-$������J������������-������)��

• �%��-$������J����P�;K�&�����U� Ax ��L�����)��

+&�-���������������&�������$��� ��&�$����� ����&�������������,����$�� ���

�$����������� ����%&��,�������$����

+����� ���&�������$����&��%�-������

• ��� ����&���;≤���≤�-P;/�����;≤���≤�-P;/�� �������&���D%����&�������$���

• computes w = s – 1 mod p and h (m).

• computes u1 = w. h (m) mod q and u2 = r w mod q.

• computes v = 1ug 2uAy mod q.�

• �%%-����&�������$��� ����������� ���J����

• +&��%$������ ��&��3�����������,��������%��$�����������%����

• ������&��-�������.������&��������&��-��������Q-X/��&���&������&�

�������&��-���������&�%�%��%��$���$-�� ������)��

� � � �� � � � � �� �� � � � � �� � � � � �

+&� 3%&����� ������$�� �%&�� ��� �� ,��A���,�� �������� � � �&� 1�7����� ������$��

�%&���+&���������$��������)$������&��&� $�%�����&*�K���;L�M�Q)��'���&����%&���

�������������������������� ���������&���&�$������

• %&����������������%�������� Ak ∈�Q)���

• %��-$���� Ar ��J����&��� Ak �����-�������������� AS ���J�� Ak �− Ax � Ar �����-��

+&�-����� Ar � AS ������&�������$��� ��&�$����� ����&����������+����� ���&�

������$����&��%�-������%&%����&�)$�������

30

Ar ��J��&���� AS ����� Ar �����-������������

The ElGamal Scheme with Message Recovery

+&�1�7�����������$���%&������ ������������������������������$���%&��,��&�

�--���(��'��%���������B���B���B���B���AAAA��$--��������$���$--��������$���$--��������$���$--��������$���������������� �1�7�����������$��

�%&���,&�%&�&����&� ��$���&����&�������%�����%����� �����&�������$��

���� ����

" � # � � � ��� � � � � ��� �� ��� ��� �� � � � � �� � � � � �

+&� ��� ��������� ��� �&� B���A� �$--�� ������$�� ��� �&� ���� ��� �3�� ���

��������������&����������-�%����G3��J��Q-X��-����-���������&�������$���-�%����

3�J�Q-Y�Q)��)�������-��������)����������-�P�;����

+������������������������$������

• %��-$����X��J��Z������

• ��%�������������%�����������∈�Q)X������%��-$������J���P�������-��

• %��-$������J����X�������-��������J���(��U��������)��

+&�-��������������&�������$��� ��&�$����� ����&��������

+����� ���&�������$�������$�����

• ��� ���&����∈�Q-X�������∈�Q)X���/�� ��������D%���&�������$���

• %��-$�����J��������P������-������X�J��������-��

• ��� ���&����X�∈�GZ�/�' ��X�∉ �GZ���&���D%���&�������$���

• ��%������&��������� �����X���%��-$�����Z�P�;���X����

Digital Signature with Additional Functionality +&����������������������������������$���%&����,&�%&�-������ $�%����������� �

�� ���$������ ����� �$�&���%������ ���� ��&�� -��-������ '�� �&�� �������� ������$��

�%&���������%���������������$���%&��������+&��3���+&�1�7���������%������

31

,��&� �� �-%� �%� -����%��� ��� �%&��� �&� ����������� ��$���,&�%&� �&� ���%���&���

��������-������

�%%������� ��� �&� ����������� ��$���� -����%$���� ��-�� � � �&� ����C������ � � �&�

��������������$��,������3���,��A���,����������������$���%&���,��&������������

$�%���������������%������,*�

Multi-Signature Scheme

'�������%����%�����--��%���������&�������$��� ������&������-���������)$����

��� �� ��%$����� @&�� ���� �&��� ��� ��� ��� �)$���� ��� ������$��� ,� %���� �&���

������$�� ��� �$���A������$�� E0��0;�0��00�0=�=��=;F�� +&�� ������$��� ��� $� $��

,&�� �� %��-���� ���$�� %&)$��� ,&�%&� ��� ��� � �$�&���C�� �� ���� �&��� ���

-������+&��������$�����������$� $�����%���� �%�����%����,&�%&��������������

���&���$������-����������

Group Signature Scheme

#������������$-�� �-�-������,&�%&���������� ��&����$-�����$�&���C����������

�&� ��%$����� ��� &�� � � � �&� ���$-�� +&��� ��-� � � ������$�� ��� %����� ��� ���$-�

������$�� E;8�;=F��7��$-� ������$�� ����,�� ���� ����� ��� ����� ������ ��� �$%&� ��

,����&���

• .���������� ��&����$-�%���������&���������

• +&��%����� ��&�������$��%������ ���&��������������������$-�������$���

• �+&��%����� ��&�������$��%����������� ��,&�%&������ ��&����$-����

�&��������

• '��%���� ����-$��������������&���&����$-����������&���������$����

�$�&������%�������� ���&��������

Threshold Signature Scheme

�$������&�������� �����������������$���%&�������������$����B���&������&��

��� ���$������� ,&�� �� ���$-� ����� �%������ ���� �&� ������ ��� ��� &�� � � � ���

������C��������� %������(��-��� � �&��� -���%�� ��� �� ����� ���� ������%������,&�%&�

�)$����������$��� ���������&������-������3$%&���-���%��%�$������-������

32

��&������ �� �-����� �������� ������$�� ��� ���� �)$���� ������� $�� �&��� ���$�����

��%������&� ����� ������ �� �&������� ��������,��&��&���������������������

��&���������&��&����������$���%&��E����;��������;�0?�8��:�F��,&�%&�����������

�&� �&��&���� %��-���������&��&���� %��-���������&��&���� %��-���������&��&���� %��-���������� '�� �� �&��&���� �%&��� �� �%��� ��� �&���� ������ ��

���$-�� �-�-������$%&����������&�����%�������$���� ��&��%���,��������&��

����%�����&��%����+&���������$������ ����-�������-���%����������������&�����

���$-� ����� ���� �%%������� ���%���$�� � � �%���� +�� ��� $��&�� ����� ,� �&����

���%$������&��&�����%&���$����3&�������

����������&��&�����%&��������%&�����������$�����%������H��������$�������

�$%&���,����&���������$����%���%��-��������%�����$%��H�$����%���$������ ���P�;����

����$������������&������$���&��%���� �3&����I���%&������������5�������

����-������������� �����+����-�����������-���������� �� �������P�;�������������

%&�������Q)��$%&��&��� �����J�H��1�%&�$���������������-$��%��������� iu �������%���

�&��� �� iu ���B�,��������$��� ����&��&������%����%�����$%���&��%���H�J�� ��������

-��������&����&��������$�����

"��,����$�� ������-��%���� �&��� �&��$�&���C���$���� � ��$����%��������� �

�&��&�������� �����J;����N ���

'����������&��&����������$���%&��������$���$-�� �����������&��&������� �

�&�������������$-�%��������������������$-�������$�� ����$%&���,����&��� �&�

��� ���%���%&%���&����������� ��&�������$��,��&�$������� ������&����������� �

�&� �������� � ���$������� �&��&���� �%&��� �$ �� ���� �� ���,�%��� '�� ���� ���

�&��&���� �%&���� ,&�� ���� �� ��� ���� �&��&������ �%�� ��� %���$������ �&�� %���

��-�������������&������ ��&��&��������� �����&�������$����'���&���%�����&�

����%��$������ ����������������&���������-���������� ����&�������$�������������

��-������������%��&����������

'����������&����������)$��������&�����������&��&����������$����&�$���

����� �*�

�������J��� quu

uuf

ji

jt

ijj

t

ii mod)(

,11 −−

∏�≠==

33

;��+&����$-��%������WH�W�%����������������W�W��� ����2�%����&���6���;�������

��N ������$%&��&����

�� +&� ���$-� ������$��� %��� � ������ -���$%�� ,��&� ���,���� � � ���� W�I�

�%����&���������� �̂��

� @��&����,����� ����� ���P�;����� ,���%��� �&����� ��� ��� ��-������ ���

�����������$-�������$���

%� +&����$-��%�����������%����&���%������������� �����&�������

���$-�������$����������-�������������$����

�� '����������&����&���C�� ��&����$-�������$�����)$�����������&���C�� ����

�������$���������$���

�� �����$������ %������ �� �&����$-�������$��������� �%������-��%����&�$���

�������-�����-�������

0� +&������������$-��&���� �&� ��-���������� ����������������+&��� ���� �%&�

$�������&������$-�%����������&������������&��������

8� +&�-�������������$���������$-�������$��%������� ������������$���� �

����%��$���&��&�������

Undeniable Signature Scheme

�������� ������$��� $����� &���,������ ������$�� ���� ������� -�������� ��� ������

%�-��� (�%����� +&��� -��-���� %��� � ���������$�� ��� ���� $���� �$%&� ���

������������� � � �&� ����$�%����� ���� -$��%� ����� ,&�� �&� ���� %�-���

������$��� ����� B���&����� ��� ��� $��$����� ��� ����� ��&�� �--��%��������

#��������%�����%��-��%����� ��������&�,��������������%�����������&���������

����(�����-������������%����%���������������'���$%&�%������&�-���� �������� �

%��� ���%�-���%�$��� �%���������-��-��$���������%������������$��������-�������

+&��%�-����� ��$%&���%����������&�$������������$���&����&����$��%������

����� ������,� ���� $�� �&� �%�-���� �&�$��� ����� � $���� ��� �&�,� �&��� �&�

%���������������������,��&�$���&����$�I��%�������

�����&��������$�������$�������������$���E?�;��;0�;<�0��=�F�������,����$�����

��� $������� ������$��� ���� �� �������� ������$��� ��� �� �$��� ���$�� �� �� ������

34

�&��� �-���� ��� �&� ������ ���$��� ����� �� �������� ������$��� ��� $�������

������$��%������������ ���,��&��&�&�-�� ��&�������������

Blind Signature Scheme

���&�� �&��� ���%� �������� ������$�� �%&��� ����� ������$�� �%&���

E;��;���?�8:�;;�F�����,��P�-�����-����%�����,���&�������������&����������

+&����%� ���� ��� �&��� �&���������������-�%�� � �� ��������������������� ���

��������,&�%&��� ������ ���� ��$���� ������ � ���� �&��� ������$����� %��� %��-$���I��

������$�������-��������������� �&���%&��%����� �&�%��-������� ��&�-����%������

���,�����&���&��������������&�������$������%�����,��&� ����+&�-$�-���� �

�����������$��������-������&��������� �������������&��������������������

�&� ������$�/� &�%�� ��� ��� ����� $���� ��� ����%���� �&� ������ ������ ,��&� �&�

��������

������ ������$�� �%&��� &��� �--��%�������,&�� �&� ����� �� ��&� %$�������

���� ���� ,���� �&� ������ �� ��&� ����� ��� � %�-��� � � ����%������� �� -�������� ��

��������������������$��3������������-%� �%�������%�� ��&�-����%����+&��������

��-������� ��� �%�����%� %��&� �--��%������� ,&�� �� ������ �� ���&�� �-����� ��

�������� ���$� �&��� �� %��� �-���� @&�� �� ���� 3�� ���� ��� -������ ��� �� ���

-������������$���������$%�,&�%&�-�����,��������������������&����������$��

+&�������,��������������������$������&����-������-�������%�����������������

�������������$���%&��-����%����)$�����&� ����,����%��-�����*�

• ����������������$���%&�� ����&����������

• �$�%������_����� �̀����,�������������������$%&��&����

�̀�3���_�������J�3�������

�$�%�����_� ��� %����� �� �������� $�%������ �̀ ��� $��������� $�%����� ����_� ���� ��

������������

Proxy Signature Scheme

��������� � � ���&��� ��� �� %������ -��%��%� ��� �&� ���� ,������ ' � �� ������� � � ��

%��-�����������&��������&�&���������������&����-$����&�%�-������������������

&�� �� � �&� %��-����� '�� �&� -�-�� ����,����� �� %��-����� ���� ��� $��� ��� �&���

35

-$�-���� �� %��-����� ���� �-������ �&� ������C������� ���� �&� -����� ,&�� &���

�$�&���������$���&������

'�� �&� �%�����%� ,����� ��� �%������� �&��� �)$������� -��(�� ������$�� �%&��

E0=�<��<:�;���;�8�;�:�;;;�;;�F� &��� �� ������� ��� ������ �������� %�-�������

�%���������� �����-���������������� ������$�� �%&�������������%��� ������$��

����,&�%&�������&�%��� ���-��������,���' ��&����%�����������������������&��

-����� ���%����� ��� %��� ��� ������ � ����� ��� ,��&� �&��� -����� ����� &�%� �&�

���$�-����� � � �&� �������� ������$�� ��� ������ @� �&� ��� ��� ��� ������ �&�

��������%�-�������,��&�$�����������&��%�������$%&��&����&��%�-����%������ ��

�&�������$��� ��&����������������,��&��&�&�-�� �-��(�����������-�����,&��%���

%�����&�������$�����&�� �� ������������������

Directed Signature Scheme

'����������$�����������������������������������&�������$���%�����3�����$���

��� ���%��� �%������ ��(� �� ��������� ���� ����� -������R$������ ������%������ ���

�$%&����$��������#�������,&����$�����,����������������������$�������������

��� �������� ��� �� ���� �&� ������ ��� ����� � � %��%��� ��� ��&�� $����� ���� �&���

���$��������&� ����� ��&�������$���&�$�����$%&��&����������%������%������� ���&�

������$�� ���� �&��� �� %��� -���� ���� ��������� ��� ���� �&���� -����� #�� ,&����

�%������� 3$%&� ������$��� ��� %����� ���%��� ������$�����%��� ������$�����%��� ������$�����%��� ������$��� E8<�8?�<?F�� '�� ���%���

������$�� �%&��� �&� ������$�� �%���� �� &��� $��� %������� ���� �&� ������$��

��� �%������ -��%���� B����� %��� %&%�� �&� ��������� � � ������$�� ,��&�$�� &���

%��-���������

Abstract of the Thesis '�� �&��� �&����� ,� -��-��� ���� ���%��� ������$�� �%&����,� -��-��� ���� ���%��� ������$�� �%&����,� -��-��� ���� ���%��� ������$�� �%&����,� -��-��� ���� ���%��� ������$�� �%&���� '�� ����������,� &���

���%$�����&����--��%������� ����� �������$�������� '���&����&�����,�,�$��� �������

���%$��� �&� �%$����� ��-%��� �$����� �&� ������ -��%��� � � �&� -��-���� ���%���

��������������$���%&�������+&��%$������ ��&��������������������$���%&���,�����

$�����-��%��%� �����������&��,���� �%$���-���������C/��&�-������ � �%�������

��������+&��3���%&��������&�-������ � ����������%����������&������� �����

������+&�1�7������%&�����

36

+&� -��-���� ,����� ��� �&��� �&���� ��� ������� ����� ���� %&�-����� +&� �(��

���%$������-��������&������%��� ��%&�%&�-�����

Chapter 1

'�� �&��� %&�-���� ,� -��-��� �� ���%��� ������$�� �%&��� ���%��� ������$�� �%&��� ���%��� ������$�� �%&��� ���%��� ������$�� �%&�� ���� ���%$��� ���� � � ����

�--��%�������� +�� ������ �&� ������$��� �&� ������ $��� �&� -$��%� ��� � � �&�

������$���%��������$%&���,����&�������&������ �������$����� �%��������&��%���

���� ��&�������$���%��������)$������������$����������&�������$���%����%���

%&%���&����������� �������$���+&�������$���%�������������-�����&����������� �

�&�������$����������&����,&�����%��������

B(��� ��� �--��%������ ��� �&��&���� ��� �%������ ��� ���%$���� ���� -��-���� ��������

���%��� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&���� ��� �%��������%��� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&���� ��� �%��������%��� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&���� ��� �%��������%��� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&���� ��� �%������� +&��� �%&�� ��� �--��%���

,&���������������������� ������������C���������������%�����������������$��

����&�������������&�������C�������� ����$%&���,����&��������$���"��� ������

���� $����� � �� ��������� ���$-�7�� � � �� $���� %��� ������� �&� ���������� � �&�

������$�� $�� ���� �� P;� ��� ���� $���� %������ ��� �� �&� ������$��� '�� �&��� �%&���

�&�� ��� ��� �&��� ������$����� %���� �3�#3�#3�#3�#��� +&� �%$����� -�������� ���� �%���

�&����������� �(������ �&� ������ %��� %&���� �&� �&��&�������$��+&� ������ ���

������%����&���������-���%����

B(��������������&��&����%��-��������������%$�����+&��&����%��-���������

���$� $��,&���&��%�����������������&�� �� ����������C��������+&�������C������

&��� �� ������ -$��%� ���� +&� �%��� ��� ��� ������$��� ������ �&� $���� � �

������C����������$%&���,����&����������������$�����)$�������������&��������

$�� ,&�� ���� �� P� ;� ��� ���� $���� ,����� ����&��� �&�� %������ �%��� ����

�� �����������$���&��������

Chapter 2

#������������$������,&���&����������������������&�������$���%����W#I�����

������������������I�I�,��������������&�����������-�,�����&���-��(��������W�I���+&�

-��(��������%������&�������$�����&�� �� ��&������������������������$����������

%������� �� ���$������� ,&��� �&�� ��� �� B7.I�� &��-������ ,&�%&� �%�������� �'�3�

%&%�$-�� +&� &��-����� ��� &���� �� �� #G.� ��� ,&�� &��� ����� ��-����������� ���

37

-� �����"��������������$����%�����$���������$�%��� �%������&���&�� ������

-������#���������,����������%�����&���$���� �&��R&��%&%�A$-�����&R�&�,�������

%��� �%����&���������%�������,��&�$��&���&�-�� � ���$�������� �#����"'>�-�������

�&�� �&�� ��� ��� � � %$������ ���� �������� �&�� ��� ����&�� ��-������� &��-�����

&��������B7.�%&� �4��@&��������-��� �G��%���������������������$�%��

����������� ����'�3�-�������#���������������&���#�&������-�����&����������� �

��%��� �%��������������-�����������&������$�����������&���%&�-����,�%������&�

���� � � -��(�� ������$�� �%&�� ,��&� ���%��� ������$�� �%&�� ���� -��-��� ��

���%����������������$���%&���

'���&���������$���%&���&���������� ������������������,��-&�����+&� �����

-&��� ��� � A����� +&��� -&��� ��� ������� �� -��(�� ������$�� �%&��� ���� %��� �

-� �������� ����&�����������������������,���'���&���-&�����&����������

�������������&�����������-�,�����&���-��(��������� '�� �&����%&��� �&���������

���� ���� ������ &��� �%��� ��� ���%���� ��� &��� -��(�� ������ ��� "� ������� &���

�����������&����%����������&���-��(���������&��$�&���-��(��������$������@��&�$��

���,���� �&� �%��� ��� � � �&� ��������� ������� �&� -��(�� ������ %��� ������ �&�

������$�����&�� �� ������������������

+&� �%���� -&��� ��� ��A����� '�� ������� � ��� �&� ������ %��� ���,�� ����

$����C�� �&� -�%��-$������� � � �&� ����� -&���� '�� �&��� -&���� �&� -��(�� ������

��������&����%���������$�����&�� �� ������������������

+����� ���&�������$����&��%������� ��&�������$���%��������)$����������

��$���� ��� ��� ��&�� �&��� �&� ������$�� �%���� %��� %&%�� �&� ��������� � � �&�

������$���'��%���� ��&����-�������� �%��������&�������$���%�������������-����

�&����������� ��&�������$���&��$�&�C������,����-����%�����

Chapter 3

������� ,� &��� ���%$���� �&� ���� � � �&��&���� ������$�� �%&��� '�� �����

���$�������� ������������ ��� �������� ��� �&� ������$�� �%���� ���� �&� ������ ���

�������� �� ������ -������ "�,���� ,&�� �&� ������ ��� ��� &�� � � � ���

������C��������������������������)$����&��--���������%������� �������-�-���

���� �&��� ���$������� ,� -��-��� �� ���%��� �&��&���� ������$�� �%&�����%��� �&��&���� ������$�� �%&�����%��� �&��&���� ������$�� �%&�����%��� �&��&���� ������$�� �%&��� '�� �&���

������$���%&������7�������$-�� ������������$������$��� �,&�%&��������������

38

�����%����������&�������$��������������� �����$������+&�$�����%���

��� ���&�������$�������&�����%���-�������������������������&����-�����#��,&����

�%�������B�����%���%&%���&����������� ��&�������$��,��&�$���&�&�-�� ����

���� �$�� %�����$%������ ,� ���$�� �&� (����%� � � �� ��$���� �&��� ������$�����

%�����3�#��,&�%&����������&����$-��%����-�������������&��%����&����

���� �� ∈� 7�� 5�� "� � ���� �$��� � � 7�� %���������� �� ������ @� ����� ���$�� �&�

(����%� � � �� ��������� %������ �#� ,&�� %���%��� -������� ������$��� ���� �%&�

$��� ��� �&� �$���$-�"��1���� �&��&����� ��� �&� ���$-�&��� )$����$�&������,��&�

����������&����$-��%����+&����������� ��&����%���������$���)$�������$��� �

�� �&��&������ ���� �����%����� ,��&� �#�� @� �&�$��� ���� �&��� �&�� ��� ��� �%���

�� �������������%�����,��&��&��#���

Chapter 4

'����������$���������&������������&���� ����������������������-������"�,����

,&�� �&� ������ ��� ���� �� ��� ������C������ ��� ����&�� ������C������� �� ������

������ ���� �)$��� �&� �--������ ��� %������ � � ������ -�-��� '�� �&��� %���� �&�

������$�� ��������� ���� ��� �%������ ��� ���� ������ �&������ %��������� ���&��

�&�������������-������+&��� %&�-���-��-������ �&��&����������$���%&��&��&����������$���%&��&��&����������$���%&��&��&����������$���%&��,��&�,��&�,��&�,��&�

�&��&������� �%�������&��&������� �%�������&��&������� �%�������&��&������� �%��������

#������� �&� ������ ��� ����������� �� ��� ������C������ 3� ��� ����&��

������C�����������������)$����&��--������� ����$���"3�� ���������������� ����

��������������$-�73�� ���$��������������&�������C������3��.���&���&��&�����

�&������������$-�,����� ��������� �&�������$��������������� ����$%&���,���

�&��� �&� ������$�� %��� � ��� ��� �� ���� �$��� "�� � � �� ��� ���� $���� ���� ��

��������� ���$-� 7�� � � �� $���� ������ ��� �&� ������C������ ��� �&�� �&��&����

��� �%�������%&��������$��-$�-�����

'�� �&��� %&�-����,� $��&�����$�� �&�����&� �&�������C������������3�&�����

%������ ��$���� %���� �#+#�� ��� ���������� �&� ���$-� �%��� -�������� � � �&�

�,�����$-�������&��%����&��������������'������%����� ����-$���,���&�

���$-� 3� ���� ��� �&� #+#� �-�� �&� �%����� � � ������$��� ���� -����� �&� ���� � � ��

��$����D$����3��%��&�#+#�%���%&%����&����������� ��&�������$�����,&������

39

�&����-����������&�������$����� �%��������&�#+#�%�����%��&��&����-�������$��

�&� �%����

Chapter 5

'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&����,&������ ��������� �&��&������ �%�� ��� %���$������ �&�� %���

��-�������������&������ ��&��&��������� �����&�������$����'���&���%�����&�

����%��$������ ����������������&���������-���������� ����&�������$�������������

��-������ ��� ���%� �&� �������� � ���$������� ,��&� �&� ���� ��� �&��&���� �%&���

-��-������� �����&���-�����%��������������

'���$���������$���%&����'���$���������$���%&����'���$���������$���%&����'���$���������$���%&�����&��������� ����$���������$���������� �������&�

�������������&����������� ��&��$���������$��&���������� ���,��&��&�&�-�� �

��������� � � �&� �������� ���� �$���������$���� ��� ��� ����� $��%������ ��� -$�� ��

�&��&���� ���$� ��� �����%�� �&��$���� � ��������#������� �&� ���$�������,&�� ��

���$-� � � �������$�� ����� ,�$��� &��� ��� ������ �� �$���������$��� +&�

������ � �&��� ���$-�$�� -�$���������� �&��� ��������� ��� �&� -$��%� ���%������

@&���%��%�����&���� ������������&������������������������� ������������

���� �&�� �����%��� �����&������$-��"�,���� �&���� ���&������,��� ������ ��

,&�&����$��� ��� ��� �%��������� � �&������$-�%�$��� � �&������������ � �&�

����&�-�� '�� �&��� %���� �&��$���������$���%&��� %������ ����� �&���-�������

&�,�����&��&��&����������$���%&�������

'���&���%&�-����,�%������&������ ����%���������$���%&�������&��&����

������$�� ,��&� �$���� ������$�� �%&��� ���� -��-��� �� �������� ������$�� �%&��

�����������%������%������%������%���AAAA��&��&�����$������&��&�����$������&��&�����$������&��&�����$����AAAA�������$���%&��������$���%&��������$���%&��������$���%&���'���&����%&���

• +&�� ��� �� ��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#� �&��� ������� �&� ���$-� �%��� ����� ����

�&��&����I���%����&����

• +&����������������%�������#���������%�������#���������%�������#���������%�������#�,&��������&���-�������������%���%������

��� �� �%&� -������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-� ������$������ $�� ���$�� ���$�� ���$�� ���

�%����� �������������%�����,��&��&��#�%����� �������������%�����,��&��&��#�%����� �������������%�����,��&��&��#�%����� �������������%�����,��&��&��#�

• ��������%��$������ � ������� %������ ��-�������������&������ � ����������

�����&�������$����'��%���� � �������������-������������%��&������������

40

• ��������������&��&�������%�����%���$�����%������%���-�������%�����$%���&�

-���������� 3��(����-����������&����,���%����&��������&�%��&��%������

�%�����&����$-��%�������

Chapter 6

G���� �&��&���� ������$�� �%&��� �)$��� �� ��������$���� 3�#$���� 3�#$���� 3�#$���� 3�#���� ��� ������ �&� ���$-�

�%��� ���� ���� �%��� �&���� � � ���$-� ������ ,&�%&� &��� �� ������ -����� � �

�$�����������+&�(����%�� ��$%&���%���� ��������������������$�-����/��&��

����,��-��������-��������

• ������� ���������--��%���������&�����������-�����������%��,&�%&�%����

%��-�������$���������������� ��&����$-��

• �3%����� �&�$��� ������%���� %������� ������-����� ���$��������%$�����

��-������&����%����%���������&�-�����������

+���������&��-����������;::���"����������$%�����%&��������������� ���

1�7�����������$���%&���,&�%&����������)$�������$����3�#,&�%&����������)$�������$����3�#,&�%&����������)$�������$����3�#,&�%&����������)$�������$����3�#��'���&����%&���

�%&�����,����������3�#�������������������$����&��%����&���� ����%&�

$���� '�� �&��� %&�-����,� -��-��� �� ���%������%������%������%��� AAAA� �&�� �&�� �&�� �&��&�����$�����&�����$�����&�����$�����&�����$���� AAAA� ������$�� �%&��� ������$�� �%&��� ������$�� �%&��� ������$�� �%&��

,��&�$�� 3�#��,��&�$�� 3�#��,��&�$�� 3�#��,��&�$�� 3�#�� '�� �&��� �%&��� �%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#� ��� ������ &���

�%����������������$���&�%����-��������%����&���������&���&��&�����������

�&��&��&������������������%� ����&�-$��%�-���������@����$���&����&��

��������������%���������������%���������������%���������������%�������#�#�#�#�,&��������&���-�������������%���%��������� ���%&�

-������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-� ������$��� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���

-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&��#�#�#�#��'���&����%&���

• 1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#� ��� ������ &��� �%��� ��� ����

������$���&�%����-��������%����&���������&���&��&�������

• �+&�� ��� �� ��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ���

%���%�� ���� ��� �� �%&� -������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-�

������$���$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��#��#��#��#��

• ��������%��$������ ��������%��������-�������������&������ ��������

��� ���� �&� ������$���� '�� %��� � � ������� ��� ��� -������ ��� ���%� �&�

������������

41

Chapter 7

@&���&����������������������&�������$���%���������)$�����&��--������� �

���� �-%� ��� �$���� � � �������� '�� �&��� ����� ,� %����� �&� ���� � � ���%���

������$�� �%&�� ,��&� �&��&���� �$���A������$�� �%&�� ���� -��-��� �� �&��&����

�������� ������$�� �%&�� $���� �&� ����� 7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%��� AAAA� +&��&����G$����� +&��&����G$����� +&��&����G$����� +&��&����G$���� AAAA����

3�����$�� 3%&��3�����$�� 3%&��3�����$�� 3%&��3�����$�� 3%&��� +&� ��$��� ��� �&��� ������C�� ���%��A� �&��&���� �$���� A�

������$�� �%&�� ��� �������� ��� �&��� � � �&� ��� ���� � ���%��� �&��&���A� �$���� P�

������$���%&�����-�������$������&������%&�-���(%-���&����&����$-�������$��

%��� generated only by some specified subsets of members according to the signature

policy.

' � �&� ������ �� ��������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%���� ��������� ��� ����������� �� ���

������C������3������-������������&��������)$�����&��--������� ������-%� �%�

�$����� � ������� ������ �&� ���� � �������� �&�� �&� ��-����������� � �������� �&�

����������� �����&�����������-%� ����$����� � �&���������%%������� ���

�&���������-���%��������&������$�������,�-��-�����7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%���AAAA��&��&������&��&������&��&������&��&����

�$�����$�����$�����$����AAAA�������$���%&���������$���%&���������$���%&���������$���%&������

�5��73�����&����� ����������������������&�������C������3�����"3�������&�

�-%� ��� �$��� � � �� �������� +&� ������ ���$-� ������$�� %��� � ������� �� �&�

%��-�������� ��&�����������������"3��@������� ����&������73������&����� �����

�-%� ����$������

�����$��%�����$%������,����$���&����&���������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%����

����3�#3�#3�#3�#���&�����&�����&�����&������������&����$-��%�������������&��&����I���%����&�����������

��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ��� %���%�� ���� ��� �� �%&�

-�������������$�������&��-���$%������$-�������$���'���&����%&����

• +&����������3�#3�#3�#3�#�������������$-��%����������%����-��������%����&����

� ��&��&��������

• +&����������������%���������������%���������������%���������������%�������#�#�#�#�,&��������&���-�������������%���%������

��� �� �%&� -������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-� ������$��� $�� ���� $�� ���� $�� ���� $�� ���

�%����� ����������������%�����,��&��&��%����� ����������������%�����,��&��&��%����� ����������������%�����,��&��&��%����� ����������������%�����,��&��&��#��#��#��#��

42

• ���������%��$������ ��������%��������-�������������&������ �����������

�����&�������$����'��%���� � �������������-������������%��&�������������

• ��������������&��&�������%��������%���$�����%������%���-�������%�����$%��

�&����$-��%��������-����������&����%����&�����

The thesis ends with a list of references (papers, books and websites) that have been

consulted from time to time while completing the work.

43

Chapter 1

A Directed Signature Scheme

����

44

A Directed Signature Scheme

1.1. Introduction ������� ,� &��� ���%$���� ��$�� �&� �%������ � � �&� ���%��� ������$�� �%&���

���%���������$���%&���$�����&����$������,&���&����������������������&�

������$�� �%����� '�� �&��� %&�-���� ,� -��-��� �� ���%��� ������$�� �%&���� ���%��� ������$�� �%&���� ���%��� ������$�� �%&���� ���%��� ������$�� �%&�� ����

���%$��� ���� � � ���� �--��%�������� '�� �&��� �%&��� ���� �&���� -����� %��� %&%�� �&�

������$����������������,��&��&�&�-�� �������$���%���������

1.2. A Directed Signature Scheme 3$--����&���$�����,����������������������$������&�������������&��������

�%������%������%������ ���&�������$��������%���-�����&����������� �������$��

��������&����-�����#��,&�����%�������+&���������������� �%������-��%�������

��� ����,���

1.2.1. Signature Generation by A

�������-�%����������1aK ����

2aK �∈��Q)�����%��-$����

���������������@������J������� 2aK− �����-�����>�����J������ 1aK ������ 2aK ����-��

"�����������&�-$��%����� ��&�������$���%�������

���� ���������A�,���&��&� $�%�����&����%��-$������%������$��������J��&���� 1aK ������

��%�����%��-$���� AS ��J��1aK U� Ax � Ar ������)���"� Ax �����&�-���������� ��&��������

K AS ��@����>�����L�����&��������$��� �������&����������

1.2.2. Signature Verification by B

����� �����&���-��������� Bx ����%��-$������J��>���@���� Bx �����-���������%������

Ar ��J������&���������

45

������%&%����&�%����$�%�� �� AS � ≡?

������� Ar �����-� �����������������$���' �&����

�&��K AS ��@����>�����L������������������$���

1.2.3. Proof of Validity by B to C

�������-�%���������� K ∈�Q)�����%��-$����@#��J��� K− �����-��>#�J��������#� K ������-��

������������#��

����#�$����@#���>#������-��%���@����>�������%&%����&����������� �������$����$�����

&��� �%��� ���� +&� ������$�� ��� �%������ -��%��� ,���� ������ ���� ��� ��� �$A

�%�����;������

1.3. Security Discussions '���&����$A�%������,��&�������%$����&��%$������ �-��-�������%���3�����$�����%���3�����$�����%���3�����$�����%���3�����$��

3%&���3%&���3%&���3%&�������

��������������������#������ ������ �&� �%��� �� Ax � �� ������1aK ���� �%��� ���$� Ar � ���� �&�

)$������� AS J�1aK U� Ax � Ar �����)�O�

"���&��$����� �$����,��-������������&���+&��$���� �)$���������

�������������%��-$������������� ����� ����� ��������%���%���&��%������ Ax � ��

������1aK �����%������$� Ar � �����&���)$��������

�������������#��������-��������&�������O�

�� ������������������-��������&��������������������%������,���������

1K � 2K �∈�Q)�����%��%$����

@���J���� 2K− �����-��>����J���� 1K ���� 2K ������-�������������J���&���� 1K ������

�$��,��&�$�����,���� �&� �%����� Ax �� ��� ��� �� �%$��� ����������������� AS � ���

����� ���&���� �%������)$��������� AS ���� ≡?

�����E������ Ar ��F���������-��

�%����%����%����%���#������ ������������$��K AS ��@����>�������L�����&�)$�������

� AS �≡?

����E������ Ar ��F�����-O�

46

�� ��������������������%������������������&��%��-$����&�&��&����$� Ar �

�$%&� �&��� Ar J� &� ��� �� ��� ���� )�� .���$����� ��� %��-$�� �&� ������ AS � ���

)$�������������������&����%����������&��-������+&$���&������%���,��������

��$%%�� $���

Illustration�

+�����$�������&��%&�����������-��J�������)��J��;;��������J����+&��%�������-$��%�

���� �$���������� ����,��

���� ����������������������������������3%������������������������������-$��%��� ����������������������������������3%������������������������������-$��%��� ����������������������������������3%������������������������������-$��%��� ����������������������������������3%������������������������������-$��%�������

����������������������� ������� �����0� ��������������������������������������;��

����������������������������� � �����?�����������������������������������������������

������#����������������������� �����������������<� ��������������������������������������;<�

+���������&�������$������-�%����������1aK �J��:������

2aK �J��8�����%��-$���

@���J�;<�>����J��;�� ����������,���&��&� $�%�����&����%��-$��������J�;��� AS J�8�

�����K8��;<��;���L���������&��R&��������$������&����������

��%��-$�����J�;=���%����� Ar �J���&��;=������J��;���5������%&%����&�%����$�%�

��8�� ≡?

�;=��;��;��������� �����������������$���+&���&������

+��-�����&����������� ��&�������$�����#���&�������$���%������-�%����������

K �J�=�����%��-$���@#� �J� ��0��>#��J� �:�������������#��#�%��-$������J���:��0�<�

���� ��� � J� � ;=�� #� ��� ��� �&� ������$�� ��� �&� �������� ��&���� ��� ������$��

�%��������

1.4. A Directed Signature with Threshold Verification .$�� ���%��� ������$�� �%&�� %��� � $��� ��� ������ �� ������$�� �%&�� ,��&�

�&��&������� �%��������������� %����������� ������$����� �&������������ �&�

������C������ �� ��� �$%&� �� ,��� �&��� ���� �$��� "�� � � �� ��� ���� $���� � � ��

��������� ���$-�7�� � ���$���� %��� ������� �&� ���������� � �&� ������$��

$��������P;��������$����%��������� ���&�������$���+&�%�����$%������ ������%��������%��������%��������%���

������$���%&��,��&��&��&������� �%�����������$���%&��,��&��&��&������� �%�����������$���%&��,��&��&��&������� �%�����������$���%&��,��&��&��&������� �%����������������3&����I���&��&�����%&��

47

E:?F��@����$���&�������$���������&�������������$-�7��-���������-���������

iRx �����-$��%����iRy ��

+&����%&��%��������� ��&� ����,������-���

1.4.1. Signature Generation by A

��������-�%����������1aK ����

2aK �∈��Q)�����%��-$����

@��J��� 2aK− �����-�����>���J����� 1aK �������-��

����� ���������A�,���&��&� $�%�����&����%��-$������%������$��

������J���&��>������������� AS �J�1aK U� Ax � Ar ��������)��

"� Ax �����&�-���������� ��&���������

�%�������%�����-���������� ���(��J�1aK U�;(�UN ����A;�(���A;�����)��,��&

1aK J�� ��������

�������%��-$�����-$��%����$iRv �� ����%&������ ��&����$-�7��������

iRv J�� ����iRu ��� 2a

i

KRy �����-��

"��iRy ���-$��%��������

iRu �����&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$��������

�&����$-�7���

�����������K AS ��@������� niRi

v 1}{ = L�����&����$-�7������&�������$��� ����

1.4.2. Signature Verification by the Organization R

���� �$��� "�� � � �� $���� ���� �� ��������� ���$-� 7�� � � �� $���� %��� ��� �� �&�

������$��� @� ���$�� �&��� �&�� ��� �� ��������� %������� ,&�%&� %���%��� -�������

%��-$�������� ���� �%&� $��� ��� "�� ���� ������� �&� ��������� � � ������$��� +&�

��� �����-��%��������� ����,���

�����1�%&�$�����∈�"���%�����&��R&���%����&���� ���iRu ���J�

iRv iRxRW �����-��

����1�%&�$�����∈�"������ ���&��R&���&���,������

48

iRMS �J���� ����iRu ��� q

uu

u

ji

i

RR

Rt

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

�%��1�%&�$�����∈�"��$���&��R&������ ����&���,��iRMS ������%��%$�����&�-�������

��$���iRR ��J������

iRMS ����)��������������&�%�������

�����+&�%������%��-$�������J� pRk

iRi

mod1

∏=

������%���������J��&�������������)��

����+&�%������%&%����&�%����$�%�� AS � ≡?

������ ArAy �����-� �����������������$���

' �&�����&��KK AS ��@������� niRi

v 1}{ = L������������������$��� ��&����������

+&�-��-�����%&��&����&� ����,����%&���%������%�*�

• +&������������ �����$����3�#��,&������������&��&����������$��

�%&���� �&�� ��� �� ��$���� 3�#� �&��� �������� �&� �%$�����

-�����������������������$����&��%�����&��������%&�$�������&�

�������

• +&���������� ������%����&��%$�����-�������������%�����&����

����%&�$����

• +&��������%�����&��%$�����-�������������%�����&��������&�

����� ����������

• +&�������%���$���&��%$�����-�������������%�����&���������A

�����%�����+&�������������� �(��&���

• +&� ������ %��� %&���� �&� �&��&���� ���$� �� ��� ����� ����&��

��%$������

• +&�������)$����������&�������$���������&�������������$-�7��

-���������-����������-$��%����-������iRx ��

iRy ���

1.5. Application to Threshold Cryptosystem +&��&���� %��-�������� ��� ��%���� P�������� %��-���������+&��� ���$� $���,&����

-���%���)$�����&�%������� ������&������-������+&�������C������&�����������

49

-$��%�����+&��%���������������$����������&�$����� �������C����������$%&���

,����&����������������$����%������������&�-���%���$��,&��������P�;��������

$����,���������&����&��%�������%��������� �����������$���&��������%�����

�������4�� ������������4�� E����;������F� ����-�� �&� %��%-���� � �&��&����

%��-����������+&�I������,�����������&��%��-����������������� ����,�*�

• +&����$-��%������ ��� �(�/������$���$-�� ������&�����$����%���

�%������&����$-��%����������%����&��� $�� ����&��������

• +&��%$�����-���������������� �(���+&��%�����&�����������

�$����� �&� ������ ��� $-�� ���� %&���� ��A���$-� ���� ��� �%$�����

-���%���)$������D$���������$-����I���%����&����%%����������

.$�����%���������$���%&��%����$�������������&��&����%��-�����������

������$�������&�����,��������3$--�����$�����,���������%��-���&���������

����&���������$���� ����������������$-�7��� ���$�����&�$���%��-��������%����

�&� ������� +&� �%��-����� ���� �%��-����� ��� H� ��� ����� ���� �&� �%������

���$-� 7�� %��� � �%����� ���� >�� ���� �� ��-%������� +&� ����� �� ����%�����

KK AS ��@�� ��%�� niRi

v 1}{ = L�����&����$-�7����,&��%��J��1H� ��������H��J��&��>����������

����� %��� �%���� �� ���� �&� �%��-����� ��� H� J� &� ��� ��� +&� ��� �&�� %���

�%��-���&�����������H�%���J�����

+&� -��-���� �&��&���� %��-�������� &��� �&� ����,���� ���������� ���� �&�

%��-�����������������&�%��%-��� �������������������

• +&� ���$-� �%��� ��� ���� �(�� ���� %��� � %&���� ��� �%&� $��&��

%���$��%��������

• +&������������ � �(�����$-��+&������������������&�������

�&������ ��%��-������

• ��� �������$��� %��� ���� %�-&�� �(�� ��� ���� %&���� ���$-� ,��&� ����

�������%$�����-���%����

��

50

Chapter 2

A Directed Delegated Signature Scheme

51

A Directed-Delegated Signature Scheme

2.1 Introduction

���������� ����&��������%������-��%��%�����&�����,������'���&��%�����%�,��������

�%������� �&��� �)$������� -��(�� ������$�� �%&��� &��� �� ������� �&��$�&�

,&�%&� � �������� %�-������� ��� ������ �%������ ���� �����-�������� ��������

������$���%&�������������%���������$�����E0F��,&�%&�������&�%��� ���-�����

���,���' ��&����%�����������������������&��-��������%��������%�������������

����� ��� ,��&� �&��� -����� ���� &�%� �&� ���$�-����� � � �&� �������� ������$�� ���

������+&� �����&������������������&���������%�-�������,��&�$����������

�&��%�������$%&��&����&��%�-����%������ ���&�������$��� ��&����������������

,��&��&�&�-�� ��&�����������-��(���������

.�� �&� ��&�� &����� ��� �&� ���$������� ,&�� �&� ������ ��� �������� ��� �&�

������$���%�������%���������$�����$����#����������� �������$�������,&��

,� ,���� ��� ������ �&� �������� %�-������� ���� �&� ������ ��� �������� ��� �&�

������$�� �%����� ���� �&��� ���$������� ,� � %����� �&� ���� � � -��(�� ������$��

�%&��,��&����%���������$���%&���������������������%�����%�����%�����%��AAAA�������������$���������������$���������������$���������������$��

�%&���%&���%&���%&����

'���&���%&�-���,�-��-��������%���P��������������$���%&������,&�%&���&�

��������� ������� ������� ����,��-&�����+&� �����-&��� ���� A�����+&���-&��� ���

���������-��(��������$���%&��������%����-� �������� ����&�������

��� � ������ ��� ���,��� +&� �%���� -&��� ��� ��A����� '�� ������� � ��� �&� ������

%�������,������$����C���&�-�%��-$�������� ��&� �����-&�����

'�� �&��� %&�-���� ,� ����� ���$������ ��� �--��%������ � � �&� -��-���� ���%�����%�����%�����%��AAAA

������� ������$�� �%&�������� ������$�� �%&�������� ������$�� �%&�������� ������$�� �%&��� %������� �� %������ �$�&������ ��� ,&�� ��������� ��

��$�����$�&��������������$�%��� �%������&���&�� ��+&������������������ ����#�

������������� �%��%��������&��$�����#�,�������%��� �%����&���������%���%&%���&�

52

���������� �������$��,��&�$��&���&�-��$��#�%���-�����&����������� ��&�������$��

��������&����-�����4��,&�����%��������

2.2. A Directed – Delegated Signature Scheme #������� �� ���$������� ,&��� �&�� ��� �� B7.I�� &��-����� ,&�%&� � �%�������� �'�3�

%&%�$-�� +&� &��-����� ��� &���� �� �� #G.� ��� ,&�� &��� � ����� ��-���������� ���

-� ����� "� ��������� �� ��$���� %�����$� �� ��� ���$� %��� �%��� ��� &��� &�� �� ��

-������#���������,����������%�����&���$���� ��&��R&��%&%�A$-�����&R�&�,�����

�� %��� �%��� �&��� ������ %��� ���� ,��&�$�� &��� &�-�� � ���$������ � � #� ��� "'>�

-������� �&�� �&�� ��� ��� � � %$������ ���� �������� � �&�� ��� ����&�� ��-�������

&��-�����&��������B7.�%&� �4� ��@&������ ��-��� �G��%������������������

���$�%������������� ����'�3�-�������#���������������&���#�&������-�����&�

���������� ���%��� �%��������������-�������

+&�������$������ ��$%&�-���������������������%���A��������������$��

�%&����"���&��%����#�%������%������� ���&�������$�������&���#�%���-����

���������������������&����-�����4��,&�����%�������3��%����%���������$��%���

� ��� ��� ,��&� �&� &�-� � � �%���� #� ����� ��� ,� %��� ���� �&��� �&� %������� � �

%��� �%����&���������������,��&�$���&�������$����� �%��������+&� ����,����������

(-�����������&�,�-��(���������%���������$���%&��%������-������ ����$��

%�����$%������

� ���������C�����&�%&%��$-�����--�����������������������������"���������

�����������������$����������$������&� ����,����-����%������%&������������-����

�$���-���)��������-���� �%����� ��-�P�;���������������∈��Q-�,��&������)�������

,���&��&� $�%�����&�����

2.2.1.Signature Key Delegation by A

;������%��� Ak ∈�Q)��%��-$�������J���� Ak �����-��������������������

��������������������%���a�∈�Q)�����%��-$�������J������a���������-��

�������' �����∈�Q)X��&����������������&�,������������-������

�����%��-$����������J�����(��U�� Ak �����)����� ��,���������������

0�����%��-$���3���J��������U���a������)�����%&%�����3���J����������������-��

53

' �)$�������&���������%%-���W��I���������������������������$����� �������

B�,� �&� &��-����� ��� �-�� ��� �&� -$��%�� �� ���� �&� %&%�� $-� � � �� -������ #� ����

-�-�������-����������������%��� ����-���� ���#��+&�������$���������������

��� �%����������������&� ����,����-����%����

2.2.2. Signature Generation by B for C

�������-�%�������������1bK ����

2bK �∈��Q)�����%��-$�����

@�����J������ 21 bb KK − �����-��������Q%������J���������#� 1bK ����-��

�������%��-$���� Br ����J������&��Q%��@����������� BS ���J�����2bK −�3����������)��

�%������������K BS ��@���� Br ����L�����#�����#G.I��������$������

2.2..3. Signature Verification by C

�����#�%��-$���b��J������ BS �� Ay ��������� Br ��@��������-�����Q%����J��b� Cx �����-���

�����#�%&%����&����� Br �J�������&��Q%��@������� ����&����������� �������$���

2.2.4. Proof of Validity by C to Y

����#������������K AS ���@������� Ar �����������bL����4��

���4�%&%�������� ��������� Ar J��&��Q�����@�����������)��

' ��&�����������&����4����-���&�-��%��/���&�,�����������&���(����-���

�%���#������C������,���� ��&�����-��������4��&�������b�Q#��J���������#����� ����,���

• 4�%&������������$����∈�Q-�%��-$���,�J�bu ���v ����-����������,����#��

• #�%&������������a�∈�Q-�%��-$���c�J�,����α �����-�����γ��J�c Bx �����-������

��������4��

• 4������$������������,&�%&�#�%������ ���&���,���J�bu ���v ����-��

• #������a����4����,&�%&��&�%������ ���&���

c�J�bu ��� v Uα ����-������γ��J�Q#�u ��#� v Uα �����-��

54

2.3. Security Discussions '���&����%�������,����%$�������-����������%��������

�����������������' ��&����������-��(����������������&������&��&�%���%&��� ��&�

��������������������������&�R&���������$������������������������������� �&�R&���

%&��%��

+&� ���$����� � � �&��� � -����� ��� �&� (����%� � � �� ��$���� �&���� -������ +&�

�������������������������������&���������������,���,��-���������������

�$������&�������������-����%�����$�&���%������+&��&����-������-���&�

�%����� � � ��������� �����I�� ������� ���� %&%�� � ���� %��� � � ��������� ������

�����������������������I��������

�������������#���������������2bK �����3���%���������$������ �-��(����������� �����&�

)$������ BS ���J�����2bK −�3����������)�O�

"�� �&� �$���� � $����,�� -�������� ��� �,��� +&� �$���� � )$������ ���

���� ��� ��� ��� %��-$����������� �� ����� ����� ����� ���%���%�� �&��%��� ������

2bK �����3�����

�%���%���%���%���#��������-��������&������������������O�

�� ������������������-��������&��������������������������������%������

�,�� �������1i

K ����2i

K �∈� � Q)� ��$��,��&�$�����,���� �&� �%���-����a� �� � ��� ���

�� �%$��� ��� ������ �� ������ � -��(�� ������$�� ��� � 3� � ���� BS ��� ����� �� �&�

��� �%������)$��������������������������������������������������������������������������������

Q%������J������ BS �� Ay ��������� Br @����� Cx �����-����� Br ���J����&��Q%��@�������

�����������������#������ ������������$��K� BS ��@���� Br ������L�$������&�)$������

b�������������J������ BS �� Ay ��������� Br @��������-�O�

+�� %��-$�� �&� ������ BS ���� �&��� )$������� ��� )$������� ��� �������� �&�

���%��� �������&��-������' ����� ����������������%��� *S ���������� K� *S ��

@���� Br �������L��������&��%������%��-$�������bX� � � � �J��E���*S � Ay ���� ����� Br � � �@��F��

����-����QX��J���bX Bx �����-�����%���%&%��� ��

55

Br ����J��������&��QX���@�������������%���&� ����������

Illustration�

@����$�������&����%&��$�����������-���������+������-�J������)�J�;;����J�<�����

�&��%������������&�-$��%������ �$���������� ����,���

������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ���������������������������������3%����������������������������-$��%������������3%����������������������������-$��%������������3%����������������������������-$��%������������3%����������������������������-$��%�������

���������������������������� ������� ���������������������������� � ��������:�

���������������������������� ������������8���������������������������� ����������

�����#�������������������������� ������������<����������������������������������������;��

�����4�������������� ������������������������=����������������������������������������;=�

+���������&������������������%������J�?���������������J�����������������%���a�

J�8�������������J�<���������%��-$�������J�����������������������%��-$���-��(��

������$�������J�=�����%&%���� ��<�=��J�E�:�<��<�F��������

+���������&�������$�����-�%�������������1bK J�?�

2bK J��������%��%$����@���J�

������Q%�J�;<�� Br �J��&��;<������=���;=��J�������� BS �J�=�������������&�%��-�������

K�����=���=���;=�<L����#��

�����&�������$����� �%�������#��%��-$���d��J������������Q%����J��;<����%&%���� Br �

J��&��;<������=���;=���J������ ����&����������� �������$���

+������ �� ������������#����4��#�������;<�����=�����=���;=�������4��4�%&%����� Br ��J��

&��;<�����=���;=���J�����+&���&������B�,�#�%���-�����&���������;<�J�����<�;��������

C������,���� ��&������$�������&� ����,����%�� ���������-����%����

������4�%&���������������$��J�;����J�;8�����%��-$���,�J������������,����#��

������������#�%&���������������a�J�=�����%��-$���c�J�=�e�J�;�����������c��e�����4��

�������4�������$��������#����,&�%&�#�%������ ���&���,���J�����

������������#������a����4����,&�%&��&�%������ ���&����c��J��;<�����e�J�0��������

56

2.4. Remarks '���&���%&�-����,�&������%$���������%���A��������������$���%&���,&�%&����

$� $�� ��� �&��� %���,&�� �&� ������������ ��� �������� ��� ������$�� �%����� '��

�&����%&����&�������$���%����#�&��� $���%������������&�������$����� �%������

-��%���� B����� %��� %&%�� �&� ��������� � � ������$�� ,��&�$�� &��� %�A�-�������� +&�

�%������������������-������&����������� ��&�������$���,&�����%��������

@�&���-��������%�����$%������ ��$%&������%���������$���%&���,&�%&����

���� ��� ���%��� �������&�� -������� "�%� �&� �%$����� ���� � � �&��� �%&�� ���

�������� ��� �&��� � � ��&�� �%&�� ���� ��� ���%��� �������&��� � 3��%� �&� ��������

�,�� �&����������������I���%������ ����������,������������ �&����%&�� ���

�����%$���&���������&���%&�����������&����%����������&����

�����������

57

Chapter 3

Directed – Threshold Signature Scheme

58

Directed – Threshold Signature Scheme �

3.1. Introduction

'����������$���������&�������������&�� �� ����������C�������������������������

�����)$����&��--����������%������� �������-�-���'���&���%�����&�������$�����

���� �� ���� �&��� ��� %��������� ���&�� �&��� �� �� ������ -������ �� %������

(��-��� � �&���-���%�� ����� ��������� ������%������,&�%&��)$���� �&�������$��� �

���� �&��� ��� -������ 3$%&� �� -���%�� %�$��� � ��-������ �� &������ �� �-�����

��������������$�� ��������)$�����������$�� �&������$����� ��%������&� ���� ���

��� �� �&������� �������� ,��&� �&� �$���� � ������� +&��&�+&��&�+&��&�+&��&���� ������$���� ������$���� ������$���� ������$����� ��� ���

���,�� ��� �&��� -������+&� ���� ��� �&��&���� ������$�� �%&��� � ���$��� ��� �����

�&��-�������+&��&����������$������%����������������&�%��%-��� ��&��&����

%��-�����-&��� �����������$%����������E�;������F��'��;::;������������������

E��F�-��-���� �&� ����� ������� �&��&������������ ������$���%&��������� �&��3��

���$�-������

'���&���%&�-����,�-��-����������������%��������������%��������������%��������������%���AAAA��&��&����������$���%&���&��&����������$���%&���&��&����������$���%&���&��&����������$���%&������

���3&����I����&��&����������$���%&�E:=F�����3%&����I��������$���%&�E:0F��

3.2. Directed -Threshold Signature Scheme����

5��7�������$-�� ������������$������$��� �,&�%&������� �������������%���

������ �&� ������$�� ��� �� ������ �� ��� �� $��� ��� +&� $��� �� %��� ��� �� �&�

������$�� ���� �&��� �� %��� -���� ���� ��������� ��� ���� �&���� -����� #�� ,&����

�%�������B�����%���%&%���&����������� ��&�������$��,��&�$���&�&�-�� ����

���� �$�� %�����$%������ ,� ���$�� �&� (����%� � � �� ��$���� �&��� ������$�����

%�����3�#��,&�%&����������&����$-��%����-�������������&��%����&����

��� ��� ∈� 7�� 5�� "� � ���� �$��� � � 7�� %���������� �� ������ @� ����� ���$�� �&�

(����%�� � �� ��������� %�������#� �,&�� %���%��� -������� ������$��� ���� �%&�

$��� ��� �&� �$���$-�"��1���� �&��&����� ��� �&� ���$-�&��� )$����$�&������,��&�

����������&����$-��%����+&������������ ���&����%���������$���)$�������$��

� ����&��&���������������%�����,��&��#���

59

+&����%&��%��������� ��&� ����,������-���

3.2.1. Group Secret Key and Secret Shares Generation

�����3�#���%����&����$-�-$��%�-��������-��)����������%��������� �����,���&��&�

$�%�����&��3�#��������%�����-���������������

��(��J����U��;(�UN ����A;�(�A;�����)���,��&���������J�� Gx ��J��� ������

�������"�� Gx �����&��%������� ��&����$-�7��

����3�#�%��-$����&����$-�-$��%����� Gy ������ Gy ��J������ ���������-��

�%��3�#�%��-$������%����&������������ ����%&������ ��&����$-�7������

��������������������������������������������������J���� ��$��������)���

�"��$�������&�-$��%����$�����%�����,��&�$����������&����$-�7��

����3�#�������������%&�$���������%�������������

3.2.2. Signature Generation by any t Users

' ��������$��� ��������� ��&����$-����������������������� ���$�������&��

�������&�������$��$����� ����,������-�*�

������1�%&��������������������%���1i

K ����2i

K �∈��Q)�����%��-$�����

,�����J���� 2iK

1iK− ����-��������C������J�� By 2i

K �����-��

���� 1�%&� ���� � ����� � � ,�� � � �-���� ���� � C�� � �%����� �������� ��� �%&�

����� �"� ��.�%�����,������ �C���������������������� %��-$����

Q�@������������

@��J��� qwHi

i mod∏∈

���Q���J���� qzHi

i mod∏∈

���������J����&���Q���@����������)��

�%���1�%&������������ ���&��R&���&�������G3���J������� quu

u

ji

jt

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

60

����� 1�%&� ���� �� $��� &��R&�� ���� ��� �&���� G3�� � ���� ������� ������1i

K ���

%��%$�����&�-�������������$�������������J���1i

K P��G3���������)��

����1�%&����� �������&��R&��-�������������$�� ��� �&����������%�������#�

,&��%���%����&�-�������������$��������-���$%���&����$-�������$��

3�J���=

t

i ,1�������)��

� �����#������K�3�@�����L���������������$��� ��&����$-�7�����&����������

�������� ����������� � ��� �������

�������%��-$���b��J��E��� S � Gy � R ���@�F������-������Q�����J��b Bx �����-��

�����%&%����&����������� �������$������� ���������J���&��Q��@��������)��

3.2.4. Proof of Validity By B to Any Third Party C

+&���-����� ��&�-����%����$����������%����A�����0��

3.3. Security Discussions ,� ��,� � ���%$��� �%$����� ��-%�� � � �&� -��-���� ���%������%������%������%��� AAAA� +&��&���� � 3�����$��� +&��&���� � 3�����$��� +&��&���� � 3�����$��� +&��&���� � 3�����$��

3%&�3%&�3%&�3%&�������

����� ������ ������ ������ � '�� ��� -������ ��� ������ �&����$-� �%������ � ���� ���� �&����$-�-$��%������

Gy O�B��%�$���&����������� �%$�����������������%����������&��-������

���� ����� ����� ����� �#������������ �&��%��� �&������� �� ���∈�7�� � �����&�-$��%����$� �$�� �O�B����

%�$�� ���������������������%�������%���-�����������

(c). Can one retrieve the secret shares vi ,integer 1i

K and partial signature si , from the

equation si = 1i

K P��MSi .R mod q. ?

"�� �&��$���� �$����,��-�������� ��� � �,���+&��$���� �)$������ ���

�������������%��-$������������� ����� ����� ��������%���%���&��%����&�������

�������1i

K �����-�������������$���������∈�7����

61

(d). Can the designated combiner DC retrieve the group secret key f (0) or any partial

information from the equation, S = �=

t

i ,1si mod q ?

���+&������������%��-$������������� ������

��������������������#��������-������������������∈�"��O�

�� ��������� ���� ��� ��-��������� �&��&����� �� �� � �� ��������� ��%����� � �,��

�������1i

K ����2i

K �∈��Q)���������%��������,�������C����$��,��&�$�����,�����&�

�%����&���������������� �%$���������������������-�������������$������������� ���&�

��� �%������)$�������

Q���J���E��� S � Gy � R ���@�F� Bx ������-��,&�����3���J�����=

t

i ,1�������)��

� ����� ����� ����� ����#������ ������������$��K�3�@�����L����&� ����,����)$����������

b���J���E��� S � Gy � R ���@�F������-�O�

+��%��-$�� ������3� ����&�� ���)$������� ����������� �&����%��� �������&��

-������' ����� ����������������%��� *S �������������K� *S �@�Q�����L��������&�

�%������,�$���%��-$���

��������bX����J���E���*S � Gy � R ���@�F������-��������QX����J����bX Bx �����-�����%&%���� ���

Br ���=?

�����&��QX���@��������

�+&��%������%�������������� ���&���������&��� ������&�������$������

��������������������#�������������&��&�������%�����%���$���������%�����$%���&�-����������

��(���O�

���%%�����������&� ����,����)$�������

��(�����J������ quu

uxuf

ji

jt

ijj

t

ii mod)(

,11 −−

∏�≠==

��

62

�&��%���-���������� � �(��%�����%�����$%��� �,��&��&����,����� �������

�%����&���� ���$��������∈�7����

3�� � � ��� ��� ������C������ �&� �&��&������ ��� ���,�� ��� �%&� ��&�� ��&�

��-������� ������ ��&�����%���$��%�$����������������������$�����&��,�$���

�����&��%������� ��&�%��-������,&�%&�,�����%�����$������$����

+&��� ����%�� ���� ����,���� �&� �%$������ ��$�� �%&�� ��� �&� ���� �&��� �&�

�$��� � � $���� �&��� &��� ��� %���$�� ��� ����� ��� ���� �&� ������$�� ��� ����

������� �&��� �&� �&��&���� ���$�� "�,��� ��� ��� ,���&� -�������� �$�� �&��� �� � ���

����$����%���%���-������%��-$���&��������%�����

Illustration �������$����������,����$���&����� �$��$��������&��������.$��� � �$��$�����

�� �� #� �� � 1� � ���� � �� ���� �,�� $���� �� ����� � �� ���� �� � %��� ������ �&� ���%���

������$��������������� ����&�$�����,��&��%�������-$��%����-���� Bx ��J����J����J����J��<����

����� By ��J����J����J����J��=������-%�������+&� ����,������-�����$�������&����%&��������

*����� �� ��� ���+�� �� ���"�� ��* � �������

5��3�#�%&������-���J���������)���J���;;�����������J����;=���������� ��(����J������U�8(����;;��

,&�� � ����J���� ��� �&����$-��%��� �����+&�-$��%����$�� �$�� � �����%����-�������

�%����&���������� �$���������� ����,AAAA�

���������������������������������-$��%����$��$�����������������������%����&���������

���������������������������������������������:������������������������������������������������0�

��#�����������������������������������������;������������������������������������������������=���

��1�����������������������������������������;0�����������������������������������������������?���

��������������������������������������������;<�����������������������������������������������<�

B�,��&�3�#����������&����$-��%����������� ���������%��-$����&����$-�

-$��%����� Gy ������ Gy �J���;=�����������J��;���

�������� �* � ��������������,� ���

' ������,��$��������������$��� � �$��$�������������������������� ���$������

�&���&�������$�����������&����&� ����,������-���

63

��� +&�$�����������������%���1aK J�����

2aK �J�?�����%��-$�� 1w J��� 1z J�;���

�� +&�$����������������%���1f

K J�8�2fK J��:�����%��-$�� 4w J�0� 4z J��:���

�%� ���&� �&� $���� �� ���� � �� ���� � 1w � 4w �� ���� � 1z � 4z �� -$��%��� ��������

�&��$�&� �� ����%���� %&������.�%� ���� 1w � 4w �� ���� � 1z � 4z �� ��� ���������

�%&�$������"�%��-$����&�-���$%��@�J�;���Q�J�;<�������J���&��;<��;�������

����;;��J��8��5��$���$--����&�����&������$�����$����$��)$������8���

��%��+&�$�������������%��-$���&�������� ����&����G3���J��<�����G3���J��=���

�����+&�$�����������&�$�����%��%$�����&��R&���-�������������$� 1s �J��8����� 2s �

J� � :� ��-%������ ����&� �&� ������� ���� �&��� -������� ������$�� ��� �#� ,&��

-���$%�������$-�������$��3��J�����

������#������K����;���8���L���������������$��� ��&����$-�7� ����&����������

�������� �$ �������������-�

�� %��-$��� b� � J� E� ;=� ��;�8�;�� F������J� �� ���� Q� � � J� ;<� ���� %&%��� �&� ���������� �

������$����%��-$�������J��&��;<��;�����������;;��J��8�����������������

���������$���+�����-�������!"��+��������

�������K���;���8�����L����#��#�%&%����&�����J�&��;<��;�����������;;�J��8�+&���&������

B�,���-��������#��&����������;<�J������;=�=������C������,���� ��&�������$������&�

����,����%�� ���������-����%����

����������#�%&���������������$��J�;;����J�;������%��-$���,�J������������,�������

���������%&���������������a�J�;?�����%��-$���c��J�;<��e��J��0����������c��e�����#��

��������#������$������������,&�%&���%������ ���&���,���J�����

��������������a����#����,&�%&��&�%������ ���&����c��J��;<�����e���J���0�����������������������

3.4.Remarks '�� �&��� �%&���,� &��� $��� �&�1�7����� -$��%� ��� %��-�������� ��������� �&�

%�����$%����� � � ���%��� +&��&���� 3�����$�� 3%&��� +&� �%$����� � � �&���

%��-�������� ��� ���� ��� �&� ���%��� ���� -������ .���� �� P� ;� �&���,�� ��� ����

64

�$ �%��������������&����$-��%�����������&��,����������������� �����������$��

�&����$-��%�������$��������������$�����%�����%���$������

'���&����%&����&��������#�#�#�#�����,&��%���%����&�-�������������$��� ��&��������@�

�&�$��������&����&���������%����� �������������%�����,��&���&��#��1����$���

%��� %��-$�� &��� ���� ��� �&��� $���� ���� )�� ' � )� ��� � ���� � -����� � �&�� �&�

%��%$�������� � � �&� (-������ ��� -� ��������� f� �)��� ,&�%&� ��� ���� �� -����� +&���

��-���� �&��� 5������� ����-�������� ��� %��%$������� �&� ���� ��� �&���,�� ,���� ����

,���� �(%-�� ,&�� )� J� ��� ��� ,&�%&� %��� ,� ��� ���� ���������� #������� �&�

���$�������,&�� ∏≠=

−t

ijjji uu

,1

)( �����)����%�-�����'���&���%����&��������,������ ����

�$�� �&� �$���-��%����� ������ � � ∏≠=

−t

ijjji uu

,1

)( ���� )�� +&�� ��� ����� � -���������� � �

��%����� �&� ����� -���� )� �$���� ��� ����� ��� �%&� -����� ��� ��� ���$��� �&���

�� �%$����

���%����&��&����������$������������������������&����-�����%�$���&��

������,��� ���&������-������������������+&���������,����� �Q���������$ �%�������

-���� �&� ��������� � � ������$��� 3�����$�� �%���� ����� &��� ��� -� ���� �&�

%�� ���������-����%��������C������,���� ��&�������-�����&����������� �������$���

����

����

����

����

����

65

Chapter 4

Threshold Signature Scheme with Threshold

Verification

66

Threshold Signature Scheme with

Threshold Verification �

4.1. Introduction

'����������$���������&������������&���� ����������������������-������"�,����

,&�� �&� ������ ��� ���� �� ��� ������C������ ��� ����&�� ������C������� �� ������

������ ���� �)$��� �&� �--������ ��� %������ � � ������ -�-��� '�� �&��� %���� �&�

������$�� ��������� ���� ��� �%������ ��� ���� ������ �&������ %��������� ���&��

�&�������������-������+&���%&�-���-��-������+&��&����������$���%&�+&��&����������$���%&�+&��&����������$���%&�+&��&����������$���%&��,��&�,��&�,��&�,��&�

�&��&������� �%�������&��&������� �%�������&��&������� �%�������&��&������� �%��������

4.2. Threshold Signature Scheme with Threshold

Verification

#��������&��������������������������������C������3��������&��������C��������

���������)$����&��--������� ����$���"3�� ���������������� ���������������

���$-�73�� ���$��������������&�������C������3��

.�� �&� ��&�� &����� �&� �������� ���$-� ,����� ��� ������ �&� ������$�� ��� ��

������������$%&���,����&����&�������$��%������� ����������$���"��� ������

����$���� ������������������$-�7��� ���$��������������&�������C����������&��

�&��&������� �%�������%&��������$��-$�-�����

@����$���&����&��%������� ��&�������C������3���� Sx �����&�-$��%�������

Sy �,&�� Sy �J�Sxg � �����-�,��& Sx ∈�Q)��3��������� �&�������C��������-���������

-���� � Rx � Ry ��� �-��������� Rx �����-$��%���� Ry �J� Rxg �����-��'����������������

$����������&��&�������C�������-���������-����� Ax � Ay ��,��&� Ax ��%������� Ay �J�

Αxg ������-�-$��%�����

67

@� $��&�����$���&�����&��&�������C������������3�&�����%��������$����

%�����#+#�� ��������������&����$-��%���-��������� ��&��,�����$-�������&�

�%����&��������������+&����%&��%��������� ��&� ����,������-����������

4.2.1.Group Secret Key and Secret Shares Generation for the

Organization S

�����#+#���%����&����$-�-$��%�-��������-���)�����������%��������� �����,���

&��&� $�%�����&��#+#��������%�����-���������� 3��(�� ����&����$-�73�������

3��(��J����U��;(�UN ����A;�(��A�;�����)��,��&���������J���� Sx ����J��� �3������

����#+#�%��-$����&����$-�-$��%����� Sy ��J������� �3��������-��

(c). #+#������������%�� K �∈�Q)�����%��-$�����-$��%����$�@��J��� K− ����-��

�����#+#�%��-$�����-$��%����$iSv �� ����%&������ ��&����$-�73�������

iSv �J����� 3���iSu ��� K

Siy �����-��

"��iSy ���-$��%��������

iSu �����&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$������������&�

���$-�73��

����#+#������KiSv ���@�L����%&�$���������&����$-�73��&��$�&���-$��%�%&���������

4.2.2. Group Secret Key and Secret Shares Generation for the

Organization R

�����#+#���%�����-����������� ���(��� ����&����$-�7�������

� ���(��J���U�;(�UN ����A;�(�����A;�����)�,��&������J��� Rx �J��� ��������

����#+#�%��-$����&����$-�-$��%����� Ry ���J��������� ����������-��

�%���#+#�%��-$�����-$��%����$iRv � ����%&������ ��&����$-�7��������

�iRv ��J����� ����

iRu ��� KRi

y �����-��

68

"��iRy ���-$��%��������

iRu � ����&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$��������

�&����$-�7���

�����#+#������KiRv ��@L�����%&�$���������&����$-�7�����&��$�&���-$��%�%&������

4.2.3.Signature Generation by any t Users

' �"3�������$���� ��������� ��&�������C������3��$��� ��������,&���������

���������������������������&�������C����������&���&�������$�����������&���

�&� ����,������-�*�

�����1�%&�$������∈�"3������������%���1i

K ����2i

K �∈��Q)�����%��-$�����

$������J��� 2iK− ����-����������J���� 1i

K �����-�������,���������J���� 1iK � Ry 2i

K �����-��

����1�%&�$���������%�����$�����,���-$��%������������%��������������&��$������"3���

.�%�����$�����������,���������������%&�����������∈�"3�%��-$�����&�-���$%��

3���>3���@3�������&��&����$��3���������

3����������J������ quSHi

i mod∏∈

�����>3�����J����� qvSHi

i mod∏∈

��

@3������J������� qwSHi

i mod∏∈

�����3����J�������&��>3����������)��

�%���1�%&�$�����∈�"3���%�����&��R&���%����&���� 3���iSu ���J���

iSv iSxW �����-��

����1�%&�$�����∈�"3������ ���&��R&���&���,iSMS J�� 3���

iSu ��� quu

u

ji

j

SS

St

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

���� ��� $����� &��R&�� ���� ��� �&���,iSMS �� �%&� $��� �� ∈� "3� %��-$��� &��R&��

-�������������$���������J����1i

K ��U���iSMS ���3�����)��

� ��� 1�%&� $��� �� � ∈� "3� ����� &��R&�� -������� ������$�� ��� �&� #+#�� ,&�� -���$%� ��

���$-�������$��33������J�������=

t

i ,1�������)��

69

�����#+#������K�33��� 3��@3�����L�����&����������%���������������%���������������%���������������%�������#��#��#��#�� �������C����������� �������C����������� �������C����������� �������C���������������

���������$��� ��&����$-�3� ����&����������

4.2.4. Signature Verification by the Organization R

�����$���"��� ���$���� ������������������$-�7��%������ ���&�������$���@�

���$�� �&��� �&�� ��� ��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� �%��� � ���� ���� ������ �&�� �%��� � ���� ���� ������ �&�� �%��� � ���� ���� ������ �&�� �%��� � ���� ���� ������ �&�

������ � �&����$-������� � �&����$-������� � �&����$-������� � �&����$-�7777��������� �&�&���� � �&�������C����������� �&�&���� � �&�������C����������� �&�&���� � �&�������C����������� �&�&���� � �&�������C������ ����������,&�� %���%��� -�������

%��-$�������� ���� �%&� $��� ��� "�� ���� �������� �&� ��������� � � ������$��� +&�

��� �����-��%��������� ����,���

�����1�%&�$�����∈�"���%�����&��R&���%����&���� ����iRu ����J�����

iRv iRxW �����-��

����1�%&�$�����∈�"������ ���&��R&���&���,iRMS �J��� ���

iRu � quu

u

ji

i

RR

Rk

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

�%��1�%&�$�����∈�"�������&������� ����&���,iRMS ����&��#��

�����#�%��-$������������������J�����

=

k

iiRMS

SS UW1

. ����)�������%�������

�3���J����&���������������������)��

������#�%&%����&�%����$�%�� SS �����≡?

������ SRSy �����-� �����������������$���' �&����

�&��K�33��� 3���@3������L������������������$������&����������

4.3. Security Discussions '�� �&��� �$A�%������ ,� �&���� ���%$��� �&� �%$����� ��-%��� � � -��-���� +&��&����+&��&����+&��&����+&��&����

3�����$��3%&��,��&��&��&������� �%������3�����$��3%&��,��&��&��&������� �%������3�����$��3%&��,��&��&��&������� �%������3�����$��3%&��,��&��&��&������� �%����������"��,��&�������%$���������-������

����%�����$������� ��&��%����$%%�� $���������$������������

��������������������#���������� ������ �&�������C�����I�� �%������ Sx � ���� Rx � ���� �&����$-�

-$��%���� Sy ���� Ry ���-%������O��

+&��� ��� ��� �� �%$��� ��� �������� ���%��� �������&�� -������ B�� ��� %��� ��� �&�

�%������ Sx ���� Rx �� ���%� � 3���� ���� ��� � ���� �&� ��������������%�������%���

-��������������&�#+#���.���&���&��&�������$������&�-$��%����� Sy ���� Ry �

70

�������������� �&��%������ Sx � ���� Rx %�$�� �&��� �������� �%$������ ��������

���%����������&��-������

���������������� #������ ������ �&� �%��� �&����� 3� � ��iSu �� � � ������� � �73� � �� � ���� �&�

)$���������iSv ��J���� 3���

iSu ��� KSi

y �����-��O��

B�� %�$�� 3� ��� �� ��������� ���� �%����� ��%��� -���������� ���� H� ��� ����� ��

��������������%�������%������������&�#+#��3���������������%�������&�

�%����&������ ����iRu ���� ������� ��7����� �����&�)$��������

iRv ��J��� ����iRu ��� K

Riy �����-��

(c). #��� ��� ������ �&� �%��� �&����� 3� ��iSu �� � � ����� � � � 73� � �� � ���� �&�

)$����������� 3���iSu ���J���

iSv iSxW �����-��O��

.�����&�$�����%����%�����&����%����&����� 3��iSu ���%�$�� 3����������������

�����%�������%���-�������������iSx �����%������� ��&�$����∈�73��3���������

������%�������&��%����&������ ����iRu ��� ������� ��7����� �����&�)$��������

����iRu �����J�����

iRv iRxW �����-��

��������������������#�������������&����� ����&���,iSMS ��������

1iK ����&�&��&����$��3������

-�������������$��������∈�73��� �����&�)$������

����J���1i

K ��U���iSMS ���3�����)��O�

+&����������%���-������������������%��-$������������� ����� ����� ��������

%���%���&iSMS ��������

1iK ���&�&��&����$��3�������-�������������$��������∈�73�����

����������������#����&����������#+#�����������-��������� ��������� �����&�)$�������

33���J������=

t

i ,1�������)���O�

.���$����� ��� ,�$��� � %��-$����������� �� ����� ��� #+#� ��� ����� ����

�� ��������� ��������

71

� ���� ���� ���� ���#��������-������������������∈�"3��O�

�� ������������������-����������&��&����������∈�"3�����������������%������

�,�� �������1i

K ���2i

K ∈� Q)� ���� ����%������� $�� �� ��� � � ���� � ,���� �$�� ,��&�$��

���,���� �&� �%��� �&����� 3� �iSu ��� ��� ��� �� �%$��� ��� ������ �� ������ -�������

������$������������� ���&���� �%������)$��������

33��J�����=

t

i ,1�������)�������� SS ��� ≡

?

������ SRSy �����-��

�������������������� #��� ��� ���� �� ������$�� K33� � 3� �@3� ��L� �� �&� ����,���� )$������������������������������������������������������������

� SS �� ≡ �������� SRSy �����-O�

�� ��������������������%��������������������&��%��-$����&�&��&����$���

�3��$%&��&������3�����J����&���������������)��

.���$����� ��� %��-$��� �&� ������ SS � ��� )$������� ��� �������� �&� ���%���

�������&��-������.���&���&��&������&� �����%��������������%��������� SS �

����������&���������������������$��3����&�������� ���&�)$�������

� SS ����� ≡ �������� SRSy �����-��

"�,���� �%%������� ��� �&���A,���-��-����� � �&�&��&� $�%�����&�� ��� ��� )$���

��-�������+&$����&�������%��,����������$%%�� $���

�&����&����&����&���#�������������&��&�������%�����%���$���������%�����$%���&�-���������� 3��(��O�

�%%�����������&�)$������� 3��(����J����� quu

uxuf

jSiS

jSt

ijj

t

iiSS mod)(

,11 −−

∏�≠==

��&��%���

-���������� 3��(��%�����%�����$%���,��&��&����,����� ��������%����&�����

3� ��iSu ��� � ��∈�73� � ��3�� � � ������������C�������&��&��&������������,������%&�

��&���������� ��&������%���$������ �����&��%���-���������� 3��+&�������%���

&�,���� ���� ���� ,���� �&� �%$����� � � �$�� �%&�� ��� �&� ���� �&��� �&�

�$��� � � $���� �&��� &��� ��� %���$�� ��� ����� ��� ���� �&� ������$�� ��� ����

��������&����&��&��&�������$���

72

Illustration ����� ���$���������� 3$--��� =SG ?�� � =SH � 0�� � =RG <� ��� =SH � 8�� @� ���� �&�

-���������-��J���0?���)��J������������J�����

*����� �� ��� ���+�� �� ���"�� ��* � ������������" �.�����/��������

�����#+#���%��� ����&����$-�73����-���������� �3��(���J���;;�U��(�U;��(����U�(�����������

"�� Sx �J����;;����� Sy ��J����;;�����0?��J����?��

����#+#������������%��� K �J��=�����%��-$�����-$��%����$�@���J���:����

�%���#+#�%��-$����&��%�������-$��%������%����&�������-$��%����$� ����%&�

����� ��&����$-�73�������&�,�����&� ����,���������

����

����

����

����

����

����

����

����

*����� �� ��� ���+�� �� ���"�� ��* � ������������" �.�����/��������

�����#+#���%��� ����&����$-�7������-���������� ���(���J���?�U��(�U�0�(����U���(�����������

"� Rx �J���?������� Ry �J����?������0?���J����0��

����#+#�%��-$��� �&��%�������-$��%������%����&�������-$��%����$� ���

�%&������ ��&����$-�7��������&�,�����&� ����,���������

�����������>�5 1�

31��

�����iSy � �����

iSx �

iSu ��� 3��

iSu �� ������iSv �

���P�3;� ����?� �������;�� ��������� �������=� ������0�

���P�3�� �������?� �������;�� �������:� ��������� ������0�

���P�3�� �������=� �������;0� �������=� ��������� ������=�

���P�30� ������;=� �������;<� �����;;� �������0� ������:�

���P�38� ��������=� ��������;� �������� ��������� ������<�

���P�3<� ���������� �������;:� ������8� ������;<� ������<�

���P�3?� �������<� �������;?� ������0� ������;:� �����0��

73

>�5 1�

31��iRy �

iRx �iRu � ����

iRu ��iRv �

���P��;� :� ;8� ;;� �;� ;0�

���P���� 0�� :� 8� :� �8�

���P���� �?� ;;� =� �;� ;<�

���P��0� �8� ;=� �� ;8� ���

���P��8� ;?� <� <� <� �0�

���P��<� ;0� ;�� ������������0� ;=� ���

����

�������� �� � ���������������� ���

' �3����30���3<�����3?�������������������������� ����&�������C�����������&���

�����3����%���12K �J��8��

22K �J��?�����%��-$����$����J��;=���������J�����������,�����J���;��

����30����%��14K J��0��

24K �J���������%��-$����$0����J��<���0���J���;<�������,0����J���0��

�%��� 3<� ��%���16K J� ;��

26K J� ;=� ���� %��-$��� $<� J� ���� �<� J� ?� ���� ,<� J� ;��������������������������������

�����3?�����%���17K �J���;�

27K �J���;;�����%��-$����$?�����J��?���?���J�;�������,?����J��;?�������������������������������������

����1�%&�$����%��-$���� 3��J��0��>3��J��������@3333���J���J���J���J��;=������3��J��&�������������J�=�����������������������������������������������������������������

� ���3���%������� 3���2Su ���J�������%��-$����������

2SMS ���J����8��������������J������

�����30��%����� 3���4Su ����J��0������%��-$�����

4SMS ���J����;��������0���J����;;��

������3<��%������ 3���6Su ���J��;<������%��-$������

6SMS ���J����;���������<���J����;<��

�D����3?��%������� 3���7Su ����J��;:������%��-$������

7SMS ����J���;:���������?���J�����;���

�����#+#�-���$%�������$-�������$��33� �J� �;8���������� K�;8� ���0� ��;=� � ���L�����&�

��������� %�������#�� �������C�������� ��� ������$��� � �&� ���$-�3� ��� �&�

���������

�������� �$ ��������������" �.�����/��������

3$--��� ���$�����;���������0����8������<�,���������� ���&�������$����&��

������;��������%�������� ����1Ru �����J����;�����%��-$������

1RMS �������J�������;:��

74

�������������%������� ����3Ru ������J����;�����%��-$�����

3RMS ��������J���������0��

�%����0����%��������� ����4Ru �����J���;8������%��-$���

4RMS ���������J�������;;��

������8����%�������� ����5Ru ������J���;�������%��-$����

5RMS ��������J���������:��

�����<������%��������� ����6Ru �����J���;=��������%��-$���

6RMS �������J��������;���

� ����#�%��-$����&����$������J���������&���%������3���J���&�����������J�=������������������������������������������������

������#�%&%����&�%����$�%��� ;8� � � ≡?

� � ��� �� ��?�=�����08� �����������������$���+&���

%����$�%�&��������K;8���0��;=�����L������������������$�������&�����������

4.4. Remarks '�� �&��� %&�-���� ,� &��� -��-���� �� �&��&���� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&�����&��&���� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&�����&��&���� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&�����&��&���� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&����

��� �%��������� �%��������� �%��������� �%������� +�� ������ �&��� %�����$%������ ,� &��� $��� �&� 1�7����� -$��%� ���

%��-������������3%&����I��������$���%&���+&��%$������ � �&���%��-�����������

���� ��� �&� ���%��� ���� -������ +&� ������$�� ��������� ��� ���� �� %������

����������$�P����$-��� �������������&���� �%���������������%���������������

�$A���$-�� � � �&� ���$-� � � �&� �%������ "�� ��������� �$� P� ���$-�� ���

%&���%���C�����&��&�������$���+&��&��&�������$�%������ ���� ���������$��

������������� ���������$����� �%������� ���������&��&��&�������$�� ��&����$-�� �

������� �������$���� �%�� ��� %���$����� �&��,���� ��� ��� �� ��������� ��$�� �&� ���$-�

�%��� ���� 3���������� $����� �� ��&� �&��&���� ���$� � � �&� ���$-� � � �%�-������

�������$�����%�����%���$������&��,������������ �����������$���&����$-��%�������

+&����$-�-$��%�-�������-��)����������%��������� ����A,���&��&� $�%�����&� ���

���� �����&��&�������C��������

'������%����� ����-$���,���&����$-�3���������&�#+#��-���&��%������ �

������$��� ���� -����� �&� ���� � � �� ��$���� D$���� 3��%� �&� #+#� %��� %&%��� �&�

���������� � �&�������$�����,&������ �&����-����������&�������$����� �%�������

�&�#+#�%�����%��&��&����-�������$���&� �%����

75

Chapter 5

Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

76

����������������Directed-Threshold Multi-Signature Scheme 5.1. Introduction

'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&����,&������ ��������� �&��&������ �%�� ��� %���$������ �&�� %���

��-�������������&������ ��&��&��������� �����&�������$����'���&���%�����&�

����%��$������ ����������������&���������-���������� ����&�������$�������������

����� ��-������ ��� ���%� �&� �������� � ���$������� ,��&� �&� ��� �� ��� �&��&����

�%&���-��-������� �����&���-�����%���������������

'���$���������$���%&����'���$���������$���%&����'���$���������$���%&����'���$���������$���%&�����&��������� ����$���������$���������� �������&�

�������������&����������� ��&��$���������$��&���������� ���,��&��&�&�-�� �

��������� � � �&� �������� ���� �$���������$���� ��� ��� ����� $��%������ ��� -$�� ��

�&��&���� ���$� ��� �����%�� �&��$���� � ��������#������� �&� ���$�������,&�� ��

���$-� � � �������$�� ����� ,�$��� &��� ��� ������ �� �$���������$��� +&�

������ � �&��� ���$-�$�� -�$���������� �&��� ��������� ��� �&� -$��%� ���%������

@&���%��%�����&���� ������������&������������������������� ������������

�����&�������%��� �����&������$-���$���&���� ���&������,��������� ��,&�&��

�� $��� ��� ��� �%�� �� ���� � � �&��� ���$-� %�$�� � � �&� ���������� � � �&�

����&�-�� '�� �&��� %���� �&��$���������$���%&��� %������ ����� �&���-�������

&�,�����&��&��&����������$���%&�������

.���&���&��&�������&����������������$��������,&���&�������������

���������������&�������$���%���������)$�����&��--���������%������� �������

-�-���#�������������&��������,�-��-�������������������$���%&����������

���%���A�+&��&����G$����A�3�����$��3%&����

5.2. Directed - Threshold Multi - Signature Scheme '�� �&��� %&�-���� ,� ��� ������ ��� %����� �&� ���� � � ������� ����� ����� ����� ��� �&��&���� ������$��� �&��&���� ������$��� �&��&���� ������$��� �&��&���� ������$��

�%&��������$���������$��%&��������$���������$��%&��������$���������$��%&��������$���������$���%&���%&���%&���%&���,��&����%���������$���%&��,��&����%���������$���%&��,��&����%���������$���%&��,��&����%���������$���%&������-��-�����

�,� ��-�� � ������$���%&��� %����� �&����%������%������%������%��� AAAA�+&��&����G$����+&��&����G$����+&��&����G$����+&��&����G$���AAAA3�����$��3�����$��3�����$��3�����$��

3%&��3%&��3%&��3%&���

�����$��%�����$%������,����$���&����&���������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%����

�3�#���3�#���3�#���3�#���,&�%&���������&����$-��%���������%����&����� ������&��&�����������

77

�� ��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ��� %���%�� ���� ��� �� �%&�

-�������������$�������&��-���$%������$-�������$���

+&����%&��%��������� ��&� ����,������-���

5.2.1.Group Secret Key and Secret Shares Generation for the

Organization S

�����3�#3�#3�#3�#���%����&����$-�-$��%�-��������-��)����������%��������� �����,���

&��&� $�%�����&��3�#��������%�����-���������������

�3�(��J����U��;(�UN ����A;�(�A;�����)��,��&��������J�� Sx ��J�� �3�����

����3�#3�#3�#3�#�%��-$����&����$-�-$��%����� Sy ���J������� �3��������-��

(c). SDC randomly selects K ∈ Zq and computes a public value W = g K− mod p.

�����3�#3�#3�#3�#������������%���H��∈�Q)�����%��-$�����������J���EH������U���� �3�iSu �F�����)��

�����"�������"�������"�������"��iSu ��������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$������������&����$-������&����$-������&����$-������&����$-�77773333��������

����3�#�%��-$�����-$��%����$iSv �� ����%&������ ��&����$-�73�������

iSv ��J��������� KSi

y �����-��

���������"�"�"�"�iSy ��������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$������������&����$-������&����$-������&����$-������&����$-�77773333�������������������������������

� ���3�#�������KiSv ��@�L�����%&�$����������&����$-�73��&��$�&���-$��%�%&�������

�����3�#�������������%��-$���-$��%����$���������������������

�������J��� ilg ������-�����������������J��� iKg �����-��

78

5.2.2. Partial Signature Generation By Any t Users and

Verification

' ������������� ��&�������C������3��$��� ������������������������������

�����-����������-���������-���� � Rx � Ry ���+&���&�������$�����������&����&�

����,������-���

��� 1�%&�$�����∈�"3��������������%���1i

K ����2i

K �∈��Q)�����%��-$�����

����������$�������J������ 2iK− ����-������������J������� 1i

K �����-������,���������J���� 1iK � Ry 2i

K �����-��

�� 1�%&�$���������$����,���-$��%�����������%�����������������%&��������∈�"3��

.�%�����$�� � ���������,���������������%&�������∈�"3�%��-$�����&�-���$%��

3���>3����@3�������&��&����$��3�������

3���J���� quSHi

i mod∏∈

�������>3�����J����� qvSHi

i mod∏∈

�����

@3����������������J��J��J��J�� qwSHi

i mod∏∈

����������3���J����&��>3����������)��

�%���1�%&�$�����∈�"3���%�����&��R&���%����&���������J��iSv iSxW �����-��

�����1�%&�$�����∈�"3����� ���&��R&���&���,�iSMS J�������� q

uu

u

ji

j

SS

St

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

����1�%&�$�����∈�"3�$���&��R&������ ����&���,�iSMS ����%��-$��������$����������

�����J���1i

K ��U���iSMS ��3�����)��

�� 1�%&�������∈�"3������&���-�������������$������&��#�#�#�#��

� � +&��#��#��#��#�%&%����&�%����$�%� � � �� is � � ≡?

� � � ���� � ��S

ijSHj jSiS

iSR

quu

u

im ���

−∏

≠∈ ,

mod ����-� �����

-������������� �������$�� �� ��� �� ��� ���3� ��� ' � �&��� %����$�%�&������ �&���&�-�������

������$��������������3��� ����&��&�����������������

79

5.2.3. Group Signature Generation

������#�#�#�#�%���%��-$����&����$-�������$��33����J������=

t

i ,1�������)�����%������������

�&�-�������������$����

���������#�#�#�#������K�33��� 3��@3�����L���������������$��� ��&����$-�3�����&����������

5.2.4. Signature Verification by R

+����� ���&����������� ��&����$-�������$��K33��� 3��@3������L�����&���� ���&���� ���&���� ���&���� �������������������������������

&��R&���%������&��R&���%������&��R&���%������&��R&���%������ Rx �����

��� +&���� �����%��-$�������� �%���������$�1������

1����J����� ∏∈

���

−∏ ≠∈

S

ijSHjjSiS

jS

Hi

quu

u

in mod0

, ����-��

����+&���� �����%����%������&����$�����������3�����

������J����@3�� RxSU ����-���������3������J����&�������������

�%���+&���� �����$����&�%��%$���%�� SS ����� ≡?

������������1�� SRSy ) �����-����%&%���&�

���������� ��&�������$���' ��&���%��%$���%�&�������&���&����$-�������$��K33���

3��@3�����L�����������������$��� ��&�������C������3�����&����������

5.2.5.Proof of Validity By R to any third Party C

�������%��-$����b��J��� 3� Rx �����-����������J���b��@3������-����

����������K�����1��33��� 3������bL����#��

�%� #��%������3� � � �J� �&����� � ����������$����&� ����,����%��%$���%����%&%���&�

���������� ��&�������$���

� SS �����≡?

������������1�� SRSy ) �����-��

���' ��&�����������&����#����-���&�-��%��/���&�,�����������&��(����-���

80

�����������C������,���� ��&����-��������#��&�������SU �b����J��������� Ry ���� ����,���

+&���-����� ��&��%&���$����������%�����A�����0��

5.3. Security Discussions '�� �&��� �$A�%������ ,� �&���� ���%$��� �&� �%$����� ��-%��� � � -��-������� ���%������%������%������%��� AAAA����

�&��&����&��&����&��&����&��&���PPPP� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&��� "�� ,� �&���� ���%$��� ������ -������

����%�����$������� ��&��%����$%%�� $���������$������������

��������������������#�����������������&��%������� Sx �J�� �3����� �����&����$-�-$��%���� Sy �O��

+&��� ��� ��� �� �%$��� ��� �������� ���%��� �������&�� -������ B�� ��� %��� ��� �&�

�%������ Sx �����%� �3������&���������������%�������%���-��������������&�

3�#���.���&���&��&�������$������&�-$��%����� Sy ����������������&��%���

���� Sx �%�$���&����������� �%$�����������������%����������&��-������

����������������#�������������&��%����&����� 3����iSu �����∈�73����� �����&�)$������

iSv ��J����� 3���iSu ��� K

Siy �����-��O�

B�� %�$�� 3� � ��� �� ��������� ���� �%����� ��%��� -���������� ����H� ��� ����� ��

��������������%�������%������������&�3�#��

�%����%����%����%���#�������������&��%����&����� 3���iSu �����∈�73����� �����&�)$������

3���iSu ���J����

iSv iSxW �����-��O�

.�����&�$�����%����%�����&����%����&����� 3��iSu ���%�$�� 3�����������������

�����%�������%���-�������������iSx �����%������� ��&�$����∈�73���

(d). #��� ��� ������ �&� ���� ��� �&���,iSMS �� ������

1iK �� �3� � ���� -�������

������$��������∈�73��� �����&�)$����������J����1i

K ��U���iSMS ���3�����)��O�

'�� ��� %��-$����������� �� ����� ����� ����� ��� %���%�� �&iSMS �� ������

1iK ���3�

����-�������������$��������∈�73�����

81

(e). #����&����������%�������#��������&�����-��������� ��������� �����&�

)$���������3��J����=

t

i ,1�������)���O�

.���$������&������%��-$������������� ����� ����#��

� ���� ���� ���� ���#��������-���������$������∈�"��O�

�� ����� ���� ���� ��� ��-������� �� $��� �� ∈� "3� �� � �� ��������� ��%����� � �,��

�������1i

K ���2i

K ∈�Q)���������%�������$������� �������,�����$��,��&�$�����,����

�&� �%��� �&����� 3� �iSu �� ���� �3� �� � ��� ��� �� �%$��� ��� ������ �� ������ -�������

������$������������� ���&���� �%������)$��������

� is ��� ≡?

����������

S

ijSHj jSiS

iS

R

quu

u

im ���

−−

∏≠∈ ,

mod����-��

��������������������#������ ������������$��K33�� 3��@3���L����&� ����,����)$�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� SS ���≡?

������������1�� SRSy ) �����-��O�

�� ��������������������%��������������������&��%��-$����&�&��&����$�

�3��$%&��&������3���J�����&���������������)��

.���$����� ��� %��-$��� �&� ������ SS � ��� )$������� ��� �������� �&� ���%���

�������&��-������.���&���&��&������&� �����%��������������%���3����� SS �

�������&���������������������$�����&�������� ���&�)$�������

���������������������������������������� SS ���� ≡?

�����������1�� SRSy ) �����-��

�"�,���� �%%������� ��� �&� -��-���� � � �&� &��&� $�%����� &�� ��� ��� )$���

��-�������+&$����&�������%��,����������$%%�� $���

�&����&����&����&���#�������������&��&�������%�����%���$���������%�����$%���&�-���������� 3��(���O�

��%%�����������&�)$�������

3��(��J� quu

uxuf

jSiS

jSt

ijj

t

iiS mod)(

,11 −−

∏�≠==

��

82

�&��%���-���������� 3��%�����%�����$%���,��&��&����,����� ��������%���

�&����� 3���iSu �����∈�73������

�$������$��-��-�����%&����&��%����&������������∈�73����%���������&�������H��

,&�%&� ���,�� ����� �� �&� ��$���� 3�#� ���� &��� ��� � ������ ����� ���

�%�����$%����� �&� -���������� � 3� �(��� �� ����%��$�� �&��&����� �� ���� ���� ���

�������&�������H�� �����&�-$��%��������"�,�����&��� �%$��������������

���������&����%����������&��-������+&$�����������������&��&������%������

%���-�������%�����$%���&�-���������� 3��(����-����������&����,���%����&�����

3�� � � ��� ��� ������C������ �&� �&��&������ ��� ���,�� ��� �%&� ��&��� ��� �&���

�&��%�������%�����$%���&�-���������� 3��(�����

Illustration ��������$�����������$--��� =SG ��?��� =SH �8���-�J���0?��)��J�����������J���8��

*����� �� ��� ���+�� �� ���"�� ��* � ������������" �.�����/��������

�����3�#���%�����-������������ �3��(��J�;���U�;=�(�0������������ Sx �J�;���� Sy �J�;<�����������������������������������������������������

����3�#������������%��� K J�;0�����%��-$�����-$��%����$�@�J�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������>�5 1�

31��

3%���

ix �

�$��%�

iy �

3%���

iK �

3%���

3�iSu ��

3%���

il �

�$��%�

im �

�$��%�

in �

�$��%�

iv �

� ��P3;� ;�� ;<� =� �� ;�� �� ;?� 0;�

� ��P3�� ;=� 0� ��� �;� ��� :� ��� �:�

� ��P3�� ;:� <� ;�� ;<� �� �;� �� ;�

� ��P30� ��� :� ;?� �� ��� :� �0� ;:�

� ��P38� ;?� �0� ;0� ;0� 8� ;�� �0� �=�

� ��P3<� ��� ��� ;<� ;0� ?� �?� ?� ;0�

� ��P3?� ;8� �<� �;� ��� ��� :� �?� 00�

83

�%���3�#�%��-$����&��%�������-$��%������%����&�������-$��%����$� ����%&�

����� ��&����$-�73������&�,������&����������

�������� �* � ���������������,� ���

' ����� ���$����3���30��38��3<�������3?��$��� ������������������������������

��� ��� �� -����� �� -������� Rx J� :� Ry J� �� �&�� �&� ������$�� ��������� &��� �&�

����,������-���

�����3��������������%���12K J�;=�

22K J�;?�����%��-$����$���J�;=������J�0������,���J����

����30�������������%���14K J�;?�

24K J�;:�����%��-$���$0��J�=���0��J��0������,0��J��=��

�%���38�������������%���15K �J�;0�

25K J�;������%��-$���$8��J�������8��J��0�����,0��J�?��

�����3<������������%���16K J�;:�

26K J��;�����%��-$���$<��J;0���<��J�<�����,<���J��8��

����3?������������%��17K J�;<�

27K J�;=�����%��-$����$?�J;����?��J�?������,?���J���0��

� ���1�%&�$���%��-$����&�-���$%�� 3�J�=�>3��J���<�����@3333��J���J���J���J�;0�������3���J�:�������

�����3�����%�����&��R&���%����&����������J���������%��-$���2SMS ���J��;��������J��;<��

�&���30���%�����&��R&���%����&����0�����J���������%��-$���4SMS ��J��;<���0���J��������

������38���%�����&��R&���%����&����8�����J����8�����%��-$��5SMS ��J����<���8���J��������

�D����3<���%�����&��R&���%����&����<�����J����?�����%��-$��6SMS ��J���8���<����J��;=��

������3?���%�����&��R&���%����&����?�����J���������%��-$��7SMS ��J����8���?���J����;8��

���������������� �$ �������������+��������� �* � ������������

������#���� ����%&�-�������������$�������(��-�� ���$���3�����

���������������J��;<��������J��0������J��:���3�J�:�� 23mod2.7,6,5,4 ji

j

SS

S

ij uu

u

−∏

==�J��;���

"� %&%��� � �8� ;<� � � ≡?

� � � 0� � �� ( )9129 ����0?�+&��� &������3���������� &� %&%��� �%&�

-�������������$���������������������

84

�����#�%��-$��������$-����$�33��J�������������K�����;0��=������L����������$��� ��&�

���$-�3� ����&����������

�������� ��$ ���������������" �,� ������

�����+&���� �����%��-$�������� �%���������$�1���J��;=��

����+&���� �����%����%������&����$�������J����<������3���J���:��

�%���+&���� �����$����&�%����$�%��8� �� � � ≡?

� ��<� �� ��;=�;<��:� ����0?����%&%���&�

���������� ��&�������$��

+&���%����$�%�&����������&����$-�������$��K���;0��=���L�����������������$��� �

�&����$-�3�����&���������� ����&�-���������

���������$���+�������!������"��+���������

�������%��-$����b�J�;<�����J��<����������K�<��;=���=�����;<L����#��

����#��%������3� � � �J�:�����%&%���&�%��%$���%���8� �� � � ≡?

� � ��<� �� ��;=�;<��:� � ����&�

���������� ��&�������$���+&���&����/����#���������&��(����-���

�%����������C������,���� ��&����-��������#��&�������=�;<����J���������8��������� ����,�*A��

• #�%&������������$�J�:����J�;;�����%��-$���,�J��8����������,�������

• ��%&������������a�J��?�%��-$���c�J��<��γ��J�:����������c��γ����#��

• #������$������������,&�%&���%������ ���&���,���J����8��

• �������a����#����,&�%&��&�%������ ���&����c�J��<������γ��J�:��

5.4. Remarks '���&���%&�-����,�&���-��-���������%���+&��&���%���+&��&���%���+&��&���%���+&��&����������������PPPP�G$���������$��3%&���G$���������$��3%&���G$���������$��3%&���G$���������$��3%&���'��

�&����%&���

• +&�� ��� �� ��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#� �&��� ������� �&� ���$-� �%��� ����� ����

�&��&����I���%����&����

• +&����������������%�������#���������%�������#���������%�������#���������%�������#�,&��������&���-�������������%���%��

������� ���%&�-�������������$�������&��-���$%������$-�������$������$��$��$��$��

����%����� �������������%�����,��&��&��#����%����� �������������%�����,��&��&��#����%����� �������������%�����,��&��&��#����%����� �������������%�����,��&��&��#�

85

• ��������%��$������ ��������%��������-�������������&������ ��������

��� ���� �&� ������$���� '�� %��� � � ������� ��� ��� -������ ��� ���%� �&�

�����������

• ��������������&��&�������%�����%���$�����%������%���-�������%�����$%��

�&�-���������� 3��(����-����������&����,���%����&��������&�%��&��

%�������%�����&����$-��%�������

86

�Chapter 6

Directed-Threshold Multi-Signature Scheme without

SDC �

87

Directed-Threshold Multi-Signature

Scheme without SDC 6.1. Introduction G���� �&��&���� ������$�� �%&��� �)$��� �� ��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#���� ��� ������ �&� ���$-�

�%��� ���� ���� �%��� �&���� � � ���$-� ������ ,&�%&� &��� �� ������ -����� � �

�$�����������+&�(����%�� ��$%&���%������������������������$�-����/��&��

����,��-��������-��������

• ������� ���������--��%���������&�����������-�����������%��,&�%&�%���

%��-�������$���������������� ��&����$-��

• �3%������&�$��� ������%����%�������������-����� ���$��������%$�����

��-������&����%����%���������&�-�����������

+�� ������ �&�� -������� ��� ;::��� "���� ������$%�� �� �%&�� ���� ��� ��

���� ���157�����������$���%&���,&�%&����������)$�������$����3�#�E0��<;F��

1�%&�����,����������3�#�������������������$����&��%����&���� ����%&�

$����'���&���%&�-����,�-��-���������%������%������%������%���AAAA�+&��&����G$�����+&��&����G$�����+&��&����G$�����+&��&����G$����AAAA�3�����$��3%&���3�����$��3%&���3�����$��3%&���3�����$��3%&��

,��&�$��3�#��,��&�$��3�#��,��&�$��3�#��,��&�$��3�#������

6.2. Directed - Threshold Multi - Signature Scheme without SDC '�� �&��� �%&��� �%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#� ��� ������ &��� �%��� ��� ����

������$���&�%����-��������%����&���������&���&��&�������'�������%�������&�

�&��&������ ��� ���� ��� �&� -$��%� -��������� @� ���$�� �&��� �&�� ��� ��

��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ��� %���%�� ���� ��� �� �%&�

-������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-� ������$��� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���

-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&��#�#�#�#��

6.2.1.Group Public Key and Secret Shares Generation Phase �������� �&� ����� � � �&� ������C������ 3� ���� ��� ��%�� �&� ���$-� -$��%�

-���������-���)������&�������%��������������%���H���

����1�%&�����������73�%��-$����@���J�� Kg − ����-��

88

�%���1�%&�����������73�������������%���������P�;���&������-���������� � ���(��

�%������������������iSu ∈��Q)�-$��%����

�����1�%&�����������73��%��-$���-����������$-�-$��%���� iy ��J������ �����������-��

����+&����$-�-$��%���� Sy ������������ Sy J��� ∏∈ SGi

�� iy �����-��

� ���1�%&����� �� ���73�,����� ���3�#�"� ��%��� �� ��������%���&�D� � ∈� � Q)� ����

%��-$����&��%������$����D������-$��%����$���D�����D��� �������D� ≠ �������

��D�����J���E&�D��U� ����iSu �F�����)��

��D�������J���ijlg ������-����������D��J�� ijhg �����-��

�����1�%&�����������73��%��-$�����-$��%����$iSv �� ����%&�����D� ≠ ����� ��&�

���$-�73��������ijSv ��J�������D��� K

S jy �����-��

���"���jSy �����&�-$��%��������%�����,��&��%&�$���D������&����$-�73��

�&���1�%&������������73�������ijSv �����%&�����D� ≠ ����&��$�&���-$��%�%&�������

6.2.2. Partial Signature Generation by any t Members and

Verification�

' ������������� ��&�������C�������$��� ������������������������������

�����-����������-���������-����� Rx ��� Ry ���+&���&�������$�����������&����&�

����,������-���

�����1�%&�����������∈�"3��������������%���1i

K ����2i

K �∈��Q)�����%��-$�����

$�����J���� 2iK− ����-������������J����� 1i

K �����-��������,�������J����� 1iK � Ry 2i

K �����-��

����1�%&�����������$�����,���-$��%������������%�����������������%&������ �

"3� ��.�%�����$�� �������� �,���������������%&����� � �� ���∈�"3�%��-$��� ��&�

-���$%�� 3���>3���@3�������&��&����$��3���������

3���J��� quSHi

i mod∏∈

�������>3�����J���� qvSHi

i mod∏∈

�����

89

@3����J������J������J������J�� qwSHi

i mod∏∈

������������������3����J����&��>3����������)��

�%���1�%&����������∈�"3���%�����&��R&���%����&�����D����������

�D���J���jiSv iSxW �����-���������D� ≠ ����

�����1�%&����������∈�"3��%��-$��������$��#�����J� quu

u

ikHk SS

S

S ki

k mod)(

)0(

,∏

≠∈ −−

�����

����1�%&������ �"3��%��-$���&��R&������ ����&���,iSMS ��J �

∉∈ SS HjGjjil

,

�#������)��

� ���1�%&����������∈�"3��$���&��R&������ ����&���,��iSMS ���������$���������

�����J������E1i

K U���� ������UiSMS ���3�F�����)��

�����1�%&����� �� ���∈�"3� �����&���-�������������$�� ��� �&����������%������

�#�����#���� ���&�-�������������$�������������#�����3������&�����������

� is ���� ≡?

����������S

SS

i

R

HjGj

Cjii my �

��

�∏

∉∈ ,

����-��

' � �&� ���� )$������ &������ �&�� �&� -������� ������$��� ��� �� ��� �#�� �� �� �� ���

�&��&�����������������

6.2.3.Group Signature Generation��

������#�#�#�#����%���%��-$����&����$-�������$���33��J���=

t

i ,1�������)����%�������������&�

-�������������$����

�����#�#�#�#������K�33��� 3��@3�����L����������$��� ��&����$-�3� ����&���������������

6.2.4.Signature Verification by R +�� ��� �� �&� ��������� � � �&� ���$-� ������$�� K33� �� 3� �@3� � �� �� L� �&� ��� ����&� ��� ����&� ��� ����&� ��� ��� ������������

������R&���%������������R&���%������������R&���%������������R&���%������ Rx �����+&����$A�%�����%��������� ��&� ����,������-���

����+&���� �����%��-$�������� �%���������$�1����J��� ∏ ∏∈ ∉∈

��

���

S

i

SSHi

C

HjGjjin

,����-��

����.�����&���� �����%����%������&����$�����������3�����

90

�����J���@3��� RxSU ����-��������3����J����&���>3��������

�%���+&���� �����$����&�%����$�%�� SS � � � ≡?

���������1�� SRSy ) �����-����%&%���&�

����������&�������$���' ��&���%����$�%�&�������&���&����$-�������$��K33��� 3�

�@3�����L�����������������$��� ��&�������C������3�����&����������

6.2.5. Proof of Validity by R to any third Party C ���������������������+&���-����� ��&�-����%�����������������%�����8���8�

6.3. Security Discussions '���&����$A�%������,��&�������%$����&��%$�������-%���� �-��-��������%&���������"��

,� �&���� ���%$��� ������ -������ ����%��� ���� �&�,� �&���� ���� � � �&�� %���

�$%%�� $���������&�����������

�����'�����-����������������&�-��������%������� ���������∈�73����O�

+&��� ��� ��� �� �%$��� ��� �������� ���%��� �������&�� -������ B�� ��� %��� ��� �&�

-������� ���$-� -$��%� ��� iy �� ���%� �� � ��� �&� ��������� ���� �%����� ��%���

-�������������&���������.���&���&��&�������$������&�-$��%����� Sy ����

������������&�-��������%������� �����%�$���

iy ��J������ �����������-������� Sy J���∏∈ SGi

iy �����-��

����'�����-����������������&��%����&�����D��� �����&�)$������

��D���J�E&�D��U� ����iSu �F�����)�O�

B���%�$�� � � � �������� �����&���������������%�������%���-��������������&�D�����������

��������������%�������%������������&��������

�%���'�����-����������������&��%����&�����D��� �����&�)$������

����������������������������������������������������D���J� ijlg ������-��O�

B���%�$������&����������� �%$�����������������%����������&��-������

�����'�����-����������������&��%����&�����D��� �����&�)$�������

ijSv J������D��� KS j

y �����-O�

B��%�$��H��������������������%�������%���%�������������

����'�����-����������������&��%����&������D� �����&�)$������

�D����J���jiSv iSxW �����-O�

91

.�����&�$�����%����%�����&����%����&�������� �� ��D�D�D�D�%�$�iSx � ����%������� ��&�

$�������

� ���#�������������&����� ����&���,iSMS �����&�)$������

iSMS ��J�� �∉∈ SS HjGj

jil,

�#������)���O�

'�������-���������%���%���&����� ����&���,iSMS �����&�)$������%�$������

��D�D�D�D�����%����� ����������&�������&�$�����

����� '�� ��� -������ �&��� �&� ��������� %������ �#� ������ �&� ���� -�������

�� ��������� �����&�)$���������33���J�����∈ SHi

�������)���O�

.���$������&������%��-$������������� ����� ����#��

�&���'�����-����������&����������%�����-���������$�����∈�"��O�

�� ����� ���� ���� ��� ��-������� �� $��� �� ∈� "3� �� � �� ��������� ��%����� � �,��

�������1i

K ���2i

K ∈�Q)���������%�������$������� �������,�����$��,��&�$�����,����

�&��%����&���������D������3��� ��������� �%$��������������������-�������������$�����

�������� ���&���� �%������)$����������� is ���� ≡?

���������

S

SS

i

R

HJGj

Cjii my ���

�∏

∉∈ ,����-��

����� '�� ��� -������ ��� �&��� ���� ��� %��� ���� �� ������$�� K33� � 3� �@3� ��L� �� �&�

����,����)$��������� SS ���≡?

�����������1�� SRSy ) �����-�O�

�� ��������������������%��������������������&��%��-$����&�&��&����$�

�3��$%&��&������3� � �J� � � �&���������������)�����$�������%��-$���&������� SS ����

)$������� ��� �������� �&� ���%��� �������&�� -������ .�� �&� ��&�� &����� �&�

�����%��������������%���3����� SS � �������&���������������������$�����&���

����� ����&�������$����� �%������)$�������"�,�����%%�����������&�-��-����

� � �&� &��&� $�%����� &�� ��� ��� )$��� ��-������� +&$��� �&��� ����%�� ,���� ���� �

�$%%�� $���

92

Illustration �������$����������3$--��� =SG ?�� =SH 0��-�J�0?��)�J�������J����H��J�;;����@�J�;���

*����������� ���+�� �� ���"�� ��* � ��������"�� ��

����� ���� �&� $���� %��-$�� �&��� �%��� ���� -$��%� ���$��� ,&�%&� ��� ����� �� �&�

����,���������

>�5 1�

31��

3%���

����(�����

3%���

������

�$��%�

u����������������

�$��%�

iy �

3%���

iSx �

�$��%�

iSy �

��A3;� ?�U�;��(�� ?� :� �8� :� �?�

��A3�� :�U�;;�(�� :� ;�� �?� ;;� 0�

��A3�� ;0�U�=�(�� ;0� ;8� ;0� ;�� �����<�

��A30� ;?�U���(�� ;?� ;;� �� ;:� ;=�

��A38� ;��U�?�(�� ;�� ;=� �<� 8� =�

��A3<� ;=�U�;8(�� ;=� ;:� <� ;�� ;?�

��A3?� �;�U�;8�(�� �;� �;� �;� ;0� ;0�

�����+&����$-�-$��%���� Sy ����������� Sy ��J����8��

�%���� ��A�3;��������&� ����,���������

����������>�5 1�

31��

���%�����������������������������������������������������

&;D������

��%����������������������������

�;D������

�-$��%����������������

�;D�

�-$��%���������

�;D�

-$��%����

����;D�

���P�3�� ;0� 0� �0� ;0� ��

���P�3�� :� ;�� �<� �������?� ;��

���P�30� ;;� 8� =� 0� 08�

���P�38� ;8� ;?� �� 0�� ;=�

���P�3<� ;?� ;8� 0�� �� 0��

���P�3?� ;�� ;<� ��� �<� 0��

93

����� ��A�3��������&� ����,���������

���������>�5 1�

31��

��3%�����������������������������������������������������

&�D������

�3%��������������������������

��D������

��$��%����������������

��D�

��$��%���������

��D�

�$��%����

�����D�

���P�3;� ���;�� ����;0� ����;0� �����<� ����;�

���P�3�� ���;0� ������� �����?� ����;0� ����0�

���P�30� �����:� �����=� �����=� ����;?� ����8�

���P�38� ����?� �����;� �����;� �����8� ����8�

���P�3<� ���;<� ����;;� �����0� ������=� ���;:�

���P�3?� ������ ����;<� ������� �����?� ���0��

��� ��A�3������������&� ����,���������

���������>�5 1�

31��

��3%�����������������������������������������������������

&�D������

�3%��������������������������

��D������

��$��%����������������

��D�

��$��%���������

��D�

�$��%����

�����D�

���P�3;� ������?� ����;;� �����0� �����8� ���0��

���P�3�� ����;�� �����8� �����=� ����;?� ����<�

���P�30� ����;;� �����;� ������� �����0� �����:�

���P�38� ����;�� ���;<� ������� �����<� ����=�

���P�3<� ����;:� ����0� �����0� ����;=� ����0�

���P�3?� �����;� ���;?� �������� �����;� ����?�

� �� ��A�30�������&� ����,���������

�������������>�5 1

31��

��3%�����������������������������������������������������

&0D������

�3%��������������������������

�0D������

��$��%����������������

�0D�

��$��%���������

�0D�

�$��%����

����0D�

���P�3;� ����;:� �����;8� �����;0� ����;=� ���0<�

���P�3�� ����;�� �������� �����?� �����<� ���;��

���P�3�� ����;;� �����;�� ����;?� �����0� ������

���P�38� �����<� �����;<� ������� �����0� ����=�

���P�3<� �����=� �����;?� ������� �����=� �����=�

���P�3?� ����;=� �����;;� �����0� ������<� ������

94

���� ��A�38�������&� ����,���������

���������>�5 1�

31��

��3%�����������������������������������������������������

&8D������

�3%������������������������������

�8D������

��$��%����������������

�8D�

��$��%���������

�8D�

�$��%����

����8D�

���P�3;� �����<� ����;<� �������� �����0� ����0�

���P�3�� ����;?� ������� �����;<� �������� ���;;�

���P�3�� ����;=� ����;8� �����0�� ������<� ����<�

���P�30� ����;�� �����8� �������=� ������<� ���08�

���P�3<� ����;:� �����;� ������;� ����;=� ������

���P�3?� �����=� ����;;� �������0� �����=� ������

�&�� ��A�3<�������&� ����,��������

����������>�5 1�

31��

��3%�����������������������������������������������������

&<D������

�3%��������������������������

�<D������

��$��%����������������

�<D�

��$��%���������

�<D�

�$��%����

����<D�

���P�3;� ������ ������?� ������8� ������:� ����0�

���P�3�� �����8� ����;:� �����;=� ������=� ������

���P�3�� ����?� ������0� ������0� ������8� ������

���P�30� ���;;� ������?� ������8� �������0� ���;<�

���P�38� ���;�� ����;:� �����;=� ������<� ���08�

���P�3?� ���;�� �������� �������:� �����;�� ���;?�

���� ��A�3?�������&� ����,���������

���������>�5 1�

31��

��3%�����������������������������������������������������

&?D������

�3%��������������������������

�?D������

��$��%����������������

�?D�

��$��%���������

�?D�

�$��%����

����?D�

���P�3;� ����;;� ����;:� ����;=� �����0� �����8�

���P�3�� ����;�� ������?� �����8� ����<� ����?�

���P�3�� ����;8� ����;8� ���0�� ���0�� ����<�

���P�30� ����;?� ���;<� ������ ������� �������

���P�38� ����;0� ����=� ����=� ���;<� ���;0�

���P�3<� ����;�� ���;<� ������ ���;�� �������

95

���������������� �* � ��������������,� ����

��' ����� �$�������3���30�3<������3?�������������������������� �����-�����

��� -��������� Rx � J� ?�� Ry � J� � � �8� ��&�� �&� ������$�� ��������� &��� �&� ����,����

��-����

�����3�������������%��12K J�;;�

22K J��;������%��-$���$���J��;�����J��0������,���J�;?��

����30������������%��14K J��;��

24K J�;������%��-$���$0��J�0���0��J�;?�����,0��J��:���

�%���3�<������������%��16K J�;0�

26K J�;?�����%��-$���$<��J���0��<���J�;0������,<��J�<��

�����3?������������%��17K J�;=�

27K J��8�����%��-$���$?���J��<���?���J��<�����,?���J���8��

����1�%&�$���%��-$��� 3��J��;<������J����8�@3��J��;0������3���J�&���8�������J��?��������

� ���3����%�����&����&�����;����J���0�������J���8���8����J����������#���J�;�G3��J�=�������J��;8��

�����30��%�����&����&�����;0�J��8���0����J�;��80�J���8�����#0�J;;��G30��J��<���0���J��;���

�&���3<��%�����&����&�����;<��J�;8���<���J��0��8<��J��;����#<��J�:�G3<��J;8���<���J��;8��

�����3?��%�����&����&�����;?�J�;<���?��J�;?��8?��J�;;����#?��J�����G3?��J�;?���?���J�=��

���������������� �$ �������������+��������� �* � ������������

��� �#�#�#�#������� ����%&�-�������������$�������(��-�� ���$���3�������� �J�

;8������J�0���;���J��0��������J��=���8�����J��;<�2Sy �J��?���3���J��?��#���J��;����

�������#��������#��������#��������#�%&%�� � ��� ;<� � � � � ≡?

� � � �0� � ��?�?� � � ��0��=��;<���?����0?��+&���&������3����������&�

%&%�����&��-�������������$����������������������

�����#�#�#�#�%��-$��������$-����$�33��J�������������K�����;<��;0� �����L����������$��� �

�&����$-�3� ����&����������

�������� �$ ��������������" �� �������

�����+&���� �����%��-$�������� �%���������$�1���J��;���

����+&���� �����%����%������&����$�������J����8������3���J��?��

�%��� +&� ��� ��� �� $��� �&� %����$�%�� �� ≡?

� �8� �� �� ;���8�� ?� � ���0?� ��� %&%�� �&�

���������� ��&�������$�����

96

+&���%����$�%�&����������&����$-�������$��K���;<��;0���L�����������������$��� �

�&����$-�3�����&���������� ����&�-���������

���������$���+��������������"��+��������

�������%��-$����b��J����������J���8����������K�8�;����;<�����L����#��

����#��%������3����J��?�����%&%���&�%��%$���%�������≡?

���8����;���8��?�����0?� ����&�

���������� ��&�������$���+&���&����/�����#���������&��(����-���

�%����������C������,���� ��&����-��������#��&�������;<�������J��������������8���� ����,�*A��

• #�%&������������$�J�;�����J�;8�����%��-$���,�J��:����������,�������

• ��%&������������a�J�;;�%��-$���c�J��<��γ��J�;<����������c��γ����#��

• #������$������������,&�%&���%������ ���&���,���J���:��

• �������a����#����,&�%&��&�%������ ���&����c�J��<������γ��J�;<��

6.4. Remarks '���&���%&�-����,�&���-��-���������%������%������%������%���PPPP+&��&����G$���+&��&����G$���+&��&����G$���+&��&����G$������� AAAA�������$��3%&���������$��3%&���������$��3%&���������$��3%&��

,��&�$��3�#�,��&�$��3�#�,��&�$��3�#�,��&�$��3�#��'���&����%&���

• 1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#� ��� ������ &��� �%��� ��� ����

������$���&�%����-��������%����&���������&���&��&�������

• �+&�� ��� �� ��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ���

%���%�� ���� ��� �� �%&� -������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-�

������$���$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��#��#��#��#��

• ��������%��$������ ��������%��������-�������������&������ ��������

��� ���� �&� ������$���� '�� %��� � � ������� ��� ��� -������ ��� ���%� �&�

������������

• ���� �� ��� ���� �&��&������ �%����� ��� %���$����� %������ %���-��� ���

�%�����$%���&����$-��%��������-����������&����,���%����&���.����

97

Chapter 7

The Generalized Directed– Threshold Multi – Signature

Scheme

����

����

����

����

����

����

����

98

The Generalized Directed-Threshold

Multi-Signature Scheme�

7.1. Introduction @&���&����������������������&�������$���%��������@&���&����������������������&�������$���%��������@&���&����������������������&�������$���%��������@&���&����������������������&�������$���%���������)$�����&��--������� �

���� �-%� ��� �$���� � � �������� '�� �&��� �����'�� �&��� �����'�� �&��� �����'�� �&��� ����� ,� %����� �&� ���� � � ���%���,� %����� �&� ���� � � ���%���,� %����� �&� ���� � � ���%���,� %����� �&� ���� � � ���%���

������$�� �%&��,��&� �&��&�����$���������$�� �%&��,��&� �&��&�����$���������$�� �%&��,��&� �&��&�����$���������$�� �%&��,��&� �&��&�����$���AAAA������$�� �%&������-��-��� �� �&��&����������$�� �%&������-��-��� �� �&��&����������$�� �%&������-��-��� �� �&��&����������$�� �%&������-��-��� �� �&��&����

�������� ������$�� �%&��$���� �&� ������������� ������$�� �%&��$���� �&� ������������� ������$�� �%&��$���� �&� ������������� ������$�� �%&��$���� �&� �����7�����C�����%��� A� +&��&����G$���� A�

3�����$�� 3%&������ +&� ��$��� ��� �&��� ������C�� ���%��+&� ��$��� ��� �&��� ������C�� ���%��+&� ��$��� ��� �&��� ������C�� ���%��+&� ��$��� ��� �&��� ������C�� ���%��AAAA� �&� �&� �&� �&��&���� �$������&���� �$������&���� �$������&���� �$���� AAAA����

������$�� �%&�� ��� �������� ��� �&��� � � �&� ��� ���� � ���%��� �&��&���������$�� �%&�� ��� �������� ��� �&��� � � �&� ��� ���� � ���%��� �&��&���������$�� �%&�� ��� �������� ��� �&��� � � �&� ��� ���� � ���%��� �&��&���������$�� �%&�� ��� �������� ��� �&��� � � �&� ��� ���� � ���%��� �&��&���AAAA� �$����� �$����� �$����� �$���� PPPP����

������$���%&�����-�������$������&������%&�-���(%-���&����&����$-�������$��������$���%&�����-�������$������&������%&�-���(%-���&����&����$-�������$��������$���%&�����-�������$������&������%&�-���(%-���&����&����$-�������$��������$���%&�����-�������$������&������%&�-���(%-���&����&����$-�������$��

%��� � ������� ����� �� ���� �-%� ��� �$���� � � ����� �%%������� ��� �&%��� � ������� ����� �� ���� �-%� ��� �$���� � � ����� �%%������� ��� �&%��� � ������� ����� �� ���� �-%� ��� �$���� � � ����� �%%������� ��� �&%��� � ������� ����� �� ���� �-%� ��� �$���� � � ����� �%%������� ��� �&����

������$��-���%��������$��-���%��������$��-���%��������$��-���%������

7.2. Generalized Directed - Threshold Multi - Signature Scheme

' � �&� ������ �� ��������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%���� ��������� ��� ����������� �� ���

������C������3������-������������&��������)$�����&��--������� ������-%� �%�

�$����� � ������� ������ �&� ���� � �������� �&�� �&� ��-����������� � �������� �&�

����������� �����&�����������-%� ����$����� � �&���������%%������� ���

�&���������-���%��������&������$�������,�-��-�����7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%���AAAA��&��&������&��&������&��&������&��&����

�$�����$�����$�����$����AAAA�������$��������$��������$��������$���%&����%&����%&����%&������

�5��73�����&����� ����������������������&�������C������3�����"3�������&�

�-%� ��� �$��� � � �� �������� +&� ������ ���$-� ������$�� %��� � ������� �� �&�

%��-�������� ��&�����������������"3��@������� ����&������73������&����� �����

�-%� ����$������

�����$��%�����$%������,����$���&����&���������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%����

�3�#���&���3�#���&���3�#���&���3�#���&������������&����$-��%�������������&��&����I���%����&�����������

��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ��� %���%�� ���� ��� �� �%&�

99

-�������������$�������&��-���$%������$-�������$���+&��� �%&��%��������� � �&�

����,������-���

7.2.1.Group Public Key and Secret Shares Generation Phase

�����3�#3�#3�#3�#���%����&����$-�-$��%�-��������-��)����������%��������� �����,���&��&�

$�%�����&��3�#��������%��������$-��%������ Sx �∈�Q)�����%��-$����&����$-�

-$��%����� Sy ������ Sy ���J�������� Sx �����-��

����3�#��3�#��3�#��3�#�����������-$��%����$�iSu ∈�Q)������%������$�����∈�Q)�∀ ���∈�73��

�%���3�#3�#3�#3�#�%�����$%�������&�����-������������ 3���(��� ����%&��-%� ����$����"3���∈���

�73��� =SH ���������

������������ 3���(���J���� Sx � qux

ux

ux

ku

ux

S iJS j

j

iS j

j

Hi Hj S

S

Si

Hj S

Smod

(

(.

)0(

)(

,

� ∏∏∈ ∈∈ �

−+

��

,��&��� Sx �J�� �3������������ �3��iSu ���J��������∀ ������∈�"3���

�����3�#3�#3�#3�#�%&�������-$��%����$�SHu ∈�Q)���� ����%&��-%� ����$���"3�∈����73���$%&�

�&��� ≠SHu

iSu ����∀ ���∈�73�����%��-$����&��-%� �%���� �%����������>H�������

�������>H���J����∏∈ −

SHj jSSH

jS

SHa uu

uuf

g)(

)0().(

������-��

����3�#3�#3�#3�#������������%��� K ∈�Q)�����-$���&�������$�@���J���� K− ����-��

� ���3�#3�#3�#3�#�%��-$����&��%����&��������∀ ���∈�73�������������J������������)(

Si

S

HS

H

uu

u

−−

�����)��

�����3�#�3�#�3�#�3�#�-$���&���&�-$��%����$�����������iSv ��� ∀ ���∈��73�������

������J��� il ����-����iSv �J�������� K

Siy �����-��

�"�"�"�"�iSy ��������&�-$��%��������%�����,��&��%&�$�������&�-$��%��������%�����,��&��%&�$�������&�-$��%��������%�����,��&��%&�$�������&�-$��%��������%�����,��&��%&�$������������&����$-������&����$-������&����$-������&����$-�77773333�������������������������������

100

#�0�0������������������ �� � ������������ � ���� +� ���� ����� ������ ��� ���

��+�) �����������

+&�%�����������������%&������� ��&��-%� ����$���$-����������&����������

' ��&������� ����-%� ����$���"3������������������������ �����-����������

-���������-����� Rx � Ry ���+&���&�������$�����������&����&� ����,������-���

�%� 1�%&�$�����∈�"3��������������%���1i

K ����2i

K �∈��Q)�����%��-$�����

�����������$����J���� 2iK− ����-���������J���� 1i

K �����-������,�����J���� 1iK � Ry 2i

K �����-��

��� 1�%&�$���������$����,���-$��%�����������%�����������������%&��������∈�"3�

��.�%�����$������������,���������������%&�������∈�"3�%��-$�����&�-���$%��

3���>3����@3�������&��&����$��3�������

3���J�� quSHi

i mod∏∈

������>3��J�� qvSHi

i mod∏∈

�����

@3��J����J����J����J�� qwSHi

i mod∏∈

����������3����J����&��>3����������)��

�%���1�%&�$�����∈�"3���%�����&��R&���%����&������������������J�iSv iSxW �����-��

�����1�%&�$�����∈�"3����� ���&��R&���&���,�����iSMS J������ q

uu

u

ji

j

SS

St

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

���� 1�%&� $��� �� ∈� "3� $��� &��R&�� ���� ��� �&���,� ���� %��-$��� &��� -�������

������$����������������J�1i

K ��U���iSMS ��3�����)��

� ���1�%&�����"3������&���-�������������$������&����������%���������������%���������������%���������������%�������#�#�#�#��

�����+&��#�#�#�#���� ����&�-�������������$���������������3������&�%����$�%��

� is ��≡?

���������

S

ijSHj jSiS

jSR

quu

u

im ���

−∏

≠∈ ,

mod����-��

101

' ��&���%����$�%�&�������&���&�-�������������$��������������3��� ����&��&�������

����������

7.2.3.Group Signature Generation

������#�#�#�#�%���%��-$����&����$-�������$��33� �J� �∈ SHi

�������)��%������������ �&�

-�������������$����

"��,��&�$��������&����&���������%����� ���"��,��&�$��������&����&���������%����� ���"��,��&�$��������&����&���������%����� ���"��,��&�$��������&����&���������%����� �������������%�����,��&��&�����������%�����,��&��&�����������%�����,��&��&�����������%�����,��&��&�

�#�#�#�#��

�����#�#�#�#������K�33��� 3��@3�����L���������������$��� ��&����$-����$-����$-����$-�3�3�3�3�����&�����������&�����������&�����������&�������������������

7.2.4. Signature verification by R

+����� ���&����������� ��&����$-�������$��K33��� 3��@3������L��&���� ����&���� ����&���� ����&���� �������������������������������

&��R&���%�����&��R&���%�����&��R&���%�����&��R&���%��������� Rx �����+&����$A�%�����%��������� ��&� ����,������-���

�����+&���� �����%����%������&����$�����������3�����

�����J��@3�� RxSU ����-��������3����J��&�������������

���� +&� ��� ��� �� $��� �&� ���$-� -$��%� ��� Sy � ���� �&� %����-������� �-%� �%�

��� �%����������>H�����%&%���&�%����$�% SRKV � SS �� ≡

?

�������� SRSy �����-�� ���

�&����������� ��&�������$��

' � �&��� %����$�%� &������ �&�� �&� ���$-� ������$�� K33� �� 3� �@3� � �� �L� � ��� ������

������$��� ��&�������C������3�����&����������

7.2.5.Proof of validity by R to any third party C +&���-����� ��&�-����%�����������������%�����8���8�

7.3. Security Discussions '�� �&��� �$A�%������ ,� ���%$��� �&� �%$����� ��-%��� � � -��-���� � 7�����C��� � 7�����C��� � 7�����C��� � 7�����C��

���%������%������%������%��� AAAA� �&��&���� �&��&���� �&��&���� �&��&���PPPP� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&��� "�� ,� ���%$��� ������ -������

����%�����$���&�,��&��������� ��&��%����$%%�� $���������$������������

�����#�����������������&��%��������#�����������������&��%��������#�����������������&��%��������#�����������������&��%�������������������%%%%�J�J�J�J��� ��� ��� ��� ����3333�������������������� �����&����$-�-$��%���� �����&����$-�-$��%���� �����&����$-�-$��%���� �����&����$-�-$��%���� Sy �O�O�O�O��

102

+&��� ��� ��� �� �%$��� ��� �������� ���%��� �������&�� -������ B�� ��� %��� ��� �&�

�%��� ��� %�� ���%� 3� � ��� ������� �� �&� ��������� ���� �%����� ��%���

-����������.���&���&��&�������$������&�-$��%����� Sy �������%�������&�

�%������%�%�$���&����������� �%$�����������������%����������&��-������

����#�������������&��%����&�������#�������������&��%����&�������#�������������&��%����&�������#�������������&��%����&�����������������������∀ ��������∈∈∈∈����77773�3�3�3����������� �����&�)$������� �����&�)$������� �����&�)$������� �����&�)$���������

iSv ����J����J����J����J�������������������� KSi

y ��������������������-��-��-��-��OOOO����

B��%�$��H��������������������%�������%������������&�3�#��

�%���#�������������&��%����&����%���#�������������&��%����&����%���#�������������&��%����&����%���#�������������&��%����&�����������������������∀ ��������∈∈∈∈����77773�3�3�3������� �����&�)$������� �����&�)$������� �����&�)$������� �����&�)$������

��������������������������������������������������������������������J��J��J��J�iSv iSxW ��������������������-��-��-��-��OOOO����

.�����&�$�����%����%�����&����%����&����������������%�$��iSx �����%������� ��&�

$����∈�73���

����� #��� ��� ������ �&� ���� ��� �&���,����� #��� ��� ������ �&� ���� ��� �&���,����� #��� ��� ������ �&� ���� ��� �&���,����� #��� ��� ������ �&� ���� ��� �&���,iSMS �� �������� �������� �������� ������

1iK �������� ����3� �3� �3� �3� � ���� -����������� -����������� -����������� -�������

������$��������$��������$��������$��������������������������∈∈∈∈����77773�3�3�3��� �����&�)$����������� �����&�)$����������� �����&�)$����������� �����&�)$������������������J�J�J�J����1i

K ��U�����U�����U�����U���iSMS ������������3333��������������������)��)��)��)��OOOO����

'�� ��� %��-$����������� �� ����� ����� ����� ��� %���%�� �&iSMS �� ������

1iK ���3�

����-�������������$��������∈�73�����

(e). Can the designated combiner DC retrieve the any partial information from the

equation, SS = �∈ SHi

si mod q ?

.���$������&������%��-$������������� ����� ����#�#�#�#��

� ���#��������-���������$����� ���#��������-���������$����� ���#��������-���������$����� ���#��������-���������$������������∈∈∈∈����"��"��"��"��OOOO����

�� ����� ���� ���� ��� ��-������� �� $��� �� ∈� "3� �� � �� ��������� ��%����� � �,��

�������1i

K ���2i

K ∈�Q)���������%�������$������� �������,�����$��,��&�$�����,����

�&��%����&����������������������3��� ��������� �%$��������������������-�������������$�����

�������� ���&���� �%������)$��������

103

� is ��≡?

���������

S

ijSHj jSiS

jSR

quu

u

im ���

−∏

≠∈ ,

mod����-��

������ #��� ��� ���� �� ������$�� K������ #��� ��� ���� �� ������$�� K������ #��� ��� ���� �� ������$�� K������ #��� ��� ���� �� ������$�� K33333�3�3�3� � � � � 3�3�3�3� �@�@�@�@3�3�3�3� ��������L� �� �&� ����,���� )$�����L� �� �&� ����,���� )$�����L� �� �&� ����,���� )$�����L� �� �&� ����,���� )$�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

SRKV ���� SS ������������≡

?

������������������������������������ SRSy ��������������������-�-�-�-�����

�� ��������������������%��������������������&��%��-$����&�&��&����$�

�3��$%&��&���� ��3� �J� � �&����� ����������)�.���$��������%��-$���&������� SS ����

)$������� ��� �������� �&� ���%��� �������&�� -������ .�� �&� ��&�� &����� �&�

�����%��������������%���3����� SS � �������&���������������������$�����&���

����� ���&�)$������� SRKV � SS ��≡

?

��������� SRSy �����-��

"�,�����%%�����������&�-��-����� ��&�&��&� $�%�����&��������)$�����-�������

+&$����&�������%��,����������$%%�� $���

�&��� #��� �&� ��&��� #��� �&� ��&��� #��� �&� ��&��� #��� �&� ����� � � �� �-%� ��� �$������� � � �� �-%� ��� �$������� � � �� �-%� ��� �$������� � � �� �-%� ��� �$��� """"3� �3� �3� �3� � ∈∈∈∈���� ����� �� �� �� �77773333��� %���-��� ��� �%���� �&���� %���-��� ��� �%���� �&���� %���-��� ��� �%���� �&���� %���-��� ��� �%���� �&�

-�����������-�����������-�����������-����������� 3333��������((((���O���O���O���O����

+&��%���-���������� 3��%�����%�����$%���,��&��&����,����� ��������U�;��

-����� � � � )(,ii SSS ufu ��� @&�� �&� ����� � � ���� �-%� ��� �$��� %���-��� ���

�%�����$%����&�-���������� 3�����&����������� ��������-�����%�$�� =SH �

���"�,���� ����%�����&�(�����%����&��� )(SHS uf ����>H� �������� �%$������

���������&����%����������&��-������+&$�����������������&��&������%������

%���-�������%�����$%���&�-���������� 3��(����-����������&����,���%����&������

Illustration +&� ����,���� ���$��������� ��� �$--������� �$�� �%&�� ��� -��%��%��� ��-�����������

3$--���� =SG ��3;��3���3���30��38������ =SH ��3;��3���38�����-��J��0?���)��J���������J��<��

7��$-�3%���H������3%���3&����7�������� ����&�������C������7��$-�3%���H������3%���3&����7�������� ����&�������C������7��$-�3%���H������3%���3&����7�������� ����&�������C������7��$-�3%���H������3%���3&����7�������� ����&�������C������3333����

�����3�#3�#3�#3�#���%��������$-��%������ Sx �J�;=�����%��-$��� Sy �J��:��

104

����3�#3�#3�#3�#������������%��� K �J���������-$���&�������$�@��J��<��

�%���3�#�3�#�3�#�3�#���������-$��%����$��iSu �����%������$����������&� ����,���������

��������������� ����

>��$����������������

3;���� 3����� 3����� 30���� 38����

iSu � ;;� :� ;0� =� ;?�

���������� =� ;0� ;�� 8� ;��

�����3�#�3�#�3�#�3�#�%�����$%�����-���������� 3�(��J���(��U8(��U;?(�U;=� �����-%� ����$����"3���������������

����3�#3�#3�#3�#�%&�����SHu J�;����� ����-%� ����$���"3������%��-$������>H��J�����

� ���3�#3�#3�#3�#�%��-$����&��%�������-$��%������%����&�������-$��%����$� ����%&�

����� ��&����$-�73������&�,������&� ����,���������

����

����

����

����

����

����

����

���������������� �� � ������������� ���� +����� �������������� ���

' ��&������� ����-%� ����$��� =SH �3;��3���38������������������������� ���

�� -����� ��� �� -��������� Rx J� ;�� Ry J� ;=�� �&�� �&� ������$�� ��������� &��� �&�

����,������-���

�����3;�������������%���11K J�?�

21K J�:�����%��-$����$;��J�;<���;���J��0������,;���J���;��

���������>�5 1�

31��

3%���

�� ix �

�$��%�

�� iy �

3%���

���

�$��%�

iSu �

3%���

il �

�$��%�

im �

�$��%�

iSv �

� ��P3;� 8� �;� =� ;;� ;�� �?� ;0�

� ��P3�� ;8� �� ;0� :� �� �<� ;�

� ��P3�� ��� 0�� ;�� ;0� �;� ;?� �0�

� ��P30� 0� �?� 8� =� �� �<� ;0�

� ��P38� ;�� �?� ;�� ;?� ;;� ;0� ;��

105

����3��������������%���13K J�8�

23K J�;;�����%��-$���$��J���?��������J��;������,���J�;��

�%���38�������������%���15K �J��:�

25K J��?�����%��-$���$8��J�;����8��J��������,8��J��;=��

�����1�%&�$���%��-$����&�-���$%��� 3���J�?�>3���J��;?�����@3333��J���J���J���J���������3���J�=�������

����3;����%�����&��R&���%����&����;�����J��;������%��-$���1SMS ��J��;����;���J��;:�����

� ���3����%�����&��R&���%����&����������J���;�����%��-$���3SMS ��J��;<�������J���;=��

�����38���%�����&��R&���%����&����8�����J���;;�����%��-$��5SMS ��J���������8���J����=��

���������������� �) �������������+��������� �� � ������������

�� �#�#�#�#���� ����%&�-�������������$�������(��-�� ���$���3�����

�����J�;=��������J����;������J���;?���3�J�=�� 23mod2,5,1 ji

j

SS

S

ij uu

u

−∏

==��J��;8��

"� %&%��� � <� ;=� � ≡?

� � �;� �� ( )81517 ���� 0?�+&��� &������ 3���������� &� %&%��� ��&��

-�������������$����������������������

�����#�#�#�#�%��-$��������$-����$�33��J��������������K�����?��������L����������$��� ��&�

���$-�3� ����&����������

�������� �) ��������������" � ��������

+&� ��� ���+&� ��� ���+&� ��� ���+&� ��� ��� �������� ���� &��R&�� �%��� ������� &��R&�� �%��� ������� &��R&�� �%��� ������� &��R&�� �%��� ��� Rx ���� ��� ��� �� �&� ��������� � � �&� ���$-�

������$��K����?���������L�����+&����$A�%�����%��������� ��&� ����,������-�*�A�

�����+&���� �����%����%������&����$������J�;?��������3���J��=��

����+&���� �����%&%�����&�%����$�%����=� � �<���� � � � � � � ≡?

� �;?� � ��:� =�����0?� ����&�

���������� ��&�������$����

+&���%����$�%�&����������&����$-�������$��K�����?���������L�����������������$��� �

�&�������C������3�����&����������

���������)���+����������������"��+�������

�������%��-$����b��J���������������J��;?����������K�;?��������?��������L����#��

106

����#��%������3����J��?�����%&%���&�%��%$���%�����=���<�������� ≡?

���;?����:�=�����0?�� ���

�&����������� ��&�������$���+&���&����/�����#���������&��(����-���

�%����������C������,���� ��&����-��������#��&�������?�������J��������<����;=���� ����,�*A��

• #�%&������������$�J�������J��8�����%��-$���,�J��������������,�������

• ��%&������������a�J��?�%��-$���c�J�;=��γ��J��0����������c��γ����#��

• #������$������������,&�%&���%������ ���&���,��J������

• �������a����#����,&�%&��&�%������ ���&����c�J�;=������γ��J��0��

7.4. Remarks '�� �&��� %&�-���� ,� &��� -��-���� �� 7�����C�� 7�����C�� 7�����C�� 7�����C�� ���%������%������%������%��� PPPP+&��&���� G$����+&��&���� G$����+&��&���� G$����+&��&���� G$���� AAAA����

������$��3%&��,��&�$��������$��3%&��,��&�$��������$��3%&��,��&�$��������$��3%&��,��&�$��3�#3�#3�#3�#�����'���&����%&���

• +&�������3333�#�#�#�#�������������$-��%����������%����-��������%����&����

� ��&��&���������

• +&����������������%���������������%���������������%���������������%�������#�#�#�#�,&��������&���-�������������%���%������

��� �� �%&� -������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-� ������$��� $�� ���$�� ���$�� ���$�� ���

�%����� �������������%����� �������������%����� �������������%����� ����������������%�����,��&��&�����%�����,��&��&�����%�����,��&��&�����%�����,��&��&��#��#��#��#�����

• ��������%��$������ � ������� %������ ��-�������������&������ � ����������

�����&�������$����'��%���� � �������������-������������%��&�������������

• ��������������&��&�������%��������%���$�����%������%���-�������%�����$%��

�&����$-��%��������-����������&����%����&�����

107

Appendix

3$������� ��&�-�-���-$���&�R$����-$��%�����*�3$������� ��&�-�-���-$���&�R$����-$��%�����*�3$������� ��&�-�-���-$���&�R$����-$��%�����*�3$������� ��&�-�-���-$���&�R$����-$��%�����*�����

��������������� ���������

�������������������� ��� ��������

��-��-$���&�*��-��-$���&�*��-��-$���&�*��-��-$���&�*����

%& ����������� ��� �������� ��������� ������' In South East

Asian Journal of Mathematics and Mathematical

Science�2 (1), �����!"�#�$%��

(& �� �������� �������� ������ ��� ��� ������������ In the

proceeding of National conference on Information

Security,�Sponsored by DRDO, �������� ��� �!������!$&�'�!"$��

��-��$����-��$����-��$����-��$����-$��%�����*��-$��%�����*��-$��%�����*��-$��%�����*����

%& ���������� ���������������� �������Communicated to Aligarh

Math Bulletin.

(& ��������� �������� �� ��������� ������� ����� ���������

������������� Communicated to J. of Applied and Pure

Mathematics, New Delhi.

)& �������������������������������� ��� � ' Communicated to J.

of Natural Science Grukhul Khagri University

Haridwar.

*& �� � � ���� � �� �� � ��� ����� ����� ������� ��� � '

Communicated to GANIT SANDESH, J. of Rajasthan Ganit

Parishad.����

+& �������� ��������� ������ ������� ��� � �������� � ��

Manuscript.

108

References

109

���'���

1. Adleman L.M., Pomerance C.and Rumely R.S. (1983). On distinguishing prime from the

composite numbers, Annals of Mathematics - 117, p.p.173-206.

2. Bellare M. and Michali S. (1988). How to sign given any trapdoor function, Proceeding of 20th

STOC-ACM, p.p. 32-42.

3. Biehl I., Buchmann, J. A., Meyer, B., Thiel, C. and Thiel, C. (1994). Tools for proving zero

knowledge, Advances in Cryptology -EuroCrypt - 94, Springer Verlag, p.p. 356-365.

4. Blakley G.R. (1979). Safeguarding cryptographic keys, Proceeding, AFIPS 1979 Nat. Computer

conference - 48, p.p. 313-317.

5. Blake I.F., Van Oorschot P.C. and S.Vanstone. (1986). Complexity issues for public key

cryptography, Performance limits in communication, Theory and Practice, NATO ASI Series

E: Applied Science - 142, p.p. 75 – 97.

6. Blum L., Blum M. and Shub M. (1986). A Simple unpredictable pseudorandom number

generator, SIAM Journal on Computing - 15 (2), p.p. 364-383.

7. Boyar J., Chaum D., Damgard I. and Pederson T. (1990). Convertible undeniable signatures,

Advances in Cryptology – Crypto - 90, Springer Verlag, LNCS # 537, p.p.189-205.

8. Boyd C. (1986). Digital multi-signature, In Cryptography and Coding. Editors, Beker H.J. and

Piper F. C., Clarendon Press, London, p.p. 241 – 246.

9. Burmester M. V. D., Desmedt Y., Piper F. and Walker M. (1989). A general zero knowledge

scheme, Advance in Cryptology- Eurocrypt - 89, Springer Verlag, p.p. 122-133.

10. Camenish J.L., Piveteare J.M. and Stadler M.A. (1994). Blind signature based on discrete

logarithm problem, Advance in Cryptology-Eurocrypt - 94, Springer Verlag, p.p. 428-432.

11. Chang C.C., Jan J.K. and Kowng H.C. (1997). A digital signature scheme based upon the

theory of Quadric Residues, Cryptologia - 21 (1), p.p. 55- 69.

12. Chaum D. (1982). Blind signature for untraceable payments, Advances in Cryptology – Crypto

- 82, Springer Verlag, p.p. 199-203.

110

13. Chaum D. and Van Autwerpan H. (1989). Undeniable signatures, Advance in Cryptology-

Eurocrypt - 89, Springer Verlag, p.p. 212-216.

14. Chaum D. (1990). Zero knowledge undeniable signatures, Advance in Cryptology-Eurocrypt -

90, Springer Verlag, LNCS # 473, p.p. 458-464.

15. Chaum D. (1991). Group signatures, Advance in Cryptology-Eurocrypt - 91, Springer Verlag,

p.p. 257-265.

16. Chaum D. (1995). Designed confirmer signatures, Advance in Cryptology-Eurocrypt - 94

Springer Verlag, LNCS # 950, p.p. 86-91.

17. Chaum-m. Li, Hwang T., Lee N. and Jiun-Jang Tsai (2000). (t, n) threshold multi-signature

scheme and generalized multi-signature scheme, where suspected forgery implies

traceability of the adversarial shareholders, Cryptologia – 24(3), p.p. 250-268.

18. Chen L. and Pederson T.P. (1994). New group signature signatures, Advance in Cryptology -

Eurocrypt - 94, Springer Verlag, p.p.171-181.

19. Damgard I.B. (1987). Collision free hash function and public key signature scheme Advance

in Cryptology - Eurocrypt - 87, Springer Verlag, p.p. 203-216.

20. Desmedt Y. (1988). Society and group oriented cryptography, Advances in Cryptology –

Crypto - 87, Springer Verlag, p.p. 120 - 127.

21. Desmedt, Y. and Frankel Y. (1990). Threshold cryptosystems, Advances in Cryptology –Crypto

- 89, Springer Verlag, LNCS # 293, p.p. 307-315.

22. Desmedt, Y. and Frankel Y. (1991). Shared generation of authenticators and signatures,

Advances in Cryptology –Crypto - 91, Springer Verlag, p.p. 457-469.

23. Desmedt Y. (1994). Threshold cryptography, European Transactions on Telecommunications

and Related Technologies - 5(4), p.p.35 – 43.

24. Diffie W. and Hellman M. (1976). New directions in Cryptography, IEEE Trans. Information

Theory - 31, p.p. 644 - 654.

25. Diffie W. (1988). The first ten years of Public Key Cryptography, In Contemporary

Cryptology: The Science of Information Integrity, Editor, Simmons G.J. IEEE Press, New York.

p.p 135-175.

111

26. Dowland P. S., Furenell S. M., Illingworth H. M. and Reynolds P. L. (1999). Computer crime

and abuse: A survey of public attitudes and awareness, Computer and Security - 18(8), p.p.

715-726.

27. Due Liem V. (2003). A new threshold blind signature scheme from Pairings.

www.caislab.icu.ac.kr

28. ElGamel T. (1985). A PKC and a signature scheme based on discrete logarithm, IEEE trans

information theory - 31, p.p. 469 - 472.

29. Fiat A. and Shamir A. (1986). How to prove yourself, Practical solution to identification and

signature problem, Advances in Cryptology - Crypto - 86 Springer and Verlag, LNCS # 263,

p.p. 186-194.

30. Frankal Y. and Desmedt Y. (1992). Parallel reliable threshold multi-signature, Tech report,

Dept of EE and CS, University of Wisconsin.

31. Gennaro R., Jarecki Hkrawczyk S. and Rabin T. (1996). Robust threshold DSS signature,

Advances in Cryptology–EuroCrypt - 96, Springer Verlag, p.p. 354 - 371.

32. Gnanaguruparan G. and Kak S. (2002). Recursive Hiding of the secrets in the visual

Cryptography, Cryptologia - 25 (1), p.p. 68 – 75.

33. Goldrich O. (1986). Two remark concerning the GMR signature scheme, Advance in

Cryptology - Crypto – 86, Springer and Verlag, p.p. 104 - 110.

34. Goldwasser, Michali S. and Yao A. (1983). Strong signature scheme, Proceeding of the 15th

STOC - ACM, p.p. 431 - 439.

35. Goldwasser S., Michali S. and Rivest R. (1985). A paradoxical signature scheme, 25th IEEE

symposium of foundation on the computing, p.p. 441 – 344.

36. Goldwasser S., Michali S. and Rivest R. (1998). A digital signature secure against adaptive

chosen message attacks, SIAM Journal on Computing - 17, p.p. 281-308.

37. Gordon J. A. (1985). Strong primes are easy to find, Advances in Cryptology -Eurocrypt – 84,

Springer-Verlag, p.p. 216-223.

38. Guillou L.C. and Quisquater J.J. (1988). A paradoxical identity based on signature scheme

resulting from zero knowledge, Advances in Cryptology Crypto – 88, Springer-Verlag, p.p. 216-

231.

112

39. Guillou L.C. and Quisquater J.J. (1988). A practical zero-knowledge protocol fitted to security

microprocessors minimizing both transmission and memory, Advances in Cryptology –

Eurocrypt - 88, Springer-Verlag LNCS # 330, p.p.123 - 128.

40. Hard jono T. and Zheng Y. (1992). A practical digital multi-signature scheme based on

discrete logarithm, Advance in Cryptology – Auscrypto – 92 Springer and Verlag, p.p.16-21.

41. Harn L. and Kiesler T. (1989). New Scheme for Digital Multi-signature, Electronic Letters - 25

(15), p.p. 1002-1003.

42. Harn L. and Yang S. (1992). Group oriented undeniable signature scheme without the

assistance of a mutually trusted party, Advance in Cryptology- Auscrypt - 92, Springer and

Verlag, p.p. 133-142.

43. Harn L. (1993). (t,n) threshold signature and digital multi-signature. Proceeding of Workshop

on Cryptography & data security, Chung Cheng Institute of technology, ROC, p.p. 61 – 73.

44. Harn L. (1994). Group oriented (t, n) threshold signature scheme and digital multi-signature,

IEEE, Proc – computer digit tech - 141(5), p.p. 307-313.

45. Hellman M. E. (1979). The mathematics of public key cryptography, Scientific American -

241, p.p. 130-139.

46. Hill L. (1929). Cryptography in an algebraic alphabet, American Mathematical Monthly – 36,

p.p.15-30.

47. Hwang M., Lin I. and Lie E.J. (2000). A secure nonrepudiable threshold signature Scheme

with Known Signers, International Journal of Informatica - 11(2), p.p.1- 8.

48. Hwang T. and Chen C.C. (2001). A new proxy multi-signature signature scheme, International

Workshop on Cryptography and Network Security, Taipei, p.p. 26 – 28.

49. Hwang T., Li C. and lee N. (1993). Remark on the threshold RSA signature scheme, Advance

in Cryptology - Crypto – 93, Springer and Verlag, p.p. 413-419.

50. Hwang T., Li C. and lee N. (1995). (t, n) Threshold signature scheme based on discrete

logarithm, Advance in Cryptology – Eurocrypt - 94, Springer and Verlag, p.p. 191-200.

51. Itakura K. and Nakamura K. (1983). A public key cryptosystem, suitable for digital multi-

signatures, NEC Research and Develop, p.p.1- 8.

113

52. Jac C.C. and Jung H.C. (2002). An identity based signature from gap Diffie Hellman groups,

www.iacr.org

53. Jackson, W. A., Martin, K. M. and O' Keefe, C. M. (1995). Efficient secret sharing scheme

without mutually trusted party, Advance in Cryptology – Eurocrypt - 95, Springer and Verlag,

p.p. 183-193.

54. Kim J. and Kim K. (2001). An efficient and provably secure threshold blind signature scheme,

www.caislab.icu.ac.kr.

55. Kobolitz N. (1987). Elliptic curve cryptosystem. Mathematics of Computation - 48, p.p.203-209.

56. Lal S. and Kumar M. (2003). A directed signature scheme and its application, Proceedings,

National Conference on Information Security, New Delhi -2003, p.p. 124 – 132.

57. Lal S. and Kumar M. (2003). Some applications of directed signature scheme, South East Asian

Journal of Mathematics and Mathematical Science - 1(2), p.p.13-26

58. Lal S. and Awasthi A.K. (2003). A scheme for obtaining warrant message from the digital

proxy signature scheme, Report No- 2003/73. http://www.eprint.iacr.org

59. Lal S. and Awasthi A.K. (2003). Proxy blind signature scheme. Report No- 2003/72.

http://www.eprint.iacr.org

60. Lanford S. K. (1995). Differential linear cryptanalysis and threshold signatures, Advance in

Cryptology – Crypto - 94, Springer and Verlag, p.p.17-25.

61. Lanford S. K. (1995). Threshold DSS signatures without a trusted party, Advance in

Cryptology - Crypto – 95, Springer-Verlag, p.p. 397-400.

62. Langford, S. K. (1996). Weaknesses in some threshold cryptosystems. Advance in Cryptology –

Crypto - 96, Springer and Verlag, p.p. 74- 82.

63. Lee B. and Kim H. (2001). Strong proxy signature scheme and its applications, Proceeding of

SCIS, p.p.603- 608. http://www.citeseer.nj.nec.com

64. Lehmer D.H. and Powers R.E. (1931). On factoring large numbers, American Mathematical

Society, p.p.770-776.

65. Lidl R. and Mueller, W. B. (1983). Permutation polynomials in RSA cryptosystems, Advance

in Cryptology – Crypto - 83, Springer and Verlag, p.p.293-301.

114

66. Lim C.H. and Lee P.J. (1993). Modified Maurer-Yacobi’s scheme and its Applications,

Advance in Cryptology – Auscrypt - 93, Springer and Verlag, LNCS # 718, p.p. 308 – 323.

67. Lim C.H. and Lee P.J. (1996). A directed signature scheme and its application to threshold

cryptosystems, Security Protocol, In Proceedings of International Workshop, (Cambridge, United

Kingdom), Springer-Verlag, LNCS # 1189, p.p. 131-138.

68. Luciano D.M. and Prichett G.D. (1987). Cryptology: From Caesar cipher to public key

cryptosystem, College Mathematics Journal - 18, p.p. 2-17.

69. Mambo M. Usuda K. and Okamoto E. (1996). Proxy signature: Delegating of the power to sign

messages, In IEICE Transaction – E79-A (9), p.p. 1338 – 1356.

70. Maurer U. (1990). Fast generation of secure of RSA- moduli with almost maximal diversity,

Advances in Cryptology – Eurocrypt - 89,Springer and Verlag, LNCS # 434, p.p. 636 - 647.

71. Merkle R.C. and Hellman M.E. (1978). Hiding information and signatures in trapdoor

knapsacks, IEEE transactions on the information theory, IT – 24, p.p.525- 530.

72. Merker R. C. (1987). A digital signature based on convential encryption function, Advance in

Cryptology – Crypto - 87, Springer and Verlag, LNCS # 293, p.p.369-378.

73. Michali S. (1992). Fair public key cryptosystems, Advance in Cryptology – Crypto - 92,

Springer and Verlag, p.p.113-138.

74. Miller V.S. (1986). Use of Elliptic Curves in Cryptography, Advances in Cryptology – Crypto -

86, Springer and Verlag, p.p. 417 - 426.

75. Mu Y. Varadharajan V. (2000). Distributed signcryption, Advance in Cryptology – Indocrypt -

2000, Springer and Verlag, LNCS # 1977, p.p. 155- 164.

76. Naor M. and Shamir A. (1994). Visual cryptography, Advances in Cryptology – Eurocrypt –

94,Springer and Verlag, p.p. 1 – 12.

77. NIST. (1994). Digital signature standard, U.S Department of Commerence, FIPS PUB, 186.

78. Nyberg K. and Rueppel R.A. (1994). A new signature scheme based on the DLP giving

message recovery, Advances in Cryptology – Eurocrypt – 94,Springer and Verlag, p.p. 182 -193.

79. Odlyzko A.M. (1984). Discrete logs in a finite field and their cryptographic significance,

Advances in Cryptology – Eurocrypt - 84, Springer and Verlag, LNCS # 209, p.p. 224 - 314.

115

80. Okamoto T. (1988). A digital Multi-signature scheme using bijective PKC, ACM transactions

on computer systems – 6(8), p.p. 432-441.

81. Ohta K. and Okamoto T. (1991). A digital multi-signature scheme based on Fiat- Shamir

scheme, Advance in Cryptology - Asiacrypt – 91, Springer and Verlag, p.p. 75 – 79.

82. Okamoto T. (1992). Provably secure and practical Identification schemes and corresponding

signature scheme, Advance in Cryptology – Crypto - 92, Springer and Verlag, LNCS # 740, p.p.

31-53.

83. Okamoto T. (1994). Designated confirmer and public encryption are equivalent, Advance in

Cryptology – Crypto – 94, Springer and Verlag, LNCS # 839, p.p. 61-74.

84. Pedersen, T. P. (1991). A threshold cryptosystem without trusted party, Advances in

Cryptology – Eurocrypt - 91, Springer and Verlag, p.p. 522- 526.

85. Pederson T. P. (1991). Distributed provers with application to undeniable signatures,

Advances in Cryptology – Eurocrypt - 91, Springer and Verlag, p.p. 221- 242.

86. Pointcheval D. and Stern J. (2000). Security arguments for digital signature and blind

signatures, Journal of Cryptology -13 (3), Springer-Verlag, p.p. 361-390.

87. Pomerance C. (1981). Recent development in the primality testing, The mathematical

intelligencer - 3, p.p. 97-105.

88. Pomerance C. (1982). The search for the prime numbers, Scientific American - 247, p.p. 136-

147.

89. Poupard G. and Stern J. (1998). Security analysis of practical “On the Fly” authentication

and signature generation, Advance in Cryptology - Eurocrypt - 98, Springer Verlag, LNCS #

1403, p.p. 422 - 436.

90. Rabin T. (1998). A simplified approach to threshold and proactive RSA, Advances in

Cryptology –Crypto - 98, Springer Verlag, p.p. 89-104.

91. Rivest, R., Shamir A. and Aldeman L. (1978). A method of obtaining digital signatures and

PKCS, Communication of ACM - 21(2), p.p. 120-126.

92. Rubin F. (1995). Message authentication using Quadric Residues, Cryptologia - 19(4), p.p.

397- 207.

116

93. Ruland.C. (1993). Realizing digital signature with one-way Hash function, Cryptologia –

17(3), p.p. 285-300.

94. Schnorr C.P. (1990). Efficient identification and signature for smart cards, Advance in

Cryptology – Crypto - 89, Springer-Verlag, LNCS # 435, p.p. 239-251.

95. Schnorr C.P. (1991). Efficient signature generation by Smart cards, Journal of Cryptology -

4(3), p.p. 161-174.

96. Schnorr C. P. and Jakobsson M. (2000). Security of signed ElGamal encryption, Advance in

Cryptology - AsiaCrypt - 2000, Springer-Verlag, LNCS # 1976, p.p. 73-89.

97. Shamir A. (1979). How to share a secret, Communications of the association for computing

machinery – 22, p.p. 612 - 613.

98. Shamir A. (1982). A polynomial time algorithm for breaking the basic Merkle – Hellman

Cryptosystem, Proceeding of the 23rd IEEE Symposium Found on Computer Science, p.p.142-

152.

99. Shannon C.E. (1948). A mathematical theory of communication, Bell System Technical Journal

– 27(4), p.p. 379-423.

100. Shannon C.E. (1949). Communication theory of secrecy systems, Bell System Technical Journal

– 28(4), p.p. 656-715.

101. Shepherd S.J., Sanders P.W. and Stockel C.T. (1993). The Quadric Residue Cipher and

some notes on the Implementation, Cryptologia -17 (3), p.p. 264-281.

102. Shum K. Wie V.K. (2002). A strong proxy signature scheme with proxy signer privacy

protection, Proceeding of 11th IEEE International Workshop on Enabling Technologies:

Infrastructure for Collaborative Enterprises.

103. Stallings W. (2002). The advance encryption standard, Cryptologia. To Appear.

104. Sun H.M. (2000). On proxy (multi) signature scheme, International Computer Symposium,

Chiayi, Taiwan ROC, p.p – 65-72.

105. Sun H.M., Hsieh B.T. (2003). On the security of proxy signature schemes, Report No- 2003/68.

http://www.eprint.iacr.org

117

106. William F.F. (1918). Methods for the solution of running key ciphers, Riverbank Publication-

16, Riverbank Labs.

107. William F.F. (1920). The Index of Coincidence and its Applications in Cryptography,

Riverbank Publication-22, Riverbank Labs.

108. Yen S.M. and Laih C.S. (1993). New digital signature scheme based on discrete logarithm,

Electronic letters - 29, p.p. 1120-1121.

109. Yi L., Bai G. and Xiao G. (2000). Proxy multi-signature Scheme; A new type of proxy

signature scheme, Electronic Letters - 36, p.p. 527- 528.

110. Zhang F.and Kim K. (2002). ID-based blind signature scheme and ring structure from

pairing, Advance in Cryptology. Asiacrypt-2002.

111. Zhang K. (1997). Nourepudiable Proxy signature scheme, http://www.citeseer.nj.nec.com

112. Zhang K. (1998). Threshold proxy signature schemes, Advances in Cryptology - Crypto –

98,Springer Verlag, LNCS # 1396, p.p. 282 - 289.

113. Zheng, Y., Matsummoto T. and Imai H. (1990). Structural properties of one – way hash

functions, Advances in Cryptology – Crypto - 90, Springer Verlag, p.p. 285 – 302.

114. Zheng Y. (2001). Identification, signature and signcryption using high order residues modulo

an RSA composite, Advances in Cryptology – Crypto – 2001, Springer Verlag, LNCS # 1992,

p.p. 48–63.

118

(��)��

1. Adams W. W. and Goldstein D. (1976). ����������������� ��������!� Prentice

Hall, Englewood Cliffs, N. J.

2. Ayoub R.G. (1963). �� ����������� ��� �����!� ��� ��� ���� American

Mathematical Society Providence RI: 02904 – 6248, 201, Charles Street, USA.

3. Beker H. J. and Piper F. C. (1982). ������� �!���"� ���� #��������� ���

�������������Northwood, London.

4. Beker H.J. and Piper F. C. (1989). ��!��������!� ��� ������ Clarendon Press,

London.

5. Bovet D.P. and Crescenzi P. (1994). ����������� ��� �����!� ��� ������$��!�

Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J.

6. Brassard G. (1988). ��������!��������!"�����������, Springer-Verlag, New York.

7. Bressoud D.M. (1989). %������&��������#�������!������, Springer-Verlag, New

York.

8. Buchmann J.A. (2000). ����������������!��������!� Springer-Verlag, New York.

9. Davies D.W. and Price W.L. (1989). �������!��������������������'� John Wiley &

Sons, New York.

10. Denning D.E. (1982). ��!��������!� ��� ���� �������!� Addition Wesley, New

York.

11. Gallager R.G. (1968). �������������(���� ��������������� John Wiley &

Sons, New York.

12. Garrett D. (2001). )���'�������"�������������������!��������!� Prentice

Hall, Englewood Cliffs, N. J.

119

13. Goldrich O. (1999). ������ ��!��������!�� #�� � ������� ������ ���

#���������� Springer-Verlag, Newyork.

14. Guy R.K. (1981). *��+���#�� ���� �� ��� ��������!, Springer-Verlag, New

York.

15. Kahn D. (1967). ��������!�����������, ������ Macmillan, New York.

16. Koblitz N. (1987). �� ������ �� ��� ��� �����!� ��� ��!��������!� Springer-

Verlag, New York.

17. Koblitz N. (1998). ���� ����������������!������!� Springer-Verlag, New York.

18. Kohnheim A.G. (1981). ��!��������!"���#������ John Wiley & Sons, New York.

19. Kranakis E. (1986). #�������!������!��������!� John Wiley & Sons, New York.

20. Kumar I.J. (2000). ��!������!"� �!���� ������������� ��� -�!� ��������'

Aegean Park Press, Laguna Hills, CA.

21. Lidl R. and Niederreiter H. (1994). ����������� ��� %����� %����� ��� �����

������������Cambridge University Press, Cambridge.

22. Menezes A. and Vanstone S.A. (1993). ����������� ��� %����� %����� Kluwer

Academic Publishers.

23. Menezes A. Van Oorsschot P. and Vanstone S.A. (1997). .�� ��'� ��� ��������

��!��������!� Boca Raton Fl: CRC Press.

24. Meyer C.H. and Matyas S.M. (1982). ��!��������!"� �� ���� ������ ��

��������� �����������!��John Wiley & Sons, New York.

25. Nechvatal J. (1992). #� ����-�!���!��������!��NIST- USA.

26. Nichols R. (1996). ����������!��������!������, Prentice Hall, Englewood Cliffs,

N. J.

27. Pfleager C. (1997). �������!������������'Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J.

28. Pomerance C. and Crandall R. (2001). #����� ��� ��"� �� �������������

#�������+�� Springer Verlag, New York.

120

29. Ribenboim P. (1996). ��������)��'����#�������� ���(������ Springer Verlag,

New York.

30. Rosen K. (2000). /�������!� ��� ��� �����!� ��� ��� ����������� Addition

Wesley, New York.

31. Salomaa A. (1990). #� ����-�!���!��������!� Springer-Verlag, New York.

32. Schneier B. (1996). ����������!��������!� John Wiley & Sons, New York.

33. Schneier B. (1996). ���� �������� ��!��������!� ������� ����� �'� ����

Counterpane System, 7115 W. North Ave., Suite 16, Oak Park, IL 60302-1002.

34. Seberry J. and Pieprzyk J. (1989). ��!��������!"��������������������������

�������!��Prentice – Hall, Englewood Cliffs, N.J.

35. Simmons G.J. (1992). ����������!���!������!0��������������� ����������

�������!� IEEE Press, Newyork.

36. Simon S. (1999). ���� ����� )��'"� ���� ������� .����!� ��� ����� ��� ������

)���'��� Simon‘s Shop, P.O. Box 23064, London W113GX, United Kingdom.

37. Smith L. D. (1971). ���������������������, ������ Dover Publications, New York.

38. Smith R. (1997). ���������!��������!��Addition Wesley, New York.

39. Stallings W. (2003). ��!��������!����������'��������!� Principles and Practice,

First Indian Edition, ISBN. 81- 7808 - 902-5, Pearson Educational Singapore.

40. Stinson D. (2002). ��!��������!"������!����#�������� CRC Press.

121

26. http://www.freevbcode.com

27. http://www.ifca.com

28. http://www.inf.ethz.ch

29. http://www.iacr.org

30. http://www.ietf.org

31. http://www.Krypt.cs.unisb.de

32. http://www.jjtc.com

33. http://www.maths.mq.edu.au

34. http://www.mailru.com

35. http://www.missturtle.com

36. http://www.newton.uor.edu

37. http://www.pschit.monash.edu.

38. http://www.research.yale.com

39. http://www.research.att.com

40. http://www.rsasecurity.com

41. http://www.rsa.org.uk

42. http://www.r-s-a.org

43. http://www.rsa.com

44. http://www.std.com

45. http://www.searchson.com

46. http://www.simonsingh.com

47. http://www.siam.org

48. http://www.springer.com

49. http://www.xatrix.org

50. http://www.williamstallings.com

*'+���'��

����

����

����

����

����

����

����

1. http://www.ams.org

2. http://www.austinlinks.com

3. http://www.bitpipe.com

4. http://www.bokler.com

5. http://www.bluesoft.com

6. http://www.cryptography.com

7. http://www.counterpane.com

8. http://www.cryptography.org

9. http://www.crypto.stanford.edu

10. http://www.cs.fsu.edu

11. http://www.csa.com

12. http://www.cs.umd.edu

13. http://www.cesar.orul.gov

14. http://www.caislab.icu.ac.kr

15. http://www.cryptoheaven.com

16. http://www.certicom.com

17. http://www.citeseer.nj.nec.com

18. http://www.codebreaker.dids.com

19. http://www.cryptix.org

20. http://www.domainmart.com

21. http://www.epic.com

22. http://www.efgh.com

23. http://www.exp-math.uni-essen.de

24. http://www.fraw.org.uk

25. http://www.fitry.com

Recommended