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ConicheQuadriche
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.Coniche e quadriche
A. Bertapelle
9 gennaio 2013
A. Bertapelle Coniche e quadriche
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ConicheQuadriche
Cenni storici
Appollonio di Perga (III a. C.) in “Le coniche” fu il primo adimostrare che era possibile ottenere tutte le coniche (ellisse,parabola, iperbole) intersecando un cono con un piano.
A. Bertapelle Coniche e quadriche
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ConicheQuadriche
Ellisse
.Definizione..
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Un’ellisse e il luogo dei punti, P del piano euclideo, tali che‖P − F1‖+ ‖P − F2‖ = 2a, per a > 0 costante, F1 e F2 puntifissati, detti fuochi.
V1 V2
V3
V4
F1 F2
P
Fi = (±f , 0), b2 = a2 − f 2.V1,2 = (±a, 0), V3,2 = (0,±b)
equazione:x2
a2+
y 2
b2= 1
L’origine (0, 0) e centrodi simmetria per la figura.Le costanti a > b > 0 sichiamano semiassi dell’ellisse.
A. Bertapelle Coniche e quadriche
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ConicheQuadriche
Circonferenza
Una circonferenza di raggio a e centro O e un’ellisse in cui idue semiassi coincidono con a e i due fuochi coincidono con O.
a
a
O
P
x2 + y2 = a2
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ConicheQuadriche
Esempi di ellissi:
Orbite dei pianeti del sistema solare.
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Proprieta focale dell’ellisse
F1 F2
P
tP
T1
T2
tP tangente in P all’ellisse. Si ha F1PT1 = F2PT2.
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Biliardo ellittico
F1 = P0
P1
P2
P3
P4
P5
Colpendo la palla posta in un fuoco, tutte le traiettoriepasseranno per i fuochi.
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parabola
.Definizione..
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Una parabola e il luogo dei punti, P del piano euclideo,t.c.‖P − F‖ = d(P , r), ove F e un punto fissato detto fuocoed r e una retta fissata detta direttrice.
FP
V
r
F = (0, f ), r : y = −f ,
equazione: y = ax2
apertura: a = 1/(4f )vertice: Vasse della parabola: x = 0.
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Esempi di parabole:
Moto parabolico di gravi: composizione di un moto rettilineouniforme (orizzontale) e un moto uniformemente accelerato(verticale).
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Il profilo del liquido posto in moto circolare uniforme eparabolico.
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Una parabola puo essere pensata come un’ellisse in cui unfuoco viene mandato all’infinito.
F
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Proprieta focale della parabola
FV
P Q
tP
T1
T2
tP tangente in P alla parabola. PQ parallelo all’asse.Si ha T1PQ = F PT2.
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ConicheQuadriche
Iperbole
.Definizione..
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Un’iperbole e il luogo dei punti, P del piano euclideo,t.c.‖P − F1‖ − ‖P − F2‖ = ±2a, per a > 0 costante, F1 e F2
punti fissati, detti fuochi.
−a a
b
−b
F1 F2
P
F1 = (−f , 0) e F2 = (f , 0),−b2 = a2 − f 2.
equazione:x2
a2− y 2
b2= 1
(0, 0) e centro di simmetria.a, b sono i semiassi dell’ip.bx = ±ay sono gli asintoti.
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Proprieta focale dell’iperbole
V1 V2F1 F2
P
T1
T2
tP
Q
tP tangente in P all’iperbole. Si ha T2PQ = T1PF1.
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Iperbole in natura:
Consideriamo due oscillatori meccanici posti su una superficied’acqua e pilotati in fase. Le iperboli rosse evidenziano i puntiin cui l’ampiezza delle oscillazioni e massima.
S1 S2
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Interpretazione algebrica
.Definizione..
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Una conica e data dall’insieme dei punti del piano euclideo lecui coordinate sono soluzione di un’equazione di 2◦ grado.
Fissato un s.d.r. sara del tipo:
g(x , y) = ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0
con a, b, c non tutti nulli.NB: se omogeneizzo g ottengogh(x0, x1, x2) = ax21 + 2bx1x2 + cx22 + 2dx1x0 + 2ex2x0 + fx20t.c. g(x , y) = gh(1, x , y). Dunque i punti della conicacorrispondono agli zeri del tipo (1, ∗, ∗) della forma quadraticagh.
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Notazione matriciale
Sia A =(
f d ed a be b c
)la matrice associata a gh. Si ha
g(x , y) = gh(1, x , y) = (1, x , y)
f d ed a be b c
1xy
e A e la matrice della conica nel s.d.r. fissato.
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Cambio di s.d.r.
Sia A (risp. B) la matrice associata alla conica C nel s.d.r. R(risp. R ′) e sia
P = ( 1 0t R ) = αR,R′(idE2(R))
AlloraA = tPBP .
(conseguenza della teoria delle forme bilineari e formequadratiche.)
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Coniche degeneri
.Definizione..
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Una conica C si dice degenere se la matrice associata A edegenere, ossia se |A| = 0.
Si dimostra che se rkA = 1 allora C corrisponde ad una rettacontata due volte: es. x2 = 0 oppure (x − y + 3)2 = 0;se rkA = 2 allora C corrisponde a due rette distinte (acoefficienti in C):ad es. xy = 0, x2 + 1 = 0,(x + y − 1)(3x − 2y + 4) = 0.
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Risultato fondamentale
.Proposizione..
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Sia A =(
f d ed a be b c
), una matrice reale simmetrica con detA 6= 0.
L’insiemeC = {P = t(1, x , y) | tPAP = 0}
e vuoto, oppure rappresenta una conica. In ogni caso, esisteuna matrice di cambio di s.d.r. X , tale che tXAX siaproporzionale a una delle matrici seguenti per opportuni valoridi α > 0 e β > 0.(
−1 0 00 α−2 00 0 β−2
)ellisse
(−1 0 00 α−2 00 0 −β−2
)iperbole
( 0 0 −10 2α 0−1 0 0
)parabola
( 1 0 00 α−2 00 0 β−2
)senza pti reali
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Coordinate polari
Fissato un s.d.r. {O, v1, v2} nel piano euclideo, concoordinate polari di un punto P 6= O del piano euclideo siintende la coppia (ρ, ϑ) tale che ρ = ||P − O|| e ϑ e l’angolo
(orientato) tra v1 e il vettore−→OP = P − O.
O
P
ϑ
ρ
v1
v2
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Coniche in coordinate polari
Dati una conica C (che non sia una circonferenza) e un suofuoco F esistono una retta r (detta direttrice) e una costantek > 0 (detta eccentricita) tali che la conica sia datadall’insieme dei punti P tali che
||P − F || = kd(P , r)
e sara
parabola se k = 1,
ellisse se 0 < k < 1,
iperbole se k > 1.
Pertanto C ha equazione
ρ = k |ρcos(ϑ)− d |
ponendo l’origine in F e r ||v2, r : x = d .A. Bertapelle Coniche e quadriche
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Quadrica
.Definizione..
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Una quadrica e data dall’insieme dei punti dello spazio euclideole cui coordinate sono soluzione di un’equazione di 2◦ grado.
Fissato un s.d.r. sara del tipo:
g(x , y) = a200x2 + a020y
2 + a002z2 + 2a110xy + 2a101xz + . . .
· · ·+ 2a001z + a000 = 0
con i coefficienti dei termini di grado 2 non tutti nulli. Anchein questo caso possiamo considerare il polinomio omogeneoassociato nelle variabili x0, x1, x2, x3, la corrispondente formaquadratica e la matrice ad essa associata.
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Ellissoide di rotazione
Facendo ruotare un’ellisse attorno all’asse focale otteniamouna superficie, detta ellissoide, con equazione (in unopportuno s.d.r.)
x2
a2+
y 2
b2+
z2
b2= 1
be3 ae1
be2
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Ellissoide
Piu in generale ogni superficie di equazione
x2
a2+
y 2
b2+
z2
c2= ±1
(in un opportuno s.d.r.) e detta ellissoide. Se la costante adestra e −1 non ha punti reali.Se la costante e 1 e a = b = c > 0 l’ellissoide e una sfera diraggio a.Incontrerete l’ellissoide d’inerzia in meccanica.
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Whispering galleries
L’effetto acustico nella cattedrale di St. Paul a Londra sfruttala proprieta focale dell’ellissoide di rotazione indotta dallaproprieta focale dell’ellisse.
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Litrotritore elettroidraulico
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Paraboloide di rotazione
Facendo ruotare una parabola attorno all’asse focaleotteniamo una superficie, detta paraboloide.
F
z = a(x2 + y2)
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Antenna parabolica
Sfrutta la proprieta focale del paraboloide di rotazione indottadalla proprieta focale della parabola.
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Fornace solare (Odeillo, Font-Romeu, Francia)
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Paraboloide
Si dice paraboloide una quadrica di E3(R) che in un opportunos.d.r. ha equazione del tipo ax2 + by 2 = z . Ad es. l’antennaparabolica ha a = b. Se a e b hanno segni discordi otteniamouna superficie fatta a forma di sella di cavallo.
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Iperboloide a una falda
a2x2 + b2y2 − c2z2 = 1
Se a = b e ottenuta per rotazione attorno l’asse delle zdell’iperbole a2y 2 − c2z2 = 1 del piano yz .
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Iperboloide a due falde
Ottenuto ruotando un’iperbole attorno all’asse focale.
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Un iperboloide a una falda contiene infinite rette e questo lorende “stabile e facile” da costruire in ingegneria civile, ad es.come torre di raffreddamento in centrali nucleari.
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Ad esempio:x2 + y 2 − z2 = 1 ⇔ x2 − z2 = 1− y 2 ⇔(x − z)(x + z) = (1− y)(1 + y). Pertanto l’iperboloidecontiene tutte le rette del tipo{
x − z = λ(1− y)1 + y = λ(x + z)
al variare di λ
{x + z = λ(1− y)1 + y = λ(x − z)
al variare di λ
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Trasmissione del moto tra assi sghembi
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Coni.Definizione..
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Un cono (quadrico) e una quadrica Q tale che esiste almenoun punto P ∈ Q (eventualmente all’infinito) tale che le retteP ∨ Q al variare di Q in Q sono tutte contenute in Q.
α−2x2 + β−2y2 = z2
P
C
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Altri coni:
Una quadrica Q e un cono se e solo se la matrice associata edegenere.Ad es: coppie di piani, eventualmente coincidenti.
O
z = 0O
x = −1
z = 0
equazione z2 = 0 (primo caso), z(x + 1) = 0 (secondo caso).
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ConicheQuadriche
Cilindri
a2x2 + b2y2 = 1 y = ax2
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