122
0 RSA Cryptosystem ElGamal Cryptosystem Messey - Omura Cryptosystem Knapsack Cryptosystem Construction of Knapsack Cryptosystem Quadratic Residue Cryptosystem Hybrid Cryptosystem: Diffie - Hellman’s key Exchange Digital Signatures A Classification of Digital Signature Schemes Digital Signature Schemes with Appendix Digital Signature Schemes with Message Recovery RSA Signature Scheme Feige– Fiat – Shamir Signature scheme ElGamal Digital Signature Scheme The Digital Signature Algorithm The Schnorr Signature Scheme The ElGamal Scheme with Message Recovery Nyberg – Rueppel Digital Signature Scheme Digital Signature with Additional Functionality Multi-signature scheme Group Signature Threshold Signature Scheme Undeniable Signature Scheme Blind Signature Scheme

Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

  • Upload
    vuque

  • View
    224

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

0

�����������

����������������� ���

�������� �������� ���

RSA Cryptosystem

ElGamal Cryptosystem

Messey - Omura Cryptosystem

Knapsack Cryptosystem

Construction of Knapsack Cryptosystem

Quadratic Residue Cryptosystem

Hybrid Cryptosystem: Diffie - Hellman’s key Exchange

Digital Signatures A Classification of Digital Signature Schemes

Digital Signature Schemes with Appendix

Digital Signature Schemes with Message Recovery

RSA Signature Scheme

Feige– Fiat – Shamir Signature scheme

ElGamal Digital Signature Scheme

The Digital Signature Algorithm

The Schnorr Signature Scheme

The ElGamal Scheme with Message Recovery

Nyberg – Rueppel Digital Signature Scheme

Digital Signature with Additional Functionality

Multi-signature scheme

Group Signature

Threshold Signature Scheme

Undeniable Signature Scheme

Blind Signature Scheme

Page 2: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

1

Proxy Signature Scheme

Directed Signature Scheme

Abstract of the Thesis

��� �� �������� ��� �

Introduction

A Directed Signature Scheme

Security of the Proposed Scheme

A Directed Signature with Threshold Verification

An Application to Threshold Cryptosystem

�� �� ��� � ��� �������� ��� �

Introduction

A Directed Delegated Signature Scheme

Security of the Proposed Scheme

Remarks

�� �� ����� ������������ ��� �

Introduction

Directed Threshold Signature Scheme

Security of the Proposed Scheme

Remarks

��� ������������ ��� � ������ �����

� �������

Introduction

Threshold Signature Scheme with

Threshold Verification

Security of the Proposed scheme

Remarks

Page 3: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

2

�� �� ����� ������������������ ��� �

Introduction

Directed - Threshold Multi – Signature Scheme

Security of the Proposed Scheme

Remarks

�� �� ����� �����������������

��� � ���������

Introduction

Directed - Threshold Multi – Signature Scheme Without SDC

Security of the Proposed Scheme

Remarks

�� � � ���� ��� �� ����� �����

� ����������� ��� �

Introduction.

Generalized Directed - Threshold Multi - Signature Scheme

Security of the Proposed Scheme

Remarks.

��� ��

! � � �� �

�������

�����������������

� ��� ���

Page 4: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

3

���������������� �����������

������������ ����������

A thesis submitted for the partial

fulfillment of the degree of

���������������������in

MATHEMATICS

by

�� �!�"#$���

�������������� ������

���%��# &'�����������������������

���������������������� ��

��� ��������� ���� �����

���������������� ������������������������������ ������������������������������ ������������������������������ ������������������

�������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� �������������

��������������������

Page 5: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

4

������������������������������������������������������������������

����

��� ��������������������������

���������������������������������

����������������������������

����

����� ��������������������������� ��������������������������� ��������������������������� ��������������������������

�� ������������������������ ������������������������ ������������������������ ��������������������������

�����������������������������������������������������������������������������

Page 6: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

5

** Declaration** �� ��� ������ ������� ��� ������ � �������� ����� ���� ����� ������� �� � �� ��� ������ ���

������������ �������������������� ���� ��������� ���� �� � ����� ����� ��� �������������� ���

� ��������������������������������������� ������������ � �����

�������������� ������������������������� � ���������� ������� ����

������������������������������������������������������������������������������������������������

� ����� � ������ ������ ��� ���� �� �� � �������

���������������������� � ����� ������������� ��� ���� �� ��� �������

������������������������������������������������ ������ !"##!!$�

����������������������%�� ���&�[email protected]

�� �

Page 7: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

6

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Institute of Basic Science Dr. B.R. Ambedkar University

Khandari, Agra-282002

������������������������������������������������������������������������� !�"#$$%"&�

������������������ ����������� ����������������������������������������������������������'!�"#$"#"(��

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)���"* �������������� ��

� � � � � � � � � � � � **Certificate**

����� ��� ��� ������ �� �� ��� ������ ������� �A CRYPTOGRAPHIC

STUDY OF SOME DIGITAL SIGNATURE SCHEMES����������� ������������������������������ � ��� ��� ��� ���

�������������������������������� ����� ��� ���� ��������

���� ��� ������������������������������������������������

��� ����� ����� ������ � �� ���� ��������� ����� ��� � ���� ��� ���

��������� ���� ����� ������������� ������ ������� �������

����� ������ ������ ���� ��������������������� ��������������

������������� ��� ��� �� ��� ��� ���� ���� ��� ������ ������

�������������� ��������������������� ���� ���

��

���&�!'�( �)�!**+� ,� � �������-���

,� ���)����-������

Sunder Lal �������� ��!�"���������� ��!�"���������� ��!�"���������� ��!�"��

Page 8: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

7

**Acknowledgment** I am grateful to my Supervisor Dr. Sunder Lal, Prof. & Head, Department of

Mathematics, Institute of Basic Science, Dr. B.R. Ambedkar University, Agra, who

spares his valuable time in guiding me for my research work. He encourages me always.

I am short in word to express his contribution to this thesis through criticism, suggestions

and discussions. My sincere thanks are to Dr. Sanjay Choudhary and Dr. Sanjeev

Sharma, both senior lectures in the Department of Mathematics, Institute of Basic

Science, Dr. B.R. Ambedkar University, Agra, for their kind suggestions.

I am deeply indebted to Dr. J.P. Arya, HOD, Department of Mathematics, D.A.V.

College Muzaffarnagar, who had laid the foundation of my M.Phil. degree and then

encouraged me for Ph.D. degree.

There is no word to express my feeling for my family members and relatives,

especially to my parent for their hidden cooperation and to my wife Chhaya for her

enthusiastic inspirations, round the clock cooperation and help me in many ways. Really,

it is not possible to express the love and affection to sweet and little daughter Aayushi

Raghuvanshi, who is the driver of my success, to make the path for my Ph.D. work.

I am thankful to all the faculty members and staff of Hindustan College of Science &

Technology, Farah – Mathura, Ravindra Kumar (T&P Officer), Jagadeesh. G. (Lecturer,

Computer Science), Sri Gopal Sharma, Sri Sarvesh B. Singh for their kind cooperation in

this electronic age, through computer, printer etc. I am also thankful to my research

colleagues Ms. Meeta Gurmukh, Mr. Atul Churvedi, Mr. Anil Agarwal and Mr. Amit K

Awasthi for their result oriented discussion.

At last but not the least, my sincere thanks to the writers of the books and the

research papers, which, I have consulted during the course of my research work.

�����

���&�!'�( �)�!**+����������������������� � ,� � �.�/�� ���������������

����

Page 9: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

8

Chapter 0 Introduction

Page 10: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

9

� ���&#���� �

#�� �������� #���$��%�����#�� �������� #���$��%�����#�� �������� #���$��%�����#�� �������� #���$��%������ ��� ��� � � �&� �%������� � � �&� ��%���� �� �� '�� �&���

%���(�������)$��������&�����������������*����

• � � ���� ��� ��������� ���� �������� ���������� �� ����� ��� � ���� ��� ��������� ���� �������� ���������� �� ����� ��� � ���� ��� ��������� ���� �������� ���������� �� ����� ��� � ���� ��� ��������� ���� �������� ���������� �� ����� ��������������������������� �������������������� ������������������������� �������������������� ������������������������� �������������������� ������������������������� �������������������� ����

• � ������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������������!������������ ��������������������!������������ ��������������������!������������ ��������������������!������������ ��������������� ������������� ������������� ������������� �����

• � � ���� ���� ��������� ������� �������� ����� ���� �������� ���� � ���� ���� ��������� ������� �������� ����� ���� �������� ���� � ���� ���� ��������� ������� �������� ����� ���� �������� ���� � ���� ���� ��������� ������� �������� ����� ���� �������� ������������������������������!������������ �������������� ���������������������������!������������ �������������� ���������������������������!������������ �������������� ���������������������������!������������ �������������� ��������

+�������������� �&������,��,�������������$%&�-�������.��%�������$����&�

���� (����%� � � �&� ������� -�&�-�� �� ,�������� ,��&� �������� ���/� ��� ���� ���

��������� �&� ������ ���� �� ��$��,���&�� -������ �� �� ���� �%���� �%� �--���%&� ���

������&��-���������%%%%��-�����-&����-�����-&����-�����-&����-�����-&����

Cryptography is the art or science of keeping

secrets secret. Cryptography is about secure

communication through insecure channels.

+&�%��%-��� ��%$�������������&��$�&�%��-�����-&��&����������&�������� ����

�����0������������%����1��-�������%�-&�������� ��&���&������-&�%�,��������

��� ���$������ +&� ����� %��-��������� ����� ��� 23#4+�5163#4+�5163#4+�5163#4+�516� ,��� ������&�� ���

7�%� ��� �&� 8�&� #��$��� ��#�� 9$��$�� #����� ��� %������ ,��&� $����� ��� � � �&�

������� %��-�����-&�%� ������� ��� ���� ��������� ������� ��� &��� 7������� "�

�-��%�� ����������� ��������1�� ���� ������ �&��$�&� �&���-&����+&�7���

,����� �����$�� ������ �� %��-��������� ��� ,&�%&� &� �-��%�� ������ ��� �$�����

����� �����,����-��-��#��-������������������:����������$��� ��� (�������� ���

;0;��� '�� ;0<��� 5��� ������ ������ �� %�-&�� ,&��� '�� ;8=8�� ������ �� >�����

��%���� �&� -�����-&���%� �$����$����� %�-&��� '�� ;?:��� 9 ������ ����-�� ��

%������� %��-������<�������� �%&�,��&��� ���������-&�����+&����,��������� �

�������

Page 11: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

10

'��;=;?��@���,���&�������������%��,&�%&�,������������-����@&����������

;=<��������,����,������&�@&����������%@&����������%@&����������%@&����������%��'�����������-�����-&���%�%�-&��

$����� �,�� %��%����%� ,&���� 1������ ������ ��%&���� ��� � � ��-������� %����� � �

��%&�����&������$����$�����@�����@�������%��-������������� �������,&���,��&�

��������%����A�%���%�������-������������$����$�����$�������%�����$�$������-&����

� ��� �&� ������ @����� @���� �&����� ���� ��� %&����� �3�� ����� ���� B����

������C�������� ,������� �%����� ���� %�� ����������� ���� ��� ���� $���������

�����%�����%��-�����-&����$������&���������0������ ,����%�-�-��������--������

�&� -$��%� ������$�� ���� ������ �������� ��� �&� �$D%�� ,�� -$���&��� ������

������ �&�� ��� �&� ���%� -�-��� �� "���� E0<F� ��� �����(A���� %��-����������

#��$�� 3&������ -$���&�� &��� �,�� $��������� -�-��� ��$�� %���$��%������

�&����� '�� ;:0=�� �� G��&����%��� +&���� � � #���$��%������� G��&����%��� +&���� � � #���$��%������� G��&����%��� +&���� � � #���$��%������� G��&����%��� +&���� � � #���$��%������ E::F� ���� ��� ;:0:��

#���$��%������ +&���� � � 3%��� 3�����#���$��%������ +&���� � � 3%��� 3�����#���$��%������ +&���� � � 3%��� 3�����#���$��%������ +&���� � � 3%��� 3������ E;��F�� �--���� ��� �&� ���� 3�����

+%&��%���9�$������

�����;:0:����;:<?�� �&�%��-�����-&�%� ������$��,�����������$����%�� '���&���

���� �� �� ���� ����� � � %�����$����� �--���*� ������ H�&�I�� &�������� +&�+&�+&�+&�

#��������#��������#��������#��������� '�� ���� ���� %������� ���� �,� �%&��%��� ����� $�� ��� %�������� ��

��������� %��-��� &������� � � ,&��� &��� ���� ���� ��%�$����� ������� � �

����&���� �&��� �&� �3�� ��������� ������ %������� �%���� #������� �D���� ��

���������������������� ��&�$������� �-�-���,&��&�������������&���������

�����I�� �&�$�&��� �,��� � � %��-�����-&��� �� ���%��� � � �,� %��-�����-&�%� -�-���

��������,�������

"������������,&��&���������,������������� �%������ �������� �����%�� ���

�&��������%�������&����� ������-������� ���%��-�����-&�����'�G�@������5���������

��� 4�����,�� "��&��� B,� 4����� +&�� &� ���� �&� ����-���� � � ,&��� ,��� ���

%��� �&� �3�� ����� 1�%��-����� 3�������� ��13������� 1�%��-����� 3�������� ��13������� 1�%��-����� 3�������� ��13������� 1�%��-����� 3�������� ��13��� ��� �&� ����� ;:?���� ������

Page 12: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

11

�%&��%����-���������&����$D%��������������&���%�����$��&���������-$��%�

��'�G����

'�� ;:?<�� @&�� ���� �� �� ���� G������ "�����@&�� ���� �� �� ���� G������ "�����@&�� ���� �� �� ���� G������ "�����@&�� ���� �� �� ���� G������ "������ -������ �&��� ���$�� -�-���

B,����%����� ��� #��-�����-&�B,����%����� ��� #��-�����-&�B,����%����� ��� #��-�����-&�B,����%����� ��� #��-�����-&�� E�0F�� +&��� -�-�� ������ �&� �%� � � %��-�����-&���

+&� ��$��� &��� �� �� �-%��%$���� ��%���� ��� �&� �$��� � � -�-�� ,������� ���

%��-�����-&��� �&� �$���� �������� &���� ���� �&� �$���� � ����� ���� -�-���

-$���&���

0.1. Classical Cryptosystems +&� %�����%��� ������ � %��-�����-&�� ��� -����%�*� �,��-����� ������3� ���� �%�������

,��&����%���$��%���-�������������&������������������,�����&������$��,&���,���

%���$��%����������������%��-�����-&�%����$���������&�-����%��-��������%�����%���%�����%���%�����%���%�����%���

%��-��������� �3������%� %��-���������%��-��������� �3������%� %��-���������%��-��������� �3������%� %��-���������%��-��������� �3������%� %��-����������� #�����%��� %��-��������� -������ �%$��

%���$��%������ �����-����� �$����'��%�����%������%��-����������&��%��-��������

%����%��%$����� �����&��%��-��������������%�������'�������%��-�����������&�

�%��-�������� �����%��-�������� ��� �&� �����+&�� %��-���������� ����� %�����

�%��� ��� %��-���������� ������ ��� %��-�����������%��� ��� %��-���������� ������ ��� %��-�����������%��� ��� %��-���������� ������ ��� %��-�����������%��� ��� %��-���������� ������ ��� %��-���������� ��� ��� ��� %��-���������� ��� ��� %��-���������� ��� ��� %��-���������� ��� ��� %��-����������

�)$����&����&�����������&��%���������������� ����&��%���%���$��%���

�%$�����+&��%$������ � �&� %�����%������%��-������������� ��� �&���/����$������

�&���������� �&���������%����%��-�������%��-�� �&������������ ���������&�

�����������%�����&�%���$��%��������������%����

#�����%���#��-��������%��������� ��&� ����,���*�

• ��-�����(���-�%���������� �����-������-�����(������

• ��%�-&��(���-�%�####������ ������-������%��-���(���#��

• ������-�%�H�H�H�H����,&�%&��%&�H�������������%��-������������&��1111HHHH�

�������%��-������������&������HHHH�����$%&��&�������HHHH��������1111HHHH�������������J�����J�����J�����J��/�/�/�/���∈����������

Page 13: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

12

������������%�%��-����������������� ���������%��-���������,��&�$�� ���

� �����%-�����%�$���������%-�������$������������������%�-&���&������/�

&�,���� ,��&� �&��� ���������� �������%� %��-��������� ����� &��� �&� ����,����

-�����*��

• "�������������������������������������������� ����������#��"�������������������������������������������� ����������#��"�������������������������������������������� ����������#��"�������������������������������������������� ����������#��������������������������������������������#������������������������������������$��#������������������������������������$��#������������������������������������$��#������������������������������������$����

• ���������� ��������#������� ������������������������������� ��������#������� ������������������������������� ��������#������� ������������������������������� ��������#������� �������������������������������$�� ���������������������������������������������������$�� ���������������������������������������������������$�� ���������������������������������������������������$�� ������������������������������������������������������������������ �%������������������������������������������������������� �%������������������������������������������������������� �%������������������������������������������������������� �%����������������������������������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ����

• ���������������������������������������� ������������� ���� ���#��� �� ����� ���� ��������������������� ���� ���#��� �� ����� ���� ��������������������� ���� ���#��� �� ����� ���� ��������������������� ���� ���#��� �� ����� ���� ��������#�� ���������������������������������� ���������������������#�� ���������������������������������� ���������������������#�� ���������������������������������� ���������������������#�� ���������������������������������� ��������������������� ��� ����$� %�� ���������� �������������� ������ ������ ������ ��� ����$� %�� ���������� �������������� ������ ������ ������ ��� ����$� %�� ���������� �������������� ������ ������ ������ ��� ����$� %�� ���������� �������������� ������ ������ ������������� ������������������� ������������������� ������������������� ���������������������������$����������������$����������������$����������������$�&������������������&������������������&������������������&���������������������� ��� ������ � ����� ���� ��������� ���� ���� �#������ ������ ��� ������ � ����� ���� ��������� ���� ���� �#������ ������ ��� ������ � ����� ���� ��������� ���� ���� �#������ ������ ��� ������ � ����� ���� ��������� ���� ���� �#������ ���������������������!�����������������#������������#���������������������!�����������������#������������#���������������������!�����������������#������������#���������������������!�����������������#������������#������������$����������$����������$����������$����

• '��� ����������� ��� ���� ��(�� ��#���� ��� ����������'��� ����������� ��� ���� ��(�� ��#���� ��� ����������'��� ����������� ��� ���� ��(�� ��#���� ��� ����������'��� ����������� ��� ���� ��(�� ��#���� ��� ���������������������$�����������$�����������$�����������$�%���������������������������������%���������������������������������%���������������������������������%������������������������������������������������������������������������������������

Page 14: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

13

���������������!������������������)���������������$�*����������������!������������������)���������������$�*����������������!������������������)���������������$�*����������������!������������������)���������������$�*�++++,-./�,-./�,-./�,-./����������� ����$���������� ����$���������� ����$���������� ����$� ��� ��� ���� ���� �� �� ���� ����� ��� ��� ���� ���� �� �� ���� ����� ��� ��� ���� ���� �� �� ���� ����� ��� ��� ���� ���� �� �� ���� ��������������� �� ���� ��!� ����������������� �� ���� ��!� ����������������� �� ���� ��!� ����������������� �� ���� ��!� ������ ��� &�� ��� ��� 0���� &�� ��� ��� 0���� &�� ��� ��� 0���� &�� ��� ��� 0� ���� ����� ����� ����� � 1111� ���� ���� ���� ������������������������$���������������������$���������������������$���������������������$��������

�������� ������ � ����������������������� ��

• 2�� ���� �������� �������������� ���� �������� ���������� #��2�� ���� �������� �������������� ���� �������� ���������� #��2�� ���� �������� �������������� ���� �������� ���������� #��2�� ���� �������� �������������� ���� �������� ���������� #��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#���3��������������������#���3��������������������#���3��������������������#���3�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$������������$������������$������������$�����

0.2. Public Key Cryptosystems H-���������,��&��������,�%���� �#�����%���#��-�������������������,������

�&�)$�������@&�� ������ ��@&�� ������ ��@&�� ������ ��@&�� ������ ������G������"������G������"������G������"������G������"������-��-�������;:?<�����,���-�� �

%��-��������,&�%&����%�������,�����-$��%����%��-��������-$��%����%��-��������-$��%����%��-��������-$��%����%��-��������E�H#FE�H#FE�H#FE�H#F��+&����������

� �-$��%����%��-�����-&������&��������-���������������&� ����� �%��-�����-&��

���� -������� ���,��� ��� ���� �&� ���� -������ � � ��� ���������� ���� ��������

������$�����

��-$��%����%��-�������������-����� � �������K1111HHHHL�����K����HHHHL��H�∈�����-�%�HHHH��� �

�������&����-��������������������� �����������

"

#

$

Page 15: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

14

1111HHHH�*�*�*�*���������M�#�#�#�#���������HHHH�*�*�*�*�#�#�#�#�M���������

• �������H��1�1�1�1HHHH������������&�������� ��������HHHH���������

• �������H���������������%��-$��1�1�1�1HHHH����������������HHHH���������

• ��� ������� ����H����� �%&� ������ %��-$��� �������&��)$������� �������HHHH���� ���

%��-$������������� ������������� ����1111HHHH��

• �������H����������� ��������%��-$��������-�����1111HHHH����������������HHHH�������� ����H��

������������������ �������� ���

�%�$��� � �&��&����-��-����� �&��%��-��������1�1�1�1HHHH����� ��%&�$���%��������

-$��%� ,��&�$�� %��-��������� �&� �%$����� � � &��� -������ �%��-����� ��� ����HHHH�������� +&�

-$��%� ��� %��-�����-&�%� ������ ��� �&� ��� �-���� ����� �,�� -������ �� ������ � �

�%��-����� ����� ���������� ���� �� ������ � � �%��-����� ����� ���������� ��� �$%&� ��

,��� �&���� ����� ������� ���� ������� ��� ��� �� ����� ��� ���� �&� %����-�������

����� ��&���&���

�+&� ���&� -��-���� �$������� �&��� �&�� ��� �� ����� ,��� � � %��-$�����

%����-�������-������ ������������ ����������,&�����%�������������-��%�����,&���

��&���&��%��-���������%��-���������� �����������������

'���&���%��-����������&�������������������&��%�����������%$��%&������

1����$���������&�������&������-����� ��������-$��%���-$��%���-$��%���-$��%�������1H��� ����%��-���������

��-��������-��������-��������-����������H�� ����%��-������@��&��&�&�-�� �-�����������&�$���%��%$�����&���

-$��%����� '�� ��� %��-$����������� �� ����� ����%���� �&�-�����������$�����&���

-$��%� ���� ��� ����� ����%�� ��� ���� ��%����� �&��� �$%&� %��-��������� %�$���

Page 16: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

15

�%�$�����(����5����,��&���� ���&��� �&����� ������$%%�� $�� ����C��������+&�

�3��3��3��3��%��-�������������&�1�7����1�7����1�7����1�7�����%��-�������������$%&�����C������������-$��%�

�������-$��%����������/��&�����&������������-$��%� ������������-&��������

.���&���&��&������ �&�-��������������-���%��/�������&��,������,���&���

5��$����,��$--��� �&���,�&�����-$��%���� %��-���������#������� �&�$�����

,�������������&���������������+&�-��%���,�������� ����,���

• ��������$-��&�-$��%����1H��� �����%��-����&������������1H�� ����J�#�

���������&�%��-���(��#�������

• ������������%��-���&�%��-���(��#�����%�&�(%�$���������,���&�����H���

"��������J��H���1H�����������

• B����&��$��� %����%�-&��1H�� ��������%�������%����%�����H�� ����1H���

����1H�������

�$��%�H��#��-��������&����&� ����,�������,���&�������������

• B���%������(%&�����������&�$����B���%������(%&�����������&�$����B���%������(%&�����������&�$����B���%������(%&�����������&�$��������

• 1����$���������������� ,1����$���������������� ,1����$���������������� ,1����$���������������� ,������������������������

• B,�$���%���D�����&�������,��&�$������$������&�����$����B,�$���%���D�����&�������,��&�$������$������&�����$����B,�$���%���D�����&�������,��&�$������$������&�����$����B,�$���%���D�����&�������,��&�$������$������&�����$�����

• �1�%��-����������%��-������1�%��-����������%��-������1�%��-����������%��-������1�%��-����������%��-������

• #���$��%������������%$��,��������&��-��%&������ ���-�-��#���$��%������������%$��,��������&��-��%&������ ���-�-��#���$��%������������%$��,��������&��-��%&������ ���-�-��#���$��%������������%$��,��������&��-��%&������ ���-�-���,&��&���,&��&���,&��&���,&��&������������������������������������

• ��������������$���%&�����������������$���%&�����������������$���%&�����������������$���%&�������

• B���-$��������B���-$��������B���-$��������B���-$������������

3���,��A���,��-$��%����%��-��������������%������,*�

RSA Cryptosystem

'��;:??���&��-�-��,&��,����������&�������������-%��%$����%�����$��������

�&� -$��%� ��� %��-�����-&�*� ������� ������� ���� 3&����� ���� 5������

������N �����$-��&�%&������� �-���$%������ $��A �����-$��%����%��-���������

,&�%&� ��� %����� ��� �3�� %��-��������� +&� -��%��� ������ ������ ����&�� �$�����

,&�%&� ������ -��-���� �--���%&��� ������� ����%��� �&�� ���� 3&����� �%�����

������ ���� � � �%&�� '�� ���� ;:??� �&�� ,�� �,����� ,��&� �$%%��N �&�� &���

���%�����&�,������-��-�%�� �%�����%����$����&����%�$�����������������&�

-������E�8F�O�

Page 17: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

16

�3�� %��-�������� ��� ���� $-��� �&� �� �%$���� � � �%����C������ � � �,�� �����

-������'���&���%��-���������,����$���&����������%�����+&����%������

• 7�������,�������������%��-����-�����)���%&���$�&����&�������C��

• #��%$����������J�-�)�����φ�����J���-�P�;����)�P�;���

• ��������$������%������������������/�;�≤��≤��φ�����������φ�����J�;��

• #��-$�������&��$���-��%������������ ������φ�������1$%�������������&���

+&�-��������������&�-$��%��������&��%��-�������������&�-���������������&�

�%����������&��%��-��������� � �&�$������+&��%��-���������� ��������� �����

��--���� � ���� QRQ�� ��� ���� � ����� �� #� J� � ���� J� � e ���� ��� +&� �%��-�����

����� ����������������������J� �P;��#����J���# d �������

' ���$������%��-������������� ����&�$�������&�����&�$�������&� ����,���*�

• �-�������&�����������������������&���������E������P�;F�

• #��-$���#��J������������

• 3�����&�%�-&��(��#�����&�$������

• ���%������&�����������%��-$�����#����������$�����&����%�����������

ElGamal Cryptosystem

+�&�� 1�7����� E�=F� -��-���� �� %��-�������� ���� ��� �&� �� �%$���� � � �������

���%����������&����%����������&����%����������&����%����������&���+&����� �%$����� ����%����������&������--��%����������������&�

�������������$�����������&�������� ��%��-���������������$���������&���+��

��� $��&����������%���������$����������&�%��%-��� ����%����������&���3$--���

,� &��� �� ����� ���� Q)� ,��&� ���$-� �-������� � � �$���-��%������� @��&� �&� &�-� � �

�-�����)$�����&���������%���%��-$���(� ��������(��$%&�������J���(���������

∈�Q)��B�,��������������%��-$�����J���(� ��������(������$�� ���������������������

%������ ��������%��-$��(��"���&����$�(��������������&����%����������&��

� �������&����������(��-������$������Q;:�������J������&��,�%���%��-$����<��J�

?��,&�%&����)$������������������&����&����%����������&��� ���%����������&��� ���%����������&��� ���%����������&��� �?�����&�������&�������&�������&���������)$������)$������)$������)$���

������������<��$���������$%&������� �%$������%��-$���&��$���<���$�����������?�3�� �����

�����(��������%��-$������������� ���������%�����&���(�,��&��&����,����������

Page 18: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

17

'�� �&� 1�7����� �%&�� �&�� ��� �� ������ ������� $-��� �� -���� -� ���� ���

���������1����$�������%���������������������/���S����S�-�P�;�����%��-$����

-$��%����$�β��J�� Ag α ������-��' �,�,�������������������������&�$������&��,�

%&���������������������������������&�-���� ����� � ��� ���B�,����%��&�$�����

���,�� � ���&� %��� �%���� �&��������� ���� �&���-�����+&�$����� ������ �&�

-�,������&� ����������� ��&�-���������&���������&��%���������� ��&�-����

�������&�-�����(���

Messey - Omura Cryptosystem

+&���%��-������������������������&��� �%$����� � ����������%��� �������&��������

�&�$����&��������$-�����-$��%�-����-��B�,��%&�$�����%&������,��-�������

�����������������$%&��&�������������-��J��;�

'�� %�������� ,��&� �3�� %��-��������� ��� �&��� ������ �&� $���� �-� ��&� �&�'�� %�������� ,��&� �3�� %��-��������� ��� �&��� ������ �&� $���� �-� ��&� �&�'�� %�������� ,��&� �3�� %��-��������� ��� �&��� ������ �&� $���� �-� ��&� �&�'�� %�������� ,��&� �3�� %��-��������� ��� �&��� ������ �&� $���� �-� ��&� �&�

�$�����%�����$�����%�����$�����%�����$�����%����-$���&�������&��� ��&��-$���&�������&��� ��&��-$���&�������&��� ��&��-$���&�������&��� ��&���B�,�%��������&����$���������,&�%&��&�

$�����������&�������������&�$������@����$���&������$����-�������&�

�������,&�%&���������&���-���

+&��������&���,�������� ����,�*�

• +&�$�����%��-$��� Aem �����-��������������&�$������

• +&� $��� �� %��-$��� �&� thBe � -�,�� � � �&� �$��� &� &��� �%���� ����

��$����&���$��� BAeem �����-�����&�$������

• B�,��&�$������--����&����$���������,&���&��%������������ ABA deem �

����-��+&����$����$�����$������ Bem ����-��+&�$�����������&�����$���

����&�$������

• +&�$������--������������&��%�����$���������������&�����������

��

Knapsack Cryptosystem

'�� ;:?=�� G���� ���� "������ E?;F� -��-���� �� -$��%� ��� %��-��������� ,&�%&� ���

����$-����&���A%�����H��-��%��-������7���������� �K���L�� ���-��������������

Page 19: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

18

�������������>��� �������A�������������J���ε��−�;�ε��−��N N N N N ���ε;�ε�������,&��ε��∈�K��;L�

����&�������������� ����$%&��&����

�−

=

1

0

k

i

�����J���>��� ��$%&������(������

�� �-%���� %��� � � �&� H��-��%�� -����� ��� �&� �$-���%������� H��-��%��

-������ '�� �&��� �)$�%� �&� ����� �������� ��� ��%������� ������ &��� �&�'�� �&��� �)$�%� �&� ����� �������� ��� ��%������� ������ &��� �&�'�� �&��� �)$�%� �&� ����� �������� ��� ��%������� ������ &��� �&�'�� �&��� �)$�%� �&� ����� �������� ��� ��%������� ������ &��� �&�

�����������-��-�����&����%&��������������������-��-�����&����%&��������������������-��-�����&����%&��������������������-��-�����&����%&���������������&����&��$��� ������&���������������&����&��$��� ������&���������������&����&��$��� ������&���������������&����&��$��� ������&�����������+��

����� �&� �$-���%������� H��-��%�� -����� ��� �� ���� ���� ������ @� ����� �&�

����� ���� ��������� ,��&� �&� �������� $����� ,� ��� ��� �&� ����� ��� �&��� ��� ≤� >�� +&�

����,���� �������&�� ������ �&� H��-��%�� -����� ��� �� ����� �$-���%�������

�)$�%�� ��A�$-������������>*�

• 3��@�J�>�����D�J����

• 3��������,��&�εD�−;������%��������&����(�� �ε��%&���������&�ε��)$������C���

$�����,�����&� ��������%������������$%&��&�������≤��@��3��ε���J�;��

• �-��%�@����@−���������D�J���������@�T��������%�������-����

• ' �@�J������$���������' �@�T������������&�������������T�@���&���&��������

���$���������&������-������

Construction of Knapsack Cryptosystem

1�%&�$���%&������������������$-����%��������A�$-��K�����;����N ���A;��������������

,&�%&�����������&����−

=

1

0

k

i

��������������������-�������������S����S��������(��-���

,�%�$���%&�����������������)$�%�� ��U;�-�������������C�����J���;����N ��������

�&��� ���� %�������� �$��/� ��� ��� J� C��� � ��� J� � C�� U� ��A;� U� ��A�� UN �U� ��� � ��� �� J�

��;����N �����P�;/����������)$������C�� �U��−

=

1

0

k

i

�����+&�����%���%&��������������

-����������������S������������������&� �����������≥�����&������-����������� ���

�&�������%��-$����&��$���-��%������������ ���������J�����������%��-$���&�

�A�$-��K�,��L�� ������,���J��������������+&�$����-���&��$������������������

Page 20: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

19

$��-$���&�� �&��A�$-��� �,���+&��%��-�������� ���H1� �J� K�,�� ��,;� �����,�A;L��+&�

�%��-�������������H����J�K������L��

3�����,&��,��������������-�����(���A�������������J��ε�A�;�ε�A��N ���ε;�ε���������

$���,��&��%�-&��������K�,��L��&�%��-$���#��J� ��������J���−

=

1

0

k

i

�,�����������������

�&��������+�������&���������&��%���� ������&������-�����������$�>�� �#�

�������3��%�#��≡��−

=

1

0

k

i

ε��,����≡��−

=

1

0

k

i

ε��������� ����,���&����>��J���−

=

1

0

k

i

�����"��,����

$����� �&� �%�� �&��� ��&� >� � S� � �� ���� �−

=

1

0

k

i

ε�� ��� � ≤� � �−

=

1

0

k

i

� ��� � S� � �� � ��� %������ �&�

%����$�%����$���������)$�������

Quadratic Residue Cryptosystem

+&���#��-��������,���-��-��������$����$������3&$�E<F����;:=<�+&�V$������%�

����$�� ���������������B�������-����&�����$�� ������B/�� �W�I������)$������%�

����$����$���B�����������&����&��(��������������,&�%&������W�I������������

,&���&��)$���� ��&����������%��%$�����$�������$���B��

+��(-������&�,�������� �V�#�� %������� �,��$����������3���� ��� �&� �%�-����

����3�����&������� ��&��������'��V�#���%&�$���W�I�%&������,�������-����-�

����)���$D%������&����&�����%����$������������0��+&���,��-�����%���

�&� �%��� ��� ���� �� J� -�)� �&� -$��%� ��� � � �&� $��� ��� +&� -$��%� ��� ��� ����

������������������,��&���������������������-��%������ ����,���

+&������3�%&���������)$����%�����$�����&�Q�X��+&�������$����%�����&�

���(�� ����&�������������,&�%&�,�����$�������%��-���&��������+&������

3����-�������-����������%&���������������������$������&�����$����$%&����

,������� ;�,&�� �&� -������ ��� ���� ���� ��� ,&�� �&� -������ ��� ����� +�� -��%��� 3�

,����� ��,�� �&� �--��-����� ��� ��� �%%������� ��� &��� ����� ����$� (��� ���� �&��

�)$�����&�������$��3��&��,�������,���&��(��%����-����������������)$����&�

��$����������$�������������������'���&����������-�$������������������-������

���-���$%��,&�%&�%����$���������������-�������%��-���&��������-���������

� �%�$�����&����&������������$���,��&��&����$�$���+&������ �%��%�� ��&����

Page 21: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

20

���� -��� ��� �&��� �$%&� �� %�-&�� ��� �&� ����� ��� -��������� %��-��� �&����%���

�%$������

+&�����������%�-������%����������%�����&�-�����(���%�$�����,�����&�

�,�� �%������ ���J��-)��&�%���%��-$���,����������������$%&��&����-�U��)��J��;��

"�%���%��-$���&�����$�(��−�;�����������&��)$��������� ��&�����$�(�����&���&�

�)$��������� ��(���������������&���%������&�����$�(���.���%�-��� ��&��������

���,������������&�B�U�;������&� ���������$�(B����%��-$����&� ����,�������$��

����%�����&����(�������&���&�-�����(���

������������������������������������µ������J��������E�-��U��;��⁄�0�F�B�����-−;��

������������������������������������θ������J��������E�)��U��;��⁄�0�F�B�����)−;��

������������������������������������$������J����������(B�����-��µ�����-��

�������������������������������������������J����������(B�����)������)��

������������������������������������(�������J���������)$��U���-����������

Hybrid Cryptosystem: Diffie Hellman’s Key Exchange System

+&���-����������� �-$��%����%��-���������������,��@&�����&��������������

�������� ����%�����%���%��-������������������'������������������%����������� �

�&� �,�� ��-�� � � %��-���������� (-�������� �%&� ������ ����������� +&��� ��� �&�

$�������������� ���&�����%��-����������������� ������"������E�0F���

1��������������$������������%�%��-�������� ���%���$��%���������-$��%����

%��-�������� ��� $��� ����� ��� �&� (%&���� �&� �%��� � � ����� �%������ ��� �&�

�������%�%��-����������

'������� ��� ���� �&� �%�������� ��� �&�$����������$��� �%��-�� ��$������I��

-$��%� ����+&�� �&�$������%��-��� �&� �%���� ���$�,��&�&��� -������ ��� ����

����������+&���-��%�$��,�����-� %���/����&������������������������� ��&�$�����

����� �&� �%������ ��� �&�$������ �������� �&��� �&�� %��� %���$��%������������

�����%���-�������,����&�$�����&�$�������$-������������&���&������� ��&��

%&������������������������������&���&��� ������$%&�����������������&�$����

,�$���-����(�%�����&����������

#��������,��$������������,&��,��&��������$-������%����������,&��&���

������������$-����,���&��������-����-�������-���������������S�-����&�� �,&�%&�

Page 22: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

21

�����-$��%��3�� ���������%�������&�$����%�$���$���&�����-��������+&�������

,�������� ����,�*�

• +&�$�����%&��������%�����������S�-�����%��-$��α�J���������-��"������

����&�$������

• +&�$�����%&��������%����������S�-�����%��-$��β�J��������-��"������

����&�$������

• +&�$�����%��-$�����J�β�������-�������%��-$�����J�α������-��

'���&���,������&��&�$���&��������$-�����%�������%���������+&���������

����%$�����������������%��� ���������%-�����+&�����%-�������,�������' �&�

��$%��W�I� ��������WI� �����&��&�%�$���%��-$����D$�������&�$����������������

"�,������������ ����������$%��&�����$���+&���������� ��&����%�-��-������ �

���%����������&���

�������,�&����������&����,���&������������� �-$��%����%��-�����-&������

%�����%��� %��-�����-&��������� �&��������������������� ������$�� ������ ��-�������

%��-�����-&�%� ������ ,&�%&� -������� �%�%�� ���� �$�&���%���� ��� �&� ��������

%���$��%�����������

0.3. Digital Signatures @�$���&���%���������$�����%������-��%��%� ����$�&���%����������,���������&�

,�����,&���$���%����������������������%���$��%�����%�����%������,����

����-��%����&��-��%�$�����$��%����%��-�����-&����H#�H#�H#�H#�����-��������%&�������

��� �$%&� -��%�$��� �&��$�&� �������� ������$�� �%&���� '�� ����� ��� ������&� �&�

�$�&���%����� � �&� �%�����%�������� ����������� ��� �����$��� �&� ������ �

�&�������,�$�����������$���������������������$���%&����33�������&���%��-��

�&��������$����� �%��-������������&��� �Thus, a� �������� ������$���%&��-�����

�&��$�&���%����� ��&����������,�������&��$�&���%����� ��&��������

��������������������$���%&���������������$���%&���������������$���%&���������������$���%&�� ������� � �&������ ��-�������%��-�����-&�%� ������ ���

�H#�H#�H#�H#������������������$���%$���������%�����������������$���&����&��������� ���

�&����������������&����&�&���,������������$���&��� �����%$��������-�-�����

��������������$���%&��%��������� ��&� ����,����*�

Page 23: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

22

• ��������$������������������&���,&�%&��������&��� ���-���$%��������������

������$���

• ���������$����� �%�������������&���,&�%&��������&��� ������ ���������������

������$���

+&�%�$%������ ��%� ������&����,������������$������&����&���������������$����������������$����������������$����������������$��

�����������������,&�%&�����������%���%���,��&��&�������,��&����������������������������������,&�%&�����������%���%���,��&��&�������,��&����������������������������������,&�%&�����������%���%���,��&��&�������,��&����������������������������������,&�%&�����������%���%���,��&��&�������,��&�����������������

�������������������������,&�����&�&���,������������$����D���������&�������������,,&�����&�&���,������������$����D���������&�������������,,&�����&�&���,������������$����D���������&�������������,,&�����&�&���,������������$����D���������&�������������,����������������������������������������

�&� ����� #���)$������ ��� ��� %��� ����� �&� �������� ������$�� ,��&�$�� �������&� ����� #���)$������ ��� ��� %��� ����� �&� �������� ������$�� ,��&�$�� �������&� ����� #���)$������ ��� ��� %��� ����� �&� �������� ������$�� ,��&�$�� �������&� ����� #���)$������ ��� ��� %��� ����� �&� �������� ������$�� ,��&�$�� ������

�������������&����&���%$����&�����%&������������������&����&���%$����&�����%&������������������&����&���%$����&�����%&������������������&����&���%$����&�����%&������+&$����&���������������$��+&$����&���������������$��+&$����&���������������$��+&$����&���������������$��

��$����&����������� ��&���������%$������$����&����������� ��&���������%$������$����&����������� ��&���������%$������$����&����������� ��&���������%$�����������&���������������$��������������

����� �&�� �&� �--��%������ � � �&� -$��%� ��� ��� �&� ������ ������ ������ ������ ��

-�����(��� ,&�%&� ,���� �--��� ���� �������� +&��� -��-���� � � �&� �������� ������$��+&��� -��-���� � � �&� �������� ������$��+&��� -��-���� � � �&� �������� ������$��+&��� -��-���� � � �&� �������� ������$��

��-���� �&��� �&� ������$�� ��� ���� �$���� ���� $� ��������-���� �&��� �&� ������$�� ��� ���� �$���� ���� $� ��������-���� �&��� �&� ������$�� ��� ���� �$���� ���� $� ��������-���� �&��� �&� ������$�� ��� ���� �$���� ���� $� ������� B������ (%-�� �&�

������ %��� ����� �� ��%$����� "�%�� �&� �%�-���� ��� %�����%�� �&��� �&� ������

����������������&���%$�����+&���������������$����$����&��$�&���%����$�&���%����$�&���%����$�&���%����� �

�&������������������&���,��-��-���������$� ��������������$�&���%����$� ��������������$�&���%����$� ��������������$�&���%����$� ��������������$�&���%����������$���&�

������������AAAA��-$���������-$���������-$���������-$��������� ��&�������$���+&�������%����������������&���&��������������

�&��������

����������� ��� ��������������������� �

A Classification of Digital Signature Schemes

+&������,��%������� ���������������$���%&������������������$���%&���,��&���������������$���%&���,��&���������������$���%&���,��&���������������$���%&���,��&�

�--��--��--��--���(��(��(��(� �)$��� �&� ��������� ������ ��� ��-$�� ��� �&� ��� �%������ �������&�� ����

Page 24: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

23

��������������$���%&���,��&��������%�������������)$����&����������������

�����-$������&���� �%�������������&���

� �� ��� ��� �� � � � � �� � � � � � �� ��� �� � � � � �� �

�������� ������$�� �%&��� ,��&� �--���(� ���� ��� %��-�����-&�%� &��&� $�%����� &��

�3���1�7���������3%&�����������$���%&������$%&���������������$���%&������

-���������,����� ��&�����������)$���� ����&���� �%�������������&���'���&��

������$���%&������$�����%���-���$%����������$���X�∈3�������� �������%�����

������$���-�%�� �������������∈G�������� �������%������������-�%���,&�%&�

%������������ ���������$������

1�%&�$�������%������%������3��� �����&����K�3������*��∈��L��"��3��������������

P������--���� ����G&����3�����%�������������������� ������������������������� �

������%������&����(�������� ����������G&�����&������� �&�����&*�G�M�G&�/�G&�

⊆ � � G3� �� �� ���� � ������ %������������� �-�%�� ��� %����� �&�&��&����$� �-�%��3��

� ������%����-���������--����>�� ����G&Y�3����K��$�� ���L��$%&��&�����

>����X���X��J���

��� =

otherwiseflase

smSiftrue kA

,

,)(, **,

��������X∈�G&����X∈�3/�&����X�J�&����� ����∈G��>�����&�-$��%����� ��&����������

����� %����� �� ��� �%������ ����� ��������� ���� ��� %�����$%��� �$%&� �&��� ��� ���� �

%��-$���,��&�$�����,����� ��&��%������3��� ��&���������

+���������&�������$����

• ����%���&����%������3���������������∈�������%��-$����X�J�&���������

�X�J�3�������X���"��&��������A,���&��&� $�%�������

• +&�-������X���������&�������$������&�����������������$�������

+����� ���&�������$���

• +&�$�������������&�-$��%����� ��&�$���������%��-$����X�J�&���������

$�J�>����X���X����

• +&�$������%%-����&�������$��� ����������� �$�J���$���

Page 25: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

24

����� ��!" ������������� ���

�����#��!" ��������� �$ ��������������� ���

% ���&���

• �����&���������-��%����∈������3������&�$���� �%�������%��-$���

• �����&���� �%������-��%����>����&�$���� �%�������%��-$���

• '���&�$����%��-$������������� ����� �������$�����&������� ������������

��∈G������X�∈�3��$%&��&����

>����X���X��J���$��,&���X�J�&������

• +&���� P�,���&��&� $�%�����&� ��� ��-�%����� ��%��� ���� �� %���������P� ��

&��&� $�%������

� �� ��� ��� �� � � � � �� � � � � � �� ��� �� � � � � � � �� � � � � � � �

��������������$���,��&��������%�����&����&� ��$���&����&�������%����

�%����� �����&�������$������ ��+&���%&������$� $�� ����&��������������

Page 26: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

25

-���������,����� ��&���������������)$���� ����&���� �%�������������&���+&�

�3������������B����P��$--������$%&���������������$���%&����

+���������&�������$����

• ����%���&����%������3���������������∈�������%��-$����X�J�Z���������

�X�J�3�������X���"��Z��������A�����--���� ����G����G3���

• +&��$����X�����&�������$������&����������,&�%&�������������������

�&�$�������

+����� ���&�������$����

• +&�$�������������&�-$��%����� ��&�$���������%��-$����X�J�>����X������

��� ����X�∈�GZ���&������� �Z���' ��X�∉ �GZ���&���D%���&�������$���

• �+&�$������%������&��������� �����X���%��-$�����Z�P�;���X����

�����'������������������ �(��"�� ���� �% ��) ���

% ���&���

• G���� �������� ������$�� �%&��� ,��&� ������ �%����� ��� �--���� ���

�������� ��� �(������&��,&�����������������$���%&���,��&��--���(����

�--��������������� ��������������&��

• +&� $�%�����Z����-$��%������,������Z�P�;�����������%��-$���

• ������������������$���%&��,��&��������%�����%����%��������������

��������������$���%&��,��&��--���(������-���&��&�����&�����������

�&������������&�&��&����$�

Page 27: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

26

� � � �� � � �� �� � � � � �� � � � � �

+&� �3�� ������$�� �%&�� ,��� �&� ����� �������� ������$�� �%&�� ,��&� ������

�%������ �3�� �������� ������$�� �%&�� ��� ��� � � �&� ����� -��%��%��� ���� ��������

�%&��)$�� ��������� +&� ������ �-�%�� �������� �-�%�� ������$�� �-�%� ����

%�-&��(���-�%� ����&����%&����������Q��J� �K��;��N ��P�;L�,&����J�-�)� ����&�

-���$%��� ��,�����������%&���������-�����$�����

+������������������∈G���

• ����$�����%��-$����X�J�Z�������

• �--������&����%���������&�%��-$����X�J���X������������

• +&��$����X�����&�������$��� ��&�$����� ����&����������

+����� ���&�������$���X���������%�����&����������

• ����$������--�������&�-$��%������ ��&�$�����%��-$���

�X�J���X����������

• >�� ���&����X�∈�GZ/�� ������D%���&�������$����

• ���%������&���������J��Z�P�;���X����

� � �� � �� �� ���� � � � �� �� �� � � � � �� � � � � �

���A� ����A� 3&����� ������$�� �%&�� ��� �������� ������$�� �%&�� ,��&� �--���(��

+&����%&���)$���������P�,���&��&� $�%�����&*�K���;LX�M�K���;L��� ������� �(��

-������� ���������"�� � K���;L��������� �&����� ���A� ��������� ���A����&�����������

K���;LX��������&����� �������A��������� �������A����&���'���&���������$���%&���

• 1�%&�$�������%�����-�������������������������%�������������������D��∈�

Q�X��,&��D�J�;���N ��������J�-�)���

• ��%��-$����D��J��D�P�����������

• +&��A�$-����D�������&�-$��%���������&��A�$-�����D�������&��%������� ��&�

$������

+���������&�������$�� ���������������

Page 28: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

27

• ����%�������������$����∈�Q�X�����%��-$���$�J�������������

• ��%��-$����J���D����J��&���[$�/��%&�D�∈K���;L��

• ��%��-$�����J���∏=

k

j

ej

js1

�������

• �I��������$�� ����&�����������������������

+����� ���&�������$�����������������$�����

• %��-$���,�J�����∏=

k

j

ej

jv1

�������

• %��-$����\�J�&���[$���• �%%-����&�������$��� ����������� ��J�\�

������&��3��������$���%&�������$��������$���&��������$�$����J�-�)��

'���&����%������������������$�����%����,�$����������������&�-�����-�����)�

�����&��%�������-$��%����� ����%&�$����

� �� � � � ��� �� ��� ��� �� � � � � �� � � � � �

'�� �$�$��� ;::;�� �&� �3�� B�������� '�����$�� � � 3�������� ���� +%&������� � �B'3+��

-��-��������������������$���������&����3����+&��3��&���%������ �3��������

'� ������������%������3����������'�3�;=<��%������&���������3�����$��3��������

��33����33�����&� �������������������$���%&���%����C�������������������3��

�������������� �1�7�����������$���%&���+����� $��&��� �����,��&�������%$����&�

1�7����� ������$�� �%&�1�7����� ������$�� �%&�1�7����� ������$�� �%&�1�7����� ������$�� �%&�� ���� �&�� �3��3��3��3�� ���� 3%&����� ������$�� �%&�3%&����� ������$�� �%&�3%&����� ������$�� �%&�3%&����� ������$�� �%&�� ��� ����

������������

+&�1�7�����������$���%&�������������$���%&��,��&��--���(��'���)$����

��&��&� $�%������&*�K���;LX�M�Q-��,&��-����������-�����'���&���������$���%&����

�%&�$�������%����

• ��������-�������$��$��-��

• ���$����������&���������� �Q-X����

• ��%��������� ����A,���&��&� $�%�����&/�

Page 29: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

28

• ��������������� Ax ��;≤� Ax �≤�-P��������%��-$��� Ay �J� Αxg ������-���

"�� Ax �����&�-������������� Ay �����&�-$��%����� ��&�$������

+�������������������������� ��������������&���&�$�������

• ��%�������������%������������;≤���≤�-P����,��&�����-P�;��J�;�����

• %��-$�����J����������-�������P�;�����-P�;�����

• %��-$�����J���P�;K&�����P Ax ��L�����-P�;�����

• �I��������$�� ����&������������������������

+����� ���&�������$������������������$������

• ��� ����&���;≤���≤�-P;/�� ��������&���D%����&�������$���

• %��-$����;��J�� Ay ������������-��

• %��-$���&������������J���&���������-��

• �%%-����&�������$��� ����������� ��;�J������

� � � �� �� ��� ��� �� � � � � �� �� � � ��� � � � � � !�

�����&����������&���,�����&� ����,����-���������

;� -�J���-�������$�$���5�����������,&��8;��≤�5�≤�;��0�����5�����$���-��� �

<0��

�� )�J���;<������-������������� ��-�−;��

�� ��J�]�-A;��R)�����-��,&��]�∈�Q-X������������������ ������)����Q-X��

0� Ax ����������,��&���S� Ax �S�)��

8� Ay �J� Αxg ������-��

<� &��������,���&��&� $�%������

Page 30: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

29

+&�������-���������-��)��&����������-$��%��+&�$��I��-$��%���������&�

-������������ Ay ����� Ax ���-%�������+��%�������������$�� �����������������

� ��������������&���&�$������

• ��%�������������������%��-$����A;�����)��

• %��-$������J������������-������)��

• �%��-$������J����P�;K�&�����U� Ax ��L�����)��

+&�-���������������&�������$��� ��&�$����� ����&�������������,����$�� ���

�$����������� ����%&��,�������$����

+����� ���&�������$����&��%�-������

• ��� ����&���;≤���≤�-P;/�����;≤���≤�-P;/�� �������&���D%����&�������$���

• computes w = s – 1 mod p and h (m).

• computes u1 = w. h (m) mod q and u2 = r w mod q.

• computes v = 1ug 2uAy mod q.�

• �%%-����&�������$��� ����������� ���J����

• +&��%$������ ��&��3�����������,��������%��$�����������%����

• ������&��-�������.������&��������&��-��������Q-X/��&���&������&�

�������&��-���������&�%�%��%��$���$-�� ������)��

� � � �� � � � � �� �� � � � � �� � � � � �

+&� 3%&����� ������$�� �%&�� ��� �� ,��A���,�� �������� � � �&� 1�7����� ������$��

�%&���+&���������$��������)$������&��&� $�%�����&*�K���;L�M�Q)��'���&����%&���

�������������������������� ���������&���&�$������

• %&����������������%�������� Ak ∈�Q)���

• %��-$���� Ar ��J����&��� Ak �����-�������������� AS ���J�� Ak �− Ax � Ar �����-��

+&�-����� Ar � AS ������&�������$��� ��&�$����� ����&����������+����� ���&�

������$����&��%�-������%&%����&�)$�������

Page 31: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

30

Ar ��J��&���� AS ����� Ar �����-������������

The ElGamal Scheme with Message Recovery

+&�1�7�����������$���%&������ ������������������������������$���%&��,��&�

�--���(��'��%���������B���B���B���B���AAAA��$--��������$���$--��������$���$--��������$���$--��������$���������������� �1�7�����������$��

�%&���,&�%&�&����&� ��$���&����&�������%�����%����� �����&�������$��

���� ����

" � # � � � ��� � � � � ��� �� ��� ��� �� � � � � �� � � � � �

+&� ��� ��������� ��� �&� B���A� �$--�� ������$�� ��� �&� ���� ��� �3�� ���

��������������&����������-�%����G3��J��Q-X��-����-���������&�������$���-�%����

3�J�Q-Y�Q)��)�������-��������)����������-�P�;����

+������������������������$������

• %��-$����X��J��Z������

• ��%�������������%�����������∈�Q)X������%��-$������J���P�������-��

• %��-$������J����X�������-��������J���(��U��������)��

+&�-��������������&�������$��� ��&�$����� ����&��������

+����� ���&�������$�������$�����

• ��� ���&����∈�Q-X�������∈�Q)X���/�� ��������D%���&�������$���

• %��-$�����J��������P������-������X�J��������-��

• ��� ���&����X�∈�GZ�/�' ��X�∉ �GZ���&���D%���&�������$���

• ��%������&��������� �����X���%��-$�����Z�P�;���X����

Digital Signature with Additional Functionality +&����������������������������������$���%&����,&�%&�-������ $�%����������� �

�� ���$������ ����� �$�&���%������ ���� ��&�� -��-������ '�� �&�� �������� ������$��

�%&���������%���������������$���%&��������+&��3���+&�1�7���������%������

Page 32: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

31

,��&� �� �-%� �%� -����%��� ��� �%&��� �&� ����������� ��$���,&�%&� �&� ���%���&���

��������-������

�%%������� ��� �&� ����������� ��$���� -����%$���� ��-�� � � �&� ����C������ � � �&�

��������������$��,������3���,��A���,����������������$���%&���,��&������������

$�%���������������%������,*�

Multi-Signature Scheme

'�������%����%�����--��%���������&�������$��� ������&������-���������)$����

��� �� ��%$����� @&�� ���� �&��� ��� ��� ��� �)$���� ��� ������$��� ,� %���� �&���

������$�� ��� �$���A������$�� E0��0;�0��00�0=�=��=;F�� +&�� ������$��� ��� $� $��

,&�� �� %��-���� ���$�� %&)$��� ,&�%&� ��� ��� � �$�&���C�� �� ���� �&��� ���

-������+&��������$�����������$� $�����%���� �%�����%����,&�%&��������������

���&���$������-����������

Group Signature Scheme

#������������$-�� �-�-������,&�%&���������� ��&����$-�����$�&���C����������

�&� ��%$����� ��� &�� � � � �&� ���$-�� +&��� ��-� � � ������$�� ��� %����� ��� ���$-�

������$�� E;8�;=F��7��$-� ������$�� ����,�� ���� ����� ��� ����� ������ ��� �$%&� ��

,����&���

• .���������� ��&����$-�%���������&���������

• +&��%����� ��&�������$��%������ ���&��������������������$-�������$���

• �+&��%����� ��&�������$��%����������� ��,&�%&������ ��&����$-����

�&��������

• '��%���� ����-$��������������&���&����$-����������&���������$����

�$�&������%�������� ���&��������

Threshold Signature Scheme

�$������&�������� �����������������$���%&�������������$����B���&������&��

��� ���$������� ,&�� �� ���$-� ����� �%������ ���� �&� ������ ��� ��� &�� � � � ���

������C��������� %������(��-��� � �&��� -���%�� ��� �� ����� ���� ������%������,&�%&�

�)$����������$��� ���������&������-������3$%&���-���%��%�$������-������

Page 33: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

32

��&������ �� �-����� �������� ������$�� ��� ���� �)$���� ������� $�� �&��� ���$�����

��%������&� ����� ������ �� �&������� ��������,��&��&���������������������

��&���������&��&����������$���%&��E����;��������;�0?�8��:�F��,&�%&�����������

�&� �&��&���� %��-���������&��&���� %��-���������&��&���� %��-���������&��&���� %��-���������� '�� �� �&��&���� �%&��� �� �%��� ��� �&���� ������ ��

���$-�� �-�-������$%&����������&�����%�������$���� ��&��%���,��������&��

����%�����&��%����+&���������$������ ����-�������-���%����������������&�����

���$-� ����� ���� �%%������� ���%���$�� � � �%���� +�� ��� $��&�� ����� ,� �&����

���%$������&��&�����%&���$����3&�������

����������&��&�����%&��������%&�����������$�����%������H��������$�������

�$%&���,����&���������$����%���%��-��������%�����$%��H�$����%���$������ ���P�;����

����$������������&������$���&��%���� �3&����I���%&������������5�������

����-������������� �����+����-�����������-���������� �� �������P�;�������������

%&�������Q)��$%&��&��� �����J�H��1�%&�$���������������-$��%��������� iu �������%���

�&��� �� iu ���B�,��������$��� ����&��&������%����%�����$%���&��%���H�J�� ��������

-��������&����&��������$�����

"��,����$�� ������-��%���� �&��� �&��$�&���C���$���� � ��$����%��������� �

�&��&�������� �����J;����N ���

'����������&��&����������$���%&��������$���$-�� �����������&��&������� �

�&�������������$-�%��������������������$-�������$�� ����$%&���,����&��� �&�

��� ���%���%&%���&����������� ��&�������$��,��&�$������� ������&����������� �

�&� �������� � ���$������� �&��&���� �%&��� �$ �� ���� �� ���,�%��� '�� ���� ���

�&��&���� �%&���� ,&�� ���� �� ��� ���� �&��&������ �%�� ��� %���$������ �&�� %���

��-�������������&������ ��&��&��������� �����&�������$����'���&���%�����&�

����%��$������ ����������������&���������-���������� ����&�������$�������������

��-������������%��&����������

'����������&����������)$��������&�����������&��&����������$����&�$���

����� �*�

�������J��� quu

uuf

ji

jt

ijj

t

ii mod)(

,11 −−

∏�≠==

Page 34: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

33

;��+&����$-��%������WH�W�%����������������W�W��� ����2�%����&���6���;�������

��N ������$%&��&����

�� +&� ���$-� ������$��� %��� � ������ -���$%�� ,��&� ���,���� � � ���� W�I�

�%����&���������� �̂��

� @��&����,����� ����� ���P�;����� ,���%��� �&����� ��� ��� ��-������ ���

�����������$-�������$���

%� +&����$-��%�����������%����&���%������������� �����&�������

���$-�������$����������-�������������$����

�� '����������&����&���C�� ��&����$-�������$�����)$�����������&���C�� ����

�������$���������$���

�� �����$������ %������ �� �&����$-�������$��������� �%������-��%����&�$���

�������-�����-�������

0� +&������������$-��&���� �&� ��-���������� ����������������+&��� ���� �%&�

$�������&������$-�%����������&������������&��������

8� +&�-�������������$���������$-�������$��%������� ������������$���� �

����%��$���&��&�������

Undeniable Signature Scheme

�������� ������$��� $����� &���,������ ������$�� ���� ������� -�������� ��� ������

%�-��� (�%����� +&��� -��-���� %��� � ���������$�� ��� ���� $���� �$%&� ���

������������� � � �&� ����$�%����� ���� -$��%� ����� ,&�� �&� ���� %�-���

������$��� ����� B���&����� ��� ��� $��$����� ��� ����� ��&�� �--��%��������

#��������%�����%��-��%����� ��������&�,��������������%�����������&���������

����(�����-������������%����%���������������'���$%&�%������&�-���� �������� �

%��� ���%�-���%�$��� �%���������-��-��$���������%������������$��������-�������

+&��%�-����� ��$%&���%����������&�$������������$���&����&����$��%������

����� ������,� ���� $�� �&� �%�-���� �&�$��� ����� � $���� ��� �&�,� �&��� �&�

%���������������������,��&�$���&����$�I��%�������

�����&��������$�������$�������������$���E?�;��;0�;<�0��=�F�������,����$�����

��� $������� ������$��� ���� �� �������� ������$��� ��� �� �$��� ���$�� �� �� ������

Page 35: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

34

�&��� �-���� ��� �&� ������ ���$��� ����� �� �������� ������$��� ��� $�������

������$��%������������ ���,��&��&�&�-�� ��&�������������

Blind Signature Scheme

���&�� �&��� ���%� �������� ������$�� �%&��� ����� ������$�� �%&���

E;��;���?�8:�;;�F�����,��P�-�����-����%�����,���&�������������&����������

+&����%� ���� ��� �&��� �&���������������-�%�� � �� ��������������������� ���

��������,&�%&��� ������ ���� ��$���� ������ � ���� �&��� ������$����� %��� %��-$���I��

������$�������-��������������� �&���%&��%����� �&�%��-������� ��&�-����%������

���,�����&���&��������������&�������$������%�����,��&� ����+&�-$�-���� �

�����������$��������-������&��������� �������������&��������������������

�&� ������$�/� &�%�� ��� ��� ����� $���� ��� ����%���� �&� ������ ������ ,��&� �&�

��������

������ ������$�� �%&��� &��� �--��%�������,&�� �&� ����� �� ��&� %$�������

���� ���� ,���� �&� ������ �� ��&� ����� ��� � %�-��� � � ����%������� �� -�������� ��

��������������������$��3������������-%� �%�������%�� ��&�-����%����+&��������

��-������� ��� �%�����%� %��&� �--��%������� ,&�� �� ������ �� ���&�� �-����� ��

�������� ���$� �&��� �� %��� �-���� @&�� �� ���� 3�� ���� ��� -������ ��� �� ���

-������������$���������$%�,&�%&�-�����,��������������������&����������$��

+&�������,��������������������$������&����-������-�������%�����������������

�������������$���%&��-����%����)$�����&� ����,����%��-�����*�

• ����������������$���%&�� ����&����������

• �$�%������_����� �̀����,�������������������$%&��&����

�̀�3���_�������J�3�������

�$�%�����_� ��� %����� �� �������� $�%������ �̀ ��� $��������� $�%����� ����_� ���� ��

������������

Proxy Signature Scheme

��������� � � ���&��� ��� �� %������ -��%��%� ��� �&� ���� ,������ ' � �� ������� � � ��

%��-�����������&��������&�&���������������&����-$����&�%�-������������������

&�� �� � �&� %��-����� '�� �&� -�-�� ����,����� �� %��-����� ���� ��� $��� ��� �&���

Page 36: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

35

-$�-���� �� %��-����� ���� �-������ �&� ������C������� ���� �&� -����� ,&�� &���

�$�&���������$���&������

'�� �&� �%�����%� ,����� ��� �%������� �&��� �)$������� -��(�� ������$�� �%&��

E0=�<��<:�;���;�8�;�:�;;;�;;�F� &��� �� ������� ��� ������ �������� %�-�������

�%���������� �����-���������������� ������$�� �%&�������������%��� ������$��

����,&�%&�������&�%��� ���-��������,���' ��&����%�����������������������&��

-����� ���%����� ��� %��� ��� ������ � ����� ��� ,��&� �&��� -����� ����� &�%� �&�

���$�-����� � � �&� �������� ������$�� ��� ������ @� �&� ��� ��� ��� ������ �&�

��������%�-�������,��&�$�����������&��%�������$%&��&����&��%�-����%������ ��

�&�������$��� ��&����������������,��&��&�&�-�� �-��(�����������-�����,&��%���

%�����&�������$�����&�� �� ������������������

Directed Signature Scheme

'����������$�����������������������������������&�������$���%�����3�����$���

��� ���%��� �%������ ��(� �� ��������� ���� ����� -������R$������ ������%������ ���

�$%&����$��������#�������,&����$�����,����������������������$�������������

��� �������� ��� �� ���� �&� ������ ��� ����� � � %��%��� ��� ��&�� $����� ���� �&���

���$��������&� ����� ��&�������$���&�$�����$%&��&����������%������%������� ���&�

������$�� ���� �&��� �� %��� -���� ���� ��������� ��� ���� �&���� -����� #�� ,&����

�%������� 3$%&� ������$��� ��� %����� ���%��� ������$�����%��� ������$�����%��� ������$�����%��� ������$��� E8<�8?�<?F�� '�� ���%���

������$�� �%&��� �&� ������$�� �%���� �� &��� $��� %������� ���� �&� ������$��

��� �%������ -��%���� B����� %��� %&%�� �&� ��������� � � ������$�� ,��&�$�� &���

%��-���������

Abstract of the Thesis '�� �&��� �&����� ,� -��-��� ���� ���%��� ������$�� �%&����,� -��-��� ���� ���%��� ������$�� �%&����,� -��-��� ���� ���%��� ������$�� �%&����,� -��-��� ���� ���%��� ������$�� �%&���� '�� ����������,� &���

���%$�����&����--��%������� ����� �������$�������� '���&����&�����,�,�$��� �������

���%$��� �&� �%$����� ��-%��� �$����� �&� ������ -��%��� � � �&� -��-���� ���%���

��������������$���%&�������+&��%$������ ��&��������������������$���%&���,�����

$�����-��%��%� �����������&��,���� �%$���-���������C/��&�-������ � �%�������

��������+&��3���%&��������&�-������ � ����������%����������&������� �����

������+&�1�7������%&�����

Page 37: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

36

+&� -��-���� ,����� ��� �&��� �&���� ��� ������� ����� ���� %&�-����� +&� �(��

���%$������-��������&������%��� ��%&�%&�-�����

Chapter 1

'�� �&��� %&�-���� ,� -��-��� �� ���%��� ������$�� �%&��� ���%��� ������$�� �%&��� ���%��� ������$�� �%&��� ���%��� ������$�� �%&�� ���� ���%$��� ���� � � ����

�--��%�������� +�� ������ �&� ������$��� �&� ������ $��� �&� -$��%� ��� � � �&�

������$���%��������$%&���,����&�������&������ �������$����� �%��������&��%���

���� ��&�������$���%��������)$������������$����������&�������$���%����%���

%&%���&����������� �������$���+&�������$���%�������������-�����&����������� �

�&�������$����������&����,&�����%��������

B(��� ��� �--��%������ ��� �&��&���� ��� �%������ ��� ���%$���� ���� -��-���� ��������

���%��� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&���� ��� �%��������%��� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&���� ��� �%��������%��� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&���� ��� �%��������%��� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&���� ��� �%������� +&��� �%&�� ��� �--��%���

,&���������������������� ������������C���������������%�����������������$��

����&�������������&�������C�������� ����$%&���,����&��������$���"��� ������

���� $����� � �� ��������� ���$-�7�� � � �� $���� %��� ������� �&� ���������� � �&�

������$�� $�� ���� �� P;� ��� ���� $���� %������ ��� �� �&� ������$��� '�� �&��� �%&���

�&�� ��� ��� �&��� ������$����� %���� �3�#3�#3�#3�#��� +&� �%$����� -�������� ���� �%���

�&����������� �(������ �&� ������ %��� %&���� �&� �&��&�������$��+&� ������ ���

������%����&���������-���%����

B(��������������&��&����%��-��������������%$�����+&��&����%��-���������

���$� $��,&���&��%�����������������&�� �� ����������C��������+&�������C������

&��� �� ������ -$��%� ���� +&� �%��� ��� ��� ������$��� ������ �&� $���� � �

������C����������$%&���,����&����������������$�����)$�������������&��������

$�� ,&�� ���� �� P� ;� ��� ���� $���� ,����� ����&��� �&�� %������ �%��� ����

�� �����������$���&��������

Chapter 2

#������������$������,&���&����������������������&�������$���%����W#I�����

������������������I�I�,��������������&�����������-�,�����&���-��(��������W�I���+&�

-��(��������%������&�������$�����&�� �� ��&������������������������$����������

%������� �� ���$������� ,&��� �&�� ��� �� B7.I�� &��-������ ,&�%&� �%�������� �'�3�

%&%�$-�� +&� &��-����� ��� &���� �� �� #G.� ��� ,&�� &��� ����� ��-����������� ���

Page 38: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

37

-� �����"��������������$����%�����$���������$�%��� �%������&���&�� ������

-������#���������,����������%�����&���$���� �&��R&��%&%�A$-�����&R�&�,�������

%��� �%����&���������%�������,��&�$��&���&�-�� � ���$�������� �#����"'>�-�������

�&�� �&�� ��� ��� � � %$������ ���� �������� �&�� ��� ����&�� ��-������� &��-�����

&��������B7.�%&� �4��@&��������-��� �G��%���������������������$�%��

����������� ����'�3�-�������#���������������&���#�&������-�����&����������� �

��%��� �%��������������-�����������&������$�����������&���%&�-����,�%������&�

���� � � -��(�� ������$�� �%&�� ,��&� ���%��� ������$�� �%&�� ���� -��-��� ��

���%����������������$���%&���

'���&���������$���%&���&���������� ������������������,��-&�����+&� �����

-&��� ��� � A����� +&��� -&��� ��� ������� �� -��(�� ������$�� �%&��� ���� %��� �

-� �������� ����&�����������������������,���'���&���-&�����&����������

�������������&�����������-�,�����&���-��(��������� '�� �&����%&��� �&���������

���� ���� ������ &��� �%��� ��� ���%���� ��� &��� -��(�� ������ ��� "� ������� &���

�����������&����%����������&���-��(���������&��$�&���-��(��������$������@��&�$��

���,���� �&� �%��� ��� � � �&� ��������� ������� �&� -��(�� ������ %��� ������ �&�

������$�����&�� �� ������������������

+&� �%���� -&��� ��� ��A����� '�� ������� � ��� �&� ������ %��� ���,�� ����

$����C�� �&� -�%��-$������� � � �&� ����� -&���� '�� �&��� -&���� �&� -��(�� ������

��������&����%���������$�����&�� �� ������������������

+����� ���&�������$����&��%������� ��&�������$���%��������)$����������

��$���� ��� ��� ��&�� �&��� �&� ������$�� �%���� %��� %&%�� �&� ��������� � � �&�

������$���'��%���� ��&����-�������� �%��������&�������$���%�������������-����

�&����������� ��&�������$���&��$�&�C������,����-����%�����

Chapter 3

������� ,� &��� ���%$���� �&� ���� � � �&��&���� ������$�� �%&��� '�� �����

���$�������� ������������ ��� �������� ��� �&� ������$�� �%���� ���� �&� ������ ���

�������� �� ������ -������ "�,���� ,&�� �&� ������ ��� ��� &�� � � � ���

������C��������������������������)$����&��--���������%������� �������-�-���

���� �&��� ���$������� ,� -��-��� �� ���%��� �&��&���� ������$�� �%&�����%��� �&��&���� ������$�� �%&�����%��� �&��&���� ������$�� �%&�����%��� �&��&���� ������$�� �%&��� '�� �&���

������$���%&������7�������$-�� ������������$������$��� �,&�%&��������������

Page 39: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

38

�����%����������&�������$��������������� �����$������+&�$�����%���

��� ���&�������$�������&�����%���-�������������������������&����-�����#��,&����

�%�������B�����%���%&%���&����������� ��&�������$��,��&�$���&�&�-�� ����

���� �$�� %�����$%������ ,� ���$�� �&� (����%� � � �� ��$���� �&��� ������$�����

%�����3�#��,&�%&����������&����$-��%����-�������������&��%����&����

���� �� ∈� 7�� 5�� "� � ���� �$��� � � 7�� %���������� �� ������ @� ����� ���$�� �&�

(����%� � � �� ��������� %������ �#� ,&�� %���%��� -������� ������$��� ���� �%&�

$��� ��� �&� �$���$-�"��1���� �&��&����� ��� �&� ���$-�&��� )$����$�&������,��&�

����������&����$-��%����+&����������� ��&����%���������$���)$�������$��� �

�� �&��&������ ���� �����%����� ,��&� �#�� @� �&�$��� ���� �&��� �&�� ��� ��� �%���

�� �������������%�����,��&��&��#���

Chapter 4

'����������$���������&������������&���� ����������������������-������"�,����

,&�� �&� ������ ��� ���� �� ��� ������C������ ��� ����&�� ������C������� �� ������

������ ���� �)$��� �&� �--������ ��� %������ � � ������ -�-��� '�� �&��� %���� �&�

������$�� ��������� ���� ��� �%������ ��� ���� ������ �&������ %��������� ���&��

�&�������������-������+&��� %&�-���-��-������ �&��&����������$���%&��&��&����������$���%&��&��&����������$���%&��&��&����������$���%&��,��&�,��&�,��&�,��&�

�&��&������� �%�������&��&������� �%�������&��&������� �%�������&��&������� �%��������

#������� �&� ������ ��� ����������� �� ��� ������C������ 3� ��� ����&��

������C�����������������)$����&��--������� ����$���"3�� ���������������� ����

��������������$-�73�� ���$��������������&�������C������3��.���&���&��&�����

�&������������$-�,����� ��������� �&�������$��������������� ����$%&���,���

�&��� �&� ������$�� %��� � ��� ��� �� ���� �$��� "�� � � �� ��� ���� $���� ���� ��

��������� ���$-� 7�� � � �� $���� ������ ��� �&� ������C������ ��� �&�� �&��&����

��� �%�������%&��������$��-$�-�����

'�� �&��� %&�-����,� $��&�����$�� �&�����&� �&�������C������������3�&�����

%������ ��$���� %���� �#+#�� ��� ���������� �&� ���$-� �%��� -�������� � � �&�

�,�����$-�������&��%����&��������������'������%����� ����-$���,���&�

���$-� 3� ���� ��� �&� #+#� �-�� �&� �%����� � � ������$��� ���� -����� �&� ���� � � ��

��$����D$����3��%��&�#+#�%���%&%����&����������� ��&�������$�����,&������

Page 40: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

39

�&����-����������&�������$����� �%��������&�#+#�%�����%��&��&����-�������$��

�&� �%����

Chapter 5

'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&����,&������ ��������� �&��&������ �%�� ��� %���$������ �&�� %���

��-�������������&������ ��&��&��������� �����&�������$����'���&���%�����&�

����%��$������ ����������������&���������-���������� ����&�������$�������������

��-������ ��� ���%� �&� �������� � ���$������� ,��&� �&� ���� ��� �&��&���� �%&���

-��-������� �����&���-�����%��������������

'���$���������$���%&����'���$���������$���%&����'���$���������$���%&����'���$���������$���%&�����&��������� ����$���������$���������� �������&�

�������������&����������� ��&��$���������$��&���������� ���,��&��&�&�-�� �

��������� � � �&� �������� ���� �$���������$���� ��� ��� ����� $��%������ ��� -$�� ��

�&��&���� ���$� ��� �����%�� �&��$���� � ��������#������� �&� ���$�������,&�� ��

���$-� � � �������$�� ����� ,�$��� &��� ��� ������ �� �$���������$��� +&�

������ � �&��� ���$-�$�� -�$���������� �&��� ��������� ��� �&� -$��%� ���%������

@&���%��%�����&���� ������������&������������������������� ������������

���� �&�� �����%��� �����&������$-��"�,���� �&���� ���&������,��� ������ ��

,&�&����$��� ��� ��� �%��������� � �&������$-�%�$��� � �&������������ � �&�

����&�-�� '�� �&��� %���� �&��$���������$���%&��� %������ ����� �&���-�������

&�,�����&��&��&����������$���%&�������

'���&���%&�-����,�%������&������ ����%���������$���%&�������&��&����

������$�� ,��&� �$���� ������$�� �%&��� ���� -��-��� �� �������� ������$�� �%&��

�����������%������%������%������%���AAAA��&��&�����$������&��&�����$������&��&�����$������&��&�����$����AAAA�������$���%&��������$���%&��������$���%&��������$���%&���'���&����%&���

• +&�� ��� �� ��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#� �&��� ������� �&� ���$-� �%��� ����� ����

�&��&����I���%����&����

• +&����������������%�������#���������%�������#���������%�������#���������%�������#�,&��������&���-�������������%���%������

��� �� �%&� -������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-� ������$������ $�� ���$�� ���$�� ���$�� ���

�%����� �������������%�����,��&��&��#�%����� �������������%�����,��&��&��#�%����� �������������%�����,��&��&��#�%����� �������������%�����,��&��&��#�

• ��������%��$������ � ������� %������ ��-�������������&������ � ����������

�����&�������$����'��%���� � �������������-������������%��&������������

Page 41: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

40

• ��������������&��&�������%�����%���$�����%������%���-�������%�����$%���&�

-���������� 3��(����-����������&����,���%����&��������&�%��&��%������

�%�����&����$-��%�������

Chapter 6

G���� �&��&���� ������$�� �%&��� �)$��� �� ��������$���� 3�#$���� 3�#$���� 3�#$���� 3�#���� ��� ������ �&� ���$-�

�%��� ���� ���� �%��� �&���� � � ���$-� ������ ,&�%&� &��� �� ������ -����� � �

�$�����������+&�(����%�� ��$%&���%���� ��������������������$�-����/��&��

����,��-��������-��������

• ������� ���������--��%���������&�����������-�����������%��,&�%&�%����

%��-�������$���������������� ��&����$-��

• �3%����� �&�$��� ������%���� %������� ������-����� ���$��������%$�����

��-������&����%����%���������&�-�����������

+���������&��-����������;::���"����������$%�����%&��������������� ���

1�7�����������$���%&���,&�%&����������)$�������$����3�#,&�%&����������)$�������$����3�#,&�%&����������)$�������$����3�#,&�%&����������)$�������$����3�#��'���&����%&���

�%&�����,����������3�#�������������������$����&��%����&���� ����%&�

$���� '�� �&��� %&�-����,� -��-��� �� ���%������%������%������%��� AAAA� �&�� �&�� �&�� �&��&�����$�����&�����$�����&�����$�����&�����$���� AAAA� ������$�� �%&��� ������$�� �%&��� ������$�� �%&��� ������$�� �%&��

,��&�$�� 3�#��,��&�$�� 3�#��,��&�$�� 3�#��,��&�$�� 3�#�� '�� �&��� �%&��� �%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#� ��� ������ &���

�%����������������$���&�%����-��������%����&���������&���&��&�����������

�&��&��&������������������%� ����&�-$��%�-���������@����$���&����&��

��������������%���������������%���������������%���������������%�������#�#�#�#�,&��������&���-�������������%���%��������� ���%&�

-������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-� ������$��� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���

-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&��#�#�#�#��'���&����%&���

• 1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#� ��� ������ &��� �%��� ��� ����

������$���&�%����-��������%����&���������&���&��&�������

• �+&�� ��� �� ��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ���

%���%�� ���� ��� �� �%&� -������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-�

������$���$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��#��#��#��#��

• ��������%��$������ ��������%��������-�������������&������ ��������

��� ���� �&� ������$���� '�� %��� � � ������� ��� ��� -������ ��� ���%� �&�

������������

Page 42: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

41

Chapter 7

@&���&����������������������&�������$���%���������)$�����&��--������� �

���� �-%� ��� �$���� � � �������� '�� �&��� ����� ,� %����� �&� ���� � � ���%���

������$�� �%&�� ,��&� �&��&���� �$���A������$�� �%&�� ���� -��-��� �� �&��&����

�������� ������$�� �%&�� $���� �&� ����� 7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%��� AAAA� +&��&����G$����� +&��&����G$����� +&��&����G$����� +&��&����G$���� AAAA����

3�����$�� 3%&��3�����$�� 3%&��3�����$�� 3%&��3�����$�� 3%&��� +&� ��$��� ��� �&��� ������C�� ���%��A� �&��&���� �$���� A�

������$�� �%&�� ��� �������� ��� �&��� � � �&� ��� ���� � ���%��� �&��&���A� �$���� P�

������$���%&�����-�������$������&������%&�-���(%-���&����&����$-�������$��

%��� generated only by some specified subsets of members according to the signature

policy.

' � �&� ������ �� ��������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%���� ��������� ��� ����������� �� ���

������C������3������-������������&��������)$�����&��--������� ������-%� �%�

�$����� � ������� ������ �&� ���� � �������� �&�� �&� ��-����������� � �������� �&�

����������� �����&�����������-%� ����$����� � �&���������%%������� ���

�&���������-���%��������&������$�������,�-��-�����7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%���AAAA��&��&������&��&������&��&������&��&����

�$�����$�����$�����$����AAAA�������$���%&���������$���%&���������$���%&���������$���%&������

�5��73�����&����� ����������������������&�������C������3�����"3�������&�

�-%� ��� �$��� � � �� �������� +&� ������ ���$-� ������$�� %��� � ������� �� �&�

%��-�������� ��&�����������������"3��@������� ����&������73������&����� �����

�-%� ����$������

�����$��%�����$%������,����$���&����&���������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%����

����3�#3�#3�#3�#���&�����&�����&�����&������������&����$-��%�������������&��&����I���%����&�����������

��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ��� %���%�� ���� ��� �� �%&�

-�������������$�������&��-���$%������$-�������$���'���&����%&����

• +&����������3�#3�#3�#3�#�������������$-��%����������%����-��������%����&����

� ��&��&��������

• +&����������������%���������������%���������������%���������������%�������#�#�#�#�,&��������&���-�������������%���%������

��� �� �%&� -������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-� ������$��� $�� ���� $�� ���� $�� ���� $�� ���

�%����� ����������������%�����,��&��&��%����� ����������������%�����,��&��&��%����� ����������������%�����,��&��&��%����� ����������������%�����,��&��&��#��#��#��#��

Page 43: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

42

• ���������%��$������ ��������%��������-�������������&������ �����������

�����&�������$����'��%���� � �������������-������������%��&�������������

• ��������������&��&�������%��������%���$�����%������%���-�������%�����$%��

�&����$-��%��������-����������&����%����&�����

The thesis ends with a list of references (papers, books and websites) that have been

consulted from time to time while completing the work.

Page 44: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

43

Chapter 1

A Directed Signature Scheme

����

Page 45: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

44

A Directed Signature Scheme

1.1. Introduction ������� ,� &��� ���%$���� ��$�� �&� �%������ � � �&� ���%��� ������$�� �%&���

���%���������$���%&���$�����&����$������,&���&����������������������&�

������$�� �%����� '�� �&��� %&�-���� ,� -��-��� �� ���%��� ������$�� �%&���� ���%��� ������$�� �%&���� ���%��� ������$�� �%&���� ���%��� ������$�� �%&�� ����

���%$��� ���� � � ���� �--��%�������� '�� �&��� �%&��� ���� �&���� -����� %��� %&%�� �&�

������$����������������,��&��&�&�-�� �������$���%���������

1.2. A Directed Signature Scheme 3$--����&���$�����,����������������������$������&�������������&��������

�%������%������%������ ���&�������$��������%���-�����&����������� �������$��

��������&����-�����#��,&�����%�������+&���������������� �%������-��%�������

��� ����,���

1.2.1. Signature Generation by A

�������-�%����������1aK ����

2aK �∈��Q)�����%��-$����

���������������@������J������� 2aK− �����-�����>�����J������ 1aK ������ 2aK ����-��

"�����������&�-$��%����� ��&�������$���%�������

���� ���������A�,���&��&� $�%�����&����%��-$������%������$��������J��&���� 1aK ������

��%�����%��-$���� AS ��J��1aK U� Ax � Ar ������)���"� Ax �����&�-���������� ��&��������

K AS ��@����>�����L�����&��������$��� �������&����������

1.2.2. Signature Verification by B

����� �����&���-��������� Bx ����%��-$������J��>���@���� Bx �����-���������%������

Ar ��J������&���������

Page 46: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

45

������%&%����&�%����$�%�� �� AS � ≡?

������� Ar �����-� �����������������$���' �&����

�&��K AS ��@����>�����L������������������$���

1.2.3. Proof of Validity by B to C

�������-�%���������� K ∈�Q)�����%��-$����@#��J��� K− �����-��>#�J��������#� K ������-��

������������#��

����#�$����@#���>#������-��%���@����>�������%&%����&����������� �������$����$�����

&��� �%��� ���� +&� ������$�� ��� �%������ -��%��� ,���� ������ ���� ��� ��� �$A

�%�����;������

1.3. Security Discussions '���&����$A�%������,��&�������%$����&��%$������ �-��-�������%���3�����$�����%���3�����$�����%���3�����$�����%���3�����$��

3%&���3%&���3%&���3%&�������

��������������������#������ ������ �&� �%��� �� Ax � �� ������1aK ���� �%��� ���$� Ar � ���� �&�

)$������� AS J�1aK U� Ax � Ar �����)�O�

"���&��$����� �$����,��-������������&���+&��$���� �)$���������

�������������%��-$������������� ����� ����� ��������%���%���&��%������ Ax � ��

������1aK �����%������$� Ar � �����&���)$��������

�������������#��������-��������&�������O�

�� ������������������-��������&��������������������%������,���������

1K � 2K �∈�Q)�����%��%$����

@���J���� 2K− �����-��>����J���� 1K ���� 2K ������-�������������J���&���� 1K ������

�$��,��&�$�����,���� �&� �%����� Ax �� ��� ��� �� �%$��� ����������������� AS � ���

����� ���&���� �%������)$��������� AS ���� ≡?

�����E������ Ar ��F���������-��

�%����%����%����%���#������ ������������$��K AS ��@����>�������L�����&�)$�������

� AS �≡?

����E������ Ar ��F�����-O�

Page 47: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

46

�� ��������������������%������������������&��%��-$����&�&��&����$� Ar �

�$%&� �&��� Ar J� &� ��� �� ��� ���� )�� .���$����� ��� %��-$�� �&� ������ AS � ���

)$�������������������&����%����������&��-������+&$���&������%���,��������

��$%%�� $���

Illustration�

+�����$�������&��%&�����������-��J�������)��J��;;��������J����+&��%�������-$��%�

���� �$���������� ����,��

���� ����������������������������������3%������������������������������-$��%��� ����������������������������������3%������������������������������-$��%��� ����������������������������������3%������������������������������-$��%��� ����������������������������������3%������������������������������-$��%�������

����������������������� ������� �����0� ��������������������������������������;��

����������������������������� � �����?�����������������������������������������������

������#����������������������� �����������������<� ��������������������������������������;<�

+���������&�������$������-�%����������1aK �J��:������

2aK �J��8�����%��-$���

@���J�;<�>����J��;�� ����������,���&��&� $�%�����&����%��-$��������J�;��� AS J�8�

�����K8��;<��;���L���������&��R&��������$������&����������

��%��-$�����J�;=���%����� Ar �J���&��;=������J��;���5������%&%����&�%����$�%�

��8�� ≡?

�;=��;��;��������� �����������������$���+&���&������

+��-�����&����������� ��&�������$�����#���&�������$���%������-�%����������

K �J�=�����%��-$���@#� �J� ��0��>#��J� �:�������������#��#�%��-$������J���:��0�<�

���� ��� � J� � ;=�� #� ��� ��� �&� ������$�� ��� �&� �������� ��&���� ��� ������$��

�%��������

1.4. A Directed Signature with Threshold Verification .$�� ���%��� ������$�� �%&�� %��� � $��� ��� ������ �� ������$�� �%&�� ,��&�

�&��&������� �%��������������� %����������� ������$����� �&������������ �&�

������C������ �� ��� �$%&� �� ,��� �&��� ���� �$��� "�� � � �� ��� ���� $���� � � ��

��������� ���$-�7�� � ���$���� %��� ������� �&� ���������� � �&� ������$��

$��������P;��������$����%��������� ���&�������$���+&�%�����$%������ ������%��������%��������%��������%���

������$���%&��,��&��&��&������� �%�����������$���%&��,��&��&��&������� �%�����������$���%&��,��&��&��&������� �%�����������$���%&��,��&��&��&������� �%����������������3&����I���&��&�����%&��

Page 48: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

47

E:?F��@����$���&�������$���������&�������������$-�7��-���������-���������

iRx �����-$��%����iRy ��

+&����%&��%��������� ��&� ����,������-���

1.4.1. Signature Generation by A

��������-�%����������1aK ����

2aK �∈��Q)�����%��-$����

@��J��� 2aK− �����-�����>���J����� 1aK �������-��

����� ���������A�,���&��&� $�%�����&����%��-$������%������$��

������J���&��>������������� AS �J�1aK U� Ax � Ar ��������)��

"� Ax �����&�-���������� ��&���������

�%�������%�����-���������� ���(��J�1aK U�;(�UN ����A;�(���A;�����)��,��&

1aK J�� ��������

�������%��-$�����-$��%����$iRv �� ����%&������ ��&����$-�7��������

iRv J�� ����iRu ��� 2a

i

KRy �����-��

"��iRy ���-$��%��������

iRu �����&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$��������

�&����$-�7���

�����������K AS ��@������� niRi

v 1}{ = L�����&����$-�7������&�������$��� ����

1.4.2. Signature Verification by the Organization R

���� �$��� "�� � � �� $���� ���� �� ��������� ���$-� 7�� � � �� $���� %��� ��� �� �&�

������$��� @� ���$�� �&��� �&�� ��� �� ��������� %������� ,&�%&� %���%��� -�������

%��-$�������� ���� �%&� $��� ��� "�� ���� ������� �&� ��������� � � ������$��� +&�

��� �����-��%��������� ����,���

�����1�%&�$�����∈�"���%�����&��R&���%����&���� ���iRu ���J�

iRv iRxRW �����-��

����1�%&�$�����∈�"������ ���&��R&���&���,������

Page 49: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

48

iRMS �J���� ����iRu ��� q

uu

u

ji

i

RR

Rt

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

�%��1�%&�$�����∈�"��$���&��R&������ ����&���,��iRMS ������%��%$�����&�-�������

��$���iRR ��J������

iRMS ����)��������������&�%�������

�����+&�%������%��-$�������J� pRk

iRi

mod1

∏=

������%���������J��&�������������)��

����+&�%������%&%����&�%����$�%�� AS � ≡?

������ ArAy �����-� �����������������$���

' �&�����&��KK AS ��@������� niRi

v 1}{ = L������������������$��� ��&����������

+&�-��-�����%&��&����&� ����,����%&���%������%�*�

• +&������������ �����$����3�#��,&������������&��&����������$��

�%&���� �&�� ��� �� ��$���� 3�#� �&��� �������� �&� �%$�����

-�����������������������$����&��%�����&��������%&�$�������&�

�������

• +&���������� ������%����&��%$�����-�������������%�����&����

����%&�$����

• +&��������%�����&��%$�����-�������������%�����&��������&�

����� ����������

• +&�������%���$���&��%$�����-�������������%�����&���������A

�����%�����+&�������������� �(��&���

• +&� ������ %��� %&���� �&� �&��&���� ���$� �� ��� ����� ����&��

��%$������

• +&�������)$����������&�������$���������&�������������$-�7��

-���������-����������-$��%����-������iRx ��

iRy ���

1.5. Application to Threshold Cryptosystem +&��&���� %��-�������� ��� ��%���� P�������� %��-���������+&��� ���$� $���,&����

-���%���)$�����&�%������� ������&������-������+&�������C������&�����������

Page 50: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

49

-$��%�����+&��%���������������$����������&�$����� �������C����������$%&���

,����&����������������$����%������������&�-���%���$��,&��������P�;��������

$����,���������&����&��%�������%��������� �����������$���&��������%�����

�������4�� ������������4�� E����;������F� ����-�� �&� %��%-���� � �&��&����

%��-����������+&�I������,�����������&��%��-����������������� ����,�*�

• +&����$-��%������ ��� �(�/������$���$-�� ������&�����$����%���

�%������&����$-��%����������%����&��� $�� ����&��������

• +&��%$�����-���������������� �(���+&��%�����&�����������

�$����� �&� ������ ��� $-�� ���� %&���� ��A���$-� ���� ��� �%$�����

-���%���)$������D$���������$-����I���%����&����%%����������

.$�����%���������$���%&��%����$�������������&��&����%��-�����������

������$�������&�����,��������3$--�����$�����,���������%��-���&���������

����&���������$���� ����������������$-�7��� ���$�����&�$���%��-��������%����

�&� ������� +&� �%��-����� ���� �%��-����� ��� H� ��� ����� ���� �&� �%������

���$-� 7�� %��� � �%����� ���� >�� ���� �� ��-%������� +&� ����� �� ����%�����

KK AS ��@�� ��%�� niRi

v 1}{ = L�����&����$-�7����,&��%��J��1H� ��������H��J��&��>����������

����� %��� �%���� �� ���� �&� �%��-����� ��� H� J� &� ��� ��� +&� ��� �&�� %���

�%��-���&�����������H�%���J�����

+&� -��-���� �&��&���� %��-�������� &��� �&� ����,���� ���������� ���� �&�

%��-�����������������&�%��%-��� �������������������

• +&� ���$-� �%��� ��� ���� �(�� ���� %��� � %&���� ��� �%&� $��&��

%���$��%��������

• +&������������ � �(�����$-��+&������������������&�������

�&������ ��%��-������

• ��� �������$��� %��� ���� %�-&�� �(�� ��� ���� %&���� ���$-� ,��&� ����

�������%$�����-���%����

��

Page 51: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

50

Chapter 2

A Directed Delegated Signature Scheme

Page 52: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

51

A Directed-Delegated Signature Scheme

2.1 Introduction

���������� ����&��������%������-��%��%�����&�����,������'���&��%�����%�,��������

�%������� �&��� �)$������� -��(�� ������$�� �%&��� &��� �� ������� �&��$�&�

,&�%&� � �������� %�-������� ��� ������ �%������ ���� �����-�������� ��������

������$���%&�������������%���������$�����E0F��,&�%&�������&�%��� ���-�����

���,���' ��&����%�����������������������&��-��������%��������%�������������

����� ��� ,��&� �&��� -����� ���� &�%� �&� ���$�-����� � � �&� �������� ������$�� ���

������+&� �����&������������������&���������%�-�������,��&�$����������

�&��%�������$%&��&����&��%�-����%������ ���&�������$��� ��&����������������

,��&��&�&�-�� ��&�����������-��(���������

.�� �&� ��&�� &����� ��� �&� ���$������� ,&�� �&� ������ ��� �������� ��� �&�

������$���%�������%���������$�����$����#����������� �������$�������,&��

,� ,���� ��� ������ �&� �������� %�-������� ���� �&� ������ ��� �������� ��� �&�

������$�� �%����� ���� �&��� ���$������� ,� � %����� �&� ���� � � -��(�� ������$��

�%&��,��&����%���������$���%&���������������������%�����%�����%�����%��AAAA�������������$���������������$���������������$���������������$��

�%&���%&���%&���%&����

'���&���%&�-���,�-��-��������%���P��������������$���%&������,&�%&���&�

��������� ������� ������� ����,��-&�����+&� �����-&��� ���� A�����+&���-&��� ���

���������-��(��������$���%&��������%����-� �������� ����&�������

��� � ������ ��� ���,��� +&� �%���� -&��� ��� ��A����� '�� ������� � ��� �&� ������

%�������,������$����C���&�-�%��-$�������� ��&� �����-&�����

'�� �&��� %&�-���� ,� ����� ���$������ ��� �--��%������ � � �&� -��-���� ���%�����%�����%�����%��AAAA

������� ������$�� �%&�������� ������$�� �%&�������� ������$�� �%&�������� ������$�� �%&��� %������� �� %������ �$�&������ ��� ,&�� ��������� ��

��$�����$�&��������������$�%��� �%������&���&�� ��+&������������������ ����#�

������������� �%��%��������&��$�����#�,�������%��� �%����&���������%���%&%���&�

Page 53: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

52

���������� �������$��,��&�$��&���&�-��$��#�%���-�����&����������� ��&�������$��

��������&����-�����4��,&�����%��������

2.2. A Directed – Delegated Signature Scheme #������� �� ���$������� ,&��� �&�� ��� �� B7.I�� &��-����� ,&�%&� � �%�������� �'�3�

%&%�$-�� +&� &��-����� ��� &���� �� �� #G.� ��� ,&�� &��� � ����� ��-���������� ���

-� ����� "� ��������� �� ��$���� %�����$� �� ��� ���$� %��� �%��� ��� &��� &�� �� ��

-������#���������,����������%�����&���$���� ��&��R&��%&%�A$-�����&R�&�,�����

�� %��� �%��� �&��� ������ %��� ���� ,��&�$�� &��� &�-�� � ���$������ � � #� ��� "'>�

-������� �&�� �&�� ��� ��� � � %$������ ���� �������� � �&�� ��� ����&�� ��-�������

&��-�����&��������B7.�%&� �4� ��@&������ ��-��� �G��%������������������

���$�%������������� ����'�3�-�������#���������������&���#�&������-�����&�

���������� ���%��� �%��������������-�������

+&�������$������ ��$%&�-���������������������%���A��������������$��

�%&����"���&��%����#�%������%������� ���&�������$�������&���#�%���-����

���������������������&����-�����4��,&�����%�������3��%����%���������$��%���

� ��� ��� ,��&� �&� &�-� � � �%���� #� ����� ��� ,� %��� ���� �&��� �&� %������� � �

%��� �%����&���������������,��&�$���&�������$����� �%��������+&� ����,����������

(-�����������&�,�-��(���������%���������$���%&��%������-������ ����$��

%�����$%������

� ���������C�����&�%&%��$-�����--�����������������������������"���������

�����������������$����������$������&� ����,����-����%������%&������������-����

�$���-���)��������-���� �%����� ��-�P�;���������������∈��Q-�,��&������)�������

,���&��&� $�%�����&�����

2.2.1.Signature Key Delegation by A

;������%��� Ak ∈�Q)��%��-$�������J���� Ak �����-��������������������

��������������������%���a�∈�Q)�����%��-$�������J������a���������-��

�������' �����∈�Q)X��&����������������&�,������������-������

�����%��-$����������J�����(��U�� Ak �����)����� ��,���������������

0�����%��-$���3���J��������U���a������)�����%&%�����3���J����������������-��

Page 54: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

53

' �)$�������&���������%%-���W��I���������������������������$����� �������

B�,� �&� &��-����� ��� �-�� ��� �&� -$��%�� �� ���� �&� %&%�� $-� � � �� -������ #� ����

-�-�������-����������������%��� ����-���� ���#��+&�������$���������������

��� �%����������������&� ����,����-����%����

2.2.2. Signature Generation by B for C

�������-�%�������������1bK ����

2bK �∈��Q)�����%��-$�����

@�����J������ 21 bb KK − �����-��������Q%������J���������#� 1bK ����-��

�������%��-$���� Br ����J������&��Q%��@����������� BS ���J�����2bK −�3����������)��

�%������������K BS ��@���� Br ����L�����#�����#G.I��������$������

2.2..3. Signature Verification by C

�����#�%��-$���b��J������ BS �� Ay ��������� Br ��@��������-�����Q%����J��b� Cx �����-���

�����#�%&%����&����� Br �J�������&��Q%��@������� ����&����������� �������$���

2.2.4. Proof of Validity by C to Y

����#������������K AS ���@������� Ar �����������bL����4��

���4�%&%�������� ��������� Ar J��&��Q�����@�����������)��

' ��&�����������&����4����-���&�-��%��/���&�,�����������&���(����-���

�%���#������C������,���� ��&�����-��������4��&�������b�Q#��J���������#����� ����,���

• 4�%&������������$����∈�Q-�%��-$���,�J�bu ���v ����-����������,����#��

• #�%&������������a�∈�Q-�%��-$���c�J�,����α �����-�����γ��J�c Bx �����-������

��������4��

• 4������$������������,&�%&�#�%������ ���&���,���J�bu ���v ����-��

• #������a����4����,&�%&��&�%������ ���&���

c�J�bu ��� v Uα ����-������γ��J�Q#�u ��#� v Uα �����-��

Page 55: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

54

2.3. Security Discussions '���&����%�������,����%$�������-����������%��������

�����������������' ��&����������-��(����������������&������&��&�%���%&��� ��&�

��������������������������&�R&���������$������������������������������� �&�R&���

%&��%��

+&� ���$����� � � �&��� � -����� ��� �&� (����%� � � �� ��$���� �&���� -������ +&�

�������������������������������&���������������,���,��-���������������

�$������&�������������-����%�����$�&���%������+&��&����-������-���&�

�%����� � � ��������� �����I�� ������� ���� %&%�� � ���� %��� � � ��������� ������

�����������������������I��������

�������������#���������������2bK �����3���%���������$������ �-��(����������� �����&�

)$������ BS ���J�����2bK −�3����������)�O�

"�� �&� �$���� � $����,�� -�������� ��� �,��� +&� �$���� � )$������ ���

���� ��� ��� ��� %��-$����������� �� ����� ����� ����� ���%���%�� �&��%��� ������

2bK �����3�����

�%���%���%���%���#��������-��������&������������������O�

�� ������������������-��������&��������������������������������%������

�,�� �������1i

K ����2i

K �∈� � Q)� ��$��,��&�$�����,���� �&� �%���-����a� �� � ��� ���

�� �%$��� ��� ������ �� ������ � -��(�� ������$�� ��� � 3� � ���� BS ��� ����� �� �&�

��� �%������)$��������������������������������������������������������������������������������

Q%������J������ BS �� Ay ��������� Br @����� Cx �����-����� Br ���J����&��Q%��@�������

�����������������#������ ������������$��K� BS ��@���� Br ������L�$������&�)$������

b�������������J������ BS �� Ay ��������� Br @��������-�O�

+�� %��-$�� �&� ������ BS ���� �&��� )$������� ��� )$������� ��� �������� �&�

���%��� �������&��-������' ����� ����������������%��� *S ���������� K� *S ��

@���� Br �������L��������&��%������%��-$�������bX� � � � �J��E���*S � Ay ���� ����� Br � � �@��F��

����-����QX��J���bX Bx �����-�����%���%&%��� ��

Page 56: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

55

Br ����J��������&��QX���@�������������%���&� ����������

Illustration�

@����$�������&����%&��$�����������-���������+������-�J������)�J�;;����J�<�����

�&��%������������&�-$��%������ �$���������� ����,���

������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ���������������������������������3%����������������������������-$��%������������3%����������������������������-$��%������������3%����������������������������-$��%������������3%����������������������������-$��%�������

���������������������������� ������� ���������������������������� � ��������:�

���������������������������� ������������8���������������������������� ����������

�����#�������������������������� ������������<����������������������������������������;��

�����4�������������� ������������������������=����������������������������������������;=�

+���������&������������������%������J�?���������������J�����������������%���a�

J�8�������������J�<���������%��-$�������J�����������������������%��-$���-��(��

������$�������J�=�����%&%���� ��<�=��J�E�:�<��<�F��������

+���������&�������$�����-�%�������������1bK J�?�

2bK J��������%��%$����@���J�

������Q%�J�;<�� Br �J��&��;<������=���;=��J�������� BS �J�=�������������&�%��-�������

K�����=���=���;=�<L����#��

�����&�������$����� �%�������#��%��-$���d��J������������Q%����J��;<����%&%���� Br �

J��&��;<������=���;=���J������ ����&����������� �������$���

+������ �� ������������#����4��#�������;<�����=�����=���;=�������4��4�%&%����� Br ��J��

&��;<�����=���;=���J�����+&���&������B�,�#�%���-�����&���������;<�J�����<�;��������

C������,���� ��&������$�������&� ����,����%�� ���������-����%����

������4�%&���������������$��J�;����J�;8�����%��-$���,�J������������,����#��

������������#�%&���������������a�J�=�����%��-$���c�J�=�e�J�;�����������c��e�����4��

�������4�������$��������#����,&�%&�#�%������ ���&���,���J�����

������������#������a����4����,&�%&��&�%������ ���&����c��J��;<�����e�J�0��������

Page 57: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

56

2.4. Remarks '���&���%&�-����,�&������%$���������%���A��������������$���%&���,&�%&����

$� $�� ��� �&��� %���,&�� �&� ������������ ��� �������� ��� ������$�� �%����� '��

�&����%&����&�������$���%����#�&��� $���%������������&�������$����� �%������

-��%���� B����� %��� %&%�� �&� ��������� � � ������$�� ,��&�$�� &��� %�A�-�������� +&�

�%������������������-������&����������� ��&�������$���,&�����%��������

@�&���-��������%�����$%������ ��$%&������%���������$���%&���,&�%&����

���� ��� ���%��� �������&�� -������� "�%� �&� �%$����� ���� � � �&��� �%&�� ���

�������� ��� �&��� � � ��&�� �%&�� ���� ��� ���%��� �������&��� � 3��%� �&� ��������

�,�� �&����������������I���%������ ����������,������������ �&����%&�� ���

�����%$���&���������&���%&�����������&����%����������&����

�����������

Page 58: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

57

Chapter 3

Directed – Threshold Signature Scheme

Page 59: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

58

Directed – Threshold Signature Scheme �

3.1. Introduction

'����������$���������&�������������&�� �� ����������C�������������������������

�����)$����&��--����������%������� �������-�-���'���&���%�����&�������$�����

���� �� ���� �&��� ��� %��������� ���&�� �&��� �� �� ������ -������ �� %������

(��-��� � �&���-���%�� ����� ��������� ������%������,&�%&��)$���� �&�������$��� �

���� �&��� ��� -������ 3$%&� �� -���%�� %�$��� � ��-������ �� &������ �� �-�����

��������������$�� ��������)$�����������$�� �&������$����� ��%������&� ���� ���

��� �� �&������� �������� ,��&� �&� �$���� � ������� +&��&�+&��&�+&��&�+&��&���� ������$���� ������$���� ������$���� ������$����� ��� ���

���,�� ��� �&��� -������+&� ���� ��� �&��&���� ������$�� �%&��� � ���$��� ��� �����

�&��-�������+&��&����������$������%����������������&�%��%-��� ��&��&����

%��-�����-&��� �����������$%����������E�;������F��'��;::;������������������

E��F�-��-���� �&� ����� ������� �&��&������������ ������$���%&��������� �&��3��

���$�-������

'���&���%&�-����,�-��-����������������%��������������%��������������%��������������%���AAAA��&��&����������$���%&���&��&����������$���%&���&��&����������$���%&���&��&����������$���%&������

���3&����I����&��&����������$���%&�E:=F�����3%&����I��������$���%&�E:0F��

3.2. Directed -Threshold Signature Scheme����

5��7�������$-�� ������������$������$��� �,&�%&������� �������������%���

������ �&� ������$�� ��� �� ������ �� ��� �� $��� ��� +&� $��� �� %��� ��� �� �&�

������$�� ���� �&��� �� %��� -���� ���� ��������� ��� ���� �&���� -����� #�� ,&����

�%�������B�����%���%&%���&����������� ��&�������$��,��&�$���&�&�-�� ����

���� �$�� %�����$%������ ,� ���$�� �&� (����%� � � �� ��$���� �&��� ������$�����

%�����3�#��,&�%&����������&����$-��%����-�������������&��%����&����

��� ��� ∈� 7�� 5�� "� � ���� �$��� � � 7�� %���������� �� ������ @� ����� ���$�� �&�

(����%�� � �� ��������� %�������#� �,&�� %���%��� -������� ������$��� ���� �%&�

$��� ��� �&� �$���$-�"��1���� �&��&����� ��� �&� ���$-�&��� )$����$�&������,��&�

����������&����$-��%����+&������������ ���&����%���������$���)$�������$��

� ����&��&���������������%�����,��&��#���

Page 60: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

59

+&����%&��%��������� ��&� ����,������-���

3.2.1. Group Secret Key and Secret Shares Generation

�����3�#���%����&����$-�-$��%�-��������-��)����������%��������� �����,���&��&�

$�%�����&��3�#��������%�����-���������������

��(��J����U��;(�UN ����A;�(�A;�����)���,��&���������J�� Gx ��J��� ������

�������"�� Gx �����&��%������� ��&����$-�7��

����3�#�%��-$����&����$-�-$��%����� Gy ������ Gy ��J������ ���������-��

�%��3�#�%��-$������%����&������������ ����%&������ ��&����$-�7������

��������������������������������������������������J���� ��$��������)���

�"��$�������&�-$��%����$�����%�����,��&�$����������&����$-�7��

����3�#�������������%&�$���������%�������������

3.2.2. Signature Generation by any t Users

' ��������$��� ��������� ��&����$-����������������������� ���$�������&��

�������&�������$��$����� ����,������-�*�

������1�%&��������������������%���1i

K ����2i

K �∈��Q)�����%��-$�����

,�����J���� 2iK

1iK− ����-��������C������J�� By 2i

K �����-��

���� 1�%&� ���� � ����� � � ,�� � � �-���� ���� � C�� � �%����� �������� ��� �%&�

����� �"� ��.�%�����,������ �C���������������������� %��-$����

Q�@������������

@��J��� qwHi

i mod∏∈

���Q���J���� qzHi

i mod∏∈

���������J����&���Q���@����������)��

�%���1�%&������������ ���&��R&���&�������G3���J������� quu

u

ji

jt

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

Page 61: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

60

����� 1�%&� ���� �� $��� &��R&�� ���� ��� �&���� G3�� � ���� ������� ������1i

K ���

%��%$�����&�-�������������$�������������J���1i

K P��G3���������)��

����1�%&����� �������&��R&��-�������������$�� ��� �&����������%�������#�

,&��%���%����&�-�������������$��������-���$%���&����$-�������$��

3�J���=

t

i ,1�������)��

� �����#������K�3�@�����L���������������$��� ��&����$-�7�����&����������

�������� ����������� � ��� �������

�������%��-$���b��J��E��� S � Gy � R ���@�F������-������Q�����J��b Bx �����-��

�����%&%����&����������� �������$������� ���������J���&��Q��@��������)��

3.2.4. Proof of Validity By B to Any Third Party C

+&���-����� ��&�-����%����$����������%����A�����0��

3.3. Security Discussions ,� ��,� � ���%$��� �%$����� ��-%�� � � �&� -��-���� ���%������%������%������%��� AAAA� +&��&���� � 3�����$��� +&��&���� � 3�����$��� +&��&���� � 3�����$��� +&��&���� � 3�����$��

3%&�3%&�3%&�3%&�������

����� ������ ������ ������ � '�� ��� -������ ��� ������ �&����$-� �%������ � ���� ���� �&����$-�-$��%������

Gy O�B��%�$���&����������� �%$�����������������%����������&��-������

���� ����� ����� ����� �#������������ �&��%��� �&������� �� ���∈�7�� � �����&�-$��%����$� �$�� �O�B����

%�$�� ���������������������%�������%���-�����������

(c). Can one retrieve the secret shares vi ,integer 1i

K and partial signature si , from the

equation si = 1i

K P��MSi .R mod q. ?

"�� �&��$���� �$����,��-�������� ��� � �,���+&��$���� �)$������ ���

�������������%��-$������������� ����� ����� ��������%���%���&��%����&�������

�������1i

K �����-�������������$���������∈�7����

Page 62: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

61

(d). Can the designated combiner DC retrieve the group secret key f (0) or any partial

information from the equation, S = �=

t

i ,1si mod q ?

���+&������������%��-$������������� ������

��������������������#��������-������������������∈�"��O�

�� ��������� ���� ��� ��-��������� �&��&����� �� �� � �� ��������� ��%����� � �,��

�������1i

K ����2i

K �∈��Q)���������%��������,�������C����$��,��&�$�����,�����&�

�%����&���������������� �%$���������������������-�������������$������������� ���&�

��� �%������)$�������

Q���J���E��� S � Gy � R ���@�F� Bx ������-��,&�����3���J�����=

t

i ,1�������)��

� ����� ����� ����� ����#������ ������������$��K�3�@�����L����&� ����,����)$����������

b���J���E��� S � Gy � R ���@�F������-�O�

+��%��-$�� ������3� ����&�� ���)$������� ����������� �&����%��� �������&��

-������' ����� ����������������%��� *S �������������K� *S �@�Q�����L��������&�

�%������,�$���%��-$���

��������bX����J���E���*S � Gy � R ���@�F������-��������QX����J����bX Bx �����-�����%&%���� ���

Br ���=?

�����&��QX���@��������

�+&��%������%�������������� ���&���������&��� ������&�������$������

��������������������#�������������&��&�������%�����%���$���������%�����$%���&�-����������

��(���O�

���%%�����������&� ����,����)$�������

��(�����J������ quu

uxuf

ji

jt

ijj

t

ii mod)(

,11 −−

∏�≠==

��

Page 63: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

62

�&��%���-���������� � �(��%�����%�����$%��� �,��&��&����,����� �������

�%����&���� ���$��������∈�7����

3�� � � ��� ��� ������C������ �&� �&��&������ ��� ���,�� ��� �%&� ��&�� ��&�

��-������� ������ ��&�����%���$��%�$����������������������$�����&��,�$���

�����&��%������� ��&�%��-������,&�%&�,�����%�����$������$����

+&��� ����%�� ���� ����,���� �&� �%$������ ��$�� �%&�� ��� �&� ���� �&��� �&�

�$��� � � $���� �&��� &��� ��� %���$�� ��� ����� ��� ���� �&� ������$�� ��� ����

������� �&��� �&� �&��&���� ���$�� "�,��� ��� ��� ,���&� -�������� �$�� �&��� �� � ���

����$����%���%���-������%��-$���&��������%�����

Illustration �������$����������,����$���&����� �$��$��������&��������.$��� � �$��$�����

�� �� #� �� � 1� � ���� � �� ���� �,�� $���� �� ����� � �� ���� �� � %��� ������ �&� ���%���

������$��������������� ����&�$�����,��&��%�������-$��%����-���� Bx ��J����J����J����J��<����

����� By ��J����J����J����J��=������-%�������+&� ����,������-�����$�������&����%&��������

*����� �� ��� ���+�� �� ���"�� ��* � �������

5��3�#�%&������-���J���������)���J���;;�����������J����;=���������� ��(����J������U�8(����;;��

,&�� � ����J���� ��� �&����$-��%��� �����+&�-$��%����$�� �$�� � �����%����-�������

�%����&���������� �$���������� ����,AAAA�

���������������������������������-$��%����$��$�����������������������%����&���������

���������������������������������������������:������������������������������������������������0�

��#�����������������������������������������;������������������������������������������������=���

��1�����������������������������������������;0�����������������������������������������������?���

��������������������������������������������;<�����������������������������������������������<�

B�,��&�3�#����������&����$-��%����������� ���������%��-$����&����$-�

-$��%����� Gy ������ Gy �J���;=�����������J��;���

�������� �* � ��������������,� ���

' ������,��$��������������$��� � �$��$�������������������������� ���$������

�&���&�������$�����������&����&� ����,������-���

Page 64: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

63

��� +&�$�����������������%���1aK J�����

2aK �J�?�����%��-$�� 1w J��� 1z J�;���

�� +&�$����������������%���1f

K J�8�2fK J��:�����%��-$�� 4w J�0� 4z J��:���

�%� ���&� �&� $���� �� ���� � �� ���� � 1w � 4w �� ���� � 1z � 4z �� -$��%��� ��������

�&��$�&� �� ����%���� %&������.�%� ���� 1w � 4w �� ���� � 1z � 4z �� ��� ���������

�%&�$������"�%��-$����&�-���$%��@�J�;���Q�J�;<�������J���&��;<��;�������

����;;��J��8��5��$���$--����&�����&������$�����$����$��)$������8���

��%��+&�$�������������%��-$���&�������� ����&����G3���J��<�����G3���J��=���

�����+&�$�����������&�$�����%��%$�����&��R&���-�������������$� 1s �J��8����� 2s �

J� � :� ��-%������ ����&� �&� ������� ���� �&��� -������� ������$�� ��� �#� ,&��

-���$%�������$-�������$��3��J�����

������#������K����;���8���L���������������$��� ��&����$-�7� ����&����������

�������� �$ �������������-�

�� %��-$��� b� � J� E� ;=� ��;�8�;�� F������J� �� ���� Q� � � J� ;<� ���� %&%��� �&� ���������� �

������$����%��-$�������J��&��;<��;�����������;;��J��8�����������������

���������$���+�����-�������!"��+��������

�������K���;���8�����L����#��#�%&%����&�����J�&��;<��;�����������;;�J��8�+&���&������

B�,���-��������#��&����������;<�J������;=�=������C������,���� ��&�������$������&�

����,����%�� ���������-����%����

����������#�%&���������������$��J�;;����J�;������%��-$���,�J������������,�������

���������%&���������������a�J�;?�����%��-$���c��J�;<��e��J��0����������c��e�����#��

��������#������$������������,&�%&���%������ ���&���,���J�����

��������������a����#����,&�%&��&�%������ ���&����c��J��;<�����e���J���0�����������������������

3.4.Remarks '�� �&��� �%&���,� &��� $��� �&�1�7����� -$��%� ��� %��-�������� ��������� �&�

%�����$%����� � � ���%��� +&��&���� 3�����$�� 3%&��� +&� �%$����� � � �&���

%��-�������� ��� ���� ��� �&� ���%��� ���� -������ .���� �� P� ;� �&���,�� ��� ����

Page 65: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

64

�$ �%��������������&����$-��%�����������&��,����������������� �����������$��

�&����$-��%�������$��������������$�����%�����%���$������

'���&����%&����&��������#�#�#�#�����,&��%���%����&�-�������������$��� ��&��������@�

�&�$��������&����&���������%����� �������������%�����,��&���&��#��1����$���

%��� %��-$�� &��� ���� ��� �&��� $���� ���� )�� ' � )� ��� � ���� � -����� � �&�� �&�

%��%$�������� � � �&� (-������ ��� -� ��������� f� �)��� ,&�%&� ��� ���� �� -����� +&���

��-���� �&��� 5������� ����-�������� ��� %��%$������� �&� ���� ��� �&���,�� ,���� ����

,���� �(%-�� ,&�� )� J� ��� ��� ,&�%&� %��� ,� ��� ���� ���������� #������� �&�

���$�������,&�� ∏≠=

−t

ijjji uu

,1

)( �����)����%�-�����'���&���%����&��������,������ ����

�$�� �&� �$���-��%����� ������ � � ∏≠=

−t

ijjji uu

,1

)( ���� )�� +&�� ��� ����� � -���������� � �

��%����� �&� ����� -���� )� �$���� ��� ����� ��� �%&� -����� ��� ��� ���$��� �&���

�� �%$����

���%����&��&����������$������������������������&����-�����%�$���&��

������,��� ���&������-������������������+&���������,����� �Q���������$ �%�������

-���� �&� ��������� � � ������$��� 3�����$�� �%���� ����� &��� ��� -� ���� �&�

%�� ���������-����%��������C������,���� ��&�������-�����&����������� �������$���

����

����

����

����

����

Page 66: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

65

Chapter 4

Threshold Signature Scheme with Threshold

Verification

Page 67: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

66

Threshold Signature Scheme with

Threshold Verification �

4.1. Introduction

'����������$���������&������������&���� ����������������������-������"�,����

,&�� �&� ������ ��� ���� �� ��� ������C������ ��� ����&�� ������C������� �� ������

������ ���� �)$��� �&� �--������ ��� %������ � � ������ -�-��� '�� �&��� %���� �&�

������$�� ��������� ���� ��� �%������ ��� ���� ������ �&������ %��������� ���&��

�&�������������-������+&���%&�-���-��-������+&��&����������$���%&�+&��&����������$���%&�+&��&����������$���%&�+&��&����������$���%&��,��&�,��&�,��&�,��&�

�&��&������� �%�������&��&������� �%�������&��&������� �%�������&��&������� �%��������

4.2. Threshold Signature Scheme with Threshold

Verification

#��������&��������������������������������C������3��������&��������C��������

���������)$����&��--������� ����$���"3�� ���������������� ���������������

���$-�73�� ���$��������������&�������C������3��

.�� �&� ��&�� &����� �&� �������� ���$-� ,����� ��� ������ �&� ������$�� ��� ��

������������$%&���,����&����&�������$��%������� ����������$���"��� ������

����$���� ������������������$-�7��� ���$��������������&�������C����������&��

�&��&������� �%�������%&��������$��-$�-�����

@����$���&����&��%������� ��&�������C������3���� Sx �����&�-$��%�������

Sy �,&�� Sy �J�Sxg � �����-�,��& Sx ∈�Q)��3��������� �&�������C��������-���������

-���� � Rx � Ry ��� �-��������� Rx �����-$��%���� Ry �J� Rxg �����-��'����������������

$����������&��&�������C�������-���������-����� Ax � Ay ��,��&� Ax ��%������� Ay �J�

Αxg ������-�-$��%�����

Page 68: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

67

@� $��&�����$���&�����&��&�������C������������3�&�����%��������$����

%�����#+#�� ��������������&����$-��%���-��������� ��&��,�����$-�������&�

�%����&��������������+&����%&��%��������� ��&� ����,������-����������

4.2.1.Group Secret Key and Secret Shares Generation for the

Organization S

�����#+#���%����&����$-�-$��%�-��������-���)�����������%��������� �����,���

&��&� $�%�����&��#+#��������%�����-���������� 3��(�� ����&����$-�73�������

3��(��J����U��;(�UN ����A;�(��A�;�����)��,��&���������J���� Sx ����J��� �3������

����#+#�%��-$����&����$-�-$��%����� Sy ��J������� �3��������-��

(c). #+#������������%�� K �∈�Q)�����%��-$�����-$��%����$�@��J��� K− ����-��

�����#+#�%��-$�����-$��%����$iSv �� ����%&������ ��&����$-�73�������

iSv �J����� 3���iSu ��� K

Siy �����-��

"��iSy ���-$��%��������

iSu �����&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$������������&�

���$-�73��

����#+#������KiSv ���@�L����%&�$���������&����$-�73��&��$�&���-$��%�%&���������

4.2.2. Group Secret Key and Secret Shares Generation for the

Organization R

�����#+#���%�����-����������� ���(��� ����&����$-�7�������

� ���(��J���U�;(�UN ����A;�(�����A;�����)�,��&������J��� Rx �J��� ��������

����#+#�%��-$����&����$-�-$��%����� Ry ���J��������� ����������-��

�%���#+#�%��-$�����-$��%����$iRv � ����%&������ ��&����$-�7��������

�iRv ��J����� ����

iRu ��� KRi

y �����-��

Page 69: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

68

"��iRy ���-$��%��������

iRu � ����&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$��������

�&����$-�7���

�����#+#������KiRv ��@L�����%&�$���������&����$-�7�����&��$�&���-$��%�%&������

4.2.3.Signature Generation by any t Users

' �"3�������$���� ��������� ��&�������C������3��$��� ��������,&���������

���������������������������&�������C����������&���&�������$�����������&���

�&� ����,������-�*�

�����1�%&�$������∈�"3������������%���1i

K ����2i

K �∈��Q)�����%��-$�����

$������J��� 2iK− ����-����������J���� 1i

K �����-�������,���������J���� 1iK � Ry 2i

K �����-��

����1�%&�$���������%�����$�����,���-$��%������������%��������������&��$������"3���

.�%�����$�����������,���������������%&�����������∈�"3�%��-$�����&�-���$%��

3���>3���@3�������&��&����$��3���������

3����������J������ quSHi

i mod∏∈

�����>3�����J����� qvSHi

i mod∏∈

��

@3������J������� qwSHi

i mod∏∈

�����3����J�������&��>3����������)��

�%���1�%&�$�����∈�"3���%�����&��R&���%����&���� 3���iSu ���J���

iSv iSxW �����-��

����1�%&�$�����∈�"3������ ���&��R&���&���,iSMS J�� 3���

iSu ��� quu

u

ji

j

SS

St

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

���� ��� $����� &��R&�� ���� ��� �&���,iSMS �� �%&� $��� �� ∈� "3� %��-$��� &��R&��

-�������������$���������J����1i

K ��U���iSMS ���3�����)��

� ��� 1�%&� $��� �� � ∈� "3� ����� &��R&�� -������� ������$�� ��� �&� #+#�� ,&�� -���$%� ��

���$-�������$��33������J�������=

t

i ,1�������)��

Page 70: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

69

�����#+#������K�33��� 3��@3�����L�����&����������%���������������%���������������%���������������%�������#��#��#��#�� �������C����������� �������C����������� �������C����������� �������C���������������

���������$��� ��&����$-�3� ����&����������

4.2.4. Signature Verification by the Organization R

�����$���"��� ���$���� ������������������$-�7��%������ ���&�������$���@�

���$�� �&��� �&�� ��� ��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� �%��� � ���� ���� ������ �&�� �%��� � ���� ���� ������ �&�� �%��� � ���� ���� ������ �&�� �%��� � ���� ���� ������ �&�

������ � �&����$-������� � �&����$-������� � �&����$-������� � �&����$-�7777��������� �&�&���� � �&�������C����������� �&�&���� � �&�������C����������� �&�&���� � �&�������C����������� �&�&���� � �&�������C������ ����������,&�� %���%��� -�������

%��-$�������� ���� �%&� $��� ��� "�� ���� �������� �&� ��������� � � ������$��� +&�

��� �����-��%��������� ����,���

�����1�%&�$�����∈�"���%�����&��R&���%����&���� ����iRu ����J�����

iRv iRxW �����-��

����1�%&�$�����∈�"������ ���&��R&���&���,iRMS �J��� ���

iRu � quu

u

ji

i

RR

Rk

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

�%��1�%&�$�����∈�"�������&������� ����&���,iRMS ����&��#��

�����#�%��-$������������������J�����

=

k

iiRMS

SS UW1

. ����)�������%�������

�3���J����&���������������������)��

������#�%&%����&�%����$�%�� SS �����≡?

������ SRSy �����-� �����������������$���' �&����

�&��K�33��� 3���@3������L������������������$������&����������

4.3. Security Discussions '�� �&��� �$A�%������ ,� �&���� ���%$��� �&� �%$����� ��-%��� � � -��-���� +&��&����+&��&����+&��&����+&��&����

3�����$��3%&��,��&��&��&������� �%������3�����$��3%&��,��&��&��&������� �%������3�����$��3%&��,��&��&��&������� �%������3�����$��3%&��,��&��&��&������� �%����������"��,��&�������%$���������-������

����%�����$������� ��&��%����$%%�� $���������$������������

��������������������#���������� ������ �&�������C�����I�� �%������ Sx � ���� Rx � ���� �&����$-�

-$��%���� Sy ���� Ry ���-%������O��

+&��� ��� ��� �� �%$��� ��� �������� ���%��� �������&�� -������ B�� ��� %��� ��� �&�

�%������ Sx ���� Rx �� ���%� � 3���� ���� ��� � ���� �&� ��������������%�������%���

-��������������&�#+#���.���&���&��&�������$������&�-$��%����� Sy ���� Ry �

Page 71: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

70

�������������� �&��%������ Sx � ���� Rx %�$�� �&��� �������� �%$������ ��������

���%����������&��-������

���������������� #������ ������ �&� �%��� �&����� 3� � ��iSu �� � � ������� � �73� � �� � ���� �&�

)$���������iSv ��J���� 3���

iSu ��� KSi

y �����-��O��

B�� %�$�� 3� ��� �� ��������� ���� �%����� ��%��� -���������� ���� H� ��� ����� ��

��������������%�������%������������&�#+#��3���������������%�������&�

�%����&������ ����iRu ���� ������� ��7����� �����&�)$��������

iRv ��J��� ����iRu ��� K

Riy �����-��

(c). #��� ��� ������ �&� �%��� �&����� 3� ��iSu �� � � ����� � � � 73� � �� � ���� �&�

)$����������� 3���iSu ���J���

iSv iSxW �����-��O��

.�����&�$�����%����%�����&����%����&����� 3��iSu ���%�$�� 3����������������

�����%�������%���-�������������iSx �����%������� ��&�$����∈�73��3���������

������%�������&��%����&������ ����iRu ��� ������� ��7����� �����&�)$��������

����iRu �����J�����

iRv iRxW �����-��

��������������������#�������������&����� ����&���,iSMS ��������

1iK ����&�&��&����$��3������

-�������������$��������∈�73��� �����&�)$������

����J���1i

K ��U���iSMS ���3�����)��O�

+&����������%���-������������������%��-$������������� ����� ����� ��������

%���%���&iSMS ��������

1iK ���&�&��&����$��3�������-�������������$��������∈�73�����

����������������#����&����������#+#�����������-��������� ��������� �����&�)$�������

33���J������=

t

i ,1�������)���O�

.���$����� ��� ,�$��� � %��-$����������� �� ����� ��� #+#� ��� ����� ����

�� ��������� ��������

Page 72: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

71

� ���� ���� ���� ���#��������-������������������∈�"3��O�

�� ������������������-����������&��&����������∈�"3�����������������%������

�,�� �������1i

K ���2i

K ∈� Q)� ���� ����%������� $�� �� ��� � � ���� � ,���� �$�� ,��&�$��

���,���� �&� �%��� �&����� 3� �iSu ��� ��� ��� �� �%$��� ��� ������ �� ������ -�������

������$������������� ���&���� �%������)$��������

33��J�����=

t

i ,1�������)�������� SS ��� ≡

?

������ SRSy �����-��

�������������������� #��� ��� ���� �� ������$�� K33� � 3� �@3� ��L� �� �&� ����,���� )$������������������������������������������������������������

� SS �� ≡ �������� SRSy �����-O�

�� ��������������������%��������������������&��%��-$����&�&��&����$���

�3��$%&��&������3�����J����&���������������)��

.���$����� ��� %��-$��� �&� ������ SS � ��� )$������� ��� �������� �&� ���%���

�������&��-������.���&���&��&������&� �����%��������������%��������� SS �

����������&���������������������$��3����&�������� ���&�)$�������

� SS ����� ≡ �������� SRSy �����-��

"�,���� �%%������� ��� �&���A,���-��-����� � �&�&��&� $�%�����&�� ��� ��� )$���

��-�������+&$����&�������%��,����������$%%�� $���

�&����&����&����&���#�������������&��&�������%�����%���$���������%�����$%���&�-���������� 3��(��O�

�%%�����������&�)$������� 3��(����J����� quu

uxuf

jSiS

jSt

ijj

t

iiSS mod)(

,11 −−

∏�≠==

��&��%���

-���������� 3��(��%�����%�����$%���,��&��&����,����� ��������%����&�����

3� ��iSu ��� � ��∈�73� � ��3�� � � ������������C�������&��&��&������������,������%&�

��&���������� ��&������%���$������ �����&��%���-���������� 3��+&�������%���

&�,���� ���� ���� ,���� �&� �%$����� � � �$�� �%&�� ��� �&� ���� �&��� �&�

�$��� � � $���� �&��� &��� ��� %���$�� ��� ����� ��� ���� �&� ������$�� ��� ����

��������&����&��&��&�������$���

Page 73: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

72

Illustration ����� ���$���������� 3$--��� =SG ?�� � =SH � 0�� � =RG <� ��� =SH � 8�� @� ���� �&�

-���������-��J���0?���)��J������������J�����

*����� �� ��� ���+�� �� ���"�� ��* � ������������" �.�����/��������

�����#+#���%��� ����&����$-�73����-���������� �3��(���J���;;�U��(�U;��(����U�(�����������

"�� Sx �J����;;����� Sy ��J����;;�����0?��J����?��

����#+#������������%��� K �J��=�����%��-$�����-$��%����$�@���J���:����

�%���#+#�%��-$����&��%�������-$��%������%����&�������-$��%����$� ����%&�

����� ��&����$-�73�������&�,�����&� ����,���������

����

����

����

����

����

����

����

����

*����� �� ��� ���+�� �� ���"�� ��* � ������������" �.�����/��������

�����#+#���%��� ����&����$-�7������-���������� ���(���J���?�U��(�U�0�(����U���(�����������

"� Rx �J���?������� Ry �J����?������0?���J����0��

����#+#�%��-$��� �&��%�������-$��%������%����&�������-$��%����$� ���

�%&������ ��&����$-�7��������&�,�����&� ����,���������

�����������>�5 1�

31��

�����iSy � �����

iSx �

iSu ��� 3��

iSu �� ������iSv �

���P�3;� ����?� �������;�� ��������� �������=� ������0�

���P�3�� �������?� �������;�� �������:� ��������� ������0�

���P�3�� �������=� �������;0� �������=� ��������� ������=�

���P�30� ������;=� �������;<� �����;;� �������0� ������:�

���P�38� ��������=� ��������;� �������� ��������� ������<�

���P�3<� ���������� �������;:� ������8� ������;<� ������<�

���P�3?� �������<� �������;?� ������0� ������;:� �����0��

Page 74: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

73

>�5 1�

31��iRy �

iRx �iRu � ����

iRu ��iRv �

���P��;� :� ;8� ;;� �;� ;0�

���P���� 0�� :� 8� :� �8�

���P���� �?� ;;� =� �;� ;<�

���P��0� �8� ;=� �� ;8� ���

���P��8� ;?� <� <� <� �0�

���P��<� ;0� ;�� ������������0� ;=� ���

����

�������� �� � ���������������� ���

' �3����30���3<�����3?�������������������������� ����&�������C�����������&���

�����3����%���12K �J��8��

22K �J��?�����%��-$����$����J��;=���������J�����������,�����J���;��

����30����%��14K J��0��

24K �J���������%��-$����$0����J��<���0���J���;<�������,0����J���0��

�%��� 3<� ��%���16K J� ;��

26K J� ;=� ���� %��-$��� $<� J� ���� �<� J� ?� ���� ,<� J� ;��������������������������������

�����3?�����%���17K �J���;�

27K �J���;;�����%��-$����$?�����J��?���?���J�;�������,?����J��;?�������������������������������������

����1�%&�$����%��-$���� 3��J��0��>3��J��������@3333���J���J���J���J��;=������3��J��&�������������J�=�����������������������������������������������������������������

� ���3���%������� 3���2Su ���J�������%��-$����������

2SMS ���J����8��������������J������

�����30��%����� 3���4Su ����J��0������%��-$�����

4SMS ���J����;��������0���J����;;��

������3<��%������ 3���6Su ���J��;<������%��-$������

6SMS ���J����;���������<���J����;<��

�D����3?��%������� 3���7Su ����J��;:������%��-$������

7SMS ����J���;:���������?���J�����;���

�����#+#�-���$%�������$-�������$��33� �J� �;8���������� K�;8� ���0� ��;=� � ���L�����&�

��������� %�������#�� �������C�������� ��� ������$��� � �&� ���$-�3� ��� �&�

���������

�������� �$ ��������������" �.�����/��������

3$--��� ���$�����;���������0����8������<�,���������� ���&�������$����&��

������;��������%�������� ����1Ru �����J����;�����%��-$������

1RMS �������J�������;:��

Page 75: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

74

�������������%������� ����3Ru ������J����;�����%��-$�����

3RMS ��������J���������0��

�%����0����%��������� ����4Ru �����J���;8������%��-$���

4RMS ���������J�������;;��

������8����%�������� ����5Ru ������J���;�������%��-$����

5RMS ��������J���������:��

�����<������%��������� ����6Ru �����J���;=��������%��-$���

6RMS �������J��������;���

� ����#�%��-$����&����$������J���������&���%������3���J���&�����������J�=������������������������������������������������

������#�%&%����&�%����$�%��� ;8� � � ≡?

� � ��� �� ��?�=�����08� �����������������$���+&���

%����$�%�&��������K;8���0��;=�����L������������������$�������&�����������

4.4. Remarks '�� �&��� %&�-���� ,� &��� -��-���� �� �&��&���� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&�����&��&���� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&�����&��&���� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&�����&��&���� ������$�� �%&�� ,��&� �&��&����

��� �%��������� �%��������� �%��������� �%������� +�� ������ �&��� %�����$%������ ,� &��� $��� �&� 1�7����� -$��%� ���

%��-������������3%&����I��������$���%&���+&��%$������ � �&���%��-�����������

���� ��� �&� ���%��� ���� -������ +&� ������$�� ��������� ��� ���� �� %������

����������$�P����$-��� �������������&���� �%���������������%���������������

�$A���$-�� � � �&� ���$-� � � �&� �%������ "�� ��������� �$� P� ���$-�� ���

%&���%���C�����&��&�������$���+&��&��&�������$�%������ ���� ���������$��

������������� ���������$����� �%������� ���������&��&��&�������$�� ��&����$-�� �

������� �������$���� �%�� ��� %���$����� �&��,���� ��� ��� �� ��������� ��$�� �&� ���$-�

�%��� ���� 3���������� $����� �� ��&� �&��&���� ���$� � � �&� ���$-� � � �%�-������

�������$�����%�����%���$������&��,������������ �����������$���&����$-��%�������

+&����$-�-$��%�-�������-��)����������%��������� ����A,���&��&� $�%�����&� ���

���� �����&��&�������C��������

'������%����� ����-$���,���&����$-�3���������&�#+#��-���&��%������ �

������$��� ���� -����� �&� ���� � � �� ��$���� D$���� 3��%� �&� #+#� %��� %&%��� �&�

���������� � �&�������$�����,&������ �&����-����������&�������$����� �%�������

�&�#+#�%�����%��&��&����-�������$���&� �%����

Page 76: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

75

Chapter 5

Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

Page 77: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

76

����������������Directed-Threshold Multi-Signature Scheme 5.1. Introduction

'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&��'�� �&��&���� �%&����,&������ ��������� �&��&������ �%�� ��� %���$������ �&�� %���

��-�������������&������ ��&��&��������� �����&�������$����'���&���%�����&�

����%��$������ ����������������&���������-���������� ����&�������$�������������

����� ��-������ ��� ���%� �&� �������� � ���$������� ,��&� �&� ��� �� ��� �&��&����

�%&���-��-������� �����&���-�����%���������������

'���$���������$���%&����'���$���������$���%&����'���$���������$���%&����'���$���������$���%&�����&��������� ����$���������$���������� �������&�

�������������&����������� ��&��$���������$��&���������� ���,��&��&�&�-�� �

��������� � � �&� �������� ���� �$���������$���� ��� ��� ����� $��%������ ��� -$�� ��

�&��&���� ���$� ��� �����%�� �&��$���� � ��������#������� �&� ���$�������,&�� ��

���$-� � � �������$�� ����� ,�$��� &��� ��� ������ �� �$���������$��� +&�

������ � �&��� ���$-�$�� -�$���������� �&��� ��������� ��� �&� -$��%� ���%������

@&���%��%�����&���� ������������&������������������������� ������������

�����&�������%��� �����&������$-���$���&���� ���&������,��������� ��,&�&��

�� $��� ��� ��� �%�� �� ���� � � �&��� ���$-� %�$�� � � �&� ���������� � � �&�

����&�-�� '�� �&��� %���� �&��$���������$���%&��� %������ ����� �&���-�������

&�,�����&��&��&����������$���%&�������

.���&���&��&�������&����������������$��������,&���&�������������

���������������&�������$���%���������)$�����&��--���������%������� �������

-�-���#�������������&��������,�-��-�������������������$���%&����������

���%���A�+&��&����G$����A�3�����$��3%&����

5.2. Directed - Threshold Multi - Signature Scheme '�� �&��� %&�-���� ,� ��� ������ ��� %����� �&� ���� � � ������� ����� ����� ����� ��� �&��&���� ������$��� �&��&���� ������$��� �&��&���� ������$��� �&��&���� ������$��

�%&��������$���������$��%&��������$���������$��%&��������$���������$��%&��������$���������$���%&���%&���%&���%&���,��&����%���������$���%&��,��&����%���������$���%&��,��&����%���������$���%&��,��&����%���������$���%&������-��-�����

�,� ��-�� � ������$���%&��� %����� �&����%������%������%������%��� AAAA�+&��&����G$����+&��&����G$����+&��&����G$����+&��&����G$���AAAA3�����$��3�����$��3�����$��3�����$��

3%&��3%&��3%&��3%&���

�����$��%�����$%������,����$���&����&���������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%����

�3�#���3�#���3�#���3�#���,&�%&���������&����$-��%���������%����&����� ������&��&�����������

Page 78: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

77

�� ��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ��� %���%�� ���� ��� �� �%&�

-�������������$�������&��-���$%������$-�������$���

+&����%&��%��������� ��&� ����,������-���

5.2.1.Group Secret Key and Secret Shares Generation for the

Organization S

�����3�#3�#3�#3�#���%����&����$-�-$��%�-��������-��)����������%��������� �����,���

&��&� $�%�����&��3�#��������%�����-���������������

�3�(��J����U��;(�UN ����A;�(�A;�����)��,��&��������J�� Sx ��J�� �3�����

����3�#3�#3�#3�#�%��-$����&����$-�-$��%����� Sy ���J������� �3��������-��

(c). SDC randomly selects K ∈ Zq and computes a public value W = g K− mod p.

�����3�#3�#3�#3�#������������%���H��∈�Q)�����%��-$�����������J���EH������U���� �3�iSu �F�����)��

�����"�������"�������"�������"��iSu ��������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$������������&����$-������&����$-������&����$-������&����$-�77773333��������

����3�#�%��-$�����-$��%����$iSv �� ����%&������ ��&����$-�73�������

iSv ��J��������� KSi

y �����-��

���������"�"�"�"�iSy ��������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$�������&�-$��%����$�����%�����,��&��%&�$������������&����$-������&����$-������&����$-������&����$-�77773333�������������������������������

� ���3�#�������KiSv ��@�L�����%&�$����������&����$-�73��&��$�&���-$��%�%&�������

�����3�#�������������%��-$���-$��%����$���������������������

�������J��� ilg ������-�����������������J��� iKg �����-��

Page 79: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

78

5.2.2. Partial Signature Generation By Any t Users and

Verification

' ������������� ��&�������C������3��$��� ������������������������������

�����-����������-���������-���� � Rx � Ry ���+&���&�������$�����������&����&�

����,������-���

��� 1�%&�$�����∈�"3��������������%���1i

K ����2i

K �∈��Q)�����%��-$�����

����������$�������J������ 2iK− ����-������������J������� 1i

K �����-������,���������J���� 1iK � Ry 2i

K �����-��

�� 1�%&�$���������$����,���-$��%�����������%�����������������%&��������∈�"3��

.�%�����$�� � ���������,���������������%&�������∈�"3�%��-$�����&�-���$%��

3���>3����@3�������&��&����$��3�������

3���J���� quSHi

i mod∏∈

�������>3�����J����� qvSHi

i mod∏∈

�����

@3����������������J��J��J��J�� qwSHi

i mod∏∈

����������3���J����&��>3����������)��

�%���1�%&�$�����∈�"3���%�����&��R&���%����&���������J��iSv iSxW �����-��

�����1�%&�$�����∈�"3����� ���&��R&���&���,�iSMS J�������� q

uu

u

ji

j

SS

St

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

����1�%&�$�����∈�"3�$���&��R&������ ����&���,�iSMS ����%��-$��������$����������

�����J���1i

K ��U���iSMS ��3�����)��

�� 1�%&�������∈�"3������&���-�������������$������&��#�#�#�#��

� � +&��#��#��#��#�%&%����&�%����$�%� � � �� is � � ≡?

� � � ���� � ��S

ijSHj jSiS

iSR

quu

u

im ���

−∏

≠∈ ,

mod ����-� �����

-������������� �������$�� �� ��� �� ��� ���3� ��� ' � �&��� %����$�%�&������ �&���&�-�������

������$��������������3��� ����&��&�����������������

Page 80: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

79

5.2.3. Group Signature Generation

������#�#�#�#�%���%��-$����&����$-�������$��33����J������=

t

i ,1�������)�����%������������

�&�-�������������$����

���������#�#�#�#������K�33��� 3��@3�����L���������������$��� ��&����$-�3�����&����������

5.2.4. Signature Verification by R

+����� ���&����������� ��&����$-�������$��K33��� 3��@3������L�����&���� ���&���� ���&���� ���&���� �������������������������������

&��R&���%������&��R&���%������&��R&���%������&��R&���%������ Rx �����

��� +&���� �����%��-$�������� �%���������$�1������

1����J����� ∏∈

���

−∏ ≠∈

S

ijSHjjSiS

jS

Hi

quu

u

in mod0

, ����-��

����+&���� �����%����%������&����$�����������3�����

������J����@3�� RxSU ����-���������3������J����&�������������

�%���+&���� �����$����&�%��%$���%�� SS ����� ≡?

������������1�� SRSy ) �����-����%&%���&�

���������� ��&�������$���' ��&���%��%$���%�&�������&���&����$-�������$��K33���

3��@3�����L�����������������$��� ��&�������C������3�����&����������

5.2.5.Proof of Validity By R to any third Party C

�������%��-$����b��J��� 3� Rx �����-����������J���b��@3������-����

����������K�����1��33��� 3������bL����#��

�%� #��%������3� � � �J� �&����� � ����������$����&� ����,����%��%$���%����%&%���&�

���������� ��&�������$���

� SS �����≡?

������������1�� SRSy ) �����-��

���' ��&�����������&����#����-���&�-��%��/���&�,�����������&��(����-���

Page 81: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

80

�����������C������,���� ��&����-��������#��&�������SU �b����J��������� Ry ���� ����,���

+&���-����� ��&��%&���$����������%�����A�����0��

5.3. Security Discussions '�� �&��� �$A�%������ ,� �&���� ���%$��� �&� �%$����� ��-%��� � � -��-������� ���%������%������%������%��� AAAA����

�&��&����&��&����&��&����&��&���PPPP� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&��� "�� ,� �&���� ���%$��� ������ -������

����%�����$������� ��&��%����$%%�� $���������$������������

��������������������#�����������������&��%������� Sx �J�� �3����� �����&����$-�-$��%���� Sy �O��

+&��� ��� ��� �� �%$��� ��� �������� ���%��� �������&�� -������ B�� ��� %��� ��� �&�

�%������ Sx �����%� �3������&���������������%�������%���-��������������&�

3�#���.���&���&��&�������$������&�-$��%����� Sy ����������������&��%���

���� Sx �%�$���&����������� �%$�����������������%����������&��-������

����������������#�������������&��%����&����� 3����iSu �����∈�73����� �����&�)$������

iSv ��J����� 3���iSu ��� K

Siy �����-��O�

B�� %�$�� 3� � ��� �� ��������� ���� �%����� ��%��� -���������� ����H� ��� ����� ��

��������������%�������%������������&�3�#��

�%����%����%����%���#�������������&��%����&����� 3���iSu �����∈�73����� �����&�)$������

3���iSu ���J����

iSv iSxW �����-��O�

.�����&�$�����%����%�����&����%����&����� 3��iSu ���%�$�� 3�����������������

�����%�������%���-�������������iSx �����%������� ��&�$����∈�73���

(d). #��� ��� ������ �&� ���� ��� �&���,iSMS �� ������

1iK �� �3� � ���� -�������

������$��������∈�73��� �����&�)$����������J����1i

K ��U���iSMS ���3�����)��O�

'�� ��� %��-$����������� �� ����� ����� ����� ��� %���%�� �&iSMS �� ������

1iK ���3�

����-�������������$��������∈�73�����

Page 82: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

81

(e). #����&����������%�������#��������&�����-��������� ��������� �����&�

)$���������3��J����=

t

i ,1�������)���O�

.���$������&������%��-$������������� ����� ����#��

� ���� ���� ���� ���#��������-���������$������∈�"��O�

�� ����� ���� ���� ��� ��-������� �� $��� �� ∈� "3� �� � �� ��������� ��%����� � �,��

�������1i

K ���2i

K ∈�Q)���������%�������$������� �������,�����$��,��&�$�����,����

�&� �%��� �&����� 3� �iSu �� ���� �3� �� � ��� ��� �� �%$��� ��� ������ �� ������ -�������

������$������������� ���&���� �%������)$��������

� is ��� ≡?

����������

S

ijSHj jSiS

iS

R

quu

u

im ���

−−

∏≠∈ ,

mod����-��

��������������������#������ ������������$��K33�� 3��@3���L����&� ����,����)$�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� SS ���≡?

������������1�� SRSy ) �����-��O�

�� ��������������������%��������������������&��%��-$����&�&��&����$�

�3��$%&��&������3���J�����&���������������)��

.���$����� ��� %��-$��� �&� ������ SS � ��� )$������� ��� �������� �&� ���%���

�������&��-������.���&���&��&������&� �����%��������������%���3����� SS �

�������&���������������������$�����&�������� ���&�)$�������

���������������������������������������� SS ���� ≡?

�����������1�� SRSy ) �����-��

�"�,���� �%%������� ��� �&� -��-���� � � �&� &��&� $�%����� &�� ��� ��� )$���

��-�������+&$����&�������%��,����������$%%�� $���

�&����&����&����&���#�������������&��&�������%�����%���$���������%�����$%���&�-���������� 3��(���O�

��%%�����������&�)$�������

3��(��J� quu

uxuf

jSiS

jSt

ijj

t

iiS mod)(

,11 −−

∏�≠==

��

Page 83: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

82

�&��%���-���������� 3��%�����%�����$%���,��&��&����,����� ��������%���

�&����� 3���iSu �����∈�73������

�$������$��-��-�����%&����&��%����&������������∈�73����%���������&�������H��

,&�%&� ���,�� ����� �� �&� ��$���� 3�#� ���� &��� ��� � ������ ����� ���

�%�����$%����� �&� -���������� � 3� �(��� �� ����%��$�� �&��&����� �� ���� ���� ���

�������&�������H�� �����&�-$��%��������"�,�����&��� �%$��������������

���������&����%����������&��-������+&$�����������������&��&������%������

%���-�������%�����$%���&�-���������� 3��(����-����������&����,���%����&�����

3�� � � ��� ��� ������C������ �&� �&��&������ ��� ���,�� ��� �%&� ��&��� ��� �&���

�&��%�������%�����$%���&�-���������� 3��(�����

Illustration ��������$�����������$--��� =SG ��?��� =SH �8���-�J���0?��)��J�����������J���8��

*����� �� ��� ���+�� �� ���"�� ��* � ������������" �.�����/��������

�����3�#���%�����-������������ �3��(��J�;���U�;=�(�0������������ Sx �J�;���� Sy �J�;<�����������������������������������������������������

����3�#������������%��� K J�;0�����%��-$�����-$��%����$�@�J�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������>�5 1�

31��

3%���

ix �

�$��%�

iy �

3%���

iK �

3%���

3�iSu ��

3%���

il �

�$��%�

im �

�$��%�

in �

�$��%�

iv �

� ��P3;� ;�� ;<� =� �� ;�� �� ;?� 0;�

� ��P3�� ;=� 0� ��� �;� ��� :� ��� �:�

� ��P3�� ;:� <� ;�� ;<� �� �;� �� ;�

� ��P30� ��� :� ;?� �� ��� :� �0� ;:�

� ��P38� ;?� �0� ;0� ;0� 8� ;�� �0� �=�

� ��P3<� ��� ��� ;<� ;0� ?� �?� ?� ;0�

� ��P3?� ;8� �<� �;� ��� ��� :� �?� 00�

Page 84: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

83

�%���3�#�%��-$����&��%�������-$��%������%����&�������-$��%����$� ����%&�

����� ��&����$-�73������&�,������&����������

�������� �* � ���������������,� ���

' ����� ���$����3���30��38��3<�������3?��$��� ������������������������������

��� ��� �� -����� �� -������� Rx J� :� Ry J� �� �&�� �&� ������$�� ��������� &��� �&�

����,������-���

�����3��������������%���12K J�;=�

22K J�;?�����%��-$����$���J�;=������J�0������,���J����

����30�������������%���14K J�;?�

24K J�;:�����%��-$���$0��J�=���0��J��0������,0��J��=��

�%���38�������������%���15K �J�;0�

25K J�;������%��-$���$8��J�������8��J��0�����,0��J�?��

�����3<������������%���16K J�;:�

26K J��;�����%��-$���$<��J;0���<��J�<�����,<���J��8��

����3?������������%��17K J�;<�

27K J�;=�����%��-$����$?�J;����?��J�?������,?���J���0��

� ���1�%&�$���%��-$����&�-���$%�� 3�J�=�>3��J���<�����@3333��J���J���J���J�;0�������3���J�:�������

�����3�����%�����&��R&���%����&����������J���������%��-$���2SMS ���J��;��������J��;<��

�&���30���%�����&��R&���%����&����0�����J���������%��-$���4SMS ��J��;<���0���J��������

������38���%�����&��R&���%����&����8�����J����8�����%��-$��5SMS ��J����<���8���J��������

�D����3<���%�����&��R&���%����&����<�����J����?�����%��-$��6SMS ��J���8���<����J��;=��

������3?���%�����&��R&���%����&����?�����J���������%��-$��7SMS ��J����8���?���J����;8��

���������������� �$ �������������+��������� �* � ������������

������#���� ����%&�-�������������$�������(��-�� ���$���3�����

���������������J��;<��������J��0������J��:���3�J�:�� 23mod2.7,6,5,4 ji

j

SS

S

ij uu

u

−∏

==�J��;���

"� %&%��� � �8� ;<� � � ≡?

� � � 0� � �� ( )9129 ����0?�+&��� &������3���������� &� %&%��� �%&�

-�������������$���������������������

Page 85: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

84

�����#�%��-$��������$-����$�33��J�������������K�����;0��=������L����������$��� ��&�

���$-�3� ����&����������

�������� ��$ ���������������" �,� ������

�����+&���� �����%��-$�������� �%���������$�1���J��;=��

����+&���� �����%����%������&����$�������J����<������3���J���:��

�%���+&���� �����$����&�%����$�%��8� �� � � ≡?

� ��<� �� ��;=�;<��:� ����0?����%&%���&�

���������� ��&�������$��

+&���%����$�%�&����������&����$-�������$��K���;0��=���L�����������������$��� �

�&����$-�3�����&���������� ����&�-���������

���������$���+�������!������"��+���������

�������%��-$����b�J�;<�����J��<����������K�<��;=���=�����;<L����#��

����#��%������3� � � �J�:�����%&%���&�%��%$���%���8� �� � � ≡?

� � ��<� �� ��;=�;<��:� � ����&�

���������� ��&�������$���+&���&����/����#���������&��(����-���

�%����������C������,���� ��&����-��������#��&�������=�;<����J���������8��������� ����,�*A��

• #�%&������������$�J�:����J�;;�����%��-$���,�J��8����������,�������

• ��%&������������a�J��?�%��-$���c�J��<��γ��J�:����������c��γ����#��

• #������$������������,&�%&���%������ ���&���,���J����8��

• �������a����#����,&�%&��&�%������ ���&����c�J��<������γ��J�:��

5.4. Remarks '���&���%&�-����,�&���-��-���������%���+&��&���%���+&��&���%���+&��&���%���+&��&����������������PPPP�G$���������$��3%&���G$���������$��3%&���G$���������$��3%&���G$���������$��3%&���'��

�&����%&���

• +&�� ��� �� ��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#� �&��� ������� �&� ���$-� �%��� ����� ����

�&��&����I���%����&����

• +&����������������%�������#���������%�������#���������%�������#���������%�������#�,&��������&���-�������������%���%��

������� ���%&�-�������������$�������&��-���$%������$-�������$������$��$��$��$��

����%����� �������������%�����,��&��&��#����%����� �������������%�����,��&��&��#����%����� �������������%�����,��&��&��#����%����� �������������%�����,��&��&��#�

Page 86: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

85

• ��������%��$������ ��������%��������-�������������&������ ��������

��� ���� �&� ������$���� '�� %��� � � ������� ��� ��� -������ ��� ���%� �&�

�����������

• ��������������&��&�������%�����%���$�����%������%���-�������%�����$%��

�&�-���������� 3��(����-����������&����,���%����&��������&�%��&��

%�������%�����&����$-��%�������

Page 87: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

86

�Chapter 6

Directed-Threshold Multi-Signature Scheme without

SDC �

Page 88: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

87

Directed-Threshold Multi-Signature

Scheme without SDC 6.1. Introduction G���� �&��&���� ������$�� �%&��� �)$��� �� ��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#��$���� 3�#���� ��� ������ �&� ���$-�

�%��� ���� ���� �%��� �&���� � � ���$-� ������ ,&�%&� &��� �� ������ -����� � �

�$�����������+&�(����%�� ��$%&���%������������������������$�-����/��&��

����,��-��������-��������

• ������� ���������--��%���������&�����������-�����������%��,&�%&�%���

%��-�������$���������������� ��&����$-��

• �3%������&�$��� ������%����%�������������-����� ���$��������%$�����

��-������&����%����%���������&�-�����������

+�� ������ �&�� -������� ��� ;::��� "���� ������$%�� �� �%&�� ���� ��� ��

���� ���157�����������$���%&���,&�%&����������)$�������$����3�#�E0��<;F��

1�%&�����,����������3�#�������������������$����&��%����&���� ����%&�

$����'���&���%&�-����,�-��-���������%������%������%������%���AAAA�+&��&����G$�����+&��&����G$�����+&��&����G$�����+&��&����G$����AAAA�3�����$��3%&���3�����$��3%&���3�����$��3%&���3�����$��3%&��

,��&�$��3�#��,��&�$��3�#��,��&�$��3�#��,��&�$��3�#������

6.2. Directed - Threshold Multi - Signature Scheme without SDC '�� �&��� �%&��� �%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#� ��� ������ &��� �%��� ��� ����

������$���&�%����-��������%����&���������&���&��&�������'�������%�������&�

�&��&������ ��� ���� ��� �&� -$��%� -��������� @� ���$�� �&��� �&�� ��� ��

��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ��� %���%�� ���� ��� �� �%&�

-������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-� ������$��� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���� B���&����� �&�� ��� ���

-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&�-��������%����� ���������� ��&���&��$��������%�����,��&��&��#�#�#�#��

6.2.1.Group Public Key and Secret Shares Generation Phase �������� �&� ����� � � �&� ������C������ 3� ���� ��� ��%�� �&� ���$-� -$��%�

-���������-���)������&�������%��������������%���H���

����1�%&�����������73�%��-$����@���J�� Kg − ����-��

Page 89: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

88

�%���1�%&�����������73�������������%���������P�;���&������-���������� � ���(��

�%������������������iSu ∈��Q)�-$��%����

�����1�%&�����������73��%��-$���-����������$-�-$��%���� iy ��J������ �����������-��

����+&����$-�-$��%���� Sy ������������ Sy J��� ∏∈ SGi

�� iy �����-��

� ���1�%&����� �� ���73�,����� ���3�#�"� ��%��� �� ��������%���&�D� � ∈� � Q)� ����

%��-$����&��%������$����D������-$��%����$���D�����D��� �������D� ≠ �������

��D�����J���E&�D��U� ����iSu �F�����)��

��D�������J���ijlg ������-����������D��J�� ijhg �����-��

�����1�%&�����������73��%��-$�����-$��%����$iSv �� ����%&�����D� ≠ ����� ��&�

���$-�73��������ijSv ��J�������D��� K

S jy �����-��

���"���jSy �����&�-$��%��������%�����,��&��%&�$���D������&����$-�73��

�&���1�%&������������73�������ijSv �����%&�����D� ≠ ����&��$�&���-$��%�%&�������

6.2.2. Partial Signature Generation by any t Members and

Verification�

' ������������� ��&�������C�������$��� ������������������������������

�����-����������-���������-����� Rx ��� Ry ���+&���&�������$�����������&����&�

����,������-���

�����1�%&�����������∈�"3��������������%���1i

K ����2i

K �∈��Q)�����%��-$�����

$�����J���� 2iK− ����-������������J����� 1i

K �����-��������,�������J����� 1iK � Ry 2i

K �����-��

����1�%&�����������$�����,���-$��%������������%�����������������%&������ �

"3� ��.�%�����$�� �������� �,���������������%&����� � �� ���∈�"3�%��-$��� ��&�

-���$%�� 3���>3���@3�������&��&����$��3���������

3���J��� quSHi

i mod∏∈

�������>3�����J���� qvSHi

i mod∏∈

�����

Page 90: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

89

@3����J������J������J������J�� qwSHi

i mod∏∈

������������������3����J����&��>3����������)��

�%���1�%&����������∈�"3���%�����&��R&���%����&�����D����������

�D���J���jiSv iSxW �����-���������D� ≠ ����

�����1�%&����������∈�"3��%��-$��������$��#�����J� quu

u

ikHk SS

S

S ki

k mod)(

)0(

,∏

≠∈ −−

�����

����1�%&������ �"3��%��-$���&��R&������ ����&���,iSMS ��J �

∉∈ SS HjGjjil

,

�#������)��

� ���1�%&����������∈�"3��$���&��R&������ ����&���,��iSMS ���������$���������

�����J������E1i

K U���� ������UiSMS ���3�F�����)��

�����1�%&����� �� ���∈�"3� �����&���-�������������$�� ��� �&����������%������

�#�����#���� ���&�-�������������$�������������#�����3������&�����������

� is ���� ≡?

����������S

SS

i

R

HjGj

Cjii my �

��

�∏

∉∈ ,

����-��

' � �&� ���� )$������ &������ �&�� �&� -������� ������$��� ��� �� ��� �#�� �� �� �� ���

�&��&�����������������

6.2.3.Group Signature Generation��

������#�#�#�#����%���%��-$����&����$-�������$���33��J���=

t

i ,1�������)����%�������������&�

-�������������$����

�����#�#�#�#������K�33��� 3��@3�����L����������$��� ��&����$-�3� ����&���������������

6.2.4.Signature Verification by R +�� ��� �� �&� ��������� � � �&� ���$-� ������$�� K33� �� 3� �@3� � �� �� L� �&� ��� ����&� ��� ����&� ��� ����&� ��� ��� ������������

������R&���%������������R&���%������������R&���%������������R&���%������ Rx �����+&����$A�%�����%��������� ��&� ����,������-���

����+&���� �����%��-$�������� �%���������$�1����J��� ∏ ∏∈ ∉∈

��

���

S

i

SSHi

C

HjGjjin

,����-��

����.�����&���� �����%����%������&����$�����������3�����

Page 91: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

90

�����J���@3��� RxSU ����-��������3����J����&���>3��������

�%���+&���� �����$����&�%����$�%�� SS � � � ≡?

���������1�� SRSy ) �����-����%&%���&�

����������&�������$���' ��&���%����$�%�&�������&���&����$-�������$��K33��� 3�

�@3�����L�����������������$��� ��&�������C������3�����&����������

6.2.5. Proof of Validity by R to any third Party C ���������������������+&���-����� ��&�-����%�����������������%�����8���8�

6.3. Security Discussions '���&����$A�%������,��&�������%$����&��%$�������-%���� �-��-��������%&���������"��

,� �&���� ���%$��� ������ -������ ����%��� ���� �&�,� �&���� ���� � � �&�� %���

�$%%�� $���������&�����������

�����'�����-����������������&�-��������%������� ���������∈�73����O�

+&��� ��� ��� �� �%$��� ��� �������� ���%��� �������&�� -������ B�� ��� %��� ��� �&�

-������� ���$-� -$��%� ��� iy �� ���%� �� � ��� �&� ��������� ���� �%����� ��%���

-�������������&���������.���&���&��&�������$������&�-$��%����� Sy ����

������������&�-��������%������� �����%�$���

iy ��J������ �����������-������� Sy J���∏∈ SGi

iy �����-��

����'�����-����������������&��%����&�����D��� �����&�)$������

��D���J�E&�D��U� ����iSu �F�����)�O�

B���%�$�� � � � �������� �����&���������������%�������%���-��������������&�D�����������

��������������%�������%������������&��������

�%���'�����-����������������&��%����&�����D��� �����&�)$������

����������������������������������������������������D���J� ijlg ������-��O�

B���%�$������&����������� �%$�����������������%����������&��-������

�����'�����-����������������&��%����&�����D��� �����&�)$�������

ijSv J������D��� KS j

y �����-O�

B��%�$��H��������������������%�������%���%�������������

����'�����-����������������&��%����&������D� �����&�)$������

�D����J���jiSv iSxW �����-O�

Page 92: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

91

.�����&�$�����%����%�����&����%����&�������� �� ��D�D�D�D�%�$�iSx � ����%������� ��&�

$�������

� ���#�������������&����� ����&���,iSMS �����&�)$������

iSMS ��J�� �∉∈ SS HjGj

jil,

�#������)���O�

'�������-���������%���%���&����� ����&���,iSMS �����&�)$������%�$������

��D�D�D�D�����%����� ����������&�������&�$�����

����� '�� ��� -������ �&��� �&� ��������� %������ �#� ������ �&� ���� -�������

�� ��������� �����&�)$���������33���J�����∈ SHi

�������)���O�

.���$������&������%��-$������������� ����� ����#��

�&���'�����-����������&����������%�����-���������$�����∈�"��O�

�� ����� ���� ���� ��� ��-������� �� $��� �� ∈� "3� �� � �� ��������� ��%����� � �,��

�������1i

K ���2i

K ∈�Q)���������%�������$������� �������,�����$��,��&�$�����,����

�&��%����&���������D������3��� ��������� �%$��������������������-�������������$�����

�������� ���&���� �%������)$����������� is ���� ≡?

���������

S

SS

i

R

HJGj

Cjii my ���

�∏

∉∈ ,����-��

����� '�� ��� -������ ��� �&��� ���� ��� %��� ���� �� ������$�� K33� � 3� �@3� ��L� �� �&�

����,����)$��������� SS ���≡?

�����������1�� SRSy ) �����-�O�

�� ��������������������%��������������������&��%��-$����&�&��&����$�

�3��$%&��&������3� � �J� � � �&���������������)�����$�������%��-$���&������� SS ����

)$������� ��� �������� �&� ���%��� �������&�� -������ .�� �&� ��&�� &����� �&�

�����%��������������%���3����� SS � �������&���������������������$�����&���

����� ����&�������$����� �%������)$�������"�,�����%%�����������&�-��-����

� � �&� &��&� $�%����� &�� ��� ��� )$��� ��-������� +&$��� �&��� ����%�� ,���� ���� �

�$%%�� $���

Page 93: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

92

Illustration �������$����������3$--��� =SG ?�� =SH 0��-�J�0?��)�J�������J����H��J�;;����@�J�;���

*����������� ���+�� �� ���"�� ��* � ��������"�� ��

����� ���� �&� $���� %��-$�� �&��� �%��� ���� -$��%� ���$��� ,&�%&� ��� ����� �� �&�

����,���������

>�5 1�

31��

3%���

����(�����

3%���

������

�$��%�

u����������������

�$��%�

iy �

3%���

iSx �

�$��%�

iSy �

��A3;� ?�U�;��(�� ?� :� �8� :� �?�

��A3�� :�U�;;�(�� :� ;�� �?� ;;� 0�

��A3�� ;0�U�=�(�� ;0� ;8� ;0� ;�� �����<�

��A30� ;?�U���(�� ;?� ;;� �� ;:� ;=�

��A38� ;��U�?�(�� ;�� ;=� �<� 8� =�

��A3<� ;=�U�;8(�� ;=� ;:� <� ;�� ;?�

��A3?� �;�U�;8�(�� �;� �;� �;� ;0� ;0�

�����+&����$-�-$��%���� Sy ����������� Sy ��J����8��

�%���� ��A�3;��������&� ����,���������

����������>�5 1�

31��

���%�����������������������������������������������������

&;D������

��%����������������������������

�;D������

�-$��%����������������

�;D�

�-$��%���������

�;D�

-$��%����

����;D�

���P�3�� ;0� 0� �0� ;0� ��

���P�3�� :� ;�� �<� �������?� ;��

���P�30� ;;� 8� =� 0� 08�

���P�38� ;8� ;?� �� 0�� ;=�

���P�3<� ;?� ;8� 0�� �� 0��

���P�3?� ;�� ;<� ��� �<� 0��

Page 94: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

93

����� ��A�3��������&� ����,���������

���������>�5 1�

31��

��3%�����������������������������������������������������

&�D������

�3%��������������������������

��D������

��$��%����������������

��D�

��$��%���������

��D�

�$��%����

�����D�

���P�3;� ���;�� ����;0� ����;0� �����<� ����;�

���P�3�� ���;0� ������� �����?� ����;0� ����0�

���P�30� �����:� �����=� �����=� ����;?� ����8�

���P�38� ����?� �����;� �����;� �����8� ����8�

���P�3<� ���;<� ����;;� �����0� ������=� ���;:�

���P�3?� ������ ����;<� ������� �����?� ���0��

��� ��A�3������������&� ����,���������

���������>�5 1�

31��

��3%�����������������������������������������������������

&�D������

�3%��������������������������

��D������

��$��%����������������

��D�

��$��%���������

��D�

�$��%����

�����D�

���P�3;� ������?� ����;;� �����0� �����8� ���0��

���P�3�� ����;�� �����8� �����=� ����;?� ����<�

���P�30� ����;;� �����;� ������� �����0� �����:�

���P�38� ����;�� ���;<� ������� �����<� ����=�

���P�3<� ����;:� ����0� �����0� ����;=� ����0�

���P�3?� �����;� ���;?� �������� �����;� ����?�

� �� ��A�30�������&� ����,���������

�������������>�5 1

31��

��3%�����������������������������������������������������

&0D������

�3%��������������������������

�0D������

��$��%����������������

�0D�

��$��%���������

�0D�

�$��%����

����0D�

���P�3;� ����;:� �����;8� �����;0� ����;=� ���0<�

���P�3�� ����;�� �������� �����?� �����<� ���;��

���P�3�� ����;;� �����;�� ����;?� �����0� ������

���P�38� �����<� �����;<� ������� �����0� ����=�

���P�3<� �����=� �����;?� ������� �����=� �����=�

���P�3?� ����;=� �����;;� �����0� ������<� ������

Page 95: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

94

���� ��A�38�������&� ����,���������

���������>�5 1�

31��

��3%�����������������������������������������������������

&8D������

�3%������������������������������

�8D������

��$��%����������������

�8D�

��$��%���������

�8D�

�$��%����

����8D�

���P�3;� �����<� ����;<� �������� �����0� ����0�

���P�3�� ����;?� ������� �����;<� �������� ���;;�

���P�3�� ����;=� ����;8� �����0�� ������<� ����<�

���P�30� ����;�� �����8� �������=� ������<� ���08�

���P�3<� ����;:� �����;� ������;� ����;=� ������

���P�3?� �����=� ����;;� �������0� �����=� ������

�&�� ��A�3<�������&� ����,��������

����������>�5 1�

31��

��3%�����������������������������������������������������

&<D������

�3%��������������������������

�<D������

��$��%����������������

�<D�

��$��%���������

�<D�

�$��%����

����<D�

���P�3;� ������ ������?� ������8� ������:� ����0�

���P�3�� �����8� ����;:� �����;=� ������=� ������

���P�3�� ����?� ������0� ������0� ������8� ������

���P�30� ���;;� ������?� ������8� �������0� ���;<�

���P�38� ���;�� ����;:� �����;=� ������<� ���08�

���P�3?� ���;�� �������� �������:� �����;�� ���;?�

���� ��A�3?�������&� ����,���������

���������>�5 1�

31��

��3%�����������������������������������������������������

&?D������

�3%��������������������������

�?D������

��$��%����������������

�?D�

��$��%���������

�?D�

�$��%����

����?D�

���P�3;� ����;;� ����;:� ����;=� �����0� �����8�

���P�3�� ����;�� ������?� �����8� ����<� ����?�

���P�3�� ����;8� ����;8� ���0�� ���0�� ����<�

���P�30� ����;?� ���;<� ������ ������� �������

���P�38� ����;0� ����=� ����=� ���;<� ���;0�

���P�3<� ����;�� ���;<� ������ ���;�� �������

Page 96: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

95

���������������� �* � ��������������,� ����

��' ����� �$�������3���30�3<������3?�������������������������� �����-�����

��� -��������� Rx � J� ?�� Ry � J� � � �8� ��&�� �&� ������$�� ��������� &��� �&� ����,����

��-����

�����3�������������%��12K J�;;�

22K J��;������%��-$���$���J��;�����J��0������,���J�;?��

����30������������%��14K J��;��

24K J�;������%��-$���$0��J�0���0��J�;?�����,0��J��:���

�%���3�<������������%��16K J�;0�

26K J�;?�����%��-$���$<��J���0��<���J�;0������,<��J�<��

�����3?������������%��17K J�;=�

27K J��8�����%��-$���$?���J��<���?���J��<�����,?���J���8��

����1�%&�$���%��-$��� 3��J��;<������J����8�@3��J��;0������3���J�&���8�������J��?��������

� ���3����%�����&����&�����;����J���0�������J���8���8����J����������#���J�;�G3��J�=�������J��;8��

�����30��%�����&����&�����;0�J��8���0����J�;��80�J���8�����#0�J;;��G30��J��<���0���J��;���

�&���3<��%�����&����&�����;<��J�;8���<���J��0��8<��J��;����#<��J�:�G3<��J;8���<���J��;8��

�����3?��%�����&����&�����;?�J�;<���?��J�;?��8?��J�;;����#?��J�����G3?��J�;?���?���J�=��

���������������� �$ �������������+��������� �* � ������������

��� �#�#�#�#������� ����%&�-�������������$�������(��-�� ���$���3�������� �J�

;8������J�0���;���J��0��������J��=���8�����J��;<�2Sy �J��?���3���J��?��#���J��;����

�������#��������#��������#��������#�%&%�� � ��� ;<� � � � � ≡?

� � � �0� � ��?�?� � � ��0��=��;<���?����0?��+&���&������3����������&�

%&%�����&��-�������������$����������������������

�����#�#�#�#�%��-$��������$-����$�33��J�������������K�����;<��;0� �����L����������$��� �

�&����$-�3� ����&����������

�������� �$ ��������������" �� �������

�����+&���� �����%��-$�������� �%���������$�1���J��;���

����+&���� �����%����%������&����$�������J����8������3���J��?��

�%��� +&� ��� ��� �� $��� �&� %����$�%�� �� ≡?

� �8� �� �� ;���8�� ?� � ���0?� ��� %&%�� �&�

���������� ��&�������$�����

Page 97: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

96

+&���%����$�%�&����������&����$-�������$��K���;<��;0���L�����������������$��� �

�&����$-�3�����&���������� ����&�-���������

���������$���+��������������"��+��������

�������%��-$����b��J����������J���8����������K�8�;����;<�����L����#��

����#��%������3����J��?�����%&%���&�%��%$���%�������≡?

���8����;���8��?�����0?� ����&�

���������� ��&�������$���+&���&����/�����#���������&��(����-���

�%����������C������,���� ��&����-��������#��&�������;<�������J��������������8���� ����,�*A��

• #�%&������������$�J�;�����J�;8�����%��-$���,�J��:����������,�������

• ��%&������������a�J�;;�%��-$���c�J��<��γ��J�;<����������c��γ����#��

• #������$������������,&�%&���%������ ���&���,���J���:��

• �������a����#����,&�%&��&�%������ ���&����c�J��<������γ��J�;<��

6.4. Remarks '���&���%&�-����,�&���-��-���������%������%������%������%���PPPP+&��&����G$���+&��&����G$���+&��&����G$���+&��&����G$������� AAAA�������$��3%&���������$��3%&���������$��3%&���������$��3%&��

,��&�$��3�#�,��&�$��3�#�,��&�$��3�#�,��&�$��3�#��'���&����%&���

• 1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#1�%&� �&��&����� ,����� ��� �� 3�#� ��� ������ &��� �%��� ��� ����

������$���&�%����-��������%����&���������&���&��&�������

• �+&�� ��� �� ��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ���

%���%�� ���� ��� �� �%&� -������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-�

������$���$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��$������%����� ����������������%�����,��&��&��#��#��#��#��

• ��������%��$������ ��������%��������-�������������&������ ��������

��� ���� �&� ������$���� '�� %��� � � ������� ��� ��� -������ ��� ���%� �&�

������������

• ���� �� ��� ���� �&��&������ �%����� ��� %���$����� %������ %���-��� ���

�%�����$%���&����$-��%��������-����������&����,���%����&���.����

Page 98: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

97

Chapter 7

The Generalized Directed– Threshold Multi – Signature

Scheme

����

����

����

����

����

����

����

Page 99: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

98

The Generalized Directed-Threshold

Multi-Signature Scheme�

7.1. Introduction @&���&����������������������&�������$���%��������@&���&����������������������&�������$���%��������@&���&����������������������&�������$���%��������@&���&����������������������&�������$���%���������)$�����&��--������� �

���� �-%� ��� �$���� � � �������� '�� �&��� �����'�� �&��� �����'�� �&��� �����'�� �&��� ����� ,� %����� �&� ���� � � ���%���,� %����� �&� ���� � � ���%���,� %����� �&� ���� � � ���%���,� %����� �&� ���� � � ���%���

������$�� �%&��,��&� �&��&�����$���������$�� �%&��,��&� �&��&�����$���������$�� �%&��,��&� �&��&�����$���������$�� �%&��,��&� �&��&�����$���AAAA������$�� �%&������-��-��� �� �&��&����������$�� �%&������-��-��� �� �&��&����������$�� �%&������-��-��� �� �&��&����������$�� �%&������-��-��� �� �&��&����

�������� ������$�� �%&��$���� �&� ������������� ������$�� �%&��$���� �&� ������������� ������$�� �%&��$���� �&� ������������� ������$�� �%&��$���� �&� �����7�����C�����%��� A� +&��&����G$���� A�

3�����$�� 3%&������ +&� ��$��� ��� �&��� ������C�� ���%��+&� ��$��� ��� �&��� ������C�� ���%��+&� ��$��� ��� �&��� ������C�� ���%��+&� ��$��� ��� �&��� ������C�� ���%��AAAA� �&� �&� �&� �&��&���� �$������&���� �$������&���� �$������&���� �$���� AAAA����

������$�� �%&�� ��� �������� ��� �&��� � � �&� ��� ���� � ���%��� �&��&���������$�� �%&�� ��� �������� ��� �&��� � � �&� ��� ���� � ���%��� �&��&���������$�� �%&�� ��� �������� ��� �&��� � � �&� ��� ���� � ���%��� �&��&���������$�� �%&�� ��� �������� ��� �&��� � � �&� ��� ���� � ���%��� �&��&���AAAA� �$����� �$����� �$����� �$���� PPPP����

������$���%&�����-�������$������&������%&�-���(%-���&����&����$-�������$��������$���%&�����-�������$������&������%&�-���(%-���&����&����$-�������$��������$���%&�����-�������$������&������%&�-���(%-���&����&����$-�������$��������$���%&�����-�������$������&������%&�-���(%-���&����&����$-�������$��

%��� � ������� ����� �� ���� �-%� ��� �$���� � � ����� �%%������� ��� �&%��� � ������� ����� �� ���� �-%� ��� �$���� � � ����� �%%������� ��� �&%��� � ������� ����� �� ���� �-%� ��� �$���� � � ����� �%%������� ��� �&%��� � ������� ����� �� ���� �-%� ��� �$���� � � ����� �%%������� ��� �&����

������$��-���%��������$��-���%��������$��-���%��������$��-���%������

7.2. Generalized Directed - Threshold Multi - Signature Scheme

' � �&� ������ �� ��������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%������������� ��� �&� ������$�� �%���� ��������� ��� ����������� �� ���

������C������3������-������������&��������)$�����&��--������� ������-%� �%�

�$����� � ������� ������ �&� ���� � �������� �&�� �&� ��-����������� � �������� �&�

����������� �����&�����������-%� ����$����� � �&���������%%������� ���

�&���������-���%��������&������$�������,�-��-�����7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%���7�����C�����%���AAAA��&��&������&��&������&��&������&��&����

�$�����$�����$�����$����AAAA�������$��������$��������$��������$���%&����%&����%&����%&������

�5��73�����&����� ����������������������&�������C������3�����"3�������&�

�-%� ��� �$��� � � �� �������� +&� ������ ���$-� ������$�� %��� � ������� �� �&�

%��-�������� ��&�����������������"3��@������� ����&������73������&����� �����

�-%� ����$������

�����$��%�����$%������,����$���&����&���������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%������$�����&���������$�����%����

�3�#���&���3�#���&���3�#���&���3�#���&������������&����$-��%�������������&��&����I���%����&�����������

��������� %��������������� %��������������� %��������������� %������ �#�#�#�#� ,&�� ����� �&� ��-���������� ��� %���%�� ���� ��� �� �%&�

Page 100: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

99

-�������������$�������&��-���$%������$-�������$���+&��� �%&��%��������� � �&�

����,������-���

7.2.1.Group Public Key and Secret Shares Generation Phase

�����3�#3�#3�#3�#���%����&����$-�-$��%�-��������-��)����������%��������� �����,���&��&�

$�%�����&��3�#��������%��������$-��%������ Sx �∈�Q)�����%��-$����&����$-�

-$��%����� Sy ������ Sy ���J�������� Sx �����-��

����3�#��3�#��3�#��3�#�����������-$��%����$�iSu ∈�Q)������%������$�����∈�Q)�∀ ���∈�73��

�%���3�#3�#3�#3�#�%�����$%�������&�����-������������ 3���(��� ����%&��-%� ����$����"3���∈���

�73��� =SH ���������

������������ 3���(���J���� Sx � qux

ux

ux

ku

ux

S iJS j

j

iS j

j

Hi Hj S

S

Si

Hj S

Smod

(

(.

)0(

)(

,

� ∏∏∈ ∈∈ �

−+

��

,��&��� Sx �J�� �3������������ �3��iSu ���J��������∀ ������∈�"3���

�����3�#3�#3�#3�#�%&�������-$��%����$�SHu ∈�Q)���� ����%&��-%� ����$���"3�∈����73���$%&�

�&��� ≠SHu

iSu ����∀ ���∈�73�����%��-$����&��-%� �%���� �%����������>H�������

�������>H���J����∏∈ −

SHj jSSH

jS

SHa uu

uuf

g)(

)0().(

������-��

����3�#3�#3�#3�#������������%��� K ∈�Q)�����-$���&�������$�@���J���� K− ����-��

� ���3�#3�#3�#3�#�%��-$����&��%����&��������∀ ���∈�73�������������J������������)(

Si

S

HS

H

uu

u

−−

�����)��

�����3�#�3�#�3�#�3�#�-$���&���&�-$��%����$�����������iSv ��� ∀ ���∈��73�������

������J��� il ����-����iSv �J�������� K

Siy �����-��

�"�"�"�"�iSy ��������&�-$��%��������%�����,��&��%&�$�������&�-$��%��������%�����,��&��%&�$�������&�-$��%��������%�����,��&��%&�$�������&�-$��%��������%�����,��&��%&�$������������&����$-������&����$-������&����$-������&����$-�77773333�������������������������������

Page 101: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

100

#�0�0������������������ �� � ������������ � ���� +� ���� ����� ������ ��� ���

��+�) �����������

+&�%�����������������%&������� ��&��-%� ����$���$-����������&����������

' ��&������� ����-%� ����$���"3������������������������ �����-����������

-���������-����� Rx � Ry ���+&���&�������$�����������&����&� ����,������-���

�%� 1�%&�$�����∈�"3��������������%���1i

K ����2i

K �∈��Q)�����%��-$�����

�����������$����J���� 2iK− ����-���������J���� 1i

K �����-������,�����J���� 1iK � Ry 2i

K �����-��

��� 1�%&�$���������$����,���-$��%�����������%�����������������%&��������∈�"3�

��.�%�����$������������,���������������%&�������∈�"3�%��-$�����&�-���$%��

3���>3����@3�������&��&����$��3�������

3���J�� quSHi

i mod∏∈

������>3��J�� qvSHi

i mod∏∈

�����

@3��J����J����J����J�� qwSHi

i mod∏∈

����������3����J����&��>3����������)��

�%���1�%&�$�����∈�"3���%�����&��R&���%����&������������������J�iSv iSxW �����-��

�����1�%&�$�����∈�"3����� ���&��R&���&���,�����iSMS J������ q

uu

u

ji

j

SS

St

ijj

mod,1 −

−∏

≠=��

���� 1�%&� $��� �� ∈� "3� $��� &��R&�� ���� ��� �&���,� ���� %��-$��� &��� -�������

������$����������������J�1i

K ��U���iSMS ��3�����)��

� ���1�%&�����"3������&���-�������������$������&����������%���������������%���������������%���������������%�������#�#�#�#��

�����+&��#�#�#�#���� ����&�-�������������$���������������3������&�%����$�%��

� is ��≡?

���������

S

ijSHj jSiS

jSR

quu

u

im ���

−∏

≠∈ ,

mod����-��

Page 102: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

101

' ��&���%����$�%�&�������&���&�-�������������$��������������3��� ����&��&�������

����������

7.2.3.Group Signature Generation

������#�#�#�#�%���%��-$����&����$-�������$��33� �J� �∈ SHi

�������)��%������������ �&�

-�������������$����

"��,��&�$��������&����&���������%����� ���"��,��&�$��������&����&���������%����� ���"��,��&�$��������&����&���������%����� ���"��,��&�$��������&����&���������%����� �������������%�����,��&��&�����������%�����,��&��&�����������%�����,��&��&�����������%�����,��&��&�

�#�#�#�#��

�����#�#�#�#������K�33��� 3��@3�����L���������������$��� ��&����$-����$-����$-����$-�3�3�3�3�����&�����������&�����������&�����������&�������������������

7.2.4. Signature verification by R

+����� ���&����������� ��&����$-�������$��K33��� 3��@3������L��&���� ����&���� ����&���� ����&���� �������������������������������

&��R&���%�����&��R&���%�����&��R&���%�����&��R&���%��������� Rx �����+&����$A�%�����%��������� ��&� ����,������-���

�����+&���� �����%����%������&����$�����������3�����

�����J��@3�� RxSU ����-��������3����J��&�������������

���� +&� ��� ��� �� $��� �&� ���$-� -$��%� ��� Sy � ���� �&� %����-������� �-%� �%�

��� �%����������>H�����%&%���&�%����$�% SRKV � SS �� ≡

?

�������� SRSy �����-�� ���

�&����������� ��&�������$��

' � �&��� %����$�%� &������ �&�� �&� ���$-� ������$�� K33� �� 3� �@3� � �� �L� � ��� ������

������$��� ��&�������C������3�����&����������

7.2.5.Proof of validity by R to any third party C +&���-����� ��&�-����%�����������������%�����8���8�

7.3. Security Discussions '�� �&��� �$A�%������ ,� ���%$��� �&� �%$����� ��-%��� � � -��-���� � 7�����C��� � 7�����C��� � 7�����C��� � 7�����C��

���%������%������%������%��� AAAA� �&��&���� �&��&���� �&��&���� �&��&���PPPP� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&�� �$���������$�� �%&��� "�� ,� ���%$��� ������ -������

����%�����$���&�,��&��������� ��&��%����$%%�� $���������$������������

�����#�����������������&��%��������#�����������������&��%��������#�����������������&��%��������#�����������������&��%�������������������%%%%�J�J�J�J��� ��� ��� ��� ����3333�������������������� �����&����$-�-$��%���� �����&����$-�-$��%���� �����&����$-�-$��%���� �����&����$-�-$��%���� Sy �O�O�O�O��

Page 103: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

102

+&��� ��� ��� �� �%$��� ��� �������� ���%��� �������&�� -������ B�� ��� %��� ��� �&�

�%��� ��� %�� ���%� 3� � ��� ������� �� �&� ��������� ���� �%����� ��%���

-����������.���&���&��&�������$������&�-$��%����� Sy �������%�������&�

�%������%�%�$���&����������� �%$�����������������%����������&��-������

����#�������������&��%����&�������#�������������&��%����&�������#�������������&��%����&�������#�������������&��%����&�����������������������∀ ��������∈∈∈∈����77773�3�3�3����������� �����&�)$������� �����&�)$������� �����&�)$������� �����&�)$���������

iSv ����J����J����J����J�������������������� KSi

y ��������������������-��-��-��-��OOOO����

B��%�$��H��������������������%�������%������������&�3�#��

�%���#�������������&��%����&����%���#�������������&��%����&����%���#�������������&��%����&����%���#�������������&��%����&�����������������������∀ ��������∈∈∈∈����77773�3�3�3������� �����&�)$������� �����&�)$������� �����&�)$������� �����&�)$������

��������������������������������������������������������������������J��J��J��J�iSv iSxW ��������������������-��-��-��-��OOOO����

.�����&�$�����%����%�����&����%����&����������������%�$��iSx �����%������� ��&�

$����∈�73���

����� #��� ��� ������ �&� ���� ��� �&���,����� #��� ��� ������ �&� ���� ��� �&���,����� #��� ��� ������ �&� ���� ��� �&���,����� #��� ��� ������ �&� ���� ��� �&���,iSMS �� �������� �������� �������� ������

1iK �������� ����3� �3� �3� �3� � ���� -����������� -����������� -����������� -�������

������$��������$��������$��������$��������������������������∈∈∈∈����77773�3�3�3��� �����&�)$����������� �����&�)$����������� �����&�)$����������� �����&�)$������������������J�J�J�J����1i

K ��U�����U�����U�����U���iSMS ������������3333��������������������)��)��)��)��OOOO����

'�� ��� %��-$����������� �� ����� ����� ����� ��� %���%�� �&iSMS �� ������

1iK ���3�

����-�������������$��������∈�73�����

(e). Can the designated combiner DC retrieve the any partial information from the

equation, SS = �∈ SHi

si mod q ?

.���$������&������%��-$������������� ����� ����#�#�#�#��

� ���#��������-���������$����� ���#��������-���������$����� ���#��������-���������$����� ���#��������-���������$������������∈∈∈∈����"��"��"��"��OOOO����

�� ����� ���� ���� ��� ��-������� �� $��� �� ∈� "3� �� � �� ��������� ��%����� � �,��

�������1i

K ���2i

K ∈�Q)���������%�������$������� �������,�����$��,��&�$�����,����

�&��%����&����������������������3��� ��������� �%$��������������������-�������������$�����

�������� ���&���� �%������)$��������

Page 104: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

103

� is ��≡?

���������

S

ijSHj jSiS

jSR

quu

u

im ���

−∏

≠∈ ,

mod����-��

������ #��� ��� ���� �� ������$�� K������ #��� ��� ���� �� ������$�� K������ #��� ��� ���� �� ������$�� K������ #��� ��� ���� �� ������$�� K33333�3�3�3� � � � � 3�3�3�3� �@�@�@�@3�3�3�3� ��������L� �� �&� ����,���� )$�����L� �� �&� ����,���� )$�����L� �� �&� ����,���� )$�����L� �� �&� ����,���� )$�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

SRKV ���� SS ������������≡

?

������������������������������������ SRSy ��������������������-�-�-�-�����

�� ��������������������%��������������������&��%��-$����&�&��&����$�

�3��$%&��&���� ��3� �J� � �&����� ����������)�.���$��������%��-$���&������� SS ����

)$������� ��� �������� �&� ���%��� �������&�� -������ .�� �&� ��&�� &����� �&�

�����%��������������%���3����� SS � �������&���������������������$�����&���

����� ���&�)$������� SRKV � SS ��≡

?

��������� SRSy �����-��

"�,�����%%�����������&�-��-����� ��&�&��&� $�%�����&��������)$�����-�������

+&$����&�������%��,����������$%%�� $���

�&��� #��� �&� ��&��� #��� �&� ��&��� #��� �&� ��&��� #��� �&� ����� � � �� �-%� ��� �$������� � � �� �-%� ��� �$������� � � �� �-%� ��� �$������� � � �� �-%� ��� �$��� """"3� �3� �3� �3� � ∈∈∈∈���� ����� �� �� �� �77773333��� %���-��� ��� �%���� �&���� %���-��� ��� �%���� �&���� %���-��� ��� �%���� �&���� %���-��� ��� �%���� �&�

-�����������-�����������-�����������-����������� 3333��������((((���O���O���O���O����

+&��%���-���������� 3��%�����%�����$%���,��&��&����,����� ��������U�;��

-����� � � � )(,ii SSS ufu ��� @&�� �&� ����� � � ���� �-%� ��� �$��� %���-��� ���

�%�����$%����&�-���������� 3�����&����������� ��������-�����%�$�� =SH �

���"�,���� ����%�����&�(�����%����&��� )(SHS uf ����>H� �������� �%$������

���������&����%����������&��-������+&$�����������������&��&������%������

%���-�������%�����$%���&�-���������� 3��(����-����������&����,���%����&������

Illustration +&� ����,���� ���$��������� ��� �$--������� �$�� �%&�� ��� -��%��%��� ��-�����������

3$--���� =SG ��3;��3���3���30��38������ =SH ��3;��3���38�����-��J��0?���)��J���������J��<��

7��$-�3%���H������3%���3&����7�������� ����&�������C������7��$-�3%���H������3%���3&����7�������� ����&�������C������7��$-�3%���H������3%���3&����7�������� ����&�������C������7��$-�3%���H������3%���3&����7�������� ����&�������C������3333����

�����3�#3�#3�#3�#���%��������$-��%������ Sx �J�;=�����%��-$��� Sy �J��:��

Page 105: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

104

����3�#3�#3�#3�#������������%��� K �J���������-$���&�������$�@��J��<��

�%���3�#�3�#�3�#�3�#���������-$��%����$��iSu �����%������$����������&� ����,���������

��������������� ����

>��$����������������

3;���� 3����� 3����� 30���� 38����

iSu � ;;� :� ;0� =� ;?�

���������� =� ;0� ;�� 8� ;��

�����3�#�3�#�3�#�3�#�%�����$%�����-���������� 3�(��J���(��U8(��U;?(�U;=� �����-%� ����$����"3���������������

����3�#3�#3�#3�#�%&�����SHu J�;����� ����-%� ����$���"3������%��-$������>H��J�����

� ���3�#3�#3�#3�#�%��-$����&��%�������-$��%������%����&�������-$��%����$� ����%&�

����� ��&����$-�73������&�,������&� ����,���������

����

����

����

����

����

����

����

���������������� �� � ������������� ���� +����� �������������� ���

' ��&������� ����-%� ����$��� =SH �3;��3���38������������������������� ���

�� -����� ��� �� -��������� Rx J� ;�� Ry J� ;=�� �&�� �&� ������$�� ��������� &��� �&�

����,������-���

�����3;�������������%���11K J�?�

21K J�:�����%��-$����$;��J�;<���;���J��0������,;���J���;��

���������>�5 1�

31��

3%���

�� ix �

�$��%�

�� iy �

3%���

���

�$��%�

iSu �

3%���

il �

�$��%�

im �

�$��%�

iSv �

� ��P3;� 8� �;� =� ;;� ;�� �?� ;0�

� ��P3�� ;8� �� ;0� :� �� �<� ;�

� ��P3�� ��� 0�� ;�� ;0� �;� ;?� �0�

� ��P30� 0� �?� 8� =� �� �<� ;0�

� ��P38� ;�� �?� ;�� ;?� ;;� ;0� ;��

Page 106: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

105

����3��������������%���13K J�8�

23K J�;;�����%��-$���$��J���?��������J��;������,���J�;��

�%���38�������������%���15K �J��:�

25K J��?�����%��-$���$8��J�;����8��J��������,8��J��;=��

�����1�%&�$���%��-$����&�-���$%��� 3���J�?�>3���J��;?�����@3333��J���J���J���J���������3���J�=�������

����3;����%�����&��R&���%����&����;�����J��;������%��-$���1SMS ��J��;����;���J��;:�����

� ���3����%�����&��R&���%����&����������J���;�����%��-$���3SMS ��J��;<�������J���;=��

�����38���%�����&��R&���%����&����8�����J���;;�����%��-$��5SMS ��J���������8���J����=��

���������������� �) �������������+��������� �� � ������������

�� �#�#�#�#���� ����%&�-�������������$�������(��-�� ���$���3�����

�����J�;=��������J����;������J���;?���3�J�=�� 23mod2,5,1 ji

j

SS

S

ij uu

u

−∏

==��J��;8��

"� %&%��� � <� ;=� � ≡?

� � �;� �� ( )81517 ���� 0?�+&��� &������ 3���������� &� %&%��� ��&��

-�������������$����������������������

�����#�#�#�#�%��-$��������$-����$�33��J��������������K�����?��������L����������$��� ��&�

���$-�3� ����&����������

�������� �) ��������������" � ��������

+&� ��� ���+&� ��� ���+&� ��� ���+&� ��� ��� �������� ���� &��R&�� �%��� ������� &��R&�� �%��� ������� &��R&�� �%��� ������� &��R&�� �%��� ��� Rx ���� ��� ��� �� �&� ��������� � � �&� ���$-�

������$��K����?���������L�����+&����$A�%�����%��������� ��&� ����,������-�*�A�

�����+&���� �����%����%������&����$������J�;?��������3���J��=��

����+&���� �����%&%�����&�%����$�%����=� � �<���� � � � � � � ≡?

� �;?� � ��:� =�����0?� ����&�

���������� ��&�������$����

+&���%����$�%�&����������&����$-�������$��K�����?���������L�����������������$��� �

�&�������C������3�����&����������

���������)���+����������������"��+�������

�������%��-$����b��J���������������J��;?����������K�;?��������?��������L����#��

Page 107: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

106

����#��%������3����J��?�����%&%���&�%��%$���%�����=���<�������� ≡?

���;?����:�=�����0?�� ���

�&����������� ��&�������$���+&���&����/�����#���������&��(����-���

�%����������C������,���� ��&����-��������#��&�������?�������J��������<����;=���� ����,�*A��

• #�%&������������$�J�������J��8�����%��-$���,�J��������������,�������

• ��%&������������a�J��?�%��-$���c�J�;=��γ��J��0����������c��γ����#��

• #������$������������,&�%&���%������ ���&���,��J������

• �������a����#����,&�%&��&�%������ ���&����c�J�;=������γ��J��0��

7.4. Remarks '�� �&��� %&�-���� ,� &��� -��-���� �� 7�����C�� 7�����C�� 7�����C�� 7�����C�� ���%������%������%������%��� PPPP+&��&���� G$����+&��&���� G$����+&��&���� G$����+&��&���� G$���� AAAA����

������$��3%&��,��&�$��������$��3%&��,��&�$��������$��3%&��,��&�$��������$��3%&��,��&�$��3�#3�#3�#3�#�����'���&����%&���

• +&�������3333�#�#�#�#�������������$-��%����������%����-��������%����&����

� ��&��&���������

• +&����������������%���������������%���������������%���������������%�������#�#�#�#�,&��������&���-�������������%���%������

��� �� �%&� -������� ������$�� ���� �&�� -���$%� �� ���$-� ������$��� $�� ���$�� ���$�� ���$�� ���

�%����� �������������%����� �������������%����� �������������%����� ����������������%�����,��&��&�����%�����,��&��&�����%�����,��&��&�����%�����,��&��&��#��#��#��#�����

• ��������%��$������ � ������� %������ ��-�������������&������ � ����������

�����&�������$����'��%���� � �������������-������������%��&�������������

• ��������������&��&�������%��������%���$�����%������%���-�������%�����$%��

�&����$-��%��������-����������&����%����&�����

Page 108: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

107

Appendix

3$������� ��&�-�-���-$���&�R$����-$��%�����*�3$������� ��&�-�-���-$���&�R$����-$��%�����*�3$������� ��&�-�-���-$���&�R$����-$��%�����*�3$������� ��&�-�-���-$���&�R$����-$��%�����*�����

��������������� ���������

�������������������� ��� ��������

��-��-$���&�*��-��-$���&�*��-��-$���&�*��-��-$���&�*����

%& ����������� ��� �������� ��������� ������' In South East

Asian Journal of Mathematics and Mathematical

Science�2 (1), �����!"�#�$%��

(& �� �������� �������� ������ ��� ��� ������������ In the

proceeding of National conference on Information

Security,�Sponsored by DRDO, �������� ��� �!������!$&�'�!"$��

��-��$����-��$����-��$����-��$����-$��%�����*��-$��%�����*��-$��%�����*��-$��%�����*����

%& ���������� ���������������� �������Communicated to Aligarh

Math Bulletin.

(& ��������� �������� �� ��������� ������� ����� ���������

������������� Communicated to J. of Applied and Pure

Mathematics, New Delhi.

)& �������������������������������� ��� � ' Communicated to J.

of Natural Science Grukhul Khagri University

Haridwar.

*& �� � � ���� � �� �� � ��� ����� ����� ������� ��� � '

Communicated to GANIT SANDESH, J. of Rajasthan Ganit

Parishad.����

+& �������� ��������� ������ ������� ��� � �������� � ��

Manuscript.

Page 109: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

108

References

Page 110: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

109

���'���

1. Adleman L.M., Pomerance C.and Rumely R.S. (1983). On distinguishing prime from the

composite numbers, Annals of Mathematics - 117, p.p.173-206.

2. Bellare M. and Michali S. (1988). How to sign given any trapdoor function, Proceeding of 20th

STOC-ACM, p.p. 32-42.

3. Biehl I., Buchmann, J. A., Meyer, B., Thiel, C. and Thiel, C. (1994). Tools for proving zero

knowledge, Advances in Cryptology -EuroCrypt - 94, Springer Verlag, p.p. 356-365.

4. Blakley G.R. (1979). Safeguarding cryptographic keys, Proceeding, AFIPS 1979 Nat. Computer

conference - 48, p.p. 313-317.

5. Blake I.F., Van Oorschot P.C. and S.Vanstone. (1986). Complexity issues for public key

cryptography, Performance limits in communication, Theory and Practice, NATO ASI Series

E: Applied Science - 142, p.p. 75 – 97.

6. Blum L., Blum M. and Shub M. (1986). A Simple unpredictable pseudorandom number

generator, SIAM Journal on Computing - 15 (2), p.p. 364-383.

7. Boyar J., Chaum D., Damgard I. and Pederson T. (1990). Convertible undeniable signatures,

Advances in Cryptology – Crypto - 90, Springer Verlag, LNCS # 537, p.p.189-205.

8. Boyd C. (1986). Digital multi-signature, In Cryptography and Coding. Editors, Beker H.J. and

Piper F. C., Clarendon Press, London, p.p. 241 – 246.

9. Burmester M. V. D., Desmedt Y., Piper F. and Walker M. (1989). A general zero knowledge

scheme, Advance in Cryptology- Eurocrypt - 89, Springer Verlag, p.p. 122-133.

10. Camenish J.L., Piveteare J.M. and Stadler M.A. (1994). Blind signature based on discrete

logarithm problem, Advance in Cryptology-Eurocrypt - 94, Springer Verlag, p.p. 428-432.

11. Chang C.C., Jan J.K. and Kowng H.C. (1997). A digital signature scheme based upon the

theory of Quadric Residues, Cryptologia - 21 (1), p.p. 55- 69.

12. Chaum D. (1982). Blind signature for untraceable payments, Advances in Cryptology – Crypto

- 82, Springer Verlag, p.p. 199-203.

Page 111: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

110

13. Chaum D. and Van Autwerpan H. (1989). Undeniable signatures, Advance in Cryptology-

Eurocrypt - 89, Springer Verlag, p.p. 212-216.

14. Chaum D. (1990). Zero knowledge undeniable signatures, Advance in Cryptology-Eurocrypt -

90, Springer Verlag, LNCS # 473, p.p. 458-464.

15. Chaum D. (1991). Group signatures, Advance in Cryptology-Eurocrypt - 91, Springer Verlag,

p.p. 257-265.

16. Chaum D. (1995). Designed confirmer signatures, Advance in Cryptology-Eurocrypt - 94

Springer Verlag, LNCS # 950, p.p. 86-91.

17. Chaum-m. Li, Hwang T., Lee N. and Jiun-Jang Tsai (2000). (t, n) threshold multi-signature

scheme and generalized multi-signature scheme, where suspected forgery implies

traceability of the adversarial shareholders, Cryptologia – 24(3), p.p. 250-268.

18. Chen L. and Pederson T.P. (1994). New group signature signatures, Advance in Cryptology -

Eurocrypt - 94, Springer Verlag, p.p.171-181.

19. Damgard I.B. (1987). Collision free hash function and public key signature scheme Advance

in Cryptology - Eurocrypt - 87, Springer Verlag, p.p. 203-216.

20. Desmedt Y. (1988). Society and group oriented cryptography, Advances in Cryptology –

Crypto - 87, Springer Verlag, p.p. 120 - 127.

21. Desmedt, Y. and Frankel Y. (1990). Threshold cryptosystems, Advances in Cryptology –Crypto

- 89, Springer Verlag, LNCS # 293, p.p. 307-315.

22. Desmedt, Y. and Frankel Y. (1991). Shared generation of authenticators and signatures,

Advances in Cryptology –Crypto - 91, Springer Verlag, p.p. 457-469.

23. Desmedt Y. (1994). Threshold cryptography, European Transactions on Telecommunications

and Related Technologies - 5(4), p.p.35 – 43.

24. Diffie W. and Hellman M. (1976). New directions in Cryptography, IEEE Trans. Information

Theory - 31, p.p. 644 - 654.

25. Diffie W. (1988). The first ten years of Public Key Cryptography, In Contemporary

Cryptology: The Science of Information Integrity, Editor, Simmons G.J. IEEE Press, New York.

p.p 135-175.

Page 112: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

111

26. Dowland P. S., Furenell S. M., Illingworth H. M. and Reynolds P. L. (1999). Computer crime

and abuse: A survey of public attitudes and awareness, Computer and Security - 18(8), p.p.

715-726.

27. Due Liem V. (2003). A new threshold blind signature scheme from Pairings.

www.caislab.icu.ac.kr

28. ElGamel T. (1985). A PKC and a signature scheme based on discrete logarithm, IEEE trans

information theory - 31, p.p. 469 - 472.

29. Fiat A. and Shamir A. (1986). How to prove yourself, Practical solution to identification and

signature problem, Advances in Cryptology - Crypto - 86 Springer and Verlag, LNCS # 263,

p.p. 186-194.

30. Frankal Y. and Desmedt Y. (1992). Parallel reliable threshold multi-signature, Tech report,

Dept of EE and CS, University of Wisconsin.

31. Gennaro R., Jarecki Hkrawczyk S. and Rabin T. (1996). Robust threshold DSS signature,

Advances in Cryptology–EuroCrypt - 96, Springer Verlag, p.p. 354 - 371.

32. Gnanaguruparan G. and Kak S. (2002). Recursive Hiding of the secrets in the visual

Cryptography, Cryptologia - 25 (1), p.p. 68 – 75.

33. Goldrich O. (1986). Two remark concerning the GMR signature scheme, Advance in

Cryptology - Crypto – 86, Springer and Verlag, p.p. 104 - 110.

34. Goldwasser, Michali S. and Yao A. (1983). Strong signature scheme, Proceeding of the 15th

STOC - ACM, p.p. 431 - 439.

35. Goldwasser S., Michali S. and Rivest R. (1985). A paradoxical signature scheme, 25th IEEE

symposium of foundation on the computing, p.p. 441 – 344.

36. Goldwasser S., Michali S. and Rivest R. (1998). A digital signature secure against adaptive

chosen message attacks, SIAM Journal on Computing - 17, p.p. 281-308.

37. Gordon J. A. (1985). Strong primes are easy to find, Advances in Cryptology -Eurocrypt – 84,

Springer-Verlag, p.p. 216-223.

38. Guillou L.C. and Quisquater J.J. (1988). A paradoxical identity based on signature scheme

resulting from zero knowledge, Advances in Cryptology Crypto – 88, Springer-Verlag, p.p. 216-

231.

Page 113: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

112

39. Guillou L.C. and Quisquater J.J. (1988). A practical zero-knowledge protocol fitted to security

microprocessors minimizing both transmission and memory, Advances in Cryptology –

Eurocrypt - 88, Springer-Verlag LNCS # 330, p.p.123 - 128.

40. Hard jono T. and Zheng Y. (1992). A practical digital multi-signature scheme based on

discrete logarithm, Advance in Cryptology – Auscrypto – 92 Springer and Verlag, p.p.16-21.

41. Harn L. and Kiesler T. (1989). New Scheme for Digital Multi-signature, Electronic Letters - 25

(15), p.p. 1002-1003.

42. Harn L. and Yang S. (1992). Group oriented undeniable signature scheme without the

assistance of a mutually trusted party, Advance in Cryptology- Auscrypt - 92, Springer and

Verlag, p.p. 133-142.

43. Harn L. (1993). (t,n) threshold signature and digital multi-signature. Proceeding of Workshop

on Cryptography & data security, Chung Cheng Institute of technology, ROC, p.p. 61 – 73.

44. Harn L. (1994). Group oriented (t, n) threshold signature scheme and digital multi-signature,

IEEE, Proc – computer digit tech - 141(5), p.p. 307-313.

45. Hellman M. E. (1979). The mathematics of public key cryptography, Scientific American -

241, p.p. 130-139.

46. Hill L. (1929). Cryptography in an algebraic alphabet, American Mathematical Monthly – 36,

p.p.15-30.

47. Hwang M., Lin I. and Lie E.J. (2000). A secure nonrepudiable threshold signature Scheme

with Known Signers, International Journal of Informatica - 11(2), p.p.1- 8.

48. Hwang T. and Chen C.C. (2001). A new proxy multi-signature signature scheme, International

Workshop on Cryptography and Network Security, Taipei, p.p. 26 – 28.

49. Hwang T., Li C. and lee N. (1993). Remark on the threshold RSA signature scheme, Advance

in Cryptology - Crypto – 93, Springer and Verlag, p.p. 413-419.

50. Hwang T., Li C. and lee N. (1995). (t, n) Threshold signature scheme based on discrete

logarithm, Advance in Cryptology – Eurocrypt - 94, Springer and Verlag, p.p. 191-200.

51. Itakura K. and Nakamura K. (1983). A public key cryptosystem, suitable for digital multi-

signatures, NEC Research and Develop, p.p.1- 8.

Page 114: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

113

52. Jac C.C. and Jung H.C. (2002). An identity based signature from gap Diffie Hellman groups,

www.iacr.org

53. Jackson, W. A., Martin, K. M. and O' Keefe, C. M. (1995). Efficient secret sharing scheme

without mutually trusted party, Advance in Cryptology – Eurocrypt - 95, Springer and Verlag,

p.p. 183-193.

54. Kim J. and Kim K. (2001). An efficient and provably secure threshold blind signature scheme,

www.caislab.icu.ac.kr.

55. Kobolitz N. (1987). Elliptic curve cryptosystem. Mathematics of Computation - 48, p.p.203-209.

56. Lal S. and Kumar M. (2003). A directed signature scheme and its application, Proceedings,

National Conference on Information Security, New Delhi -2003, p.p. 124 – 132.

57. Lal S. and Kumar M. (2003). Some applications of directed signature scheme, South East Asian

Journal of Mathematics and Mathematical Science - 1(2), p.p.13-26

58. Lal S. and Awasthi A.K. (2003). A scheme for obtaining warrant message from the digital

proxy signature scheme, Report No- 2003/73. http://www.eprint.iacr.org

59. Lal S. and Awasthi A.K. (2003). Proxy blind signature scheme. Report No- 2003/72.

http://www.eprint.iacr.org

60. Lanford S. K. (1995). Differential linear cryptanalysis and threshold signatures, Advance in

Cryptology – Crypto - 94, Springer and Verlag, p.p.17-25.

61. Lanford S. K. (1995). Threshold DSS signatures without a trusted party, Advance in

Cryptology - Crypto – 95, Springer-Verlag, p.p. 397-400.

62. Langford, S. K. (1996). Weaknesses in some threshold cryptosystems. Advance in Cryptology –

Crypto - 96, Springer and Verlag, p.p. 74- 82.

63. Lee B. and Kim H. (2001). Strong proxy signature scheme and its applications, Proceeding of

SCIS, p.p.603- 608. http://www.citeseer.nj.nec.com

64. Lehmer D.H. and Powers R.E. (1931). On factoring large numbers, American Mathematical

Society, p.p.770-776.

65. Lidl R. and Mueller, W. B. (1983). Permutation polynomials in RSA cryptosystems, Advance

in Cryptology – Crypto - 83, Springer and Verlag, p.p.293-301.

Page 115: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

114

66. Lim C.H. and Lee P.J. (1993). Modified Maurer-Yacobi’s scheme and its Applications,

Advance in Cryptology – Auscrypt - 93, Springer and Verlag, LNCS # 718, p.p. 308 – 323.

67. Lim C.H. and Lee P.J. (1996). A directed signature scheme and its application to threshold

cryptosystems, Security Protocol, In Proceedings of International Workshop, (Cambridge, United

Kingdom), Springer-Verlag, LNCS # 1189, p.p. 131-138.

68. Luciano D.M. and Prichett G.D. (1987). Cryptology: From Caesar cipher to public key

cryptosystem, College Mathematics Journal - 18, p.p. 2-17.

69. Mambo M. Usuda K. and Okamoto E. (1996). Proxy signature: Delegating of the power to sign

messages, In IEICE Transaction – E79-A (9), p.p. 1338 – 1356.

70. Maurer U. (1990). Fast generation of secure of RSA- moduli with almost maximal diversity,

Advances in Cryptology – Eurocrypt - 89,Springer and Verlag, LNCS # 434, p.p. 636 - 647.

71. Merkle R.C. and Hellman M.E. (1978). Hiding information and signatures in trapdoor

knapsacks, IEEE transactions on the information theory, IT – 24, p.p.525- 530.

72. Merker R. C. (1987). A digital signature based on convential encryption function, Advance in

Cryptology – Crypto - 87, Springer and Verlag, LNCS # 293, p.p.369-378.

73. Michali S. (1992). Fair public key cryptosystems, Advance in Cryptology – Crypto - 92,

Springer and Verlag, p.p.113-138.

74. Miller V.S. (1986). Use of Elliptic Curves in Cryptography, Advances in Cryptology – Crypto -

86, Springer and Verlag, p.p. 417 - 426.

75. Mu Y. Varadharajan V. (2000). Distributed signcryption, Advance in Cryptology – Indocrypt -

2000, Springer and Verlag, LNCS # 1977, p.p. 155- 164.

76. Naor M. and Shamir A. (1994). Visual cryptography, Advances in Cryptology – Eurocrypt –

94,Springer and Verlag, p.p. 1 – 12.

77. NIST. (1994). Digital signature standard, U.S Department of Commerence, FIPS PUB, 186.

78. Nyberg K. and Rueppel R.A. (1994). A new signature scheme based on the DLP giving

message recovery, Advances in Cryptology – Eurocrypt – 94,Springer and Verlag, p.p. 182 -193.

79. Odlyzko A.M. (1984). Discrete logs in a finite field and their cryptographic significance,

Advances in Cryptology – Eurocrypt - 84, Springer and Verlag, LNCS # 209, p.p. 224 - 314.

Page 116: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

115

80. Okamoto T. (1988). A digital Multi-signature scheme using bijective PKC, ACM transactions

on computer systems – 6(8), p.p. 432-441.

81. Ohta K. and Okamoto T. (1991). A digital multi-signature scheme based on Fiat- Shamir

scheme, Advance in Cryptology - Asiacrypt – 91, Springer and Verlag, p.p. 75 – 79.

82. Okamoto T. (1992). Provably secure and practical Identification schemes and corresponding

signature scheme, Advance in Cryptology – Crypto - 92, Springer and Verlag, LNCS # 740, p.p.

31-53.

83. Okamoto T. (1994). Designated confirmer and public encryption are equivalent, Advance in

Cryptology – Crypto – 94, Springer and Verlag, LNCS # 839, p.p. 61-74.

84. Pedersen, T. P. (1991). A threshold cryptosystem without trusted party, Advances in

Cryptology – Eurocrypt - 91, Springer and Verlag, p.p. 522- 526.

85. Pederson T. P. (1991). Distributed provers with application to undeniable signatures,

Advances in Cryptology – Eurocrypt - 91, Springer and Verlag, p.p. 221- 242.

86. Pointcheval D. and Stern J. (2000). Security arguments for digital signature and blind

signatures, Journal of Cryptology -13 (3), Springer-Verlag, p.p. 361-390.

87. Pomerance C. (1981). Recent development in the primality testing, The mathematical

intelligencer - 3, p.p. 97-105.

88. Pomerance C. (1982). The search for the prime numbers, Scientific American - 247, p.p. 136-

147.

89. Poupard G. and Stern J. (1998). Security analysis of practical “On the Fly” authentication

and signature generation, Advance in Cryptology - Eurocrypt - 98, Springer Verlag, LNCS #

1403, p.p. 422 - 436.

90. Rabin T. (1998). A simplified approach to threshold and proactive RSA, Advances in

Cryptology –Crypto - 98, Springer Verlag, p.p. 89-104.

91. Rivest, R., Shamir A. and Aldeman L. (1978). A method of obtaining digital signatures and

PKCS, Communication of ACM - 21(2), p.p. 120-126.

92. Rubin F. (1995). Message authentication using Quadric Residues, Cryptologia - 19(4), p.p.

397- 207.

Page 117: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

116

93. Ruland.C. (1993). Realizing digital signature with one-way Hash function, Cryptologia –

17(3), p.p. 285-300.

94. Schnorr C.P. (1990). Efficient identification and signature for smart cards, Advance in

Cryptology – Crypto - 89, Springer-Verlag, LNCS # 435, p.p. 239-251.

95. Schnorr C.P. (1991). Efficient signature generation by Smart cards, Journal of Cryptology -

4(3), p.p. 161-174.

96. Schnorr C. P. and Jakobsson M. (2000). Security of signed ElGamal encryption, Advance in

Cryptology - AsiaCrypt - 2000, Springer-Verlag, LNCS # 1976, p.p. 73-89.

97. Shamir A. (1979). How to share a secret, Communications of the association for computing

machinery – 22, p.p. 612 - 613.

98. Shamir A. (1982). A polynomial time algorithm for breaking the basic Merkle – Hellman

Cryptosystem, Proceeding of the 23rd IEEE Symposium Found on Computer Science, p.p.142-

152.

99. Shannon C.E. (1948). A mathematical theory of communication, Bell System Technical Journal

– 27(4), p.p. 379-423.

100. Shannon C.E. (1949). Communication theory of secrecy systems, Bell System Technical Journal

– 28(4), p.p. 656-715.

101. Shepherd S.J., Sanders P.W. and Stockel C.T. (1993). The Quadric Residue Cipher and

some notes on the Implementation, Cryptologia -17 (3), p.p. 264-281.

102. Shum K. Wie V.K. (2002). A strong proxy signature scheme with proxy signer privacy

protection, Proceeding of 11th IEEE International Workshop on Enabling Technologies:

Infrastructure for Collaborative Enterprises.

103. Stallings W. (2002). The advance encryption standard, Cryptologia. To Appear.

104. Sun H.M. (2000). On proxy (multi) signature scheme, International Computer Symposium,

Chiayi, Taiwan ROC, p.p – 65-72.

105. Sun H.M., Hsieh B.T. (2003). On the security of proxy signature schemes, Report No- 2003/68.

http://www.eprint.iacr.org

Page 118: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

117

106. William F.F. (1918). Methods for the solution of running key ciphers, Riverbank Publication-

16, Riverbank Labs.

107. William F.F. (1920). The Index of Coincidence and its Applications in Cryptography,

Riverbank Publication-22, Riverbank Labs.

108. Yen S.M. and Laih C.S. (1993). New digital signature scheme based on discrete logarithm,

Electronic letters - 29, p.p. 1120-1121.

109. Yi L., Bai G. and Xiao G. (2000). Proxy multi-signature Scheme; A new type of proxy

signature scheme, Electronic Letters - 36, p.p. 527- 528.

110. Zhang F.and Kim K. (2002). ID-based blind signature scheme and ring structure from

pairing, Advance in Cryptology. Asiacrypt-2002.

111. Zhang K. (1997). Nourepudiable Proxy signature scheme, http://www.citeseer.nj.nec.com

112. Zhang K. (1998). Threshold proxy signature schemes, Advances in Cryptology - Crypto –

98,Springer Verlag, LNCS # 1396, p.p. 282 - 289.

113. Zheng, Y., Matsummoto T. and Imai H. (1990). Structural properties of one – way hash

functions, Advances in Cryptology – Crypto - 90, Springer Verlag, p.p. 285 – 302.

114. Zheng Y. (2001). Identification, signature and signcryption using high order residues modulo

an RSA composite, Advances in Cryptology – Crypto – 2001, Springer Verlag, LNCS # 1992,

p.p. 48–63.

Page 119: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

118

(��)��

1. Adams W. W. and Goldstein D. (1976). ����������������� ��������!� Prentice

Hall, Englewood Cliffs, N. J.

2. Ayoub R.G. (1963). �� ����������� ��� �����!� ��� ��� ���� American

Mathematical Society Providence RI: 02904 – 6248, 201, Charles Street, USA.

3. Beker H. J. and Piper F. C. (1982). ������� �!���"� ���� #��������� ���

�������������Northwood, London.

4. Beker H.J. and Piper F. C. (1989). ��!��������!� ��� ������ Clarendon Press,

London.

5. Bovet D.P. and Crescenzi P. (1994). ����������� ��� �����!� ��� ������$��!�

Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J.

6. Brassard G. (1988). ��������!��������!"�����������, Springer-Verlag, New York.

7. Bressoud D.M. (1989). %������&��������#�������!������, Springer-Verlag, New

York.

8. Buchmann J.A. (2000). ����������������!��������!� Springer-Verlag, New York.

9. Davies D.W. and Price W.L. (1989). �������!��������������������'� John Wiley &

Sons, New York.

10. Denning D.E. (1982). ��!��������!� ��� ���� �������!� Addition Wesley, New

York.

11. Gallager R.G. (1968). �������������(���� ��������������� John Wiley &

Sons, New York.

12. Garrett D. (2001). )���'�������"�������������������!��������!� Prentice

Hall, Englewood Cliffs, N. J.

Page 120: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

119

13. Goldrich O. (1999). ������ ��!��������!�� #�� � ������� ������ ���

#���������� Springer-Verlag, Newyork.

14. Guy R.K. (1981). *��+���#�� ���� �� ��� ��������!, Springer-Verlag, New

York.

15. Kahn D. (1967). ��������!�����������, ������ Macmillan, New York.

16. Koblitz N. (1987). �� ������ �� ��� ��� �����!� ��� ��!��������!� Springer-

Verlag, New York.

17. Koblitz N. (1998). ���� ����������������!������!� Springer-Verlag, New York.

18. Kohnheim A.G. (1981). ��!��������!"���#������ John Wiley & Sons, New York.

19. Kranakis E. (1986). #�������!������!��������!� John Wiley & Sons, New York.

20. Kumar I.J. (2000). ��!������!"� �!���� ������������� ��� -�!� ��������'

Aegean Park Press, Laguna Hills, CA.

21. Lidl R. and Niederreiter H. (1994). ����������� ��� %����� %����� ��� �����

������������Cambridge University Press, Cambridge.

22. Menezes A. and Vanstone S.A. (1993). ����������� ��� %����� %����� Kluwer

Academic Publishers.

23. Menezes A. Van Oorsschot P. and Vanstone S.A. (1997). .�� ��'� ��� ��������

��!��������!� Boca Raton Fl: CRC Press.

24. Meyer C.H. and Matyas S.M. (1982). ��!��������!"� �� ���� ������ ��

��������� �����������!��John Wiley & Sons, New York.

25. Nechvatal J. (1992). #� ����-�!���!��������!��NIST- USA.

26. Nichols R. (1996). ����������!��������!������, Prentice Hall, Englewood Cliffs,

N. J.

27. Pfleager C. (1997). �������!������������'Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J.

28. Pomerance C. and Crandall R. (2001). #����� ��� ��"� �� �������������

#�������+�� Springer Verlag, New York.

Page 121: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

120

29. Ribenboim P. (1996). ��������)��'����#�������� ���(������ Springer Verlag,

New York.

30. Rosen K. (2000). /�������!� ��� ��� �����!� ��� ��� ����������� Addition

Wesley, New York.

31. Salomaa A. (1990). #� ����-�!���!��������!� Springer-Verlag, New York.

32. Schneier B. (1996). ����������!��������!� John Wiley & Sons, New York.

33. Schneier B. (1996). ���� �������� ��!��������!� ������� ����� �'� ����

Counterpane System, 7115 W. North Ave., Suite 16, Oak Park, IL 60302-1002.

34. Seberry J. and Pieprzyk J. (1989). ��!��������!"��������������������������

�������!��Prentice – Hall, Englewood Cliffs, N.J.

35. Simmons G.J. (1992). ����������!���!������!0��������������� ����������

�������!� IEEE Press, Newyork.

36. Simon S. (1999). ���� ����� )��'"� ���� ������� .����!� ��� ����� ��� ������

)���'��� Simon‘s Shop, P.O. Box 23064, London W113GX, United Kingdom.

37. Smith L. D. (1971). ���������������������, ������ Dover Publications, New York.

38. Smith R. (1997). ���������!��������!��Addition Wesley, New York.

39. Stallings W. (2003). ��!��������!����������'��������!� Principles and Practice,

First Indian Edition, ISBN. 81- 7808 - 902-5, Pearson Educational Singapore.

40. Stinson D. (2002). ��!��������!"������!����#�������� CRC Press.

Page 122: Directed-Threshold Multi-Signature Scheme

121

26. http://www.freevbcode.com

27. http://www.ifca.com

28. http://www.inf.ethz.ch

29. http://www.iacr.org

30. http://www.ietf.org

31. http://www.Krypt.cs.unisb.de

32. http://www.jjtc.com

33. http://www.maths.mq.edu.au

34. http://www.mailru.com

35. http://www.missturtle.com

36. http://www.newton.uor.edu

37. http://www.pschit.monash.edu.

38. http://www.research.yale.com

39. http://www.research.att.com

40. http://www.rsasecurity.com

41. http://www.rsa.org.uk

42. http://www.r-s-a.org

43. http://www.rsa.com

44. http://www.std.com

45. http://www.searchson.com

46. http://www.simonsingh.com

47. http://www.siam.org

48. http://www.springer.com

49. http://www.xatrix.org

50. http://www.williamstallings.com

*'+���'��

����

����

����

����

����

����

����

1. http://www.ams.org

2. http://www.austinlinks.com

3. http://www.bitpipe.com

4. http://www.bokler.com

5. http://www.bluesoft.com

6. http://www.cryptography.com

7. http://www.counterpane.com

8. http://www.cryptography.org

9. http://www.crypto.stanford.edu

10. http://www.cs.fsu.edu

11. http://www.csa.com

12. http://www.cs.umd.edu

13. http://www.cesar.orul.gov

14. http://www.caislab.icu.ac.kr

15. http://www.cryptoheaven.com

16. http://www.certicom.com

17. http://www.citeseer.nj.nec.com

18. http://www.codebreaker.dids.com

19. http://www.cryptix.org

20. http://www.domainmart.com

21. http://www.epic.com

22. http://www.efgh.com

23. http://www.exp-math.uni-essen.de

24. http://www.fraw.org.uk

25. http://www.fitry.com