Corso di Fisica II/ 2 (già Fisica 4 – Ottica) Prof. R. Pizzoferrato

Corso di Fisica II/2(già Fisica 4 – Ottica)

Prof. R. Pizzoferrato Università di Roma Tor Vergata, A.A. 2009/2010

Programma A.A. 2009/2010

Cap. I Le onde elettromagnetiche.

Cap. II Le onde nei materiali.

Cap. III Effetti alle discontinuità: rifrazione e riflessione.

Cap. IV Ottica geometrica. Sistemi e strumenti ottici.

Cap. V Ottica fisica: interferenza.

Cap. VI Ottica fisica: diffrazione.

Cap. VII Ottica dei materiali. Colorimetria. Sorgenti e rivelatori.

Testi di riferimento:Testi di Fisica generale, ad esempio:P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci “Elementi di Fisica: Onde” EdiSESR. Blum, D.E. Roller “Fisica vol. secondo” Zanichelli Ed.D. Halliday, R. Resnick, J. Walker “ Elettrologia, Magnetismo, Ottica

Testi di consultazione:F.W. Sears, "Ottica" Casa Editrice Ambrosiana

E. Persico, "Ottica", Zanichelli

CAP. I Le onde elettromagneticheCAP. I Le onde elettromagnetiche

1. Introduzione

2. Richiami sulle eq. di Maxwell e le onde elettromagnetiche

3. Caratteristiche spaziali delle onde. La polarizzazione

4. Caratteristiche temporali delle onde

PER CAPIRE I FENOMENI NATURALI

1. INTRODUZIONE: perché l’Ottica?1. INTRODUZIONE: perché l’Ottica?

STUDIO DELLE PROPRIETA’ DEI MATERIALI

APPLICAZIONI DI FENOMENI E PROCESSI OTTICI

300 a.C. Euclide scrive “Ottica”

1609 Keplero inventa il telescopio

1621 Legge di Snell (rifrazione)

1672 Teoria corpuscolare e dei colori di I. Newton

1801 Young dimostra l’interferenza e ipotizza onde trasversali

1849 Fizeau misura c con metodi terrestri

1864 Teoria ondulatoria: Equazioni di Maxwell

• Einstein ipotizza l’esistenza del fotone

1960 Realizzazione del primo LASER

1. BREVISSIMA STORIA DELL’OTTICA1. BREVISSIMA STORIA DELL’OTTICA

Cominciamo da qui e torniamo indietro

) ( BvEF q

Forza di Lorentz

2.a RIPASSOLE EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO

2.a RIPASSOLE EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO

nel S.I.t

EJB 000 με μ Ampere

t

B

E Faraday-NeumannLenz

B solenoidale

Gauss0ερ E

0 B

0 ρ

t

J

Eq. di continuità

inoltre:

ED

HB

0

0

ε

μ

27

0

212

0

A

N

Nm

C

10 4π μ

1085.8 ε

(ovvero: da dove nascono le onde elettromagnetiche)

HB

ED

μ

ε

Materiali omogenei, isotropi e lineari

Come nel vuoto con:

00

00

μμμ μ

εεε ε

r

r

t

B

E

tcond

E

JB εμ μ

ερlib E

0 B

2.b LE EQUAZIONI DI MAXWELL NELLA MATERIA2.b LE EQUAZIONI DI MAXWELL NELLA MATERIA

nel caso di discontinuità del materiale valgono le seguenti:

2211

21

ε ε

nn EE

EE tt

21

2211

μ μ

nn BB

BB tt

condizioni di raccordo alle superficicondizioni di raccordo alle superfici

22 μ ε ,

n

t

11 μ ε ,es. vetro es. aria

In ottica alcune semplificazioni:

1) lib = 0

2) Jcond = 03) M = 0 ( 0)

1) lib = 0

2) Jcond = 03) M = 0 ( 0)

sicuramente valide nel vuoto e nei materiali “ottici” (dielettrici trasparenti)

sicuramente valide nel vuoto e nei materiali “ottici” (dielettrici trasparenti)

t

B

E

tcond

E

JB εμ μ

ερlib E

0 B

t

E

B εμ

t

B

E

(adottate nel seguito del corso)

0 E

0 B

descrivono i campidove non ci sono sorgenti

descrivono i campidove non ci sono sorgenti

EEEE 22 )( )(

εμ )( 2

ttt

EBE

ovvero:

2

22 εμ

t

E

E

t

E

B εμ

t

B

E

I)

II)

III)

IV)

Prendiamo il rotore della II eq.:

quindi, dalla I):

B

E

0da un’identità di operatori e utilizzando la III):

)( )( BΒ

E

tt

equazioni delle ondeequazioni delle onde

2c LE ONDE ELETTROMAGNETICHE2c LE ONDE ELETTROMAGNETICHE

Si osservi l’analogia:

2c LE ONDE ELETTROMAGNETICHE2c LE ONDE ELETTROMAGNETICHE

2

22 εμ

t

E

E

Eq. onde di campo elettrico

Eq. onde elastiche (acustica, ecc)

v

1 2

2

22

2

t

f

x

f

ˆ

ˆ ˆ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

k

jiE

z

E

y

E

x

E

z

E

y

E

x

E

z

E

y

E

x

E

zzz

yyyxxx

In sostanza, una variazione locale di E:

0 εμ 2

22

t

EE

si propaga nello spazio circostante secondo la:

t

E

B εμ

t

B

E

I)

II)

III)

IV) B

E

0

per via delle:

+

-

+

-

Si opera analogamente con il vettore B e si ottiene:

t

E

B εμ

t

B

E

I)

II)

III)

IV) B

E

0

0 εμ 2

22

t

BB

0 εμ 2

22

t

EE

0 εμ 2

22

t

BB

equazioni delle onde tridimensionaliper E e B (onde elettromagnetiche)

equazioni delle onde tridimensionaliper E e B (onde elettromagnetiche)

(2)

a)

b)

insieme:

t

E

B εμ

t

B

E

E(t)

onda elettromagnetica

rappresentazione intuiva

0 εμ 2

22

t

EEPrendiamo un campo alla volta:

equazione vettoriale tridimensionale

equazione vettoriale tridimensionale

soluzioni: onde tridimensionali vettorialisoluzioni: onde tridimensionali vettoriali

εμ 2

22

t

EE

0 εμ 2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

y

E

x

E zzzz

0 εμ 2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

y

E

x

E yyyy

0 εμ 2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

y

E

x

E xxxx

3 equazioni differenziali scalari tridimensionali!3 equazioni differenziali scalari tridimensionali!

la combinazione lineare di due soluzioni è anch’essa soluzione(vale il principio di sovrapposizione)

la combinazione lineare di due soluzioni è anch’essa soluzione(vale il principio di sovrapposizione)

Alcune considerazioni generali:

0 μ 2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

y

E

x

E zzzz

0 εμ 2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

y

E

x

E yyyy

0 εμ 2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

y

E

x

E xxxx

sono equazioni alle derivate parziali linearisono equazioni alle derivate parziali lineari

Cominciamo con una sola componente:Cominciamo con una sola componente:

0 εμ 2

22

t

EE

Per esempio xPer esempio x

0 εμ εμ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

t

E

z

E

y

E

x

E

t

EE xxxxx

x (3)

soluzioni: onde tridimensionali scalari per ognuna delle componenti

(es. di onde scalari: le onde acustiche)

CARATTERISTICHE DELLE ONDE E.M.CARATTERISTICHE DELLE ONDE E.M.

• CARATTERISTICHE SPAZIALI: 1) forma del fronte d’onda2) polarizzazione

• CARATTERISTICHE TEMPORALI: 1) onde monocromatiche e quasi-monocrom.2) spettro di frequenza

• CARATTERISTICHE SPAZIALI: 1) forma del fronte d’onda2) polarizzazione

• CARATTERISTICHE TEMPORALI: 1) onde monocromatiche e quasi-monocrom.2) spettro di frequenza

Richiamiamo cosa succede in una dimensione:

0 εμ 2

2

2

2

t

E

x

E

)v()v txGt F(xf(x, t)

soluzione generale monodimensionale

(4)

dalla matematica:

v

1 2

2

22

2

t

f

x

f

1

v

3. CARATTERISTICHE SPAZIALI DELLE ONDE3. CARATTERISTICHE SPAZIALI DELLE ONDE

F(x-vt), G(x+vt) qualsiasi!

)vcos()vsin txt(x f(x, t) 32 )v()v txt (xf(x, t)

)v()v tx ef(x, t) t(x

ESEMPI:

)v()v txGt F(xf(x, t)

(4)

1

v

PROPAGAZIONE DELLE ONDE

si noti la simmetria x vt si noti la simmetria x vt

propagazione!propagazione!

f

x

F(x, t)

v

F(x, t + t)

onde scalari unidimensionalionde scalari unidimensionali

f

x

F(x, t)

v

F(x, t + t)

F(x - vt) onda progressiva

Ep(x - vt)

F(x - vt) onda progressiva

Ep(x - vt)

una funzione di x che si propaga con velocità v

G(x,t)

f

x

-vG(x + vt) onda regressiva

Er(x + vt)

G(x + vt) onda regressiva

Er(x + vt)G(x, t+t)

insieme a una che si propaga con velocità -v

m/s 1.1) .2(299792456 με

1 v

00

cnel vuoto:

f

G(x)F(x)

x

onde scalari unidimensionalionde scalari unidimensionali

εμ

1 v per il campo E: dipende dal materiale

le ampiezze relative dipendono dalle condizioni iniziali

)v()v txGt F(xf(x, t)

-v

v

v

1

2

2

22

2

t

f

x

f

)()( )v()v wGuFtxGt F(xf(x, t)

dwdG

dudF

dxdw

dwdG

dxdu

dudF

xf

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

dw

Gd

du

Fd

dx

dw

dw

Gd

dx

du

du

Fd

x

f

dwdG

dudF

dtdw

dwdG

dtdu

dudF

tf

v v-

2

22

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

v v v v- x

f

dw

Gd

du

Fd

dt

dw

dw

Gd

dt

du

du

Fd

t

f

infatti:

Dimostriamo che:approfondimento - dimostrazioneapprofondimento - dimostrazione

in realtà lo spazio è tridimensionalein realtà lo spazio è tridimensionale

0 εμ 2

2

2

2

t

E

x

E xx 0 εμ 2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

y

E

x

E xxxx

onde con fronte d’onda: onde con fronte d’onda: a) pianob) sfericoc) cilindricod) irregolare

a) pianob) sfericoc) cilindricod) irregolare

idem per le altre componenti

),( ),,,( tEtzyxEE xxx r più varietà di soluzionipiù varietà di soluzioni

x

yz

)v()v) ,( ),( tzEt(z E tEtE rpz ra) onda pianaa) onda piana

onde scalari 3Donde scalari 3D

fronte d’ondafronte d’onda

)vt F(z

v

def. fronte d’onda: E(x, y, z, t0) = cost

varie soluzioni:

E(x, y, z, t0) = cost

E(t1) = cost

x

y

z

v

fronti d’ondafronti d’onda

E(t2)

)v()v) ,( ),( tzEt(z E tEtE rpz ra) onda pianaa) onda piana

E(t3) E(t4)

onde scalari 3Donde scalari 3D

)vt F(z

def. fronte d’onda: E(x, y, z, t0) = cost

varie soluzioni:

fronti d’ondafronti d’onda

b) onda sfericab) onda sferica

E(r,t2)

E(r,t3) E(r,t4)

onda piana onda piana

E(r,t1)

x

y

r

)()1

),( trEt(rE tE rprvvr

onde scalari 3Donde scalari 3D

Onde vettoriali: la polarizzazioneOnde vettoriali: la polarizzazione

Ex

Ey

Ez

Comunque il campo E è un vettore a tre componenti

E(t)

0 εμ 2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

y

E

x

E zzzz

0 εμ 2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

y

E

x

E yyyy

0 εμ 2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

y

E

x

E xxxx

soluzioni vettoriali

) ,(

) ,(

) ,(

tEE

tEE

tEE

zz

yy

xx

r

r

r

E E(z, t) onda piana propagantesi lungo zE E(z, t) onda piana propagantesi lungo z

prendiamo, per esempio:

Come variano le componenti e quindi la direzione di E?

x

y

z

v v

E(z, t) E(z, t+t1)

v

E= cost.

E= cost.

E= cost.

E(z, t+t2)

onde vettoriali onde vettoriali

la scelta E E(z, t) implica:

0 εμ 2

22

t

EE 0 εμ

2

2

2

2

tz

EE

poiché: 0

y

E

x

E

x

E

y

E

x

E

x

E zzyxyx

onde vettoriali onde vettoriali

quindi: Ep,r(z, t) = Ex(z, t) i + Ey(z, t) jEp,r(z, t) = Ex(z, t) i + Ey(z, t) j

E v E k

E v E k

onde trasversalionde trasversali(per qualsiasi fronte d’onda)

0

z

EzE .cost zE Ez non appartiene a un’onda propagante

e, dalla III eq. di Maxwell:

vettore d’onda

analogamente, per B B(z, t):

B v, kB v, k

iE xE scegliendo

tz

Ex

B

jE

(polarizzazione lineare lungo x) dalla II eq. di Maxwell si ha:

onde vettoriali onde vettoriali

ovvero:

jB yB E B E B

0

z

BzB

E

B

k

la tripletta dei vettorila tripletta dei vettori

x

z

yvettore d’onda

Come varia la direzione del campo?

polarizzazione linearepolarizzazione lineare

onda polarizzata linearmente (es: lungo x)

onda polarizzata linearmente (es: lungo x)

x

y

z

v

1) Polarizzazione lineare 1) Polarizzazione lineare

Ex

Ey

Ez

+E

-E

E(t)

il campo varia lungo una direzione costante(varia solo il modulo)

il campo varia lungo una direzione costante(varia solo il modulo)

direzione di polarizzazione

y

z

v

polarizzazione linearepolarizzazione lineare

considerando anche B:

E

B

xosservatore

fisso

E Ex(z, t)i onda piana polarizzata lungo x e propagantesi lungo z

E Ex(z, t)i onda piana polarizzata lungo x e propagantesi lungo z

x

y

z

v

E

v

E(z, t) E(z+z, t)

v

considerando il fronte d’onda:

polarizzazione linearepolarizzazione lineare

il campo ruota lungo un’ellisse (cerchio)il campo ruota lungo un’ellisse (cerchio)

2) Polarizzazione ellittica 2) Polarizzazione ellittica Ex

Ey

Ez

sinistra

destra

onda polarizzata ellitticamente (nel piano x,y)

onda polarizzata ellitticamente (nel piano x,y)

x

y

z

v

E(t)

polarizzazione ellitticapolarizzazione ellittica

x

y

z

E

E(z, t) E(z+z, t)

v

il campo ruota lungo un’ellisse (cerchio)il campo ruota lungo un’ellisse (cerchio)

polarizzazione ellittica di un’onda piana polarizzazione ellittica di un’onda piana polarizzazione ellitticapolarizzazione ellittica

onde non polarizzateonde non polarizzate

la direzione varia casualmente (ma rimane sul piano trasversale)

la direzione varia casualmente (ma rimane sul piano trasversale)

3) onde non polarizzate 3) onde non polarizzate Ex

Ey

Ez

onda non polarizzataonda non polarizzata

x

y

z

v

E(t)

rivelazione e misura della polarizzazione

polarizzazione polarizzazione

i polarizzatori

polarizzazione polarizzazione

rivelazione, misura e applicazioni della polarizzazione – filtri polarizzatori

polarizzazione polarizzazione

applicazioni della misura della polarizzazione: Fotoelasticità: misura dello stress nei materiali

inoltre dalla I e dalla II eq. di Maxwell:

ponendo:

ξ)( )v( xxx EtzEE

si ha:

polarizzazione polarizzazione

t

B

z

E yx

t

E

z

Bxy

με e

e ξ)( )v( yyy BtzBB

)(ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ v

d

B

t

B

t

BE

z

E

z

E yyyxxx

ovvero:

ξ v

ξ

yx

BE cost. v yx BE

in conclusione:in conclusione: v y

x

B

Eonde piane vettoriali onde piane vettoriali

vBE εμ1 v B

E

mat εμ Z

H

Eimpedenza caratteristica

377 εμ

0

00

0

0 ZH

Enel vuoto:

Eq. di MaxwellEq. di Maxwell

0 εμ 2

22

t

EE

0 εμ 2

22

t

BB

equazioni delle onde

onde vettoriali tridimensionali

onde vettoriali tridimensionali

onde trasversalionde trasversali

onde con diversifronti d’onda

1) piano2) sferico

onde con diversifronti d’onda

1) piano2) sferico

polarizzazione dei campipolarizzazione dei campi

E B k E B k

Riepilogo Riepilogo

mat εμ Z

H

E

εμ

1 v B

E

00με

1 v c

nel vuoto

nel tempoE

t

5. CARATTERISTICHE TEMPORALI DELLE ONDE5. CARATTERISTICHE TEMPORALI DELLE ONDE

F(z - ct) limitata in z e in tF(z - ct) limitata in z e in t

x

y

z

vE

B

nello spazioosservatore

fisso

A) onde impulsive E = F(z - vt) = F(z - ct) B = F(z - ct)/c

A) onde impulsive E = F(z - vt) = F(z - ct) B = F(z - ct)/c

(nel vuoto: v = c)

B) onde sinusoidali (armoniche) infinite: E(z, t) = E0 cos(kz - t ) B(z, t) = B0 cos(kz - t )

B) onde sinusoidali (armoniche) infinite: E(z, t) = E0 cos(kz - t ) B(z, t) = B0 cos(kz - t )

x

z

E

nello spazio

onde monocromaticheonde monocromatiche

v

y

B

E0 , B0 ampiezzeE0 , B0 ampiezze

pulsazione o frequenza angolare pulsazione o frequenza angolare

k numero d’ondak numero d’onda

lunghezza d’onda lunghezza d’onda

E

t

nel tempo

onde sinusoidali infinite:

E(z, t) = E0 cos(kz - t ) B)

B(z, t) = B0 cos(kz - t )

onde sinusoidali infinite:

E(z, t) = E0 cos(kz - t ) B)

B(z, t) = B0 cos(kz - t )

x

y

z

v

E

B

nello spazio

onde monocromaticheonde monocromatiche

E0 , B0 ampiezzeE0 , B0 ampiezze

pulsazione o frequenza angolare pulsazione o frequenza angolare

k numero d’ondak numero d’onda

lunghezza d’onda lunghezza d’onda

0 εμ 2

2

2

2

tz

EE

inserendo le B) nell’equazione d’onda:

π2π2ω

cck

Il campo di frequenze delle onde elettromagneticheIl campo di frequenze delle onde elettromagnetiche

105 10151010 1020 1025

FREQUENZA (Hz)

LUNGHEZZA D’ONDA (m)

100 10-1010-5 10-15

RADIOFREQUENZE

RADIO TV

MICROONDEV

ISIB

ILE

INFRAROSSOUV

RAGGI X

RAGGI GAMMA

E(z, t) = E0 cos(kz - t) = E0cos(kz - 2t) E(z, t) = E0 cos(kz - t) = E0cos(kz - 2t)

L’intervallo del visibile: 380 – 750 nm (Ottica)L’intervallo del visibile: 380 – 750 nm (Ottica)

LUNGHEZZA D’ONDA (m)

105 10151010 1020 1025

FREQUENZA (Hz)

100 10-1010-5 10-15

RADIOFREQUENZE

RADIO TV

MICROONDE

VIS

IBIL

E

INFRAROSSO UV

RAGGI XRAGGI GAMMA

LUNGHEZZA D’ONDA (m)0.7 0.30.40.50.6

I R U V

es. “doppietto del sodio”: 1 = 589.0 nm 2 = 589.6 nm es. “doppietto del sodio”: 1 = 589.0 nm 2 = 589.6 nm

in modo più pittoresco:in modo più pittoresco:

è ovvio che:

E(z, t) = E0 cos(kz - t )

si può scrivere anche esplicitando k = /c

Ex

t

nel tempoonde monocromaticheonde monocromatiche

)(cos ) cos( ) (z, ω ctztkzt c 00 EEE

c.c. )( 2

1 )( Re )( tkztkz iiz, t ee 00 EEE

Inoltre, si possono usare i fasori:

onda piana che si propaga lungo z

0 εμ 2

2

2

2

tz

EE

comunque, è sempre:

Ex

t

onde monocromaticheonde monocromatiche

Ex

t

π2π2ω

cck

)( e )( tkziRz, t e0EΕ

0

2

eventualmente c’è una fase iniziale:

cos )( tkzz, t 0EΕ

onde monocromaticheonde monocromatiche

c.c. )( 2

1 )( Re )( tkxtkx iix, t ee 00 EEE

oppure:

onda piana che si propaga lungo x

c.c. )(

21

)( Re )(

tkytky iiy, t ee

00 EEE

oppure:

onda piana che si propaga lungo y

onde monocromaticheonde monocromatiche

k

r

z

x

y

),( ω ω

00tzkykxkjtj zyxeet EErE rk

onda piana che si propaga lungo la direzione definita da ke polarizzata lungo E0

più in generale:

onde monocromaticheonde monocromatiche

)( Re )(

tkri

r

E, tE e0 re, per un’onda sferica:

E(r, t)

x

y

r

z

Ex(z, t) = E0x cos(kz - t)

Ey(z, t) = E0y cos(kz - t)

Ex(z, t) = E0x cos(kz - t)

Ey(z, t) = E0y cos(kz - t)

inoltre, si noti che: inoltre, si noti che:

onde monocromaticheonde monocromatiche

Ex

zEy

polarizzazione linearepolarizzazione lineare

1)

Ex , Ey in fase Ex , Ey in fase

Ex(z, t) = E0x cos(kz - t)

Ey(z, t) = E0y sen(kz - t)

Ex(z, t) = E0x cos(kz - t)

Ey(z, t) = E0y sen(kz - t)

Ex

zEy

polarizzazione ellitticapolarizzazione ellittica

2)

Ex , Ey in quadratura Ex , Ey in quadratura

1.1 Scrivere in forma vettoriale l’espressione del campo elettrico di un’onda elettromagnetica piana di frequenza angolare , polarizzata linearmente lungo una direzione a 45° con l’asse z, che si propaga lungo l’asse y, con un’ampiezza E0.

Esercizio

1.2 Si scriva l’espressione delle componenti del campo elettrico di un’onda monocromatica di lunghezza d’onda e polarizzata ellitticamente che si propaga lungo la direzione z.

Esercizio

C) onde quasi monocromatiche (pacchetti d’onda)

E(z, t) = E(z - ct)cos(kz - t)

C) onde quasi monocromatiche (pacchetti d’onda)

E(z, t) = E(z - ct)cos(kz - t)

E

z

nello spazio

caratteristiche temporalicaratteristiche temporali

cE(z- ct)

cos(t - kz)

nel tempo

E

t

caratteristiche temporalicaratteristiche temporali

c.c )( ω

21 )-(z )ωcos( )-( ) (z, tkzctEtkzctzEtE ie

E

z

c

nello spazio

E(z-ct)

c.c 2

1 )( )0( tiectE, tzE

e, per un osservatore fisso (p.e. a z = 0):

il pacchetto d’onda rappresentato coi fasori:

E(ct)

D) Radiazione (“onde”) a spettro continuo

D) Radiazione (“onde”) a spettro continuo

caratteristiche temporalicaratteristiche temporali

nel tempo

E

t

E(z, t) = ?

Teorema di Fourier per l’analisi di una forma d’onda periodicaTeorema di Fourier per l’analisi di una forma d’onda periodica

E(t) = E1 cos(t ) E(t) = E2 cos(2t )

+

E(t) = E3 cos(3t )

+

E(t) = E4 cos(4t )

+

E(t) = E5 cos(5t )

+ =

consideriamo la somma di funzioni armoniche a frequenze multipleconsideriamo la somma di funzioni armoniche a frequenze multiple

E(t) = E1 cos(t )+ E2 cos(2t )+.....

n

n tnEtE cos )(

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 B

E(t)

t

Serie di Fourier

E1 = E3 = E5 = E7

E(t) = E1 cos(t ) +

E(t) = E3 cos(3t ) +

E(t) = E7 cos(7t )

E(t) = E5 cos(5t ) +

=

consideriamo la somma delle sole armoniche dispariconsideriamo la somma delle sole armoniche dispari

E(t) = E1 cos(t )+ E3 cos(3t )+.....

n

n tnEtE cos )(

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 B

E(t)

t

Teorema di Fourier per l’analisi di una forma d’onda periodicaTeorema di Fourier per l’analisi di una forma d’onda periodica

E1 = E3 = E5 = E7

+

+

+

=

influenza dei coefficienti sulla somma delle sole armoniche dispariinfluenza dei coefficienti sulla somma delle sole armoniche dispari

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 B

E(t)

t

E1 = E3 = E5 = E7

+

+

+

=

E

(t)

t

E1 = 3E3 = 3E5 = 3E7

=

E(t) = E1 cos(t ) E(t) = E3 cos(3t )

+

E(t) = E5 cos(5t )

+

E(t) = E7 cos(7t )

+

3

dal dominio del tempo al domino delle frequenzedal dominio del tempo al domino delle frequenze

En()

0 5 70 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 B

E(t)

tt

E(t)

“spettro” di frequenze

rappresentazione dei coefficienti di Fourierrappresentazione dei coefficienti di Fourier

3

En()

0 5 70 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 B

E(t)

tt

E(t)

spettro di frequenze

rappresentazione dei coefficienti di Fourierrappresentazione dei coefficienti di Fourier

E(t

)

tt 3

En()

0 5 7

spettro di frequenze

nel tempo

t

caratteristiche temporalicaratteristiche temporali

per forme d’onda non periodiche:

n

n tnEtE cos )(

E(t)

't)'( )(~

' dtEE tie

che definisce la grandezza complessa )(~ E

“Trasformata di Fourier”

diventa:

)(~

2

1)( deEtE ti

integrale di Fourier

caratteristiche temporalicaratteristiche temporali

Spettro della radiazione(Spettro di potenza,Intensità spettrale)

Spettro della radiazione(Spettro di potenza,Intensità spettrale)

2 )(

~ )( EIe si definisce:

I()

spettro della radiazione

t

E(t)

nel tempo

caratteristiche temporalicaratteristiche temporali

si osservi la corrispondenza: nel tempo

I()

t

E(t)

c

banda di largezza coerenzaditempotc

ct 1ωI()

c

E

t

tc

nel tempo

E

t

caratteristiche temporalicaratteristiche temporali

tc

pacchetto d’onde

lo spettro

si osservi la corrispondenza:

I()

0

0 ω E

t

onda monocromatica

ct

ct 1ωI()

coerenzaditempotc banda di largezza

si ricordi la relazione fra e si ricordi la relazione fra e

105 10151010 1020 1025

FREQUENZA (Hz)

LUNGHEZZA D’ONDA (m)

100 10-1010-5 10-15

RADIOFREQUENZE

RADIO TV

MICROONDEV

ISIB

ILE

INFRAROSSOUV

RAGGI X

RAGGI GAMMA

π2π2ω

cck I() I()

L’intervallo del visibile: 380 – 750 nm L’intervallo del visibile: 380 – 750 nm

LUNGHEZZA D’ONDA (m)

105 10151010 1020 1025

FREQUENZA (Hz)

100 10-1010-5 10-15

RADIOFREQUENZE

RADIO TV

MICROONDE

VIS

IBIL

E

INFRAROSSO UV

RAGGI XRAGGI GAMMA

LUNGHEZZA D’ONDA (m)0.7 0.30.40.50.6

I R U V

Spettri di potenza di radiazione emessa da sorgentiSpettri di potenza di radiazione emessa da sorgenti

Spettro emissione del corpo nero

visibile

Spettro corpo nero

[m]

Spettro luce solareI() I()

Per le frequenze del visibile lo spettro di potenza

corrisponde al colore percepito

Per le frequenze del visibile lo spettro di potenza

corrisponde al colore percepito

I()

I()

I() I()

UV-A: 380 – 320 nm invecchiamento della pelle (rughe)UV-A: 380 – 320 nm invecchiamento della pelle (rughe)

LUNGHEZZA D’ONDA (m)0.7 0.30.40.50.6

I R U V

UV-B: 320 – 280 nm danni al DNA: melanomaUV-B: 320 – 280 nm danni al DNA: melanoma

UV-C: 280 – 100 nm (bloccati dall’atmosfera) germicidiUV-C: 280 – 100 nm (bloccati dall’atmosfera) germicidi

suddivisione della radiazione ultraviolettasuddivisione della radiazione ultravioletta

Riepilogo Riepilogo

onde impulsive E = F(z - vt) = F(z - ct) onde impulsive E = F(z - vt) = F(z - ct)

Onde monocromatiche:piane sferiche

Ex(z, t) = E0x cos(kz - t)

Ey(z, t) = E0y cos(kz - t)

Onde monocromatiche:piane sferiche

Ex(z, t) = E0x cos(kz - t)

Ey(z, t) = E0y cos(kz - t) )( Re )(

tkri

r

E, tE e0r

E0 , B0 ampiezze pulsazione o frequenza angolare

k numero d’onda

lunghezza d’onda

π2

2

ω

cck

Onde a spettro continuoOnde a spettro continuo

spettro della radiazionespettro della radiazione2

)(~

)( EI

I()