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Universidad Autónoma de Madrid
Análisis de Datos en Psicología II Tema 9
1
Contrastes sobre proporciones Tema 9
1. Una proporción 2. Dos proporciones
2.1 Dos proporciones independientes 2.2 Dos proporciones relacionadas
(Prueba de McNemar)
3. Más de dos proporciones relacionadas
(Prueba de Cochran)
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1. Contraste sobre una proporción Objetivo: Realizar inferencias acerca de una única proporción poblacional.
1. Hipótesis a) Bilateral: H0: π = π0; H1: π ≠ π0 b) U. derecho: H0: π ≤ π0; H1: π > π0 c) U. izquierdo: H0: π ≥ π0; H1: π < π0 2. Supuestos Muestra aleatoria π constante en cada extracción 3. Estadístico de contraste 3.1. Muestra pequeña (n ≤ 25):
∑=
=n
iiXX
1 (número de éxitos)
X ~ Binomial (n, π0)
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3.2 Muestra grande (n> 25)
/)1()1( 00
0
00 nP
nnXZ
πππ
πππ
−−
=−
−= 0
Z se distribuye según la normal (0, 1) 4. Zona crítica a) Bilateral: Z ≤ zα/2 y Z ≥ z1-α/2 b) Unilateral derecho: Z ≥ z1-α c) Unilateral izquierdo: Z ≤ zα 5. Decisión: 5.1 Muestra pequeña Rechazar H0 si p (nivel crítico) es menor o igual que α (unilateral) o α/2 (bilateral) 5.2 Muestra grande: Rechazar H0 si el estadístico Z cae en la zona crítica
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Ejemplo: Se está realizando una investigación sobre tabaquismo juvenil. Se ha tomado una muestra de 15 alumnos de instituto y se ha encontrado que 5 de ellos fuman habitualmente. Contrastar la hipótesis de que el porcentaje de jóvenes fumadores es del 40% utilizando α=0,01. 1. Hipótesis H0: π = 0,4 H1: π ≠ 0,4 2. Supuestos Muestra aleatoria π = 0,4 constante en cada extracción 3. Estadístico de contraste Dado que la muestra es pequeña: nº de éxitos : X = 5 X ~ Binomial (n=15, π0=0,4)
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4. Zona crítica X ≤ 1 P(X ≤ 1) = 0,005 X ≥ 12 P(X ≥ 12) = 1 - 0,998 = 0,002 nivel crítico: p = (2)P(X ≤ 5) = (2)0,403 = 0,806 5. Decisión: X cae en la zona de aceptación. p = 0,806 > 0,01 = α Mantener H0 Utilizando la aproximación normal (no es necesario):
-0,536,365
)4,01(4,0)15(4,0)15(5
)1( 00
=−
=−
−=
−−
= 0
πππ
nnXZ
0,005Z = -2,575; 0,995Z = 2,575
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Cálculo del nivel crítico
Unilateral izquierdo H0: π ≥ 0,4 H1: π < 0,4 p = P(X ≤ 5) = 0,403
Unilateral derecho
H0: π ≤ 0,4 H1: π > 0,4
p = P(X ≥ 5) = 1-P(X≤4) = 1- 0,217 = 0,783
Bilateral H0: π = 0,4 H1: π ≠ 0,4
(2)p = P(X ≤ 5) = (2)0,403 = 0,806 (2 por el menor de ambos)
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2.1. Dos proporciones independientes
Objetivo: Contrastar si son iguales dos proporciones procedentes de dos poblaciones diferentes.
1. Hipótesis Bilateral: H0: π1 = π2 ; H1: π1 ≠ π2 U. derecho: H0: π1 ≤ π2 ; H1: π1 > π2 U. izquierdo: H0: π1 ≥ π2; H1: π1 < π2
2. Supuestos Muestra aleatoria π1 y π2 constantes en cada extracción 3. Estadístico de contraste Muestra 1: n1, P1 Muestra 2: n2, P2
nn
PnPnP21
2211
++
=
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+−
−=
21
21
11)1(nn
PP
PPZ
Z se distribuye normal (0, 1) 4. Zona crítica Bilateral:
Z ≤ α/2z Z ≥ 1-α/2z
Unilateral derecho:
Z ≥ 1-αz Unilateral izquierdo:
Z ≤ αz 5. Decisión Rechazar H0 si el estadístico de contraste cae en la zona crítica (o si p ≤ α)
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Ejemplo: Continuando con la investigación sobre tabaquismo, desea contrastarse si fuman más las chicas que los chicos. Se toma una muestra de 20 chicas y se encuentra que fuman 12. En una muestra de 18 chicos fuman 8. Realizar el contraste con α=0,01. 1. Hipótesis H0: π1 ≤ π2 H1: π1 > π2
2. Supuestos Muestra aleatoria π1 y π2 constantes en cada extracción 3. Estadístico de contraste n1 = 20; P1 = 12/20 = 0,60 n2 = 18; P2 = 8/18 = 0,44
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10
53,01820812
21
2211 =++
=++
=nn
PnPnP
99,0
181
201)53,01(53,0
44,06,0
11)1(21
21
=
+−
−=
+−
−=
nnPP
PPZ
4. Zona crítica: Z ≥ 0,99z = 2,33 5. Decisión: Mantener H0. No puede concluirse que las chicas fuman más.
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2.2. Dos proporciones relacionadas (Prueba de McNemar)
Objetivo: Contrastar si son iguales dos proporciones poblacionales cuando se utiliza un diseño de medidas repetidas (antes-después).
3. Estadístico de contraste
Después 1 2
1 n11 n12 n1+ Antes 2 n21 n22 n2+ n+1 n+2 m
Calcular n = n12 + n21 3.1 Muestra pequeña (n ≤ 25) T = n12 T ~ Binomial (n, π=0,5)
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3.2 Muestra grande (n > 25)
2112
221122 )(
nnnn
X+
−=
X2 ~ χ2 con 1 grado de libertad 4. Regla de decisión 4.1 Estadístico T :
Utilizar el nivel crítico 4.2 Estadístico X2 :
a) Bilateral : X2 ≥ 211 χα−
b) U. Derecho : X2 ≥ 2121 χα−
c) U. Izquierdo : X2 ≥ 2121 χα−
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Ejemplo: Se ha tomado un grupo de 40 jóvenes y se ha encontrado que fumaban 25. Se les proporciona información sobre los perjuicios del tabaco y se convence a 5 fumadores para que dejen el tabaco. Después de recibir la información son 19 los jóvenes que no fuman ¿Puede concluirse con α=0,01 que la información es eficaz?
Los datos pueden organizarse: Después Si No
Si 5 25 Antes No 19 40
1. Hipótesis U. derecho: H0: π1 ≤ π2 ; H1: π1 > π2
2. Supuestos Muestra aleatoria de m pares π1 y π2 constantes en cada extracción
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3. Estadístico de contraste
Completar la tabla:
Después Si No
Si 20 5 25 Antes No 1 14 15 21 19 40
Calcular n = n12 + n21 = 6 T = 5; T ~ Binomial (6, π = 0,5) 4. Regla de decisión P (T ≥ 5) = 1 - P (T ≤ 4) = 1 – 0,891 = 0,109 > α = 0,01 5. Decisión Mantener H0
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Utilizando X2 (no es necesario): 3. Estadístico de contraste
67,215)15()( 2
2112
221122 =
+−
=+−
=nnnnX
X2 ~ χ2 con 1 grado de libertad 4. Regla de decisión (2α = 0,02) Zona crítica: X2 ≥ 1-2αχ2 = 0,98χ2 = 5,41 5. Decisión Mantener H0
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3. Más de dos proporciones relacionadas (Prueba de Cochran)
Objetivo: Contrastar si son iguales más de dos proporciones poblacionales cuando se utiliza un diseño de medidas repetidas.
1. Hipótesis H0: π+1 = π+2 = ... = π+J H1: π+j ≠ π+j’
2. Supuestos Muestra aleatoria π+j constante en cada extracción 3. Estadístico de contraste
∑
∑
=+
=+
−
−−−= n
ii
J
jj
TJT
TJTJJQ
1
2
1
22 )1()1(
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J: Número de proporciones (grupos) T: Total de la muestra T+j: Total de cada tratamiento j Ti+: Total de cada sujeto i
Q ~ χ2 con J-1 grados de libertad
4. Zona crítica: Q ≥ 2
11 −− Jχα
5. Decisión. Rechazar H0 si Q cae en la zona crítica
Ejemplo: 10 sujetos deciden participar en un tratamiento antitabaco. Para realizar un seguimiento de su efectividad, una vez finalizado el tratamiento se toman datos al cabo de uno, dos y tres meses. La siguiente tabla indica qué sujetos han vuelto a fumar. ¿Puede concluirse que la proporción de fumadores se mantiene estable con α=0,05?
Un mes 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0Dos
meses 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0Tres
meses 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0
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1. Hipótesis H0: π+1 = π+2 = π+3 H1: π+j ≠ πj’ 2. Supuestos Muestra aleatoria π+j constante en cada extracción 2. Estadístico de contraste
Un mes 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 3 Dos
meses 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 4 Tres
meses 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 5 3 2 0 1 1 2 0 2 1 0 12
T+j
Ti+ T
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1)023()12(3)12(2)543)(2(3
)1()1(
222
22221
2
1
22
=+++−
−++=
−
−−−=
∑
∑
=+
=+
L
n
ii
J
jj
TJT
TJTJJQ
Q ~ 2
21=−Jχ
3. Zona crítica:
Q ≥ 2
11 −− Jχα = 2295,0 χ = 5,99
4. Decisión. Mantener H0. La proporción de fumadores no cambia durante los tres meses.
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Formulario del tema 9 Contraste sobre una proporción
X ~ Binomial (n, π0)
/)1()1( 00
0
00 nP
nnXZ
πππ
πππ
−−
=−
−= 0
Z ~ normal (0, 1) Dos proporciones independientes
21
2211
nnPnPnP
++
=
+−
−=
21
21
11)1(nn
PP
PPZ
Z ~ normal (0, 1)
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Dos proporciones relacionadas (McNemar)
T = n12
T ~ Binomial (n, π=0,5)
2112
221122 )(
nnnn
X+
−=
X2 ~
21χ
Más de dos proporciones relacionadas (Cochran)
∑
∑
=+
=+
−
−−−= n
ii
J
jj
TJT
TJTJJQ
1
2
1
22 )1()1(
Q ~
21−Jχ
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