View
93
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
Matrik dan operasi-operasinya. Definisi Matrik : susunan bilangan berbentuk segi empat atau bujur sangkar yang diatur dalam baris dan kolom , ditulis antara dua kurung , yaitu ( ) atau [ ]. Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran / ordo : m x n - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Definisi Matrik :
susunan bilangan berbentuk segi empat atau
bujur sangkar yang diatur dalam baris
dan kolom, ditulis antara dua kurung,
yaitu ( ) atau [ ]
Matrik dan operasi-operasinya
Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran/ordo : m x n Elemen diagonal : a11, a22,….. ann
Suatu bagan transportasi yang menghubungkan 3 kota digambarkan sebagai berikut : 1
2 3
Kita buat tabel : Kota 1 Kota 2 Kota 3 Dari kota 1 dapat pergi ke kota 1 1 0Dari kota 2 dapat pergi ke kota 1 1 1Dari kota 3 dapat pergi ke kota 0 0 1
Angka 1 dari tabel menyatakan bahwa kota pada baris
dapat pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat
ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen
aij = 1 ketika dapat pergi dari kota i ke kota j dan lainnya
nol.
Perhatikan : selalu dapat pergi dari kota i ke kota i
Dengan demikian aii = 1 untuk i = 1, 2, 3
1 1 0
A 1 1 1
0 0 1
Kesamaan Matrik
Matrik A dan Matrik B dikatakan sama jika :
Ordonya sama
Elemen yang seletak sama
A = (aij )
A = B jika aij = bij untuk i = 1,2,……..m
dan j = 1,2, …….n
B = (bij )
Contoh : 1)
Matrik A = B jika a = 2, b = 0, c = 5 dan d = 3. Matrik A dan B tidak akan sama dengan matrik Csebab ordo A dan B adalah 2 x 2, sedangkan ordo C adalah 2 x 3.
2)
R C karena R berordo 1 x 3 dan C : 3 x 1
a b 2 0 2 0 xA B C
c d 5 3 5 3 y
1
R 1 4 3 C 4
3
Bentuk-bentuk Matrik
a.Matrik Bujur sangkar : jumlah baris =
jumlah kolom (Ann n x n)
Contoh :
b. Matrik Diagonal :
matrik bujur sangkar yang elemen diagonal
utamanya tidak semua nol (tidak
disyaratkan elemen diagonal harus
tidak nol), sedangkan elemen yang
lain nol.
Contoh :
c.Matrik Segitiga Matrik segitiga atas :
matrik bujur sangkar yang setiap elemen di
bawah diagonal utama bernilai 0
Matrik segitiga bawah :
matrik bujur sangkar yang setiap elemen di
atas diagonal utama bernilai 0
Catatan : tidak disyaratkan bahwa elemen
diagonal harus bernilai tak nol
Contoh :
Matrik A adalah matrik segitiga atas,
matrik B adalah matrik segitiga bawah,
sedangkan matrik C merupakan matrik segitiga
atas dan juga matrik segitiga bawah
Ada tiga hal yang perlu diketahui tentang
matrik segitiga :
1.Transpose dari matrik segitiga atas akan
menghasilkan matrik segitiga bawah,
demikian pula sebaliknya.
Contoh :
T
1 0 0
A 4 2 0 (segitiga bawah)
5 3 4
1 4 5
A 0 2 3 (segitiga atas)
0 0 4
2. Hasil kali antara matrik segitiga atas akan
menghasilkan matrik segitiga atas, demikian juga
sebaliknya.
1 2 1 2 1 3
A 0 3 2 (segitiga atas) B 0 4 2 (segitiga atas)
0 0 1 0 0 1
1 2 1 2 1 3 2 9 8
maka A B 0 3 2 0 4 2 0 12 8
0 0 1 0 0 1 0 0
x x
1
3. Matrik segitiga mempunyai invers jika dan hanya
jika elemen pada diagonal utamanya tidak
memuat angka nol (0).
Contoh :
Matrik A di atas tidak mempunyai invers, karena
salah satu elemen pada diagonalnya bernilai nol
(0)
1 2 1
A 0 1 3
0 0 0
d. Matrik Nol : matrik dengan semua elemennya nol (0)e. Matrik satuan/identitas :
matrik bujur sangkar yang elemen diagonal
utamanya bernilai satu, sedangkan elemen yang
lain bernilai nol.
Contoh :
2 3
1 0 01 0
I I 0 1 00 1
0 0 1
Sifat matrik identitas dan matrik nol
Jika A adalah matrik berukuran n x n,
maka :
I . A = A . I = A
A + 0 = 0 + A = A
A . 0 = 0 . A = 0
f. Matrik singular : matrik bujur sangkar yang
tidak mempunyai invers
(determinannya = 0)
g. Matrik non singular : matrik bujur sangkar
yang mempunyai invers
(determinannya
0)
2
2
2 -2 -4
A -1 3 4 Tentukan A !
1 -2 -3
2 -2 -4 2 -2 -4 2 -2 -4
A A.A -1 3 4 -1 3 4 -1 3 4 A
1 -2 -3 1 -2 -3 1 -2 -3
h. Matrik Pangkat : Ar As = Ar + s ; (Ar)s = Ars
Matrik Idempotent : matrik bujur
sangkar yang berlaku A2 = A atau An =
A, dengan n = 2, 3, 4 …..
Contoh :
1)
Jawab :
2)
2 31 1A Hitung A dan A
1 1
2
3 2
1 1 1 1 2 2A
1 1 1 1 2 2
2 2 1 1 4 4A A A
2 2 1 1 4 4
Jawab :
Untuk n = 1
1-1 1-1 0 01
1-1 1-1 0 0
2 2 2 2 1 1A A
1 12 2 2 2
n-1 n-1n
n-1 n-1
2 2A untuk n 1
2 2
Disimpulkan :
3)2 3 40 -1
B Tentukan: B ,B dan B !1 0
2
3 2
4 3
0 -1 0 -1 -1 0 B
1 0 1 0 0 -1
-1 0 0 -1 0 1B B B
0 -1 1 0 -1 0
0 1 0 -1 0 1B B B
-1 0 1 0 1 0
Jawab :
Jadi B5 = B.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
pemangkatan B hingga Bn merupakan
pengulangan dari B4
B B2 B3 B4 B5 = B
0 -1 -1 0 0 1 0 1 0 -1, , , , ..............
1 0 0 -1 -1 0 1 0 1 0
Matrik Nilpotent : matrik bujur sangkar yang berlaku A3 =
0 atau An = 0, dengan n = 3, 4 …..
Contoh :
3
1 1 3
A 5 2 6
-2 -1 -3
1 1 3 1 1 3 1 1 3 0 0 0
A A.A.A 5 2 6 5 2 6 5 2 6 0 0 0
-2 -1 -3 -2 -1 -3 -2 -1 -3 0 0 0
0
i. Transpose matrik Transpose matrik A (dinotasikan AT) , adalah diubahnya baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris dari matrik A. Notasi matematik transpose matrik ditulis sebagai berikut : (AT)ij = (A)ji
1 1
2 2 1 1 2 2
1
T1 2 2
Tij ji
Jika diketahui matrik U dan V berikut ini :
U V , maka UV .....
U V
(A) A
n n
n n
n
n
u v
u v u v u v u v
u v
v
u u u v
v
untuk semua i dan j
Sifat-sifat dari transpose suatu matrik :
T T
T T T
T T
T T T
1). (A ) A
2). (A B) A ± B
3). (kA) kA , dengan k adalah skalar
4). (AB) B A
Pembuktian sifat matrik transpose :
Pembuktian sifat 1 :
T
T T
Jika diketahui matrik A dan B berikut ini :
1 4 8I B
A 4 7 3 O C
8 3 2
Maka :
2 1 3 4A B
3 4 1 2
T
T T 2 1 2 3(A ) A
3 4 1 4
Pembuktian sifat 2 :
Pembuktian sifat 3 :
T
T T
T T T
2 3 3 1 5 4 5 5A B , maka (A B)
1 4 4 2 5 6 4 6
2 1 3 4 5 5A B
3 4 1 2 4 6
(A B) A B terbukti
T
T
T T
2 3 10 15 10 55A 5 , maka (5A)
1 4 5 20 15 20
2 1 10 55A 5
3 4 15 20
(5A) 5A terbukti
Pembuktian sifat 4 :
T
T T
2 3 3 1 6 12 2 6 18 8A.B .
1 4 4 2 3 16 1 8 19 9
maka:
18 19(A.B)
8 9
3 4 2 1 6 12 3 16B .A .
1 2 3 4 2 6 1
T T T
18 19
8 8 9
(A.B) B A terbukti
Contoh Soal :1) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik :
Jawab :
1 3 2 a bA B C 5 -1 2
5 0 1 c d
T T T
1 5 5a c
A 3 0 B C -1 b d
2 1 2
2) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik :
Jawab :
3 -2
1A 1 4 B C 0 -1 2
-25 -3
T T T
0 3 1 5
A B 1 -2 C -1 -2 4 -3
2
j. Matrik simetri :Sebuah matrik bujur sangkar dikatakan simetri jika A = AT.
Jika suatu matrik :
A = AT
Ditranspose menjadi :
Maka matrik A dikatakan simetri, karena elemen yang terdapat pada A sama dengan pada AT
1 4 8
A 4 7 3
8 3 2
T
1 4 8
A 4 7 3
8 3 2
Beberapa hal penting mengenai matrik
simetri :
1. Jika A simetri, maka AT juga simetri
2. Jika A dan B simetri, maka A+B atau A-
B juga simetri
3. Jika a simetri yang mempunyai invers,
maka A-I adalah simetri
4. Jika A memiliki invers, maka A.AT dan
AT.A memiliki invers pula.
Contoh Soal : Apakah matrik A dan B berikut ini
merupakan matrik simetri ?
Jawab :
A merupakan matrik simetri karena AT = A
B bukan matrik simetri karena
≠ B
1 3 2 1 2
A 3 5 0 B -1 3
2 0 4
T 1 -1 B
2 3
k. Matrik Partisi : sebuah matrik dapat dibagi menjadi bagian
yang lebih kecil dengan garis pemisah/partisi mendatar dan vertikal.
1 0 0 2 -1
0 1 0 1 3
A 0 0 1 4 0
0 0 0 1 7
0 0 0 7 2
1 0 0 2 -1
0 1 0 1 3
0 0 1 4 0
0 0 0 1 7
0 0 0 7 2
I adalah matrik identitas 3 x 3,
B adalah matrik 3 x 2
O adalah matrik nol 2 x 3
C adalah matrik 2 x 2
Dengan cara partisi tersebut, kita dapat lihat bahwa
matrik A adalah sebagai matrik 2 x 2
I B
O C
Jika terdapat matrik A berukuran m x n dan
matrik B berukuran n x r, maka untuk
mendapatkan hasil perkaliannya (AB) kita
dapat membuat matrik partisi.
1. Kita partisi matrik B dalam bentuk vektor
kolom
maka :
Bentuk akhir disebut perkalian matrik-
kolom.
1 2 r 1 2 rAB A b b .... b Ab Ab .... Ab
1 2 rB b b .... b
2. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris
Bentuk akhir disebut perkalian matrik-baris
1
2
m
A
AA
A
1 1
2 2
m m
A A B
A A BAB B
A A B
3. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor
baris dan matrik B dalam bentuk vektor
kolom. Bentuk akhir disebut perkalian baris-
kolom. Demikian pula dapat dilakukan partisi
sebaliknya (kolom-baris), disebut perkalian
kolom-baris.
1
21 2 n
n
B
BA a a .... a dan B
B
i ia B
1 1 2 2 n na B a B ..... a B
1
21 2 n
n
1 1 2 2 n n
B
BAB a a .... a
B
a B a B ..... a B
disebut perkalian bagian luar
disebut : ekspansi
perkalian bagian luar
Contoh soal :Hitung ekspansi perkalian bagian luar AB
jika diketahui :
Jawab :
4 -11 3 2
A dan B 1 20 -1 1
3 0
1
1 2 3 2
3
B 4 -11 3 2
A a a a dan B B 1 20 -1 1
3 0B
Perkalian bagian luar adalah :
1 1 2 2
3 3
1 4 -1 3 3 6a B 4 -1 , a B 1 2
0 0 0 -1 -1 -2
2 6 0dan a B 3 0
1 3 0
1 1 2 2 3 3
4 -1 3 6 6 0 13 5a B a B a B AB
0 0 -1 -2 3 0 2 -2
Jadi ekspansi perkalian bagian luar AB :
Jika matrik A dipartisi menjadi beberapa submatrik, maka bagian tersebut dinamakan blok.
Sehingga kita mempunyai struktur blok sebagai berikut:
1 0 0 2 -1 4 3 1 2 1
0 1 0 1 3 -1 2 2 1 1
A 0 0 1 4 0 dan B 1 -5 3 3 1
0 0 0 1 7 1 0 0 0 2
0 0 0 7 2 0 1 0
0 3
11 12 1311 12
21 22 11 12 13
B B BA AA dan B
A A B B B
l. Matrik dalam bentuk eselon baris dan
eselon baris tereduksi .
Matrik memiliki bentuk eselon baris tereduksi
harus memenuhi kriteria :
1.Dalam suatu baris yang semua elemennya
bukan nol (0), angka pertama pada baris
tersebut haruslah 1 ( disebut leading 1)
2.Jika suatu baris yang elemennya nol semua,
maka baris tersebut diletakkan pada baris
paling bawah.
3. Untuk sembarang dua baris yang berurutan,
leading 1 dari baris yang lebih bawah harus
berada disebelah kanan leading 1 baris di
atasnya.
4. Kolom yang memiliki leading 1 harus angka
nol untuk semua elemen pada kolom tersebut.
Contoh : Syarat 1 : baris pertama disebut leading 1
Syarat 2 : baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
1 4 -2 5
0 -5 2 7
0 0 -3 9
0 0 -8 8
1 4 -2 5
0 -5 2 7
0 0 -3 9
0 0 0 0
Syarat 3 : baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
Syarat 4 : matrik di bawah ini memenuhi syarat ke 4 disebut eselon baris
1 4 -2 5
0 1 2 7
0 0 -3 9
0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 2 5
0 0 1 0 0 0 3 0
0 0 0 1 0 0 0 6
Contoh matrik eselon baris tereduksi :
Matrik yang memenuhi kriteria 1 – 3 saja
disebut :
matrik eselon baris
Contoh matrik eselon baris :
Operasi Aljabar Matrik
,
Contoh Soal :1)
Tentukan A+B, A+C dan B+C !
Sedangkan A+C dan B+C tidak dapat dikerjakan
karena ordo kedua matrik tidak sama
1 4 0 -3 1 -1 4 3A B C
-2 6 5 3 0 2 2 1
2)
Tentukan A + B, A + C dan B + C
A + C dan B + C tidak dapat dijumlahkan karena ordo-ordonya berbeda
-2 5 -1A B
1 6 7
Bagaimana dengan A – B ?
Perlu diingat bahwa :
A – B = A + (– B )
A + 0 = A = 0 + A
A – A = 0 = – A + A
4 3 1A B
-5 6 3
b. Perkalian matrik dengan matrik
Operasi perkalian matrik dapat dilakukan
pada dua buah matrik (A dan B) jika jumlah
kolom matrik A = jumlah baris matrik B.
Aturan Perkalian
Jika Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dengan
elemen-elemen dari C(cij) merupakan
penjumlahan dari perkalian elemen-elemen
A baris i dengan elemen-elemen B kolom j.
Contoh Soal1)
-4 0 3 -1 1 3 -1
A B 5 -2 -1 1 Tentukan AB-2 -1 1
-1 2 0 6
Notasi perkalian matrik dengan matrik :
Jawab : c11 =1(-4) + 3( 5) + (-1)(-1) = 12
c12 =1( 0) + 3(-2) + (-1)( 2) = - 8
c13 =1( 3) + 3(-1) + (-1)( 0) = 0
c14 =1(-1) + 3( 1) + (-1)( 6) = - 4
c21 =(-2)(-4) + (-1)( 5) + (1)(-1) = 2
c22 =(-2)( 0) + (-1)(-2) + (1)( 2) = 4
c23 =(-2)( 3) + (-1)(-1) + (1)( 0) = - 5
c24 =(-2)(-1) + (-1)( 1) + (1)( 6) = 712 -8 0 -4
C AB 2 4 -5 7
2)
Sedangkan B X A tidak dapat dikerjakan, karena jumlah kolom matrik B tidak sama dengan jumlah baris matrik A
Jawab:
3)
Jawab :
Kesimpulan : AB ≠ BA
2 4 1 0A B Tentukan AB dan BA
-1 -2 1 1
2 4 1 0 6 4AB
-1 -2 1 1 -3 -2
1 0 2 4 2 4BA
1 1 -1 -2 1 2
4) Tuti dan Rina berencana berbelanja buah-buahan.
Mereka ingin membeli apel, anggur dan jeruk
dengan jumlah yang berlainan seperti tercantum
dalam tabel 1.
Ada dua toko buah yang saling berdekatan yaitu Tip
top dan Rezeki dengan harga jual masing-masing
diberikan pada tabel 2.
Berapakah uang yang harus disiapkan Tuti dan Rina
untuk berbelanja di kedua toko buah tersebut?
Tabel 1. Kebutuhan (dalam Kg)
Apel Anggur JerukTuti 6 3 10Rina 4 8 5
Tabel 2. Daftar harga (dalam ribuan)
Tip top RezekiApel 10 15Anggur 40 30Jeruk 10 20
Jawab :
Kita buat dua matrik yaitu matrik D untuk kebutuhan
dan matrik P untuk harga.
Dengan menghitung perkalian matrik D dan matrik
P, maka dapat menjawab jumlah uang yang harus
disiapkan Tuti dan Rina (tabel 3).
10 156 3 10
D P 40 304 8 5
10 20
Tabel 3. Jumlah uang yang disiapkan
(dalam ribuan) Tip top RezekiTuti 280 380Rina 410 400
10 156 3 10 280 380
DP 40 304 8 5 410 400
10 20
Contoh :
Contoh soal:1) Tentukan : 2A, (- 1A) dan ½ A 1 4 0
A-2 6 5
12
52
2 8 0 -1 -4 02A ( 1A)
-4 12 10 2 -6 -5
2 01A
2 -1 3
Jawab :
c. Perkalian matrik dengan skalar
Suatu matrik dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap-tiap elemen pada A dikalikan dengan k
2) 4 -3 2 -11A 2 0 6 5 Tentukan 3A, A2
1 3 4 -2
Jawab :
12 -9 6 -3
3A 6 0 18 15
3 9 12 -6
3 12 2
-52
-312 2
-2 -1 1 A -1 0 -3 2
- -2 1
Sifat-sifat operasi Matrik :
* A B B A komutatif
* A (B C) (A B) C asosiatif
* k(A B) kA kB k sembarang bilangan
* A(B C) AB AC distributif
* (A B)C AC BC
distributif
* A(BC) (AB)C asosiatif
Pada umumnya :
AB BA
AB 0 tidak berakibat A 0 atau B 0
AB AC tidak berakibat B C
Latihan :
3.
4.
5.
6.
7
8
9
10
Recommended